Как известно, любой экзамен по математике содержит в качестве основной части решение задач. Умение решать задачи – основной показатель уровня математического развития.
Достаточно часто на школьных экзаменах, а так же на экзаменах, проводимых в ВУЗах и техникумах, встречаются случаи, когда ученики, показывающие хорошие результаты в области теории, знающие все необходимые определения и теоремы, запутываются при решении весьма простых задач.
За годы обучения в школе каждый ученик решает большое число задач, но при этом для всех учеников задачи предлагаются одни и те же. И если некоторые ученики усваивают общие правила и методы решения задач, то другие, встретившись с задачей незнакомого вида, даже не знают, как к ней подступиться.
Одной из причин такого положения является то, что если одни ученики вникают в ход решения задачи и стараются осознать и понять общие приёмы и методы их решения, то другие не задумываются над этим, стараются как можно быстрее решить предложенные задачи.
Многие учащиеся не анализируют решаемые задачи, не выделяют для себя общие приёмы и способы решения. В таких случаях задачи решаются только ради получения нужного ответа.
Так, например, многие учащиеся даже не знают, в чём суть решения задач на построение. А ведь задачи на построение являются обязательными задачами в курсе стереометрии. Эти задачи не только красивы и оригинальны в методах своего решения, но и имеют большую практическую ценность.
Благодаря задачам на построение развивается способность мысленно представлять себе ту или иную геометрическую фигуру, развивается пространственное мышление, логическое мышление, а так же геометрическая интуиция. Задачи на построение развивают навыки решения проблем практического характера.
Задачи на построения не являются простыми, так как единого правила или алгоритма для их решения не существует. Каждая новая задача уникальна и требует индивидуального подхода к решению.
Процесс решения любой задачи на построение – это последовательность некоторых промежуточных построений, приводящих к цели.
Построение сечений многогранников базируется на следующих аксиомах:
1) Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в данной плоскости;
2) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Теорема: если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то прямые пересечения параллельны.
Построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С. Рассмотрим следующие примеры.
Метод следов
I. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через данную прямую g (след) на плоскости одного из оснований призмы и точку А.
Случай 1.
Точка А принадлежит другому основанию призмы (или грани, параллельной прямой g) – секущая плоскость пересекает это основание (грань) по отрезку ВС, параллельному следу g.
Случай 2.
Точка А принадлежит боковой грани призмы:
Отрезок ВС прямой AD и есть пересечение данной грани с секущей плоскостью.
Случай 3.
Построение сечения четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через прямую g в плоскости нижнего основания призмы и точку А на одном из боковых ребер.
II. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данную прямую g (след) на плоскости основания пирамиды и точку А.
Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.
Случай 1.
Если точка А принадлежит грани, параллельной прямой g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку ВС, параллельному следу g.
Случай 2.
Если точка А, принадлежащая сечению, расположена на грани, не параллельной грани следу g, то:
1) строится точка D, в которой плоскость грани пересекает данный след g;
2) проводится прямая через точки А и D.
Отрезок ВС прямой АD и есть пересечение данной грани с секущей плоскостью.
Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с секущей плоскостью. И т. д.
Случай 3.
Построение сечения четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку А на одном из боковых ребер.
Задачи на построение сечений через точку на грани
1. Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью, проходящей через вершину С и точки М и N на гранях АСD и АВС соответственно.
Точки С и М лежат на грани АСD, значит, и прямая СМ лежит в плоскости этой грани (рис. 1).
Пусть Р – точка пересечения прямых СМ и АD. Аналогично, точки С и N лежат в грани АСВ, значит прямая СN лежит в плоскости этой грани. Пусть Q – точка пересечения прямых СN и АВ. Точки Р и Q принадлежат и плоскости сечения, и грани АВD. Поэтому отрезок РQ – сторона сечения. Итак, треугольник СРQ – искомое сечение.
2. Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью MPN, где точки M, N, P лежат соответственно на ребре АD, в грани ВСD и в грани АВС, причем MN не параллельно плоскости грани АВС (рис. 2) .
Остались вопросы? Не знаете, как построить сечение многогранника?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Для построения натуральной величины фигуры сечения (рис. 4) применен способ перемены плоскостей проекций. В качестве дополнительной плоскости принята плоскость H 1 , параллельная плоскостиР и перпендикулярная плоскостиV . Полученная проекция треугольника1 1 2 1 3 1 является натуральной величиной фигуры сечения.
Пирамида с вырезом
В качестве примера построения сечений многогранника несколькими плоскостями рассмотрим построение пирамиды с вырезом, который образован тремя плоскостями − P , R , иT (рис. 5).
Плоскость P , параллельная горизонтальной плоскости проекций, пересекает поверхность пирамиды по пятиугольнику 1-2-3-K-6 . На горизонтальной плоскости проекций стороны пятиугольника параллельны проекциям сторон основания пирамиды. Построив горизонтальную проекцию пятиугольника, отмечаем точки4 и5 .
Фронтально-проецирующая плоскостьR пересекает пирамиду по пятиугольнику 1-2-7-8-9 . Чтобы найти горизонтальные проекции точек8 и9 , проведем через них дополнительные образующиеSM иSN . Вначале на фронтальной проекции− s ′ m ′ иs ′ n ′, а затем на горизонтальной− sm иsn .
Фронтально-проецирующая плоскостьΤ пересекает пирамиду по пяти-
угольнику 5-4-8-9-10 .
Построив горизонтальную проекцию выреза, строим его профильную проекцию.
Построение проекций линии пересечения цилиндра плоскостью
При пересечении цилиндра вращения плоскостью, параллельной оси вращения, в сечении получается пара прямых (образующих, рис. 6). Если секущая плоскость перпендикулярна к оси вращения, в результате сечения получится окружность (рис. 7). В общем случае, когда секущая плоскость наклонена к оси вращения цилиндра, в сечении получается эллипс (рис. 8).
Рассмотрим пример | построения проекций линии сечения | цилиндра |
||||
фронтально- | ||||||
проецирующей | ||||||
стью Q . В сечении получа- |
||||||
ется эллипс (рис. 9). | ||||||
Фронтальная | ||||||
ция линии сечения в этом |
||||||
случае совпадает с фрон- |
||||||
тальным следом плоскости |
||||||
Qv , а горизонтальная− с |
||||||
горизонтальной проекцией |
||||||
поверхности | цилиндра | |||||
окружностью. | Профильная |
|||||
проекция линии | строится |
|||||
по двум имеющимся про- |
||||||
екциям − горизонтальной и фронтальной.
В общем случае построение линии пересечения поверхности плоскостью сводится к нахождению общих точек, принадлежащих одновременно секущей плоскости и поверхности.
Для нахождения этих точек применяют метод дополнительных секущих плоскостей:
1. Проводят дополнительную плоскость;
2. Строят линии пересечения дополнительной плоскости с поверхностью и дополнительной плоскости с заданной плоскостью;
3. Определяют точки пересечения полученных линий.
Дополнительные плоскости проводят таким образом, чтобы они пересекали поверхность по наиболее простым линиям.
Нахождение точек линии пересечения начинают с определения характерных (опорных) точек. К ним относятся:
1. Верхние и нижние точки;
2. Левая и правая точки;
3. Точки границы видимости;
4. Точки, характеризующие данную линию пересечения (для эллипса − точки большой и малой осей).
Для более точного построения линии пересечения необходимо построить еще и дополнительные (промежуточные) точки.
В рассматриваемом примере точки 1 и8 являются нижней и верхней точками. Для горизонтальной и фронтальной проекций точка1 будет левой точкой, точка8 − правой. Для профильной проекции точки4 и5 − точки границы видимости: точки, расположенные ниже точек4 и5 на профильной проекции будут видимыми, все остальные− нет.
Точки 2, 3 и6, 7 − дополнительные, которые определяются для большей точности построения. Профильная проекция фигуры сечения – эллипс, у которого малая ось− отрезок 1-8, большая− 4-5 .
Построение проекций линий пересечения конуса плоскостью
В зависимости от направления секущей плоскости в сечении конуса вращения могут получиться различные линии, называемые линиями конических сечений.
Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, в его сечении получается пара прямых − образующих (треугольник) (рис. 10, а). В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса, получается окружность (рис. 10, б). Если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении конуса могут получиться эллипс, парабола или гипербола (рис. 10, в, г, д) в зависимости от величины угла наклона секущей плоскости.
Эллипс получается в том случае, когда угол β наклона секущей плоскости меньше угла наклонаα образующих конуса к его основанию(β < α) , то есть когда плоскость пересекает все образующие данного конуса (рис. 10, в).
Если углы α иβ равны, то есть секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса, в сечении получается парабола (рис. 10, г).
Если секущая плоскость направлена под углом, который изменяется в пределах 90° β>α , то в сечении получается гипербола. В этом случае секу-
щая плоскость параллельна двум образующим конуса. Гипербола имеет две ветви, так как коническая поверхность двухполостная (рис. 10, д).
Известно, что точка принадлежит поверхно- |
||||
сти, если она принадлежит какой-нибудь линии |
||||
поверхности. Для конуса наиболее графически |
||||
простыми линиями являются прямые (образую- |
||||
щие) и окружности. Следовательно, если по усло- |
||||
вию задачи требуется найти горизонтальные про- |
||||
екции точек A иB , принадлежащих поверхности |
||||
конуса, то нужно через точки провести одну из |
||||
этих линий. | ||||
Горизонтальную проекцию точки A найдем |
||||
с помощью образующих. Для этого через точку A |
||||
и вершину конуса S проведем вспомогательную |
||||
фронтально-проецирующую плоскостьP(Pv). ЭтаB найдем, построив окружность, на которой она лежит. Для этого через точку проведем горизонтальную плоскостьT(Tv). Плоскость пересекает конус по окружности радиусаr . Строим горизонтальную проекцию этой окружности. Через точкуb ′ проведем линию связи до ее пересечения с окружностью. Задача также имеет два ответа− точ- ки b 1 иb 2 . Рассмотрим пример построения проекций линии пересечения конуса фронтально-проецирующей плоскостьюP(Pv), когда в сечении получается эллипс (рис. 12). Фронтальная проекция линии сечения совпадает с фронтальным следом плоскости Pv . Для удобства решения задачи обозначим крайние образующие конуса и определим характерные (опорные) точки. Нижняя точка 1 лежит на образующейAS, верхняя− 2 на образующейΒ S . Эти точки определяют положение большой оси эллипса. Малая ось эллипса перпендикулярна большой оси. Чтобы найти малую ось, разделим отрезок 1-2 пополам. Точки3 и4 определяют малую ось эллипса. Точки5 и6 , расположенные на образующихCS иDS, являются точками границы видимости для профильной плоскости проекций. Проекции точек1, 2, 5 и6 находятся на соответствующих проекциях образующих. Чтобы найти проекции точек3 и4, проводим дополнительную секущую плоскостьT(Tv), которая рассекает конус по окружности радиусаr . На этой окружности находятся проекции данных точек. На горизонтальную плоскость проекций окружность проеци- | ||||
Пирамида. Усеченная пирамида
Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого многоугольник (основание ), а все остальные грани – треугольники с общей вершиной (боковые грани ) (рис. 15). Пирамида называется правильной , если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания (рис. 16). Треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется тетраэдром .
Боковым ребром пирамиды называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию Высотой пирамиды называется расстояние от ее вершины до плоскости основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой, все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины, называется апофемой . Диагональным сечением называется сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.
Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех боковых граней и основания.
Теоремы
1. Если в пирамиде все боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.
2. Если в пирамиде все боковые ребра имеют равные длины, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.
3. Если в пирамиде все грани равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности вписанной в основание.
Для вычисления объема произвольной пирамиды верна формула:
где V – объем;
S осн – площадь основания;
H – высота пирамиды.
Для правильной пирамиды верны формулы:
где p – периметр основания;
h а – апофема;
H – высота;
S полн
S бок
S осн – площадь основания;
V – объем правильной пирамиды.
Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды (рис. 17). Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды.
Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники. Боковые грани – трапеции. Высотой усеченной пирамиды называется расстояние между ее основаниями. Диагональю усеченной пирамиды называется отрезок, соединяющий ее вершины, не лежащие в одной грани. Диагональным сечением называется сечение усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.
Для усеченной пирамиды справедливы формулы:
(4)
где S 1 , S 2 – площади верхнего и нижнего оснований;
S полн – площадь полной поверхности;
S бок – площадь боковой поверхности;
H – высота;
V – объем усеченной пирамиды.
Для правильной усеченной пирамиды верна формула:
где p 1 , p 2 – периметры оснований;
h а – апофема правильной усеченной пирамиды.
Пример 1. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60º. Найти тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 18).
 |
Пирамида правильная, значит в основании равносторонний треугольник и все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Двугранный угол при основании – это угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания. Линейным углом будет угол a
между двумя перпендикулярами: и т.е. Вершина пирамиды проектируется в центре треугольника (центр описанной окружности и вписанной окружности в треугольник АВС
). Угол наклона бокового ребра (например SB
) – это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания. Для ребра SB
этим углом будет угол SBD
. Чтобы найти тангенс необходимо знать катеты SO
и OB
. Пусть длина отрезка BD
равна 3а
. Точкой О
отрезок BD
делится на части: и Из находим SO
: 
Из находим: 
Ответ:
Пример 2. Найти объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если диагонали ее оснований равны см и см, а высота 4 см.
Решение. Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой (4). Чтобы найти площади оснований необходимо найти стороны квадратов-оснований, зная их диагонали. Стороны оснований равны соответственно 2 см и 8 см. Значит площади оснований и Подставив все данные в формулу, вычислим объем усеченной пирамиды:
Ответ: 112 см 3 .
Пример 3. Найти площадь боковой грани правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 10 см и 4 см, а высота пирамиды 2 см.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 19).
Боковая грань данной пирамиды является равнобокая трапеция. Для вычисления площади трапеции необходимо знать основания и высоту. Основания даны по условию, остается неизвестной только высота. Ее найдем из где А
1 Е
перпендикуляр из точки А
1 на плоскость нижнего основания, A
1 D
– перпендикуляр из А
1 на АС
. А
1 Е
= 2 см, так как это высота пирамиды. Для нахождения DE
сделаем дополнительно рисунок, на котором изобразим вид сверху (рис. 20). Точка О
– проекция центров верхнего и нижнего оснований. так как (см. рис. 20) и С другой стороны ОК
– радиус вписанной в окружности и 
ОМ
– радиус вписанной в окружности:
MK = DE .
По теореме Пифагора из
Площадь боковой грани: 
Ответ:
Пример 4. В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция, основания которой а и b (a > b ). Каждая боковая грань образует с плоскостью основания пирамиды угол равный j . Найти площадь полной поверхности пирамиды.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 21). Площадь полной поверхности пирамиды SABCD равна сумме площадей и площади трапеции ABCD .
Воспользуемся утверждением, что если все грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то вершина проектируется в центр вписанной в основание окружности. Точка О – проекция вершины S на основание пирамиды. Треугольник SOD является ортогональной проекцией треугольника CSD на плоскость основания. По теореме о площади ортогональной проекции плоской фигуры получим:
Аналогично и значит 
Таким образом задача свелась к нахождению площади трапеции АВСD
. Изобразим трапецию ABCD
отдельно (рис.22). Точка О
– центр вписанной в трапецию окружности.
Так как в трапецию можно вписать окружность, то или Из по теореме Пифагора имеем
Правильная шестиугольная пирамида, пересеченная фронтально-проецирующей плоскостью Р, показана на рис. 180.
Как и в предыдущих примерах, фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальным сле-
дом P v плоскости. Горизонтальную и профильную проекции фигуры сечения строят по точкам, которые являются точками пересечения плоскости Р с ребрами пирамиды.
Действительный вид фигуры сечения в этом примере определяется способом совмещения.
Развертка боковой поверхности усеченной пирамиды с фигурой сечения и фигурой основания приведена на рис. 180, б.
Сначала строят развертку неусеченной пирамиды, все грани которой, имеющие форму треугольника, одинаковы. На плоскости намечают точку s l (вершину пирамиды) и из нее, как из центра, проводят дугу окружности радиусом R, равным действительной длине бокового ребра пирамиды. Действительную длину ребра можно определить по профильной проекции пирамиды, например отрезки s"e" или s"b", так как эти ребра параллельны плоскости W и изображаются на ней действительной длиной. Далее по дуге окружности от любой точки, например а 1 , откладывают шесть одинаковых отрезков, равных действительной длине стороны шестиугольника – основания пирамиды. Действительную длину стороны основания пирамиды получаем на горизонтальной проекции (отрезок ab). Точки a 1 ...f 1 соединяют прямыми с вершиной s 1 . Затем от вершины a 1 на этих прямых откладывают действительные длины отрезков ребер до секущей плоскости.
На профильной проекции усеченной пирамиды имеются действительные длины только двух от-
резкое – s"5 и s"2. Действительные длины остальных отрезков определяют способом вращения их вокруг оси, перпендикулярной к плоскости Н и проходящей через вершину s. Например, повернув отрезок s"6" около оси до положения, параллельного плоскости W, получим на этой плоскости его действительную длину. Для этого достаточно через точку 6" провести горизонтальную прямую до пересечения с действительной длиной ребра SE или SB. Отрезок s"6 0 ″ (см. рис. 180).
Полученные точки 1 1 2 1 , 3 1 , и т.д. соединяют прямыми и пристраивают фигуры основания и сечения, пользуясь методом триангуляции. Линии сгиба на развертке проводят штрихпунктирной линией с двумя точками.
Построение изометрической проекции усеченной пирамиды начинают с построения изометрической проекции основания пирамиды по размерам, взятым с горизонтальной проекции комплексного чертежа. Затем на плоскости основания по координатам точек 1...6 строят горизонтальную проекцию сечения (см. тонкие синие линии на рис. 180, а, в). Из вершин полученного шестиугольника проводят вертикальные прямые, на которых откладывают координаты, взятые с фронтальной или профильной проекций призмы, например, отрезки К { , К 2 , К 3 и т.д. Полученные точки 1...6 соединяем, получаем фигуру сечения. Соединив точки 1...6 с вершинами шестиугольника, основания пирамиды, получим изометрическую проекцию усеченной пирамиды. Невидимые ребра изображают штриховыми линиями.
Пример сечения треугольной неправильной пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью показан на рис. 181.
Все ребра на трех плоскостях проекций изображены с искажением. Горизонтальная проекция
основания представляет собой его действительный вид, так как основание пирамиды расположено на плоскости Н .
Действительный вид 1 0 , 2 0 , 3 0 фигуры сечения получен способом перемены плоскостей проекций. В данном примере горизонтальная плоскость проекций Н заменена новой плоскостью, которая параллельна плоскости Р; новая ось х 1 совмещена со следом Р V (рис. 181, а).
Развертку поверхности пирамиды строят следующим образом. Способом вращения находят действительную длину ребер пирамиды и их отрезков от основания до секущей плоскости Р.
Например, действительные длины ребра SC иего отрезка СЗ равны соответственно длине фронтальной проекции s"c" ребра и отрезка c 1 ′3 1 после поворота.
Затем строят развертку треугольной неправильной пирамиды (рис. 181, в). Для этого из произвольной точки S проводят прямую, на кот, откладывают действительную длину ребра SA. Из точки s делают засечку радиусом R 1 , равным действительной длине ребра SB, а из точки засечку радиусом R 2 , равным стороне основания пирамиды АВ, в результате чего получают точку b 1 и грань s 1 b 1 a 1 . Затем из точек s и b 1 как из центров, делают засечки радиусами, равными действительной длине ребра SC и стороне ВС получают грань s 1 b 1 с 1 пирамиды. Также строится грань s 1 с 1 a 1 .
От точек а 1 b 1 и с 1 откладывают действительные длины отрезков ребер, которые берут на фронтальной проекции (отрезки а 1 ′1 1 ′, b 1 ′2 1 ′,с 1 ′3 1 ′ ). Используя метод триангуляции, пристраивают основание и фигуру сечения.
Для построения изометрической проекции усеченной пирамиды (рис. 181, б) проводят изометрическую ось х. По координатам т и п строят основание пирамиды ABC. Сторона основания АС параллельна оси х или совпадает с осью х. Как и в предыдущем примере, строят изометрическую проекцию горизонтальной проекции фигуры сечения 1 2 2 2 3 2 (используя точки I, III и IV). Из этих точек проводят вертикальные прямые, на которых откладывают отрезки, взятые с фронтальной или профильной проекции призмы К 1 , К 2 и К 3 . Полученные точки 1 , 2, 3 соединяют прямыми между собой и с вершинами основания.
Введение
Когда мы начали изучать стереометрические фигуры мы затронули тему «Пирамида». Нам понравилась это тема, потому что пирамида очень часто употребляется в архитектуре. И так как наша будущая профессия архитектора, вдохновившись этой фигурой, мы думаем, что она сможет подтолкнуть нас к отличным проектам.
Прочность архитектурных сооружений, важнейшее их качество. Связывая прочность, во-первых, с теми материалами, из которых они созданы, а, во-вторых, с особенностями конструктивных решений, оказывается, прочность сооружения напрямую связана с той геометрической формой, которая является для него базовой.
Другими словами, речь идет о той геометрической фигуре, которая может рассматриваться как модель соответствующей архитектурной формы. Оказывается, что геометрическая форма также определяет прочность архитектурного сооружения.
Самым прочным архитектурным сооружением с давних времен считаются египетские пирамиды. Как известно они имеют форму правильных четырехугольных пирамид.
Именно эта геометрическая форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания. С другой стороны, форма пирамиды обеспечивает уменьшение массы по мере увеличения высоты над землей. Именно эти два свойства делают пирамиду устойчивой, а значит и прочной в условиях земного тяготения.
Цель проекта : узнать что-то новое о пирамидах, углубить знания и найти практическое применение.
Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи:
· Узнать исторические сведения о пирамиде
· Рассмотреть пирамиду, как геометрическую фигуру
· Найти применение в жизни и архитектуре
· Найти сходство и различие пирамид, расположенных в разных частях света
Теоретическая часть
Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит, а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.
Усыпальницы египетских фараонов. Крупнейшие из них - пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина в Эль-Гизе в древности считались одним из Семи чудес света. Возведение пирамиды, в котором уже греки и римляне видели памятник невиданной гордыни царей и жестокости, обрекшей весь народ Египта на бессмысленное строительство, было важнейшим культовым деянием и должно было выражать, по всей видимости, мистическое тождество страны и ее правителя. Население страны работало на строительстве гробницы в свободную от сельскохозяйственных работ часть года. Ряд текстов свидетельствует о том внимании и заботе, которые сами цари (правда, более позднего времени) уделяли возведению своей гробницы и ее строителям. Известно также об особых культовых почестях, которые оказывались самой пирамиде.
Основные понятия
Пирамидой называется многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.
Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины;
Боковые грани - треугольники, сходящиеся в вершине;
Боковые ребра - общие стороны боковых граней;
Вершина пирамиды - точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
Высота - отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
Диагональное сечение пирамиды - сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
Основание - многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Основные свойства правильной пирамиды
Боковые ребра, боковые грани и апофемы соответственно равны.
Двугранные углы при основании равны.
Двугранные углы при боковых ребрах равны.
Каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания.
Каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней.
Основные формулы пирамиды
Площадь боковой и полной поверхности пирамиды.
Площадью боковой поверхности пирамиды (полной и усечённой) называется сумма площадей всех ее боковых граней, площадью полной поверхности – сумма площадей всех ее граней.
Теорема: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.
p - периметр основания;
h - апофема.
Площадь боковой и полной поверхностей усеченной пирамиды.
p 1 , p 2 - периметры оснований;
h - апофема.
Р - площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды;
S бок - площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды;
S 1 + S 2 - площади основания
Объем пирамиды
Формула объёма используется для пирамид любого вида.
H - высота пирамиды.
Углы пирамиды
Углы, которые образованы боковой гранью и основанием пирамиды, называются двугранными углами при основании пирамиды.
Двугранный угол образуется двумя перпендикулярами.
Чтобы определить этот угол, часто нужно использовать теорему о трёх перпендикулярах .
Углы, которые образованы боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, называются углами между боковым ребром и плоскостью основания .
Угол, который образован двумя боковыми гранями, называется двугранным углом при боковом ребре пирамиды.
Угол, который образован двумя боковыми рёбрами одной грани пирамиды, называется углом при вершине пирамиды .
Сечения пирамиды
Поверхность пирамиды – это поверхность многогранника. Каждая ее грань представляет собой плоскость, поэтому сечение пирамиды, заданной секущей плоскостью – это ломаная линия, состоящая из отдельных прямых.
Диагональное сечение
Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не лежащих на одной грани, называется диагональным сечением пирамиды.
Параллельные сечения
Теорема :
Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то боковые ребра и высоты пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части;
Сечением этой плоскости является многоугольник, подобный основанию;
Площади сечения и основания относятся друг к другу как квадраты их расстояний от вершины.
Виды пирамиды
Правильная пирамида – пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, и вершина пирамиды проектируется в центр основания.
У правильной пирамиды:
1. боковые ребра равны
2. боковые грани равны
3. апофемы равны
4. двугранные углы при основании равны
5. двугранные углы при боковых ребрах равны
6. каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания
7. каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней
Усеченная пирамида – часть пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.
Основание и соответствующие сечение усеченной пирамиды называются основаниями усеченной пирамиды .
Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания на плоскость другого, называется высотой усеченной пирамиды.
Задачи
№1. В правильной четырехугольной пирамиде точка О – центр основания, SO=8 cм, BD=30 см. Найдите боковое ребро SA.
Решение задач
№1. В правильной пирамиде все грани и ребра равны.
Рассмотрим OSB: OSB-прямоугольный прямоугольник, т. к.
SB 2 =SO 2 +OB 2
SB 2 =64+225=289
Пирамида в архитектуре
Пирамида - монументальное сооружение в форме обычной правильной геометрической пирамиды, в которой боковые стороны сходятся в одной точке. По функциональному назначению пирамиды в древности были местом захоронения или поклонения культу. Основа пирамиды может быть треугольной, четырехугольной или в форме многоугольника с произвольным числом вершин, но наиболее распространенной версией является четырехугольная основа.
Известно немалое количество пирамид, построенных разными культурами Древнего мира в основном в качестве храмов или монументов. К крупным пирамидам относятся египетские пирамиды.
По всей Земле можно увидеть архитектурные сооружения в виде пирамид. Здания-пирамиды напоминают о древних временах и очень красиво выглядят.
Египетские пирамиды величайшие архитектурные памятники Древнего Египта, среди которых одно из «Семи чудес света» пирамида Хеопса. От подножия до вершины она достигает 137, 3 м, а до того, как утратила верхушку, высота ее была 146, 7 м
Здание радиостанции в столице Словакии, напоминающее перевернутую пирамиду, было построено в 1983 г. Помимо офисов и служебных помещений, внутри объема находится достаточно вместительный концертный зал, который имеет один из самых больших органов в Словакии.
Лувр, который "молчит неизменно и величественно, как пирамида" на протяжении веков перенёс немало изменений прежде, чем превратиться в величайший музей мира. Он родился как крепость, воздвигнутая Филиппом Августом в 1190 г., вскоре превратившаяся в королевскую резиденцию. В 1793 г. дворец становится музеем. Коллекции обогащаются благодаря завещаниям или покупкам.
