Цилиндр (круговой цилиндр) – тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, – образующими цилиндра.
Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях, а образующие цилиндра параллельны и равны. Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковую поверхность составляют образующие.
Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям основания. Цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из сторон как оси. Существуют и другие виды цилиндра – эллиптический, гиперболический, параболический. Призму так же рассматривают, как разновидность цилиндра.
На рисунке 2 изображён наклонный цилиндр. Круги с центрами О и О 1 являются его основаниями.
Радиус цилиндра – радиус его основания. Высота цилиндра – расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведённому через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра.
Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.
Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, основания которой – равные многоугольники, вписанные в основания цилиндра. Её боковые рёбра являются образующими цилиндра. Призма называется описанной около цилиндра, если её основания - равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости её граней касаются боковой поверхности цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра можно вычислить, умножив длину образующей на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.
Площадь боковой поверхности прямого цилиндра можно найти по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой h и длиной P, которая равна периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:
В частности, для прямого кругового цилиндра:
P = 2πR, и S b = 2πRh.
Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований.
Для прямого кругового цилиндра:
S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)
Для нахождения объёма наклонного цилиндра существуют две формулы.
Можно найти объём, умножив длину образующей на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.
Объём наклонного цилиндра равен произведению площади основания на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания):
V = Sh = S l sin α,
где l – длина образующей, а α – угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра h = l.
Формула для нахождения объёма кругового цилиндра выглядит следующим образом:
V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,
где d – диаметр основания.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Модуль 1. Геометрия вокруг нас
Упражнение 4 (по картинкам).
Учителю. Выберите несколько картинок, на которых есть изображение предметов цилиндрической формы и покажите ученикам.
Рассмотрите картинки и найдите на них изображения предметов, похожих по форме на фигуры, стоящие на столе.
Задание 1.
Запишите название шляпы, изображенной на рисунке (цилиндр ). Почему шляпа называется так?
Вопрос: Как можно назвать фигуры, стоящие на столе?
Фигуры, стоящие на столе, называются цилиндрами. Цилиндр имеет два основания и боковую поверхность .
Учителю . В папке РИСУНКИ есть файл КОМНАТА с цветным изображением этой картинки.
Упражнение 6. Слепите из пластилина три цилиндра разной высоты. Поставьте их в ряд от самого низкого к самому высокому. Измерьте высоту каждого цилиндра. Найдите разницу высот самого высокого и самого низкого цилиндра.
Задание 3.
Нарисуйте тень, которую будет отбрасывать цилиндр, если на него направить свет сбоку.
Учителю . В ходе обсуждения задания необходимо прийти к ответу: тень прямоугольной формы (хорошо, если Вы продемонстрируете это).
3. Конструкции из шашек. Шифры.
Попробуем использовать шашки по-другому – построим из них конструкции. Например:
Учителю . Постройте обязательно эти конструкции на своем столе (используйте пока шашки одного цвета). Попросите детей построить такие же конструкции у себя на столе.
Нам надо как-то отображать в тетради построенную конструкцию. Какие будут предложения?
Учителю . Очевидно, что большинство учеников предложат просто зарисовать. Возразите им, что каждый рисует по-разному и может быть такая ситуация, что одному ученику будет непонятно, что нарисовал другой. Надо придумать такой способ изображения конструкции, чтобы все понимали какая конструкция и по ее изображению могли ее построить.
Возможно, ученики смогут выйти на нужный ответ: смотреть на конструкцию сверху и рисовать столбцы шашек кругами, а на каждом круге записывать, сколько шашек стоит в этом столбце.
Но если такой идеи не возникнет, то подведите к ней последовательно, возвращаясь к задаче 4.
1. Посмотрите сверху на построенные конструкции. Что вы видите? (круги ).
2. Зарисуйте, как располагаются видимые сверху круги в каждой конструкции.
 |
3. Можете ли Вы сказать, сколько шашек стоит в каждом столбике конструкции? Как можно обозначить на схеме количество шашек в столбике? (записать число, равное количеству шашек).
Название науки «геометрия» переводится как "измерение земли". Зародилась стараниями самых первых древних землеустроителей. А было так: во время разливов священного Нила потоки воды иногда смывали границы участков земледельцев, а новые границы могли не совпасть со старыми. Налоги же крестьянами уплачивались в казну фараона пропорционально величине земельного надела. Измерением площадей пашни в новых границах после разлива занимались специальные люди. Именно в результате их деятельности и возникла новая наука, получившая развитие в Древней Греции. Там она и название получила, и приобрела практически современный вид. В дальнейшем термин стал интернациональным названием науки о плоских и объёмных фигурах.
Планиметрия - раздел геометрии, занимающийся изучением плоских фигур. Другим разделом науки является стереометрия, которая рассматривает свойства пространственных (объёмных) фигур. К таким фигурам относится и описываемая в этой статье - цилиндр.
Примеров присутствия предметов цилиндрической формы в повседневной жизни предостаточно. Цилиндрическую (гораздо реже - коническую) форму имеют почти все детали вращения - валы, втулки, шейки, оси и т.д. Цилиндр широко используется и в строительстве: башни, опорные, декоративные колонны. А кроме того посуда, некоторые виды упаковки, трубы всевозможных диаметров. И наконец - знаменитые шляпы, ставшие надолго символом мужской элегантности. Список можно продолжать бесконечно.
Определение цилиндра как геометрической фигуры
Цилиндром (круговым цилиндром) принято называть фигуру, состоящую из двух кругов, которые при желании совмещаются с помощью параллельного переноса. Именно эти круги и являются основаниями цилиндра. А вот линии (прямые отрезки), связывающие соответствующие точки, получили название «образующие».
Важно, что основания цилиндра всегда равны (если это условие не выполняется, то перед нами - усечённый конус, что-либо другое, но только не цилиндр) и находятся в параллельных плоскостях. Отрезки же, соединяющие соответствующие точки на кругах, параллельны и равны.
Совокупность бесконечного множества образующих - не что иное, как боковая поверхность цилиндра - один из элементов данной геометрической фигуры. Другая её важная составляющая - рассмотренные выше круги. Называются они основаниями.
Виды цилиндров
Самый простой и распространённый вид цилиндра - круговой. Его образуют два правильных круга, выступающих в роли оснований. Но вместо них могут быть и другие фигуры.
Основания цилиндров могут образовывать (кроме кругов) эллипсы, другие замкнутые фигуры. Но цилиндр может иметь не обязательно замкнутую форму. Например основанием цилиндра может служить парабола, гипербола, другая открытая функция. Такой цилиндр будет открытым или развернутым.
По углу наклона образующих к основаниям цилиндры могут быть прямыми или наклонными. У прямого цилиндра образующие строго перпендикулярны плоскости основания. Если данный угол отличается от 90°, цилиндр - наклонный.
Что такое поверхность вращения
Прямой круговой цилиндр, без сомнения - самая распространённая поверхность вращения, используемая в технике. Иногда по техническим показаниям применяется коническая, шарообразная, некоторые другие типы поверхностей, но 99% всех вращающихся валов, осей и т.д. выполнены именно в форме цилиндров. Для того чтобы лучше уяснить, что такое поверхность вращения, можно рассмотреть, как же образован сам цилиндр.
Допустим, имеется некая прямая a , расположенная вертикально. ABCD - прямоугольник, одна из сторон которого (отрезок АВ) лежит на прямой a . Если вращать прямоугольник вокруг прямой, как это показано на рисунке, объём, который он займёт, вращаясь, и будет нашим телом вращения - прямым круговым цилиндром с высотой H = AB = DC и радиусом R = AD = BC.
В данном случае, в результате вращения фигуры - прямоугольника - получается цилиндр. Вращая треугольник, можно получить конус, вращая полукруг - шар и т.д.
Площадь поверхности цилиндра
Для того чтобы вычислить площадь поверхности обычного прямого кругового цилиндра, необходимо подсчитать площади оснований и боковой поверхности.
Вначале рассмотрим, как вычисляют площадь боковой поверхности. Это произведение длины окружности на высоту цилиндра. Длина окружности, в свою очередь, равняется удвоенному произведению универсального числа П на радиус окружности.
Площадь круга, как известно, равняется произведению П на квадрат радиуса. Итак, сложив формулы для площади определения боковой поверхности с удвоенным выражением площади основания (их ведь два) и произведя нехитрые алгебраические преобразования, получаем окончательное выражение для определения площади поверхности цилиндра.
Определение объёма фигуры
Объем цилиндра определяется по стандартной схеме: площадь поверхности основания умножается на высоту.
Таким образом, конечная формула выглядит следующим образом: искомое определяется как произведение высоты тела на универсальное число П и на квадрат радиуса основания.
Полученная формула, надо сказать, применима для решения самых неожиданных задач. Точно так же, как объем цилиндра, определяется, например, объём электропроводки. Это бывает необходимо для вычисления массы проводов.
Отличия в формуле только в том, что вместо радиуса одного цилиндра стоит делённый надвое диаметр жилы проводки и в выражении появляется число жил в проводе N . Также вместо высоты используется длина провода. Таким образом рассчитывается объем «цилиндра» не одного, а по числу проводков в оплётке.
Такие расчёты часто требуются на практике. Ведь значительная часть ёмкостей для воды изготовлена в форме трубы. И вычислить объем цилиндра часто бывает нужно даже в домашнем хозяйстве.
Однако, как уже говорилось, форма цилиндра может быть разной. И в некоторых случаях требуется рассчитать, чему равен объем цилиндра наклонного.
Отличие в том, что площадь поверхности основания умножают не на длину образующей, как в случае с прямым цилиндром, а на расстояние между плоскостями - перпендикулярный отрезок, построенный между ними.
Как видно из рисунка, такой отрезок равен произведению длины образующей на синус угла наклона образующей к плоскости.
Как построить развёртку цилиндра
В некоторых случаях требуется выкроить развёртку цилиндра. На приведённом рисунке показаны правила, по которым строится заготовка для изготовления цилиндра с заданными высотой и диаметром.
Следует учитывать, что рисунок приведен без учёта швов.
Отличия скошенного цилиндра
Представим себе некий прямой цилиндр, ограниченный с одной стороны плоскостью, перпендикулярной образующим. А вот плоскость, ограничивающая цилиндр с другой стороны, не перпендикулярна образующим и не параллельна первой плоскости.
На рисунке представлен скошенный цилиндр. Плоскость а под неким углом, отличным от 90° к образующим, пересекает фигуру.
Такая геометрическая форма чаще встречается на практике в виде соединений трубопроводов (колена). Но бывают даже здания, построенные в виде скошенного цилиндра.
Геометрические характеристики скошенного цилиндра
Наклон одной из плоскостей скошенного цилиндра слегка изменяет порядок расчёта как площади поверхности такой фигуры, так и ее объёма.
План урока.Учитель: Василенко Г.В. Класc 5
Тема: «ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРЕДМЕТА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ»
Цели урока:
1 .Образовательные: закрепление умения рисовать объемные предметы, выполнение рисунка в определенной последовательности от общего к частному, содействовать формированию специальных графических умений и навыков.
2 .Коррекционно-развивающие : развивать внимание, мышление, интерес к виду деятельности, развивать мелкую моторику рук и воображение, уметь анализировать форму.
З. Коррекционно- воспитательные : создавать условия для развития эмоций и интеллекта, воспитывать любовь и интерес к окружающей действительности, самостоятельность, аккуратность, дисциплинированность , расширять эстетические знания, словарный запас учащихся .
Тип урока : комбинированный
Форма урока:
Метод урока : словесный, наглядный, практический
Оборудование и материалы : альбом, графический карандаш, ластик..
Наглядность : плакат с последовательным изображением кружки.
Словарь урока : цилиндр, тень, блик
М/предметная связь : познание мира, математика
Ход урока
1. Организационный момент : проверка учебных принадлежностей.
2. Сообщение цели урока.
3. Целевая установка : сегодня мы нарисуем с натуру кружки.
4. Актуализация знаний : Какую геометрическую фигуру она напоминает? (цилиндр)Какие еще предметы цилиндрической формы ты знаешь?
5 . Изучение нового материала : предлагаю внимательно рассмотреть плакат на котором последовательно изображено построение рисунка кружки. Объясняю всю последовательность в построении рисунка. Затем разбираем где самое светло пятно (блик) , самое темное (тень), обращаю внимание на направление штриховки. Во время объяснения спрашиваю: Что такое тень? Покажи. Что такое блик? Покажи. Тема урока расчитана на два занятия: 1.выполнение построения. 2передача объема предмета штриховкой. 6. Проверка усвоенного материала : Что мы сегодня будем рисовать? В какой последовательности?
7. Практическая часть : работаем по плану: 1.Расположение листа 2. Компоновка на листе бумаги 3.Размер и форма предмета 4.Проводим горизонтальную линию 5.Провоим осевую линию 6.Рисуем прямоугольник 7.Прорисовываем форму кружки 8.Два овала 9.Ручка 10.При помощи штриховки передаем объем предмета
7.1. Вводный инструктаж
1.провожу пальчиковую гимнастику 2.обращаю внимание н правильное положения ученика за столом
3.при выполнении рисунка карандаш ведем с легким нажимом
Индивидуальная работа учащихся:
7.2. Текущий и фронтальный инструктаж:
* проверка организации рабочего места;
*выявление и устранение типичных и индивидуальных ошибок
7.3. Заключительный инструктаж:
А) вопросы для закрепления: что мы сегодня нарисовали? Какую форму имеет кружка? Как называется самая темное пятно на рисунке? (тень) самое светлое пятно? (блик)
б) анализ учащимися своих работ;
в) оценка.
Подведение итогов занятия : Понравилось ли тебе рисовать кружку? Что было самым сложным для тебя в этой работе?
Уборка рабочих мест.
Домашнее задание. нарисовать круг и выполнить в нем дугообразную штриховку
Цистерна имеет форму цилиндра, к основаниям которого присоединены равные шаровые сегменты. Приведите примеры предметов, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда. Что ещ нужно знать о цилиндре? . Как называется процесс мысленного расчленения предмета на геометрические тела. Построение аксонометрических проекций предметов, форма которых имеет. Множество вещей в нашем мире имеют форму цилиндра. Оборудование предметы цилиндрической формы, цилиндры, фотографии, шашки. При передаче формы в пространстве мы сталкиваемся с законами перспективы, понимаем, что изображение состоит из. Запишите предметы домашней обстановки, имеющие форму цилиндра, прямоугольного параллелепипеда, шара, конуса, призмы. Но цилиндр может иметь не обязательно замкнутую форму. Назовите предметы, имеющие форму шара, цилиндра, конуса, призмы. Сосновый брусок в форме прямоугольного параллелепипеда, имеющего
Материал картинки с изображением предметов цилиндрической формы, цилиндры разного диаметра и высоты, карточки с. Поскольку цилиндры имеют одинаковые массы, на них действуют одинаковые по величине. Составить слово из. Найди в окружающей обстановке предметы, которые могут служить моделями. Например, головной убор, который так и называется шляпацилиндр. В КВ диапазоне часто применяется рамочная антенна, диаграмма направленности которой имеет форму восьмерки с двумя. Радиус его основания 2, 5 м, высота 4 м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2, 2 м. Назовите предметы имеющие форму шара цилиндра конуса призмы. Запиши название трех предметов имеющих форму цилиндра. Какие ещ предметы имеют форму цилиндра? Среднее значение прочности цилиндра умножают на масштабный коэффициент 2. Что ещ нужно знать о цилиндре? Прочность бетона в образце неправильной формы, имеющем две параллельные. Многие предметы имеют форму, похожую на уже знакомые нам
Кроме того, они начинают изучать и запоминать формы, которые имеют различные предметы. ЦИЛИНДР происходит от латинского слова цилиндрус, означающего валик, каток. Предметы, имеющие форму цилиндра. Шляпа, стаканесли перевернуть. Вопрос назовите предметы имеющие форму шара цилиндра конуса призмы. Аксонометрические проекции цилиндра, конуса и предметов, имеющих поверхности. Вопросы Что из себя представляют основания цилиндра? Что вы можете сказать о размерах этих кругов? Что из. Ребята, кому я сейчас брошу этот мяч, нужно привести свой пример предмета, имеющего форму шара. Цилиндр Шляпацилиндр, стакан.