Παρουσίαση με θέμα την αρχή του dirichlet. δ) προβλήματα στον αριθμητικό μέσο όρο

Το έργο μας είναι εκπαιδευτική, πρακτική εφαρμογή. Κατά τη διάρκεια του σχολικού γύρου της Ολυμπιάδας αντιμετώπισα ένα πρόβλημα. Αποφασίσαμε να μελετήσουμε αυτό το θέμα με περισσότερες λεπτομέρειες: - Γνωριστήκαμε με τη βιβλιογραφία σχετικά με αυτό το θέμα. - Εξετάσαμε το ιστορικό υλικό. - Μελετήσαμε την αρχή Dirichlet. - Ετοίμασε περίληψη και παρουσίαση. - Έμαθε πώς να το χρησιμοποιεί κατά την επίλυση προβλημάτων. - Σχεδιάζουμε να μιλήσουμε με μαθητές της 6ης τάξης.

Ο Dirichlet γεννήθηκε στην πόλη Düren της Βεστφαλίας στην οικογένεια ενός ταχυδρόμου. Σε ηλικία 12 ετών, ο Dirichlet άρχισε να σπουδάζει σε ένα γυμνάσιο στη Βόννη, δύο χρόνια αργότερα σε ένα γυμνάσιο Ιησουιτών στην Κολωνία, όπου, μεταξύ άλλων δασκάλων, διδάχθηκε από τον Georg Ohm. Από το 1822 έως το 1827 έζησε ως οικιακός δάσκαλος στο Παρίσι, όπου μετακόμισε στον κύκλο του Φουριέ. Βιογραφία

Το 1827 παίρνει θέση ως Privatdozent στο Πανεπιστήμιο του Breslau (Wroclaw). - Το 1829 μετακόμισε στο Βερολίνο, όπου εργάστηκε αδιάκοπα για 26 χρόνια, πρώτα ως επίκουρος καθηγητής. - Στη συνέχεια από το 1831 ως έκτακτος καθηγητής. - Από το 1839 ως απλός καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Το 1855, ο Dirichlet έγινε, ως διάδοχος του Gauss, καθηγητής ανώτερων μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Göttingen. Βιογραφία

Εάν υπάρχουν m λαγοί σε n κελιά και m > n, τότε τουλάχιστον δύο λαγοί βρίσκονται σε τουλάχιστον ένα κελί. n, τότε υπάρχουν τουλάχιστον δύο λαγοί που κάθονται σε τουλάχιστον ένα κλουβί."> n, τότε τουλάχιστον δύο λαγοί κάθονται σε τουλάχιστον ένα κλουβί."> n, τότε υπάρχουν τουλάχιστον δύο λαγοί που κάθονται σε τουλάχιστον ένα κλουβί τουλάχιστον δύο λαγοί." title="Αν υπάρχουν m λαγοί σε n κελιά και m > n, τότε υπάρχουν τουλάχιστον δύο λαγοί σε τουλάχιστον ένα κελί."> title="Εάν υπάρχουν m λαγοί σε n κελιά και m > n, τότε τουλάχιστον δύο λαγοί βρίσκονται σε τουλάχιστον ένα κελί."> !}

Αν υπάρχουν m περιστέρια σε n κελιά, και m

N, τότε τουλάχιστον ένα κελί περιέχει τουλάχιστον m:n λαγούς και τουλάχιστον ένα άλλο κελί περιέχει το πολύ m:n λαγούς." title="Generalized Dirichlet αρχή Ας υποθέσουμε ότι m λαγοί κάθονται σε n Τότε αν m > n, τότε τουλάχιστον ένα κελί περιέχει τουλάχιστον m:n λαγούς και τουλάχιστον ένα άλλο κελί περιέχει τουλάχιστον m:n λαγούς." class="link_thumb"> 9 !}Γενικευμένη αρχή Dirichlet Ας υποθέσουμε ότι m λαγοί κάθονται σε n κελιά. Τότε αν m > n, τότε τουλάχιστον ένα κελί περιέχει τουλάχιστον m:n λαγούς και τουλάχιστον ένα άλλο κελί περιέχει τουλάχιστον m:n λαγούς. n, τότε τουλάχιστον ένα κελί περιέχει τουλάχιστον m:n λαγούς και τουλάχιστον ένα άλλο κελί περιέχει τουλάχιστον m:n λαγούς."> n, τότε τουλάχιστον ένα κελί περιέχει τουλάχιστον m:n λαγούς, και επίσης τουλάχιστον ένα άλλο κελί δεν περιέχει περισσότερους από m:n λαγούς."> n, τότε τουλάχιστον ένα κελί περιέχει τουλάχιστον m:n λαγούς, και επίσης τουλάχιστον ένα άλλο κελί δεν περιέχει περισσότερους από m:n λαγούς. " title="( !LANG:Γενικευμένη αρχή Dirichlet Ας υποθέσουμε ότι m λαγοί κάθονται σε n κελιά. Τότε αν m > n, τότε τουλάχιστον ένα κελί περιέχει τουλάχιστον m:n λαγούς και τουλάχιστον ένα άλλο κελί δεν περιέχει περισσότερους από m:n λαγούς."> title="Γενικευμένη αρχή Dirichlet Ας υποθέσουμε ότι m λαγοί κάθονται σε n κελιά. Τότε αν m > n, τότε τουλάχιστον ένα κελί περιέχει τουλάχιστον m:n λαγούς και τουλάχιστον ένα άλλο κελί περιέχει τουλάχιστον m:n λαγούς."> !}

12, λοιπόν, σύμφωνα με την αρχή Dirichlet, υπάρχει τουλάχιστον "title=" Υπάρχουν 15 μαθητές στην τάξη. Αποδείξτε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 2 μαθητές που γιορτάζουν γενέθλια τον ίδιο μήνα. Λύση: Αφήστε 15 μαθητές να είναι «λαγοί» Τότε τα «κελιά» θα είναι οι μήνες του χρόνου, είναι 12. Από 15>12, λοιπόν, σύμφωνα με την αρχή του Dirichlet, υπάρχει τουλάχιστον" class="link_thumb"> 10 !}Υπάρχουν 15 μαθητές στην τάξη. Αποδείξτε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 2 μαθητές που γιορτάζουν γενέθλια τον ίδιο μήνα. Λύση: Αφήστε 15 μαθητές να είναι «λαγοί». Τότε τα «κελιά» θα είναι οι μήνες του έτους, είναι 12. Από 15>12, τότε, σύμφωνα με την αρχή του Dirichlet, θα υπάρχει τουλάχιστον ένα «κελί» στο οποίο τουλάχιστον 2 «λαγοί» θα Καθίστε. Απάντηση: Υπάρχει ένας μήνας που θα γιορταστούν τα γενέθλια τουλάχιστον 2 μαθητών της τάξης. Εργασία 1. 12, λοιπόν, σύμφωνα με την αρχή Dirichlet, υπάρχει τουλάχιστον "> 12, τότε, σύμφωνα με την αρχή Dirichlet, υπάρχει τουλάχιστον ένα "κελί" στο οποίο θα καθίσουν τουλάχιστον 2 "λαγοί". Απάντηση: Υπάρχει ένα μήνα , κατά τον οποίο θα γιορταστούν τα γενέθλια τουλάχιστον 2 μαθητών στην τάξη. Πρόβλημα 1."> 12, τότε, σύμφωνα με την αρχή Dirichlet, θα υπάρχουν τουλάχιστον" title="Υπάρχουν 15 μαθητές στην τάξη Αποδείξτε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 2 μαθητές που γιορτάζουν γενέθλια τον ίδιο μήνα Λύση: Έστω 15 μαθητές «λαγοί». Τότε τα «κελιά» θα είναι οι μήνες του έτους, υπάρχουν 12 από αυτούς. Από 15 >12, λοιπόν, σύμφωνα με την αρχή του Dirichlet, υπάρχει τουλάχιστον"> title="Υπάρχουν 15 μαθητές στην τάξη. Αποδείξτε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 2 μαθητές που γιορτάζουν γενέθλια τον ίδιο μήνα. Λύση: Αφήστε 15 μαθητές να είναι «λαγοί». Τότε τα «κελιά» θα είναι οι μήνες του έτους, είναι 12. Από 15>12, λοιπόν, σύμφωνα με την αρχή Dirichlet, υπάρχει τουλάχιστον"> !}

Ο Κόλια έκανε 8 τρύπες σε ένα χαλί διαστάσεων 3x3 μέτρων. Αποδείξτε ότι είναι δυνατό να κόψετε ένα χαλάκι 1x1 μέτρου από αυτό χωρίς τρύπες στο εσωτερικό του. Λύση: Ας κόψουμε το χαλί σε 9 κουβέρτες διαστάσεων 1x1 μέτρο, αφού υπάρχουν 9 χαλιά - «κλουβιά», και 8 τρύπες - «περιστέρια» Απάντηση: Υπάρχει ένα χαλί χωρίς τρύπες μέσα. Εργασία 2.

Υπάρχουν 27 μαθητές στην τάξη 3Α που γνωρίζουν συνολικά 109 ποιήματα. Αποδείξτε ότι υπάρχει μαθητής που ξέρει τουλάχιστον 5 ποιήματα. Λύση: Ας υποθέσουμε ότι κάθε μαθητής δεν γνωρίζει περισσότερα από 4 ποιήματα. Αυτό σημαίνει ότι 27 μαθητές δεν γνωρίζουν περισσότερα από 427 = 108 (ποιήματα) Απάντηση: Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένας μαθητής που ξέρει τουλάχιστον 5 ποιήματα. Εργασία 3.

Υπάρχουν 15 σχολεία στην πόλη. Εκεί φοιτούν 6.015 μαθητές. Η αίθουσα συναυλιών του Παλατιού Πολιτισμού της πόλης έχει 400 θέσεις. Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα σχολείο που οι μαθητές του δεν χωρούν σε αυτή την αίθουσα. Λύση: Ας υποθέσουμε ότι κάθε σχολείο δεν έχει περισσότερους από 400 μαθητές. Αυτό σημαίνει ότι σε όλα τα σχολεία = 6000 (μαθητές). Απάντηση: Επομένως, οι μαθητές αυτού του σχολείου δεν θα χωρέσουν σε αίθουσα 400 θέσεων. Εργασία 4.

Το σχολείο έχει 5 όγδοες τάξεις: 8Α, ..., 8Δ. Καθένα από αυτά έχει 32 μαθητές. Αποδείξτε ότι υπάρχουν 14 άτομα που γεννήθηκαν τον ίδιο μήνα. Λύση: Έστω ότι δεν γεννήθηκαν περισσότεροι από 13 μαθητές κάθε μήνα. Αυτό σημαίνει ότι σε 12 μήνες γεννήθηκαν 1213=156 (μαθητές). Αλλά σύμφωνα με την προϋπόθεση, στο σχολείο φοιτούν 532 = 160 (άτομα). Απάντηση: Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένας μήνας που γεννήθηκαν περισσότεροι από 13 μαθητές, δηλαδή τουλάχιστον 14. Πρόβλημα 5.

Υπάρχουν 5 σημεία μέσα σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 1 cm. Αποδείξτε ότι η απόσταση μεταξύ δύο από αυτές είναι μικρότερη από 0,5 cm. Λύση: Μπορείτε να πάρετε 4 "κελιά" διαιρώντας ένα ισόπλευρο τρίγωνο σχεδιάζοντας τμήματα που συνδέουν το μέσο των πλευρών. Στη συνέχεια, παίρνουμε 4 ισόπλευρα τρίγωνα με πλευρές 0,5 cm, που θα είναι τα "κελιά" μας. Εργασία 6.

4, σύμφωνα με την αρχή Dirichlet, υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 0,5 cm, το οποίο περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία." title="2 1 4 3 Triangles - "cells", 5 points - 5 " λαγοί»." class="link_thumb"> 16 !}Τα τρίγωνα είναι "κελιά", 5 σημεία είναι 5 "λαγοί". 5>4, σύμφωνα με την αρχή Dirichlet, υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 0,5 cm, το οποίο περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία. 4, σύμφωνα με την αρχή Dirichlet, υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 0,5 cm, το οποίο περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία."> 4, σύμφωνα με την αρχή Dirichlet, υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 0,5 cm, το οποίο περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία."> 4, σύμφωνα με την αρχή Dirichlet, υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 0,5 cm, το οποίο περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία." title="2 1 4 3 Τρίγωνα - " κελιά», 5 πόντοι - 5 «λαγοί» 5 >4, σύμφωνα με την αρχή Dirichlet, υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 0,5 cm, το οποίο περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία."> title="2 1 4 3 Τρίγωνα – «κελιά», 5 πόντοι – 5 «λαγοί». 5>4, σύμφωνα με την αρχή Dirichlet, υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 0,5 cm, το οποίο περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία."> !}Συμπεράσματα: Έτσι, χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο, είναι απαραίτητο: Να προσδιορίσετε τι είναι βολικό στην εργασία που πρέπει να ληφθεί ως «κελιά» και τι ως «λαγοί». Πάρτε "κελιά"? τις περισσότερες φορές υπάρχουν λιγότερα (περισσότερα) «κελιά» από έναν (ή περισσότερους) «λαγούς». Επιλέξτε την απαιτούμενη σύνθεση της αρχής Dirichlet για το διάλυμα. Η αρχή Dirichlet είναι σημαντική, ενδιαφέρουσα και χρήσιμη. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην καθημερινή ζωή, η οποία αναπτύσσει τη λογική σκέψη. Πολλά προβλήματα της Ολυμπιάδας λύνονται χρησιμοποιώντας αυτή την ειδική μέθοδο. Δίνει τη δυνατότητα γενίκευσης.

Dirichlet Peter August Lejeune (1805-1859) -
Γερμανός μαθηματικός, αλλοδαπό αντεπιστέλλον μέλος της Ακαδημίας Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης
(1837), μέλος πολλών άλλων ακαδημιών.
Ο Dirichlet γεννήθηκε στην πόλη Düren της Βεστφαλίας στην οικογένεια ενός ταχυδρόμου.
Σε ηλικία 12 ετών, ο Dirichlet άρχισε να σπουδάζει σε ένα γυμνάσιο στη Βόννη, δύο χρόνια αργότερα στο
Γυμνάσιο Ιησουιτών στην Κολωνία, όπου, μεταξύ άλλων δασκάλων, ο δικός του
δίδαξε ο Georg Ohm. Από το 1822 έως το 1827 έζησε ως δάσκαλος στο σπίτι
Παρίσι, όπου μετακόμισε στον κύκλο Fourier.Το 1827. πιάνει δουλειά
θέση Privatdozent στο Πανεπιστήμιο του Breslau. Το 1829 αυτός
μετακόμισε στο Βερολίνο, όπου εργάστηκε συνεχώς για 26 χρόνια, πρώτα
ως επίκουρος καθηγητής. Στη συνέχεια από το 1831 ως έκτακτος καθηγητής. Από το 1839
ως τακτικός καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Το 1855 ο Dirichlet
γίνεται, ως διάδοχος του Gauss, καθηγητής τριτοβάθμιας εκπαίδευσης
Μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν.

Στη συνδυαστική, η αρχή Dirichlet είναι μια δήλωση που καθιερώνει
σύνδεση μεταξύ αντικειμένων ("κουνέλια") και δοχείων ("κελιά")
όταν πληρούνται ορισμένες προϋποθέσεις. Στα αγγλικά και μερικά
σε άλλες γλώσσες η δήλωση είναι γνωστή ως "αρχή του περιστεριού"
κουτιά» όταν τα αντικείμενα είναι περιστέρια και τα δοχεία είναι
κουτιά.
9 κελιά περιέχουν 7 περιστέρια,
σύμφωνα με την αρχή
Dirichlet τουλάχιστον
9-7=2 κελιά είναι ελεύθερα
9 κελιά περιέχουν 10 περιστέρια,
σύμφωνα με την αρχή του Dirichlet τουλάχιστον
βρίσκονται στο ίδιο κελί
περισσότερα από ένα περιστέρια

Συνθέσεις

Το πιο συνηθισμένο είναι το εξής
διατύπωση
αυτή η αρχή:
Εάν τα κουνέλια τοποθετηθούν σε κλουβιά, και
ο αριθμός των κουνελιών είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των κλουβιών, τότε όμως
θα υπήρχαν περισσότερα από ένα σε ένα κελί
ένας λαγός.
Ακούγεται μια γενικότερη διατύπωση
Ετσι:
Εάν m κουνέλια κάθονται σε n κελιά, τότε αν και
θα πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον m/n σε ένα κελί
κουνέλια, καθώς και σε τουλάχιστον ένα κλουβί
δεν υπάρχουν περισσότερα από m/n κουνέλια.

Ας δούμε παραδείγματα διαφόρων προβλημάτων που επιλύθηκαν χρησιμοποιώντας την αρχή Dirichlet.

1. Υπάρχουν 15 μαθητές στην τάξη. Αποδεικνύω
ότι θα υπάρχουν τουλάχιστον 2 μαθητές,
γιορτάζει γενέθλια τον ίδιο μήνα.
ΛΥΣΗ:
Ας είναι 15 μαθητές «λαγοί». Μετά "κύτταρα"
θα υπάρχουν μήνες του χρόνου, είναι 12. Από 15 > 12, λοιπόν, σύμφωνα με
σύμφωνα με την αρχή του Dirichlet, υπάρχει τουλάχιστον ένα
ένα κλουβί που χωράει τουλάχιστον 2
"λαγός". Δηλαδή θα υπάρχει ένας μήνας που θα υπάρχει
γιορτάστε τα γενέθλια όχι λιγότερο
2 μαθητές στην τάξη.

Δίνονται 12 ακέραιοι. Αποδείξτε ότι μπορείτε να επιλέξετε 2 από αυτά, η διαφορά των οποίων διαιρείται με το 11.

ΛΥΣΗ
Ας πάρουμε τους αριθμούς ως «λαγούς». Αφού λοιπόν είναι 12
Θα πρέπει να υπάρχουν λιγότερα «κελιά». Αφήστε τα "κύτταρα"
- Αυτά είναι τα υπόλοιπα από τη διαίρεση ενός ακέραιου με το 11.
Θα υπάρχουν 11 "κελιά" συνολικά: O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9.10. Στη συνέχεια, σύμφωνα με την αρχή Dirichlet, υπάρχει
«κλουβί» στο οποίο θα κάθονται τουλάχιστον 2
«λαγός», δηλαδή υπάρχουν 2 ακέραιοι με έναν
το υπόλοιπο. Και η διαφορά μεταξύ δύο αριθμών με το ίδιο
το υπόλοιπο της διαίρεσης με το 11 θα διαιρείται με το 11

Ο Κόλια έκανε 8 τρύπες σε ένα χαλί διαστάσεων 3x3 μέτρων. Αποδείξτε ότι είναι δυνατό να κόψετε ένα χαλάκι 1x1 μέτρου από αυτό χωρίς τρύπες στο εσωτερικό του.

Ο Κόλια έκανε 8 τρύπες σε ένα χαλί διαστάσεων 3x3 μέτρων.
Αποδείξτε ότι μπορεί να κοπεί σε χαλί στο μέγεθος
1x1 μέτρο, χωρίς τρύπες εσωτερικά.
(Οι τρύπες μπορούν να θεωρηθούν τρύπες.)
ΛΥΣΗ
Εδώ οι τρύπες θα είναι «λαγοί».
Κόψτε το χαλί σε 9 χαλιά
διαστάσεις 1x1 μέτρο. Επειδή
υπάρχουν 9 χαλιά "κλουβί" και 8 τρύπες "λαγός", τότε θα υπάρχουν τουλάχιστον
ένα «κελί» στο οποίο δεν θα υπάρχει
«λαγοί», δηλαδή υπάρχει χαλί
χωρίς τρύπες μέσα.

Έτσι, χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο, πρέπει:
Προσδιορίστε τι είναι βολικό στο πρόβλημα να λάβετε για "κελιά" και
τι είδους "λαγοί" είναι αυτοί;
Πάρτε "κελιά"? τις περισσότερες φορές υπάρχουν λιγότερα "κύτταρα"
(περισσότεροι) από «λαγούς» από έναν (ή περισσότερους).
Επιλέξτε την απαιτούμενη σύνθεση για το διάλυμα
Αρχή του Dirichlet.
Η αρχή Dirichlet είναι σημαντική, ενδιαφέρουσα και χρήσιμη. Του
μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην καθημερινή ζωή, η οποία αναπτύσσεται
λογική σκέψη.
Πολλά προβλήματα της Ολυμπιάδας επιλύονται χρησιμοποιώντας αυτό
ειδική μέθοδος. Δίνει τη δυνατότητα γενίκευσης.

ΘΕΜΑ: "Αρχή Dirichlet"

Εκτελέστηκε:

Zvereva Ekaterina Alexandrovna

Μαθητής της 8ης τάξης

Επιστημονική υπεύθυνη: Kirpicheva E.E.

Ακαδημαϊκό έτος 2011 - 2012

Στόχοι εργασίας:

1. Διαβάστε τη βιογραφία του Dirichlet

2. Εξετάστε διάφορες διατυπώσεις της αρχής Dirichlet

3. Μάθετε να εφαρμόζετε τη μαθημένη αρχή στην επίλυση προβλημάτων

4. Ταξινόμηση εργασιών ανάλογα με το περιεχόμενό τους:

α) γεωμετρικά προβλήματα.

β) προβλήματα για ζευγάρια.

γ) εργασίες για ραντεβού και γενέθλια.

δ) προβλήματα στον αριθμητικό μέσο όρο.

ε) προβλήματα διαιρετότητας.

στ) προβλήματα συνδυαστικής.

ζ) προβλήματα θεωρίας αριθμών.

5. Βρείτε τα δικά σας προβλήματα και λύστε τα χρησιμοποιώντας την αρχή Dirichlet

Βιογραφία

DIRICHLET Peter Gustav Lejeune (13.2.1805-5.5.1859) - Γερμανός μαθηματικός. Γένος. στο Düren. Το 1822-1827 ο Δ. ήταν οικοδάσκαλος στο Παρίσι. Ήταν μέρος ενός κύκλου νέων επιστημόνων που συγκεντρώθηκαν γύρω από τον J. Fourier. Το 1827 ο D. πήρε τη θέση του αναπληρωτή καθηγητή στο Breslavl. από το 1829 εργάστηκε στο Βερολίνο. Το 1831-1855 - καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου, και μετά το θάνατο του Κ. Γκάους (1855) - στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν.

Βιογραφία

Ο Δ. δημιούργησε τη γενική θεωρία των αλγεβρικών μονάδων στο πεδίο των αλγεβρικών αριθμών.
Στον τομέα της μαθηματικής ανάλυσης, ο D. ήταν ο πρώτος που διατύπωσε και μελέτησε με ακρίβεια την έννοια της υπό όρους σύγκλισης μιας σειράς και έδωσε μια αυστηρή απόδειξη της δυνατότητας επέκτασης μιας τμηματικά συνεχούς και μονότονης συνάρτησης σε μια σειρά Fourier, η οποία χρησίμευε ως τη βάση για πολλές περαιτέρω μελέτες.
Τα σημαντικά έργα του D. ήταν στη μηχανική και τη μαθηματική φυσική, ιδιαίτερα στη θεωρία των δυνατοτήτων.

Βιογραφία

Ο D. έκανε μια σειρά από σημαντικές ανακαλύψεις στη θεωρία αριθμών: καθιέρωσε τύπους για τον αριθμό των τάξεων δυαδικών τετραγωνικών μορφών με δεδομένη ορίζουσα και απέδειξε το θεώρημα για το άπειρο του αριθμού των πρώτων αριθμών σε μια αριθμητική πρόοδο ακεραίων, το πρώτο όρος και η διαφορά των οποίων είναι συμπρωτογενής. Για να λύσει αυτά τα προβλήματα, ο D. εφάρμοσε αναλυτικές συναρτήσεις που ονομάζονται συναρτήσεις Dirichlet (σειρές).

Αρχή του Dirichlet

«Όσον αφορά τη συχνότητα των αναφορών από μαθητές, το Dirichlet είναι εγγυημένο για πάντα μια από τις υψηλότερες θέσεις».

Η πιο χρησιμοποιούμενη σύνθεση:

«Αν σε n κελιά υπάρχουν

n + 1 "κουνέλια",

δηλαδή ένα κλουβί που περιέχει τουλάχιστον 2 «κουνέλια»

Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη σύνθεση: "Εάν υπάρχουν n + 1 "κουνέλια" σε n κελιά, τότε υπάρχει ένα κελί στο οποίο υπάρχουν τουλάχιστον 2 "κουνέλια"

Μερικές δηλώσεις:

U1. "Αν δεν υπάρχουν περισσότερα από n-1 "κουνέλια" σε n κελιά, τότε υπάρχει ένα κενό κελί."

U2. "Αν υπάρχουν n + 1 "κουνέλια" σε n κελιά, τότε υπάρχει ένα κελί στο οποίο υπάρχουν τουλάχιστον 2 "κουνέλια"

U3. "Εάν n κελιά δεν περιέχουν περισσότερα από nk-1 "κουνέλια", τότε μερικά από τα κελιά δεν περιέχουν περισσότερα από k-1 "κουνέλια"

U4. "Αν n κελιά περιέχουν τουλάχιστον n k+1 "κουνέλια", τότε μερικά από τα κελιά περιέχουν τουλάχιστον k+1 "κουνέλια"

U5. Συνεχής αρχή Dirichlet.

"Αν ο αριθμητικός μέσος όρος πολλών αριθμών είναι μεγαλύτερος από το a, τότε τουλάχιστον ένας από αυτούς τους αριθμούς είναι μεγαλύτερος από το a".

U6. "Αν το άθροισμα n αριθμών είναι μικρότερο από S, τότε τουλάχιστον ένας από αυτούς τους αριθμούς είναι μικρότερος από S/n."

U7. «Μεταξύ των p + 1 ακέραιων αριθμών υπάρχουν δύο αριθμοί που δίνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρείται με το p».

1 ) Γεωμετρικά προβλήματα

Αποδείξτε ότι αν η γραμμή μεγάλο, που βρίσκεται στο επίπεδο του τριγώνου αλφάβητο, δεν διέρχεται από καμία από τις κορυφές του, τότε δεν μπορεί να τέμνει και τις τρεις πλευρές του τριγώνου. Λύση

Ημιεπίπεδα στα οποία μια ευθεία γραμμή μεγάλοχωρίζει το επίπεδο ενός τριγώνου αλφάβητο, συμβολίζουν με q 1 και q 2 ; θα θεωρήσουμε ότι αυτά τα ημιεπίπεδα είναι ανοιχτά (δηλαδή δεν περιέχουν σημεία της ευθείας μεγάλο). Οι κορυφές του εν λόγω τριγώνου (σημεία ΕΝΑ , σι , ντο) θα είναι «λαγοί», και ημιπλάνοι q 1 και q 2 - "κύτταρα". Κάθε «λαγός» καταλήγει σε κάποιο «κλουβί» (εξάλλου, μια ευθεία γραμμή μεγάλοδεν περνά από κανένα από τα σημεία ΕΝΑ , σι , ντο). Δεδομένου ότι υπάρχουν τρεις "λαγοί", αλλά μόνο δύο "κελιά", τότε θα υπάρχουν δύο "λαγοί" που θα εμπίπτουν σε ένα "κελί". με άλλα λόγια, υπάρχουν δύο κορυφές του τριγώνου αλφάβητο, που ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο.

Έστω, ας πούμε, τα σημεία Α και Β να βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο, δηλαδή να βρίσκονται στην ίδια πλευρά της ευθείας μεγάλο. Στη συνέχεια το τμήμα ΑΒδεν τέμνεται με μεγάλο. Έτσι, σε ένα τρίγωνο αλφάβητοβρήκε μια πλευρά που δεν τέμνεται με τη γραμμή μεγάλο .

Υπάρχουν 5 σημεία μέσα σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 1. Αποδείξτε ότι η απόσταση μεταξύ δύο από αυτές είναι μικρότερη από 0,5

Σύμφωνα με την αρχή Dirichlet, από τα πέντε σημεία τουλάχιστον δύο θα είναι

σε ένα από τα τέσσερα τρίγωνα. Απόσταση μεταξύ αυτών των σημείων

λιγότερο από 0,5, αφού τα σημεία δεν βρίσκονται στις κορυφές των τριγώνων.

(Εδώ χρησιμοποιούμε το γνωστό λήμμα ότι το μήκος ενός τμήματος που βρίσκεται μέσα σε ένα τρίγωνο είναι μικρότερο από το μήκος της μεγαλύτερης πλευράς του.)

Νο. 3. ("σε ζευγάρια")Στον πλανήτη Γη, ο ωκεανός καταλαμβάνει περισσότερο από το ήμισυ της επιφάνειας. Αποδείξτε ότι είναι δυνατό να υποδεικνύονται δύο διαμετρικά αντίθετα σημεία στους ωκεανούς του κόσμου.

Η Αφρική βρίσκεται ανάμεσα

37°Β w. και 35°S γεωγραφικό πλάτος, μεταξύ 17°Δ, 51°Δ ρε.

Η ήπειρος βρίσκεται μεταξύ περίπου

9° Δ Γεωγραφικό μήκος και 169°Δ μήκος, 12° Ν. w. 81° Β. w.

Λύση. Ας θεωρήσουμε σημεία του ωκεανού ως «κουνέλια», και ζεύγη διαμετρικά αντίθετων σημείων του πλανήτη ως «κύτταρα». Ο αριθμός των "κουνελιών" σε αυτή την περίπτωση είναι η περιοχή του ωκεανού και ο αριθμός των "κυττάρων" είναι Ήμισυπεριοχή του πλανήτη. Δεδομένου ότι η περιοχή του ωκεανού είναι μεγαλύτερη από τη μισή έκταση του πλανήτη, υπάρχουν περισσότερα «κουνέλια» παρά «κύτταρα». Στη συνέχεια, υπάρχει ένα «κλουβί» στο οποίο υπάρχουν τουλάχιστον δύο «κουνέλια», δηλ. ένα ζευγάρι αντίθετα σημεία, τα οποία είναι και τα δύο ωκεάνια. U2

Εργασία Νο. 4. Υπάρχουν 800.000 ελατόδεντρα στο κωνοφόρο δάσος. Κάθε έλατο δεν έχει περισσότερες από 500.000 βελόνες. Αποδείξτε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο έλατα με τον ίδιο αριθμό βελόνων.

Λύση. Ο αριθμός των «κυττάρων» είναι 500.000 (κάθε ερυθρελάτη μπορεί να έχει από 1 βελόνα έως 500.000 βελόνες, 800.000 ελάτη είναι ο αριθμός των «κουνελιών», αφού υπάρχουν περισσότερα «κουνέλια» από κύτταρα, που σημαίνει ότι υπάρχει ένα «κλουβί» στο οποίο τουλάχιστον δύο "κουνέλια". Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο έλατα με τον ίδιο αριθμό βελόνων. (U2)

Λύση. Τουλάχιστον δύο αριθμοί από τους 11 δίνουν το ίδιο

υπόλοιπο όταν διαιρείται με το 10. Έστω αυτά A = 10a + r και B = 10b + r.

Τότε η διαφορά τους διαιρείται με το 10: A - B = 10(a - b). (U2)

Εργασία Νο. 5. ("διαιρετός")

Δίνονται 11 διαφορετικοί ακέραιοι αριθμοί. Αποδείξτε ότι μπορείτε να επιλέξετε δύο αριθμούς από αυτούς, η διαφορά των οποίων διαιρείται με το 10.

Εργασία Νο. 6. ("διαιρετός")

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός N 5 τελειώνει με το ίδιο ψηφίο με τον αριθμό N.

Ας αποδείξουμε ότι το N 5 -N είναι πολλαπλάσιο του 10.

Εργασία Νο. 7. ("προς συνδυαστική")Το κουτί περιέχει μπάλες 4 διαφορετικών χρωμάτων (πολύ λευκό, πολύ μαύρο, πολύ μπλε, πολύ κόκκινο). Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός μπάλες που πρέπει να βγάλουμε από την τσάντα με το άγγιγμα, ώστε ανάμεσά τους να υπάρχουν προφανώς δύο του ίδιου χρώματος;

Λύση

Ας πάρουμε τις μπάλες ως «κουνέλια», και τα χρώματα μαύρο, άσπρο, μπλε και κόκκινο ως «κελιά». Υπάρχουν 4 κελιά, οπότε αν υπάρχουν τουλάχιστον 5 κουνέλια, τότε μερικά δύο θα πέσουν σε ένα κελί (θα υπάρχουν 2 μπάλες του ίδιου χρώματος).

Πρόβλημα συνδυαστικής

Νο. 8. Ο μικρός αδερφός του Αντρέι έβαψε τα πούλια σε οκτώ χρώματα. Με πόσους τρόπους μπορεί ο Andrey να τοποθετήσει 8 πούλια διαφορετικού χρώματος στον πίνακα έτσι ώστε να υπάρχει ένα πούλι σε κάθε στήλη και κάθε σειρά;

Με πόσους τρόπους μπορεί ο Andrey να τοποθετήσει 8 λευκά πούλια στον πίνακα έτσι ώστε να υπάρχει ένα πούλι σε κάθε στήλη και κάθε σειρά;

Η λύση του προβλήματος.

Ας εξετάσουμε πρώτα την περίπτωση όταν τα πούλια είναι λευκά. Θα τοποθετήσουμε πούλια. Στην πρώτη στήλη μπορούμε να τοποθετήσουμε ένα πούλι σε οποιοδήποτε από τα 8 κελιά. Στη δεύτερη στήλη - σε οποιοδήποτε από τα 7 κελιά. (Επειδή δεν μπορείτε να τοποθετήσετε πούλι στην ίδια γραμμή με το πρώτο πούλι.) Ομοίως, στην τρίτη γραμμή μπορούμε να τοποθετήσουμε πούλι σε οποιοδήποτε από τα 6 κελιά, στην τέταρτη γραμμή - σε οποιοδήποτε από τα πέντε κ.λπ. Συνολικά , έχουμε 8 τρόπους .

2) Σκεφτείτε τώρα την περίπτωση των χρωματιστών πούλιων. Ας πάρουμε μια αυθαίρετη διάταξη από λευκά πούλια. Θα βάψουμε αυτά τα πούλια σε 8 χρώματα, έτσι ώστε οποιαδήποτε δύο από αυτά να βαφτούν σε διαφορετικά χρώματα. Μπορούμε να βάψουμε το πρώτο σε ένα από τα 8 χρώματα, το δεύτερο σε ένα από τα υπόλοιπα 7 χρώματα κ.λπ. κλπ. Δηλαδή, υπάρχουν μόνο 8 μέθοδοι χρωματισμού. Εφόσον υπάρχουν επίσης 8 τρόποι διάταξης και μπορούμε να χρωματίσουμε καθεμία από αυτές τις διατάξεις με 8 τρόπους, τότε ο συνολικός αριθμός τρόπων σε αυτήν την περίπτωση είναι 8·8=8².

Απάντηση: 8² τρόποι, 8 τρόποι.

Πρόβλημα (μέθοδος από το «απέναντι»)

Νο 9. Πάνω από 10.000.000 άνθρωποι ζουν στη Μόσχα. Κάθε άτομο δεν μπορεί να έχει περισσότερες από 300.000 τρίχες στο κεφάλι του. Αποδείξτε ότι υπάρχουν πιθανώς 34 Μοσχοβίτες με τον ίδιο αριθμό τριχών στο κεφάλι τους.

1) Μπορεί να υπάρχουν 0, 1, ..., 300.000 τρίχες στο κεφάλι - συνολικά 300.001 επιλογές. Θα αντιστοιχίσουμε κάθε Μοσχοβίτη σε μία από τις 300.001 ομάδες ανάλογα με την ποσότητα των μαλλιών.

2) Εάν δεν μπορούν να βρεθούν 34 Μοσχοβίτες με την ίδια ποσότητα μαλλιών, αυτό σημαίνει ότι οποιαδήποτε από τις δημιουργημένες ομάδες δεν περιλαμβάνει περισσότερα από 33 άτομα.

3) Τότε δεν υπάρχουν περισσότεροι άνθρωποι που ζουν στη Μόσχα από

33·300 001=9 900 033

4) Αυτό σημαίνει ότι σίγουρα θα υπάρχουν τέτοιοι 34 Μοσχοβίτες.

Πηγές Διαδικτύου που χρησιμοποιούνται:

images.yandex.ru (φωτογραφία Dirichlet, εικόνες για το σχολείο)
http://bars-minsk.narod.ru/teachers/dirichle.html
http://www.bestreferat.ru/referat-4776.html

Διαφάνεια 1

Διαφάνεια 2

Υπόθεση: η χρήση κατάλληλων διατυπώσεων της αρχής Dirichlet είναι η πιο ορθολογική προσέγγιση για την επίλυση προβλημάτων. Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη διατύπωση είναι: «Εάν υπάρχουν n + 1 «κουνέλια» σε n κελιά, δηλαδή ένα κελί στο οποίο υπάρχουν τουλάχιστον 2 «κουνέλια». Σκοπός: να μελετηθεί μια από τις βασικές μεθόδους των μαθηματικών, η Αρχή Dirichlet

Διαφάνεια 3

Αντικείμενο της έρευνάς μου είναι η αρχή του Dirichlet Αντικείμενο της έρευνάς μου είναι διάφορες διατυπώσεις της αρχής του Dirichlet και η εφαρμογή τους στην επίλυση προβλημάτων Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13.2.1805 - 5.5.1859) - Γερμανός μαθηματικός.

Διαφάνεια 4

Αυτή η αρχή δηλώνει ότι εάν ένα σύνολο N στοιχείων χωρίζεται σε n ασυνεχή μέρη που δεν έχουν κοινά στοιχεία, όπου N>n τότε τουλάχιστον ένα μέρος θα έχει περισσότερα από ένα στοιχεία. Τις περισσότερες φορές, η αρχή Dirichlet διατυπώνεται σε ένα από τα οι ακόλουθες μορφές: Εάν υπάρχουν n + 1 "κουνέλια" σε n κελιά, τότε υπάρχει ένα κελί που περιέχει τουλάχιστον 2 "κουνέλια"

Διαφάνεια 5

Αλγόριθμος για την εφαρμογή της αρχής Dirichlet Προσδιορίστε τι στο πρόβλημα είναι τα «κύτταρα» και τι τα «κουνέλια» Εφαρμόστε την κατάλληλη διατύπωση της αρχής Dirichlet;

Διαφάνεια 6

U1. "Εάν δεν υπάρχουν περισσότερα από n-1 "κουνέλια" σε n κελιά, τότε υπάρχει ένα κενό κελί" U2. "Αν υπάρχουν n + 1 "κουνέλια" σε n κελιά, τότε υπάρχει ένα κελί στο οποίο υπάρχουν τουλάχιστον 2 "κουνέλια" " U3. "Εάν σε n κελιά δεν υπάρχουν περισσότερα από nk-1 "κουνέλια", τότε σε μερικά από τα κελιά δεν υπάρχουν περισσότερα από k-1 "κουνέλια" U4. "Εάν σε n κελιά υπάρχουν τουλάχιστον n k+1 " κουνέλια", τότε Ορισμένα από τα κύτταρα περιέχουν τουλάχιστον k+1 "κουνέλια"

Διαφάνεια 7

U5. "Συνεχής αρχή Dirichlet. "Αν ο αριθμητικός μέσος όρος πολλών αριθμών είναι μεγαλύτερος από το a, τότε τουλάχιστον ένας από αυτούς τους αριθμούς είναι μεγαλύτερος από τον a", U6. "Αν το άθροισμα n αριθμών είναι μικρότερο από S, τότε τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς αυτοί οι αριθμοί είναι μικρότεροι από S/n." U7: "Μεταξύ των p + 1 ακέραιων αριθμών υπάρχουν δύο αριθμοί που δίνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρείται με το p."

Διαφάνεια 8

Εργο. Υπάρχουν 800.000 ελατόδεντρα στο κωνοφόρο δάσος. Κάθε έλατο δεν έχει περισσότερες από 500.000 βελόνες. Αποδείξτε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο έλατα με τον ίδιο αριθμό βελόνων. Επιστημονική ταξινόμηση Βασίλειο: Φυτά Διαίρεση: Γυμνόσπερμα Κατηγορία: Κωνοφόρα Οικογένεια: Πεύκο Είδος: Ερυθρελάτη

Διαφάνεια 9

Λύση. Ο αριθμός των «κυττάρων» είναι 500.000 (κάθε ερυθρελάτη μπορεί να έχει από 1 βελόνα έως 500.000 βελόνες, 800.000 ελάτη είναι ο αριθμός των «κουνελιών», αφού υπάρχουν περισσότερα «κουνέλια» από κύτταρα, που σημαίνει ότι υπάρχει ένα «κλουβί» στο οποίο τουλάχιστον δύο "κουνέλια". Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο έλατα με τον ίδιο αριθμό βελόνων. U2

Διαφάνεια 10

Εργασία Ο αριθμός των τριχών στο κεφάλι ενός ατόμου δεν υπερβαίνει τις 140.000 Αποδείξτε ότι ανάμεσα σε 150.000 άτομα υπάρχουν 2 με τον ίδιο αριθμό τριχών στο κεφάλι τους Νεγροειδή Μογγολοειδή Καυκάσιοι

Διαφάνεια 11

Λύση. Ο αριθμός των «κυττάρων» είναι 140.000 (κάθε άτομο μπορεί να έχει από 0 έως 140.000), 150.000 άτομα είναι ο αριθμός των «κουνελιών», αφού υπάρχουν περισσότερα «κουνέλια» από τα κύτταρα, που σημαίνει ότι υπάρχει ένα «κλουβί» στο οποίο δεν λιγότερο από δύο «κουνέλια». Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο άτομα με τον ίδιο αριθμό τριχών

Διαφάνεια 12

Πρόβλημα Στον πλανήτη Γη, ο ωκεανός καταλαμβάνει περισσότερο από τη μισή επιφάνεια. Αποδείξτε ότι είναι δυνατό να υποδεικνύονται δύο διαμετρικά αντίθετα σημεία στους ωκεανούς του κόσμου. Η ήπειρος βρίσκεται μεταξύ περίπου 9° Δ. Γεωγραφικό μήκος και 169°Δ μήκος, 12° Ν. w. 81° Β. w. Η Αφρική βρίσκεται μεταξύ 37° Β. w. και 35° Ν. γεωγραφικό πλάτος, μεταξύ 17°Δ, 51°Δ ρε.

Διαφάνεια 13

Λύση. Ας θεωρήσουμε σημεία του ωκεανού ως «κουνέλια», και ζεύγη διαμετρικά αντίθετων σημείων του πλανήτη ως «κύτταρα». Ο αριθμός των "κουνελιών" σε αυτή την περίπτωση είναι η περιοχή του ωκεανού και ο αριθμός των "κυττάρων" είναι η μισή επιφάνεια του πλανήτη. Δεδομένου ότι η περιοχή του ωκεανού είναι μεγαλύτερη από τη μισή έκταση του πλανήτη, υπάρχουν περισσότερα «κουνέλια» παρά «κύτταρα». Στη συνέχεια, υπάρχει ένα «κλουβί» στο οποίο υπάρχουν τουλάχιστον δύο «κουνέλια», δηλ. ένα ζευγάρι αντίθετα σημεία, τα οποία είναι και τα δύο ωκεάνια. U2

Διαφάνεια 14

Γεωμετρικό πρόβλημα Υπάρχουν 4 σημεία μέσα σε ένα ισοσκελές τραπέζιο με πλευρά 2. Να αποδείξετε ότι η απόσταση μεταξύ δύο από αυτές είναι μικρότερη από 1. Λύση. Ας χωρίσουμε το τραπεζοειδές με την πλευρά 2 σε τρία τρίγωνα με την πλευρά 1. Ας τα ονομάσουμε «κελιά», και τα σημεία – «κουνέλια». Σύμφωνα με την αρχή του Dirichlet, από τα τέσσερα σημεία, τουλάχιστον δύο θα καταλήξουν σε ένα από τα τρία τρίγωνα. Η απόσταση μεταξύ αυτών των σημείων είναι μικρότερη από 1, καθώς τα σημεία δεν βρίσκονται στις κορυφές των τριγώνων

Διαφάνεια 15

Πρόβλημα συνδυασμού Υπάρχουν μπάλες 4 διαφορετικών χρωμάτων σε ένα κουτί (πολλές λευκές, πολλές μαύρες, πολλές μπλε, πολλές κόκκινες). Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός μπάλες που πρέπει να βγάλουμε από την τσάντα με το άγγιγμα, ώστε ανάμεσά τους να υπάρχουν προφανώς δύο του ίδιου χρώματος; Λύση Ας πάρουμε τις μπάλες ως «κουνέλια», και τα χρώματα μαύρο, άσπρο, μπλε και κόκκινο ως «κελιά». Υπάρχουν 4 κελιά, οπότε αν υπάρχουν τουλάχιστον 5 κουνέλια, τότε μερικά δύο θα πέσουν σε ένα κελί (θα υπάρχουν 2 μπάλες του ίδιου χρώματος).

Διαφάνεια 16

Πρόβλημα διαιρετότητας Πρόβλημα. Δίνονται 11 διαφορετικοί ακέραιοι αριθμοί. Αποδείξτε ότι μπορείτε να επιλέξετε δύο αριθμούς από αυτούς, η διαφορά των οποίων διαιρείται με το 10. Λύση. Τουλάχιστον δύο αριθμοί από το 11 δίνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρείται με το 10. Έστω αυτά A = 10a + r και B = 10b + r. Τότε η διαφορά τους διαιρείται με το 10: A - B = 10(a - b).U2

Διαφάνεια 17

Πρόβλημα Δίνονται n+1 διαφορετικοί φυσικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι από αυτούς είναι δυνατό να επιλέξετε δύο αριθμούς Α και Β, η διαφορά των οποίων διαιρείται με το n. Πρόβλημα Να αποδείξετε ότι μεταξύ n+1 διαφορετικών φυσικών αριθμών υπάρχουν τουλάχιστον δύο αριθμοί Α και Β τέτοιοι ώστε ο αριθμός Α2 - Β2 διαιρείται με το n. Ας αποδείξουμε ότι (A – B)(A+B) είναι πολλαπλάσιο του n. Πρόβλημα Να αποδείξετε ότι μεταξύ n+1 διαφορετικών φυσικών αριθμών υπάρχουν τουλάχιστον δύο αριθμοί A και B τέτοιοι ώστε ο αριθμός A3 – B3 να διαιρείται με το n. Ας αποδείξουμε ότι το (A – B)(A2+AB +B2) είναι πολλαπλάσιο του n

Διαφάνεια 2

Διαφάνεια 3

Διαφάνεια 4

Διαφάνεια 5

Διαφάνεια 6

Διαφάνεια 7

Διαφάνεια 8

Επιστημονική ταξινόμηση Βασίλειο: Φυτά Διαίρεση: Γυμνόσπερμα Κατηγορία: Κωνοφόρα Οικογένεια: Πεύκο Είδος: Ερυθρελάτη

Διαφάνεια 9

Διαφάνεια 10

Πρόβλημα: Ο αριθμός των τριχών στο κεφάλι ενός ατόμου δεν υπερβαίνει τις 140.000. Αποδείξτε ότι ανάμεσα σε 150.000 άτομα υπάρχουν 2 με τον ίδιο αριθμό τριχών στο κεφάλι τους.

Νεγροειδής Μογγολοειδής Καυκάσιοι

Διαφάνεια 11

Διαφάνεια 12

Η ήπειρος βρίσκεται μεταξύ περίπου 9° Δ. Γεωγραφικό μήκος και 169°Δ μήκος, 12° Ν. w. 81° Β. w. Η Αφρική βρίσκεται μεταξύ 37° Β. w. και 35° Ν. γεωγραφικό πλάτος, μεταξύ 17°Δ, 51°Δ ρε.

Διαφάνεια 13

Διαφάνεια 14

Γεωμετρικό πρόβλημα Υπάρχουν 4 σημεία μέσα σε ένα ισοσκελές τραπέζιο με πλευρά 2. Αποδείξτε ότι η απόσταση μεταξύ δύο από αυτές είναι μικρότερη από 1.

Λύση. Ας χωρίσουμε το τραπεζοειδές με την πλευρά 2 σε τρία τρίγωνα με την πλευρά 1. Ας τα ονομάσουμε «κελιά», και τα σημεία – «κουνέλια». Σύμφωνα με την αρχή του Dirichlet, από τα τέσσερα σημεία, τουλάχιστον δύο θα καταλήξουν σε ένα από τα τρία τρίγωνα. Η απόσταση μεταξύ αυτών των σημείων είναι μικρότερη από 1, καθώς τα σημεία δεν βρίσκονται στις κορυφές των τριγώνων

Διαφάνεια 15

Πρόβλημα Συνδυαστικής: Ένα κουτί περιέχει μπάλες 4 διαφορετικών χρωμάτων (πολλές λευκές, πολλές μαύρες, πολλές μπλε, πολλές κόκκινες). Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός μπάλες που πρέπει να βγάλουμε από την τσάντα με το άγγιγμα, ώστε ανάμεσά τους να υπάρχουν προφανώς δύο του ίδιου χρώματος;

Λύση Ας πάρουμε τις μπάλες ως «κουνέλια», και τα χρώματα μαύρο, άσπρο, μπλε και κόκκινο ως «κελιά». Υπάρχουν 4 κελιά, οπότε αν υπάρχουν τουλάχιστον 5 κουνέλια, τότε μερικά δύο θα πέσουν σε ένα κελί (θα υπάρχουν 2 μπάλες του ίδιου χρώματος).

Διαφάνεια 16

Διαφάνεια 17

Πρόβλημα Δίνονται n+1 διαφορετικοί φυσικοί αριθμοί. Αποδείξτε ότι από αυτούς είναι δυνατό να επιλέξετε δύο αριθμούς Α και Β, η διαφορά των οποίων διαιρείται με το n. Πρόβλημα Αποδείξτε ότι μεταξύ n+1 διαφορετικών φυσικών αριθμών υπάρχουν τουλάχιστον δύο αριθμοί Α και Β τέτοιοι ώστε ο αριθμός Α2 - Το Β2 διαιρείται με το n. Ας αποδείξουμε ότι (A – B)(A+B) είναι πολλαπλάσιο του n. Πρόβλημα Να αποδείξετε ότι μεταξύ n+1 διαφορετικών φυσικών αριθμών υπάρχουν τουλάχιστον δύο αριθμοί A και B τέτοιοι ώστε ο αριθμός A3 – B3 να διαιρείται με το n. Ας αποδείξουμε ότι το (A – B)(A2+AB+B2) είναι πολλαπλάσιο του n