В общем случае эта задача предполагает творческий подход, так как не существует универсального метода ее решения. Но все же попробуем дать несколько наводок.
В подавляющем числе случаев, разложение многочлена на множители основано на следствии из теоремы Безу, то есть находится или подбирается корень и понижается степень многочлена на единицу делением на . У полученного многочлена ищется корень и процесс повторяется до полного разложения.
Если же корень найти не удается, то используются специфические способы разложения: от группировки, до ввода дополнительных взаимоисключающих слагаемых.
Дальнейшее изложение базируется на навыках решения уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.
Вынесение за скобки общего множителя.
Начнем с простейшего случая, когда свободный член равен нулю, то есть многочлен имеет вид .
Очевидно, что корнем такого многочлена является , то есть многочлен представим в виде .
Этот способ есть ни что иное как вынесение общего множителя за скобки .
Пример.
Разложить многочлен третьей степени на множители.
Решение.
Очевидно, что является корнем многочлена, то есть х можно вынести за скобки:
Найдем
корни квадратного трехчлена 
Таким
образом,
К началу страницы
Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.
Сначала рассмотрим способ разложения многочлена с целыми коэффициентами вида , коэффициент при старшей степени равен единице.
В этом случае, если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.
Пример.
Решение.
Проверим,
имеются ли целые корни. Для этого
выписываем делители числа -18
: .
То есть, если многочлен имеет целые
корни, то они находятся среди выписанных
чисел. Последовательно проверим эти
числа по схеме
Горнера. Ее удобство еще и в том, что
в итоге получим и коэффициенты разложения
многочлена:
То есть, х=2 и х=-3 являются корнями исходного многочлена и он представим в виде произведения:
Осталось разложить квадратный трехчлен .
Дискриминант этого трехчлена отрицательный, следовательно, он не имеет действительных корней.
Ответ:
Замечание:
вместо схемы Горнера можно было воспользоваться подбором корня и последующим делением многочлена на многочлен.
Теперь рассмотрим разложение многочлена с целыми коэффициентами вида , причем коэффициент при старшей степени не равен единице.
В этом случае многочлен может иметь дробно рациональные корни.
Пример.
Разложить на множители выражение .
Решение.
Выполнив
замену переменной y=2x
,
перейдем к многочлену с коэффициентом
равным единице при старшей степени. Для
этого сначала домножим выражение на 4
.
Если полученная функция имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем их:
Вычислим
последовательно значения функции g(y)
в
этих точках до получения нуля.
Многочлен представляет собой выражение, состоящее из суммы одночленов. Последние являются произведением константы (числа) и корня (или корней) выражения в степени k. В таком случае говорят о многочлене степени k. Разложение многочлена предполагает трансформацию выражения, при которой на смену слагаемых приходят множители. Рассмотрим основные способы проведения такого рода преобразования.
Метод разложения многочлена путем выделения общего множителя
Данный способ основывается на закономерностях распределительного закона. Так, mn + mk = m * (n + k).
- Пример: разложите 7y 2 + 2uy и 2m 3 – 12m 2 + 4lm.
7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),
2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 – 6m + 2l).
Однако, множитель, присутствующий обязательно в каждом многочлене может найтись не всегда, поэтому данный способ не является универсальным.
Метод разложения многочлена на базе формул сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения справедливы для многочлена любой степени. В общем виде выражение-преобразование выглядит следующим образом:
u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), где k является представителем натуральных чисел.
Наиболее часто на практике применяются формулы для многочленов второго и третьего порядков:
u 2 – l 2 = (u – l)(u + l),
u 3 – l 3 = (u – l)(u 2 + ul + l 2),
u 3 + l 3 = (u + l)(u 2 – ul + l 2).
- Пример: разложите 25p 2 – 144b 2 и 64m 3 – 8l 3 .
25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),
64m 3 – 8l 3 = (4m) 3 – (2l) 3 = (4m – 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m – 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2).
Метод разложения многочлена – группировка слагаемых выражения
Данный метод некоторым образом перекликается с техникой выведения общего множителя, но имеет некоторые отличия. В частности, перед тем, как выделять общий множитель, следует произвести группировку одночленов. В основе группирования лежат правила сочетательного и переместительного законов.
Все одночлены, представленные в выражении разбиваются на группы, в каждой из которых выносится общее значение такое, что второй множитель будет одинаковым во всех группах. В общем виде подобный способ разложения можно представить в виде выражения:
pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),
pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).
- Пример: разложите 14mn + 16ln – 49m – 56l.
14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).
Метод разложения многочлена – формирование полного квадрата
Данный способ является одним из наиболее эффективных в ходе разложения многочлена. На первоначальном этапе необходимо определить одночлены, которые можно “свернуть” в квадрат разности или суммы. Для этого используется одно из соотношений:
(p – b) 2 = p 2 – 2pb + b 2 ,
- Пример: разложите выражение u 4 + 4u 2 – 1.
Выделим среди его одночленов слагаемые, которые образуют полный квадрат: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =
= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.
Завершаете преобразование, используя правила сокращенного умножения: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
Т.о. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
Очень часто числитель и знаменатель дроби представляют собой алгебраические выражения, которые сначала нужно разложить на множители, а потом, обнаружив среди них одинаковые, разделить на них и числитель, и знаменатель, то есть сократить дробь. Заданиям разложить многочлен на множители посвящена целая глава учебника по алгебре в 7-м классе. Разложение на множители можно осуществить 3 способами , а также комбинацией этих способов.
1. Применение формул сокращенного умножения
Как известно, чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно каждое слагаемое одного многочлена умножить на каждое слагаемое другого многочлена и полученные произведения сложить. Есть, как минимум, 7 (семь) часто встречающихся случаев умножения многочленов, которые вошли в понятие . Например,
Таблица 1. Разложение на множители 1-м способом
2. Вынесение общего множителя за скобку
Этот способ основан на применении распределительного закона умножения. Например,
Каждое слагаемое исходного выражения мы делим на множитель, который выносим, и получаем при этом выражение в скобках (то есть в скобках остаётся результат деления того, что было, на то, что выносим). Прежде всего нужно правильно определить множитель , который надо вынести за скобку.
Общим множителем может быть и многочлен в скобках:
При выполнении задания «разложите на множители» надо быть особенно внимательным со знаками при вынесении общего множителя за скобки. Чтобы поменять знак у каждого слагаемого в скобке (b — a) , вынесем за скобку общий множитель -1 , при этом каждое слагаемое в скобке разделится на -1: (b — a) = — (a — b) .
В том случае если выражение в скобках возводится в квадрат (или в любую чётную степень), то числа внутри скобок можно менять местами совершенно свободно, так как вынесенные за скобки минусы при умножении всё равно превратятся в плюс: (b — a) 2 = (a — b) 2 , (b — a) 4 = (a — b) 4 и так далее…
3. Способ группировки
Иногда общий множитель имеется не у всех слагаемых в выражении, а только у некоторых. Тогда можно попробовать сгруппировать слагаемые в скобки так, чтобы из каждой можно было какой-то множитель вынести. Способ группировки - это двойное вынесение общих множителей за скобки.
4. Использование сразу нескольких способов
Иногда нужно применить не один, а несколько способов разложения многочлена на множители сразу.
Это конспект по теме «Разложение на множители» . Выберите дальнейшие действия:
- Перейти к следующему конспекту:
На данном уроке мы вспомним все ранее изученные методы разложения многочлена на множители и рассмотрим примеры их применения, кроме того, изучим новый метод - метод выделения полного квадрата и научимся применять его при решении различных задач.
Тема: Разложение многочленов на множители
Урок: Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов
Напомним основные методы разложения многочлена на множители, которые были изучены ранее:
Метод вынесения общего множителя за скобки, то есть такого множителя, который присутствует во всех членах многочлена. Рассмотрим пример:
Напомним, что одночлен есть произведение степеней и чисел. В нашем примере в обоих членах есть некоторые общие, одинаковые элементы.
Итак, вынесем общий множитель за скобки:
;
Напомним, что перемножив вынесенный множитель на скобку можно проверить правильность вынесения.
Метод группировки. Не всегда в многочлене можно вынести общий множитель. В таком случае нужно его члены разбить на группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель и постараться разбить так, чтобы после вынесения множителей в группах появился общий множитель у всего выражения, и можно было бы продолжить разложение. Рассмотрим пример:
Сгруппируем первый член с четвертым, второй с пятым, и третий соответственно с шестым:
Вынесем общие множители в группах:
У выражения появился общий множитель. Вынесем его:
Применение формул сокращенного умножения. Рассмотрим пример:
;
Распишем выражение подробно:
Очевидно, что перед нами формула квадрата разности, так как есть сумма квадратов двух выражений и из нее вычитается их удвоенное произведение. Свернем по формуле:
Сегодня мы выучим еще один способ - метод выделения полного квадрата. Он базируется на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Напомним их:
Формула квадрата суммы(разности);
Особенность этих формул в том, что в них есть квадраты двух выражений и их удвоенное произведение. Рассмотрим пример:
Распишем выражение:
Итак, первое выражение это , а второе .
Для того, чтобы составить формулу квадрата суммы или разности не хватает удвоенного произведения выражений. Его нужно прибавить и отнять:
Свернем полный квадрат суммы:
Преобразуем полученное выражение:
Применим формулу разности квадратов, напомним, что разность квадратов двух выражений есть произведение и суммы на их разность:
Итак, данный метод заключается, прежде всего, в том, что нужно выявить выражения a и b, которые стоят в квадрате, то есть определить, квадраты каких выражений стоят в данном примере. После этого нужно проверить наличие удвоенного произведения и если его нет, то прибавить и отнять его, от этого смысл примера не изменится, но многочлен можно будет разложить на множители, используя формулы квадрата суммы или разности и разности квадратов, если есть такая возможность.
Перейдем к решению примеров.
Пример 1 - разложить на множители:
Найдем выражения, которые стоят в квадрате:
Запишем, каким должно быть их удвоенное произведение:
Прибавим и отнимем удвоенное произведение:
Свернем полный квадрат суммы и приведем подобные::
Распишем по формуле разности квадратов:
Пример 2 - решить уравнение:
;
В левой части уравнения стоит трехчлен. Нужно разложить его на множители. Используем формулу квадрата разности :
У нас есть квадрат первого выражения и удвоенное произведение, не хватает квадрата второго выражения, прибавим и отнимем его:
Свернем полный квадрат и приведем подобные члены:
Применим формулу разности квадратов:
Итак, имеем уравнение 
Мы знаем, что произведение равно нулю только если хотя бы один из множителей равен нулю. Составим на этом основании уравнения:
Решим первое уравнение:
Решим второе уравнение:
Ответ: или
;
Поступаем аналогично предыдущему примеру - выделяем квадрат разности.
Калькулятор онлайн.
Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена.
Эта математическая программа выделяет квадрат двучлена из квадратного трехчлена
, т.е. делает преобразование вида:\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) и раскладывает на множители квадратный трехчлен : \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)
Т.е. задачи сводятся к нахождению чисел \(p, q \) и \(n, m \)
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного трехчлена, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода квадратного многочлена
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x - 3,5x^2
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Результат: \(3\frac{1}{3} - 5\frac{6}{5} x + \frac{1}{7}x^2 \)
При вводе выражения можно использовать скобки
. В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
Пример подробного решения
Выделение квадрата двучлена.
$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$
$$2x^2+2x-4 = $$
$$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left(\frac{1}{2} \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} = $$
$$2\left(x^2 + 2 \cdot\left(\frac{1}{2} \right)\cdot x + \left(\frac{1}{2} \right)^2 \right)-\frac{9}{2} = $$
$$2\left(x+\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} $$
Ответ:
$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac{1}{2} \right)^2-\frac{9}{2} $$
Разложение на множители.
$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$
$$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$
$$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) \right) = $$
$$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$
Ответ:
$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена
Если квадратный трехчлен aх 2 +bx+c представлен в виде a(х+p) 2 +q, где p и q - действительные числа, то говорят, что из квадратного трехчлена выделен квадрат двучлена .
Выделим из трехчлена 2x 2 +12x+14 квадрат двучлена.
\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)
Для этого представим 6х в виде произведения 2*3*х, а затем прибавим и вычтем 3 2 . Получим:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$
$$ = 2((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$
Т.о. мы выделили квадрат двучлена из квадратного трехчлена
, и показоли, что:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$
Разложение на множители квадратного трехчлена
Если квадратный трехчлен aх 2 +bx+c представлен в виде a(х+n)(x+m), где n и m - действительные числа, то говорят, что выполнена операция разложения на множители квадратного трехчлена .
Покажем на примере как это преобразование делается.
Разложим квадратный трехчлен 2x 2 +4x-6 на множители.
Вынесем за скобки коэффициент a, т.е. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)
Преобразуем выражение в скобках.
Для этого представим 2х в виде разности 3x-1x, а -3 в виде -1*3. Получим:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$
Т.о. мы разложили на множители квадратный трехчлен
, и показоли, что:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$
Заметим, что разложение на множители квадратного трехчлена возможно только тогда, когда, квадратное уравнение, соответсвующее этому
трехчлену имеет корни.
Т.е. в нашем случае разложить на множители трехчлен 2x 2 +4x-6 возможно, если квадратное уравнение 2x 2 +4x-6 =0
имеет корни. В процессе разложения на множители мы установили, что уравнение 2x 2 +4x-6 =0 имеет два корня 1 и -3,
т.к. при этих значениях уравнение 2(x-1)(x+3)=0 обращается в верное равенство.