Sa mga problema sa konstruksiyon, ang isang compass at isang ruler ay itinuturing na perpektong kasangkapan, sa partikular, ang isang ruler ay walang mga dibisyon at mayroon lamang isang gilid ng walang katapusang haba, at ang isang compass ay maaaring magkaroon ng isang arbitrarily malaki o arbitraryong maliit na pagbubukas.
Mga katanggap-tanggap na konstruksyon. Ang mga sumusunod na operasyon ay pinapayagan sa mga gawain sa pagtatayo:
1. Markahan ang isang punto:
di-makatwirang punto ng eroplano;
isang arbitrary na punto sa isang naibigay na linya;
isang arbitrary na punto sa isang ibinigay na bilog;
ang punto ng intersection ng dalawang ibinigay na linya;
mga punto ng intersection/tangency ng isang linya at isang bilog;
mga punto ng intersection/tangency ng dalawang ibinigay na bilog.
2. Gamit ang isang ruler maaari kang gumuhit ng isang tuwid na linya:
isang di-makatwirang tuwid na linya sa isang eroplano;
isang di-makatwirang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto;
isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto.
3. Gamit ang isang compass maaari kang bumuo ng isang bilog:
isang arbitrary na bilog sa isang eroplano;
isang arbitrary na bilog na may sentro sa isang naibigay na punto;
isang arbitrary na bilog na may radius na katumbas ng distansya sa pagitan ng dalawang ibinigay na mga punto;
isang bilog na may sentro sa isang naibigay na punto at isang radius na katumbas ng distansya sa pagitan ng dalawang ibinigay na mga punto.
Paglutas ng mga problema sa konstruksiyon. Ang solusyon sa problema sa pagtatayo ay naglalaman ng tatlong mahahalagang bahagi:
Paglalarawan ng paraan para sa pagbuo ng kinakailangang bagay.
Patunay na ang bagay na binuo sa inilarawan na paraan ay talagang ang ninanais.
Pagsusuri ng inilarawan na paraan ng pagtatayo para sa kakayahang magamit nito sa iba't ibang mga bersyon ng mga paunang kondisyon, pati na rin para sa pagiging natatangi o hindi pagiging natatangi ng solusyon na nakuha ng inilarawang pamamaraan.
Pagbuo ng segment na katumbas ng ibinigay. Hayaang magbigay ng sinag na may simula sa puntong $O$ at isang segment na $AB$. Upang makabuo ng isang segment na $OP = AB$ sa isang ray, kailangan mong bumuo ng isang bilog na may sentro sa puntong $O$ ng radius na $AB$. Ang punto ng intersection ng sinag sa bilog ay ang kinakailangang puntong $P$.
Pagbubuo ng isang anggulo na katumbas ng isang ibinigay. Hayaang magbigay ng sinag na may pinanggalingan sa puntong $O$ at anggulong $ABC$. Sa gitna sa puntong $B$, bumuo kami ng isang bilog na may di-makatwirang radius na $r$. Tukuyin natin ang mga intersection point ng bilog na may mga sinag na $BA$ at $BC$ bilang $A"$ at $C"$, ayon sa pagkakabanggit.
Bumuo tayo ng isang bilog na may sentro sa puntong $O$ ng radius $r$. Tukuyin natin ang punto ng intersection ng bilog na may ray bilang $P$. Bumuo tayo ng isang bilog na may sentro sa puntong $P$ ng radius na $A"B"$. Tinutukoy namin ang intersection point ng mga bilog bilang $Q$. Iguhit natin ang sinag na $OQ$.
Nakukuha namin ang anggulo na $POQ$ na katumbas ng anggulo na $ABC$, dahil ang mga tatsulok na $POQ$ at $ABC$ ay pantay sa tatlong panig.
Pagbuo ng perpendicular bisector sa isang segment. Bumuo tayo ng dalawang intersecting na bilog ng arbitrary radius na may mga sentro sa mga dulo ng segment. Sa pamamagitan ng pagkonekta ng dalawang punto ng kanilang intersection, nakakakuha kami ng isang patayo na bisector.
Pagbuo ng bisector ng isang anggulo. Gumuhit tayo ng isang bilog ng arbitrary radius na may gitna sa tuktok ng sulok. Bumuo tayo ng dalawang intersecting na bilog ng arbitrary radius na may mga sentro sa mga punto ng intersection ng unang bilog na may mga gilid ng anggulo. Sa pamamagitan ng pagkonekta sa vertex ng isang anggulo sa alinman sa mga intersection point ng dalawang bilog na ito, nakukuha namin ang bisector ng anggulo.
Pagbuo ng kabuuan ng dalawang segment. Upang bumuo sa isang partikular na ray ng isang segment na katumbas ng kabuuan ng dalawang ibinigay na mga segment, kailangan mong ilapat ang paraan ng pagbuo ng isang segment na katumbas ng isang ibinigay na isa nang dalawang beses.
Pagbuo ng kabuuan ng dalawang anggulo. Upang magplano ng isang anggulo mula sa isang naibigay na sinag na katumbas ng kabuuan ng dalawang ibinigay na mga anggulo, kailangan mong ilapat ang paraan ng pagbuo ng isang anggulo na katumbas ng ibinigay na isa nang dalawang beses.
Paghahanap ng midpoint ng isang segment. Upang markahan ang gitna ng isang partikular na segment, kailangan mong bumuo ng isang patayong bisector sa segment at markahan ang punto ng intersection ng patayo sa mismong segment.
Pagbuo ng isang patayong linya sa pamamagitan ng isang naibigay na punto. Hayaang kailanganin na bumuo ng isang linya na patayo sa isang naibigay na punto at dumadaan sa isang ibinigay na punto. Gumuhit kami ng isang bilog ng di-makatwirang radius na may isang sentro sa isang naibigay na punto (hindi alintana kung ito ay namamalagi sa isang linya o hindi), intersecting ang linya sa dalawang punto. Bumubuo kami ng isang perpendicular bisector sa isang segment na may mga dulo sa mga punto ng intersection ng bilog at linya. Ito ang magiging ninanais na patayong linya.
Pagbuo ng isang parallel na linya sa pamamagitan ng isang naibigay na punto. Hayaang kailanganin na bumuo ng isang linya parallel sa isang naibigay na punto at dumaan sa isang ibinigay na punto sa labas ng linya. Bumubuo kami ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto at patayo sa isang ibinigay na linya. Pagkatapos ay bumuo kami ng isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong ito, patayo sa itinayong patayo. Ang magreresultang tuwid na linya ay ang kinakailangan.
1. Anong pigura ang tinatawag na tatsulok?
2. Anong mga uri ng tatsulok ang alam mo?
3. Ano ang tatsulok na hindi pagkakapantay-pantay?
4. Mga kilalang panig ng isang isosceles triangle
6 cm at 8 cm Ano ang ikatlong bahagi ng tatsulok?
5. Mayroon bang mga tatsulok na may mga gilid
10 cm; 15 cm; 30 cm?
6. Mayroon bang mga tatsulok na may mga gilid
11 cm; 5 cm; 6 cm?
ang mga elemento ay bumaba sa paglutas ng tatlo
pangunahing gawain
Gawain 1 - paggawa ng tatsulok gamit ang dalawa
gilid at ang anggulo sa pagitan nila.
Gawain 2 - paggawa ng tatsulok gamit ang dalawa
sulok at gilid sa pagitan nila.
Gawain 3 - paggawa ng tatsulok gamit ang tatlo
sa mga partido. Problema 1
Pagbuo ng isang tatsulok gamit ang dalawang panig at isang anggulo
sa pagitan nila Ibinigay: mga segment
a
A
b
anggulo ng hp
b
h
p
Build:
ABC ni
dalawang gilid at isang sulok
sa pagitan nila Algoritmo ng konstruksiyon
b
1. Gumuhit tayo ng tuwid na linya d.
a
2. Ilagay ito gamit
compass segment AB katumbas ng
M
segment a.
h
3. Bumuo tayo ng isang anggulong katumbas MO
binigay na anggulo hp.
C
4. Sa ray AM ay nag-plot kami ng isang segment
p
AC katumbas ng segment b.
5. Gumuhit tayo ng segment BC.
6. Nakagawa ng tatsulok
ABC - ang ninanais.
A
SA
d Problema 2
Pagbuo ng isang tatsulok gamit ang isang gilid at dalawa
mga anggulong katabi nito Ibinigay: segment
a
h
p
m
n
A
anggulo ng hp
anggulo mn,
Build:
ABC ni
dalawang sulok at isang gilid Algoritmo ng konstruksiyon
1. Gumuhit tayo ng tuwid na linya d.
2. Ilagay ito gamit
compass segment AB katumbas ng
segment a.
3. Bumuo tayo ng isang anggulong katumbas MO
binigay na anggulo hp.
4. Bumuo ng anggulong ABC na katumbas ng
binigay na anggulo mn.
5. Intersection point
sinag AM at BK ipinapahiwatig namin ang C
6. Nakagawa ng tatsulok
d
ABC - ang ninanais.
m
n
p
M
K
SA
A
a
SA
10.
Suliranin 3Pagbuo ng isang tatsulok gamit ang tatlong panig
11.
Ibinigay: segment asegment b
bahagi c
a
b
Sa
Build:
ABC ni
tatlong partido
12.
Algoritmo ng konstruksiyon1. Gumuhit tayo ng tuwid na linya a.
a
2. Ilagay ito gamit
compass segment AB katumbas ng
segment a.
3. Bumuo ng bilog na may
center A at radius na katumbas ng b.
4. Bumuo ng bilog na may
center B at radius na katumbas ng c.
5. Isa sa mga intersection point
tukuyin ang mga bilog na ito
A
punto C.
6. Gumuhit tayo ng mga segment na AC at BC.
7. Nakagawa ng tatsulok
ABC - ang ninanais.
b
Sa
SA
A
SA
13.
Ang gawaing ito ba ay palagingmagkakaroon ng solusyon?
Problema 3 ay hindi palaging may
solusyon.
Kung alinman sa
mga segment na mas malaki sa o katumbas ng
ang kabuuan ng dalawa pang segment,
pagkatapos ay bumuo ng isang tatsulok
hindi magiging posible.
b
Ang geometric na konstruksyon ng mga figure ay isa sa mga pangunahing kaalaman sa kursong geometry ng paaralan. Bilang karagdagan sa utilitarian na paggamit, ang pagbuo ng spatial logic ay mahalaga dito. Ito ay tiyak ang pagtatayo tatsulok tulad ng isang primitive polygonal figure, na may sa tulong ang compass ay sinusuri nang detalyado. Ang compass ay isang kasangkapan hindi lamang para sa pagbuo ng isang bilog. Nagbibigay-daan din ito sa iyo na magtabi ng pantay na mga segment ng isang partikular na haba. Makakatulong ito sa atin sa tulong bumuo ng isang tatsulok.
Kakailanganin mong
- Papel ng papel, compass
Mga tagubilin
1. Kumuha ng anumang piraso ng papel. Maglagay ng tuldok sa gitna ng sheet. Ito ang magiging unang vertex A ng ginawa tatsulok .
2. Buksan ang compass sa isang distansya na wastong tumutugma sa nais na bahagi ng nilikha tatsulok. Mahigpit na ayusin ang mga binti ng compass sa lokasyong ito.
3. Ilagay ang karayom ng compass sa minarkahang punto. Gamit ang isang binti na may stylus, gumuhit ng isang arko ng isang bilog na may sinusukat na radius.
4. Maglagay ng tuldok kahit saan sa kahabaan ng circumference ng iginuhit na arko. Ito ang magiging pangalawang vertex B ng ginawa tatsulok .
5. Gamit ang parehong paraan, ilagay ang binti sa pangalawang tuktok. Gumuhit ng isa pang bilog upang ito ay mag-intersect sa una.
6. Sa intersection point ng parehong iginuhit na arc ay ang ikatlong vertex C ng nilikha tatsulok. Markahan ito sa guhit.
7. Kapag nakuha mo na ang lahat ng tatlong vertice, ikonekta ang mga ito sa mga tuwid na linya sa tulong anumang patag na ibabaw (mas mahusay kaysa sa isang ruler). Ang Triangle ABC ay itinayo.
Sa araling ito ay titingnan natin ang mga gawain sa pagbuo ng mga geometric na bagay gamit ang compass at ruler.
Upang malutas ang iba't ibang praktikal na mga problema, ang mga tao ay nakabuo ng maraming mga tool.
Upang sukatin ang haba ng isang segment ng linya o upang gumuhit ng isang segment ng linya ng isang partikular na haba, gumagamit kami ng ruler. Upang malutas ang isang katulad na problema para sa mga anggulo, mayroong isang protractor.
Habang pinatutunayan ang mga teorema at paglutas ng mga problema, sa ngayon ay hindi pa natin binibigyang pansin ang mga bagay tulad ng: "buuin natin (buuin) ang median ng tatsulok...".
Ang Median ay isang segment ng linya na nagkokonekta sa isang vertex sa gitna ng kabaligtaran na bahagi. Malinaw kung nasaan ang tuktok. Nasaan ang gitna ng kabaligtaran? Kung mayroon kaming isang pinuno sa kamay, kung gayon ang paglutas ng problemang ito ay tiyak na hindi magiging mahirap: sukatin ang haba ng gilid, hatiin ng 2, hanapin ang gitna. Gamit ang isang protractor sa parehong paraan, hindi mahirap gawin ang bisector ng isang anggulo.
Ngunit paano kung wala kang mga tool sa kamay? Sabihin nating mayroon lamang isang lubid. Ano ang magagawa natin dito? Gumuhit ng isang linya (kung i-stretch, ito ay magiging tuwid) at gamitin ito upang sukatin ang isang segment na katumbas ng isang ito; maaari tayong gumuhit ng isang bilog (tingnan ang Fig. 1). Sa halip na isang lubid, maaari nating gawin ang mga operasyong ito gamit ang isang ruler (walang mga dibisyon) at isang compass.
kanin. 1. Gamit ang isang lubid maaari kang gumuhit ng bilog
Sa geometry, pinag-uusapan nila ang mga problema na kinasasangkutan ng konstruksiyon gamit ang mga compass at isang ruler. May mga problema na maaaring malutas sa dalawang tool na ito, at may mga hindi. Ito ang pag-uusapan natin sa aralin ngayon.
Ngunit una, subukan nating sagutin ang tanong: bakit eksaktong isang kumpas at isang pinuno na walang mga dibisyon? Bakit hindi ka pumili ng isang ruler na may mga dibisyon, isang protractor o ilang iba pang mga tool? At bakit kailangan mong malutas ang gayong mga problema sa lahat (maaari naming ibunyag ang isang kahila-hilakbot na lihim: kahit na ang mga mag-aaral ng mga departamento ng matematika at mga propesyonal na matematiko ay hindi nag-aaral at nagresolba ng mga naturang problema pagkatapos ng pagtatapos sa paaralan).
Nagpahayag na kami ng isang pagsasaalang-alang: lahat ng maaaring gawin sa isang kumpas at isang pinuno (bilang default sa araling ito ay ipagpalagay natin na ang ibig sabihin ay isang pinuno na walang mga dibisyon) ay maaaring gawin sa tulong ng isang ordinaryong lubid. At sa ilang mga sitwasyon (halimbawa, pagmamarka ng isang lugar) ang mga kasanayang ito ay maaaring magamit.
Ngunit ang isang mas mahalagang argumento ay isang halimbawa ng mga problema na nalutas gamit ang pinakamababang posibleng mapagkukunan. Sa buhay, madalas nating nahaharap ang mga sumusunod na problema: bumuo ng isang makina upang maglakbay sa maximum na distansya na may 100 litro ng gasolina, o gumugol ng pinakamaliit na posibleng oras sa paggawa ng araling-bahay, ngunit nakakakuha pa rin ng hindi bababa sa 4 para dito, atbp. Iyon ay. Madalas nating lutasin mga problema sa pag-optimize na may limitadong mapagkukunan. Sa mga gawain sa pagtatayo, limitado ang mga kasangkapan na magagamit natin.
Bakit matututong lutasin ang mga problema sa pagtatayo?
Maaaring makita ng ilan na hindi kapani-paniwala ang mga argumentong ipinakita. Talagang may malaking pagdududa tungkol sa pangangailangang pag-aralan ang paksang ito. Ngunit gayon pa man, magbigay tayo ng ilang higit pang mga pagsasaalang-alang na maaaring makatulong sa pagsagot sa mga tanong na nabuo.
Gumagana ang matematika sa ganap na tumpak na mga modelo (walang perpektong bilog sa buhay, ngunit pinag-aaralan ng matematika ang mga katangian ng ganoong bilog upang magamit ang mga ito upang ilarawan ang mga bilog sa totoong buhay na malapit sa perpekto).
Ang anumang pagsukat (gamit ang ruler, protractor o iba pang device) ay maglalaman ng kamalian (iikot kami sa katumpakan na tinutukoy ng layunin ng pagsukat). Samakatuwid, mula sa punto ng view ng matematika, ang solusyon sa problema - paghahati ng isang segment sa dalawang bahagi, pagsukat nito sa isang ruler, ay hindi tama.
Sa matematika, ang isang segment na may haba 1 ay dapat nahahati sa dalawang segment na may haba na 0.5. Ngunit kung sisimulan nating sukatin ang haba ng segment na ito gamit ang isang ruler, hindi ito eksaktong katumbas ng 1. At ang haba ng mga halves ay mag-iiba mula sa 0.5. Samakatuwid, upang gumana sa perpektong abstract na mga bagay, kailangan mong gumamit ng abstract ideal na mga tool, na isang ruler na walang mga dibisyon at isang compass.
Ngunit ito ay isang paliwanag kung bakit ang mga problema sa konstruksiyon ay pinag-aaralan sa matematika. Ngunit bakit kailangan sila ng mga mag-aaral? Tila ang pinaka matapat na sagot ay para sa pagsasanay. Sa pangkalahatan, ang lahat ng gayong mga problema ay may katumbas na pormulasyon: mayroong dalawang operasyon; Paano ko magagamit ang mga ito upang makuha ang kinakailangang bagay mula sa isang ibinigay na bagay?
Para sa ilang mga tao, ang paglutas ng gayong mga problema ay tila kapana-panabik (Lubos na ipinagmamalaki ni Gauss na siya ay nakagawa ng isang regular na 17-gon gamit ang isang compass at ruler na ipinamana niya upang iukit sa kanyang monumento, bagaman ito ay marahil ang kanyang hindi gaanong kapaki-pakinabang na pagtuklas sa matematika. mula sa praktikal na pananaw). Ngunit ito ay hindi na lubos na matematika, ngunit sa halip ay isang intelektwal na laro. Kapareho ng paggawa ng mga salita mula sa mga set ng mga titik, paglutas ng mga crossword puzzle, atbp.
Samakatuwid, ang araling ito ay magiging kapaki-pakinabang para sa mga nasisiyahan sa paglutas ng mga problema sa matematika, habang ang iba ay dapat lamang na pamilyar sa ideya at prinsipyo ng paglutas ng mga problema sa konstruksiyon upang magkaroon ng pangkalahatang ideya ng gayong kasangkapan sa matematika.
Kaya, sa geometry, ang mga compass at ruler ay itinuturing na mga klasikong tool para sa pagtatayo. Ang pinuno ay may walang katapusang haba. Nangangahulugan ito na kung wala tayong sapat na haba ng ruler upang malutas ang isang partikular na problema, mayroon tayong mas mahabang ruler na magiging sapat. Ibig sabihin, hinding-hindi magiging problema sa atin ang haba ng namumuno.
Sa parehong paraan, ang distansya sa pagitan ng mga binti ng compass ay hindi magiging isang problema - maaari naming ilipat ang mga ito sa anumang distansya (kung hindi ito sapat, kumuha kami ng isang mas malaking compass). Ganun din sa papel. Maaari mong ipaliwanag ang iyong sarili kung ano ang ibig sabihin ng walang katapusang sheet ng papel, isang walang katapusang eroplano.
Mga function ng isang compass
- Magagamit natin ito upang sukatin ang anumang ibinigay na segment at i-plot ang parehong isa mula sa isang punto sa isang tuwid na linya sa anumang direksyon, ang resultang segment ay magiging katumbas ng una (tingnan ang Fig. 2).
- Maaari tayong gumuhit ng isang bilog na may sentro sa anumang ibinigay na punto at isang radius na katumbas ng anumang ibinigay na segment (tingnan ang Fig. 3).
kanin. 2. Gamit ang isang compass, maaari mong sukatin ang anumang partikular na segment at ilagay ang pareho mula sa isang punto sa isang tuwid na linya sa anumang direksyon
kanin. 3. Gamit ang isang compass, maaari kang gumuhit ng isang bilog na may sentro sa anumang partikular na punto at isang radius na katumbas ng anumang partikular na segment
Pag-andar ng ruler: inilalapat namin ang isang ruler sa dalawang ibinigay na mga punto at gumuhit ng isang tuwid na linya na dumadaan sa kanila. Maaari din tayong gumuhit ng segment o ray. Tandaan natin na sa kasong ito ay pinag-uusapan natin ang isang pinuno na walang marka (tingnan ang Fig. 4).
kanin. 4. Gamit ang isang ruler, maaari kang gumuhit ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto
Mga pangunahing konstruksyon, na hindi nagdudulot ng mga paghihirap, ngunit patuloy na kinakailangan:
- Gumuhit ng isang linya sa pamamagitan ng dalawang ibinigay na puntos.
- Gumuhit ng isang bilog ng ibinigay na radius na may sentro sa isang naibigay na punto.
- Gumuhit ng isang segment ng linya na katumbas ng ibinigay na punto sa isang tuwid na linya mula sa isang ibinigay na punto.
Lumipat tayo sa mas kawili-wiling mga konstruksyon. Ang gawaing nabanggit na ngayon ay ang paghahanap sa gitna ng isang segment. O, ano ang pareho, paghahati-hati ng isang segment.
Kaya, hayaan ang segment na ibigay. Kailangan nating makakuha ng punto na nasa gitna nito (tingnan ang Fig. 5). Sa mga problema sa konstruksyon, karaniwang makakakuha tayo ng punto bilang intersection ng mga linya, bilog, o linya na may bilog.
kanin. 5. Ang punto na nasa gitna ng segment
Gawain 1. Bumuo ng median (hanapin ang gitna ng segment).
Solusyon
Ipagpalagay natin na gusto nating makahanap ng isang punto (gitna) bilang intersection ng dalawang linya at (tingnan ang Fig. 6).
kanin. 6. Ilustrasyon para sa problema 1
Alam natin na kapag ang dalawang tuwid na linya ay nagsalubong, dalawang pares ng mga anggulo ang nabubuo. Ngunit wala kaming anumang karagdagang kundisyon - ang segment lamang kung saan hinahanap namin ang gitna. Samakatuwid, kakaibang asahan na ang tuwid na linya ay ihilig sa kaliwa o sa kanan (tingnan ang Fig. 7).
kanin. 7. Ilustrasyon para sa problema 1
Isaalang-alang natin ang paglilimita ng kaso kapag ang tuwid na linya ay patayo sa segment (tingnan ang Fig. 8).
kanin. 8. Ilustrasyon para sa problema 1
Pagkatapos ay alam natin kung ano ito perpendicular bisector sa segment. At mayroon itong mahalagang pag-aari: lahat ng mga punto nito ay katumbas ng layo mula sa mga dulo ng segment(tingnan ang Fig. 9). Gagamitin namin ang katotohanang ito sa aming pagtatayo.
kanin. 9. Ilustrasyon para sa problema 1
Upang makabuo ng isang tuwid na linya, kailangan mong makahanap ng dalawa sa mga punto nito (mas marami ang posible, mas kaunti ang hindi posible). At anumang punto ng perpendicular bisector, gaya ng nalaman namin, ay katumbas ng layo mula sa at. Bumuo tayo ng dalawang ganoong magkapantay na distansya (tingnan ang Fig. 10).
kanin. 10. Ilustrasyon para sa problema 1
Gumuhit tayo ng dalawang bilog ng parehong radius na may mga sentro sa mga punto at . Ang radii ay dapat kunin nang sapat na malaki upang ang mga bilog ay magsalubong (tingnan ang Fig. 11) (madaling mahanap na ang radius ay dapat na higit sa kalahati ng haba ng segment; upang ang kundisyong ito ay tumpak na matugunan, maaari mong gumuhit ng mga bilog na may radius na katumbas ng haba ng segment).
kanin. 11. Ilustrasyon para sa problema 1
Ang mga intersection point ay nabibilang sa parehong mga bilog, iyon ay, sila ay inalis mula sa at sa mga distansya na katumbas ng radii ng mga bilog. Ngunit ang kanilang radii ay pantay.
Nangangahulugan ito na ang mga puntos at ay katumbas ng layo mula sa at (tingnan ang Fig. 12). Nangangahulugan ito na kabilang sila sa perpendicular bisector. Ang natitira na lang ay ikonekta ang mga ito at hanapin ang punto ng intersection at . Ito ang puntong hinahanap natin (tingnan ang Fig. 13).
kanin. 12. Ilustrasyon para sa problema 1
kanin. 13. Ilustrasyon para sa problema 1
Ang problema ay nalutas.
Gawain 2. Gumuhit ng patayo sa isang linya sa isang naibigay na punto
Solusyon
Hayaang markahan ang isang punto sa tuwid na linya (tingnan ang Fig. 14). Kailangan mong gumuhit ng patayo sa puntong ito sa linyang ito. O, gaya ng sinasabi nila, "ibalik" ang patayo sa linya sa isang naibigay na punto.
kanin. 14. Ilustrasyon para sa problema 2
Bawasan natin ang problema sa nauna - alam na natin kung paano bumuo ng isang patayo sa gitna ng segment. Nangangahulugan ito na kailangan mong bumuo ng isang segment sa tuwid na linyang ito, kung saan ang punto ay ang midpoint.
Gumuhit ng bilog ng arbitrary radius na may sentro sa . Nakukuha namin ang dalawang punto ng intersection ng bilog at ang tuwid na linya - at (tingnan ang Fig. 15).
kanin. 15. Ilustrasyon para sa problema 2
Ngayon ang problema ay nabawasan sa isang katumbas na isa - upang bumuo ng patayo bisector sa segment. Alam na natin kung paano lutasin ang problemang ito, ibig sabihin, nalutas na ang orihinal na problema.
Ang problema ay nalutas.
Kaya, alam namin kung paano bumuo ng isang median (hanapin ang gitna ng isang segment) at ibalik ang patayo sa linya sa isang naibigay na punto. Paano bumuo ng isang taas o, ano ang parehong bagay, ibaba ang isang patayo sa isang tuwid na linya mula sa isang punto na hindi kabilang dito?
Gawain 3. Bumuo ng taas (maghulog ng patayo sa isang linya mula sa isang puntong hindi kabilang dito).
Solusyon
Muli nating gamitin ang isang tool na alam natin - paggawa ng perpendicular bisector. Kaya, hayaang magkaroon ng isang tuwid na linya at isang punto na hindi nakahiga dito (tingnan ang Fig. 16). Ito ay kinakailangan upang gumuhit ng isang patayo mula sa isang punto hanggang sa isang linya.
kanin. 16. Ilustrasyon para sa problema 3
Gumuhit tayo ng isang bilog na may sentro sa isang punto at sapat na radius para sa bilog na ito na bumalandra sa tuwid na linya. Sa ganitong mga kaso, ang buong bilog ay karaniwang hindi iginuhit, ngunit isang bahagi lamang nito, isang arko, upang makuha ang mga intersection point. Nakakuha din kami ng mga puntos sa tuwid na linya (tingnan ang Fig. 17).
kanin. 17. Ilustrasyon para sa problema 3
Bakit natin sila kailangan? Malinaw, ito ay katumbas ng distansya mula sa parehong mga puntong ito (ang distansya ay katumbas ng radius ng bilog) (tingnan ang Fig. 18).
kanin. 18. Ilustrasyon para sa problema 3
Ngunit ang ibig sabihin nito ay nasa perpendicular bisector ng segment . At muli nakatanggap kami ng katumbas na pormulasyon ng problema: bumuo ng patayo na bisector sa segment (ito ay dadaan sa punto, at dahil isang patayo lamang sa linya ang maaaring makuha mula sa punto, ito ang kinakailangan). At alam namin kung paano ito itatayo.
Maaari mong gamitin ang katotohanan na ang punto ay nasa perpendicular bisector at bumuo ng mga bilog na may parehong radius (tingnan ang Fig. 19). O maaari kang bumuo ng dalawang bilog na magkaibang radius, hindi mahalaga. Ang pangunahing bagay ay maaari nating itayo ang perpendicular bisector na ito, at ito ang ating hinahanap (tingnan ang Fig. 20).
kanin. 19. Ilustrasyon para sa problema 3
kanin. 20. Ilustrasyon para sa problema 3
Ang problema ay nalutas.
Ang tatlong gawaing ito ay halos magkatulad. Sa una, gumawa kami ng perpendicular bisector sa isang kasalukuyang segment. Sa iba pang dalawa, nagtayo kami ng isang segment upang ang isang naibigay na punto ay nakahiga sa patayo na bisector, at pagkatapos ay muling itinayo ang patayo mismo. Pakitandaan na natutunan namin kung paano bumuo ng perpendicular bisector, taas at median. Pag-uusapan natin ang tungkol sa pagbuo ng ikaapat na kahanga-hangang linya sa isang tatsulok, ang bisector, mamaya.
Natutunan namin kung paano bumuo ng isang linya patayo sa isang ibinigay na isa. Posible bang bumuo ng isang tuwid na linya parallel sa isang ibinigay na isa gamit ang isang compass at ruler?
Gawain 4. Bumuo ng isang linya parallel sa ibinigay na isa.
Solusyon
Hayaang magkaroon ng isang tuwid na linya at isang punto na hindi nakahiga dito (tingnan ang Fig. 21). Ito ay kinakailangan upang gumuhit ng isang linya parallel sa linya sa pamamagitan ng isang punto. Bawasan natin muli ang problema sa mga nauna, gamit tanda ng paralelismo ng mga linya: kung ang dalawang linya ay patayo sa isang pangatlo, kung gayon sila ay parallel.
kanin. 21. Ilustrasyon para sa problema 4
I-drop natin ang isang patayo mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya (alam natin kung paano gawin ito) (tingnan ang Fig. 22), at pagkatapos ay gumuhit ng isa pang patayo sa pamamagitan ng punto patungo sa katatapos lamang na tuwid na linya (alam din natin kung paano gawin ito) ( tingnan ang Fig. 23). Bilang resulta, nakukuha namin ang ninanais na tuwid na linya (dumadaan at kahanay).
kanin. 22. Ilustrasyon para sa problema 4
kanin. 23. Ilustrasyon para sa problema 4
Ang katotohanan na maaari lamang magkaroon ng isang tuwid na linya ay ginagarantiyahan sa amin Ang ikalimang postulate ni Euclid: sa pamamagitan ng isang puntong hindi nakahiga sa isang linya, isang tuwid na linya lamang ang maaaring iguhit na kahanay sa ibinigay na isa.
Ang problema ay nalutas.
Ngayon ay maaari tayong bumalik sa problema sa paghahati ng segment. Alam na natin kung paano hatiin ang isang segment sa dalawang pantay na bahagi. Paano ang higit pang mga bahagi? Ito ay malinaw na sa apat na bahagi ito ay hinahati, at pagkatapos ay ang bawat bahagi ay hinahati muli. Paano kung 3 o 7?
Napag-aralan na natin ang problemang ito Teorama ni Thales. Paalalahanan natin siya pananalita: kung ang magkatulad na mga linya ay pumutol ng pantay na mga segment sa isang gilid ng isang anggulo, pagkatapos ay pinuputol nila ang pantay na mga segment sa kabilang panig. Ang theorem na ito ay maaaring gamitin upang hatiin ang isang segment sa anumang bilang ng mga pantay na bahagi.
Gawain 5. Hatiin ang segment sa 7 pantay na bahagi.
Solusyon
Ipagpalagay na kailangan mong hatiin ang isang segment sa 7 pantay na bahagi. Upang gawin ito, gumuhit ng isang sinag mula sa punto na hindi nag-tutugma sa (tingnan ang Fig. 24).
kanin. 24. Ilustrasyon para sa problema 5
Markahan natin ang mga punto dito sa pantay na distansya (tingnan ang Fig. 25).
kanin. 25. Ilustrasyon para sa problema 5
Kumonekta tayo at (tingnan ang Fig. 26).
kanin. 26. Ilustrasyon para sa problema 5
Sa pamamagitan ng natitirang 6 na puntos ay gumuhit kami ng mga tuwid na linya na parallel (natutunan lang namin kung paano gawin ito). Dahil sa isang bahagi ng anggulo ang mga segment ay pantay, kung gayon, ayon sa teorama ni Thales, sila ay pantay sa kabilang panig (tingnan ang Fig. 27).
kanin. 27. Ilustrasyon para sa problema 5
Ang problema ay nalutas.
Kaya, alam na natin kung paano:
- buuin ang perpendicular bisector sa isang segment;
- hatiin ang isang segment sa kalahati gamit ang isang perpendicular bisector;
- hatiin ang isang segment sa isang arbitrary na bilang ng mga pantay na bahagi gamit ang teorema ni Thales;
- bumuo ng isang patayo sa isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto (at ang punto ay maaaring nasa linya at sa labas nito);
- bumuo ng isang parallel na linya sa pamamagitan ng isang punto na hindi nakahiga sa isang naibigay na linya.
Ang mga pangunahing elemento ng polygons ay mga segment at anggulo. Marami na kaming natutunan sa mga segment. Pag-usapan natin ang mga anggulo.
Ang unang gawain na mayroon tayo ay bumuo ng isang anggulo na katumbas ng ibinigay. Para sa mga segment, ang isang katulad na problema ay direktang nalutas gamit ang isang compass. Ang mga sulok ay medyo mas mahirap.
Gawain 6. Magbawas ng isang anggulo mula sa sinag na katumbas ng ibinigay.
Solusyon
Kadalasan kailangan namin ng pantay na anggulo hindi sa isang arbitrary na lugar, ngunit sa isang tiyak, ibig sabihin, ang isa sa mga panig nito ay kilala na. Sa kasong ito, ang problema ay nabuo tulad ng sumusunod: magtabi ng isang anggulo mula sa sinag na katumbas ng ibinigay.
Kaya, narito ang sulok na may vertex (tingnan ang Fig. 28). Ang mga sinag ay ang mga gilid nito.
kanin. 28. Ilustrasyon para sa problema 6
Mayroong isang sinag na may tuktok (tingnan ang Fig. 29). Kinakailangan na magtabi ng isang anggulo mula sa sinag na ito na katumbas ng unang anggulo.
kanin. 29. Ilustrasyon para sa problema 6
Karaniwan kaming nakatagpo ng pantay na mga anggulo kapag pinatutunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok. Gamitin natin ang ideyang ito "sa kabaligtaran" - gagawa tayo ng mga pantay na tatsulok na may mga anggulo sa vertices at, mula sa kanilang pagkakapantay-pantay, patunayan natin ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo.
Mula sa isang punto gumuhit kami ng isang bilog ng di-makatwirang radius. Nakakakuha kami ng mga puntos sa mga gilid ng anggulo at isang tatsulok (tingnan ang Fig. 30).
kanin. 30. Ilustrasyon para sa problema 6
Bumuo tayo ng isang tatsulok na katumbas ng . Sa parehong radius gumuhit kami ng isang bilog mula sa . Nakakakuha tayo ng punto (tingnan ang Fig. 31).
kanin. 31. Ilustrasyon para sa problema 6
Sa unang tatsulok, "sinusukat" namin ang isang segment na may compass at gumuhit ng bilog mula sa punto na may ganitong radius. Nakukuha namin ang punto ng intersection ng dalawang bilog - (tingnan ang Fig. 32).
kanin. 32. Ilustrasyon para sa problema 6
Ihambing natin ang dalawang nagresultang tatsulok (tingnan ang Fig. 33).
kanin. 33. Ilustrasyon para sa problema 6
(lahat ito ay pantay na radii ng dalawang bilog)
(ang punto ay nasa isang bilog na may radius na katumbas ng )
Ito ay lumiliko na ang mga tatsulok ay pantay sa tatlong panig (ang ikatlong tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok). Nangangahulugan ito na ang mga anggulo na kailangan natin ay pantay.
Ang problema ay nalutas.
Bakit ka nakakuha ng dalawang tuldok??
Kung ang dalawang bilog ay nagsalubong, pagkatapos ay sa dalawang punto (tingnan ang Fig. 34). Pinili namin ang isa lamang upang bumuo ng anggulo. Bakit hindi namin nagustuhan ang pangalawa?
kanin. 34. Dalawang bilog na nagsalubong sa mga punto at
Ang katotohanan ay hindi sinabi ng kundisyon kung aling direksyon mula sa isang naibigay na sinag ang isang pantay na anggulo ay dapat ilagay (maaari itong gawin nang pakanan o pakaliwa). Alinsunod dito, posible na bumuo ng dalawang anggulo na nakakatugon sa kondisyong ito (tingnan ang Fig. 35). Kami ay random na pumili ng isa sa kanila. Ngunit ang pangalawa ay hindi mas masahol pa, maaari mong piliin ito (depende ito sa mga karagdagang kondisyon).
kanin. 35. Dalawang pantay na anggulo, clockwise at counterclockwise mula sa isang naibigay na ray
Upang matukoy kung gaano karaming mga solusyon ang isang problema sa konstruksiyon, isang yugto ng pananaliksik ay karaniwang isinasagawa. Pag-uusapan pa natin ito sa pagtatapos ng aralin.
Ang gawain ng pagbuo ng isang median ay nabawasan sa paghahati ng segment sa kalahati. Upang makagawa ng isang bisector, kailangan mong matutunan kung paano hatiin ang isang anggulo sa kalahati.
Gawain 7. Bumuo ng bisector (hatiin ang anggulo sa kalahati).
Solusyon
Isaalang-alang natin ang isang anggulo na may vertex sa isang punto (tingnan ang Fig. 36). Bumuo tayo muli ng dalawang pantay na tatsulok upang makakuha ng pantay na mga anggulo.
kanin. 36. Ilustrasyon para sa problema 7
Gumuhit tayo ng bilog na may di-makatwirang radius na ang sentro nito sa punto. Kumuha kami ng mga puntos at sa mga gilid ng anggulo, kung saan (tingnan ang Fig. 37).
kanin. 37. Ilustrasyon para sa problema 7
Mula sa mga punto ay gumuhit kami ng isa pang bilog na may pantay na radius (maaari itong pareho, maaari itong magkakaiba). Ang intersection ng mga bilog ay magbibigay ng isang punto (tingnan ang Fig. 38). Magkakaroon ng dalawang puntos, ngunit maaari kang pumili ng anuman; kung gumuhit ka ng mga bilog na may parehong radius tulad ng sa unang hakbang, kung gayon ang pangalawang punto ay magkakasabay - walang pagpipilian.
kanin. 38. Ilustrasyon para sa problema 7
Nakukuha namin iyon. Ikonekta natin ang mga tuldok at (tingnan ang Fig. 39).
kanin. 39. Ilustrasyon para sa problema 7
Ang dalawang resultang tatsulok ay pantay. Bakit, sagutin mo ang sarili mo. Well, dahil sila ay pantay, kung gayon ang mga anggulo ay pantay 
, - bisector.
Ang problema ay nalutas.
Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa paghahati ng isang segment, gusto kong agad na magpatuloy sa paghahati ng anggulo sa isang di-makatwirang pantay na bilang ng mga bahagi. Muli, malinaw kung paano hatiin ang anggulo sa , atbp. na mga bahagi. Posible bang hatiin ang isang anggulo sa tatlong pantay na bahagi gamit ang isang compass at ruler? Higit pang mga detalye tungkol dito sa ibaba.
Paghahati ng isang anggulo sa tatlong bahagi
Lumalabas na ang paghahati ng isang anggulo sa pangkalahatang kaso sa tatlong pantay na bahagi ay hindi maaaring gawin gamit lamang ang isang compass at isang ruler. Ano ang ibig sabihin ng "sa pangkalahatan"? Para sa ilang mga espesyal na kaso, halimbawa, para sa isang tamang anggulo, ang problema ay maaaring malutas: maaari kang gumawa lamang ng isang anggulo na katumbas ng (gamit ang pag-aari ng isang tamang tatsulok - isang binti na nasa tapat ng anggulo ng 2 beses na mas mababa kaysa sa hypotenuse) .
Ngunit pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang di-makatwirang anggulo (ang sukat ng antas na hindi natin alam nang maaga). Sa kasong ito, ang problema ay hindi nalutas. Ang gawaing ito ay tinatawag problema sa trisection ng anggulo. At hindi lamang ito ang problema sa pagtatayo na hindi malulutas sa isang compass at isang ruler (tandaan: ang paghahati ng isang anggulo sa tatlong bahagi ay karaniwang hindi mahirap sa prinsipyo - kumuha lamang ng isang protractor).
Ang isang halimbawa ng isa pang sikat na hindi malulutas na problema ay pag-squaring ng problema sa bilog. Nangangailangan ito ng pagtatayo ng isang parisukat na ang lugar ay magiging katumbas ng lugar ng ibinigay na bilog. Kung kukuha tayo ng isang bilog na radius 1, ang problema ay bumababa sa paggawa ng isang parisukat na may gilid na katumbas ng . Lumalabas na hindi rin ito malulutas gamit ang isang compass at isang ruler.
Mangyaring tandaan na ito ay hindi tungkol sa katotohanan na sa sandaling ito ay hindi nila naisip kung paano ito gagawin, ngunit napatunayan nila na hindi ito magagawa. Ibig sabihin, napatunayan nila na kahit anong pilit nilang gumamit ng compass at ruler, hindi mareresolba ang mga problemang ito.
Ngayon magsanay sa iyong sarili. Bumuo ng isang tatsulok na may tatlong panig. Bibigyan ka ng tatlong segment (tingnan ang Fig. 40).
kanin. 40. Mga segment ng data
Bumuo ng isang tatsulok na ang mga gilid ay katumbas ng tatlong segment na ito. Ang solusyon ay matatagpuan sa ibaba.
Pagbuo ng isang tatsulok gamit ang tatlong panig
Gawain. Bumuo ng isang tatsulok sa tatlong panig (tingnan ang Fig. 41).
kanin. 41. Ilustrasyon para sa problema
Solusyon
Upang magsimula sa isang lugar, gumuhit tayo ng isang di-makatwirang tuwid na linya at i-plot ang unang bahagi ng tatsulok dito (tingnan ang Fig. 42). Hindi mahalaga kung aling panig ang una mong kukunin, hayaan itong maging panig.
kanin. 42. Ilustrasyon para sa problema
Mula sa mga dulo ng naantalang segment gumuhit kami ng dalawang bilog na may radii at . Ang intersection ng mga bilog ay magbibigay sa amin ng ikatlong punto (tingnan ang Fig. 43).
kanin. 43. Ilustrasyon para sa problema
Mayroong dalawang intersection point - maaari kang pumili ng alinman; buuin ang parehong mga bersyon ng mga tatsulok at siguraduhin na ang mga ito ay ang parehong mga tatsulok, simetriko sa bawat isa na may kaugnayan sa tuwid na linya (tingnan ang Fig. 44).
kanin. 44. Ilustrasyon para sa problema
Ang tuktok ay nasa tapat ng gilid A karaniwang tinutukoy . Kumonekta sa mga dulo ng segment sa isang tuwid na linya. Malinaw, ang mga gilid ng nagresultang tatsulok ay katumbas ng ibinigay na tatlong mga segment. Ito ay nananatiling kilalanin ang dalawang natitirang vertex. Sa tapat ng gilid ay ang tuktok, sa tapat ng gilid ay ang tuktok (tingnan ang Fig. 45).
Tulong! Ibinigay nila ito sa aking apo. Gumamit ng compass upang bumuo ng isang regular na tatsulok.
- Sa isang tuwid na linya, markahan ang isang segment na may isang tiyak na solusyon sa compass at gumuhit ng mga arko mula sa magkabilang dulo na may parehong solusyon. Ang mga arko na ito ay magsalubong. Ito ang ikatlong tuktok ng iyong tatsulok.
- Gumuhit ng bilog. Markahan ang isang punto sa bilog (hayaan itong maging A). Mula sa puntong ito kasama ang bilog sa parehong direksyon, sukatin ang 2 radii. Ikonekta ang nagresultang 3 tuldok
- Gumuhit ng isang bilog at, na may parehong radius, hatiin ito sa 6 na bahagi (maglagay ng 6 na puntos), pagkatapos ay ikonekta ang tatlong puntos (sa pamamagitan ng isa) na may mga tuwid na linya.
- Una, bumuo ng isang segment na may haba na katumbas ng haba ng hinaharap na tatsulok.
Pagkatapos ay buksan ang compass sa haba ng segment na ito at, paglalagay ng dulo ng compass sa simula ng segment, gumuhit ng bilog.
Maglagay ng compass sa kabilang dulo ng segment at gumuhit ng isa pang bilog.
Magsasalubong ang mga bilog sa dalawang punto - sa itaas at ibaba ng segment. Sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga dulo ng segment sa isa sa mga puntong ito, makakakuha ka ng regular (equilateral triangle). - ru.wikibooks.org/wiki/.../Construction_regular_triangle
- gumuhit ng bilog, pagkatapos ay ilagay ang karayom sa bilog at gumawa ng dalawang bingaw sa mga linya, pagkatapos ay muling ayusin ang compass upang maglagay ka ng lapis sa bingaw, at ilipat ang karayom nang higit pa at gawin ang susunod na bingaw... kaya ikonekta ang tatlo. serifs... nakakakuha ka ng regular na tatsulok. .
- Hatiin ang bilog sa 4 na pantay na bahagi. Ilagay ang binti ng compass sa pinakamababang punto at gumuhit ng pangalawang bilog na may parehong radius. Nakakuha kami ng dalawang punto ng intersection - ito ay dalawang punto ng tatsulok. Ang ikatlong punto ay nasa pinakamataas na punto ng unang bilog. Kumonekta kami, nakukuha namin)
http://nacherchy.ru/postroenie_pravilnich_mnogougolnikov.html
Figure 61 upang makatulong - 1) Sa isang tuwid na linya, gumamit ng compass upang markahan ang isang segment na may di-makatwirang haba
2) mula sa isang dulo ng segment, gamit ang isang compass na bukas sa haba ng minarkahang segment, gumuhit ng isang arko (sapat na ang haba)
3) gawin ang parehong mula sa kabilang dulo ng segment
4) ang mga arko ay magsalubong
5) ikonekta ang intersection point sa mga dulo ng segment
6) dito mayroon kaming isang equilateral triangle - tama