Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом - задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.
В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.
Навигация по странице.
Основные тригонометрические тождества
Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.
Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .
Формулы приведения
Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.
Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .
Формулы сложения
Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.
Формулы двойного, тройного и т.д. угла
Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.
Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .
Формулы половинного угла
Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.
Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .
Формулы понижения степени
Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.
Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус
Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .
Copyright by cleverstudents
Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.
Составной частью ЕГЭ являются тригонометрические уравнения.
К сожалению, не существует общего единого метода, следуя которому можно было бы решить любое уравнение, в котором участвуют тригонометрические функции. Успех здесь могут обеспечить лишь хорошие знания формул и умение видеть те или иные полезные комбинации, что вырабатывается лишь практикой.
Общая цель обычно состоит в преобразовании входящего в уравнение тригонометрического выражения к такому виду, чтобы корни находились из так называемых простейших уравнений:
| сos px = a; | sin gx = b; | tg kx = c; | ctg tx = d. |
Для этого необходимо уметь применять тригонометрические формулы. Полезно знать и называть их “именами”:
1. Формулы двойного аргумента, тройного аргумента:
сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;
sin 2x = 2 sin x cos x;
tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;
ctg 2x = (ctg 2 x – 1)/2 ctg x;
sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3 x;
cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;
tg 3x = (2 tg x – tg 3 x)/(1 – 3 tg 2 x);
ctg 3x = (ctg 3 x – 3ctg x)/(3ctg 2 x – 1);
2. Формулы половинного аргумента или понижения степени:
sin 2 x/2 = (1 – cos x)/2; сos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;
tg 2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);
ctg 2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);
3. Введение вспомогательного аргумента:
рассмотрим на примере уравнения a sin x + b cos x = c а именно, определяя угол х из условий sin y = b/v(a 2 + b 2), cos y = a/v(a 2 + b 2), мы можем привести рассматриваемое уравнение к простейшему sin (x + y) = c/v(a 2 + b 2) решения которого выписываются без труда; тем самым определяются и решения исходного уравнения.
4. Формулы сложения и вычитания:
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;
sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b;
cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b;
cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;
tg (a + b) = (tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);
tg (a – b) = (tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);
5. Универсальная тригонометрическая подстановка:
sin a = 2 tg (a/2)/(1 + ( tg 2 (a/2));
cos a = (1 – tg 2 (a/2))/(1 + ( tg 2 (a/2));
tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));
6. Некоторые важные соотношения:
sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));
cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));
7. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:
sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 cos (a – b)/2;
cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;
tg a + tg b = sin (a + b)/(cos a cos b);
tg a – tg b = sin (a – b)/(cos a cos b).
А также формулы приведения.
В процессе решения надо особенно внимательно следить за эквивалентностью уравнений, чтобы не допустить потери корней (например, при сокращении левой и правой частей уравнения на общий множитель), или приобретения лишних корней (например, при возведении обеих частей уравнения в квадрат). Кроме того, необходимо контролировать принадлежат ли получающие корни к ОДЗ рассматриваемого уравнения.
Во всех необходимых случаях (т.е. когда допускались неэквивалентные преобразования), нужно обязательно делать проверку. При решении уравнении необходимо научить учащихся сводить их к определенным видам, обычно начиная с легких уравнении.
Ознакомимся с методами решения уравнений:
1. Сведение к виду аx 2 + bx + c = 0
2. Однородность уравнений.
3. Разложение на множители.
4. Сведение к виду a 2 + b 2 + c 2 = 0
5. Замена переменных.
6. Сведение уравнения к уравнению с одной переменной.
7. Оценка левой и правой части.
8. Метод пристального взгляда.
9. Введение вспомогательного угла.
10. Метод “ Разделяй и властвуй ”.
Рассмотрим примеры:
1. Решить уравнение: sin x + cos 2 х = 1/4.
Решение : Решим методом сведения к квадратному уравнению. Выразим cos 2 х через sin 2 x
sin x + 1 – sin 2 x = 1/4
4 sin 2 x – 4 sin x – 3 = 0
sin x = -1/2, sin x = 3/2(не удовлетворяет условию х€[-1;1]),
т.е. х = (-1) к+1 arcsin 1/2 + k, k€z,
Ответ : (-1) к+1 /6 + k, k€z.
2. Решить уравнение: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,
решим способом разложения на множители
2 tg x cos x – 2 cos x + 1 – tg x = 0,где х /2 + k, k€z,
2 cos x (tg x – 1) – (tg x – 1) = 0
(2 cos x – 1) (tg x – 1) = 0
2 cos x – 1 = 0 или tg x – 1 = 0
cos x = 1/2, tgx = 1,
т.е х = ± /3 + 2k, k€z, х = /4 + m, m€z.
Ответ : ± /3 + 2k, k€z, /4 + m, m€z.
3. Решить уравнение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0.
Решение : sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0 однородное уравнение 2 степени. Поскольку cos x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим левую и правую часть на cos 2 х. В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg x
tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0,
tg x = 1 и tg x = 2,
откуда х = /4 + m, m€z,
х = arctg 2 + k, k€z.
Ответ : /4 + m, m€z, arctg 2 + k, k€z.
4. Решить уравнение: cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4.
Решение : Метод введения новой переменной
Пусть 5х + 6 = у, тогда cos 2у + 4 2 sin у = 4
1 – 2 sin 2 у + 4 2 sin у – 4 = 0
sin у = t, где t€[-1;1]
2t 2 – 4 2t + 3 = 0
t = 2/2 и t = 3 2/2 (не удовлетворяет условию t€[-1;1])
sin (5x + 6) = 2/2,
5x + 6 = (-1) к /4 + k, k€z,
х = (-1) к /20 – 6/5 + k/5, k€z.
Ответ : (-1) к?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.
5. Решить уравнение: (sin х – cos у) 2 + 40х 2 = 0
Решение: Используем а 2 +в 2 +с 2 = 0, верно, если а = 0, в = 0, с = 0. Равенство возможно, если sin х – cos у = 0, и 40х = 0 отсюда:
х = 0, и sin 0 – cos у = 0, следовательно, х = 0, и cos у = 0, отсюда: х = 0, и у = /2 + k, k€z, также возможна запись (0; /2 + k) k€z.
Ответ : (0; /2 + k) k€z.
6. Решить уравнение: sin 2 х + cos 4 х – 2 sin х + 1 = 0
Решение: Преобразуем уравнение и применим метод “разделяй и властвуй”
(sin 2 х – 2 sin х +1) + cos 4 х = 0;
(sin х – 1) 2 + cos 4 х = 0; это возможно если
(sin х – 1) 2 = 0, и cos 4 х = 0, отсюда:
sin х – 1 = 0, и cos х = 0,
sin х = 1, и cos х = 0, следовательно
х = /2 + k, k€z
Ответ : /2 + k, k€z.
7. Решить уравнение: sin 5х + sin х = 2 + cos 2 х.
Решение: применим метод оценки левой и правой части и ограниченность функций cos и sin.
– 1 sin 5х 1, и -1 sin х 1
0 + 2 2 + cos 2 х 1 + 2
2 2 + cos 2 х 3
sin 5х + sin х 2, и 2 + cos 2 х 2
2 sin 5х + sin х 2, т.е.
sin 5х + sin х 2,
имеем левая часть 2, а правая часть 2,
равенство возможно если, они оба равны 2.
cos 2 х = 0, и sin 5х + sin х = 2, следовательно
х = /2 + k, k€z (обязательно проверить).
Ответ : /2 + k, k€z.
8. Решить уравнение: cos х + cos 2х + cos 3х+ cos 4х = 0.
Решение : Решим методом разложения на множители. Группируем слагаемые, расположенные в левой части, в пары.
(В данном случае любой способ группировки приводит к цели.) Используем формулу cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2.
2 cos 3/2х cos х/2 + 2 cos 7/2х cos х/2 = 0,
cos х/2 (cos 3/2х + cos 7/2х) = 0,
2 cos 5/2х cos х/2 cos х = 0,
Возникают три случая:
Ответ : + 2k, /5 + 2/5k, /2 + k, k€z.
Обратим внимание на то, что второй случай включает в себя первый. (Если во втором случае взять к = 4 + 5, то получим + 2n). Поэтому нельзя сказать, что правильнее, но во всяком случае “культурнее и красивее” будет выглядеть ответ: х 1 = /5 + 2/5k, х 2 = /2 + k, k€z. (Вновь типичная ситуация, приводящая к различным формам записи ответа). Первый ответ также верен.
Рассмотренное уравнение иллюстрирует весьма типичную схему решения – разложение уравнения на множители за счёт попарной группировки и использования формул:
sin a + sin b = 2 sin (a + b)/2 cos (a – b)/2;
sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;
cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;
cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.
Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведём решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления лишних (посторонних) корней и методы “борьбы” с ними.
Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнений. Приведём примеры.
9. Решить уравнение: (sin 4х – sin 2х – cos 3х + 2sin х -1)/(2sin 2х – 3) = 0.
Решение: Приравняем нулю числитель (при этом происходит расширение области определения уравнения – добавляются значения х, обращающие в нуль знаменатель) и постараемся разложить его на множители. Имеем:
2 cos 3х sin х – cos 3х + 2sin х – 1 = 0,
(cos 3х + 1) (2 sin х – 1) = 0.
Получаем два уравнения:
cos 3х + 1 = 0, х = /3 + 2/3k.
Посмотрим, какие k нам подходят. Прежде всего, заметим, что левая часть нашего уравнения представляет собой периодическую функцию с периодом 2. Следовательно, достаточно найти решение уравнения, удовлетворяющее условию 0 х < 2 (один раз “обойти” круг), затем к найденным значениям прибавить 2k.
Неравенству 0 х < 2 удовлетворяют три числа: /3, 5/3.
Первое не подходит, поскольку sin 2/3 = 3/2, знаменатель обращается в нуль.
Ответ для первого случая: х 1 = + 2k, х 2 = 5/3 + 2k (можно х 2 = – /3 + 2k), k€z.
Найдём решение этого уравнения, удовлетворяющие условию 0 х < 2. Их два: /6, 5/6. Подходит второе значение.
Ответ : + 2k, 5/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.
10. Найти корни уравнений: v(cos 2х + sin 3х) = v2 cos х.
Решение этого уравнения распадается на два этапа:
1) решение уравнения, получающегося из данного возведением в квадрат обеих его частей;
2) отбор тех корней, которые удовлетворяют условию cos х 0. При этом (как и в случае алгебраических уравнений) заботиться об условии cos 2х + sin 3х 0 нет необходимости. Все значения k, удовлетворяющие возведённому в квадрат уравнению, этому условию удовлетворяют.
Первый шаг приводит нас к уравнению sin 3х = 1, откуда х 1 = /6 + 2/3k.
Теперь надо определить, при каких k будет иметь место cos (/6 + 2/3k) 0. Для этого достаточно для k рассмотреть значения 0, 1, 2, т.е. как обычно “обойти один раз круг”, поскольку дальше значения косинуса будут отличаться от уже рассмотренных на величину, кратную 2.
Ответ : /6 + 2k, 3/2/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.
11. Решить уравнение: sin 8 х – cos 5 х = 1.
Решение этого уравнения основывается на следующем простом соображении: если 0 < a < 1 то a t убывает с ростом t.
Значит, sin 8 х sin 2 х, – cos 5 х cos 2 х;
Сложив почленно эти неравенства, будем иметь:
sin 8 х – cos 5 х sin 2 х + cos 2 х = 1.
Следовательно, левая часть данного уравнения равна единице тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:
sin 8 х = sin 2 х, cos 5 х = cos 2 х,
т.е. sin х может принимать значения -1, 0
Ответ : /2 + k, + 2k, k€z.
Для полноты картины рассмотрим ещё пример.
12. Решить уравнение: 4 cos 2 х – 4 cos 2 3х cos х + cos 2 3х = 0.
Решение : Будем рассматривать левую часть данного уравнения как квадратный трёхчлен относительно cos х.
Пусть D – дискриминант этого трёхчлена:
1/4 D = 4 (cos 4 3х – cos 2 3х).
Из неравенства D 0 следует cos 2 3х 0 или cos 2 3х 1.
Значит, возникают две возможности: cos 3х = 0 и cos 3х = ± 1.
Если cos 3х = 0, то из уравнения следует, что и cos х = 0, откуда х = /2 + k.
Эти значения х удовлетворяют уравнению.
Если cos 3х = 1, то из уравнения cos х = 1/2 находим х = ± /3 + 2k. Эти значения также удовлетворяют уравнению.
Ответ : /2 + k, /3 + 2k, k€z.
13. Решить уравнение: sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x.
Решение : Преобразуем выражение sin 4 x + cos 4 x,выделив полный квадрат: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 х cos 2 х + cos 4 x – 2 sin 2 х cos 2 х = (sin 2 х + cos 2 х) 2 – 2 sin 2 х cos 2 х, откуда sin 4 x + cos 4 x = 1 – 1/2 sin 2 2х. Пользуясь полученной формулой, запишем уравнение в виде
1-1/2 sin 2 2х = 7/4 sin 2х.
обозначив sin 2х = t, -1 t 1,
получим квадратное уравнение 2t 2 + 7t – 4 = 0,
решая которое, находим t 1 = 1/2, t 2 = – 4
уравнение sin 2х = 1/2
2х = (- 1) к /6 + k, k€z, х = (- 1) к //12 + k /2, k€z .
Для начала рассмотрим круг с радиусом 1 и с центром в (0;0). Для любого αЄR можно провести радиус 0A так, что радианная мера угла между 0A и осью 0x равна α. Направление против часовой стрелки считается положительным. Пусть конец радиуса А имеет координаты (a,b).
Определение синуса
Определение: Число b, равное ординате единичного радиуса, построенного описанным способом, обозначается sinα и называется синусом угла α.
Пример: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0
Определение косинуса
Определение: Число a, равное абсциссе конца единичного радиуса, построенного описанным способом, обозначается cosα и называется косинусом угла α.
Пример: cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2
Эти примеры используют определение синуса и косинуса угла через координаты конца единичного радиуса и единичной окружности. Для более наглядного представления необходимо нарисовать единичную окружность и отложить на ней соответствующие точки, а затем посчитать их абсциссы для вычисления косинуса и ординаты для вычисления синуса.
Определение тангенса
Определение: Функция tgx=sinx/cosx при x≠π/2+πk, kЄZ, называется котангенсом угла x. Область определения функции tgx это все действительные числа, кроме x=π/2+πn, nЄZ.
Пример: tg0 tgπ = 0 0 = 0
Этот пример аналогичен предыдущему. Для вычисления тангенса угла нужно поделить ординату точки на её абсциссу.
Определение котангенса
Определение: Функция ctgx=cosx/sinx при x≠πk, kЄZ называется котангенсом угла x. Область определения функции ctgx = -все действительные числа кроме точек x=πk, kЄZ.
Рассмотрим пример на обычном прямоугольном треугольнике
Чтобы было понятнее, что же такое косинус, синус, тангенс и котангенс. Рассмотрим пример на обычном прямоугольном треугольнике с углом y и сторонами a,b,c . Гипотенуза с, катеты соответственно a и b. Угол между гипотенузой c и катетом b y.
Определение: Синус угла y - это отношение противолежащего катета к гипотенузе: siny = а/с
Определение: Косинус угла y это отношение прилежащего катета к гипотенузе: сosy= в/с
Определение: Тангенс угла у - это отношение противолежащего катета к прилежащему: tgy = а/в
Определение: Котангенс угла y -это отношение прилежащего катета к противолежащему: ctgy= в/а
Cинус, косинус, тангенс и котангенс называют ещё тригонометрическими функциями. У каждого угла есть свой синус и косинус. И практически у каждого есть свой тангенс и котангенс.
Считается, что если нам дан угол, то его синус, косинус, тангенс и котангенс нам известны! И наоборот. Дан синус, или любая другая тригонометрическая функция соответственно, мы знаем угол. Созданы даже специальные таблицы, где расписаны тригонометрические функции для каждого угла.
Лекция: Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла
Синус, косинус произвольного угла
Чтобы понять, что такое тригонометрические функции, обратимся к окружности с единичным радиусом. Данная окружность имеет центр в начале координат на координатной плоскости. Для определения заданных функций будем использовать радиус-вектор ОР , который начинается в центре окружности, а точка Р является точкой окружности. Данный радиус-вектор образует угол альфа с осью ОХ . Так как окружность имеет радиус, равный единице, то ОР = R = 1 .
Если с точки Р опустить перпендикуляр на ось ОХ , то получим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной единице.
Если радиус-вектор двигается по часовой стрелке, то данное направление называется отрицательным , если же он двигается против движения часовой стрелки - положительным .
Синусом угла ОР , является ордината точки Р вектора на окружности.
То есть, для получения значения синуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой У на плоскости.
Как данное значение было получено? Так как мы знаем, что синус произвольного угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, получим, что
А так как R = 1 , то sin(α) = y 0 .
В единичной окружности значение ординаты не может быть меньше -1 и больше 1, значит,
Синус принимает положительное значение в первой и второй четверти единичной окружности, а в третьей и четвертой - отрицательное.
Косинусом угла данной окружности, образованного радиусом-вектором ОР , является абсцисса точки Р вектора на окружности.
То есть, для получения значения косинуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой Х на плоскости.
Косинус произвольного угла в прямоугольном треугольнике - это отношение прилежащего катета к гипотенузе, получим, что
А так как R = 1 , то cos(α) = x 0 .
В единичной окружности значение абсциссы не может быть меньше -1 и больше 1, значит,
Косинус принимает положительное значение в первой и четвертой четверти единичной окружности, а во второй и в третьей - отрицательное.
Тангенсом произвольного угла считается отношение синуса к косинусу.
Если рассматривать прямоугольный треугольник, то это отношение противолежащего катета к прилежащему. Если же речь идет о единичной окружности, то это отношение ординаты к абсциссе.
Судя по данным отношениям, можно понять, что тангенс не может существовать, если значение абсциссы равно нулю, то есть при угле в 90 градусов. Все остальные значения тангенс принимать может.
Тангенс имеет положительное значение в первой и третьей четверти единичной окружности, а во второй и четвертой является отрицательным.
Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.
Геометрическое определение
|BD|
- длина дуги окружности с центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .
Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .
Тангенс
Где n - целое.
В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.
График функции тангенс, y = tg x
Котангенс
Где n - целое.
В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.
График функции котангенс, y = ctg x
Свойства тангенса и котангенса
Периодичность
Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .
Четность
Функции тангенс и котангенс - нечетные.
Области определения и значений, возрастание, убывание
Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Область определения и непрерывность | ||
| Область значений | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Возрастание | - | |
| Убывание | - | |
| Экстремумы | - | - |
| Нули, y = 0 | ||
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | - |
Формулы
Выражения через синус и косинус
;
;
;
;
;
Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности
Остальные формулы легко получить, например
Произведение тангенсов
Формула суммы и разности тангенсов
В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента. 
Выражения через комплексные числа
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; .
.
Производная n-го порядка по переменной x
от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >
Интегралы
Разложения в ряды
Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.
При .
при .
где B n
- числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа: 
Обратные функции
Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.
Арктангенс, arctg
,
где n
- целое.
Арккотангенс, arcctg
,
где n
- целое.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.