В этой статье мы поговорим об универсальной тригонометрической подстановке . Она подразумевает выражение синуса, косинуса, тангенса и котангенса какого-либо угла через тангенс половинного угла. Более того, такая замена проводится рационально, то есть, без корней.
Сначала мы запишем формулы, выражающие синус, косинус, тангенс и котангенс через тангенс половинного угла. Дальше покажем вывод этих формул. А в заключение рассмотрим несколько примеров использования универсальной тригонометрической подстановки.
Навигация по странице.
Синус, косинус, тангенс и котангенс через тангенс половинного угла
Для начала запишем четыре формулы, выражающие синус, косинус, тангенс и котангенс угла через тангенс половинного угла .
Указанные формулы справедливы для всех углов , при которых определены входящие в них тангенсы и котангенсы:
Вывод формул
Разберем вывод формул, выражающих синус, косинус, тангенс и котангенс угла через тангенс половинного угла. Начнем с формул для синуса и косинуса.
Представим синус и косинус по формулам двойного угла как 
и 
соответственно. Теперь выражения 
и 
запишем в виде дробей со знаменателем 1
как 
и 
. Дальше на базе основного тригонометрического тождества заменяем единицы в знаменателе на сумму квадратов синуса и косинуса, после чего получаем 
и 
. Наконец, числитель и знаменатель полученных дробей делим на (его значение отлично от нуля при условии 
). В итоге, вся цепочка действий выглядит так:
и
На этом вывод формул, выражающих синус и косинус через тангенс половинного угла, закончен.
Осталось вывести формулы для тангенса и котангенса. Теперь, учитывая полученные выше формулы, и формулы и 
, сразу получаем формулы, выражающие тангенс и котангенс через тангенс половинного угла:
Итак, мы вывели все формулы для универсальной тригонометрической подстановки.
Примеры использования универсальной тригонометрической подстановки
Для начала рассмотрим пример применения универсальной тригонометрической подстановки при преобразовании выражений.
Пример.
Приведите выражение 
к выражению, содержащему лишь одну тригонометрическую функцию .
Решение.
Ответ:
.
Список литературы.
- Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- isbn 5-09-002727-7
- Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.
tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.
При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.
Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус
tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace
Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.
Добавим, что только для таких углов \alpha , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .
Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z , а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha , отличного от \pi z , z — является целым числом.
Зависимость между тангенсом и котангенсом
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2} z . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.
Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x} , а ctg \alpha=\frac{x}{y} . Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1 . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.
Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом
tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha} — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1 , равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех \alpha , отличных от \frac{\pi}{2}+ \pi z .
1+ctg^{2} \alpha=\frac{1}{\sin^{2}\alpha} — сумма 1 и квадрат котангенса угла \alpha , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \alpha , отличного от \pi z .
Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств
Пример 1
Найдите \sin \alpha и tg \alpha , если \cos \alpha=-\frac12 и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi ;
Показать решение
Решение
Функции \sin \alpha и \cos \alpha связывает формула \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 . Подставив в эту формулу \cos \alpha = -\frac12 , получим:
\sin^{2}\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Это уравнение имеет 2 решения:
\sin \alpha = \pm \sqrt{1-\frac14} = \pm \frac{\sqrt 3}{2}
По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} .
Для того, чтобы найти tg \alpha , воспользуемся формулой tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
tg \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} : \frac12 = \sqrt 3
Пример 2
Найдите \cos \alpha и ctg \alpha , если и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi .
Показать решение
Решение
Подставив в формулу \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 данное по условию число \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2} , получаем \left (\frac{\sqrt3}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \alpha = 1 . Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14 .
По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12 .
Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} . Соответствующие величины нам известны.
ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3} .
Косинус суммы и разности двух углов
В этом параграфе будут доказаны следующие две формулы:
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)
Косинус суммы (разности) двух углов равен произведению косинусов этих углов минус (плюс) произведение синусов этих углов.
Нам удобнее будет начать с доказательства формулы (2). Для простоты изложения предположим сначала, что углы α и β удовлетворяют следующим условиям:
1) каждый из этих углов неотрицателен и меньше 2π :
0 < α < 2π, 0 < β < 2π;
2) α > β .
Пусть положительная часть оси 0х является общей начальной стороной углов α и β .
Конечные стороны этих углов обозначим соответственно через 0А и 0В. Очевидно, что угол α - β можно рассматривать как такой угол, на который нужно повернуть луч 0В вокруг точки 0 против часовой стрелки, чтобы его направление совпало с направлением луча 0А.
На лучах 0А и 0В отметим точки М и N, отстоящие от начала координат 0 на расстоянии 1, так что 0М = 0N = 1.
В системе координат х0у точка М имеет координаты (cos α, sin α ), а точка N - координаты (cos β , sin β ). Поэтому квадрат расстояния между ними равен:
d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +
+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .
При вычислениях мы воспользовались тождеством
sin 2 φ + cos 2 φ = 1 .
Теперь рассмотрим другую систему координат В0С, которая получается путем поворота осей 0х и 0у вокруг точки 0 против часовой стрелки на угол β .
В этой системе координат точка М имеет координаты (cos (α - β ), sin (α - β )), а точка N -координаты (1,0). Поэтому квадрат расстояния между ними равен:
d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +
+ sin 2 (α - β) = 2 .
Но расстояние между точками М и N не зависит от того, относительно какой системы координат мы рассматриваем эти точки. Поэтому
d 1 2 = d 2 2
2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .
Отсюда и вытекает формула (2).
Теперь следует вспомнить о тех двух ограничениях, которые мы наложили для простоты изложения на углы α и β .
Требование, чтобы каждый из углов α и β был неотрицательным, на самом деле не существенно. Ведь к любому из этих углов можно прибавить угол, кратный 2я, что никак не отразится на справедливости формулы (2). Точно так же от каждого из данных углов можно вычесть угол, кратный 2π . Поэтому можно считать, что 0 < α < 2π , 0 < β < 2π .
Не существенным оказывается и условие α > β . Действительно, если α < β , то β >α ; поэтому, учитывая четность функции cos х , получаем:
cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,
что по существу совпадает с формулой (2). Таким образом, формула
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
верна для любых углов α и β . В частности, заменяя в ней β на -β и учитывая, что функция cos х является четной, а функция sin х нечетной, получаем:
cos (α + β) = cos [α - (- β)] =cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =
= cos α cos β - sin α sin β,
что доказывает формулу (1).
Итак, формулы (1) и (2) доказаны.
Примеры.
1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =
2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
Упражнения
1 . Вычислить, не пользуясь тригонометрическими таблицами:
a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;
б) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;
в) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;
г) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;
д) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;
e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .
2.Упростить выражения:
a). cos (α + π / 3 ) + cos (π / 3 - α ) .
б). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + sin (36° + α ) sin (α - 24°).
в). sin (π / 4 - α ) sin (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )
г) cos 2α + tg α sin 2α .
3 . Вычислить :
a) cos (α - β) , если
cos α = - 2 / 5 , sin β = - 5 / 13 ;
90° < α < 180°, 180° < β < 270°;
б) cos (α + π / 6), если cos α = 0,6;
3π / 2 < α < 2π.
4 . Найти cos (α + β) и cos (α - β) ,если известно, что sin α = 7 / 25 , cos β = - 5 / 13 и оба угла (α и β ) оканчиваются в одной и той же четверти.
5 .Вычислить:
а). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]
б). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .
в). cos [ arctg 1 / 2 + arccos (- 2) ]
– уж наверняка встретятся задания по тригонометрии. Тригонометрию часто не любят за необходимость зубрить огромное количество трудных формул, кишащих синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами. На сайте уже когда-то давались советы, как вспомнить забытую формулу, на примере формул Эйлера и Пиля .
А в этой статье мы постараемся показать, что достаточно твёрдо знать всего пять простейших тригонометрических формул, а об остальных иметь общее представление и выводить их по ходу дела. Это как с ДНК: в молекуле не хранятся полные чертежи готового живого существа. Там содержатся, скорее, инструкции по его сборке из имеющихся аминокислот. Так и в тригонометрии, зная некоторые общие принципы, мы получим все необходимые формулы из небольшого набора тех, которые нужно обязательно держать в голове.
Будем опираться на следующие формулы:
Из формул синуса и косинуса сумм, зная о чётности функции косинуса и о нечётности функции синуса, подставив -b вместо b, получаем формулы для разностей:
- Синус разности : sin (a-b) = sin a cos (-b) +cos a sin (-b) = sin a cos b -cos a sin b
- Косинус разности : cos (a-b) = cos a cos (-b) -sin a sin (-b) = cos a cos b +sin a sin b
Поставляя в эти же формулы a = b, получаем формулы синуса и косинуса двойных углов:
- Синус двойного угла : sin 2a = sin (a+a) = sin a cos a +cos a sin a = 2sin a cos a
- Косинус двойного угла : cos 2a = cos (a+a) = cos a cos a -sin a sin a = cos 2 a -sin 2 a
Аналогично получаются и формулы других кратных углов:
- Синус тройного угла : sin 3a = sin (2a+a) = sin 2a cos a +cos 2a sin a = (2sin a cos a )cos a +(cos 2 a -sin 2 a )sin a = 2sin a cos 2 a +sin a cos 2 a -sin 3 a = 3sin a cos 2 a -sin 3 a = 3sin a (1-sin 2 a )-sin 3 a = 3sin a -4sin 3 a
- Косинус тройного угла : cos 3a = cos (2a+a) = cos 2a cos a -sin 2a sin a = (cos 2 a -sin 2 a )cos a -(2sin a cos a )sin a = cos 3 a-sin 2 a cos a -2sin 2 a cos a = cos 3 a-3sin 2 a cos a = cos 3 a-3(1-cos 2 a )cos a = 4cos 3 a-3cos a
Прежде чем двигаться дальше, рассмотрим одну задачу.
Дано: угол - острый.
Найти его косинус, если
Решение, данное одним учеником:
Т.к. , то sin
a
= 3,а cos
a
= 4.
(Из математического юмора)
Итак, определение тангенса связывает эту функцию и с синусом, и с косинусом. Но можно получить формулу, дающую связь тангенса только с косинусом. Для её вывода возьмём основное тригонометрическое тождество: sin 2 a +cos 2 a = 1 и разделим его на cos 2 a . Получим:
Так что решением этой задачи будет:
(Т.к. угол острый, при извлечении корня берётся знак +)
Формула тангенса суммы – ещё одна, тяжело поддающаяся запоминанию. Выведем её так:
Сразу выводится и
Из формулы косинуса двойного угла можно получить формулы синуса и косинуса для половинного. Для этого к левой части формулы косинуса двойного угла:
cos
2
a
= cos
2
a
-sin
2
a
прибавляем единицу, а к правой – тригонометрическую единицу, т.е. сумму квадратов синуса и косинуса.
cos
2a
+1 = cos
2 a
-sin
2 a
+cos
2 a
+sin
2 a
2cos
2
a
= cos
2
a
+1
Выражая cos
a
через cos
2
a
и выполняя замену переменных, получаем:
Знак берётся в зависимости от квадранта.
Аналогично, отняв от левой части равенства единицу, а от правой - сумму квадратов синуса и косинуса, получим:
cos
2a
-1 = cos
2 a
-sin
2 a
-cos
2 a
-sin
2 a
2sin
2
a
= 1-cos
2
a
И, наконец, чтобы преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение, используем следующий приём. Допустим, нам нужно представить в виде произведения сумму синусов sin
a
+sin
b
. Введём переменные x и y такие, что a = x+y, b+x-y. Тогда
sin
a
+sin
b
= sin
(x+y)+sin
(x-y) = sin
xcos
y+cos
xsin
y+sin
xcos
y-cos
xsin
y = 2sin
xcos
y. Выразим теперь x и y через a и b.
Поскольку a = x+y, b = x-y, то . Поэтому
Сразу же можно вывести
- Формулу для разбиения произведения синуса и косинуса в сумму : sin a cos b = 0.5(sin (a+b) +sin (a-b))
Рекомендуем потренироваться и вывести самостоятельно формулы для преобразования в произведение разности синусов и суммы и разности косинусов, а также для разбиения в сумму произведений синусов и косинусов. Проделав эти упражнения, вы досконально освоите мастерство вывода тригонометрических формул и не потеряетесь даже на самой сложной контрольной, олимпиаде или тестировании.
Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.
Геометрическое определение
|BD|
- длина дуги окружности с центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .
Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .
Тангенс
Где n - целое.
В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.
График функции тангенс, y = tg x
Котангенс
Где n - целое.
В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.
График функции котангенс, y = ctg x
Свойства тангенса и котангенса
Периодичность
Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .
Четность
Функции тангенс и котангенс - нечетные.
Области определения и значений, возрастание, убывание
Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Область определения и непрерывность | ||
| Область значений | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Возрастание | - | |
| Убывание | - | |
| Экстремумы | - | - |
| Нули, y = 0 | ||
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | - |
Формулы
Выражения через синус и косинус
;
;
;
;
;
Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности
Остальные формулы легко получить, например
Произведение тангенсов
Формула суммы и разности тангенсов
В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента. 
Выражения через комплексные числа
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; .
.
Производная n-го порядка по переменной x
от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >
Интегралы
Разложения в ряды
Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.
При .
при .
где B n
- числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа: 
Обратные функции
Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.
Арктангенс, arctg
,
где n
- целое.
Арккотангенс, arcctg
,
где n
- целое.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.