η = A/ Q 1 = 1 – Q 2 /Q 1 ,
saan Q 1 - init na natanggap ng nagtatrabaho likido; Q 2 - init na binigay.
Kahusayan Ikot ng Carnot:
saan T 1 , T 2 - temperatura ng pampainit at refrigerator.
Clausius hindi pagkakapantay-pantay:
saan d Q - elemental na init na natanggap ng system.
Pagtaas ng entropy ng system:
Ang pangunahing equation ng thermodynamics para sa nababaligtad na mga proseso:
T d S= d U + p d V
Libreng Enerhiya:
F = U - T.S., A T = - Δ F
Relasyon sa pagitan ng entropy at statistical weight Ω (thermodynamic probability):
S = k∙ lnΩ
saan k - Ang pare-pareho ni Boltzmann.
3.1. Sa isang heat engine na tumatakbo ayon sa Carnot cycle, ang temperatura ng heater ay n = 1.6 beses ang temperatura ng refrigerator. Sa isang cycle ang makina ay gumagawa ng trabaho A = 12 kJ . Gaano karaming trabaho bawat cycle ang ginugugol sa isothermal compression ng isang substance? (Ang gumaganang substance ay isang perpektong gas.)
Sagot : A" =A/(n - 1) = 20 kJ .
3.2. Sa anong kaso ang kahusayan Ang cycle ng Carnot ay tataas nang higit pa: na may pagtaas sa temperatura ng pampainit ng Δ T o kapag ang temperatura ng refrigerator ay bumaba ng parehong halaga?
Sagot : kapag bumababa ang temperatura ng refrigerator T 2 .
3.3. Ang hydrogen ay sumasailalim sa Carnot cycle. Maghanap ng kahusayan cycle, kung sa panahon ng adiabatic expansion:
a) ang dami ng gas ay tumataas ng n = 2.0 beses;
b) bumababa ang presyon ng n = 2.0 beses.
Sagot : a) η = 1 – n 1-γ = 0.25; b) η = 1 – n 1/(γ-1) = 0.18
3.4. Ang isang refrigeration machine na tumatakbo sa reverse Carnot cycle ay dapat magpanatili ng temperatura sa silid nito - 10°C sa ambient temperature na 20° C. Anong trabaho ang dapat gawin sa working fluid ng makina upang maalis ito sa silid nito Q 2 = 140 kJ ng init?
Sagot : A" =Q 2 (T 1/ T 2 - 1) = 16 kJ .
3.5. makinang pampainit. gumagana sa Carnot cycle nang may kahusayan Ang η 10% ay ginagamit sa parehong mga heat reservoir bilang isang refrigeration machine. Hanapin ang cooling coefficient nito na ε.
Sagot : ε = (1 - η)/η = 9
3.6. Maghanap ng kahusayan cycle na binubuo ng dalawang isobars at dalawang adiabats, kung sa loob ng cycle ang presyon ay nag-iiba ayon sa P minsan. Ang gumaganang substance ay isang perpektong gas na may adiabatic index γ.
Sagot : η = 1 – η -(γ - 1)/γ.
3.7. Ang isang perpektong gas na may adiabatic index γ ay sumasailalim sa isang cycle na binubuo ng dalawang isochores at dalawang isobars. Maghanap ng kahusayan tulad ng isang cycle, kung ang temperatura T tumataas ang gas P beses pareho sa panahon ng isochoric heating at isobaric expansion.
Sagot : η = 1 – ( n+ γ)/(1 + γ n).
3.8. Ang isang perpektong gas ay sumasailalim sa isang cycle na binubuo ng:
a) isochores, adiabats at isotherms;
b) isobars, adiabats at isotherms,
Bukod dito, ang proseso ng isothermal ay nangyayari sa pinakamababang temperatura ng cycle. Maghanap ng kahusayan bawat cycle, kung ang temperatura sa loob ng mga limitasyon nito ay nag-iiba ayon sa P minsan.
Sagot : sa parehong mga kaso η = 1 – ln n/(n - 1)
3.9. Ang isang perpektong gas na may adiabatic exponent γ ay sumasailalim sa isang direktang cycle na binubuo ng isang adiabatic cycle. isobar at isochores. Maghanap ng kahusayan cycle, kung sa panahon ng prosesong adiabatic ang volume ng ideal gas ay:
a) tumataas sa n minsan:
b) bumababa ng n beses.
Sagot : a)η= 1– γ( n– 1)/(nγ – 1); b)η= 1– ( nγ – 1)/γ( n – 1)nγ –1.
3.10. Gamit ang Clausius inequality, ipakita na ang kahusayan lahat ng mga cycle na may parehong maximum na temperatura T max at ang parehong minimum na temperatura T min , mas mababa kaysa sa Carnot cycle sa T max at T min. Tandaan : Isaalang-alang na ang hindi pagkakapantay-pantay ∫δ Q 1 /T 1 - ∫δ Q ′ 2 / T 2 ≤ Ang 0 ay tumataas lamang kapag pinalitan T 1 sa T max at T 2 sa T min.
3.11. Ano ang pinakamataas na trabaho na maaaring gawin ng isang makina ng init kung ang isang piraso ng masa ng bakal ay ginagamit bilang pampainit? m= 100 kg na may paunang temperatura T 1 = 1500 K. at bilang refrigerator, tubig sa karagatan na may temperatura T 2 = 285 K?
Sagot : A max = mc[T 1 – T 2 – T 2∙ln( T 1 /T 2)] = 34 MJ, kung saan Sa- tiyak na kapasidad ng init ng bakal.
3.12. Ang mga pangunahing variable na nagpapakilala sa estado ng isang katawan ay ang temperatura at entropy nito. Grapikong ilarawan ang Carnot cycle sa isang diagram, na naglalagay ng entropy sa abscissa axis at temperatura sa ordinate axis. Kalkulahin ang kahusayan gamit ang graph na ito. ikot.
3.13. Maghanap ng mga pagbabago sa entropy ng isang nunal ng isang perpektong gas sa panahon ng isochoric, isothermal at isobaric na proseso.
3.14. Hanapin ang pagbabago sa entropy sa panahon ng paglipat ng 80 g ng oxygen mula sa dami ng 10 litro sa temperatura na 80 o C hanggang sa dami ng 40 litro sa temperatura na 300 o C.
Sagot:
3.15. Isang metro kubiko ng hangin sa temperatura na 0 o C at presyon na 19.6 N/cm 2 ay lumalawak nang isothermally na may volume V 1 sa volume V 2 = 2V 1 . Hanapin ang pagbabago sa entropy sa panahon ng prosesong ito.
Sagot:
3.16. Patunayan ang entropy na iyon v Ang mga moles ng isang perpektong gas ay maaaring kinakatawan bilang: S = v[c V ln T + R ln( V/v) + const], kung saan ang additive constant sa mga bracket ay hindi nakadepende sa bilang ng mga gas particle.
3.17. Ang dalawang sisidlan ng parehong dami ay naglalaman ng magkaibang mga ideal na gas. Masa ng gas sa unang sisidlan m 1 sa pangalawa - m 2, ang presyon ng gas at temperatura ay pareho. Ang mga sisidlan ay konektado sa isa't isa, at nagsimula ang proseso ng pagsasabog. Tukuyin ang kabuuang pagbabago Δ S entropy ng system na isinasaalang-alang, kung ang relatibong molekular na masa ng unang gas ay μ 1, at ang pangalawa ay μ 2.
Sagot : Δ S = R ln2( m 1 /μ 1 + m 2 /μ 2).
3.18. Ang isang thermally insulated cylindrical na sisidlan ay nahahati sa isang piston ng hindi gaanong masa sa dalawang pantay na bahagi. Sa isang bahagi ng piston mayroong isang perpektong gas na may masa m, relatibong molekular na timbang μ at molar heat capacities C p At SA v , independyente sa temperatura, at isang mataas na vacuum ang nalikha sa kabilang panig ng piston. Paunang temperatura at presyon ng gas T 0 at p 0 . Ang piston ay pinakawalan, at ito ay malayang gumagalaw, na nagpapahintulot sa gas na punan ang buong volume ng silindro. Pagkatapos nito, unti-unting pinapataas ang presyon sa piston, dahan-dahang dalhin ang dami ng gas sa orihinal na halaga nito. Hanapin ang pagbabago sa panloob na enerhiya at entropy ng gas sa panahon ng prosesong ito.
Sagot : Δ U = U - U 0 = (m/η)∙ C V T 0 (2 γ -1 - 1);
ΔS = S - S 0 = (m/μ)∙ C V(γ - 1)ln2.
3.19. Pag-alam sa pag-asa ng libreng enerhiya sa temperatura at dami F(T, V), ipakita na ang presyon p = -(dF/dV) T at entropy S = -(dF/d T) V .
3.20. Kasama ng panloob na enerhiya U at libreng enerhiya F sa thermodynamics ang mga function ay malawakang ginagamit N =U + RV - enthalpy at F = F + RV - Gibbs libreng enerhiya. Patunayan na ang mga function na ito ay nakakatugon sa mga ugnayan:
|
dU = TdS – pdV, |
dF = -SdT – pdV, |
||
|
dF= -SdT + Vdp, |
dH = TdS + Vdp, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.21. Patunayan ang mga relasyon ni Maxwell:
|
|
|
|
|
|
3.22. Ano ang mali sa sumusunod na pangangatwiran? Elementary na dami ng init dQ, na nakuha ng isang pisikal na homogenous na katawan sa panahon ng isang quasi-static na proseso ay katumbas ng
dQ = dU + pdV = dH – Vdp,
o 
Mula rito 
Ang equating parehong expression, nakukuha namin (∂ V/∂T) p = 0. Ito ay sumusunod na ang thermal expansion ng mga katawan ay imposible.
3.23. Ipakita na ang panloob na enerhiya ng isang sangkap na may equation ng estado sa anyo R = f(V) Ang T ay hindi nakasalalay sa lakas ng tunog.
3.24. Ang panloob na enerhiya at mga yunit ng volume ay isang function lamang ng T, at ang equation ng estado ng gas ay may anyo p = u(T)/ 3 Tukuyin ang functional form At(T).
Sagot : u(T) = const T 4 - (photon gas)
3.25. Para sa isang perpektong electron gas ang sumusunod na kaugnayan ay nagtataglay: PV = 2 / 3 U. Hanapin ang adiabatic equation para sa gas na ito: a) sa mga variable ( R,V); b) sa mga variable (V, T).
Sagot : A) RV 5/3 = const; b) TV 2/3 = const .
3.26. Ipakita na para sa mga sangkap kung saan ang presyon ay isang linear na function ng temperatura T, kapasidad ng init SAv hindi nakadepende sa volume.
3.27. Gamit ang mga ugnayan ni Maxwell, maghanap ng expression para sa entropy ng isang nunal ng van der Waals gas.
Sagot
:
3.28. Kalkulahin ang density ng entropy S mga patlang ng thermal radiation.
Sagot : S = 4 / 3 aT 3 +const. (tingnan ang problema 2.32).
3.29. Hanapin ang ratio ng mean square velocities ng helium at nitrogen molecules sa parehong temperatura.
Sagot:
3.30. Tukuyin ang temperatura ng pinaghalong CO 2 At H 2 , kung ang pagkakaiba sa average na kinetic energies sa bawat molekula ng parehong gas ay 2.07·10 -14 erg. Ang gas ay itinuturing na perpekto.
Sagot:
300 o K.
3.31. N ang mga atom ng helium gas ay matatagpuan sa temperatura ng silid sa isang kubiko na sisidlan na may dami na 1.0 cm 3. (Ang average na oras ng paglipad ng helium atoms ay isang distansya sa pagkakasunud-sunod ng laki ng sisidlan τ ~ 10 -5 s).Hanapin:
a) ang posibilidad na ang lahat ng mga atomo ay magtitipon sa isang kalahati ng sisidlan;
b) tinatayang numerical na halaga N, kung saan maaaring asahan ang kaganapang ito sa kabuuan t= 10 10 taon (edad ng Uniberso).
Sagot :a) p= 1 / 2 N ; b) N= 1g (t/τ)/ 1g 2 = 80. saan
3. 32 . Hanapin ang istatistikal na timbang ng pinaka-malamang na pamamahagi N= 10 magkaparehong molekula sa dalawang magkaparehong halves ng sisidlan. Tukuyin ang posibilidad ng naturang distribusyon.
Sagot: Ω ver = N!/[(N/2)!] 2 =252, p N/2 = Ω ver/2 N = 24.6%.
3.33. Anong dami ng init ang dapat ibigay sa isang macroscopic system sa temperatura T = 290 K, upang sa isang pare-parehong dami nito ay tumataas ang istatistikal na timbang ng Δη = 0.1%?
Sagot : δ Q = kTΔη = 4·10 -23 J.
3.34. Ang isang nunal ng isang perpektong gas na binubuo ng mga monatomic na molekula ay nasa isang sisidlan sa isang temperatura T 0 = 300 K. Paano at ilang beses magbabago ang istatistikal na timbang ng sistemang ito (gas) kung ito ay pinainit nang isochorically ng Δ T= 1.0 K?
Sagot : Pagtaas sa Ω/Ω 0 = (1 + Δ T/T 0) sa isang /2 = 10 1.31·10ˆ21 beses .
saan 
kabuuang bilang ng mga molekula 
bilang ng mga molekula sa unang bahagi ng sisidlan, 
sa pangalawa. Thermodynamic na posibilidad sa halimbawang isinasaalang-alang.
Gayundin para sa pamamahagi 
:
.
Para sa 
.
Tandaan na na ang pinakamataas na thermodynamic na posibilidad ay para sa isang pare-parehong pamamahagi, maaari itong isagawa sa pinakamaraming paraan.
Relasyon sa pagitan ng entropy at probabilidad ay na-install Boltzmann, sino ang nag-post niyan Ang entropy ay proporsyonal sa logarithm ng probabilidad ng estado
const), saan 
Boltzmann pare-pareho, 
thermodynamic na posibilidad.
Ang pangalawang batas ng thermodynamics at ang interpretasyong istatistika nito
Boltzmann formulation:
Ang lahat ng mga proseso sa kalikasan ay nagpapatuloy sa isang direksyon na humahantong sa pagtaas ng posibilidad ng estado.
Pormulasyon ni Clausius:
Ang ganitong mga proseso ay imposible, ang tanging huling resulta kung saan ay ang paglipat ng init mula sa isang hindi gaanong init na katawan patungo sa isang mas mainit na katawan..
Mula sa punto ng view ng pormulasyon ni Boltzmann, ang paglipat mula sa isang malamig na katawan sa isang pinainit ay sa panimula magagamit, Ngunit malabong.
Halimbawa. Gamit ang formula ng Boltzmann, kinakalkula namin mula sa pagbabago sa entropy ng 2 katawan na matatagpuan sa mga temperatura ng 301 K at 300 K, ayon sa pagkakabanggit, ang ratio ng posibilidad ng mga katawan na nasa mga estadong ito kung ang isang halaga ng init ay inilipat mula sa isang katawan sa iba 
. Tukuyin natin ang posibilidad na manatili sa temperatura na 300 K 
, 301 K 
.
.
Dahil sa liit ng ipinadalang enerhiya, ang pagkakaiba 
maaaring matantya gamit ang kaugnayan: 
.
, Pagkatapos 
Nangangahulugan ito na para sa bawat 
mga kaso ng paglipat 
mula sa isang katawan na may temperatura na 301 K hanggang sa isang katawan na may temperatura na 300 K, isang kaso ng paglipat ng parehong dami ng init mula sa isang katawan na may temperatura na 300 K sa isang katawan na may temperatura na 301 K ay maaaring mangyari. (Tandaan na para sa napakaliit na halaga ng init 
ang mga probabilidad ay nagiging maihahambing at para sa mga ganitong kaso hindi na mailalapat ang pangalawang batas.).
Sa pangkalahatan, sa pagsasalita, kung mayroong isang multivariance ng mga landas at proseso sa system, kung gayon Sa pamamagitan ng pagkalkula ng entropy ng mga huling estado, maaari mong teoretikal na matukoy ang posibilidad ng isang partikular na landas o proseso., nang hindi aktwal na gumagawa ng mga ito, at ito ay isang mahalagang praktikal na aplikasyon ng formula na nagkokonekta ng thermodynamic na probabilidad sa entropy.
Mga tanong para sa pagpipigil sa sarili
Isaalang-alang ang isang sistema na binubuo ng isang malaking bilang ng mga molekula. Tawagin natin itong isang macroscopic system. Ang estado ng naturang sistema ay maaaring ilarawan sa dalawang paraan:
1. Paggamit ng karaniwang mga katangian ng system, tulad ng presyon P, dami V, temperatura T, enerhiya E. Ang isang estado na tinukoy ng mga katangian na na-average sa isang malaking bilang ng mga molekula ay tatawaging isang macrostate.
2. Sa pamamagitan ng paglalarawan ng estado ng lahat ng mga molekula na bumubuo sa katawan, para dito kinakailangan na malaman ang mga coordinate q at momenta p ng lahat ng mga molekula. Ang isang estado na tinukoy sa ganitong paraan ay tatawaging isang microstate.
Hayaan ang macroscopic system na maging bahagi ng ilang malaking closed system; tatawagin natin itong kapaligiran. Hanapin natin ang microscopic Gibbs distribution, i.e. probability distribution function ng iba't ibang estado ng isang macroscopic system na hindi nakikipag-ugnayan sa mga nakapalibot na katawan at may patuloy na enerhiya. Ang magkakaibang estado ng isang sistema na may parehong enerhiya ay may parehong posibilidad.
Ang bawat halaga ng enerhiya ng isang macroscopic system ay maaaring tumugma sa iba't ibang microstates; ang bilang ng mga naturang estado ay tinatawag na statistical weight.
Hayaang tukuyin ang macrostate ng isang sistema ng 4 na molekula gamit ang mga parameter: P, V, T, E. Ang mga molekula ay nasa isang sisidlan na pinaghihiwalay ng isang permeable partition (Larawan 10.1a). Ang sisidlan ay matatagpuan sa ilang kapaligiran, ngunit hindi nakikipag-ugnayan dito.
kanin. 10.1a. kanin. 10.1b. kanin. 10.1c.
Kung ang lahat ng 4 na molekula ay nasa kanang kalahati ng sisidlan, kung gayon ang macrostate ng system (0 - 4) ay maaaring isulat gamit ang isang microstate, na naglilista ng mga numero ng mga molekula. Sa kasong ito, ang istatistikal na timbang ay .
Hayaang lumipat ngayon ang isa sa mga molekula sa kaliwang kalahati ng sisidlan (Larawan 10.1b). Maaaring ito ay molekula 1, pagkatapos ang mga molekula 2, 3, 4 ay mananatili sa kanang kalahati, o maaari itong maging molekula 2, pagkatapos ay mananatili sa kanan ang mga molekula 1, 3, 4, atbp. Sa kabuuan, posible ang 4 na magkakaibang microstate, samakatuwid, ang bigat ng istatistika ng macrostate ay (1 - 3).
Ang mga probabilidad ng lahat ng microstates ay pareho. Ang estado kung saan ang molekula 1 ay nasa kaliwa at ang 2, 3, 4 ay nasa kanan ay may parehong posibilidad ng estado kapag ang molekula 2 ay nasa kaliwa at ang 1, 3, 4 ay nasa kanan. Ang konklusyon na ito ay batay sa palagay na ang lahat ng mga molekula ay hindi nakikilala sa bawat isa.
Ang isang pantay na pamamahagi ng mga molekula sa magkabilang kalahati ng sisidlan ay nagiging maliwanag kapag ang bilang ng mga molekula ay malaki. Alam namin na ang presyon ay katumbas sa paglipas ng panahon sa parehong halves ng sisidlan: at dahil ang konsentrasyon ng mga molekula, kahit na sa isang pare-parehong temperatura, ang bilang ng mga molekula sa kaliwa at kanan ay magiging pareho:
Dahil ang pinakamataas na istatistikal na timbang ay tumutugma sa pinakamataas na posibilidad ng estado w, pagkatapos ay malinaw na ang posibilidad ay proporsyonal sa bilang ng mga estado. Ang estado (2 - 2) ay ang pinaka-malamang, dahil ay may pinakamalaking istatistikal na timbang (Larawan 10.1c).
Ang estado ng isang macroscopic body (ibig sabihin, isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng isang malaking bilang ng mga molecule) ay maaaring tukuyin gamit ang volume, pressure, temperatura, panloob na enerhiya at iba pang macroscopic (ibig sabihin, characterizing ang buong katawan bilang isang buo) dami.
Ang isang estado na nailalarawan sa ganitong paraan ay tinatawag na isang macrostate.
Ang estado ng isang macroscopic na katawan, na nailalarawan sa ganoong detalye na ang mga estado ng lahat ng mga molekula na bumubuo sa katawan ay ibinigay, ay tinatawag na isang microstate.
Ang anumang macrostate ay maaaring makamit sa iba't ibang paraan, ang bawat isa ay tumutugma sa isang tiyak na microstate ng katawan. Ang bilang ng iba't ibang microstate na tumutugma sa isang ibinigay na macrostate ay tinatawag na statistical weight o thermodynamic probability ng macrostate. Kaya, ang bigat ng istatistika ay kumakatawan sa bilang ng mga mikroskopiko na paraan kung saan maaaring maisakatuparan ang isang ibinigay na macrostate.
Upang linawin ang konsepto ng istatistikal na timbang, isaalang-alang ang mga paraan kung saan maaaring ipamahagi ang mga molekula ng gas sa pagitan ng dalawang halves ng isang lalagyan na naglalaman ng gas. Hayaan ang kabuuang bilang ng mga molekula ay katumbas ng N. Bilang isang katangian ng estado ng gas, kukunin natin ang bilang ng mga molekula na matatagpuan sa kaliwang kalahati ng sisidlan, na tinutukoy natin sa pamamagitan ng isang titik (ayon dito, ang bilang ng mga molekula sa kanang kalahati ng sisidlan ay magiging katumbas ng ). Ipapakita natin ang estado ng isang indibidwal na molekula sa pamamagitan ng pagtukoy kung aling kalahati ng sisidlan ito. Ang paglalarawang ito ng estado ng gas at ang mga estado ng mga indibidwal na molekula ay, siyempre, malayo sa kumpleto. Gayunpaman, sapat na na gamitin ang halimbawang ito upang linawin ang mga katangiang katangian ng istatistikal na pag-uugali ng anumang macrosystem.
Magsimula tayo sa kaso kapag ang kabuuang bilang ng mga molekula ay apat (Larawan 102.1). Ang bawat molekula ay matatagpuan na may pantay na posibilidad sa parehong kaliwa at kanang kalahati ng sisidlan. Samakatuwid, ang posibilidad na, sabihin nating, ang molekula 1 ay nasa kaliwang kalahati ng sisidlan ay P/a 1/2. Ang pananatili ng molekula 1 sa kaliwang kalahati ng sisidlan at ang pananatili ng molekula 2 sa parehong kalahati ng sisidlan ay mga kaganapang independyente sa istatistika. Samakatuwid, ang posibilidad ng 1 hanggang 2 molekula na sabay-sabay sa kaliwang bahagi ng sisidlan ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad, i.e. Sa pagpapatuloy ng mga argumentong ito, nakita namin na ang posibilidad ng sabay-sabay na presensya ng lahat ng apat na molekula sa kaliwang kalahati ng sisidlan ay katumbas ng (1/2).
Ang katulad na pangangatwiran ay nagpapakita na ang posibilidad ng anumang pag-aayos ng mga molekula sa isang sisidlan (sabihin, isa kung saan ang ika-1 at ika-4 na molekula ay nasa kaliwang kalahati ng sisidlan, at ang ika-2 at ika-3 sa kanang kalahati) ay katumbas din ng ( 1/2). Ang bawat isa sa mga pagkakalagay ay kumakatawan sa isang partikular na microstate ng gas.
Mula sa itaas ay sumusunod na ang posibilidad ng lahat ng microstates ay pareho at pantay
Sa mesa Ipinapakita ng 102.1 ang lahat ng naiisip na paraan ng pamamahagi ng mga molecule sa pagitan ng mga halves ng sisidlan (lahat ng microstates ng gas). Isang estado na nailalarawan sa katotohanan na, sabihin nating, mayroong isang molekula sa kaliwang bahagi ng sisidlan (hindi mahalaga kung alin ang isa), at tatlong molekula sa kanang bahagi, ay isang macrostate.
Talahanayan 102.1
Ipinapakita ng talahanayan na ang naturang macrostate ay tumutugma sa 4 na microstates. Samakatuwid, ang istatistikal na timbang ng isang ibinigay na macrostate ay 4, at ang probabilidad (ordinaryo, hindi thermodynamic) ay 4/16. Ang macrostate, kung saan mayroong parehong bilang ng mga molekula sa parehong bahagi ng sisidlan, ay natanto sa tulong ng anim na microstates.
Alinsunod dito, ang bigat ng istatistika nito ay 6, at ang posibilidad (karaniwan) ay 6/16.
Mula sa isinasaalang-alang na halimbawa, sumusunod na ang lahat ng microstates ng isang naibigay na sistema ay pantay na posibilidad, bilang isang resulta kung saan ang bigat ng istatistika ay lumalabas na proporsyonal sa posibilidad ng (karaniwan) na macrostate. Ang pahayag tungkol sa pantay na posibilidad ng lahat ng microstate ay nakasalalay sa batayan ng statistical physics at tinatawag na ergodic hypothesis.
Ayon sa talahanayan. 102.1 sa kaso ng apat na molekula, mayroong isang mataas na posibilidad (katumbas ng 1/8) na ang lahat ng mga molekula ay makokolekta sa isa sa mga kalahati ng sisidlan (kaliwa o kanan). Gayunpaman, habang ang bilang ng mga molekula ay tumataas, ang sitwasyon ay nagbabago nang malaki.
Hanapin natin ang bilang ng mga paraan (ang bilang ng mga microstate) kung saan maaaring makamit ang isang macrostate, na nailalarawan sa pamamagitan ng katotohanan na sa kaliwang kalahati ng sisidlan ay magkakaroon ng mga molekula mula sa kabuuang bilang ng N, at sa kanang kalahati - () mga molekula. Upang gawin ito, binibilang namin ang mga molekula, itinatalaga ang mga ito ng mga numero mula 1 hanggang N. Pagkatapos ay magsisimula kaming pumili ng isang molekula sa isang pagkakataon at ilagay ang mga ito sa kaliwang kalahati ng sisidlan. Ang unang molekula ay maaaring mapili sa N mga paraan, ang pangalawa sa (N-1) na mga paraan, ang pangatlo sa (N-2) na mga paraan, at sa wakas ang molekula ay maaaring mapili sa () na paraan. Ilagay ang natitirang (N-n) molekula sa kanang kalahati ng sisidlan.
Mula sa itaas ay sumusunod na ang bilang ng mga paraan kung saan ang isa ay maaaring random na pumili mula sa kabuuang bilang ng N molekula ng mga molekula para sa kaliwang kalahati ng sisidlan ay katumbas ng
Ang pagpaparami at paghahati ng numerong ito sa pamamagitan ng pagkuha ng expression
Gayunpaman, hindi lahat ng mga pamamaraan ay humahantong sa iba't ibang microstates. Ang mga indibidwal na microstate ay naiiba lamang sa hanay ng mga bilang ng mga molekula na pinili para sa bawat isa sa mga halves ng sisidlan, ngunit hindi sa pagkakasunud-sunod kung saan napili ang mga molekula na ito. Halimbawa, kapag nakuha ang mga sample
Sa mga ito, ang mga sample 1-2 at 2-1 ay tumutugma sa parehong microstate (1st at 2nd molecule sa kaliwang kalahati, 3rd molecule sa kanang kalahati). Ang parehong naaangkop sa mga sample 1-3 at 3-1, pati na rin sa 2-3 at 3-2. Kaya, ang mga sample na naiiba lamang sa permutation ng mga bilang ng mga molekula na napili para sa kaliwang kalahati ng sisidlan (tulad ng mga sample) ay tumutugma sa parehong microstate.
Samakatuwid, upang makuha ang bilang ng mga microstate sa tulong kung saan maaaring maisakatuparan ang macrostate, kailangan mong hatiin ang numero (102.1) sa. Bilang resulta, ang expression para sa bigat ng istatistika ay
Madaling i-verify iyon (tingnan ang Talahanayan 102.1).
Sa mesa Ipinapakita ng 102.2 ang mga halaga ng Q na kinakalkula gamit ang formula (102.2) para sa kaso Ang kabuuang bilang ng mga paraan upang ipamahagi ang 24 na molekula sa pagitan ng dalawang halves ng sisidlan ay 224-16,777,216, at sa dalawang kaso lamang ang lahat ng mga molekula ay puro sa isang ng mga kalahati ng sisidlan. Ang posibilidad ng naturang kaganapan ay humigit-kumulang . Ang apat na cubic centimeters ng hangin ay naglalaman ng tungkol sa mga molekula. Ang posibilidad na ang lahat ng mga molekulang ito ay maipon sa isang kalahati ng sisidlan ay katumbas ng dalawa na hinati ng dalawa sa kapangyarihan ng dalawa, na humigit-kumulang . Napakaliit ng posibilidad na ito na halos maituturing itong katumbas ng zero.
Talahanayan 102.2
Sa Fig. Ang Figure 102.2 ay nagpapakita ng isang graph na nagpapakita kung paano nagbabago ang bilang ng mga molekula sa isang kalahati ng sisidlan sa paglipas ng panahon. Ang numerong ito ay nagbabago sa average na halaga ng .
Ang mga random na paglihis ng mga halaga ng anumang pisikal na dami x mula sa average na halaga nito ay tinatawag na pagbabagu-bago ng dami na ito. Tinutukoy ang pagbabagu-bago ng
(102.3)
Ang arithmetic mean ng value (102.3) ay zero. Talaga,
Samakatuwid, bilang isang katangian ng pagbabagu-bago, kinukuha namin ang mean square fluctuation na katumbas ng
Ang higit na nagpapahiwatig ay ang kaugnay na pagbabagu-bago ng halagang x, na tinutukoy ng ratio
Sa statistical physics, napatunayan na ang kamag-anak na pagbabagu-bago ng isang additive na dami (ibig sabihin, isang dami na ang halaga para sa isang katawan ay katumbas ng kabuuan ng mga halaga para sa mga indibidwal na bahagi nito) ay inversely proportional sa square root ng numero N ng mga molekula na bumubuo sa katawan:
(102.6)
Magkalkula tayo batay sa data sa talahanayan. 102.1 kamag-anak na pagbabagu-bago sa bilang ng mga molekula sa kaliwang kalahati ng sisidlan. Magsasagawa kami ng mga kalkulasyon gamit ang formula (93.5). Sa mesa Ipinapakita ng 102.3 ang mga halaga ng pagbabagu-bago at ang kanilang posibilidad na P. Alinsunod sa mga datos na ito
Samakatuwid, ang mean square fluctuation ay katumbas ng at ang relative fluctuation ay katumbas ng 1/2 (ang average na value ay 2). Mga katulad na kalkulasyon na ginawa gamit ang data sa Talahanayan. 102.2, magbigay ng value na 2.45 para sa mean square fluctuation, at value na 0.204 para sa relative fluctuation. Madaling i-verify iyon
Ang relasyon na ito ay pare-pareho sa formula (102.6).
Mula sa mesa 102.2 ito ay sumusunod na ang mga paglihis mula sa average na bilang ng mga molekula (katumbas ng 12) ng hindi hihigit sa 2 mga molekula ay nangyayari na may posibilidad na 0.7, at ang mga paglihis ng hindi hihigit sa 3 mga molekula ay nagaganap na may posibilidad na 0.85.
Kung ang bilang ng mga molekula ay maaaring fractional, maaari nating sabihin na karamihan sa mga oras na ang gas ay nasa mga estado kung saan ang mga paglihis ng bilang ng mga molekula mula sa average ay hindi lalampas sa mean square fluctuation, ibig sabihin, 2.45.
Ang pagkakaroon ng isang proporsyon na katulad ng (102.7), nakuha namin ang kamag-anak na pagbabagu-bago ng bilang ng mga molekula sa kaliwang kalahati ng sisidlan para sa kaso kapag ang proporsyon na ito ay may anyo
kung saan ang resulta na nakuha ay nangangahulugan na ang halaga ng bilang ng mga molekula sa isa sa mga halves ng sisidlan ay sumasailalim sa mga pagbabago, sa pangkalahatan ay hindi lalampas sa isang ikasampung makabuluhang digit.
Sinuri namin ang mga pagbabago sa bilang ng mga molekula sa isa sa mga halves ng sisidlan. Ang iba pang mga macroscopic na katangian, tulad ng pressure, gas density sa iba't ibang mga punto sa espasyo, atbp., ay nakakaranas din ng mga pagbabago, ibig sabihin, mga paglihis mula sa mga average na halaga.
Talahanayan 102.3
Ang equilibrium ay isang macrostate ng system na hindi nagbabago sa paglipas ng panahon. Malinaw na ang kawalan ng ganitong ugali ay magiging pinaka-masasabing sa pinaka-malamang sa lahat ng mga macrostate na maiisip para sa isang naibigay na sistema. Ang posibilidad ng isang estado ay proporsyonal sa bigat ng istatistika nito. Samakatuwid, ang isang estado ng balanse ay maaaring tukuyin bilang isang estado na ang bigat ng istatistika ay pinakamataas.
Ang isang sistema sa isang ekwilibriyong estado ay kusang lumilihis mula sa ekwilibriyo paminsan-minsan. Gayunpaman, ang mga paglihis na ito ay maliit at maikli ang buhay. Ginugugol ng system ang karamihan ng oras nito sa isang estado ng balanse, na nailalarawan sa pamamagitan ng isang maximum na timbang sa istatistika.
Ang statistic physics ay nagpapakita ng kalikasan ng mga hindi maibabalik na proseso. Ipagpalagay natin na sa simula ang gas ay nasa kaliwang kalahati ng sisidlan, na pinaghihiwalay ng isang partisyon mula sa walang laman na kanang kalahati. Kung aalisin mo ang partition, ang gas ay kusang kumakalat sa buong sisidlan. Ang prosesong ito ay hindi maibabalik, dahil ang posibilidad na, bilang resulta ng thermal motion, ang lahat ng mga molekula ay magtitipon sa isa sa mga halves ng sisidlan, tulad ng nakita natin, ay halos zero. Dahil dito, sa kanyang sarili, nang walang panlabas na impluwensya, ang gas ay hindi makakapag-concentrate muli sa kaliwang kalahati ng sisidlan.
Kaya, ang proseso ng pagkalat ng gas sa buong sisidlan ay lumalabas na hindi maibabalik dahil sa ang katunayan na ang reverse na proseso ay hindi malamang. Ang konklusyon na ito ay maaaring pahabain sa iba pang mga proseso. Ang anumang hindi maibabalik na proseso ay isang proseso na ang kabaligtaran nito ay lubhang hindi malamang.
Natuklasan ni Maxwell ang isang landas na kalaunan ay naging malawak na highway. Sa susunod na daang taon, ang engrandeng edipisyo ng statistical mechanics ay naitayo, salamat sa bahagi ng gawain nina Ludwig Boltzmann at J. Willard Gibbs. (Si Gibbs ay ang unang mahusay na Amerikanong teoretikal na pisiko, na, tulad ng iba pang "mga propeta", ay ang huling kinilala sa kanyang sariling unibersidad. Sinasabi na ang presidente ng Yale University, na nagpasya na lumikha ng isang departamento ng pisika, ay bumaling sa ilang Mga European scientist para sa tulong. Ipinadala nila siya kay Willard Gibbs, na hindi kilala ng Presidente. Si Gibbs ay nasa staff ng Yale University noong panahong iyon.)
Ang kakanyahan ng istatistikal na hypothesis na binuo para sa mga gas ay sumuko tayo sa pagsisikap na malaman ang eksaktong posisyon at bilis ng bawat isa sa maraming mga particle na bumubuo sa system, at sa halip ay ipinapalagay, maliban kung mayroong anumang karagdagang impormasyon, na para sa bawat particle sa ang sistema ang lahat ng posibleng mga posisyon at ang mga direksyon ng bilis ay pantay na maaaring mangyari (ang salitang equally probable ay dapat bigyang-diin lalo na). Mayroon kaming ilang impormasyon: ipinapalagay na ang kabuuang enerhiya ng system E at ang kabuuang bilang ng mga particle sa loob nito N ay naayos (ipinapalagay namin na ang enerhiya at bilang ng mga particle ay natipid). Samakatuwid, ang ilang mga kumbinasyon ng mga pinagsama-samang butil na bilis at mga posisyon ay ipinagbabawal; Bilang isang halimbawa ng isang ipinagbabawal na sistema, ipahiwatig namin ang gayong kumbinasyon kapag ang hindi bababa sa isang particle ay may enerhiya na mas malaki kaysa sa E: sa kasong ito, ang kabuuang enerhiya ng system ay lalampas sa E.
Maaaring isipin ng isang tao ang isang sitwasyon kung saan ang lahat ng enerhiya ng isang gas ay namuhunan sa isang particle, na gumagalaw sa napakataas na bilis na naaayon sa enerhiya, habang ang natitirang mga particle ay nakatayo pa rin. Nararamdaman namin, gayunpaman, na ang gayong pagsasaayos ay malamang na hindi "mabubuhay", dahil inaasahan ng isang tao na ang isang mabilis na gumagalaw na butil ay sasalungat sa iba pang mga particle at ibibigay ang ilan sa enerhiya nito sa kanila. Ang isa pang kumbinasyon ay posible rin, kapag ang kabuuang enerhiya ng gas ay nahahati nang pantay-pantay sa pagitan ng lahat ng mga molekula, na gumagalaw sa pantay na pagbuo ng isa-isa sa parehong bilis; ngunit ang sitwasyong ito, gaya ng sinasabi sa atin ng intuwisyon, ay mukhang hindi malamang, dahil ang mga banggaan ay hahantong sa pagkagulo ng paggalaw.
Isaalang-alang natin ang lahat ng posibleng (at naiiba sa bawat isa) na mga distribusyon ng mga molekula sa kalawakan at sa bilis, na nagbibigay-kasiyahan sa mga kondisyon na ang enerhiya E at ang bilang ng mga particle N ay nananatiling hindi nagbabago kapag ang lahat ng mga molekula ay nasa isang sulok ng sisidlan at mayroong parehong bilis, kapag sila ay nasa ibang sulok at may ibang bilis, atbp., ibig sabihin, isasaalang-alang namin ang lahat ng posibleng kumbinasyon. Hanapin natin ngayon ang pinaka-malamang na pamamahagi ng mga posisyon at bilis ng mga molekula. Ang problemang ito ay malulutas sa ilalim ng mga kundisyong nakalista sa itaas. Ang pangunahing ideya ng mga istatistika ay nakasalalay sa hypothesis na kung ang isang sistema
ay nasa isang ibinigay na temperatura (sa thermal equilibrium, tulad ng isang gas sa isang sisidlan), ang mga bilis at posisyon ng mga molekula ay inilalarawan ng pinaka-malamang na pamamahagi. Alam ang pinaka-malamang na pamamahagi ng mga molekula, posible na kalkulahin ang koepisyent ng lagkit, presyon at iba pang mga dami.
Ang pamamahagi ng Maxwell-Boltzmann ay nangangailangan na ang mga particle ay pantay na ipamahagi sa espasyo at ang kanilang mga bilis tulad ng ipinapakita sa Fig. 385.
Ito ang pinakamalamang na pamamahagi ng mga particle sa mga posisyon at bilis, sa kondisyon na ang lahat ng mga pagsasaayos ay pantay na posibilidad, at ang kabuuang bilang ng mga particle at ang kanilang kabuuang enerhiya ay naayos.
Kaya, ginagawa namin nang walang pagpapalagay ng pagkakapantay-pantay ng mga bilis ng butil at hindi nilulutas ang mga equation ng paggalaw kung saan maaari naming makuha ang eksaktong mga halaga ng mga coordinate at bilis ng bawat butil, ngunit ipinakilala namin ang pinaka-malamang na pamamahagi ng mga posisyon sa espasyo. at mga bilis para sa lahat ng mga particle. Ang napaka-radikal na palagay na ito ay higit pa sa mga batas ng mekanika; ito ay hindi walang dahilan na ito ay tinalakay at sinuri nang mahabang panahon at masinsinang matapos ang Maxwell at Boltzmann. Ang palagay na ito ay nabuo sa iba't ibang paraan. Ngunit sa esensya ang lahat ay nagmumula sa isang purong intuitive na hula na sa anumang tunay na pisikal na sitwasyon, ang hindi malamang na mga distribusyon ng mga molekula (kapwa sa kalawakan at sa bilis) ay hindi maaaring lumitaw nang madalas na magkaroon ng hindi bababa sa ilang impluwensya sa mga katangian ng ekwilibriyo ng system.
Ilarawan natin ang kahulugan ng hypothesis na ito sa ilang mga halimbawa. Isaalang-alang ang isang gas na binubuo ng isang malaking bilang ng mga particle na nakapaloob sa isang lalagyan. Posibleng mangyari ang gayong pamamahagi ng mga particle kapag ang lahat ng mga particle ay gumagalaw sa isang direksyon, tumama sa isang punto sa isang pader ng sisidlan, at wala sa kanila ang tumama sa tapat ng dingding.
pader (Larawan 386). Bilang resulta ng paggalaw na ito, isang makabuluhang puwersa ang ilalapat sa isang pader ng sisidlan, ngunit walang puwersa ang ilalapat sa kabilang pader, kaya't ang buong sisidlan ay tatalbog patagilid hanggang ang kabaligtaran na pader ay bumangga sa mga molekula, pagkatapos nito ang sisidlan ay talbog pabalik. Posible, ngunit hindi malamang. Ito ay malamang na ang mga molekula ay magagawang pansamantalang ayusin ang kanilang paggalaw at magsimulang lumipat sa isang direksyon sa halip na random na nagmamadali sa lahat ng direksyon.
Fig. 386. Lahat ng molecule ay gumagalaw sa parehong direksyon.
Maaaring mangyari din na sa ilang mga punto ang lahat ng mga molekula ay biglang natagpuan ang kanilang mga sarili sa isang sulok ng sisidlan, at ang lahat ng iba pang bahagi ng sisidlan ay lilitaw na walang laman (Larawan 387). Sa sandaling ito, ang density ng gas sa isang sulok ng sisidlan ay magiging napakalaki, habang sa ibang mga bahagi ang density ay magiging zero. Posible rin ang sitwasyong ito, ngunit hindi malamang.
Ipagpalagay na mayroong 10,000 mga kotse sa isang paradahan at ang paradahan ay may isang labasan lamang; Kapag natapos ang football, lahat ng may-ari ng sasakyan ay nasa likod ng manibela. Ang tanong ay lumitaw: posible ba para sa lahat ng mga kotse na umalis sa paradahan sa isang tuluy-tuloy na stream, nang hindi bumubuo ng "mga jam ng trapiko" o mga akumulasyon ng mga kotse sa ilang mga lugar?
Fig. 387. Lahat ng molekula ay natipon sa isang sulok.
Siyempre, ito ay posible, ngunit ito ay lubhang hindi malamang maliban kung mayroong isang malaking bilang ng mga pulis trapiko sa pinangyarihan. Bilang isang patakaran, kapag ang isang paradahan ay nabakante, isang hindi kapani-paniwalang gulo ng mga kotse ang nabubuo, dahil ang bawat isa sa kanila ay halos random na gumagalaw, sinusubukang umalis sa paradahan.
Ang palagay na nakapaloob sa mga gawa nina Maxwell, Boltzmann at Gibbs ay katumbas ng pahayag na ang isang malaking bilang ng mga particle na sumusunod sa mga batas ng paggalaw ni Newton, sa pagkakaroon ng ilang mga panlabas na paghihigpit (halimbawa, ang katatagan ng kabuuang enerhiya at ang kabuuang bilang ng mga particle), bilang resulta ng magkasalungat na banggaan, sa kalaunan ay napupunta sa ilang karaniwang estado. Mula sa sikat na Boltzmann theorem (theorem) sumusunod na para sa ibinigay na mga paunang kondisyon, ang mga banggaan ng butil ay humahantong sa unti-unting pagtatatag
malamang na kondisyon. Ang mga istatistikal na mekanika ay nagpapagaan sa amin ng lahat ng mga abala na nauugnay sa paglutas ng mga equation ng paggalaw. Ito ay batay sa palagay na ang pamamahagi ng mga particle sa estado ng balanse ay ang pinaka-malamang, at pagkatapos ay nakukuha ang lahat ng mga kahihinatnan na nagmumula sa pamamahagi na ito. Malinaw na ang mga distribusyon ay maaari ding lumitaw na hindi ang pinaka-malamang. Ito ay hindi gaanong halata, gayunpaman, na ang mga naturang pamamahagi ay mabilis na mawawala kung ang sisidlan ay inalog o ang kaguluhan ay ipinakilala sa ibang paraan.