Здравствуйте, Дорогие друзья! Продолжаем рассматривать задания связанные с исследованием функций. Рекомендую , необходимую для решения задач на нахождение максимального (минимального) значения функции и на нахождение точек максимума (минимума) функции.
Задачи с логарифмами на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции мы . В этой статье рассмотрим три задачи, в которых стоит вопрос нахождения точек максимума (минимума) функций, при чём в заданной функции присутствует натуральный логарифм.
Теоретический момент:
По определению логарифма – выражение стоящее под знаком логарифма должно быть больше нуля. *Это обязательно нужно учитывать не только в данных задачах, но и при решении уравнений и неравенств содержащих логарифм.
Алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции:
1. Вычисляем производную функции.
2. Приравниваем её к нулю, решаем уравнение.
3. Полученные корни отмечаем на числовой прямой. *Также на ней отмечаем точки, в которых производная не существует. Получим интервалы, на которых функция возрастает или убывает.
4. Определяем знаки производной на этих интервалах (подставляя произвольные значения из них в производную).
5. Делаем вывод.
Найдите точку максимума функции у = ln (х–11)–5х+2
Сразу запишем, что х–11>0 (по определению логарифма), то есть х > 11.
Рассматривать функцию будем на интервале (11;∞).
Найдем нули производной:
Точка х = 11 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси две точки 11 и 11,2. Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из интервалов (11;11,2) и (11,2;+∞) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:
Таким образом, в точке х=11,2 производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.
Ответ: 11,2
Решите самостоятельно:
Найдите точку максимума функции у=ln (х+5)–2х+9.
Найдите точку минимума функции у=4х– ln (х+5)+8
Сразу запишем, что х+5>0 (по свойству логарифма), то есть х>–5.
Рассматривать функцию будем на интервале (– 5;+∞).
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Точка х = –5 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси две точки –5 и –4,75 . Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из интервалов (–5;–4,75) и (–4,75;+∞) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:
Таким образом, в точке х= –4,75 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит это искомая точка минимума.
Ответ: – 4,75
Решите самостоятельно:
Найдите точку минимума функции у=2х–ln (х+3)+7.
Найдите точку максимума функции у = х 2 –34х+140lnх–10
По свойству логарифма выражение, стоящее под его знаком больше нуля, то есть х > 0.
Функцию будем рассматривать на интервале (0; +∞).
Найдём производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Решая квадратное уравнение, получим: D = 9 х 1 = 10 х 2 = 7.
Точка х = 0 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси три точки 0, 7 и 10 .
Ось ох разбивается на интервалы: (0;7), (7;10), (10; +∞).
Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из полученных интервалов в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:
На этом всё. Успехов вам!
С уважением, Александр Крутицких
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
77419.Найдите точку максимума функции у=х 3 –48х+17
Найдем нули производной:
Получим корни:
Определим знаки производной функции подставляя значения из интервалов в полученную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:
Получили, что в точке –4 производная меняет свой знак в положительного на отрицательный. Таким образом, точка х=–4 это искомая точка максимума.
Ответ: –4
77423. Найдите точку максимума функции у=х 3 –3х 2 +2
Найдём производную заданной функции:
Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
В точке х=0 производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит это есть точка максимума.
77427. Найдите точку максимума функции у=х 3 +2х 2 +х+3
Найдём производную заданной функции:
При равняем производную к нулю и решим уравнение:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке интервалы возрастания и убывания функции подставляя значения из каждого интервала в выражение производной:
В точке х=–1 производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.
Ответ: –1
77431. Найдите точку максимума функции у=х 3 –5х 2 +7х–5
Найдём производную функции:
Найдем нули производной:
3х 2 – 10х + 7 = 0
3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0
3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0
3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0
В точке х = 1 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.
77435. Найдите точку максимума функции у=7+12х–х 3
Найдём производную функции:
Найдем нули производной:
12 – 3х 2 = 0
Решая квадратное уравнение получим:
*Это точки возможного максимума (минимума) функции.
Построим числовую ось, отметим нули производной. Определим знаки производной, подставляя произвольное значение из каждого интервала в выражение производной функции и схематично изобразим возрастание и убывание на интервалах:
12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0
12 – 3∙0 2 = 12 > 0
12 – 3∙3 2 = –15 < 0
В точке х = 2 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.
*Для этой же функции точкой минимума является точка х = – 2.
77439. Найдите точку максимума функции у=9х 2 –х 3
Найдём производную функции:
Найдем нули производной:
18х –3х 2 = 0
3х(6 – х) = 0
Решая уравнение получим:
*Это точки возможного максимума (минимума) функции.
Построим числовую ось, отметим нули производной. Определим знаки производной, подставляя произвольное значение из каждого интервала в выражение производной функции и схематично изобразим возрастание и убывание на интервалах:
18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0
18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0
18∙7 –3∙7 2 = –1 < 0
В точке х=6 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.
*Для этой же функции точкой минимума является точка х = 0.
Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?
Для этого мы следуем известному алгоритму :
1 . Находим ОДЗ функции.
2 . Находим производную функции
3 . Приравниваем производную к нулю
4 . Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:
Если на промежутке I производная функции 0" title="f^{prime}(x)>0">, то функция возрастает на этом промежутке.
Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.
5 . Находим точки максимума и минимума функции .
В точке максимума функции производная меняет знак с "+" на "-" .
В точке минимума функции производная меняет знак с "-" на "+" .
6 . Находим значение функции в концах отрезка,
- затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
- или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции
Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.
Рассмотрим функцию 
. График этой функции выглядит так:
Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для
1 . Задание B15 (№ 26695)
На отрезке .
1. Функция определена при всех действительных значениях х
Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.
Ответ: 5.
2 . Задание B15 (№ 26702)
Найдите наибольшее значение функции
на отрезке .
1. ОДЗ функции title="x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}">
Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:
Следовательно, title="3/{cos^2{x}}>=3">, значит, title="3/{cos^2{x}}-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при .
Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:
Title="y^{prime}=3/{cos^2{x}}-3={3-3cos^2{x}}/{cos^2{x}}={3sin^2{x}}/{cos^2{x}}=3tg^2{x}>=0">
Ответ: 5.
3 . Задание B15 (№ 26708)
Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
1. ОДЗ функции : title="x{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}">
Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.
Промежутку принадлежат два числа: и
Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: 
. При переходе через точки и производная меняет знак.
Изобразим смену знаков производной функции на координатной прямой:
Очевидно, что точка является точкой минимума (в ней производная меняет знак с "-" на "+"), и чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .
Функция и исследование ее особенностей занимает одно из ключевых глав в современной математике. Главная составляющая любой функции - это графики, изображающие не только ее свойства, но также и параметры производной данной функции. Давайте разберемся в этой непростой теме. Итак, как лучше искать точки максимума и минимума функции?
Функция: определение
Любая переменная, которая каким-то образом зависит от значений другой величины, может называться функцией. Например, функция f(x 2) является квадратичной и определяет значения для всего множества х. Допустим, что х = 9, тогда значение нашей функции будет равно 9 2 = 81.
Функции бывают самых разных видов: логические, векторные, логарифмические, тригонометрические, числовые и другие. Их изучением занимались такие выдающиеся умы, как Лакруа, Лагранж, Лейбниц и Бернулли. Их труды служат оплотом в современных способах изучения функций. Перед тем как найти точки минимума, очень важно понять сам смысл функции и ее производной.
Производная и ее роль
Все функции находятся в зависимости от их переменных величин, а это значит, что они могут в любой момент изменить свое значение. На графике это будет изображаться как кривая, которая то опускается, то поднимается по оси ординат (это все множество чисел "y" по вертикали графика). Так вот определение точки максимума и минимума функции как раз связано с этими "колебаниями". Объясним, в чем эта взаимосвязь.
Производная любой функции изображается на графике с целью изучить ее основные характеристики и вычислить, как быстро изменяется функция (т.е. меняет свое значение в зависимости от переменной "x"). В тот момент, когда функция увеличивается, график ее производной будет также возрастать, но в любую секунду функция может начать уменьшаться, и тогда график производной будет убывать. Те точки, в которых производная переходит со знака минуса на плюс, называются точками минимума. Для того чтобы знать, как найти точки минимума, следует лучше разобраться с
Как вычислять производную?
Определение и функции подразумевает под собой несколько понятий из Вообще, само определение производной можно выразить следующим образом: это та величина, которая показывает скорость изменения функции.
Математический способ ее определения для многих учеников кажется сложным, однако на самом деле все гораздо проще. Необходимо лишь следовать стандартному плану нахождения производной любой функции. Ниже описано, как можно найти точку минимума функции, не применяя правила дифференцирования и не заучивая таблицу производных.
- Вычислить производную функции можно с помощью графика. Для этого необходимо изобразить саму функцию, затем взять на ней одну точку (точка А на рис.) Вертикально вниз провести линию к оси абсцисс (точка х 0), а в точке А провести касательную к графику функции. Ось абсцисс и касательная образуют некий угол а. Для вычисления значения того, насколько быстро возрастает функция, необходимо вычислить тангенс этого угла а.
- Получается, что тангенс угла между касательной и направлением оси х является производной функции на маленьком участке с точкой А. Данный метод считается геометрическим способом определения производной.
Способы исследования функции
В школьной программе математики возможно нахождение точки минимума функции двумя способами. Первый метод с помощью графика мы уже разобрали, а как же определить численное значение производной? Для этого потребуется выучить несколько формул, которые описывают свойства производной и помогают преобразовать переменные величины типа "х" в числа. Следующий метод является универсальным, поэтому его можно применять практически ко всем видам функций (как к геометрическим, так и логарифмическим).
- Необходимо приравнять функцию к функции производной, а затем упростить выражение, используя правила дифференцирования.
- В некоторых случаях, когда дана функция, в которой переменная "х" стоит в делителе, необходимо определить область допустимых значений, исключив из нее точку "0" (по простой причине того, что в математике ни в коем случае нельзя делить на ноль).
- После этого следует преобразовать изначальный вид функции в простое уравнение, приравняв все выражение к нулю. Например, если функция выглядела так: f(x) = 2x 3 +38x, то по правилам дифференцирования ее производная равна f"(x) = 3x 2 +1. Тогда преобразуем это выражение в уравнение следующего вида: 3x 2 +1 = 0.
- После решения уравнения и нахождения точек "х", следует изобразить их на оси абсцисс и определить, является ли производная в этих участках между отмеченными точками положительной или отрицательной. После обозначения станет ясно, в какой точке функция начинает убывать, то есть меняет знак с минуса на противоположный. Именно таким способом можно найти как точки минимума, так и максимума.
Правила дифференцирования
Самая основная составляющая в изучении функции и ее производной - это знание правил дифференцирования. Только с их помощью можно преобразовывать громоздкие выражения и большие сложные функции. Давайте ознакомимся с ними, их достаточно много, но все они весьма просты благодаря закономерным свойствам как степенных, так и логарифмических функций.
- Производная любой константы равна нулю (f(х) = 0). То есть производная f(х) = x 5 + х - 160 примет такой вид: f" (х) = 5x 4 +1.
- Производная суммы двух слагаемых: (f+w)" = f"w + fw".
- Производная логарифмической функции: (log a d)" = d/ln a*d. Эта формула применима ко всем видам логарифмов.
- Производная степени: (x n)"= n*x n-1 . Например,(9x 2)" = 9*2x = 18x.
- Производная синусоидальной функции: (sin a)" = cos a. Если sin угла а равен 0,5, то ее производная равна √3/2.
Точки экстремума
Мы уже разобрали, как найти точки минимума, однако существует понятие и функции. Если минимум обозначает те точки, в которых функция переходит со знака минуса на плюс, то точками максимума являются те точки на оси абсцисс, на которых производная функции меняется с плюса на противоположный - минус.
Находить точки максимума можно по вышеописанному способу, только следует учесть, что они обозначают те участки, на которых функция начинает убывать, то есть производная будет меньше нуля.
В математике принято обобщать оба понятия, заменяя их словосочетанием "точки экстремумов". Когда в задании просят определить эти точки, это значит, что необходимо вычислить производную данной функции и найти точки минимума и максимума.