Πολλοί μαθητές ξεχνούν πώς να κάνουν long division μέχρι να φτάσουν στο γυμνάσιο. Οι υπολογιστές, οι αριθμομηχανές, τα κινητά τηλέφωνα και άλλες συσκευές έχουν γίνει τόσο αναπόσπαστα στη ζωή μας που μερικές φορές οι στοιχειώδεις μαθηματικές πράξεις μας αφήνουν έκπληκτους. Και πώς τα κατάφεραν οι άνθρωποι χωρίς όλα αυτά τα οφέλη πριν από μερικές δεκαετίες; Αρχικά, πρέπει να θυμάστε τις κύριες μαθηματικές έννοιες που χρειάζονται για τη διαίρεση. Άρα, το μέρισμα είναι ο αριθμός που θα διαιρεθεί. Διαιρέτης – ο αριθμός με τον οποίο πρέπει να διαιρεθεί. Αυτό που προκύπτει ως αποτέλεσμα ονομάζεται πηλίκο. Για να χωρίσετε σε μια γραμμή, χρησιμοποιήστε ένα σύμβολο παρόμοιο με την άνω και κάτω τελεία - ":", και όταν χωρίζετε σε μια στήλη, χρησιμοποιήστε το εικονίδιο "∟", ονομάζεται επίσης γωνία.
Αξίζει επίσης να υπενθυμίσουμε ότι οποιαδήποτε διαίρεση μπορεί να ελεγχθεί με πολλαπλασιασμό. Για να ελέγξετε το αποτέλεσμα της διαίρεσης, απλώς πολλαπλασιάστε το με τον διαιρέτη· το αποτέλεσμα πρέπει να είναι ένας αριθμός που αντιστοιχεί στο μέρισμα (a: b=c, επομένως, c*b=a). Τώρα για το τι είναι ένα δεκαδικό κλάσμα. Ένα δεκαδικό κλάσμα προκύπτει διαιρώντας τη μονάδα με το 0,0, το 1000 και ούτω καθεξής. Η καταγραφή αυτών των αριθμών και οι μαθηματικές πράξεις με αυτούς είναι ακριβώς οι ίδιες με τους ακέραιους. Κατά τη διαίρεση δεκαδικών κλασμάτων, δεν χρειάζεται να θυμάστε πού βρίσκεται ο παρονομαστής. Όλα γίνονται ξεκάθαρα όταν σημειώνετε τον αριθμό. Πρώτα γράφεται ο ακέραιος αριθμός και μετά την υποδιαστολή γράφονται τα δέκατα, τα εκατοστά, τα χιλιοστά του. Το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή αντιστοιχεί σε δεκάδες, το δεύτερο σε εκατοντάδες, το τρίτο σε χιλιάδες κ.λπ.
Κάθε μαθητής πρέπει να ξέρει πώς να διαιρεί τα δεκαδικά ψηφία. Αν και το μέρισμα και ο διαιρέτης πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, τότε η απάντηση, δηλαδή το πηλίκο, δεν θα αλλάξει. Εάν ένα δεκαδικό κλάσμα πολλαπλασιαστεί με 0,0, 1000, κ.λπ., τότε το κόμμα μετά τον ακέραιο αριθμό θα αλλάξει τη θέση του - θα μετακινηθεί προς τα δεξιά με τον ίδιο αριθμό ψηφίων που υπάρχουν μηδενικά στον αριθμό που πολλαπλασιάστηκε με. Για παράδειγμα, όταν πολλαπλασιάζουμε ένα δεκαδικό με 10, η υποδιαστολή θα μετακινήσει έναν αριθμό προς τα δεξιά. 2,9: 6,7 – πολλαπλασιάζουμε και τον διαιρέτη και το μέρισμα με 100, παίρνουμε 6,9: 3687. Είναι καλύτερο να πολλαπλασιάσουμε έτσι ώστε όταν πολλαπλασιαστεί με αυτόν, τουλάχιστον ένας αριθμός (διαιρέτης ή μέρισμα) δεν έχει ψηφία μετά την υποδιαστολή , δηλαδή να γίνει τουλάχιστον ένας αριθμός ακέραιος. Μερικά ακόμη παραδείγματα μετακίνησης κόμματος μετά από έναν ακέραιο: 9.2: 1.5 = 2492: 2.5; 5,4:4,8 = 5344:74598.
Προσοχή, το δεκαδικό κλάσμα δεν θα αλλάξει την τιμή του εάν προστεθούν μηδενικά στη δεξιά πλευρά, για παράδειγμα 3,8 = 3,0. Επίσης, η τιμή του κλάσματος δεν θα αλλάξει εάν τα μηδενικά στο τέλος του αριθμού αφαιρεθούν από τα δεξιά: 3,0 = 3,3. Ωστόσο, δεν μπορείτε να αφαιρέσετε μηδενικά στη μέση του αριθμού - 3.3. Πώς να διαιρέσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό σε μια στήλη; Για να διαιρέσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό σε μια στήλη, πρέπει να κάνετε τον κατάλληλο συμβολισμό με μια γωνία, διαιρέστε. Στο πηλίκο, πρέπει να μπει κόμμα όταν τελειώνει η διαίρεση του ακέραιου. Για παράδειγμα, 5.4|2 14 7.2 18 18 0 4 4 0Εάν το πρώτο ψηφίο του αριθμού στο μέρισμα είναι μικρότερο από το διαιρέτη, τότε χρησιμοποιούνται τα επόμενα ψηφία μέχρι να είναι δυνατή η εκτέλεση της πρώτης ενέργειας.
ΣΕ σε αυτήν την περίπτωση, το πρώτο ψηφίο του μερίσματος είναι 1, δεν μπορεί να διαιρεθεί με το 2, επομένως για διαίρεση χρησιμοποιούμε δύο ψηφία 1 και 5 ταυτόχρονα: το 15 διαιρείται με το 2 με το υπόλοιπο, αποδεικνύεται ότι είναι πηλίκο 7 και το υπόλοιπο παραμένει 1. Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε το επόμενο ψηφίο του μερίσματος - 8. Κατεβαίνουμε στο 1 και διαιρούμε το 18 με το 2. Στο πηλίκο γράφουμε τον αριθμό 9. Δεν μένει τίποτα στο υπόλοιπο, οπότε γράφουμε 0. μετακινήστε τον υπόλοιπο αριθμό 4 του μερίσματος προς τα κάτω και διαιρέστε με τον διαιρέτη, δηλαδή με το 2. Γράφουμε το 2 στο πηλίκο, και το υπόλοιπο είναι πάλι 0. Το αποτέλεσμα αυτής της διαίρεσης είναι ο αριθμός 7.2. Λέγεται ιδιωτικό. Είναι αρκετά εύκολο να λύσετε το ερώτημα πώς να διαιρέσετε ένα δεκαδικό με ένα δεκαδικό αν γνωρίζετε μερικά κόλπα. Η διανοητική διαίρεση των δεκαδικών ψηφίων είναι μερικές φορές αρκετά δύσκολη, επομένως η μεγάλη διαίρεση χρησιμοποιείται για να διευκολύνει τη διαδικασία.
Με αυτή τη διαίρεση, ισχύουν όλοι οι ίδιοι κανόνες όπως όταν διαιρούμε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν ακέραιο ή όταν διαιρούμε σε μια συμβολοσειρά. Στην αριστερή πλευρά της γραμμής γράφουν το μέρισμα, μετά βάζουν το σύμβολο "γωνία" και μετά γράφουν τον διαιρέτη και αρχίζουν τη διαίρεση. Για να διευκολύνετε τη διαίρεση και να μετακινήσετε ένα κόμμα μετά από έναν ακέραιο αριθμό σε ένα βολικό μέρος, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε με δεκάδες, εκατοντάδες ή χιλιάδες. Για παράδειγμα, 9,2: 1,5 = 24920: 125. Προσοχή, και τα δύο κλάσματα πολλαπλασιάζονται με 0,0, 1000. Εάν το μέρισμα πολλαπλασιάστηκε με 10, τότε ο διαιρέτης πολλαπλασιάζεται επίσης με 10. Σε αυτό το παράδειγμα, τόσο το μέρισμα όσο και ο διαιρέτης πολλαπλασιάστηκαν με 100. Στη συνέχεια, ο υπολογισμός εκτελείται με τον ίδιο τρόπο όπως φαίνεται στο παράδειγμα της διαίρεσης δεκαδικό κλάσμα με φυσικό αριθμό. Για να διαιρεθεί με το 0,1; 0,1; 0,1 κλπ. είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε και τον διαιρέτη και το μέρισμα με 0,0, 1000.
Αρκετά συχνά, κατά τη διαίρεση σε ένα πηλίκο, δηλ. στην απάντηση, προκύπτουν άπειρα κλάσματα. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να στρογγυλοποιήσετε τον αριθμό σε δέκατα, εκατοστά ή χιλιοστά. Σε αυτήν την περίπτωση, ισχύει ο κανόνας: εάν μετά τον αριθμό στον οποίο πρέπει να στρογγυλοποιηθεί η απάντηση είναι μικρότερος ή ίσος με 5, τότε η απάντηση στρογγυλοποιείται προς τα κάτω, αλλά εάν είναι περισσότερο από 5, στρογγυλοποιείται προς τα πάνω. Για παράδειγμα, θέλετε να στρογγυλοποιήσετε το αποτέλεσμα 5,5 στα χιλιοστά. Αυτό σημαίνει ότι η απάντηση μετά την υποδιαστολή πρέπει να τελειώνει με τον αριθμό 6. Μετά το 6 υπάρχει 9, που σημαίνει ότι στρογγυλεύουμε την απάντηση και παίρνουμε 5,7. Αλλά αν η απάντηση 5,5 έπρεπε να στρογγυλοποιηθεί όχι στα χιλιοστά, αλλά στα δέκατα, τότε η απάντηση θα έμοιαζε με αυτό - 5,2. Σε αυτήν την περίπτωση, το 2 δεν στρογγυλοποιήθηκε επειδή το 3 ακολουθεί μετά από αυτό και είναι μικρότερο από το 5.
§ 107. Πρόσθεση δεκαδικών κλασμάτων.Η πρόσθεση δεκαδικών είναι το ίδιο με την προσθήκη ακέραιων αριθμών. Ας το δούμε αυτό με παραδείγματα.
1) 0,132 + 2,354. Ας χαρακτηρίσουμε τους όρους ο ένας κάτω από τον άλλον.
Εδώ, η πρόσθεση 2 χιλιοστών στα 4 χιλιοστά είχε ως αποτέλεσμα 6 χιλιοστά.
από την πρόσθεση 3 εκατοστών με 5 εκατοστά το αποτέλεσμα είναι 8 εκατοστά.
από την πρόσθεση 1 δέκατου με 3 δέκατα -4 δέκατα και
από την προσθήκη 0 ακεραίων με 2 ακέραιους αριθμούς - 2 ακέραιους αριθμούς.
2) 5,065 + 7,83.
Δεν υπάρχουν χιλιοστά στον δεύτερο όρο, επομένως είναι σημαντικό να μην κάνετε λάθη όταν επισημαίνετε τους όρους ο ένας μετά τον άλλο.
3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.
Εδώ, όταν προσθέτουμε χιλιοστά, το αποτέλεσμα είναι 21 χιλιοστά. γράψαμε 1 κάτω από τα χιλιοστά, και προσθέσαμε 2 στα εκατοστά, έτσι στη θέση των εκατοστών πήραμε τους ακόλουθους όρους: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; συνολικά δίνουν 19 εκατοστά, υπογράψαμε 9 κάτω από εκατοστά, και 1 μέτρησε ως δέκατα κ.λπ.
Έτσι, κατά την προσθήκη δεκαδικών κλασμάτων, πρέπει να τηρείται η ακόλουθη σειρά: υπογράψτε τα κλάσματα το ένα κάτω από το άλλο έτσι ώστε σε όλους τους όρους τα ίδια ψηφία να βρίσκονται το ένα κάτω από το άλλο και όλα τα κόμματα να βρίσκονται στην ίδια κάθετη στήλη. Στα δεξιά των δεκαδικών ψηφίων ορισμένων όρων, προστίθεται ένας τέτοιος αριθμός μηδενικών, τουλάχιστον διανοητικά, ώστε όλοι οι όροι μετά την υποδιαστολή να έχουν τον ίδιο αριθμό ψηφίων. Στη συνέχεια εκτελούν πρόσθεση με ψηφία, ξεκινώντας από τη δεξιά πλευρά, και στο άθροισμα που προκύπτει βάζουν κόμμα στην ίδια κάθετη στήλη στην οποία βρίσκεται σε αυτούς τους όρους.
§ 108. Αφαίρεση δεκαδικών κλασμάτων.
Η αφαίρεση δεκαδικών αριθμών λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο όπως η αφαίρεση ακέραιων αριθμών. Ας το δείξουμε αυτό με παραδείγματα.
1) 9,87 - 7,32. Ας υπογράψουμε το subtrahend κάτω από το minuend έτσι ώστε οι μονάδες του ίδιου ψηφίου να βρίσκονται η μία κάτω από την άλλη:
2) 16.29 - 4.75. Ας υπογράψουμε το subtrahend κάτω από το minuend, όπως στο πρώτο παράδειγμα:
Για να αφαιρέσετε δέκατα, έπρεπε να πάρετε μια ολόκληρη μονάδα από το 6 και να τη χωρίσετε σε δέκατα.
3) 14.0213- 5.350712. Ας υπογράψουμε το υπόβαθρο κάτω από το minuend:
Η αφαίρεση έγινε ως εξής: αφού δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε 2 εκατομμυριοστά από το 0, θα πρέπει να στραφούμε στο πλησιέστερο ψηφίο στα αριστερά, δηλαδή εκατό χιλιοστά, αλλά στη θέση των εκατό χιλιοστών υπάρχει επίσης μηδέν, οπότε παίρνουμε 1 δέκατο χιλιοστό από 3 δέκα χιλιοστά και το χωρίζουμε σε εκατοντάδες χιλιοστά, παίρνουμε 10 εκατοστά χιλιοστά, από τα οποία αφήνουμε τα 9 εκατό χιλιοστά στην κατηγορία των εκατό χιλιοστών, και σπάμε το 1 εκατο χιλιοστό σε εκατομμυριοστά, παίρνουμε 10 εκατομμυριοστά. Έτσι, στα τρία τελευταία ψηφία έχουμε: εκατομμυριοστά 10, εκατοντάδες χιλιοστά 9, δέκα χιλιοστά 2. Για μεγαλύτερη σαφήνεια και ευκολία (για να μην ξεχνάμε), αυτοί οι αριθμοί γράφονται πάνω από τα αντίστοιχα κλασματικά ψηφία του minuend. Τώρα μπορείτε να αρχίσετε να αφαιρείτε. Από τα 10 εκατομμυριοστά αφαιρούμε 2 εκατομμυριοστά, παίρνουμε 8 εκατομμυριοστά. από τα 9 εκατό χιλιοστά αφαιρούμε 1 εκατό χιλιοστά, παίρνουμε 8 εκατό χιλιοστά κ.λπ.
Έτσι, κατά την αφαίρεση των δεκαδικών κλασμάτων, παρατηρείται η ακόλουθη σειρά: υπογράψτε το subtrahend κάτω από το minuend έτσι ώστε τα ίδια ψηφία να βρίσκονται το ένα κάτω από το άλλο και όλα τα κόμματα να βρίσκονται στην ίδια κάθετη στήλη. στα δεξιά προσθέτουν, τουλάχιστον διανοητικά, τόσα μηδενικά στο minuend ή στο subtrahend, ώστε να έχουν τον ίδιο αριθμό ψηφίων, μετά αφαιρούν με ψηφία, ξεκινώντας από τη δεξιά πλευρά, και στη διαφορά που προκύπτει βάζουν κόμμα. την ίδια κάθετη στήλη στην οποία βρίσκεται σε minuend και αφαίρεση.
§ 109. Πολλαπλασιασμός δεκαδικών κλασμάτων.
Ας δούμε μερικά παραδείγματα πολλαπλασιασμού δεκαδικών κλασμάτων.
Για να βρούμε το γινόμενο αυτών των αριθμών, μπορούμε να συλλογιστούμε ως εξής: εάν ο παράγοντας αυξηθεί κατά 10 φορές, τότε και οι δύο παράγοντες θα είναι ακέραιοι και μπορούμε στη συνέχεια να τους πολλαπλασιάσουμε σύμφωνα με τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των ακεραίων. Γνωρίζουμε όμως ότι όταν ένας από τους παράγοντες αυξάνεται πολλές φορές, το προϊόν αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό των ακέραιων παραγόντων, δηλαδή 28 επί 23, είναι 10 φορές μεγαλύτερος από το πραγματικό γινόμενο και για να ληφθεί το αληθινό γινόμενο, το προϊόν που βρέθηκε πρέπει να μειωθεί κατά 10 φορές. Επομένως, εδώ θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε με το 10 μία φορά και να διαιρέσετε με το 10 μία φορά, αλλά ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση με το 10 γίνεται μετακινώντας την υποδιαστολή δεξιά και αριστερά κατά μία θέση. Επομένως, πρέπει να το κάνετε αυτό: στον παράγοντα, μετακινήστε το κόμμα στη σωστή θέση, αυτό θα το κάνει ίσο με 23 και, στη συνέχεια, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους προκύπτοντες ακέραιους αριθμούς:
Αυτό το προϊόν είναι 10 φορές μεγαλύτερο από το πραγματικό προϊόν. Επομένως, πρέπει να μειωθεί κατά 10 φορές, για το οποίο μετακινούμε το κόμμα μία θέση προς τα αριστερά. Έτσι, παίρνουμε
28 2,3 = 64,4.
Για λόγους επαλήθευσης, μπορείτε να γράψετε ένα δεκαδικό κλάσμα με παρονομαστή και να εκτελέσετε την ενέργεια σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων, δηλ.
2) 12,27 0,021.
Η διαφορά μεταξύ αυτού του παραδείγματος και του προηγούμενου είναι ότι εδώ και οι δύο παράγοντες αντιπροσωπεύονται ως δεκαδικά κλάσματα. Αλλά εδώ, στη διαδικασία του πολλαπλασιασμού, δεν θα δώσουμε προσοχή στα κόμματα, δηλαδή θα αυξήσουμε προσωρινά τον πολλαπλασιαστή κατά 100 φορές και τον πολλαπλασιαστή κατά 1.000 φορές, πράγμα που θα αυξήσει το γινόμενο κατά 100.000 φορές. Έτσι, πολλαπλασιάζοντας το 1.227 επί 21, παίρνουμε:
1 227 21 = 25 767.
Λαμβάνοντας υπόψη ότι το προϊόν που προκύπτει είναι 100.000 φορές μεγαλύτερο από το πραγματικό προϊόν, πρέπει τώρα να το μειώσουμε κατά 100.000 φορές βάζοντας σωστά ένα κόμμα σε αυτό, τότε παίρνουμε:
32,27 0,021 = 0,25767.
Ας ελέγξουμε:
Έτσι, για να πολλαπλασιάσουμε δύο δεκαδικά κλάσματα, αρκεί, χωρίς να δίνουμε προσοχή στα κόμματα, να τα πολλαπλασιάσουμε ως ακέραιους αριθμούς και στο γινόμενο να χωρίσουμε τόσα δεκαδικά ψηφία με κόμμα στη δεξιά πλευρά όσα υπήρχαν στον πολλαπλασιαστή και στον πολλαπλασιαστή μαζί.
Το τελευταίο παράδειγμα είχε ως αποτέλεσμα ένα προϊόν με πέντε δεκαδικά ψηφία. Εάν δεν απαιτείται τόσο μεγάλη ακρίβεια, τότε το δεκαδικό κλάσμα στρογγυλοποιείται. Κατά τη στρογγυλοποίηση, θα πρέπει να χρησιμοποιείτε τον ίδιο κανόνα που υποδεικνύεται για τους ακέραιους αριθμούς.
§ 110. Πολλαπλασιασμός με χρήση πινάκων.
Ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών αριθμών μπορεί μερικές φορές να γίνει χρησιμοποιώντας πίνακες. Για το σκοπό αυτό, μπορείτε, για παράδειγμα, να χρησιμοποιήσετε αυτούς τους πίνακες πολλαπλασιασμού για διψήφιους αριθμούς, η περιγραφή των οποίων δόθηκε νωρίτερα.
1) Πολλαπλασιάστε το 53 επί 1,5.
Θα πολλαπλασιάσουμε το 53 με το 15. Στον πίνακα, αυτό το γινόμενο είναι ίσο με 795. Βρήκαμε το γινόμενο 53 επί 15, αλλά ο δεύτερος παράγοντας μας ήταν 10 φορές μικρότερος, που σημαίνει ότι το γινόμενο πρέπει να μειωθεί κατά 10 φορές, δηλ.
53 1,5 = 79,5.
2) Πολλαπλασιάστε το 5,3 με το 4,7.
Πρώτον, βρίσκουμε στον πίνακα το γινόμενο του 53 επί 47, θα είναι 2.491. Αλλά επειδή αυξήσαμε τον πολλαπλασιαστή και τον πολλαπλασιαστή κατά συνολικά 100 φορές, το γινόμενο που προκύπτει είναι 100 φορές μεγαλύτερο από ό,τι θα έπρεπε. οπότε πρέπει να μειώσουμε αυτό το προϊόν κατά 100 φορές:
5,3 4,7 = 24,91.
3) Πολλαπλασιάστε το 0,53 επί 7,4.
Πρώτον, βρίσκουμε στον πίνακα το γινόμενο 53 επί 74. Θα είναι 3.922. Αλλά επειδή αυξήσαμε τον πολλαπλασιαστή κατά 100 φορές και τον πολλαπλασιαστή κατά 10 φορές, το γινόμενο αυξήθηκε κατά 1.000 φορές. οπότε πρέπει τώρα να το μειώσουμε κατά 1.000 φορές:
0,53 7,4 = 3,922.
§ 111. Διαίρεση δεκαδικών κλασμάτων.
Θα εξετάσουμε τη διαίρεση των δεκαδικών κλασμάτων με αυτή τη σειρά:
1. Διαιρώντας ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμό,
1. Διαιρέστε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμό.
1) Διαιρέστε το 2,46 με το 2.
Διαιρέσαμε με 2 πρώτα ακέραια, μετά δέκατα και τέλος εκατοστά.
2) Διαιρέστε το 32,46 με το 3.
32,46: 3 = 10,82.
Χωρίσαμε 3 δεκάδες με 3 και μετά αρχίσαμε να διαιρούμε 2 με 3. Εφόσον ο αριθμός των μονάδων του μερίσματος (2) είναι μικρότερος από τον διαιρέτη (3), έπρεπε να βάλουμε 0 στο πηλίκο. Επιπλέον, στο υπόλοιπο πήραμε 4 δέκατα και διαιρέσαμε τα 24 δέκατα με το 3. έλαβε 8 δέκατα στο πηλίκο και τελικά διαίρεσε 6 εκατοστά.
3) Διαιρέστε το 1,2345 με το 5.
1,2345: 5 = 0,2469.
Εδώ στο πηλίκο η πρώτη θέση είναι μηδέν ακέραιοι, αφού ένας ακέραιος δεν διαιρείται με το 5.
4) Διαιρέστε το 13,58 με το 4.
Η ιδιαιτερότητα αυτού του παραδείγματος είναι ότι όταν λάβαμε 9 εκατοστά στο πηλίκο, ανακαλύψαμε ένα υπόλοιπο ίσο με 2 εκατοστά, χωρίσαμε αυτό το υπόλοιπο σε χιλιοστά, πήραμε 20 χιλιοστά και ολοκληρώσαμε τη διαίρεση.
Κανόνας.Η διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν ακέραιο γίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως η διαίρεση ακεραίων και τα υπόλοιπα που προκύπτουν μετατρέπονται σε δεκαδικά κλάσματα, όλο και μικρότερα. Η διαίρεση συνεχίζεται μέχρι να μηδενιστεί το υπόλοιπο.
2. Διαιρέστε ένα δεκαδικό με ένα δεκαδικό.
1) Διαιρέστε το 2,46 με το 0,2.
Γνωρίζουμε ήδη πώς να διαιρέσουμε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμό. Ας σκεφτούμε, είναι δυνατόν να αναχθεί αυτή η νέα περίπτωση διαίρεσης στην προηγούμενη; Κάποτε, θεωρήσαμε την αξιοσημείωτη ιδιότητα ενός πηλίκου, η οποία συνίσταται στο γεγονός ότι παραμένει αμετάβλητο όταν το μέρισμα και ο διαιρέτης ταυτόχρονα αυξάνονται ή μειώνονται κατά τον ίδιο αριθμό φορές. Θα μπορούσαμε εύκολα να διαιρέσουμε τους αριθμούς που μας δόθηκαν αν ο διαιρέτης ήταν ακέραιος. Για να γίνει αυτό, αρκεί να το αυξήσετε κατά 10 φορές και για να λάβετε το σωστό πηλίκο, είναι απαραίτητο να αυξήσετε το μέρισμα κατά το ίδιο ποσό, δηλαδή 10 φορές. Στη συνέχεια, η διαίρεση αυτών των αριθμών θα αντικατασταθεί από τη διαίρεση των παρακάτω αριθμών:
Επιπλέον, δεν θα υπάρχει πλέον καμία ανάγκη να γίνουν τροποποιήσεις στα στοιχεία.
Ας κάνουμε αυτή τη διαίρεση:
Άρα 2,46: 0,2 = 12,3.
2) Διαιρέστε το 1,25 με το 1,6.
Αυξάνουμε τον διαιρέτη (1,6) κατά 10 φορές. για να μην αλλάξει το πηλίκο, αυξάνουμε το μέρισμα κατά 10 φορές. 12 ακέραιοι αριθμοί δεν διαιρούνται με το 16, οπότε γράφουμε 0 στο πηλίκο και διαιρούμε τα 125 δέκατα με το 16, παίρνουμε 7 δέκατα στο πηλίκο και το υπόλοιπο 13. Χωρίζουμε 13 δέκατα σε εκατοστά ορίζοντας μηδέν και διαιρούμε τα 130 εκατοστά με το 16, κ.λπ. Σημειώστε τα ακόλουθα:
α) όταν δεν υπάρχουν ακέραιοι σε ένα συγκεκριμένο, τότε στη θέση τους γράφονται μηδενικοί ακέραιοι.
β) όταν, μετά την προσθήκη του ψηφίου του μερίσματος στο υπόλοιπο, προκύπτει αριθμός που δεν διαιρείται με τον διαιρέτη, τότε γράφεται μηδέν στο πηλίκο.
γ) όταν, μετά την αφαίρεση του τελευταίου ψηφίου του μερίσματος, η διαίρεση δεν τελειώνει, τότε προσθέτοντας μηδενικά στο υπόλοιπο, η διαίρεση συνεχίζεται.
δ) αν το μέρισμα είναι ακέραιος, τότε όταν το διαιρούμε με δεκαδικό κλάσμα, αυξάνεται προσθέτοντας μηδενικά σε αυτό.
Έτσι, για να διαιρέσετε έναν αριθμό με ένα δεκαδικό κλάσμα, πρέπει να απορρίψετε το κόμμα στον διαιρέτη και, στη συνέχεια, να αυξήσετε το μέρισμα όσες φορές αυξήθηκε ο διαιρέτης όταν απορρίψετε το κόμμα σε αυτό και στη συνέχεια να εκτελέσετε τη διαίρεση σύμφωνα με τον κανόνα για τη διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν ακέραιο αριθμό.
§ 112. Πηλίκο κατά προσέγγιση.
Στην προηγούμενη παράγραφο, εξετάσαμε τη διαίρεση των δεκαδικών κλασμάτων και σε όλα τα παραδείγματα που λύσαμε η διαίρεση ολοκληρώθηκε, δηλ. προέκυψε ένα ακριβές πηλίκο. Ωστόσο, στις περισσότερες περιπτώσεις, δεν μπορεί να ληφθεί ένα ακριβές πηλίκο, όσο μακριά και αν συνεχίσουμε τη διαίρεση. Εδώ είναι μια τέτοια περίπτωση: διαιρέστε το 53 με το 101.
Έχουμε ήδη λάβει πέντε ψηφία στο πηλίκο, αλλά η διαίρεση δεν έχει τελειώσει ακόμη και δεν υπάρχει καμία ελπίδα ότι θα τελειώσει ποτέ, αφού στα υπόλοιπα αρχίζουμε να έχουμε αριθμούς που έχουν ήδη συναντηθεί στο παρελθόν. Στο πηλίκο θα επαναλαμβάνονται και οι αριθμοί: είναι προφανές ότι μετά τον αριθμό 7 θα εμφανίζεται ο αριθμός 5, μετά 2 κ.λπ. ατελείωτα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η διαίρεση διακόπτεται και περιορίζεται στα πρώτα λίγα ψηφία του πηλίκου. Αυτό το πηλίκο λέγεται κολλητοί.Θα δείξουμε με παραδείγματα πώς γίνεται η διαίρεση.
Ας είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε το 25 με το 3. Προφανώς, ένα ακριβές πηλίκο, που εκφράζεται ως ακέραιος ή δεκαδικό κλάσμα, δεν μπορεί να ληφθεί από μια τέτοια διαίρεση. Επομένως, θα αναζητήσουμε ένα κατά προσέγγιση πηλίκο:
25: 3 = 8 και υπόλοιπο 1
Το κατά προσέγγιση πηλίκο είναι 8. είναι, φυσικά, μικρότερο από το ακριβές πηλίκο, γιατί υπάρχει υπόλοιπο 1. Για να λάβετε το ακριβές πηλίκο, πρέπει να προσθέσετε το κλάσμα που προκύπτει διαιρώντας το υπόλοιπο ίσο με 1 με 3 στο ευρεθέν κατά προσέγγιση πηλίκο, δηλ. , έως 8; αυτό θα είναι κλάσμα 1/3. Αυτό σημαίνει ότι το ακριβές πηλίκο θα εκφραστεί ως μικτός αριθμός 8 1/3. Αφού το 1/3 είναι σωστό κλάσμα, δηλαδή κλάσμα, λιγότερο από ένα, τότε, απορρίπτοντάς το, θα επιτρέψουμε λάθος, οι οποίες λιγότερο από ένα. Το πηλίκο 8 θα είναι κατά προσέγγιση πηλίκο μέχρι ενότητας με μειονέκτημα.Αν αντί για 8 πάρουμε το 9 στο πηλίκο, τότε θα επιτρέψουμε και ένα σφάλμα μικρότερο του ενός, αφού δεν θα προσθέσουμε ολόκληρη τη μονάδα, αλλά τα 2/3. Μια τέτοια ιδιωτική διαθήκη κατά προσέγγιση πηλίκο σε ένα με περίσσεια.
Ας πάρουμε τώρα ένα άλλο παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το 27 με το 8. Επειδή εδώ δεν θα πάρουμε ένα ακριβές πηλίκο που εκφράζεται ως ακέραιος, θα αναζητήσουμε ένα κατά προσέγγιση πηλίκο:
27: 8 = 3 και υπόλοιπο 3.
Εδώ το σφάλμα είναι ίσο με 3/8, είναι μικρότερο από ένα, που σημαίνει ότι το κατά προσέγγιση πηλίκο (3) βρέθηκε ακριβές σε ένα με μειονέκτημα. Ας συνεχίσουμε τη διαίρεση: χωρίζουμε τα υπόλοιπα 3 σε δέκατα, παίρνουμε 30 δέκατα. διαιρέστε τα με το 8.
Πήραμε 3 στο πηλίκο στη θέση των δέκατων και 6 δέκατα στο υπόλοιπο. Εάν περιοριστούμε στον αριθμό 3.3 και απορρίψουμε το υπόλοιπο 6, τότε θα επιτρέψουμε ένα σφάλμα μικρότερο από το ένα δέκατο. Γιατί; Επειδή το ακριβές πηλίκο θα προέκυπτε όταν προσθέσαμε στο 3,3 το αποτέλεσμα της διαίρεσης των 6 δέκατων με το 8. αυτή η διαίρεση θα απέδιδε 6/80, που είναι λιγότερο από το ένα δέκατο. (Έλεγχος!) Έτσι, αν στο πηλίκο περιοριστούμε στα δέκατα, τότε μπορούμε να πούμε ότι βρήκαμε το πηλίκο ακρίβεια στο ένα δέκατο(με ένα μειονέκτημα).
Ας συνεχίσουμε τη διαίρεση για να βρούμε ένα άλλο δεκαδικό ψηφίο. Για να γίνει αυτό, χωρίζουμε 6 δέκατα σε εκατοστά και παίρνουμε 60 εκατοστά. διαιρέστε τα με το 8.
Στο πηλίκο στην τρίτη θέση αποδείχτηκε 7 και τα υπόλοιπα 4 εκατοστά. αν τα απορρίψουμε, θα επιτρέψουμε σφάλμα μικρότερο από το ένα εκατοστό, γιατί 4 εκατοστά διαιρούμενα με το 8 είναι μικρότερα από το εκατοστό. Σε τέτοιες περιπτώσεις λένε ότι το πηλίκο έχει βρεθεί ακρίβεια στο ένα εκατοστό(με ένα μειονέκτημα).
Στο παράδειγμα που εξετάζουμε τώρα, μπορούμε να πάρουμε το ακριβές πηλίκο που εκφράζεται ως δεκαδικό κλάσμα. Για να γίνει αυτό, αρκεί να διαιρέσετε το τελευταίο υπόλοιπο, 4 εκατοστά, σε χιλιοστά και να διαιρέσετε με το 8.
Ωστόσο, στη συντριπτική πλειονότητα των περιπτώσεων είναι αδύνατο να ληφθεί ένα ακριβές πηλίκο και πρέπει να περιοριστεί κανείς στις κατά προσέγγιση τιμές του. Θα δούμε τώρα αυτό το παράδειγμα:
40: 7 = 5,71428571...
Οι τελείες που τοποθετούνται στο τέλος του αριθμού δείχνουν ότι η διαίρεση δεν έχει ολοκληρωθεί, δηλαδή η ισότητα είναι κατά προσέγγιση. Συνήθως η κατά προσέγγιση ισότητα γράφεται ως εξής:
40: 7 = 5,71428571.
Πήραμε το πηλίκο με οκτώ δεκαδικά ψηφία. Αλλά αν δεν απαιτείται τέτοια μεγάλη ακρίβεια, μπορείτε να περιοριστείτε μόνο σε ολόκληρο το μέρος του πηλίκου, δηλαδή στον αριθμό 5 (ακριβέστερα 6). Για μεγαλύτερη ακρίβεια, θα μπορούσε κανείς να λάβει υπόψη τα δέκατα και να λάβει το πηλίκο ίσο με 5,7. αν για κάποιο λόγο αυτή η ακρίβεια είναι ανεπαρκής, τότε μπορείτε να σταματήσετε στα εκατοστά και να πάρετε 5,71, κ.λπ. Ας γράψουμε τα επιμέρους πηλίκα και ας τα ονομάσουμε.
Το πρώτο κατά προσέγγιση πηλίκο είναι ακριβές στο ένα 6.
Δεύτερο » » » έως ένα δέκατο 5.7.
Τρίτο » » » έως ένα εκατοστό 5.71.
Τέταρτο » » » έως ένα χιλιοστό 5.714.
Έτσι, για να βρείτε ένα κατά προσέγγιση πηλίκο ακριβές σε κάποιο, για παράδειγμα, 3ο δεκαδικό ψηφίο (δηλαδή μέχρι ένα χιλιοστό), σταματήστε τη διαίρεση μόλις βρεθεί αυτό το πρόσημο. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να θυμάστε τον κανόνα που ορίζεται στην § 40.
§ 113. Τα πιο απλά προβλήματα που αφορούν ποσοστά.
Αφού μάθουμε για τα δεκαδικά, θα κάνουμε μερικά ακόμη ποσοστά προβλήματα.
Αυτά τα προβλήματα είναι παρόμοια με αυτά που λύσαμε στο τμήμα κλασμάτων. αλλά τώρα θα γράψουμε τα εκατοστά με τη μορφή δεκαδικών κλασμάτων, δηλαδή χωρίς ρητά καθορισμένο παρονομαστή.
Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να μπορείτε να μετακινηθείτε εύκολα από ένα συνηθισμένο κλάσμα σε ένα δεκαδικό με παρονομαστή 100. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον παρονομαστή:
Ο παρακάτω πίνακας δείχνει πώς ένας αριθμός με σύμβολο % (ποσοστό) αντικαθίσταται από ένα δεκαδικό κλάσμα με παρονομαστή 100:
Ας εξετάσουμε τώρα αρκετά προβλήματα.
1. Εύρεση του ποσοστού ενός δεδομένου αριθμού.
Εργασία 1.Μόνο 1.600 άνθρωποι ζουν σε ένα χωριό. Ο αριθμός των παιδιών σχολικής ηλικίας αποτελεί το 25% του συνολικού πληθυσμού. Πόσα παιδιά σχολικής ηλικίας υπάρχουν σε αυτό το χωριό;
Σε αυτό το πρόβλημα πρέπει να βρείτε το 25%, ή το 0,25, του 1.600. Το πρόβλημα λύνεται πολλαπλασιάζοντας:
1.600 0,25 = 400 (παιδιά).
Επομένως, το 25% των 1.600 είναι 400.
Για να κατανοήσουμε με σαφήνεια αυτό το έργο, είναι χρήσιμο να υπενθυμίσουμε ότι για κάθε εκατό του πληθυσμού υπάρχουν 25 παιδιά σχολικής ηλικίας. Επομένως, για να βρείτε τον αριθμό όλων των παιδιών σχολικής ηλικίας, μπορείτε πρώτα να μάθετε πόσες εκατοντάδες υπάρχουν στον αριθμό 1.600 (16) και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε το 25 με τον αριθμό των εκατοντάδων (25 x 16 = 400). Με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να ελέγξετε την εγκυρότητα της λύσης.
Εργασία 2.Τα ταμιευτήρια παρέχουν στους καταθέτες απόδοση 2% ετησίως. Πόσα έσοδα θα λάβει ένας καταθέτης σε ένα χρόνο εάν βάλει στο ταμείο: α) 200 ρούβλια; β) 500 ρούβλια; γ) 750 ρούβλια; δ) 1000 τρίψτε.
Και στις τέσσερις περιπτώσεις, για να λύσετε το πρόβλημα θα χρειαστεί να υπολογίσετε το 0,02 από τα αναφερόμενα ποσά, δηλαδή καθένας από αυτούς τους αριθμούς θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με 0,02. Ας το κάνουμε:
α) 200 0,02 = 4 (τρίψτε.),
β) 500 0,02 = 10 (τρίψτε.),
γ) 750 0,02 = 15 (τρίψτε.),
δ) 1.000 0,02 = 20 (τρίψτε.).
Κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις μπορεί να επαληθευτεί με τα ακόλουθα στοιχεία. Τα ταμιευτήρια παρέχουν στους επενδυτές εισόδημα 2%, δηλαδή 0,02 του ποσού που κατατίθεται σε αποταμιεύσεις. Εάν το ποσό ήταν 100 ρούβλια, τότε το 0,02 από αυτό θα ήταν 2 ρούβλια. Αυτό σημαίνει ότι κάθε εκατό φέρνει στον επενδυτή 2 ρούβλια. εισόδημα. Επομένως, σε καθεμία από τις περιπτώσεις που εξετάζονται, αρκεί να υπολογίσετε πόσες εκατοντάδες υπάρχουν σε έναν δεδομένο αριθμό και να πολλαπλασιάσετε 2 ρούβλια με αυτόν τον αριθμό εκατοντάδων. Στο παράδειγμα α) υπάρχουν 2 εκατοντάδες, που σημαίνει
2 2 = 4 (τρίψτε.).
Στο παράδειγμα δ) υπάρχουν 10 εκατοντάδες, που σημαίνει
2 10 = 20 (τρίψτε.).
2. Εύρεση αριθμού κατά το ποσοστό του.
Εργασία 1.Το σχολείο αποφοίτησε 54 μαθητές την άνοιξη, που αντιπροσωπεύουν το 6% των συνολικών εγγραφών του. Πόσοι μαθητές υπήρχαν στο σχολείο την περασμένη σχολική χρονιά;
Ας διευκρινίσουμε πρώτα το νόημα αυτής της εργασίας. Στο σχολείο αποφοίτησαν 54 μαθητές, δηλαδή το 6% του συνόλου των μαθητών ή, με άλλα λόγια, τα 6 εκατοστά (0,06) του συνόλου των μαθητών του σχολείου. Αυτό σημαίνει ότι γνωρίζουμε το μέρος των μαθητών που εκφράζεται με τον αριθμό (54) και το κλάσμα (0,06), και από αυτό το κλάσμα πρέπει να βρούμε ολόκληρο τον αριθμό. Έτσι, έχουμε μπροστά μας μια συνηθισμένη εργασία να βρούμε έναν αριθμό από το κλάσμα του (§90, παράγραφος 6). Προβλήματα αυτού του τύπου επιλύονται με διαίρεση:
Αυτό σημαίνει ότι στο σχολείο υπήρχαν μόνο 900 μαθητές.
Είναι χρήσιμο να ελέγχετε τέτοια προβλήματα λύνοντας το αντίστροφο πρόβλημα, δηλαδή αφού λύσετε το πρόβλημα, θα πρέπει, τουλάχιστον στο μυαλό σας, να λύσετε ένα πρόβλημα του πρώτου τύπου (βρίσκοντας το ποσοστό ενός δεδομένου αριθμού): πάρτε τον αριθμό που βρέθηκε ( 900) όπως δίνεται και βρείτε το ποσοστό του που υποδεικνύεται στο λυμένο πρόβλημα, δηλαδή:
900 0,06 = 54.
Εργασία 2.Η οικογένεια ξοδεύει 780 ρούβλια για φαγητό κατά τη διάρκεια του μήνα, που είναι το 65% των μηνιαίων αποδοχών του πατέρα. Προσδιορίστε τον μηνιαίο μισθό του.
Αυτή η εργασία έχει την ίδια σημασία με την προηγούμενη. Δίνει μέρος των μηνιαίων κερδών, εκφρασμένα σε ρούβλια (780 ρούβλια) και υποδεικνύει ότι αυτό το μέρος είναι το 65%, ή το 0,65, των συνολικών κερδών. Και αυτό που ψάχνετε είναι όλα τα κέρδη:
780: 0,65 = 1 200.
Επομένως, το απαιτούμενο εισόδημα είναι 1200 ρούβλια.
3. Εύρεση του ποσοστού των αριθμών.
Εργασία 1.Υπάρχουν μόνο 6.000 βιβλία στη σχολική βιβλιοθήκη. Ανάμεσά τους είναι 1.200 βιβλία για τα μαθηματικά. Τι ποσοστό των βιβλίων μαθηματικών αποτελεί το συνολικό αριθμό των βιβλίων της βιβλιοθήκης;
Έχουμε ήδη εξετάσει (§97) προβλήματα αυτού του είδους και καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι για να υπολογίσετε το ποσοστό δύο αριθμών, πρέπει να βρείτε την αναλογία αυτών των αριθμών και να την πολλαπλασιάσετε με το 100.
Στο πρόβλημά μας πρέπει να βρούμε την ποσοστιαία αναλογία των αριθμών 1.200 και 6.000.
Ας βρούμε πρώτα την αναλογία τους και, στη συνέχεια, ας τον πολλαπλασιάσουμε με το 100:
Έτσι, το ποσοστό των αριθμών 1.200 και 6.000 είναι 20. Με άλλα λόγια, τα βιβλία μαθηματικών αποτελούν το 20% του συνολικού αριθμού όλων των βιβλίων.
Για να ελέγξουμε, ας λύσουμε το αντίστροφο πρόβλημα: βρείτε το 20% των 6.000:
6 000 0,2 = 1 200.
Εργασία 2.Το εργοστάσιο θα πρέπει να λάβει 200 τόνους άνθρακα. Έχουν ήδη παραδοθεί 80 τόνοι Ποιο ποσοστό άνθρακα έχει παραδοθεί στο εργοστάσιο;
Αυτό το πρόβλημα ρωτά τι ποσοστό είναι ένας αριθμός (80) ενός άλλου (200). Η αναλογία αυτών των αριθμών θα είναι 80/200. Ας το πολλαπλασιάσουμε επί 100:
Αυτό σημαίνει ότι έχει παραδοθεί το 40% του άνθρακα.
Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο?
Λύση. Εφόσον 2,88 dm2 = 288 cm2 και 0,8 dm = 8 cm, τότε το μήκος του ορθογωνίου είναι 288: 8, δηλαδή 36 cm = 3,6 dm. Βρήκαμε έναν αριθμό 3,6 τέτοιο ώστε 3,6 0,8 = 2,88. Είναι το πηλίκο του 2,88 διαιρούμενο με το 0,8.
Γράφουν: 2,88: 0,8 = 3,6.
Η απάντηση 3.6 μπορεί να ληφθεί χωρίς να μετατραπούν τα δεκατόμετρα σε εκατοστά. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον διαιρέτη 0,8 και το μέρισμα 2,88 επί 10 (δηλαδή, να μετακινήσετε το κόμμα ένα ψηφίο προς τα δεξιά) και να διαιρέσετε το 28,8 με το 8. Και πάλι παίρνουμε: 28,8: 8 = 3,6.
Για να διαιρέσετε έναν αριθμό με ένα δεκαδικό κλάσμα, πρέπει:
1) στο μέρισμα και στο διαιρέτη, μετακινήστε το κόμμα προς τα δεξιά κατά τόσα ψηφία όσα υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη.
2) μετά από αυτό, διαιρέστε με έναν φυσικό αριθμό.
Παράδειγμα 1.Διαιρέστε το 12.096 με το 2.24. Μετακινήστε το κόμμα στο μέρισμα και διαιρέστε 2 ψηφία προς τα δεξιά. Παίρνουμε τους αριθμούς 1209,6 και 224. Από το 1209,6: 224 = 5,4, τότε 12,096: 2,24 = 5,4.
Παράδειγμα 2.Διαιρέστε το 4,5 με το 0,125. Εδώ πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα στο μέρισμα και να διαιρέσετε 3 ψηφία προς τα δεξιά. Εφόσον το μέρισμα έχει μόνο ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή, θα προσθέσουμε δύο μηδενικά στα δεξιά του. Αφού μετακινήσουμε το κόμμα παίρνουμε αριθμοί 4500 και 125. Από το 4500: 125 = 36, τότε 4,5: 0,125 = 36.
Από τα παραδείγματα 1 και 2 είναι σαφές ότι όταν διαιρούμε έναν αριθμό με ένα ακατάλληλο κλάσμα, αυτός ο αριθμός μειώνεται ή δεν αλλάζει, και όταν διαιρείται με ένα σωστό δεκαδικό κλάσμα αυξάνεται: 12.096 > 5.4 και 4.5< 36.
Διαιρέστε το 2,467 με το 0,01. Αφού μετακινήσουμε το κόμμα στο μέρισμα και στο διαιρέτη κατά 2 ψηφία προς τα δεξιά, βρίσκουμε ότι το πηλίκο είναι ίσο με 246,7: 1, δηλαδή 246,7.
Αυτό σημαίνει 2,467: 0,01 = 246,7. Από εδώ παίρνουμε τον κανόνα:
Για να διαιρέσετε ένα δεκαδικό με 0,1. 0,01; 0,001, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα σε αυτό προς τα δεξιά κατά τόσα ψηφία όσα υπάρχουν μηδενικά πριν από το ένα στον διαιρέτη (δηλαδή, πολλαπλασιάστε το με 10, 100, 1000).
Εάν δεν υπάρχουν αρκετοί αριθμοί, πρέπει πρώτα να τους προσθέσετε στο τέλος κλάσματαμερικά μηδενικά.
Για παράδειγμα, 56,87: 0,0001 = 56,8700: 0,0001 = 568.700.
Διατυπώστε τον κανόνα για τη διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος: με ένα δεκαδικό κλάσμα. κατά 0,1; 0,01; 0,001.
Πολλαπλασιάζοντας με ποιον αριθμό μπορείτε να αντικαταστήσετε τη διαίρεση με το 0,01;
1443. Βρείτε το πηλίκο και ελέγξτε με πολλαπλασιασμό:
α) 0,8: 0,5; β) 3,51: 2,7; γ) 14.335: 0.61.
1444. Βρείτε το πηλίκο και ελέγξτε με διαίρεση:
α) 0,096: 0,12; β) 0,126: 0,9; γ) 42.105: 3.5.
α) 7,56: 0,6; ζ) 6.944: 3.2; m) 14.976: 0.72;
β) 0,161: 0,7; η) 0,0456: 3,8; ιε) 168.392: 5.6;
γ) 0,468: 0,09; i) 0,182: 1,3; η) 24.576: 4.8;
δ) 0,00261: 0,03; ι) 131,67: 5,7; p) 16.51: 1.27;
ε) 0,824: 0,8; ια) 189,54: 0,78; γ) 46,08: 0,384;
ε) 10,5: 3,5; m) 636: 0,12; κ) 22.256: 20.8.
1446. Να γράψετε τις εκφράσεις:
α) 10 - 2,4x = 3,16; ε) 4,2р - р = 5,12;
β) (y + 26,1) 2,3 = 70,84; ε) 8,2t - 4,4t = 38,38;
γ) (z - 1,2): 0,6 = 21,1; ζ) (10,49 - s): 4,02 = 0,805;
δ) 3,5 m + t = 9,9; η) 9k - 8,67k = 0,6699.
1460. Σε δύο δεξαμενές υπήρχαν 119,88 τόνοι βενζίνης. Η πρώτη δεξαμενή περιείχε 1,7 φορές περισσότερη βενζίνη από τη δεύτερη. Πόση βενζίνη υπήρχε σε κάθε ρεζερβουάρ;
1461. Από τρία οικόπεδα συγκεντρώθηκαν 87,36 τόνοι λάχανο. Ταυτόχρονα, συγκεντρώθηκαν 1,4 φορές περισσότερα από το πρώτο οικόπεδο και 1,8 φορές περισσότερα από το δεύτερο οικόπεδο από ό,τι από το τρίτο οικόπεδο. Πόσοι τόνοι λάχανου συγκεντρώθηκαν από κάθε οικόπεδο;
1462. Ένα καγκουρό είναι 2,4 φορές πιο κοντό από μια καμηλοπάρδαλη και μια καμηλοπάρδαλη είναι 2,52 μ. ψηλότερη από ένα καγκουρό Ποιο είναι το ύψος μιας καμηλοπάρδαλης και ποιο το ύψος ενός καγκουρό;
1463. Δύο πεζοί βρίσκονταν σε απόσταση 4,6 χλμ. μεταξύ τους. Πήγαν ο ένας προς τον άλλο και συναντήθηκαν μετά από 0,8 ώρες Βρείτε την ταχύτητα του κάθε πεζού αν η ταχύτητα του ενός είναι 1,3 φορές μεγαλύτερη από την ταχύτητα του άλλου.
1464. Ακολουθήστε αυτά τα βήματα:
α) (130,2 - 30,8) : 2,8 - 21,84:
β) 8.16: (1.32 + 3.48) - 0.345;
γ) 3,712: (7 - 3,8) + 1,3 (2,74 + 0,66);
δ) (3,4: 1,7 + 0,57: 1,9) 4,9 + 0,0825: 2,75;
ε) (4,44: 3,7 - 0,56: 2,8) : 0,25 - 0,8;
ε) 10,79: 8,3 0,7 - 0,46 3,15: 6,9.
1465. Να παραστήσετε ένα κλάσμα ως δεκαδικό και να βρείτε την τιμή εκφράσεις:
1466. Υπολογίστε προφορικά:
α) 25,5: 5; β) 9 0,2; γ) 0,3: 2; δ) 6,7 - 2,3;
1,5: 3; 1 0,1; 2:5; 6- 0,02;
4,7: 10; 16 0,01; 17,17: 17; 3,08 + 0,2;
0,48: 4; 24 0,3; 25,5: 25; 2,54 + 0,06;
0,9:100; 0,5 26; 0,8:16; 8,2-2,2.
1467. Βρείτε το έργο:
α) 0,1 0,1; δ) 0,4 0,4; ζ) 0,7 0,001;
β) 1,3 1,4; ε) 0,06 0,8; η) 100 0,09;
γ) 0,3 0,4; ε) 0,01 100; θ) 0,3 0,3 0,3.
1468. Βρείτε: 0,4 του αριθμού 30; 0,5 του αριθμού 18. 0,1 αριθμοί 6,5; 2,5 αριθμοί 40; 0,12 αριθμός 100; 0,01 του αριθμού 1000.
1469. Ποια είναι η τιμή της παράστασης 5683.25a όταν a = 10; 0,1; 0,01; 100; 0,001; 1000; 0,00001;
1470. Σκεφτείτε ποιος από τους αριθμούς μπορεί να είναι ακριβής και ποιος κατά προσέγγιση:
α) υπάρχουν 32 μαθητές στην τάξη.
β) η απόσταση από τη Μόσχα στο Κίεβο είναι 900 km.
γ) το παραλληλεπίπεδο έχει 12 άκρες.
δ) μήκος τραπεζιού 1,3 m.
ε) ο πληθυσμός της Μόσχας είναι 8 εκατομμύρια άνθρωποι.
ε) σε σακουλάκι 0,5 κιλό αλεύρι.
ζ) η έκταση του νησιού της Κούβας είναι 105.000 km2.
η) η σχολική βιβλιοθήκη έχει 10.000 βιβλία.
i) ένα άνοιγμα είναι ίσο με 4 vershok και ένα vershok είναι ίσο με 4,45 cm (vershok
μήκος της φάλαγγας του δείκτη).
1471. Βρείτε τρεις λύσεις για την ανίσωση:
α) 1.2< х < 1,6; в) 0,001 < х < 0,002;
β) 2.1< х< 2,3; г) 0,01 <х< 0,011.
1472. Συγκρίνετε, χωρίς να υπολογίσετε, τις τιμές των παραστάσεων:
α) 24 0,15 και (24 - 15) : 100;
β) 0,084 0,5 και (84 5) : 10.000.
Εξήγησε την απάντησή σου.
1473. Στρογγυλοποιήστε τους αριθμούς:
1474. Εκτελέστε διαίρεση:
α) 22,7: 10; 23.3:10; 3.14:10; 9.6:10;
β) 304: 100; 42,5: 100; 2,5: 100; 0,9: 100; 0,03: 100;
γ) 143,4: 12; 1.488: 124; 0,3417: 34; 159,9: 235; 65,32: 568.
1475. Ένας ποδηλάτης έφυγε από το χωριό με ταχύτητα 12 χλμ./ώρα. Μετά από 2 ώρες, ένας άλλος ποδηλάτης βγήκε από το ίδιο χωριό προς την αντίθετη κατεύθυνση,
και η ταχύτητα του δεύτερου είναι 1,25 φορές μεγαλύτερη από την ταχύτητα του πρώτου. Ποια θα είναι η μεταξύ τους απόσταση 3,3 ώρες μετά την αναχώρηση του δεύτερου ποδηλάτη;
1476. Η ταχύτητα του ίδιου του σκάφους είναι 8,5 km/h και η ταχύτητα του ρεύματος είναι 1,3 km/h. Πόσο μακριά θα ταξιδέψει το σκάφος κατάντη σε 3,5 ώρες; Πόσο μακριά θα ταξιδέψει το σκάφος σε σχέση με το ρεύμα σε 5,6 ώρες;
1477. Το εργοστάσιο παρήγαγε 3,75 χιλιάδες εξαρτήματα και τα πούλησε στην τιμή των 950 ρούβλια. ένα κομμάτι. Τα έξοδα του εργοστασίου για την παραγωγή ενός μέρους ανήλθαν σε 637,5 ρούβλια. Βρείτε το κέρδος που έλαβε το εργοστάσιο από την πώληση αυτών των ανταλλακτικών.
1478. Το πλάτος ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι 7,2 cm, το οποίο είναι 
Βρείτε τον όγκο αυτού του παραλληλεπίπεδου και στρογγυλοποιήστε την απάντηση σε ακέραιους αριθμούς.
1479. Ο Παπά Κάρλο υποσχέθηκε να δίνει στον Πιέρο 4 σολίντι κάθε μέρα και στον Μπουρατίνο 1 σολίντι την πρώτη μέρα και 1 στρατιώτη περισσότερο κάθε επόμενη μέρα, αν συμπεριφερόταν καλά. Ο Πινόκιο προσβλήθηκε: αποφάσισε ότι, όσο σκληρά κι αν προσπάθησε, δεν θα μπορούσε ποτέ να πάρει τόσα σολίτι όσο ο Πιερό. Σκεφτείτε αν ο Πινόκιο έχει δίκιο.
1480. Για 3 ντουλάπια και 9 ράφια, χρησιμοποιήθηκαν 231 m σανίδες και 4 φορές περισσότερο υλικό χρησιμοποιείται για το ντουλάπι παρά για το ράφι. Πόσα μέτρα σανίδες μπαίνουν σε ένα ντουλάπι και πόσα σε ένα ράφι;
1481. Λύστε το πρόβλημα:
1) Ο πρώτος αριθμός είναι 6,3 και αποτελεί τον δεύτερο αριθμό. Ο τρίτος αριθμός αποτελεί τον δεύτερο. Βρείτε τον δεύτερο και τον τρίτο αριθμό.
2) Ο πρώτος αριθμός είναι 8.1. Ο δεύτερος αριθμός είναι από τον πρώτο αριθμό και από τον τρίτο αριθμό. Βρείτε τον δεύτερο και τον τρίτο αριθμό.
1482. Βρείτε τη σημασία της έκφρασης:
1) (7 - 5,38) 2,5;
2) (8 - 6,46) 1,5.
1483. Να βρείτε την τιμή του πηλίκου:
α) 17.01: 6.3; δ) 1,4245: 3,5; ζ) 0,02976: 0,024;
β) 1.598: 4.7; ε) 193,2: 8,4; η) 11,59: 3,05;
γ) 39.156: 7.8; ε) 0,045: 0,18; θ) 74.256: 18.2.
1484. Η απόσταση από το σπίτι στο σχολείο είναι 1,1 χλμ. Το κορίτσι διανύει αυτό το μονοπάτι σε 0,25 ώρες Πόσο γρήγορα περπατά το κορίτσι;
1485. Σε ένα διαμέρισμα δύο δωματίων, η επιφάνεια ενός δωματίου είναι 20,64 m2 και η επιφάνεια του άλλου δωματίου είναι 2,4 φορές μικρότερη. Βρείτε την περιοχή αυτών των δύο δωματίων μαζί.
1486. Ο κινητήρας καταναλώνει 111 λίτρα καυσίμου σε 7,5 ώρες. Πόσα λίτρα καυσίμου θα καταναλώσει ο κινητήρας σε 1,8 ώρες;
1487. Ένα μεταλλικό μέρος με όγκο 3,5 dm3 έχει μάζα 27,3 kg. Ένα άλλο εξάρτημα από το ίδιο μέταλλο έχει μάζα 10,92 kg. Ποιος είναι ο όγκος του δεύτερου μέρους;
1488. 2,28 τόνοι βενζίνης χύθηκαν σε δεξαμενή μέσω δύο σωλήνων. Μέσω του πρώτου σωλήνα έρεαν 3,6 τόνοι βενζίνης την ώρα και ήταν ανοιχτός για 0,4 ώρες, ενώ από τον δεύτερο σωλήνα έρεαν 0,8 τόνοι βενζίνης ανά ώρα λιγότερο από τον πρώτο. Πόσο καιρό ήταν ανοιχτός ο δεύτερος σωλήνας;
1489. Λύστε την εξίσωση:
α) 2,136: (1,9 - x) = 7,12; γ) 0,2t + 1,7t - 0,54 = 0,22;
β) 4,2 (0,8 + y) = 8,82; δ) 5,6 g - 2z - 0,7z + 2,65 = 7.
1490. Εμπορεύματα βάρους 13,3 τόνων μοιράστηκαν σε τρία οχήματα. Το πρώτο αυτοκίνητο φορτώθηκε 1,3 φορές περισσότερο και το δεύτερο αυτοκίνητο φορτώθηκε 1,5 φορές περισσότερο από το τρίτο αυτοκίνητο. Πόσοι τόνοι εμπορευμάτων φορτώθηκαν σε κάθε όχημα;
1491. Δύο πεζοί έφυγαν ταυτόχρονα από το ίδιο σημείο προς αντίθετες κατευθύνσεις. Μετά από 0,8 ώρες, η απόσταση μεταξύ τους έγινε 6,8 χιλιόμετρα. Η ταχύτητα του ενός πεζού ήταν 1,5 φορές μεγαλύτερη από την ταχύτητα του άλλου. Βρείτε την ταχύτητα του κάθε πεζού.
1492. Ακολουθήστε αυτά τα βήματα:
α) (21,2544: 0,9 + 1,02 3,2) : 5,6;
β) 4,36: (3,15 + 2,3) + (0,792 - 0,78) 350;
γ) (3,91: 2,3 5,4 - 4,03) 2,4;
δ) 6,93: (0,028 + 0,36 4,2) - 3,5.
1493. Ένας γιατρός ήρθε στο σχολείο και έφερε 0,25 κιλά ορό για εμβολιασμό. Σε πόσους τύπους μπορεί να κάνει ενέσεις εάν κάθε ένεση απαιτεί 0,002 κιλά ορού;
1494. Παραδόθηκαν στο κατάστημα 2,8 τόνοι μελόψωμο. Πριν από το μεσημεριανό γεύμα, αυτά τα μπισκότα με μελόψωμο πουλήθηκαν. Πόσοι τόνοι μελόψωμο απομένουν να πουληθούν;
1495. Από ένα κομμάτι ύφασμα κόπηκαν 5,6 μ. Πόσα μέτρα ύφασμα ήταν στο κομμάτι αν αυτό το κομμάτι κόπηκε;
N.Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Μαθηματικά τάξη 5, Εγχειρίδιο για ιδρύματα γενικής εκπαίδευσης
Στο σχολείο αυτές οι ενέργειες μελετώνται από απλές έως σύνθετες. Επομένως, είναι επιτακτική ανάγκη να κατανοήσουμε διεξοδικά τον αλγόριθμο για την εκτέλεση αυτών των πράξεων χρησιμοποιώντας απλά παραδείγματα. Έτσι ώστε αργότερα δεν θα υπάρχουν δυσκολίες με τη διαίρεση των δεκαδικών κλασμάτων σε μια στήλη. Μετά από όλα, αυτή είναι η πιο δύσκολη έκδοση τέτοιων εργασιών.
Αυτό το θέμα απαιτεί συνεπή μελέτη. Τα κενά στη γνώση είναι απαράδεκτα εδώ. Κάθε μαθητής πρέπει να μάθει αυτήν την αρχή ήδη στην πρώτη τάξη. Επομένως, εάν χάσετε πολλά μαθήματα στη σειρά, θα πρέπει να κατακτήσετε το υλικό μόνοι σας. Διαφορετικά, αργότερα θα προκύψουν προβλήματα όχι μόνο με τα μαθηματικά, αλλά και με άλλα θέματα που σχετίζονται με αυτά.
Η δεύτερη προϋπόθεση για την επιτυχή μελέτη των μαθηματικών είναι να προχωρήσουμε σε παραδείγματα μακράς διαίρεσης μόνο αφού έχουν κατακτηθεί η πρόσθεση, η αφαίρεση και ο πολλαπλασιασμός.
Θα είναι δύσκολο για ένα παιδί να διαιρέσει αν δεν έχει μάθει τον πίνακα πολλαπλασιασμού. Παρεμπιπτόντως, είναι καλύτερο να το διδάξετε χρησιμοποιώντας τον Πυθαγόρειο πίνακα. Δεν υπάρχει τίποτα περιττό και ο πολλαπλασιασμός είναι ευκολότερος να μάθεις σε αυτή την περίπτωση.
Πώς πολλαπλασιάζονται οι φυσικοί αριθμοί σε μια στήλη;
Εάν προκύψει δυσκολία στην επίλυση παραδειγμάτων σε μια στήλη για διαίρεση και πολλαπλασιασμό, τότε θα πρέπει να αρχίσετε να λύνετε το πρόβλημα με τον πολλαπλασιασμό. Επειδή η διαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού:
- Πριν πολλαπλασιάσετε δύο αριθμούς, πρέπει να τους εξετάσετε προσεκτικά. Επιλέξτε αυτό με περισσότερα ψηφία (μακρύτερα) και γράψτε το πρώτα. Τοποθετήστε το δεύτερο κάτω από αυτό. Επιπλέον, οι αριθμοί της αντίστοιχης κατηγορίας πρέπει να βρίσκονται στην ίδια κατηγορία. Δηλαδή, το δεξιότερο ψηφίο του πρώτου αριθμού θα πρέπει να είναι πάνω από το δεξιότερο ψηφίο του δεύτερου.
- Πολλαπλασιάστε το δεξιότερο ψηφίο του κάτω αριθμού με κάθε ψηφίο του επάνω αριθμού, ξεκινώντας από τα δεξιά. Γράψτε την απάντηση κάτω από τη γραμμή έτσι ώστε το τελευταίο ψηφίο της να βρίσκεται κάτω από αυτό που πολλαπλασιάσατε.
- Επαναλάβετε το ίδιο με ένα άλλο ψηφίο του κάτω αριθμού. Αλλά το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού πρέπει να μετακινηθεί ένα ψηφίο προς τα αριστερά. Σε αυτήν την περίπτωση, το τελευταίο ψηφίο του θα είναι κάτω από αυτό με το οποίο πολλαπλασιάστηκε.
Συνεχίστε αυτόν τον πολλαπλασιασμό σε μια στήλη μέχρι να εξαντληθούν οι αριθμοί του δεύτερου παράγοντα. Τώρα πρέπει να διπλωθούν. Αυτή θα είναι η απάντηση που ψάχνετε.
Αλγόριθμος για τον πολλαπλασιασμό των δεκαδικών
Αρχικά, πρέπει να φανταστείτε ότι τα δοσμένα κλάσματα δεν είναι δεκαδικά, αλλά φυσικά. Δηλαδή, αφαιρέστε τα κόμματα από αυτά και στη συνέχεια προχωρήστε όπως περιγράφεται στην προηγούμενη περίπτωση.
Η διαφορά αρχίζει όταν γράφεται η απάντηση. Αυτή τη στιγμή, είναι απαραίτητο να μετρήσετε όλους τους αριθμούς που εμφανίζονται μετά την υποδιαστολή και στα δύο κλάσματα. Αυτό ακριβώς είναι το πόσα από αυτά πρέπει να μετρηθούν από το τέλος της απάντησης και να βάλουμε κόμμα εκεί.
Είναι βολικό να επεξηγηθεί αυτός ο αλγόριθμος χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα: 0,25 x 0,33:
Πού να ξεκινήσετε τη διαίρεση εκμάθησης;
Πριν λύσετε παραδείγματα μεγάλης διαίρεσης, πρέπει να θυμάστε τα ονόματα των αριθμών που εμφανίζονται στο παράδειγμα μακράς διαίρεσης. Το πρώτο από αυτά (αυτό που διαιρείται) είναι διαιρετό. Το δεύτερο (διαιρούμενο με) είναι ο διαιρέτης. Η απάντηση είναι ιδιωτική.
Μετά από αυτό, χρησιμοποιώντας ένα απλό καθημερινό παράδειγμα, θα εξηγήσουμε την ουσία αυτής της μαθηματικής πράξης. Για παράδειγμα, αν πάρετε 10 γλυκά, τότε είναι εύκολο να τα μοιράσετε εξίσου μεταξύ της μαμάς και του μπαμπά. Τι γίνεται όμως αν χρειαστεί να τα δώσετε στους γονείς και τον αδερφό σας;
Μετά από αυτό, μπορείτε να εξοικειωθείτε με τους κανόνες διαίρεσης και να τους κατακτήσετε χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα. Πρώτα απλά και μετά προχωρήστε σε όλο και πιο σύνθετα.
Αλγόριθμος για τη διαίρεση αριθμών σε στήλη
Αρχικά, ας παρουσιάσουμε τη διαδικασία για φυσικούς αριθμούς που διαιρούνται με μονοψήφιο αριθμό. Θα αποτελέσουν επίσης τη βάση για πολυψήφιους διαιρέτες ή δεκαδικά κλάσματα. Μόνο τότε θα πρέπει να κάνετε μικρές αλλαγές, αλλά περισσότερα για αυτό αργότερα:
- Πριν κάνετε μακρά διαίρεση, πρέπει να υπολογίσετε πού είναι το μέρισμα και ο διαιρέτης.
- Καταγράψτε το μέρισμα. Στα δεξιά του βρίσκεται το διαχωριστικό.
- Σχεδιάστε μια γωνία στα αριστερά και κάτω κοντά στην τελευταία γωνία.
- Προσδιορίστε το ημιτελές μέρισμα, δηλαδή τον αριθμό που θα είναι ελάχιστος για διαίρεση. Συνήθως αποτελείται από ένα ψηφίο, το πολύ δύο.
- Επιλέξτε τον αριθμό που θα γραφεί πρώτος στην απάντηση. Θα πρέπει να είναι ο αριθμός των φορών που ο διαιρέτης χωράει στο μέρισμα.
- Γράψτε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού αυτού του αριθμού με τον διαιρέτη.
- Γράψτε το κάτω από το ημιτελές μέρισμα. Εκτελέστε αφαίρεση.
- Προσθέστε στο υπόλοιπο το πρώτο ψηφίο μετά το τμήμα που έχει ήδη διαιρεθεί.
- Επιλέξτε ξανά τον αριθμό για την απάντηση.
- Επαναλάβετε τον πολλαπλασιασμό και την αφαίρεση. Εάν το υπόλοιπο είναι μηδέν και το μέρισμα έχει τελειώσει, τότε το παράδειγμα έχει ολοκληρωθεί. Διαφορετικά, επαναλάβετε τα βήματα: αφαιρέστε τον αριθμό, σηκώστε τον αριθμό, πολλαπλασιάστε, αφαιρέστε.
Πώς να λύσετε τη διαίρεση μεγάλου μήκους εάν ο διαιρέτης έχει περισσότερα από ένα ψηφία;
Ο ίδιος ο αλγόριθμος συμπίπτει πλήρως με αυτό που περιγράφηκε παραπάνω. Η διαφορά θα είναι ο αριθμός των ψηφίων στο ημιτελές μέρισμα. Τώρα θα πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον δύο από αυτά, αλλά αν αποδειχθούν λιγότερα από τον διαιρέτη, τότε πρέπει να εργαστείτε με τα τρία πρώτα ψηφία.
Υπάρχει μια ακόμη απόχρωση σε αυτή τη διαίρεση. Το γεγονός είναι ότι το υπόλοιπο και ο αριθμός που προστίθεται σε αυτό μερικές φορές δεν διαιρούνται με τον διαιρέτη. Στη συνέχεια, πρέπει να προσθέσετε έναν άλλο αριθμό με τη σειρά. Αλλά η απάντηση πρέπει να είναι μηδέν. Εάν διαιρείτε τριψήφιους αριθμούς σε μια στήλη, ίσως χρειαστεί να αφαιρέσετε περισσότερα από δύο ψηφία. Στη συνέχεια εισάγεται ένας κανόνας: πρέπει να υπάρχει ένα μηδέν λιγότερο στην απάντηση από τον αριθμό των ψηφίων που αφαιρέθηκαν.
Μπορείτε να εξετάσετε αυτήν τη διαίρεση χρησιμοποιώντας το παράδειγμα - 12082: 863.
- Το ημιτελές μέρισμα σε αυτό αποδεικνύεται ότι είναι ο αριθμός 1208. Ο αριθμός 863 τοποθετείται σε αυτό μόνο μία φορά. Επομένως, η απάντηση υποτίθεται ότι είναι 1 και κάτω από το 1208 γράψτε 863.
- Μετά την αφαίρεση, το υπόλοιπο είναι 345.
- Πρέπει να προσθέσετε τον αριθμό 2 σε αυτό.
- Ο αριθμός 3452 περιέχει 863 τέσσερις φορές.
- Τέσσερα πρέπει να γραφτούν ως απάντηση. Επιπλέον, όταν πολλαπλασιαστεί με το 4, αυτός είναι ακριβώς ο αριθμός που προκύπτει.
- Το υπόλοιπο μετά την αφαίρεση είναι μηδέν. Δηλαδή ολοκληρώνεται η διαίρεση.
Η απάντηση στο παράδειγμα θα ήταν ο αριθμός 14.
Τι γίνεται αν το μέρισμα τελειώνει στο μηδέν;
Ή μερικά μηδενικά; Σε αυτήν την περίπτωση, το υπόλοιπο είναι μηδέν, αλλά το μέρισμα εξακολουθεί να περιέχει μηδενικά. Δεν χρειάζεται να απελπίζεστε, όλα είναι πιο απλά από όσο φαίνονται. Αρκεί απλώς να προσθέσουμε στην απάντηση όλα τα μηδενικά που παραμένουν αδιαίρετα.
Για παράδειγμα, πρέπει να διαιρέσετε το 400 με το 5. Το ημιτελές μέρισμα είναι 40. Το πέντε χωράει σε αυτό 8 φορές. Αυτό σημαίνει ότι η απάντηση πρέπει να γραφτεί ως 8. Κατά την αφαίρεση, δεν μένει κανένα υπόλοιπο. Δηλαδή ολοκληρώνεται η διαίρεση, αλλά στο μέρισμα μένει ένα μηδέν. Θα πρέπει να προστεθεί στην απάντηση. Έτσι, η διαίρεση του 400 με το 5 ισούται με 80.
Τι να κάνετε εάν πρέπει να διαιρέσετε ένα δεκαδικό κλάσμα;
Και πάλι, αυτός ο αριθμός μοιάζει με φυσικός αριθμός, αν όχι για το κόμμα που χωρίζει ολόκληρο το μέρος από το κλασματικό μέρος. Αυτό υποδηλώνει ότι η διαίρεση των δεκαδικών κλασμάτων σε μια στήλη είναι παρόμοια με αυτή που περιγράφεται παραπάνω.
Η μόνη διαφορά θα είναι το ερωτηματικό. Υποτίθεται ότι μπαίνει στην απάντηση μόλις αφαιρεθεί το πρώτο ψηφίο από το κλασματικό μέρος. Ένας άλλος τρόπος για να το πείτε αυτό είναι ο εξής: εάν έχετε ολοκληρώσει τη διαίρεση ολόκληρου του τμήματος, βάλτε κόμμα και συνεχίστε τη λύση περαιτέρω.
Όταν λύνετε παραδείγματα μακράς διαίρεσης με δεκαδικά κλάσματα, πρέπει να θυμάστε ότι οποιοσδήποτε αριθμός μηδενικών μπορεί να προστεθεί στο τμήμα μετά την υποδιαστολή. Μερικές φορές αυτό είναι απαραίτητο για να συμπληρώσετε τους αριθμούς.
Διαίρεση δύο δεκαδικών
Μπορεί να φαίνεται περίπλοκο. Αλλά μόνο στην αρχή. Εξάλλου, ο τρόπος διαίρεσης μιας στήλης κλασμάτων με έναν φυσικό αριθμό είναι ήδη ξεκάθαρος. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να αναγάγουμε αυτό το παράδειγμα σε μια ήδη γνωστή μορφή.
Είναι εύκολο να γίνει. Πρέπει να πολλαπλασιάσετε και τα δύο κλάσματα με 10, 100, 1.000 ή 10.000 και ίσως με ένα εκατομμύριο αν το απαιτεί το πρόβλημα. Ο πολλαπλασιαστής υποτίθεται ότι επιλέγεται με βάση πόσα μηδενικά υπάρχουν στο δεκαδικό μέρος του διαιρέτη. Δηλαδή, το αποτέλεσμα θα είναι ότι θα πρέπει να διαιρέσετε το κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό.
Και αυτό θα είναι το χειρότερο σενάριο. Άλλωστε, μπορεί να συμβεί το μέρισμα από αυτή την πράξη να γίνει ακέραιος. Στη συνέχεια, η λύση του παραδείγματος με διαίρεση κλασμάτων στηλών θα μειωθεί στην απλούστερη επιλογή: πράξεις με φυσικούς αριθμούς.
Για παράδειγμα: διαιρέστε το 28,4 με το 3,2:
- Πρέπει πρώτα να πολλαπλασιαστούν με το 10, αφού ο δεύτερος αριθμός έχει μόνο ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή. Ο πολλαπλασιασμός θα δώσει 284 και 32.
- Υποτίθεται ότι είναι χωρισμένοι. Επιπλέον, ο συνολικός αριθμός είναι 284 επί 32.
- Ο πρώτος αριθμός που επιλέχθηκε για την απάντηση είναι το 8. Πολλαπλασιάζοντας τον προκύπτει το 256. Το υπόλοιπο είναι 28.
- Η διαίρεση ολόκληρου του μέρους έχει τελειώσει και απαιτείται κόμμα στην απάντηση.
- Αφαίρεση στο υπόλοιπο 0.
- Πάρε πάλι 8.
- Υπόλοιπο: 24. Προσθέστε άλλο 0 σε αυτό.
- Τώρα πρέπει να πάρετε το 7.
- Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι 224, το υπόλοιπο είναι 16.
- Κατεβάστε άλλο ένα 0. Πάρτε 5 το καθένα και θα πάρετε ακριβώς 160. Το υπόλοιπο είναι 0.
Η διαίρεση έχει ολοκληρωθεί. Το αποτέλεσμα του παραδείγματος 28.4:3.2 είναι 8.875.
Τι γίνεται αν ο διαιρέτης είναι 10, 100, 0,1 ή 0,01;
Ακριβώς όπως με τον πολλαπλασιασμό, έτσι και εδώ δεν χρειάζεται διαίρεση μεγάλου μήκους. Αρκεί απλώς να μετακινήσετε το κόμμα προς την επιθυμητή κατεύθυνση για έναν ορισμένο αριθμό ψηφίων. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας αυτήν την αρχή, μπορείτε να λύσετε παραδείγματα τόσο με ακέραιους όσο και με δεκαδικά κλάσματα.
Έτσι, εάν πρέπει να διαιρέσετε με το 10, το 100 ή το 1.000, τότε η υποδιαστολή μετακινείται προς τα αριστερά κατά τον ίδιο αριθμό ψηφίων που υπάρχουν μηδενικά στον διαιρέτη. Δηλαδή, όταν ένας αριθμός διαιρείται με το 100, η υποδιαστολή πρέπει να μετακινηθεί προς τα αριστερά κατά δύο ψηφία. Εάν το μέρισμα είναι φυσικός αριθμός, τότε θεωρείται ότι το κόμμα βρίσκεται στο τέλος.
Αυτή η ενέργεια δίνει το ίδιο αποτέλεσμα σαν να πολλαπλασιαζόταν ο αριθμός με 0,1, 0,01 ή 0,001. Σε αυτά τα παραδείγματα, το κόμμα μετακινείται επίσης προς τα αριστερά με έναν αριθμό ψηφίων ίσο με το μήκος του κλασματικού μέρους.
Κατά τη διαίρεση με το 0,1 (κ.λπ.) ή τον πολλαπλασιασμό με το 10 (κ.λπ.), η υποδιαστολή πρέπει να μετακινείται προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο (ή δύο, τρία, ανάλογα με τον αριθμό των μηδενικών ή το μήκος του κλασματικού μέρους).
Αξίζει να σημειωθεί ότι ο αριθμός των ψηφίων που δίνονται στο μέρισμα ενδέχεται να μην είναι επαρκής. Στη συνέχεια, τα μηδενικά που λείπουν μπορούν να προστεθούν αριστερά (σε ολόκληρο το τμήμα) ή προς τα δεξιά (μετά την υποδιαστολή).
Διαίρεση περιοδικών κλασμάτων
Σε αυτήν την περίπτωση, δεν θα είναι δυνατό να ληφθεί μια ακριβής απάντηση κατά τη διαίρεση σε μια στήλη. Πώς να λύσετε ένα παράδειγμα εάν συναντήσετε ένα κλάσμα με τελεία; Εδώ πρέπει να περάσουμε στα συνηθισμένα κλάσματα. Και μετά χωρίστε τα σύμφωνα με τους κανόνες που μάθατε προηγουμένως.
Για παράδειγμα, πρέπει να διαιρέσετε το 0.(3) με το 0,6. Το πρώτο κλάσμα είναι περιοδικό. Μετατρέπεται στο κλάσμα 3/9, το οποίο όταν μειωθεί δίνει 1/3. Το δεύτερο κλάσμα είναι το τελικό δεκαδικό. Είναι ακόμα πιο εύκολο να το γράψετε ως συνήθως: 6/10, που ισούται με 3/5. Ο κανόνας για τη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων απαιτεί την αντικατάσταση της διαίρεσης με πολλαπλασιασμό και του διαιρέτη με την αντίστροφη. Δηλαδή, το παράδειγμα καταλήγει στον πολλαπλασιασμό του 1/3 επί 5/3. Η απάντηση θα είναι 5/9.
Αν το παράδειγμα περιέχει διαφορετικά κλάσματα...
Τότε είναι δυνατές πολλές λύσεις. Αρχικά, μπορείτε να προσπαθήσετε να μετατρέψετε ένα κοινό κλάσμα σε δεκαδικό. Στη συνέχεια, διαιρέστε δύο δεκαδικά ψηφία χρησιμοποιώντας τον παραπάνω αλγόριθμο.
Δεύτερον, κάθε τελικό δεκαδικό κλάσμα μπορεί να γραφτεί ως κοινό κλάσμα. Αλλά αυτό δεν είναι πάντα βολικό. Τις περισσότερες φορές, τέτοια κλάσματα αποδεικνύονται τεράστια. Και οι απαντήσεις είναι επίπονες. Επομένως, η πρώτη προσέγγιση θεωρείται προτιμότερη.
Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε μια τόσο σημαντική πράξη με δεκαδικούς όπως η διαίρεση. Αρχικά, θα διατυπώσουμε γενικές αρχές, στη συνέχεια θα αναλύσουμε πώς να διαιρέσουμε σωστά τα δεκαδικά κλάσματα σε μια στήλη τόσο με άλλα κλάσματα όσο και με φυσικούς αριθμούς. Στη συνέχεια, θα αναλύσουμε τη διαίρεση των συνηθισμένων κλασμάτων σε δεκαδικά και αντίστροφα, και στο τέλος θα δούμε πώς να διαιρέσουμε σωστά τα κλάσματα που τελειώνουν σε 0, 1, 0, 01, 100, 10 κ.λπ.
Εδώ θα πάρουμε μόνο περιπτώσεις με θετικά κλάσματα. Εάν υπάρχει ένα μείον μπροστά από το κλάσμα, τότε για να λειτουργήσετε με αυτό πρέπει να μελετήσετε υλικό σχετικά με τη διαίρεση ορθολογικών και πραγματικών αριθμών.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Όλα τα δεκαδικά κλάσματα, τόσο πεπερασμένα όσο και περιοδικά, είναι απλώς μια ειδική μορφή γραφής συνηθισμένων κλασμάτων. Κατά συνέπεια, υπόκεινται στις ίδιες αρχές με τα αντίστοιχα συνηθισμένα κλάσματα. Έτσι, μειώνουμε ολόκληρη τη διαδικασία διαίρεσης των δεκαδικών κλασμάτων στην αντικατάστασή τους με συνηθισμένα, ακολουθούμενη από υπολογισμό χρησιμοποιώντας μεθόδους ήδη γνωστές σε εμάς. Ας πάρουμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.
Παράδειγμα 1
Διαιρέστε το 1,2 με το 0,48.
Λύση
Ας γράψουμε τα δεκαδικά κλάσματα ως συνηθισμένα κλάσματα. Θα πάρουμε:
1 , 2 = 12 10 = 6 5
0 , 48 = 48 100 = 12 25 .
Επομένως, πρέπει να διαιρέσουμε το 6 5 με το 12 25. Μετράμε:
1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2
Από το ακατάλληλο κλάσμα που προκύπτει, μπορείτε να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος και να πάρετε τον μικτό αριθμό 2 1 2 ή μπορείτε να το παρουσιάσετε ως δεκαδικό κλάσμα έτσι ώστε να αντιστοιχεί στους αρχικούς αριθμούς: 5 2 = 2, 5. Έχουμε ήδη γράψει για το πώς να το κάνουμε αυτό νωρίτερα.
Απάντηση: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .
Παράδειγμα 2
Υπολογίστε πόσο θα είναι το 0 , (504) 0 , 56.
Λύση
Αρχικά, πρέπει να μετατρέψουμε ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα σε κοινό κλάσμα.
0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111
Μετά από αυτό, θα μετατρέψουμε επίσης το τελικό δεκαδικό κλάσμα σε άλλη μορφή: 0, 56 = 56.100. Τώρα έχουμε δύο αριθμούς με τους οποίους θα είναι εύκολο για εμάς να κάνουμε τους απαραίτητους υπολογισμούς:
0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111
Έχουμε ένα αποτέλεσμα που μπορούμε να το μετατρέψουμε και σε δεκαδικό. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή χρησιμοποιώντας τη μέθοδο στήλης:
Απάντηση: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .
Αν στο παράδειγμα της διαίρεσης συναντήσαμε μη περιοδικά δεκαδικά κλάσματα, τότε θα ενεργήσουμε λίγο διαφορετικά. Δεν μπορούμε να τα αναγάγουμε στα συνηθισμένα συνηθισμένα κλάσματα, οπότε κατά τη διαίρεση πρέπει πρώτα να τα στρογγυλοποιήσουμε σε ένα συγκεκριμένο ψηφίο. Αυτή η ενέργεια πρέπει να εκτελεστεί τόσο με το μέρισμα όσο και με τον διαιρέτη: θα στρογγυλοποιήσουμε επίσης το υπάρχον πεπερασμένο ή περιοδικό κλάσμα για λόγους ακρίβειας.
Παράδειγμα 3
Βρείτε πόσο είναι το 0,779... / 1,5602.
Λύση
Αρχικά, στρογγυλοποιούμε και τα δύο κλάσματα στο πλησιέστερο εκατοστό. Έτσι κινούμαστε από άπειρα μη περιοδικά κλάσματα σε πεπερασμένα δεκαδικά:
0 , 779 … ≈ 0 , 78
1 , 5602 ≈ 1 , 56
Μπορούμε να συνεχίσουμε τους υπολογισμούς και να πάρουμε ένα κατά προσέγγιση αποτέλεσμα: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78.100: 156.100 = 78.100 100.156 = 78.156 = 0,12.
Η ακρίβεια του αποτελέσματος θα εξαρτηθεί από τον βαθμό στρογγυλοποίησης.
Απάντηση: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .
Πώς να διαιρέσετε έναν φυσικό αριθμό με ένα δεκαδικό και αντίστροφα
Η προσέγγιση της διαίρεσης σε αυτή την περίπτωση είναι σχεδόν η ίδια: αντικαθιστούμε πεπερασμένα και περιοδικά κλάσματα με συνηθισμένα και στρογγυλοποιούμε άπειρα μη περιοδικά. Ας ξεκινήσουμε με το παράδειγμα της διαίρεσης με φυσικό αριθμό και δεκαδικό κλάσμα.
Παράδειγμα 4
Διαιρέστε το 2,5 με το 45.
Λύση
Ας μειώσουμε το 2, 5 στη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος: 255 10 = 51 2. Στη συνέχεια, πρέπει απλώς να το διαιρέσουμε με έναν φυσικό αριθμό. Ξέρουμε ήδη πώς να το κάνουμε αυτό:
25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30
Αν μετατρέψουμε το αποτέλεσμα σε δεκαδικό συμβολισμό, παίρνουμε 0,5 (6).
Απάντηση: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .
Η μέθοδος μακράς διαίρεσης είναι καλή όχι μόνο για φυσικούς αριθμούς. Κατ' αναλογία, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για κλάσματα. Παρακάτω αναφέρουμε τη σειρά των ενεργειών που πρέπει να πραγματοποιηθούν για αυτό.
Ορισμός 1
Για να διαιρέσετε μια στήλη δεκαδικών κλασμάτων με φυσικούς αριθμούς χρειάζεστε:
1. Προσθέστε μερικά μηδενικά στο δεκαδικό κλάσμα στα δεξιά (για διαίρεση μπορούμε να προσθέσουμε όποιον αριθμό από αυτά χρειαζόμαστε).
2. Διαιρέστε ένα δεκαδικό κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο. Όταν τελειώσει η διαίρεση ολόκληρου του κλάσματος, βάζουμε κόμμα στο πηλίκο που προκύπτει και μετράμε περαιτέρω.
Το αποτέλεσμα μιας τέτοιας διαίρεσης μπορεί να είναι είτε ένα πεπερασμένο είτε ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα. Εξαρτάται από το υπόλοιπο: αν είναι μηδέν, τότε το αποτέλεσμα θα είναι πεπερασμένο και αν τα υπόλοιπα αρχίσουν να επαναλαμβάνονται, τότε η απάντηση θα είναι ένα περιοδικό κλάσμα.
Ας πάρουμε πολλά προβλήματα ως παράδειγμα και ας προσπαθήσουμε να εκτελέσουμε αυτά τα βήματα με συγκεκριμένους αριθμούς.
Παράδειγμα 5
Υπολογίστε πόσο θα είναι το 65, το 14 4.
Λύση
Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο στήλης. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε δύο μηδενικά στο κλάσμα και λάβετε το δεκαδικό κλάσμα 65, 1400, το οποίο θα είναι ίσο με το αρχικό. Τώρα γράφουμε μια στήλη για διαίρεση με 4:
Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι το αποτέλεσμα που χρειαζόμαστε από τη διαίρεση του ακέραιου μέρους. Βάζουμε κόμμα, χωρίζοντας το και συνεχίζουμε:
Έχουμε φτάσει στο μηδέν υπόλοιπο, επομένως η διαδικασία διαίρεσης έχει ολοκληρωθεί.
Απάντηση: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .
Παράδειγμα 6
Διαιρέστε το 164,5 με το 27.
Λύση
Αρχικά διαιρούμε το κλασματικό μέρος και παίρνουμε:
Διαχωρίστε τον αριθμό που προκύπτει με κόμμα και συνεχίστε τη διαίρεση:
Βλέπουμε ότι τα υπόλοιπα άρχισαν να επαναλαμβάνονται περιοδικά και στο πηλίκο οι αριθμοί εννέα, δύο και πέντε άρχισαν να εναλλάσσονται. Θα σταματήσουμε εδώ και θα γράψουμε την απάντηση με τη μορφή περιοδικού κλάσματος 6, 0 (925).
Απάντηση: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .
Αυτή η διαίρεση μπορεί να αναχθεί στη διαδικασία εύρεσης του πηλίκου ενός δεκαδικού κλάσματος και ενός φυσικού αριθμού, που ήδη περιγράφηκε παραπάνω. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το μέρισμα και τον διαιρέτη με 10, 100 κ.λπ. έτσι ώστε ο διαιρέτης να μετατραπεί σε φυσικό αριθμό. Στη συνέχεια πραγματοποιούμε την ακολουθία των ενεργειών που περιγράφονται παραπάνω. Αυτή η προσέγγιση είναι δυνατή λόγω των ιδιοτήτων της διαίρεσης και του πολλαπλασιασμού. Τα καταγράψαμε ως εξής:
a: b = (a · 10) : (b · 10) , a: b = (a · 100) : (b · 100) και ούτω καθεξής.
Ας διαμορφώσουμε έναν κανόνα:
Ορισμός 2
Για να διαιρέσετε ένα τελικό δεκαδικό κλάσμα με ένα άλλο:
1. Μετακινήστε το κόμμα στο μέρισμα και το διαιρέτη προς τα δεξιά με τον αριθμό των ψηφίων που είναι απαραίτητα για να μετατραπεί ο διαιρέτης σε φυσικό αριθμό. Εάν δεν υπάρχουν αρκετά σημάδια στο μέρισμα, προσθέτουμε μηδενικά σε αυτό στη δεξιά πλευρά.
2. Μετά από αυτό, διαιρέστε το κλάσμα με μια στήλη με τον φυσικό αριθμό που προκύπτει.
Ας δούμε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα.
Παράδειγμα 7
Διαιρέστε το 7,287 με το 2,1.
Λύση: Για να γίνει ο διαιρέτης φυσικός αριθμός, πρέπει να μετακινήσουμε το δεκαδικό ψηφίο μία θέση προς τα δεξιά. Έτσι προχωρήσαμε στη διαίρεση του δεκαδικού κλάσματος 72, 87 με 21. Ας γράψουμε τους αριθμούς που προκύπτουν σε μια στήλη και ας υπολογίσουμε
Απάντηση: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47
Παράδειγμα 8
Υπολογίστε 16.30.021.
Λύση
Θα πρέπει να μετακινήσουμε το κόμμα τρεις θέσεις. Δεν υπάρχουν αρκετά ψηφία στον διαιρέτη για αυτό, πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να χρησιμοποιήσετε επιπλέον μηδενικά. Πιστεύουμε ότι το αποτέλεσμα θα είναι:
Βλέπουμε περιοδική επανάληψη των υπολειμμάτων 4, 19, 1, 10, 16, 13. Στο πηλίκο επαναλαμβάνονται τα 1, 9, 0, 4, 7 και 5. Τότε το αποτέλεσμά μας είναι το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα 776, (190476).
Απάντηση: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476)
Η μέθοδος που περιγράψαμε σας επιτρέπει να κάνετε το αντίθετο, δηλαδή να διαιρέσετε έναν φυσικό αριθμό με το τελικό δεκαδικό κλάσμα. Ας δούμε πώς γίνεται.
Παράδειγμα 9
Υπολογίστε πόσο είναι το 3 5, 4.
Λύση
Προφανώς, θα πρέπει να μετακινήσουμε το κόμμα στη σωστή θέση. Μετά από αυτό μπορούμε να προχωρήσουμε στη διαίρεση του 30, 0 με το 54. Ας γράψουμε τα δεδομένα σε μια στήλη και ας υπολογίσουμε το αποτέλεσμα:
Η επανάληψη του υπολοίπου μας δίνει τον τελικό αριθμό 0, (5), που είναι ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.
Απάντηση: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .
Πώς να διαιρέσετε τα δεκαδικά με 1000, 100, 10 κ.λπ.
Σύμφωνα με τους ήδη μελετημένους κανόνες για τη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων, η διαίρεση ενός κλάσματος με δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες είναι παρόμοια με τον πολλαπλασιασμό του επί 1/1000, 1/100, 1/10 κ.λπ. Αποδεικνύεται ότι για να εκτελέσετε τη διαίρεση, σε Σε αυτή την περίπτωση αρκεί απλώς να μετακινήσετε την υποδιαστολή στους απαιτούμενους αριθμούς Εάν δεν υπάρχουν αρκετές τιμές στον αριθμό για μεταφορά, πρέπει να προσθέσετε τον απαιτούμενο αριθμό μηδενικών.
Παράδειγμα 10
Άρα, 56, 21: 10 = 5, 621 και 0, 32: 100.000 = 0, 0000032.
Στην περίπτωση των άπειρων δεκαδικών κλασμάτων, κάνουμε το ίδιο.
Παράδειγμα 11
Για παράδειγμα, 3, (56): 1.000 = 0, 003 (56) και 593, 374...: 100 = 5, 93374....
Πώς να διαιρέσετε τα δεκαδικά με 0,001, 0,01, 0,1 κ.λπ.
Χρησιμοποιώντας τον ίδιο κανόνα, μπορούμε επίσης να διαιρέσουμε τα κλάσματα στις υποδεικνυόμενες τιμές. Αυτή η ενέργεια θα είναι παρόμοια με τον πολλαπλασιασμό με 1000, 100, 10, αντίστοιχα. Για να γίνει αυτό, μετακινούμε το κόμμα σε ένα, δύο ή τρία ψηφία, ανάλογα με τις συνθήκες του προβλήματος, και προσθέτουμε μηδενικά εάν δεν υπάρχουν αρκετά ψηφία στον αριθμό.
Παράδειγμα 12
Για παράδειγμα, 5,739: 0,1 = 57,39 και 0,21: 0,00001 = 21.000.
Αυτός ο κανόνας ισχύει και για άπειρα δεκαδικά κλάσματα. Σας συμβουλεύουμε μόνο να είστε προσεκτικοί με την περίοδο του κλάσματος που εμφανίζεται στην απάντηση.
Άρα, 7, 5 (716) : 0, 01 = 757, (167) γιατί αφού μετακινήσαμε το κόμμα στο δεκαδικό κλάσμα 7, 5716716716... δύο θέσεις δεξιά, πήραμε 757, 167167....
Αν έχουμε μη περιοδικά κλάσματα στο παράδειγμα, τότε όλα είναι πιο απλά: 394, 38283...: 0, 001 = 394382, 83....
Πώς να διαιρέσετε έναν μικτό αριθμό ή κλάσμα με δεκαδικό και αντίστροφα
Μειώνουμε επίσης αυτή την ενέργεια σε πράξεις με συνηθισμένα κλάσματα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να αντικαταστήσετε τους δεκαδικούς αριθμούς με τα αντίστοιχα συνηθισμένα κλάσματα και να γράψετε τον μικτό αριθμό ως ακατάλληλο κλάσμα.
Αν διαιρέσουμε ένα μη περιοδικό κλάσμα με έναν συνηθισμένο ή μεικτό αριθμό, πρέπει να κάνουμε το αντίθετο, αντικαθιστώντας το συνηθισμένο κλάσμα ή μεικτό αριθμό με το αντίστοιχο δεκαδικό κλάσμα.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter