Θα ξεκινήσουμε τη μελέτη μας για την τριγωνομετρία με ορθογώνιο τρίγωνο. Ας ορίσουμε τι είναι το ημίτονο και το συνημίτονο, καθώς και τι είναι η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη οξεία γωνία. Αυτά είναι τα βασικά της τριγωνομετρίας.
Να σας το υπενθυμίσουμε ορθή γωνίαείναι γωνία ίση με 90 μοίρες. Με άλλα λόγια, μισή στροφή γωνία.
Κοφτερή γωνία- λιγότερο από 90 μοίρες.
Αμβλεία γωνία- μεγαλύτερη από 90 μοίρες. Σε σχέση με μια τέτοια γωνία, το "αμβλύ" δεν είναι προσβολή, αλλά μαθηματικός όρος :-)
Ας σχεδιάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Μια ορθή γωνία συνήθως συμβολίζεται με . Λάβετε υπόψη ότι η πλευρά απέναντι από τη γωνία υποδεικνύεται με το ίδιο γράμμα, μόνο μικρό. Έτσι, η απέναντι πλευρά γωνία Α ορίζεται .
Η γωνία συμβολίζεται με το αντίστοιχο ελληνικό γράμμα.
Υποτείνουσαενός ορθογωνίου τριγώνου είναι η πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία.
Πόδια- πλευρές που βρίσκονται απέναντι από οξείες γωνίες.
Το πόδι που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία ονομάζεται απεναντι απο(σε σχέση με τη γωνία). Το άλλο σκέλος, που βρίσκεται σε μία από τις πλευρές της γωνίας, ονομάζεται γειτονικός.
ΚόλποςΗ οξεία γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα:
Συνημίτονοοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - η αναλογία του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα:
Εφαπτομένη γραμμήοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη γειτονική:
Ένας άλλος (ισοδύναμος) ορισμός: η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι ο λόγος του ημιτόνου της γωνίας προς το συνημίτονό της:
Συνεφαπτομένηοξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο - η αναλογία της γειτονικής πλευράς προς την αντίθετη (ή, που είναι η ίδια, η αναλογία συνημιτόνου προς ημίτονο):
Σημειώστε τις βασικές σχέσεις για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη παρακάτω. Θα μας είναι χρήσιμοι όταν λύνουμε προβλήματα.
Ας αποδείξουμε μερικά από αυτά.
Εντάξει, δώσαμε ορισμούς και γράψαμε τύπους. Αλλά γιατί χρειαζόμαστε ακόμα ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη;
Ξέρουμε ότι το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι ίσο με.
Γνωρίζουμε τη σχέση μεταξύ κόμματαορθογώνιο τρίγωνο. Αυτό είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα: .
Αποδεικνύεται ότι γνωρίζοντας δύο γωνίες σε ένα τρίγωνο, μπορείτε να βρείτε την τρίτη. Γνωρίζοντας τις δύο πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου, μπορείτε να βρείτε την τρίτη. Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες έχουν τη δική τους αναλογία και οι πλευρές τη δική τους. Αλλά τι πρέπει να κάνετε εάν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο γνωρίζετε μια γωνία (εκτός από τη σωστή γωνία) και μια πλευρά, αλλά πρέπει να βρείτε τις άλλες πλευρές;
Αυτό αντιμετώπισαν οι άνθρωποι στο παρελθόν όταν έφτιαχναν χάρτες της περιοχής και του έναστρου ουρανού. Εξάλλου, δεν είναι πάντα δυνατό να μετρηθούν απευθείας όλες οι πλευρές ενός τριγώνου.
Ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη - ονομάζονται επίσης συναρτήσεις τριγωνομετρικής γωνίας- δίνουν σχέσεις μεταξύ κόμματαΚαι γωνίεςτρίγωνο. Γνωρίζοντας τη γωνία, μπορείτε να βρείτε όλες τις τριγωνομετρικές της συναρτήσεις χρησιμοποιώντας ειδικούς πίνακες. Και γνωρίζοντας τα ημίτονο, τα συνημίτονα και τις εφαπτομένες των γωνιών ενός τριγώνου και μιας από τις πλευρές του, μπορείτε να βρείτε τα υπόλοιπα.
Θα σχεδιάσουμε επίσης έναν πίνακα με τις τιμές του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης για «καλές» γωνίες από έως.
Σημειώστε τις δύο κόκκινες παύλες στον πίνακα. Σε κατάλληλες τιμές γωνίας, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη δεν υπάρχουν.
Ας δούμε πολλά προβλήματα τριγωνομετρίας από την Τράπεζα Εργασιών FIPI.
1. Σε ένα τρίγωνο, η γωνία είναι , . Εύρημα .
Το πρόβλημα λύνεται σε τέσσερα δευτερόλεπτα.
Επειδή η , .
2. Σε ένα τρίγωνο, η γωνία είναι , , . Εύρημα .
Ας το βρούμε χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Το πρόβλημα λύθηκε.
Συχνά στα προβλήματα υπάρχουν τρίγωνα με γωνίες και ή με γωνίες και. Θυμηθείτε τις βασικές αναλογίες για αυτούς από καρδιάς!
Για ένα τρίγωνο με γωνίες και το σκέλος απέναντι από τη γωνία στο είναι ίσο με το ήμισυ της υποτείνουσας.
Ένα τρίγωνο με γωνίες και είναι ισοσκελές. Σε αυτό, η υποτείνουσα είναι φορές μεγαλύτερη από το πόδι.
Εξετάσαμε προβλήματα που λύνουν ορθογώνια τρίγωνα - δηλαδή βρίσκοντας άγνωστες πλευρές ή γωνίες. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό! ΣΕ Επιλογές Ενιαίας Κρατικής Εξέτασηςστα μαθηματικά υπάρχουν πολλά προβλήματα όπου εμφανίζεται το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη ή η συνεφαπτομένη της εξωτερικής γωνίας ενός τριγώνου. Περισσότερα για αυτό στο επόμενο άρθρο.
Συνεχίζουμε την κουβέντα μας για τους πιο χρησιμοποιούμενους τύπους στην τριγωνομετρία. Οι πιο σημαντικοί από αυτούς είναι οι τύποι προσθήκης.
Ορισμός 1
Οι τύποι πρόσθεσης σάς επιτρέπουν να εκφράσετε συναρτήσεις της διαφοράς ή του αθροίσματος δύο γωνιών χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις αυτών των γωνιών.
Αρχικά, θα δώσουμε πλήρης λίστατύπους προσθήκης, στη συνέχεια θα τους αποδείξουμε και θα αναλύσουμε αρκετά επεξηγηματικά παραδείγματα.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Βασικοί τύποι πρόσθεσης στην τριγωνομετρία
Υπάρχουν οκτώ βασικοί τύποι: ημίτονο του αθροίσματος και ημίτονο της διαφοράς δύο γωνιών, συνημίτονο του αθροίσματος και της διαφοράς, εφαπτομένες και συνεφαπτομένες του αθροίσματος και της διαφοράς, αντίστοιχα. Παρακάτω είναι οι τυπικές συνθέσεις και οι υπολογισμοί τους.
1. Το ημίτονο του αθροίσματος δύο γωνιών μπορεί να ληφθεί ως εξής:
Υπολογίζουμε το γινόμενο του ημιτόνου της πρώτης γωνίας και του συνημιτόνου της δεύτερης.
Πολλαπλασιάστε το συνημίτονο της πρώτης γωνίας με το ημίτονο της πρώτης.
Προσθέστε τις προκύπτουσες τιμές.
Η γραφική γραφή του τύπου μοιάζει με αυτό: αμαρτία (α + β) = αμαρτία α · συν β + συν α · αμαρτία β
2. Το ημίτονο της διαφοράς υπολογίζεται σχεδόν με τον ίδιο τρόπο, μόνο που τα προκύπτοντα γινόμενα δεν χρειάζεται να προστεθούν, αλλά να αφαιρεθούν το ένα από το άλλο. Έτσι, υπολογίζουμε τα γινόμενα του ημιτόνου της πρώτης γωνίας με το συνημίτονο της δεύτερης και του συνημιτόνου της πρώτης γωνίας με το ημίτονο της δεύτερης και βρίσκουμε τη διαφορά τους. Ο τύπος γράφεται ως εξής: αμαρτία (α - β) = αμαρτία α · συν β + αμαρτία α · αμαρτία β
3. Συνημίτονο του αθροίσματος. Για αυτήν, βρίσκουμε τα γινόμενα του συνημιτόνου της πρώτης γωνίας με το συνημίτονο της δεύτερης και του ημιτόνου της πρώτης γωνίας με το ημίτονο της δεύτερης, αντίστοιχα, και βρίσκουμε τη διαφορά τους: cos (α + β) = συν α. · συν β - αμαρτία α · αμαρτία β
4. Συνημίτονο της διαφοράς: υπολογίστε τα γινόμενα των ημιτόνων και των συνημιτόνων αυτών των γωνιών, όπως πριν, και προσθέστε τα. Τύπος: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Εφαπτομένη του αθροίσματος. Αυτός ο τύπος εκφράζεται ως κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι το άθροισμα των εφαπτομένων των απαιτούμενων γωνιών και ο παρονομαστής είναι μια μονάδα από την οποία αφαιρείται το γινόμενο των εφαπτομένων των επιθυμητών γωνιών. Όλα είναι ξεκάθαρα από τη γραφική του σημειογραφία: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Εφαπτομένη της διαφοράς. Υπολογίζουμε τις τιμές της διαφοράς και του γινομένου των εφαπτομένων αυτών των γωνιών και προχωράμε σε αυτές με παρόμοιο τρόπο. Στον παρονομαστή προσθέτουμε σε ένα, και όχι αντίστροφα: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Συνεφαπτομένη του αθροίσματος. Για να υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, θα χρειαστούμε το γινόμενο και το άθροισμα των συνεφαπτομένων αυτών των γωνιών, το οποίο προχωράμε ως εξής: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Συνεφαπτομένη της διαφοράς . Ο τύπος είναι παρόμοιος με τον προηγούμενο, αλλά ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι μείον, όχι συν c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Πιθανότατα έχετε παρατηρήσει ότι αυτοί οι τύποι είναι παρόμοιοι σε ζεύγη. Χρησιμοποιώντας τα σημάδια ± (συν-πλην) και ∓ (μείον-συν), μπορούμε να τα ομαδοποιήσουμε για ευκολία στην εγγραφή:
αμαρτία (α ± β) = αμαρτία α · συν β ± συν α · αμαρτία β συν (α ± β) = συν α · συν β ∓ αμαρτία α · αμαρτία β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Αντίστοιχα, έχουμε έναν τύπο εγγραφής για το άθροισμα και τη διαφορά κάθε τιμής, απλώς σε μια περίπτωση δίνουμε προσοχή στο πάνω πρόσημο, στην άλλη - στο κάτω.
Ορισμός 2
Μπορούμε να πάρουμε οποιεσδήποτε γωνίες α και β, και οι τύποι πρόσθεσης για συνημίτονο και ημίτονο θα λειτουργήσουν γι' αυτές. Εάν μπορούμε να προσδιορίσουμε σωστά τις τιμές των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων αυτών των γωνιών, τότε οι τύποι πρόσθεσης για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη θα ισχύουν και για αυτές.
Όπως οι περισσότερες έννοιες στην άλγεβρα, οι τύποι πρόσθεσης μπορούν να αποδειχθούν. Ο πρώτος τύπος που θα αποδείξουμε είναι ο τύπος συνημιτόνου διαφοράς. Τα υπόλοιπα στοιχεία μπορούν στη συνέχεια να συναχθούν εύκολα από αυτό.
Ας διευκρινίσουμε τις βασικές έννοιες. Θα χρειαστούμε έναν κύκλο μονάδας. Θα φανεί αν πάρουμε ένα ορισμένο σημείο Α και περιστρέψουμε τις γωνίες α και β γύρω από το κέντρο (σημείο Ο). Τότε η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων O A 1 → και O A → 2 θα είναι ίση με (α - β) + 2 π · z ή 2 π - (α - β) + 2 π · z (z είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός). Τα διανύσματα που προκύπτουν σχηματίζουν μια γωνία που είναι ίση με α - β ή 2 π - (α - β), ή μπορεί να διαφέρει από αυτές τις τιμές κατά έναν ακέραιο αριθμό πλήρων περιστροφών. Ρίξτε μια ματιά στην εικόνα:
Χρησιμοποιήσαμε τους τύπους μείωσης και πήραμε τα ακόλουθα αποτελέσματα:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Αποτέλεσμα: το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων O A 1 → και O A 2 → είναι ίσο με το συνημίτονο της γωνίας α - β, επομένως, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Ας θυμηθούμε τους ορισμούς του ημιτόνου και του συνημιτόνου: το ημίτονο είναι συνάρτηση της γωνίας, ίσο με τον λόγο του σκέλους της αντίθετης γωνίας προς την υποτείνουσα, το συνημίτονο είναι το ημίτονο της συμπληρωματικής γωνίας. Ως εκ τούτου, τα σημεία Α'1Και Α2έχουν συντεταγμένες (cos α, sin α) και (cos β, sin β).
Παίρνουμε τα εξής:
O A 1 → = (cos α, sin α) και O A 2 → = (cos β, sin β)
Αν δεν είναι ξεκάθαρο, κοιτάξτε τις συντεταγμένες των σημείων που βρίσκονται στην αρχή και στο τέλος των διανυσμάτων.
Τα μήκη των διανυσμάτων είναι ίσα με 1, γιατί Έχουμε έναν κύκλο μονάδας.
Ας αναλύσουμε τώρα το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων O A 1 → και O A 2 → . Στις συντεταγμένες μοιάζει με αυτό:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + αμαρτία α · αμαρτία β
Από αυτό μπορούμε να αντλήσουμε την ισότητα:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Έτσι, αποδεικνύεται ο τύπος συνημιτόνου διαφοράς.
Τώρα θα αποδείξουμε τον ακόλουθο τύπο - το συνημίτονο του αθροίσματος. Αυτό είναι πιο εύκολο γιατί μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους προηγούμενους υπολογισμούς. Ας πάρουμε την παράσταση α + β = α - (- β) . Εχουμε:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + αμαρτία α αμαρτία β
Αυτή είναι η απόδειξη του τύπου αθροίσματος συνημιτόνου. Η τελευταία γραμμή χρησιμοποιεί την ιδιότητα του ημιτόνου και του συνημιτόνου αντίθετων γωνιών.
Ο τύπος για το ημίτονο ενός αθροίσματος μπορεί να προέλθει από τον τύπο για το συνημίτονο μιας διαφοράς. Ας πάρουμε τον τύπο μείωσης για αυτό:
του τύπου sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Έτσι
αμαρτία (α + β) = συν (π 2 (α + β)) = συν ((π 2 - α) - β) = = συν (π 2 - α) συν β + αμαρτία (π 2 - α) αμαρτία β = = αμαρτία α cos β + cos α αμαρτία β
Και εδώ είναι η απόδειξη της ημιτονοειδούς φόρμουλας:
αμαρτία (α - β) = αμαρτία (α + (- β)) = αμαρτία α cos (- β) + cos α αμαρτία (- β) = = αμαρτία α cos β - cos α αμαρτία β.
Σημειώστε τη χρήση των ιδιοτήτων ημιτόνου και συνημιτονοειδούς αντίθετων γωνιών στον τελευταίο υπολογισμό.
Στη συνέχεια χρειαζόμαστε αποδείξεις των τύπων πρόσθεσης για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Ας θυμηθούμε τους βασικούς ορισμούς (η εφαπτομένη είναι η αναλογία ημιτόνου προς συνημίτονο και η συνεφαπτομένη είναι αντίστροφα) και ας πάρουμε τους τύπους που έχουν ήδη προκύψει εκ των προτέρων. Τα καταφέραμε:
t g (α + β) = αμαρτία (α + β) cos (α + β) = αμαρτία α cos β + cos α sin β cos α cos β - αμαρτία α αμαρτία β
Έχουμε ένα σύνθετο κλάσμα. Στη συνέχεια, πρέπει να διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με το cos α · cos β, δεδομένου ότι cos α ≠ 0 και συν β ≠ 0, παίρνουμε:
αμαρτία α · cos β + cos α · αμαρτία β cos α · cos β cos α · cos β - αμαρτία α · αμαρτία β cos α · cos β = αμαρτία α · cos β cos α · cos β + cos α · αμαρτία β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
Τώρα μειώνουμε τα κλάσματα και παίρνουμε τον ακόλουθο τύπο: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Πήραμε t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Αυτή είναι η απόδειξη του τύπου πρόσθεσης εφαπτομένης.
Ο επόμενος τύπος που θα αποδείξουμε είναι η εφαπτομένη του τύπου διαφοράς. Όλα φαίνονται ξεκάθαρα στους υπολογισμούς:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Οι τύποι για την συνεφαπτομένη αποδεικνύονται με παρόμοιο τρόπο:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - αμαρτία α · αμαρτία β αμαρτία α · αμαρτία β αμαρτία α · cos β + cos α · αμαρτία β αμαρτία α · αμαρτία β = cos α · cos β αμαρτία α · αμαρτία β - 1 αμαρτία α · cos β αμαρτία α · αμαρτία β + cos α · αμαρτία β αμαρτία α · αμαρτία β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Περαιτέρω:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β
– σίγουρα θα υπάρξουν εργασίες για την τριγωνομετρία. Η τριγωνομετρία είναι συχνά αντιπαθής επειδή απαιτεί στριμώξεις μεγάλο ποσόδύσκολες φόρμουλες, γεμάτες ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένες και συνεφαπτομένες. Ο ιστότοπος έδωσε ήδη μια φορά συμβουλές για το πώς να θυμάστε μια ξεχασμένη φόρμουλα, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα των τύπων Euler και Peel.
Και σε αυτό το άρθρο θα προσπαθήσουμε να δείξουμε ότι αρκεί να γνωρίζουμε σταθερά μόνο πέντε απλούστερα τριγωνομετρικούς τύπους, και περίπου τα υπόλοιπα έχουν γενική ιδέακαι βγάλτε τα έξω καθώς πηγαίνετε. Είναι όπως με το DNA: το μόριο δεν αποθηκεύει τα πλήρη σχέδια ενός τελειωμένου ζωντανού όντος. Αντίθετα, περιέχει οδηγίες για τη συναρμολόγησή του από διαθέσιμα αμινοξέα. Έτσι στην τριγωνομετρία, γνωρίζοντας μερικά γενικές αρχές, θα πάρουμε όλες τις απαραίτητες φόρμουλες από ένα μικρό σύνολο από αυτές που πρέπει να έχετε υπόψη σας.
Θα βασιστούμε στους παρακάτω τύπους:
Από τους τύπους για αθροίσματα ημιτονοειδούς και συνημιτόνου, γνωρίζοντας την ισοτιμία της συνάρτησης συνημίτονου και την περιττότητα της συνάρτησης ημιτόνου, αντικαθιστώντας το -b αντί του b, λαμβάνουμε τύπους για διαφορές:
- Η ίδια η διαφορά: αμαρτία(α-β) = αμαρτίαέναcos(-σι)+cosένααμαρτία(-σι) = αμαρτίαέναcosσι-cosένααμαρτίασι
- Συνημίτονο της διαφοράς: cos(α-β) = cosέναcos(-σι)-αμαρτίαένααμαρτία(-σι) = cosέναcosσι+αμαρτίαένααμαρτίασι
Βάζοντας a = b στους ίδιους τύπους, λαμβάνουμε τους τύπους για ημίτονο και συνημίτονο διπλών γωνιών:
- Κόλπος διπλή γωνία : αμαρτία2α = αμαρτία(α+α) = αμαρτίαέναcosένα+cosένααμαρτίαένα = 2αμαρτίαέναcosένα
- Συνημίτονο διπλής γωνίας: cos2α = cos(α+α) = cosέναcosένα-αμαρτίαένααμαρτίαένα = cos2 α-αμαρτία2 α
Οι τύποι για άλλες πολλαπλές γωνίες λαμβάνονται με παρόμοιο τρόπο:
- Ημίτονο τριπλής γωνίας: αμαρτία3α = αμαρτία(2α+α) = αμαρτία2αcosένα+cos2ααμαρτίαένα = (2αμαρτίαέναcosένα)cosένα+(cos2 α-αμαρτία2 α)αμαρτίαένα = 2αμαρτίαέναcos2 α+αμαρτίαέναcos2 α-αμαρτία 3 α = 3 αμαρτίαέναcos2 α-αμαρτία 3 α = 3 αμαρτίαένα(1-αμαρτία2 α)-αμαρτία 3 α = 3 αμαρτίαένα-4αμαρτία 3α
- Συνημίτονο τριπλής γωνίας: cos3α = cos(2α+α) = cos2αcosένα-αμαρτία2ααμαρτίαένα = (cos2 α-αμαρτία2 α)cosένα-(2αμαρτίαέναcosένα)αμαρτίαένα = cos 3 α- αμαρτία2 αcosένα-2αμαρτία2 αcosένα = cos 3 α-3 αμαρτία2 αcosένα = cos 3 α-3(1- cos2 α)cosένα = 4cos 3 α-3 cosένα
Πριν προχωρήσουμε, ας δούμε ένα πρόβλημα.
Δίνεται: η γωνία είναι οξεία.
Βρείτε το συνημίτονο του αν
Λύση που δόθηκε από έναν μαθητή:
Επειδή , Οτι αμαρτίαένα= 3,α cosένα = 4.
(Από μαθηματικό χιούμορ)
Έτσι, ο ορισμός της εφαπτομένης συσχετίζει αυτή τη συνάρτηση τόσο με το ημίτονο όσο και με το συνημίτονο. Αλλά μπορείτε να πάρετε έναν τύπο που να συσχετίζει την εφαπτομένη μόνο με το συνημίτονο. Για να το εξαγάγουμε, παίρνουμε την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα: αμαρτία 2 ένα+cos 2 ένα= 1 και διαιρέστε το με cos 2 ένα. Παίρνουμε:
Η λύση λοιπόν σε αυτό το πρόβλημα θα ήταν:
(Δεδομένου ότι η γωνία είναι οξεία, κατά την εξαγωγή της ρίζας, λαμβάνεται το σύμβολο +)
Ο τύπος για την εφαπτομένη ενός αθροίσματος είναι ένας άλλος τύπος που είναι δύσκολο να θυμηθεί κανείς. Ας το βγάλουμε ως εξής:
Εμφανίζεται αμέσως και
Από τον τύπο συνημιτόνου για διπλή γωνία, μπορείτε να λάβετε τους τύπους ημιτόνου και συνημιτόνου για μισές γωνίες. Για να το κάνετε αυτό, στην αριστερή πλευρά του τύπου συνημιτόνου διπλής γωνίας:
cos2
ένα = cos 2
ένα-αμαρτία 2
ένα
προσθέτουμε ένα, και στα δεξιά - μια τριγωνομετρική μονάδα, δηλ. το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου.
cos2α+1 = cos2 α-αμαρτία2 α+cos2 α+αμαρτία2 α
2cos 2
ένα = cos2
ένα+1
εκφράζοντας cosέναδιά μέσου cos2
ένακαι πραγματοποιώντας μια αλλαγή μεταβλητών, παίρνουμε:
Το σήμα λαμβάνεται ανάλογα με το τεταρτημόριο.
Ομοίως, αφαιρώντας ένα από την αριστερή πλευρά της ισότητας και το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου από τη δεξιά, παίρνουμε:
cos2α-1 = cos2 α-αμαρτία2 α-cos2 α-αμαρτία2 α
2αμαρτία 2
ένα = 1-cos2
ένα
Και τέλος, για να μετατρέψουμε το άθροισμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε γινόμενο, χρησιμοποιούμε την παρακάτω τεχνική. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να αναπαραστήσουμε το άθροισμα των ημιτόνων ως γινόμενο αμαρτίαένα+αμαρτίασι. Ας εισάγουμε τις μεταβλητές x και y έτσι ώστε a = x+y, b+x-y. Επειτα
αμαρτίαένα+αμαρτίασι = αμαρτία(x+y)+ αμαρτία(χ-υ) = αμαρτίαΧ cos y+ cosΧ αμαρτία y+ αμαρτίαΧ cos y- cosΧ αμαρτία y=2 αμαρτίαΧ cos y. Ας εκφράσουμε τώρα τα x και y ως προς τα a και b.
Αφού a = x+y, b = x-y, τότε . Να γιατί
Μπορείτε να αποσύρετε αμέσως
- Φόρμουλα για διαχωρισμό προϊόντα ημιτονοειδούς και συνημιτόνου V ποσό: αμαρτίαέναcosσι = 0.5(αμαρτία(α+β)+αμαρτία(α-β))
Σας συνιστούμε να εξασκείτε και να εξάγετε τύπους μόνοι σας για τη μετατροπή της διαφοράς των ημιτόνων και του αθροίσματος και της διαφοράς των συνημιτόνων στο γινόμενο, καθώς και για τη διαίρεση των γινομένων των ημιτόνων και των συνημιτονίων στο άθροισμα. Έχοντας ολοκληρώσει αυτές τις ασκήσεις, θα κατακτήσετε πλήρως την ικανότητα εξαγωγής τριγωνομετρικών τύπων και δεν θα χαθείτε ακόμη και στο πιο δύσκολο τεστ, ολυμπιάδα ή τεστ.
Τριγωνομετρικές ταυτότητες- αυτές είναι ισότητες που καθορίζουν μια σχέση μεταξύ του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας, η οποία σας επιτρέπει να βρείτε οποιαδήποτε από αυτές τις συναρτήσεις, υπό την προϋπόθεση ότι οποιαδήποτε άλλη είναι γνωστή.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Αυτή η ταυτότητα λέει ότι το άθροισμα του τετραγώνου του ημιτόνου μιας γωνίας και του τετραγώνου του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι ίσο με ένα, γεγονός που στην πράξη καθιστά δυνατό τον υπολογισμό του ημιτόνου μιας γωνίας όταν είναι γνωστό το συνημίτονο της και αντίστροφα .
Κατά τη μετατροπή τριγωνομετρικές εκφράσειςΑυτή η ταυτότητα χρησιμοποιείται πολύ συχνά, η οποία επιτρέπει σε κάποιον να αντικαταστήσει το άθροισμα των τετραγώνων του συνημιτόνου και του ημιτόνου μιας γωνίας προς ένα και επίσης να εκτελέσει την εργασία αντικατάστασης με την αντίστροφη σειρά.
Εύρεση εφαπτομένης και συνεφαπτομένης με χρήση ημιτόνου και συνημίτονος
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Αυτές οι ταυτότητες σχηματίζονται από τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Άλλωστε, αν το δεις, τότε εξ ορισμού η τεταγμένη y είναι ημίτονο και η τετμημένη x είναι συνημίτονο. Τότε η εφαπτομένη θα είναι ίση με τον λόγο \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), και την αναλογία \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- θα είναι συνεφαπτομένη.
Ας προσθέσουμε ότι μόνο για τέτοιες γωνίες \άλφα στις οποίες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις που περιλαμβάνονται σε αυτές έχουν νόημα, οι ταυτότητες θα ισχύουν, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Για παράδειγμα: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)ισχύει για γωνίες \άλφα που διαφέρουν από \frac(\pi)(2)+\pi z, ΕΝΑ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- για γωνία \άλφα διαφορετική από \pi z, το z είναι ακέραιος.
Σχέση εφαπτομένης και συνεφαπτομένης
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Αυτή η ταυτότητα ισχύει μόνο για γωνίες \άλφα που διαφέρουν από \frac(\pi)(2) z. Διαφορετικά, δεν θα καθοριστεί είτε συνεφαπτομένη είτε εφαπτομένη.
Με βάση τα παραπάνω σημεία, παίρνουμε ότι tg \alpha = \frac(y)(x), ΕΝΑ ctg \alpha=\frac(x)(y). Από αυτό προκύπτει ότι tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Έτσι, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη της ίδιας γωνίας στην οποία έχουν νόημα είναι αμοιβαία αντίστροφοι αριθμοί.
Σχέσεις μεταξύ εφαπτομένης και συνημιτονοειδούς, συνεφαπτομένης και ημιτόνου
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- το άθροισμα του τετραγώνου της εφαπτομένης της γωνίας \άλφα και 1 είναι ίσο με το αντίστροφο τετράγωνο του συνημιτόνου αυτής της γωνίας. Αυτή η ταυτότητα είναι έγκυρη για όλα τα \alpha εκτός από \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- το άθροισμα του 1 και του τετραγώνου της συνεφαπτομένης της γωνίας \άλφα είναι ίσο με το αντίστροφο τετράγωνο του ημιτόνου της δεδομένης γωνίας. Αυτή η ταυτότητα ισχύει για οποιοδήποτε \alpha διαφορετικό από το \pi z.
Παραδείγματα με λύσεις προβλημάτων με χρήση τριγωνομετρικών ταυτοτήτων
Παράδειγμα 1
Βρείτε τα \sin \alpha και tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12Και \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Δείξε λύση
Λύση
Οι συναρτήσεις \sin \alpha και \cos \alpha σχετίζονται με τον τύπο \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Αντικατάσταση σε αυτόν τον τύπο \cos \alpha = -\frac12, παίρνουμε:
\sin^(2)\alpha + \αριστερά (-\frac12 \δεξιά)^2 = 1
Αυτή η εξίσωση έχει 2 λύσεις:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Κατά συνθήκη \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Στο δεύτερο τρίμηνο το ημίτονο είναι θετικό, άρα \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Για να βρούμε το tan \alpha, χρησιμοποιούμε τον τύπο tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Παράδειγμα 2
Βρείτε τα \cos \alpha και ctg \alpha αν και \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Δείξε λύση
Λύση
Αντικατάσταση στη φόρμουλα \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1δεδομένου αριθμού \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), παίρνουμε \αριστερά (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Αυτή η εξίσωση έχει δύο λύσεις \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Κατά συνθήκη \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Στο δεύτερο τρίμηνο το συνημίτονο είναι αρνητικό, άρα \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Για να βρούμε το ctg \alpha , χρησιμοποιούμε τον τύπο ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Γνωρίζουμε τις αντίστοιχες τιμές.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Στοιχεία αναφοράς για την εφαπτομένη (tg x) και την συνεφαπτομένη (ctg x). Γεωμετρικός ορισμός, ιδιότητες, γραφήματα, τύποι. Πίνακας εφαπτομένων και συνεφαπτομένων, παραγώγων, ολοκληρωμάτων, επεκτάσεων σειρών. Εκφράσεις μέσω μιγαδικών μεταβλητών. Σύνδεση με υπερβολικές συναρτήσεις.
Γεωμετρικός ορισμός
|BD| - μήκος τόξου κύκλου με κέντρο στο σημείο Α.
α είναι η γωνία που εκφράζεται σε ακτίνια.
Εφαπτομένη ( ταν α) - Αυτό τριγωνομετρική συνάρτηση, ανάλογα με τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με το λόγο του μήκους του απέναντι σκέλους |BC| στο μήκος του διπλανού ποδιού |AB| .
Συμεφαπτομένη ( ctg α) είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του διπλανού σκέλους |AB| στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .
Εφαπτομένη γραμμή
Οπου n- ολόκληρος.
Στη δυτική λογοτεχνία, η εφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
.
;
;
.
Γράφημα της εφαπτομένης συνάρτησης, y = tan x
Συνεφαπτομένη
Οπου n- ολόκληρος.
Στη δυτική βιβλιογραφία, η συνεφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
.
Γίνονται επίσης δεκτές οι ακόλουθες σημειώσεις:
;
;
.
Γράφημα της συνεπαπτομένης, y = ctg x
Ιδιότητες εφαπτομένης και συνεφαπτομένης
Περιοδικότης
Συναρτήσεις y = tg xκαι y = ctg xείναι περιοδικές με περίοδο π.
Ισοτιμία
Οι συναρτήσεις εφαπτομένης και συνεφαπτομένης είναι περιττές.
Περιοχές ορισμού και αξιών, αυξανόμενες, φθίνουσες
Οι συναρτήσεις εφαπτομένης και συνεφαπτομένης είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους (βλ. απόδειξη συνέχειας). Οι κύριες ιδιότητες της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης παρουσιάζονται στον πίνακα ( n- ολόκληρος).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Πεδίο εφαρμογής και συνέχεια | ||
| Εύρος τιμών | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Αυξάνεται | - | |
| Φθίνων | - | |
| Ακρα | - | - |
| Μηδενικά, y = 0 | ||
| Σημεία τομής με τον άξονα τεταγμένων, x = 0 | y= 0 | - |
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι
Εκφράσεις με χρήση ημιτονοειδούς και συνημίτονου
;
;
;
;
;
Τύποι για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη από άθροισμα και διαφορά
Οι υπόλοιποι τύποι είναι εύκολο να ληφθούν, για παράδειγμα
Προϊόν των εφαπτομένων
Τύπος για το άθροισμα και τη διαφορά των εφαπτομένων
Αυτός ο πίνακας παρουσιάζει τις τιμές των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων για ορισμένες τιμές του ορίσματος. 
Εκφράσεις με χρήση μιγαδικών αριθμών
Εκφράσεις μέσω υπερβολικών συναρτήσεων
;
;
Παράγωγα
; .
.
Παράγωγος της νης τάξης ως προς τη μεταβλητή x της συνάρτησης:
.
Εξαγωγή τύπων για την εφαπτομένη > > > ; για συνεφαπτομένη > > >
Ολοκληρώματα
Επεκτάσεις σειράς
Για να λάβετε την επέκταση της εφαπτομένης σε δυνάμεις του x, πρέπει να λάβετε αρκετούς όρους της επέκτασης σε μια σειρά ισχύος για τις συναρτήσεις αμαρτία xΚαι cos xκαι διαιρέστε αυτά τα πολυώνυμα μεταξύ τους, . Αυτό παράγει τους ακόλουθους τύπους.
Στο .
στο .
Οπου Bn- Αριθμοί Μπερνούλι. Καθορίζονται είτε από τη σχέση υποτροπής:
;
;
Οπου .
Ή σύμφωνα με τον τύπο του Laplace: 
Αντίστροφες συναρτήσεις
Αντίστροφες συναρτήσειςσε εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι τοξοεφαπτομένη και τοξοεφαπτομένη, αντίστοιχα.
Arctangent, arctg
, Οπου n- ολόκληρος.
Arccotangent, arcctg
, Οπου n- ολόκληρος.
Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο μαθηματικών για μηχανικούς και φοιτητές, "Lan", 2009.
G. Korn, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Επιστήμονες και Μηχανικούς, 2012.