Narito ang mga problema sa cones, ang kondisyon ay nauugnay sa ibabaw na lugar nito. Sa partikular, sa ilang mga problema mayroong isang katanungan ng pagbabago ng lugar kapag ang pagtaas (pagbaba) ng taas ng kono o ang radius ng base nito. Teorya para sa paglutas ng mga problema sa . Isaalang-alang natin ang mga sumusunod na gawain:
27135. Ang circumference ng base ng kono ay 3, ang generator ay 2. Hanapin ang lugar ng lateral surface ng kono.
Ang lateral surface area ng cone ay katumbas ng:
Pagpapalit ng data:
75697. Ilang beses tataas ang lugar ng lateral surface ng cone kung ang generatrix nito ay tataas ng 36 beses, at ang radius ng base ay nananatiling pareho?
Cone lateral surface area:
Ang generatrix ay tumataas ng 36 beses. Ang radius ay nananatiling pareho, na nangangahulugan na ang circumference ng base ay hindi nagbago.
Nangangahulugan ito na ang lateral surface area ng binagong kono ay magkakaroon ng anyo:
Kaya, tataas ito ng 36 beses.
*Diretso ang relasyon, kaya ang problemang ito ay madaling malutas sa bibig.
27137. Ilang beses bababa ang lugar ng lateral surface ng cone kung ang radius ng base nito ay mababawasan ng 1.5 beses?
Ang lateral surface area ng cone ay katumbas ng:
Ang radius ay bumababa ng 1.5 beses, iyon ay:
Napag-alaman na ang lateral surface area ay bumaba ng 1.5 beses.
27159. Ang taas ng kono ay 6, ang generator ay 10. Hanapin ang lugar nito buong ibabaw, hinati ng Pi.
Buong ibabaw ng kono:
Kailangan mong hanapin ang radius:
Ang taas at generatrix ay kilala, gamit ang Pythagorean theorem kinakalkula namin ang radius:
kaya:
Hatiin ang resulta sa Pi at isulat ang sagot.
76299. Ang kabuuang lugar sa ibabaw ng kono ay 108. Ang isang seksyon ay iginuhit parallel sa base ng kono, na hinahati ang taas sa kalahati. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng cut off cone.
Ang seksyon ay dumadaan sa gitna ng taas na kahanay sa base. Nangangahulugan ito na ang radius ng base at ang generatrix ng cut off cone ay magiging 2 beses na mas mababa kaysa sa radius at generatrix ng orihinal na cone. Isulat natin ang ibabaw na lugar ng cut off cone:
Nakuha ito upang maging 4 na beses mas kaunting lugar ibabaw ng orihinal, ibig sabihin, 108:4 = 27.
*Dahil ang orihinal at cut off cone ay magkatulad na katawan, posible ring gamitin ang pagkakatulad na katangian:
27167. Ang radius ng base ng cone ay 3 at ang taas ay 4. Hanapin ang kabuuang surface area ng cone na hinati sa Pi.
Formula para sa kabuuang ibabaw ng isang kono:
Ang radius ay kilala, ito ay kinakailangan upang mahanap ang generatrix. 
Ayon sa Pythagorean theorem:
kaya:
Hatiin ang resulta sa Pi at isulat ang sagot.
Gawain. Ang lateral surface area ng kono ay apat na beses mas maraming lugar bakuran. Maghanap ng isang bagay katumbas ng cosine ang anggulo sa pagitan ng generatrix ng kono at ng eroplano ng base.
Ang lugar ng base ng kono ay: 
Ang geometry ay isang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga istruktura sa espasyo at ang mga ugnayan sa pagitan ng mga ito. Sa turn, ito rin ay binubuo ng mga seksyon, at isa sa mga ito ay stereometry. Kabilang dito ang pag-aaral ng mga katangian ng mga three-dimensional na figure na matatagpuan sa kalawakan: cube, pyramid, ball, cone, cylinder, atbp.
Ang cone ay isang katawan sa Euclidean space na napapalibutan ng conical surface at ang eroplano kung saan nakahiga ang mga dulo ng generators nito. Ang pagbuo nito ay nangyayari sa panahon ng proseso ng pag-ikot kanang tatsulok sa paligid ng alinman sa mga binti nito, kaya kabilang ito sa mga katawan ng rebolusyon.
Mga bahagi ng isang kono
Mayroong mga sumusunod na uri ng cones: pahilig (o hilig) at tuwid. Ang oblique ay isa na ang axis ay hindi sumasalubong sa gitna ng base nito sa tamang anggulo. Para sa kadahilanang ito, ang taas sa naturang kono ay hindi nag-tutugma sa axis, dahil ito ay isang segment na ibinaba mula sa tuktok ng katawan hanggang sa eroplano ng base nito sa isang anggulo ng 90 °.
Ang kono na ang axis ay patayo sa base nito ay tinatawag na tuwid. Ang axis at taas sa tulad ng isang geometric na katawan ay nag-tutugma dahil sa ang katunayan na ang vertex sa loob nito ay matatagpuan sa itaas ng gitna ng diameter ng base.
Ang cone ay binubuo ng mga sumusunod na elemento:
- Ang bilog na base nito.
- Lateral na ibabaw.
- Isang punto na hindi nakahiga sa eroplano ng base, na tinatawag na vertex ng kono.
- Mga segment na nag-uugnay sa mga punto ng bilog ng base ng isang geometric na katawan at ang vertex nito.
Ang lahat ng mga segment na ito ay mga generator ng kono. Ang mga ito ay hilig sa base ng geometric na katawan, at sa kaso ng isang kanang kono, ang kanilang mga projection ay pantay-pantay, dahil ang vertex ay katumbas ng layo mula sa mga punto ng bilog ng base. Kaya, maaari nating tapusin na sa isang regular (tuwid) na kono ang mga generator ay pantay, iyon ay, mayroon silang parehong haba at bumubuo ng parehong mga anggulo na may axis (o taas) at ang base.
Dahil sa isang pahilig (o hilig) na katawan ng rebolusyon ang vertex ay inilipat kaugnay sa gitna ng base plane, ang mga generatrice sa naturang katawan ay may iba't ibang haba at projection, dahil ang bawat isa sa kanila ay matatagpuan sa sa iba't ibang distansya mula sa alinmang dalawang punto ng base na bilog. Bilang karagdagan, ang mga anggulo sa pagitan ng mga ito at ang taas ng kono ay magkakaiba din.
Haba ng mga generatrice sa isang tuwid na kono
Tulad ng nakasulat kanina, ang taas sa tamang geometric na katawan ng rebolusyon ay patayo sa eroplano ng base. Kaya, ang generatrix, taas at radius ng base ay lumikha ng isang tamang tatsulok sa kono.
Iyon ay, alam ang base radius at taas, gamit ang formula mula sa Pythagorean theorem, maaari mong kalkulahin ang haba ng generatrix, na magiging katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng base radius at taas:
l 2 = r 2 + h 2 o l = √r 2 + h 2
kung saan l ang generator;
r - radius;
h - taas.
Generator sa isang inclined cone
Batay sa katotohanan na sa isang pahilig o hilig na kono ang mga generator ay walang parehong haba, hindi posible na kalkulahin ang mga ito nang walang karagdagang mga konstruksyon at kalkulasyon.
Una sa lahat, kailangan mong malaman ang taas, haba ng axis at base radius.
r 1 = √k 2 - h 2
kung saan ang r 1 ay ang bahagi ng radius sa pagitan ng axis at ng taas;
k - haba ng axis;
h - taas.
Bilang resulta ng pagdaragdag ng radius (r) at ang bahagi nito na nasa pagitan ng axis at taas (r 1), maaari mong malaman ang kumpletong nabuong generatrix ng kono, ang taas nito at bahagi ng diameter:
kung saan ang R ay ang binti ng isang tatsulok na nabuo sa pamamagitan ng taas, ang generator at bahagi ng diameter ng base;
r - radius ng base;
r 1 - bahagi ng radius sa pagitan ng axis at taas.
Gamit ang parehong formula mula sa Pythagorean theorem, mahahanap mo ang haba ng generatrix ng kono:
l = √h 2 + R 2
o, nang walang hiwalay na pagkalkula ng R, pagsamahin ang dalawang formula sa isa:
l = √h 2 + (r + r 1) 2.
Hindi alintana kung ang kono ay tuwid o pahilig at kung ano ang input data, ang lahat ng mga pamamaraan para sa paghahanap ng haba ng generatrix ay palaging bumababa sa isang resulta - ang paggamit ng Pythagorean theorem.
Seksyon ng kono
Ang axial ay isang eroplanong dumadaan sa axis o taas nito. Sa isang tuwid na kono, ang gayong seksyon ay isosceles triangle, kung saan ang taas ng tatsulok ay ang taas ng katawan, ang mga gilid nito ay ang mga generator, at ang base ay ang diameter ng base. Sa isang equilateral geometric body, ang axial section ay isang equilateral triangle, dahil sa cone na ito ang diameter ng base at ang mga generator ay pantay.
Ang eroplano ng seksyon ng axial sa isang tuwid na kono ay ang eroplano ng simetrya nito. Ang dahilan dito ay ang tuktok nito ay matatagpuan sa itaas ng gitna ng base nito, iyon ay, ang eroplano ng seksyon ng axial ay naghahati sa kono sa dalawang magkaparehong bahagi.
Dahil ang taas at axis ay hindi nagtutugma sa isang inclined volumetric body, ang axial section plane ay maaaring hindi kasama ang taas. Kung maraming mga seksyon ng ehe sa naturang kono ang maaaring itayo, dahil para dito isang kundisyon lamang ang dapat matugunan - dapat itong dumaan lamang sa axis, kung gayon ang seksyon ng axial ng eroplano kung saan ang taas ng kono na ito ay maaring iguguhit lamang isa, dahil ang bilang ng mga kundisyon ay tumataas, at, gaya ng nalalaman, dalawang tuwid na linya (magkasama) ay maaaring kabilang sa isang eroplano lamang.
Cross-sectional na lugar
Ang naunang nabanggit na seksyon ng axial ng kono ay isang tatsulok. Batay dito, ang lugar nito ay maaaring kalkulahin gamit ang formula para sa lugar ng isang tatsulok:
S = 1/2 * d * h o S = 1/2 * 2r * h
kung saan ang S ay ang cross-sectional area;
d - base diameter;
r - radius;
h - taas.
Sa isang pahilig o hilig na kono, ang cross-section sa kahabaan ng axis ay isa ring tatsulok, kaya ang cross-sectional area sa loob nito ay kinakalkula sa katulad na paraan.
Dami
Dahil ang isang kono ay isang three-dimensional na pigura sa tatlong-dimensional na espasyo, maaaring kalkulahin ang dami nito. Ang volume ng isang kono ay isang numero na nagpapakilala sa katawan na ito sa isang yunit ng volume, iyon ay, sa m3. Ang pagkalkula ay hindi nakasalalay sa kung ito ay tuwid o pahilig (pahilig), dahil ang mga formula para sa dalawang uri ng katawan na ito ay hindi magkaiba.
Tulad ng nabanggit kanina, ang pagbuo ng isang right cone ay nangyayari dahil sa pag-ikot ng isang right triangle kasama ang isa sa mga binti nito. Ang isang hilig o pahilig na kono ay nabuo nang iba, dahil ang taas nito ay inilipat palayo sa gitna ng eroplano ng base ng katawan. Gayunpaman, ang gayong mga pagkakaiba sa istraktura ay hindi nakakaapekto sa pamamaraan para sa pagkalkula ng dami nito.
Pagkalkula ng volume
Anumang cone ay ganito ang hitsura:
V = 1/3 * π * h * r 2
kung saan ang V ay ang dami ng kono;
h - taas;
r - radius;
Ang π ay isang pare-pareho na katumbas ng 3.14.
Upang makalkula ang taas ng isang katawan, kailangan mong malaman ang radius ng base at ang haba ng generatrix nito. Dahil ang radius, taas at generator ay pinagsama sa isang kanang tatsulok, ang taas ay maaaring kalkulahin gamit ang formula mula sa Pythagorean theorem (a 2 + b 2 = c 2 o sa aming kaso h 2 + r 2 = l 2, kung saan l ay ang generator). Ang taas ay kakalkulahin sa pamamagitan ng pagkuha ng square root ng pagkakaiba sa pagitan ng mga parisukat ng hypotenuse at ng kabilang binti:
a = √c 2 - b 2
Iyon ay, ang taas ng kono ay magiging katumbas ng halaga na nakuha pagkatapos kunin ang square root ng pagkakaiba sa pagitan ng square ng haba ng generatrix at ang square ng radius ng base:
h = √l 2 - r 2
Sa pamamagitan ng pagkalkula ng taas gamit ang pamamaraang ito at pag-alam sa radius ng base nito, maaari mong kalkulahin ang dami ng kono. Naglalaro ang guro mahalagang papel, dahil ito ay nagsisilbing pantulong na elemento sa mga kalkulasyon.
Katulad nito, kung malalaman ang taas ng isang katawan at ang haba ng generatrix nito, maaaring malaman ang radius ng base nito sa pamamagitan ng pagkuha Kuwadrado na ugat mula sa pagkakaiba sa pagitan ng parisukat ng generator at parisukat ng taas:
r = √l 2 - h 2
Pagkatapos, gamit ang parehong formula tulad ng nasa itaas, kalkulahin ang dami ng kono.
Dami ng isang hilig na kono
Dahil ang formula para sa dami ng isang kono ay pareho para sa lahat ng uri ng mga katawan ng pag-ikot, ang pagkakaiba sa pagkalkula nito ay ang paghahanap para sa taas.
Upang malaman ang taas ng isang inclined cone, ang input data ay dapat isama ang haba ng generatrix, ang radius ng base, at ang distansya sa pagitan ng gitna ng base at ang intersection ng taas ng katawan sa eroplano ng base nito. Sa pag-alam nito, madali mong makalkula ang bahaging iyon ng base diameter na magiging base ng isang tamang tatsulok (nabubuo ng taas, generatrix at eroplano ng base). Pagkatapos, muli gamit ang Pythagorean theorem, kalkulahin ang taas ng kono, at pagkatapos ay ang dami nito.
Ang mga katawan ng pag-ikot na pinag-aralan sa paaralan ay ang silindro, kono at bola.
Kung sa isang problema sa Unified State Exam sa matematika kailangan mong kalkulahin ang dami ng isang kono o ang lugar ng isang globo, isaalang-alang ang iyong sarili na mapalad.
Mag-apply ng mga formula para sa volume at surface area ng isang cylinder, cone at sphere. Lahat sila ay nasa table namin. Isapuso. Dito nagsisimula ang kaalaman sa stereometry.
Minsan magandang iguhit ang view mula sa itaas. O, tulad ng sa problemang ito, mula sa ibaba.
2. Ilang beses mas malaki ang volume ng cone sa isang regular na quadrangular pyramid kaysa sa volume ng cone na nakasulat sa pyramid na ito?
Ito ay simple - iguhit ang view mula sa ibaba. Nakikita natin na ang radius ng mas malaking bilog ay mas malaki ng beses kaysa sa radius ng mas maliit. Ang taas ng parehong cones ay pareho. Samakatuwid, ang dami ng mas malaking kono ay magiging dalawang beses na mas malaki.
Isa pa mahalagang punto. Tandaan na sa mga problema ng bahagi B Mga opsyon sa Pinag-isang State Exam sa matematika ang sagot ay nakasulat bilang isang integer o finite number decimal. Samakatuwid, hindi dapat magkaroon ng anuman o sa iyong sagot sa bahagi B. Hindi na kailangang palitan ang tinatayang halaga ng numero! Siguradong lumiit ito! Ito ay para sa layuning ito na sa ilang mga problema ang gawain ay nabuo, halimbawa, tulad ng sumusunod: "Hanapin ang lugar ng lateral surface ng cylinder na hinati."
Saan pa ginagamit ang mga formula para sa volume at surface area ng mga katawan ng rebolusyon? Siyempre, sa problema C2 (16). Sasabihin din namin sa iyo ang tungkol dito.
Ngayon sasabihin namin sa iyo kung paano hanapin ang generatrix ng isang kono, na kadalasang kinakailangan sa mga problema sa geometry ng paaralan.
Ang konsepto ng isang cone generatrix
Ang right cone ay isang figure na nakukuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng right triangle sa paligid ng isa sa mga binti nito. Ang base ng kono ay bumubuo ng isang bilog. Ang patayong seksyon ng kono ay isang tatsulok, ang pahalang na seksyon ay isang bilog. Ang taas ng isang kono ay ang segment na nagkokonekta sa tuktok ng kono sa gitna ng base. Ang generatrix ng cone ay isang segment na nag-uugnay sa vertex ng cone sa anumang punto sa linya ng base circle.
Dahil ang isang kono ay nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang tamang tatsulok, lumalabas na ang unang binti ng naturang tatsulok ay ang taas, ang pangalawa ay ang radius ng bilog na nakahiga sa base, at ang hypotenuse ay ang generatrix ng kono. Hindi mahirap hulaan na ang Pythagorean theorem ay kapaki-pakinabang para sa pagkalkula ng haba ng generator. At ngayon higit pa tungkol sa kung paano hanapin ang haba ng generatrix ng kono.
Paghahanap ng generator
Ang pinakamadaling paraan upang maunawaan kung paano makahanap ng generator ay sa tiyak na halimbawa. Ipagpalagay na ang mga sumusunod na kondisyon ng problema ay ibinigay: ang taas ay 9 cm, ang diameter ng base na bilog ay 18 cm. Ito ay kinakailangan upang makahanap ng isang generatrix.
Kaya, ang taas ng kono (9 cm) ay isa sa mga binti ng kanang tatsulok sa tulong kung saan nabuo ang kono na ito. Ang pangalawang binti ay ang radius ng base na bilog. Ang radius ay kalahati ng diameter. Kaya, hinahati namin ang diameter na ibinigay sa amin sa kalahati at makuha ang haba ng radius: 18:2 = 9. Ang radius ay 9.
Ngayon ay napakadaling mahanap ang generatrix ng kono. Dahil ito ang hypotenuse, ang parisukat ng haba nito ay magiging katumbas ng kabuuan mga parisukat ng mga binti, iyon ay, ang kabuuan ng mga parisukat ng radius at taas. Kaya, ang parisukat ng haba ng generator = 64 (ang parisukat ng haba ng radius) + 64 (ang parisukat ng haba ng taas) = 64x2 = 128. Ngayon ay kinukuha natin ang square root ng 128. Bilang isang resulta, nakakakuha tayo ng walong ugat ng dalawa. Ito ang magiging generatrix ng kono.
Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado tungkol dito. Halimbawa, kinuha namin simpleng kondisyon mga gawain, gayunpaman kurso sa paaralan maaari silang maging mas kumplikado. Tandaan na upang makalkula ang haba ng generatrix kailangan mong malaman ang radius ng bilog at ang taas ng kono. Alam ang data na ito, madaling mahanap ang haba ng generatrix.