Транскрипт

1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Системы тригонометрических уравнений В данной статье мы рассматриваем тригонометрические системы двух уравнений с двумя неизвестными. Методы решения таких систем и различные специальные приёмы мы будем изучать сразу на конкретных примерах. Может случиться, что одно из уравнений системы содержит тригонометрические функции от неизвестных x и y, а другое уравнение является линейным относительно x и y. В таком случае действуем очевидным образом: одну из неизвестных выражаем из линейного уравнения и подставляем в другое уравнение системы. Задача 1. Решить систему: x + y =, sin x + sin y = 1. Решение. Из первого уравнения выражаем y через x: и подставляем во второе уравнение: y = x, sin x + sin x) = 1 sin x = 1 sin x = 1. Получилось простейшее тригонометрическое уравнение относительно x. Его решения запишем в виде двух серий: x 1 = 6 + n, x = n n Z). Остаётся найти соответствующие значения y: y 1 = x 1 = 5 6 n, y = x = 6 n. Как всегда в случае системы уравнений, ответ даётся в виде перечисления пар x; y). 6 + n; 5) 5 6 n, 6 + n;) 6 n, n Z. Обратите внимание, что x и y связаны друг с другом посредством целочисленного параметра n. А именно, если в выражении для x стоит +n, то в выражении для y автоматически появляется n, причём с тем же самым n. Это следствие «жёсткой» зависимости между x и y, задаваемой уравнением x + y =. Задача. Решить систему: cos x + cos y = 1, x y =. Решение. Здесь имеет смысл сначала преобразовать первое уравнение системы: 1 + cos x cos y = 1 cos x + cos y = 1 cosx + y) cosx y) = 1. 1

2 Таким образом, наша система равносильна следующей системе: cosx + y) cosx y) = 1, x y =. Подставляем x y = в первое уравнение: cosx + y) cos = 1 cosx + y) = 1 x + y = n n Z). В результате приходим к системе: x + y = n, x y =. Складываем эти уравнения, делим на и находим x; вычитаем из первого уравнения второе, делим на и находим y: x = + n, y = + n n Z). + n; + n), n Z. В ряде случаев тригонометрическую систему удаётся свести к системе алгебраических уравнений подходящей заменой переменных. Задача. Решить систему: sin x + cos y = 1, sin x cos y = 1. Решение. Замена u = sin x, v = cos y приводит к алгебраической системе относительно u и v: u + v = 1, u v = 1. Эту систему вы без труда решите самостоятельно. Решение единственно: u = 1, v = 0. Обратная замена приводит к двум простейшим тригонометрическим уравнениям: sin x = 1, cos y = 0, откуда + k; + n), k, n Z. x = + k, y = + n k, n Z). Теперь в записи ответа фигурируют два целочисленных параметра k и n. Отличие от предыдущих задач состоит в том, что в данной системе отсутствует «жёсткая» связь между x и y например, в виде линейного уравнения), поэтому x и y в гораздо большей степени независимы друг от друга.

3 В данном случае было бы ошибкой использовать лишь один целочисленный параметр n, записав ответ в виде + n;) + n. Это привело бы к потере бесконечного множества 5 решений системы. Например, потерялось бы решение;), возникающее при k = 1 и n = 0. Задача 4. Решить систему: sin x + sin y = 1, cos x + cos y =. Решение. Преобразуем сначала второе уравнение: 1 sin x + 1 sin y) = sin x + 4 sin y = 1. Теперь делаем замену: u = sin x, v = sin y. Получим систему: u + v = 1, u + 4v = 1. Решениями этой системы служат две пары: u 1 = 0, v 1 = 1/ и u = /, v = 1/6. Остаётся сделать обратную замену: sin x = 0, sin x = sin y = 1 или, sin y = 1 6, и записать ответ. k; 1) n 6 + n), 1) k arcsin + k; 1)n arcsin 16 + n), k, n Z. Задача 5. Решить систему: cos x + cos y = 1, sin x sin y = 4. Решение. Здесь для получения алгебраической системы нужно поработать ещё больше. Первое уравнение нашей системы запишем в виде: Во втором уравнении имеем: cos x + y cos x y = 1. = sin x sin y = cosx y) cosx + y) = = cos x y 1 Таким образом, исходная система равносильна системе: cos x + y cos x y = 1, cos x y cos x + y = 4. cos x + y) 1 = cos x y cos x + y.

4 Делаем замену u = cos x y, v = cos x + y и получаем алгебраическую систему: uv = 1, u v = 4. Решениями этой системы служат две пары: u 1 = 1, v 1 = 1/ и u = 1, v = 1/. Первая пара даёт систему: x y = 1, = k, Отсюда cos x y cos x + y Вторая пара даёт систему: cos x y cos x + y = 1 x + y x = ± + n + k), y = 1, = 1 = ± + n k, n Z). = ± + n k). x y = + k, x + y = ± + n k, n Z). Отсюда x = ± + n + k), y = ± + n k). ±) + n + k); ± + n k), ± + n + k); ±) + n k), k, n Z. Однако свести систему тригонометрических уравнений к системе алгебраических уравнений удаётся далеко не всегда. В ряде случаев требуется применять различные специальные приёмы. Иногда удаётся упростить систему путём сложения или вычитания уравнений. Задача 6. Решить систему: sin x cos y = 4, cos x sin y = 1 4. Решение. Складывая и вычитая эти уравнения, получим равносильную систему: sinx + y) = 1, sinx y) = 1. А эта система, в свою очередь, равносильна совокупности двух систем: x + y = + k, x + y = x y = + k, или 6 + n x y = n k, n Z). 4

5 Отсюда x = + k + n), x = + k + n), y = или + k n) y = + k n) k + n);)) 6 + k n), + k + n); + k n), k, n Z. 6 Иногда можно прийти к решению, умножая уравнения друг на друга. Задача 7. Решить систему: tg x = sin y, ctg x = cos y. Решение. Напомним, что умножить уравнения системы друг на друга это значит записать уравнение вида «произведение левых частей равно произведению правых частей». Полученное уравнение будет следствием исходной системы то есть все решения исходной системы удовлетворяют и полученному уравнению). В данном случае умножение уравнений системы приводит к уравнению: 1 = sin y cos y = sin y, откуда y = /4 + n n Z). Подставлять y в таком виде в систему неудобно лучше разбить на две серии: y 1 = 4 + n, Подставляем y 1 в первое уравнение системы: y = 4 + n. tg x = sin y 1 = 1 x 1 = 4 + k k Z). Легко видеть, что подстановка y 1 во второе уравнение системы приведёт к тому же самому результату. Теперь подставляем y: tg x = sin y = 1 x = 4 + k k Z). 4 + k;) 4 + n, 4) + k; 4 + n, k, n Z. Иногда к результату приводит деление уравнений друг на друга. Задача 8. Решить систему: cos x + cos y = 1, sin x + sin y =. Решение. Преобразуем: cos x + y sin x + y cos x y cos x y = 1, =. 5

6 Введём временно обозначения: α = x + y, β = x y. Тогда полученная система перепишется в виде: cos α cos β = 1, sin α cos β =. Ясно, что cos β 0. Тогда, поделив второе уравнение на первое, придём к уравнению tg α =, которое является следствием системы. Имеем: α = + n n Z), и снова в целях дальнейшей подстановки в систему) нам удобно разбить полученное множество на две серии: α 1 = + n, α = 4 + n. Подстановка α 1 в любое из уравнений системы приводит к уравнению: cos β = 1 β 1 = k k Z). Аналогично, подстановка α в любое из уравнений системы даёт уравнение: cos β = 1 β = + k k Z). Итак, имеем: то есть откуда α 1 = + n, β 1 = k или α = 4 + n, β = + k, x + y = + n, x + y = 4 x y или + n, = k x y = + k, x = + n + k), x = 7 + n + k), y = или + n k) y = + n k). + n + k);) 7 + n k), + n + k);) + n k), k, n Z. В некоторых случаях на помощь приходит основное тригонометрическое тождество. Задача 9. Решить систему: sin x = 1 sin y, cos x = cos y. Решение. Возведём обе части каждого уравнения в квадрат: sin x = 1 sin y), cos x = cos y. 6

7 Сложим полученные уравнения: = 1 sin y) + cos y = 1 sin y + sin y + cos y = sin y, откуда sin y = 0 и y = n n Z). Это следствие исходной системы; то есть, для всякой пары x; y), являющейся решением системы, второе число этой пары будет иметь вид n с некоторым целым n. Разбиваем y на две серии: y 1 = n, y = + n. Подставляем y 1 в исходную систему: sin x = 1 sin y1 = 1, cos x = cos y1 = 1 Решением данной системы служит серия sin x = 1, cos x = 1. x 1 = 4 + k k Z). Обратите внимание, что теперь недостаточно было бы подставить y 1 в какое-то одно из уравнений системы. Подстановка y 1 в первое и второе уравнение системы приводит к системе двух разных уравнений относительно x.) Аналогично, подставляем y в исходную систему: Отсюда sin x = 1 sin y = 1, cos x = cos y = 1 x = 4 + k k Z).)) 4 + k; n, + k; + n, k, n Z. 4 sin x = 1, cos x = 1. Иногда в ходе преобразований удаётся получить простое соотношение между неизвестными и выразить из этого соотношения одно неизвестное через другое. Задача 10. Решить систему: 5 cos x cos y =, sin x siny x) + cos y = 1. Решение. Во втором уравнении системы преобразуем удвоенное произведение синусов в разность косинусов: cosx y) cos y + cos y = 1 cosx y) = 1 x y = n n Z). Выражаем отсюда y через x: y = x + n, 7

8 и подставляем в первое уравнение системы: 5 cos x cos x = 5 cos x cos x 1) = cos x 5 cos x + = 0. Дальнейшее тривиально. Получаем: cos x = 1, откуда x = ± Остаётся найти y из полученного выше соотношения: + k k Z). y = ± + 4k + n. ± + k; ± + 4k + n), k, n Z. Разумеется, рассмотренные задачи не охватывают всего многоообразия систем тригонометрических уравнений. В любой сколько-нибудь непростой ситуации требуется проявлять изобретательность, которая вырабатывается только практикой решения разнообразных задач. Во всех ответах предполагается, что k, n Z. Задачи 1. Решите систему: x + y =, cos x cos y = 1. б) x + y =, sin x sin y = 1. + n; n), + n; 4 n) ; б) n; n). Решите систему: x + y = 4, tg x tg y = 1 б) 6. x y = 5, sin x = sin y. arctg 1 + n; arctg 1 n), arctg 1 + n; arctg 1 n) ; б) + n; 6 + n). Решите систему: sin x + sin y = 1, x y = 4 б). x + y =, sin x sin y = n; 6 + n) ; б) 6 + n; 6 n) 8

9 4. Решите систему: sin x + cos y = 0, sin x + cos y = 1. б) sin x + cos y = 1, sin x cos y =. 1) k 6 + k; ± + n), 1) k k; ± + n) ; б) 1) k 4 + k; + n) 5. Решите систему: cos x + cos y = 1, tg x + tg y =, sin x sin y = б) 4. ctg x + ctg y = 9 5. ± + k; n) ; б) arctg 5 + k; arctg 1 + n), arctg 1 + k; arctg 5 + n) 6. Решите систему: sin x + cos y = 1, cos x cos y = 1. б) sin x + cos x = + sin y + cos y, sin x + sin y = 0. 1) k 6 + k; ± + n) ; б) 4 ± 4 + k; 5 4 ± 4 + n) 7. Решите систему: sin x + sin y =, cos x cos y = 1. 1) k 4 + k + n); 1)k 4 + k n)), 1) k k + n + 1); 1)k k n 1)) 8. Решите систему: sin x sin y = 1 4, tg x tg y =, cos x cos y = б) 4. sin x sin y = 4. ± 6 + k + n); ± 6 + k n)) ; б) ± + k + n); ± + k n)) 9. Решите систему: 4 sin x cos y = 1, tg x = tg y. б) sin x = cos x cos y, cos x = sin x sin y)k n k) ; 1) k 1 + n + k)) ; б)) 4 + k ; 4 + k + n 9

10 10. Решите систему: cos x = tg cos y = tg y +), 4 x +). 4 k; n), 4 + k; 4 + n), + k; + n) 11. Решите систему:) tg 4 + x = cos y,) tg 4 x = sin y. k; 4 + n), + k; 4 + n) 1. Решите систему: sin x + sin y = 1, cos x cos y =. 6 + n + k); n k)), 6 + n + k); n k)) 1. Решите систему: tg x + tg y =, cos x cos y = n + k); 4 + n k)) 14. Решите систему: sin x = sin y, cos x = cos y. 6 + k; 4 + n), 6 + k; 4 + n), k; 4 + n), k; 4 + n) 15. Решите систему: 6 cos x + 4 cos y = 5, sin x + sin y = 0. arccos 4 + k; arccos n), arccos 4 + k; arccos n) 16. Решите систему: 4 tg x = tg y, sin x cosx y) = sin y. б) ctg x + sin y = sin x, sin x sinx + y) = cos y. k; n); б)) 4 + k ; n, + k; + n) 10

11 17. «Физтех», 010) Решить систему уравнений 5 sin x cos y =, sin y + cos x =. 4 + k, 6 + n) ; k, n Z 18. МГУ, экз. для иностр. гр-н, 01) Решите систему уравнений: 4 + cos x = 7 sin y, y x = y 4. + n; 6 + n), + n; n), + n; 6 n), + n; 5 6 n), n Z 19. МГУ, ВМК, 005) Найдите все решения системы уравнений sin x + y) = 1, xy = 9. xn, 4 + n) xn, где xn = 8 + n ± n) 6, n Z, n, 1, 0, 1 0. МГУ, географич. ф-т, 005) Решите систему уравнений 1 sin x sin y =, 6 sin x + cos y =. 1) n n, k), k, n Z 1. МГУ, ф-т гос. управления, 005) Решите систему уравнений sin x sin 1 = 0, cos x cos 1 = n, n Z. МФТИ, 199) Решите систему уравнений 10 cos x = 7 cos x cos y, sin x = cos x sin y. arccos + n, 1)k arcsin 5); 6 + k arccos + n, 1)k+1 arcsin 5), 6 + k k, n Z 11

12 . МФТИ, 199) Решите систему уравнений tg x 4 ctg x = tg y, 4 sin x = sin x cos y. arctg 4 + n, arccos 4 + k) ; + arctg 4 + n, + arccos 4 + k), k, n Z 4. МФТИ, 1996) Решите систему уравнений sin x = sin y, cos y + cos x sin x = 4. ± 6 + n, 1)k k) ; k, n Z 5. МФТИ, 1996) Решите систему уравнений sin x +) = sin y cos y, 4 sin y + sin x = 4 + sin x. 1) n 1 + n, 4 + 1)k 4 + k) ; k, n Z 6. МФТИ, 1997) Решите систему уравнений 9 cos x cos y 5 sin x sin y = 6, 7 cos x cos y sin x sin y = 4. ± n + k, ± 6 + n + k) ; k, n Z 1

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Минимаксные задачи в тригонометрии В настоящем листке рассматриваются уравнения, для решения которых используются оценки правой и левой частей. Чтобы стало

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения с модулем Этот листок посвящён тригонометрическим уравнениям, в которых тригонометрические функции от неизвестной величины содержатся

Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений различных типов Разработчик: И. А. Кочеткова, Ж. И. Тимошко Цель работы: 1) Повторить тригонометрические формулы двойного аргумента, формулы сложения,

И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Тригонометрические неравенства Предполагается, что читатель умеет решать простейшие тригонометрические неравенства Мы же переходим к более сложным задачам Задача

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические преобразования и вычисления Задачи, связанные с тригонометрическими преобразованиями и вычислениями, как правило, не сложны и потому нечасто

Содержание И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Иррациональные уравнения и системы 1 Учёт ОДЗ 1 Равносильные преобразования 3 Замена переменной 6 4 Умножение на сопряжённое 7 5 Системы уравнений

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Простейшие тригонометрические уравнения Мы приступаем к изучению тригонометрических уравнений центральной темы всего тригонометрического раздела. Пусть a

Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественнонаучная школа при КрасГУ Математика: Модуль для 0 класса Учебно-методическая часть/ Сост:

Инвариантность и задачи с параметрами Г.И. Фалин, А.И. Фалин МГУ им.м.в.ломоносова http://mech.math.msu.su/ falin 1 Введение В современной математике важную роль играет понятие инвариантности, т.е. неизменности

И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Исследование тригонометрических функций Напомним, что функция fx) называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из области определения

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1, a n-1, a n заданные числа, a 0,

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Симметрия в задачах с параметрами 1. (МГУ, ф-т почвоведения, 001) При каких значениях b уравнение имеет ровно один корень? tg b = log

Министерство науки и образования Российской Федерации Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Т. М. Королёва, Е. Г. Маркарян, Ю. М. Нейман ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В

Урок алгебры в 10 классе Тема урока: Способы решения тригонометрических уравнений Цель урока: Обобщение и систематизация знаний учащихся по теме. Задачи урока: 1) Образовательные - Расширить и углубить

Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов Тригонометрические формулы k m [ (m k (m k ], (k m [ (m k (m k ], (k m [ (m k (m k

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Министерство образования Республики Беларусь Молодечненский государственный политехнический техникум Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений, приводимых к простейшим. Разработчик: И.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики и кибернетики Кафедра теории вероятностей и математической статистики ПРЕДЕЛЫ Методическое

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

4. Тригонометрия Теперь все готово для того, чтобы дать строгие определения тригонометрических функций. На первый взгляд они, видимо, покажутся довольно странными; тем не менее мы покажем, что определенные

Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

НЕ ДЕМИДОВА ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ Учебное пособие для иностранных граждан Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального

Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Решение тригонометрических уравнений Решение тригонометрических уравнений Цели: Познакомиться с видами тригонометрических уравнений Познакомиться со способами решения уравнений. Выработать навыки применения

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Симметрия в задачах с параметрами Симметрия одно из ключевых понятий математики и физики. Вы знакомы с геометрической симметрией фигур и вообще различных

Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

8.3 класс, Математика (учебник Макарычев) 2016-2017 уч.год Тема модуля 5 «Квадратный корень. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать

Кафедра высшей математики ВГТУ-ВГАСУ, Доц. Седаев А.А. 06 г П Р О И З В О Д Н А Я?.. с нуля?.. Д Л Я Ч А Й Н И К О В?... Э Т О н е П Р О С Т О Дорогой читатель. Если встретившись с необходимостью найти

Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Тема: Преобразование тригонометрических выражений Учет ОДЗ в тригонометрических уравнениях Подготовка к ЕГЭ (задание 9; ; 8) Определение: Областью определения уравнения f g или областью допустимых значений

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА понятия, которые можно описать, но нельзя строго определить, так как любая попытка дать строгое определение неизбежно сведётся к замене определяемого понятия ему

Метод разделения переменных (метод Фурье) Общие принципы метода разделения переменных Для простейшего уравнения с частными производными разделение переменных это поиски решений вида только от t. u (x,t

64 7 класс Алгебра (5 ч в неделю, 175 ч) Алгебраический компонент (3 ч в неделю) 105 ч и геометрический компонент (2 ч в неделю) 70 ч Используемые учебные пособия: 1. Арефьева, И. Г. Алгебра: учеб. пособие

Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Практическое занятие Тема: Функция Область определения и множество значений функции Цель: Формирование навыков нахождения области определения функций, и вычисления частных значений функций На выполнение

РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ВАРИАНТА 0 Напомним, что на проверку сдаются решения заданий только из части Решения заданий частей и выполняются на черновиках и на оценку никак не влияют При выполнении заданий части

57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Физтех 0, 0 класс, решения билета cos x cosx Решите уравнение = cos x sin x Ответ x = k 6 +, x = + k 6, x = + k, k Ζ Решение Возможны два случая cos x cos x sin x sin x а) cos x 0 Тогда = = tg x = x =

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ Успех решения тригонометрических уравнений и неравенств, доказательства тригонометрических тождеств и решения вычислительных задач в значительной мере определяются знанием основных

Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Вопрос Какие числа называют натуральными? Ответ Натуральными называют числа, которые используют при счете Что такое классы и разряды в записи чисел? Как называют числа при сложении? Сформулируйте сочетательный

А А КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ПСКОВ ББК 57 К45 Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского совета ПГПИ им СМ Кирова Рецензент: Медведева ИН, кандидат физ мат наук, доцент

Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: (n) F, = 0 () Уравнение -го порядка (n =) примет вид F(,) = 0 Подобные уравнения

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Хабаровск 01 г. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный

Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

МАТЕМАТИКА, класс Ответы и критерии, Апрель Вариант/ задания ОТВЕТЫ В В В В4 В В В7 С 4 7 4 arccos 7 44,7 9 8 + n, n, 4 8 7 4,4,8 4 4, 4, 9,4 (;) (log ;) + n, 8 49 8,7 (4;) (; +), 8 9, 4 8 + 7

Условия задач 1 Муниципальный этап 8 класс 1. На доске написаны два числа. Одно из них увеличили в 6 раз, а другое уменьшили на 2015, при этом сумма чисел не изменилась. Найдите хотя бы одну пару таких

Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F() называется первообразной для данной функции f(), если F() f(), или, что то же самое, df f d Данная функция f() может иметь различные первообразные,

Московский физико-технический институт Иррациональные уравнения и неравенства Методическое пособие по подготовке к олимпиадам Составитель: Паркевич Егор Вадимович Москва 04 Введение В этой работе мы рассмотрим

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна 7 78-57 Показательным называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени. Рассмотрим несколько типов показательных уравнений,

МАВ(С)ОУ «ЦО 1» Математика 1 класс Тригонометрия ЗАЧЁТ 1, Таблицы, контрольные работы, зачёты Учитель Немова Н.М. Первая квалификация 15 уч г Пояснительная записка. Данный дидактический материал предназначен

Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Статья написана в соавторстве с А. Г. Малковой Простейшие тригонометрические уравнения. Предыдущая статья была посвящена главной идее решения простейших тригонометрических

Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d(u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные уравнения Задание для 8-х

Задачи в одно действие с целыми числами (формальные) стр. 1 06.09.2012 1) Решить неравенство: x 7 17. 2) Умножить 612 на 100000. 3) Чему равна разность чисел 661 и 752? 4) Сравнить выражения: 54 6 и 7.

ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Уроки 54-55. Системы тригонометрических уравнений (факультативное занятие)

09.07.2015 9099 895

Цель: рассмотреть наиболее типичные системы тригонометрических уравнений и способы их решения.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

Решите неравенство:

Вариант 2

Решите неравенство:

III. Изучение нового материала

На экзаменах системы тригонометрических уравнений встречаются гораздо реже тригонометрических уравнений и неравенств. Четкой классификации систем тригонометрических уравнений не существует. Поэтому условно разобьем их на группы и рассмотрим способы решения этих задач.

1. Простейшие системы уравнений

К ним отнесем системы, в которых или одно из уравнений является линейным, или уравнения системы могут быть решены независимо друг от друга.

Пример 1

Решим систему уравнений

Так как первое уравнение является линейным, то выразим из него переменную и подставим во второе уравнение: Используем формулу приведения и основное тригонометрическое тождество. Получим уравнение или Введем новую переменную t = sin у. Имеем квадратное уравнение 3 t 2 - 7 t + 2 = 0, корни которого t 1 = 1/3 и t 2 = 2 (не подходит, так как sin у ≤ 1). Вернемся к старой неизвестной и получим уравнение sin y = 1/3, решение которого Теперь легко найти неизвестную: Итак, система уравнений имеет решения где n ∈ Z .

Пример 2

Решим систему уравнений

Уравнения системы независимы. Поэтому можно записать решения каждого уравнения. Получим: Почленно сложим и вычтем уравнения этой системы линейных уравнений и найдем: откуда

Обратим внимание на то, что в силу независимости уравнений при нахождении х - у и х + у должны быть указаны разные целые числа n и k . Если бы вместо k было также поставлено n , то решения имели бы вид: При этом было бы потеряно бесконечное множество решений и, кроме того, возникла бы связь между переменными x и у: х = 3у (чего нет на самом деле). Например, легко проверить, что данная система имеет решение х = 5π и у = п (в соответствии с полученными формулами), которое при k = n найти невозможно. Поэтому будьте внимательнее.

2. Системы вида

Такие системы приводятся к простейшим при сложении и вычитании уравнений. При этом получим системы или Отметим очевидное ограничение: и Само же решение подобных систем сложностей не представляет.

Пример 3

Решим систему уравнений

Преобразуем сначала второе уравнение системы, используя равенство Получим: Подставим в числитель этой дроби первое уравнение: и выразим Теперь имеем систему уравнений Сложим и вычтем эти уравнения. Имеем: или Запишем решения этой простейшей системы: Складывая и вычитая эти линейные уравнения, находим:

3. Системы вида

Такие системы можно рассматривать как простейшие и решать их соответствующим образом. Однако есть и другой способ решения: преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение и использовать оставшееся уравнение.

Пример 4

Решим систему уравнений

Сначала преобразуем первое уравнение, используя формулу для суммы синусов углов. Получим: Используя второе уравнение, имеем: откуда Выпишем решения этого уравнения: С учетом второго уравнения данной системы получаем систему линейных уравнений Из этой системы находим Такие решения удобно записать в более рациональном виде. Для верхних знаков имеем: для нижних знаков -

4. Системы вида

Прежде всего необходимо получить уравнение, содержащее только одну неизвестную. Для этого, например, выразим из одного уравнения sin у, из другого - cos у. Возведем в квадрат эти соотношения и сложим. Тогда получается тригонометрическое уравнение, содержащее неизвестную х. Решаем такое уравнение. Затем, используя любое уравнение данной системы, получаем уравнение для нахождения неизвестной у.

Пример 5

Решим систему уравнений

Запишем систему в виде Возведем в квадрат каждое уравнение системы и получим: Сложим уравнения этой системы: или Используя основное тригонометрическое тождество, запишем уравнение в виде или Решения этого уравнения cos x = 1/2 (тогда ) и cos x = 1/4 (откуда ), где n , k ∈ Z . Учитывая связь между неизвестными cos y = 1 – 3 cos x , получим: для cos x = 1/2 cos y = -1/2; для cos x = 1/4 cos y = 1/4. Необходимо помнить, что при решении системы уравнений проводилось возведение в квадрат и эта операция могла привести к появлению посторонних корней. Поэтому надо учесть первое уравнение данной системы, из которого следует, что величины sin x и sin у должны быть одного знака.

С учетом этого получим решения данной системы уравнений и где n , m , k , l ∈ Z . При этом для неизвестных х и у одновременно выбирают или верхние, или нижние знаки.

В частном случае система может быть решена преобразованием суммы (или разности) тригонометрических функций в произведение и последующим почленным делением уравнений друг на друга.

Пример 6

Решим систему уравнений

В каждом уравнении преобразуем сумму и разность функций в произведение и разделим каждое уравнение на 2. Получим: Так как ни один множитель в левых частях уравнений не равен нулю, то почленно разделим уравнения друг на друга (например, второе на первое). Получим: откуда Подставим найденное значение например, в первое уравнение: Учтем, что Тогда откуда

Получили систему линейных уравнений Складывая и вычитая уравнения этой системы, найдем и где n , k ∈ Z .

5. Системы, решаемые с помощью замены неизвестных

Если система содержит только две тригонометрические функции или приводится к такому виду, то удобно использовать замену неизвестных.

Пример 7

Решим систему уравнений

Так как в данную систему входят только две тригонометрические функции, то введем новые переменные а = tg х и b = sin у. Получим систему алгебраических уравнений Из первого уравнения выразим а = b + 3 и подставим во второе: или Корни этого квадратного уравнения b 1 = 1 и b 2 = -4. Соответствующие значения а1 = 4 и а2 = -1. Вернемся к старым неизвестным. Получим две системы простейших тригонометрических уравнений:

а) ее решение где n , k ∈ Z .

б) решений не имеет, так как sin у ≥ -1.

Пример 8

Решим систему уравнений

Преобразуем второе уравнение системы так, чтобы оно содержало только функции sin х и cos у. Для этого используем формулы понижения степени. Получим: (откуда ) и (тогда ). Второе уравнение системы имеет вид: или Получили систему тригонометрических уравнений Введем новые переменные a = sin х и b = cos у. Имеем симметричную систему уравнений единственное решение которой a = b = 1/2. Вернемся к старым неизвестным и получим простейшую систему тригонометрических уравнений решение которой где n , k ∈ Z .

6. Системы, для которых важны особенности уравнений

Практически при решении любой системы уравнений используются те или иные ее особенности. В частности, один из наиболее общих приемов решения системы - тождественные преобразования, позволяющие получить уравнение, содержащее только одну неизвестную. Выбор преобразований, конечно, определяется спецификой уравнений системы.

Пример 9

Решим систему

Обратим внимание на левые части уравнений, например на Используя формулы приведения, сделаем из нее функцию с аргументом π/4 + х. Получим: Тогда система уравнений имеет вид: Чтобы исключить переменную х, почленно умножим уравнения и получим: или 1 = sin 3 2у, откуда sin 2у = 1. Находим и Удобно отдельно рассмотреть случаи четных и нечетных значений n . Для четных n (n = 2 k , где k ∈ Z ) Тогда из первого уравнения данной системы получим: где m ∈ Z . Для нечетных Тогда из первого уравнения имеем: Итак, данная система имеет решения

Как и в случае уравнений, достаточно часто встречаются системы уравнений, в которых существенную роль играет ограниченность функций синуса и косинуса.

Пример 10

Решим систему уравнений

Прежде всего преобразуем первое уравнение системы: или или или или Учитывая ограниченность функции синуса, видим, что левая часть уравнения не меньше 2, а правая часть не больше 2. Поэтому такое уравнение равносильно условиям sin 2 2х = 1 и sin 2 у = 1.

Второе уравнение системы запишем в виде sin 2 у = 1 - cos 2 z или sin 2 у = sin 2 z , и тогда sin 2 z = 1. Получили систему простейших тригонометрических уравнений Используя формулу понижения степени, запишем систему в виде или тогда

Разумеется, при решении других систем тригонометрических уравнений также необходимо обращать внимание на особенности этих уравнений.

Скачать материал

Полный текст материала смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен только фрагмент материала.

Методы решения тригонометрических уравнений

Введение 2

Методы решения тригонометрических уравнений 5

Алгебраический 5

Решение уравнений с помощью условия равенства одноимённых тригонометрических функций 7

Разложение на множители 8

Приведение к однородному уравнению 10

Введение вспомогательного угла 11

Преобразование произведения в сумму 14

Универсальная подстановка 14

Заключение 17

Введение

До десятого класса порядок действий многих упражнений, ведущий к цели, как правило, однозначно определен. Например, линейные и квадратные уравнения и неравенства, дробные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, и т.п. Не разбирая подробно принцип решения каждого из упомянутых примеров, отметим то общее, что необходимо для их успешного решения.

В большинстве случаев надо установить, к какому типу относится задача, вспомнить последовательность действий, ведущих к цели, и выполнить эти действия. Очевидно, что успех или неуспех ученика в овладении приемами решения уравнений зависит главным образом от того, насколько он сумеет правильно определить тип уравнения и вспомнить последовательность всех этапов его решения. Разумеется, при этом предполагается, что ученик владеет навыками выполнения тождественных преобразований и вычислений.

Совершенно иная ситуация получается, когда школьник встречается с тригонометрическими уравнениями. При этом установить факт, что уравнение является тригонометрическим, нетрудно. Сложности возникают при нахождении порядка действий, которые бы привели к положительному результату. И здесь перед учеником встают две проблемы. По внешнему виду уравнения трудно определить тип. А не зная типа, почти невозможно выбрать нужную формулу из нескольких десятков, имеющихся в распоряжении.

Чтобы помочь ученикам найти верную дорогу в сложном лабиринте тригонометрических уравнений, их сначала знакомят с уравнениями, которые после введения новой переменной приводятся к квадратным. Затем решают однородные уравнения и приводимые к ним. Все заканчивается, как правило, уравнениями, для решения которых надо разложить на множители левую часть, приравняв затем каждый из множителей к нулю.

Понимая, что разобранных на уроках полутора десятков уравнений явно недостаточно, чтобы пустить ученика в самостоятельное плавание по тригонометрическому "морю", учитель добавляет от себя еще несколько рекомендаций.

Чтобы решить тригонометрическое уравнение, надо попытаться:

Привести все функции входящие в уравнение к «одинаковым углам»;

Привести уравнение к "одинаковым функциям";

Разложить левую часть уравнения на множители и т.п.

Но, несмотря на знание основных типов тригонометрических уравнений и нескольких принципов поиска их решения, многие ученики по-прежнему оказываются в тупике перед каждым уравнением, незначительно отличающимся от тех, что решались раньше. Остается неясным, к чему следует стремиться, имея то или иное уравнение, почему в одном случае надо применять формулы двойного угла, в другом - половинного, а в третьем - формулы сложения и т.д.

Определение 1. Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком тригонометрических функций.

Определение 2. Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые углы, если все тригонометрические функции, входящие в него, имеют равные аргументы. Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые функции, если оно содержит только одну из тригонометрических функций.

Определение 3. Степенью одночлена, содержащего тригонометрические функции, называется сумма показателей степеней тригонометрических функций, входящих в него.

Определение 4. Уравнение называется однородным, если все одночлены, входящие в него, имеют одну и ту же степень. Эта степень называется порядком уравнения.

Определение 5. Тригонометрическое уравнение, содержащее только функции sin и cos , называется однородным, если все одночлены относительно тригонометрических функций имеют одинаковую степень, а сами тригонометрические функции имеют равные углы и число одночленов на 1 больше порядка уравнения.

Методы решения тригонометрических уравнений.

Решение тригонометрических уравнений состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

I . Алгебраический метод. Этот метод хорошо известен из алгебры. (Метод замены переменный и подстановки).

Решить уравнения.

1)

Введём обозначение x =2 sin 3 t , получим

Решая это уравнение, получаем:
или

т.е. можно записать

При записи полученного решения из-за наличия знаков степень
записывать не имеет смысла.

Ответ:

Обозначим

Получаем квадратное уравнение
. Его корнями являются числа
и
. Поэтому данное уравнение сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям
и
. Решая их, находим, что
или
.

Ответ:
;
.

Обозначим

не удовлетворяет условию

Значит

Ответ:

Преобразуем левую часть уравнения:

Таким образом, данное исходное уравнение можно записать в виде:

, т.е.

Обозначив
, получим
Решив данное квадратное уравнение имеем:

не удовлетворяет условию

Записываем решение исходного уравнения:

Ответ:

Подстановка
сводит данное уравнение к квадратному уравнению
. Его корнями являются числа
и
. Так как
, то заданное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

II . Решение уравнений с помощью условия равенства одноимённых тригонометрических функций.

а)
, если

б)
, если

в)
, если

Используя данные условия, рассмотрим решение следующих уравнений:

6)

Пользуясь сказанным в п. а) получаем, что уравнение имеет решение в том и только в том случае, когда
.

Решая это уравнение, находим
.

Имеем две группы решений:

.

7) Решить уравнение:
.

Пользуясь условием п. б) выводим, что
.

Решая эти квадратные уравнения, получаем:

.

8) Решить уравнение
.

Из данного уравнения выводим, что . Решая это квадратное уравнение, находим, что

.

III . Разложение на множители.

Этот метод рассматриваем на примерах.

9) Решить уравнение
.

Решение. Перенесём все члены уравнения влево: .

Преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:
.

.

.

1)
2)

Т.к.
и
не принимают значение нуль

одновременно, то разделим обе части

уравнения на
,

Ответ:

10) Решить уравнение:

Решение.

или

Ответ:

11) Решить уравнение

Решение:

1)
2)
3)

,

Ответ:

IV . Приведение к однородному уравнению.

Чтобы решить однородное уравнение надо:

Перенести все его члены в левую часть;

Вынести все общие множители за скобки;

Приравнять все множители и скобки к нулю;

Скобки, приравненные к нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
(или
) в старшей степени;

Решить полученное алгебраическое уравнение относительно
.

Рассмотрим примеры:

12) Решить уравнение:

Решение.

Разделим обе части уравнения на
,

Вводя обозначения
, именем

корни этого уравнения:

отсюда 1)
2)

Ответ:

13) Решить уравнение:

Решение. Используя формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество, приводим данное уравнение к половинному аргументу:

После приведения подобных слагаемых имеем:

Разделив однородное последнее уравнение на
, получим

Обозначу
, получим квадратное уравнение
, корнями которого являются числа

Таким образом

Выражение
обращается в нуль при
, т.е. при
,
.

Полученное нами решение уравнения не включает в себя данные числа.

Ответ:
, .

V . Введение вспомогательного угла.

Рассмотрим уравнение вида

Где a, b, c - коэффициенты, x - неизвестное.

Разделим обе части этого уравнения на

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль каждого из них не превосходит единицы, а сумма их квадратов равна 1.

Тогда можно обозначить их соответственно
(здесь - вспомогательный угол) и наше уравнение принимает вид: .

Тогда

И его решение

Заметим, что введенные обозначения взаимно заменяемы.

14) Решить уравнение:

Решение. Здесь
, поэтому делим обе части уравнения на

Ответ:

15) Решить уравнение

Решение. Так как
, то данное уравнение равносильно уравнению

Так как
, то существует такой угол , что
,
(т.е.
).

Имеем

Так как
, то окончательно получаем:

.

Заметим, что уравнение вида имеют решение тогда и только тогда, когда

16) Решить уравнение:

Для решения данного уравнения сгруппируем тригонометрические функции с одинаковыми аргументами

Разделим обе части уравнения на два

Преобразуем сумму тригонометрических функций в произведение:

Ответ:

VI . Преобразование произведения в сумму.

Здесь используются соответствующие формулы.

17) Решить уравнение:

Решение. Преобразуем левую часть в сумму:

VII. Универсальная подстановка.

,

эти формулы верны для всех

Подстановка
называется универсальной.

18) Решить уравнение:

Решение: Заменим и
на их выражение через
и обозначим
.

Получаем рациональное уравнение
, которое преобразуется в квадратное
.

Корнями этого уравнения являются числа
.

Поэтому задача свелась к решению двух уравнений
.

Находим, что
.

Значение вида
исходному уравнению не удовлетворяет, что проверяется проверкой - подстановкой данного значения t в исходное уравнение.

Ответ:
.

Замечание. Уравнение 18 можно было решить иным способом.

Разделим обе части этого уравнения на 5 (т.е. на
):
.

Так как
, то существует такое число
, что
и
. Поэтому уравнение принимает вид:
или
. Отсюда находим, что
где
.

19) Решить уравнение
.

Решение. Так как функции
и
имеют наибольшее значение, равное 1, то их сумма равна 2, если
и
, одновременно, то есть
.

Ответ:
.

При решении этого уравнения применялась ограниченность функций и .

Заключение.

Работая над темой « Решения тригонометрических уравнений » каждому учителю полезно выполнять следующие рекомендации:

Систематизировать методы решения тригонометрических уравнений.

Выбрать для себя шаги по выполнению анализа уравнения и признаки целесообразности использования того или иного метод решения.

Продумать способы самоконтроля своей деятельности по реализации метода.

Научиться составлять « свои » уравнения на каждый из изучаемых методов.

Приложение №1

Решите однородные или приводящиеся к однородным уравнения.

1.	Отв.
	Отв.
	Отв.
5.	Отв.
	Отв.
7.	Отв.
	Отв.

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Тригонометрическими уравнениями именуются все уравнения, в состав которых входит переменная, находящаяся под знаком тригонометрической функции. Например: \[\sin x= a, \cos x = b\]. Решение тригонометрических уравнений сводится к таким подзадачам:

* решение уравнения;

* отбор корней.

Ответ в таких уравнениях записывается в:

Градусах;

Радианах.

Чтобы решить данного рода уравнения необходимо преобразовать уравнение в одно/несколько основных тригонометрических уравнений: \[\sin x = a; \cos x = a: \tan x = a; \cot x = a.\] А решение уже основных таких уравнений заключается в использовании таблицы преобразования или поиске положений \[х\] на единичной окружности.

Например, дано тригонометрические уравнения, решаемые с помощью таблицы преобразования, следующего вида:

\[\tan (x - \pi/4) = 0\]

Ответ: \

\[\cot2x = 1,732\]

Ответ: x = \[\pi /12 + \pi n\]

\[\sin x = 0,866\]

Ответ: \[ x = \pi/3 \]

Где можно решить систему тригонометрических уравнений онлайн бесплатно?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

При решении многих математических задач , особенно тех, которые встречаются до 10 класса, порядок выполняемых действий, которые приведут к цели, определен однозначно. К таким задачам можно отнести, например, линейные и квадратные уравнения, линейные и квадратные неравенства, дробные уравнения и уравнения, которые сводятся к квадратным. Принцип успешного решения каждой из упомянутых задач заключается в следующем: надо установить, к какому типу относится решаемая задача, вспомнить необходимую последовательность действий, которые приведут к нужному результату, т.е. ответу, и выполнить эти действия.

Очевидно, что успех или неуспех в решении той или иной задачи зависит главным образом от того, насколько правильно определен тип решаемого уравнения, насколько правильно воспроизведена последовательность всех этапов его решения. Разумеется, при этом необходимо владеть навыками выполнения тождественных преобразований и вычислений.

Иная ситуация получается с тригонометрическими уравнениями. Установить факт того, что уравнение является тригонометрическим, совсем нетрудно. Сложности появляются при определении последовательности действий, которые бы привели к правильному ответу.

По внешнему виду уравнения порой бывает трудно определить его тип. А не зная типа уравнения, почти невозможно выбрать из нескольких десятков тригонометрических формул нужную.

Чтобы решить тригонометрическое уравнение, надо попытаться:

1. привести все функции входящие в уравнение к «одинаковым углам»;
2. привести уравнение к «одинаковым функциям»;
3. разложить левую часть уравнения на множители и т.п.

Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.

I. Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям

Схема решения

Шаг 1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.

Шаг 2. Найти аргумент функции по формулам:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Шаг 3. Найти неизвестную переменную.

Пример.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Решение.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Ответ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Замена переменной

Схема решения

Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций.

Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t).

Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.

Шаг 4. Сделать обратную замену.

Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

Пример.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Решение.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Пусть sin (x/2) = t, где |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 или е = -3/2, не удовлетворяет условию |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Ответ: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Метод понижения порядка уравнения

Схема решения

Шаг 1. Заменить данное уравнение линейным, используя для этого формулы понижения степени:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Шаг 2. Решить полученное уравнение с помощью методов I и II.

Пример.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Решение.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 · cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Ответ: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Однородные уравнения

Схема решения

Шаг 1. Привести данное уравнение к виду

a) a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)

или к виду

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).

Шаг 2. Разделить обе части уравнения на

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

и получить уравнение относительно tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Шаг 3. Решить уравнение известными способами.

Пример.

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4 = 0.

Решение.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Пусть tg x = t, тогда

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 или t = -4, значит

tg x = 1 или tg x = -4.

Из первого уравнения x = π/4 + πn, n Є Z; из второго уравнения x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Ответ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод преобразования уравнения с помощью тригонометрических формул

Схема решения

Шаг 1. Используя всевозможные тригонометрические формулы, привести данное уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III, IV.

Шаг 2. Решить полученное уравнение известными методами.

Пример.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Решение.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

Из первого уравнения 2x = π/2 + πn, n Є Z; из второго уравнения cos x = -1/2.

Имеем х = π/4 + πn/2, n Є Z; из второго уравнения x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

В итоге х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Ответ: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Умения и навыки решать тригонометрические уравнения являются очень важными, их развитие требует значительных усилий, как со стороны ученика, так и со стороны учителя.

С решением тригонометрических уравнений связаны многие задачи стереометрии, физики, и др. Процесс решения таких задач как бы заключает в себе многие знания и умения, которые приобретаются при изучении элементов тригонометрии.

Тригонометрические уравнения занимают важное место в процессе обучения математики и развития личности в целом.

Остались вопросы? Не знаете, как решать тригонометрические уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.