Vēl viena darbība, ko var veikt ar parastajām daļām, ir reizināšana. Mēs centīsimies izskaidrot tās pamatnoteikumus, risinot uzdevumus, parādīsim, kā parasto daļskaitli reizina ar naturālu skaitli un kā pareizi reizināt trīs parastās daļskaitļus vai vairāk.
Vispirms pierakstīsim pamatnoteikumu:
1. definīcija
Ja mēs reizinām vienu parasto daļskaitli, tad iegūtās daļas skaitītājs būs vienāds ar sākotnējo daļu skaitītāju reizinājumu, un saucējs būs vienāds ar to saucēju reizinājumu. Burtiskā formā divām daļām a / b un c / d to var izteikt kā a b · c d = a · c b · d.
Apskatīsim piemēru, kā pareizi piemērot šo noteikumu. Pieņemsim, ka mums ir kvadrāts, kura mala ir vienāda ar vienu skaitlisko vienību. Tad figūras laukums būs 1 kvadrāts. vienība. Ja kvadrātu sadalām vienādos taisnstūros, kuru malas ir vienādas ar 1 4 un 1 8 skaitliskām vienībām, mēs iegūstam, ka tagad tas sastāv no 32 taisnstūriem (jo 8 4 = 32). Attiecīgi katras no tām laukums būs vienāds ar 1 32 no visas figūras laukuma, t.i. 132 kv. vienības.
Mums ir iekrāsots fragments, kura malas ir vienādas ar 5 8 ciparu vienībām un 3 4 ciparu vienībām. Attiecīgi, lai aprēķinātu tā laukumu, pirmā daļa jāreizina ar otro. Tas būs vienāds ar 5 8 · 3 4 kv. vienības. Bet mēs varam vienkārši saskaitīt, cik taisnstūri ir iekļauti fragmentā: to ir 15, kas nozīmē, ka kopējā platība ir 15 32 kvadrātvienības.
Tā kā 5 3 = 15 un 8 4 = 32, mēs varam uzrakstīt šādu vienādību:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Tas apstiprina mūsu formulēto noteikumu parasto daļskaitļu reizināšanai, kas tiek izteikts kā a b · c d = a · c b · d. Tas darbojas vienādi gan pareizajām, gan nepareizajām frakcijām; To var izmantot daļskaitļu reizināšanai gan ar dažādiem, gan identiskiem saucējiem.
Apskatīsim risinājumus vairākām problēmām, kas saistītas ar parasto daļskaitļu reizināšanu.
1. piemērs
Reiziniet 7 11 ar 9 8.
Risinājums
Vispirms aprēķināsim norādīto daļu skaitītāju reizinājumu, reizinot 7 ar 9. Mums ir 63. Tad mēs aprēķinām saucēju reizinājumu un iegūstam: 11 · 8 = 88. Sastādām divus skaitļus, un atbilde ir: 63 88.
Visu risinājumu var uzrakstīt šādi:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Atbilde: 7 11 · 9 8 = 63 88.
Ja atbildē mēs iegūstam reducējamu daļu, mums ir jāpabeidz aprēķins un jāveic tā samazināšana. Ja mēs iegūstam nepareizu daļu, mums ir jāatdala visa daļa no tās.
2. piemērs
Aprēķināt frakciju reizinājumu 4 15 un 55 6 .
Risinājums
Saskaņā ar iepriekš pētīto noteikumu mums jāreizina skaitītājs ar skaitītāju un saucējs ar saucēju. Risinājuma ieraksts izskatīsies šādi:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Mēs saņēmām reducējamu daļu, t.i. tāds, kas dalās ar 10.
Samazināsim daļu: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Rezultātā mēs iegūstam nepareizu daļskaitli, no kuras mēs atlasām visu daļu un iegūstam jauktu skaitli: 22 9 = 2 4 9.
Atbilde: 4 15 55 6 = 2 4 9.
Aprēķinu atvieglošanai mēs varam arī samazināt sākotnējās daļskaitļus pirms reizināšanas darbības veikšanas, kam mums ir jāsamazina daļa līdz formai a · c b · d. Sadalīsim mainīgo lielumus vienkāršos faktoros un samazinīsim tos pašus.
Paskaidrosim, kā tas izskatās, izmantojot datus no konkrēta uzdevuma.
3. piemērs
Aprēķiniet produktu 4 15 55 6.
Risinājums
Pierakstīsim aprēķinus, pamatojoties uz reizināšanas likumu. Mēs iegūsim:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Tā kā 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 un 6 = 2 3, tad 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Atbilde: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .
Skaitliskā izteiksme, kurā notiek parasto daļskaitļu reizināšana, ir komutatīva īpašība, tas ir, ja nepieciešams, mēs varam mainīt faktoru secību:
a b · c d = c d · a b = a · c b · d
Kā reizināt daļskaitli ar naturālu skaitli
Uzreiz pierakstīsim pamatnoteikumu un tad mēģināsim to izskaidrot praksē.
2. definīcija
Lai parasto daļskaitli reizinātu ar naturālu skaitli, šīs daļas skaitītājs jāreizina ar šo skaitli. Šajā gadījumā galīgās daļas saucējs būs vienāds ar sākotnējās parastās daļas saucēju. Noteiktas daļdaļas a b reizinājumu ar naturālu skaitli n var uzrakstīt kā formulu a b · n = a · n b.
Šo formulu ir viegli saprast, ja atceraties, ka jebkuru naturālu skaitli var attēlot kā parastu daļskaitli ar saucēju, kas vienāds ar vienu, tas ir:
a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b
Izskaidrosim savu ideju ar konkrētiem piemēriem.
4. piemērs
Aprēķiniet reizinājumu 2 27 reizes 5.
Risinājums
Reizinot sākotnējās daļas skaitītāju ar otro koeficientu, mēs iegūstam 10. Saskaņā ar iepriekš minēto noteikumu mēs saņemsim 10 27. Viss risinājums ir sniegts šajā rakstā:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Atbilde: 2 27 5 = 10 27
Kad mēs reizinām naturālu skaitli ar daļskaitli, rezultāts bieži ir jāsaīsina vai jāattēlo kā jaukts skaitlis.
5. piemērs
Nosacījums: aprēķiniet reizinājumu 8 ar 5 12.
Risinājums
Saskaņā ar iepriekš minēto noteikumu mēs reizinām naturālo skaitli ar skaitītāju. Rezultātā mēs iegūstam, ka 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Galīgajai daļai ir dalāmības ar 2 pazīmes, tāpēc mums tas jāsamazina:
LCM (40, 12) = 4, tātad 40 12 = 40:4 12:4 = 10 3
Tagad mums atliek tikai atlasīt visu daļu un pierakstīt gatavu atbildi: 10 3 = 3 1 3.
Šajā ierakstā varat redzēt visu risinājumu: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
Mēs varētu arī samazināt daļskaitli, ieskaitot skaitītāju un saucēju primārajos faktoros, un rezultāts būtu tieši tāds pats.
Atbilde: 5 12 8 = 3 1 3.
Skaitliskajai izteiksmei, kurā naturāls skaitlis tiek reizināts ar daļskaitli, ir arī pārvietošanās īpašība, tas ir, faktoru secība neietekmē rezultātu:
a b · n = n · a b = a · n b
Kā reizināt trīs vai vairāk parastās daļskaitļus
Mēs varam attiecināt uz parasto daļskaitļu reizināšanas darbību tās pašas īpašības, kas raksturīgas naturālo skaitļu reizināšanai. Tas izriet no pašas šo jēdzienu definīcijas.
Pateicoties zināšanām par kombinēšanas un komutācijas īpašībām, jūs varat reizināt trīs vai vairākas parastās frakcijas. Ir pieļaujams pārkārtot faktorus lielākas ērtības labad vai sakārtot iekavas tā, lai būtu vieglāk saskaitīt.
Parādīsim ar piemēru, kā tas tiek darīts.
6. piemērs
Reiziniet četras parastās daļskaitļus 1 20, 12 5, 3 7 un 5 8.
Risinājums: Vispirms ierakstīsim darbu. Mēs iegūstam 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Mums jāreizina visi skaitītāji un visi saucēji kopā: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .
Pirms sākam reizināt, mēs varam nedaudz atvieglot situāciju un iekļaut dažus skaitļus galvenajos faktoros turpmākai samazināšanai. Tas būs vieglāk nekā samazināt iegūto frakciju, kas jau ir gatava.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
Atbilde: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9280.
7. piemērs
Sareiziniet 5 skaitļus 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .
Risinājums
Ērtības labad mēs varam grupēt daļu 7 8 ar skaitli 8 un skaitli 12 — ar daļskaitli 5 36, jo turpmākie saīsinājumi mums būs acīmredzami. Rezultātā mēs iegūsim:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 = 5 31 6 3 2 3
Atbilde: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Vidusskolas un vidusskolas kursos studenti aptvēra tēmu “Daļskaitļi”. Tomēr šis jēdziens ir daudz plašāks par mācību procesā doto. Mūsdienās ar daļskaitļa jēdzienu saskaras diezgan bieži, un ne visi var aprēķināt jebkuru izteiksmi, piemēram, reizināt daļskaitļus.
Kas ir daļa?
Tas notika vēsturiski daļskaitļi radās no nepieciešamības izmērīt. Kā liecina prakse, bieži vien ir piemēri segmenta garuma un taisnstūra taisnstūra tilpuma noteikšanai.
Sākotnēji skolēni tiek iepazīstināti ar akcijas jēdzienu. Piemēram, ja jūs sadalāt arbūzu 8 daļās, tad katrs saņems vienu astoto daļu no arbūza. Šo vienu daļu no astoņām sauc par akciju.
Daļu, kas vienāda ar ½ no jebkuras vērtības, sauc par pusi; ⅓ - trešais; ¼ - ceturtdaļa. Ierakstus formā 5/8, 4/5, 2/4 sauc par parastajām daļām. Kopējo daļskaitli iedala skaitītājā un saucējā. Starp tiem ir frakciju josla vai frakciju josla. Daļējo līniju var novilkt kā horizontālu vai slīpu līniju. IN šajā gadījumā tas apzīmē dalījuma zīmi.
Saucējs norāda, cik vienādās daļās daudzums vai objekts ir sadalīts; un skaitītājs ir identisku akciju skaits. Skaitītājs ir rakstīts virs daļskaitļa līnijas, saucējs ir rakstīts zem tās.
Visērtāk ir parādīt parastās daļskaitļus koordinātu starā. Ja vienības segments ir sadalīts 4 vienādās daļās, marķējiet katru daļu Latīņu burts, tad rezultāts var būt lielisks vizuālais materiāls. Tātad punkts A parāda daļu, kas vienāda ar 1/4 no visa vienības segmenta, un punkts B atzīmē 2/8 no noteiktā segmenta.
Frakciju veidi
Daļskaitļi var būt parastie, decimālskaitļi un jaukti skaitļi. Turklāt frakcijas var iedalīt pareizās un nepareizās. Šī klasifikācija ir vairāk piemērota parastajām frakcijām.
Pareiza daļa ir skaitlis, kura skaitītājs ir mazāks par saucēju. Attiecīgi nepareiza daļa ir skaitlis, kura skaitītājs ir lielāks par tā saucēju. Otro veidu parasti raksta kā jauktu skaitli. Šī izteiksme sastāv no vesela skaitļa un daļējas daļas. Piemēram, 1½. 1 - visa daļa, ½ - daļskaitlis. Tomēr, ja jums ir jāveic dažas manipulācijas ar izteiksmi (dalot vai reizinot daļskaitļus, samazinot vai pārvēršot tos), jauktais skaitlis tiek pārveidots par nepareizu daļu.
Pareiza daļskaitļa izteiksme vienmēr ir mazāka par vienu, bet nepareiza vienmēr ir lielāka vai vienāda ar 1.
Runājot par šo izteiksmi, mēs domājam ierakstu, kurā ir attēlots jebkurš skaitlis, kura daļskaitļa saucēju var izteikt ar vienu ar vairākām nullēm. Ja daļa ir pareiza, tad veselā skaitļa daļa decimāldaļās būs vienāda ar nulli.
Lai uzrakstītu decimāldaļu, vispirms ir jāuzraksta visa daļa, jāatdala tā no daļskaitļa, izmantojot komatu, un pēc tam jāieraksta daļskaitļa izteiksme. Jāatceras, ka aiz komata skaitītājā jāsatur tikpat daudz ciparu rakstzīmju, cik saucējā ir nulles.
Piemērs. Izsakiet daļu 7 21/1000 decimāldaļās.
Algoritms nepareizas daļskaitļa pārvēršanai par jauktu skaitli un otrādi
Uzdevuma atbildē ir nepareizi uzrakstīt nepareizu daļskaitli, tāpēc tas ir jāpārvērš par jauktu skaitli:
- dalīt skaitītāju ar esošo saucēju;
- V konkrēts piemērs nepilnīgs koeficients - vesels;
- un atlikums ir daļdaļas skaitītājs, un saucējs paliek nemainīgs.
Piemērs. Pārvērst nepareizo daļskaitli uz jauktu skaitli: 47/5.
Risinājums. 47: 5. Daļējais koeficients ir 9, atlikums = 2. Tātad, 47 / 5 = 9 2 / 5.
Dažreiz jaukts skaitlis ir jāattēlo kā nepareiza daļskaitļa. Tad jums jāizmanto šāds algoritms:
- veselo skaitļu daļu reizina ar daļskaitļa izteiksmes saucēju;
- iegūto reizinājumu pievieno skaitītājam;
- rezultāts tiek ierakstīts skaitītājā, saucējs paliek nemainīgs.
Piemērs. Attēlojiet skaitli jaukta forma kā nepareiza daļa: 9 8/10.
Risinājums. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 ir skaitītājs.
Atbilde: 98 / 10.
Daļskaitļu reizināšana
Ar parastajām daļām var veikt dažādas algebriskas darbības. Lai reizinātu divus skaitļus, jums jāreizina skaitītājs ar skaitītāju un saucējs ar saucēju. Turklāt daļskaitļu reizināšana ar dažādiem saucējiem neatšķiras no daļskaitļu reizināšanas ar vienādiem saucējiem.
Gadās, ka pēc rezultāta atrašanas jums ir jāsamazina daļa. Rezultātā iegūtā izteiksme ir obligāti jāvienkāršo, cik vien iespējams. Protams, nevar teikt, ka nepareiza daļdaļa atbildē ir kļūda, taču arī to ir grūti nosaukt par pareizu atbildi.
Piemērs. Atrodiet divu parasto daļu reizinājumu: ½ un 20/18.
Kā redzams no piemēra, pēc produkta atrašanas tika iegūts reducējams daļskaitļu apzīmējums. Gan skaitītājs, gan saucējs šajā gadījumā tiek dalīti ar 4, un rezultāts ir atbilde 5/9.
Decimāldaļu reizināšana
Decimāldaļskaitļu reizinājums savā principā ir diezgan atšķirīgs no parasto daļskaitļu reizinājuma. Tātad daļskaitļu reizināšana ir šāda:
- divas decimāldaļas ir jāraksta viens zem otra tā, lai galēji labās puses cipari būtu viens zem otra;
- rakstītie skaitļi jāreizina, neskatoties uz komatiem, tas ir, kā naturāli skaitļi;
- saskaitīt ciparu skaitu aiz komata katrā ciparā;
- pēc reizināšanas iegūtajā rezultātā no labās puses jāskaita tik daudz ciparu simbolu, kas ir ietverts summā abos faktoros aiz komata, un jāliek atdalošā zīme;
- ja produktā ir mazāk skaitļu, tad tiem priekšā jāraksta tik nulles, lai šis skaitlis aptvertu, jāliek komats un jāpievieno visa daļa, kas vienāda ar nulli.
Piemērs. Aprēķina divu decimāldaļu reizinājumu: 2,25 un 3,6.
Risinājums.
Jaukto frakciju reizināšana
Lai aprēķinātu divu jauktu frakciju reizinājumu, jums jāizmanto frakciju reizināšanas noteikums:
- pārvērst jauktos skaitļus nepareizās daļskaitļos;
- atrast skaitītāju reizinājumu;
- atrast saucēju reizinājumu;
- pierakstiet rezultātu;
- pēc iespējas vienkāršojiet izteicienu.
Piemērs. Atrodiet reizinājumu 4½ un 6 2/5.
Skaitļa reizināšana ar daļskaitli (daļdaļas ar skaitli)
Papildus divu daļskaitļu un jauktu skaitļu reizinājuma atrašanai ir uzdevumi, kuros jāreizina ar daļskaitli.
Tātad, lai atrastu produktu decimālzīme un naturāls skaitlis, jums ir nepieciešams:
- ierakstiet skaitli zem daļskaitļa tā, lai galējie labie cipari būtu viens virs otra;
- atrast preci, neskatoties uz komatu;
- iegūtajā rezultātā atdaliet veselo skaitļu daļu no daļdaļas, izmantojot komatu, no labās puses skaitot ciparu skaitu, kas atrodas aiz komata daļdaļā.
Lai parasto daļskaitli reizinātu ar skaitli, jāatrod skaitītāja un naturālā faktora reizinājums. Ja atbilde rada daļu, kuru var samazināt, tā ir jāpārvērš.
Piemērs. Aprēķiniet reizinājumu no 5/8 un 12.
Risinājums. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Atbilde: 7 1 / 2.
Kā redzat no iepriekšējā piemēra, bija jāsamazina iegūtais rezultāts un jāpārvērš nepareizā daļskaitļa izteiksme jauktā skaitā.
Daļskaitļu reizināšana attiecas arī uz skaitļa jauktā formā un naturālā faktora reizinājuma atrašanu. Lai reizinātu šos divus skaitļus, visa jauktā faktora daļa jāreizina ar skaitli, skaitītājs jāreizina ar to pašu vērtību un saucējs jāatstāj nemainīgs. Ja nepieciešams, jums pēc iespējas jāvienkāršo iegūtais rezultāts.
Piemērs. Atrodiet 9 5/6 un 9 reizinājumu.
Risinājums. 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.
Atbilde: 88 1 / 2.
Reizināšana ar koeficientiem 10, 100, 1000 vai 0,1; 0,01; 0,001
Tas izriet no iepriekšējās rindkopas nākamais noteikums. Lai decimāldaļdaļu reizinātu ar 10, 100, 1000, 10 000 utt., decimālpunkts jāpārvieto pa labi par tik cipariem, cik faktorā aiz viena ir nulles.
1. piemērs. Atrodiet reizinājumu no 0,065 un 1000.
Risinājums. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Atbilde: 65.
2. piemērs. Atrodiet reizinājumu no 3,9 un 1000.
Risinājums. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Atbilde: 3900.
Ja nepieciešams reizināt naturālu skaitli un 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 utt., jums ir jāpārvieto komats iegūtajā produktā pa kreisi par tik ciparu rakstzīmēm, cik nulles ir pirms viena. Ja nepieciešams, pirms naturālā skaitļa tiek ierakstīts pietiekams skaits nulles.
1. piemērs. Atrodiet reizinājumu no 56 un 0,01.
Risinājums. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Atbilde: 0,56.
2. piemērs. Atrodiet reizinājumu no 4 un 0,001.
Risinājums. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Atbilde: 0,004.
Tātad dažādu frakciju reizinājuma atrašana nedrīkst radīt nekādas grūtības, izņemot varbūt rezultāta aprēķināšanu; šajā gadījumā jūs vienkārši nevarat iztikt bez kalkulatora.
Daļskaitļu reizināšana un dalīšana.
Uzmanību!
Ir papildu
materiāli speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir ļoti "ne ļoti..."
Un tiem, kas “ļoti…”)
Šī darbība ir daudz jaukāka nekā saskaitīšana-atņemšana! Jo tā ir vieglāk. Atgādinām, ka, lai reizinātu daļu ar daļskaitli, jums jāreizina skaitītāji (tas būs rezultāta skaitītājs) un saucēji (tas būs saucējs). Tas ir:
Piemēram:
Viss ir ārkārtīgi vienkārši. Un lūdzu nemeklēt kopsaucēju! Nevajag viņu šeit...
Lai dalītu daļu ar daļu, jums ir jāapgriež otrais(tas ir svarīgi!) daļu un reiziniet tos, t.i.:
Piemēram:
Ja jūs saskaraties ar reizināšanu vai dalīšanu ar veseliem skaitļiem un daļskaitļiem, tas ir labi. Tāpat kā ar saskaitīšanu, mēs veidojam daļskaitli no vesela skaitļa ar vienu saucējā — un uz priekšu! Piemēram:
Vidusskolā bieži nākas saskarties ar trīsstāvu (vai pat četrstāvu!) daļskaitļiem. Piemēram:
Kā es varu padarīt šo frakciju pienācīgu? Jā, ļoti vienkārši! Izmantojiet divu punktu iedalījumu:
Bet neaizmirstiet par dalīšanas kārtību! Atšķirībā no reizināšanas, tas šeit ir ļoti svarīgi! Protams, nejauksim ne 4:2, ne 2:4. Bet trīsstāvu daļā ir viegli kļūdīties. Lūdzu, ņemiet vērā, piemēram:
Pirmajā gadījumā (izteiksme kreisajā pusē):
Otrajā (izteiksme labajā pusē):
Vai jūtat atšķirību? 4 un 1/9!
Kas nosaka sadalīšanas kārtību? Vai nu ar iekavām, vai (kā šeit) ar horizontālo līniju garumu. Attīstiet savu aci. Un, ja nav iekavu vai domuzīmju, piemēram:
tad dala un reizina secībā, no kreisās puses uz labo!
Un vēl viena ļoti vienkārša un svarīga tehnika. Darbībās ar grādiem tas jums noderēs! Dalīsim vienu ar jebkuru daļskaitli, piemēram, ar 13/15:
Šāviens ir apgriezies! Un tas notiek vienmēr. Dalot 1 ar jebkuru daļskaitli, rezultāts ir tā pati daļa, tikai otrādi.
Tas ir viss operācijām ar daļskaitļiem. Lieta ir diezgan vienkārša, taču tā rada vairāk nekā pietiekami daudz kļūdu. Piezīme praktiski padomi, un to (kļūdu) būs mazāk!
Praktiski padomi:
1. Pats galvenais, strādājot ar daļskaitļiem, ir precizitāte un vērība! Nav izplatīti vārdi, ne laba vēlējumi! Tā ir ārkārtēja nepieciešamība! Veiciet visus vienotā valsts eksāmena aprēķinus kā pilnvērtīgu uzdevumu, mērķtiecīgu un skaidru. Labāk ir uzrakstīt divas papildu rindiņas melnrakstā, nevis sajaukt, veicot garīgos aprēķinus.
2. Piemēros ar dažādi veidi frakcijas - pārejiet uz parastajām daļām.
3. Mēs samazinām visas frakcijas, līdz tās apstājas.
4. Daudzlīmeņu daļskaitļu izteiksmes reducējam uz parastajām, izmantojot dalīšanu pa diviem punktiem (ievērojam dalīšanas secību!).
5. Sadaliet vienību ar daļskaitli savā galvā, vienkārši apgriežot daļu.
Šeit ir uzdevumi, kas jums noteikti ir jāatrisina. Atbildes tiek sniegtas pēc visiem uzdevumiem. Izmantojiet materiālus par šo tēmu un praktiskus padomus. Novērtējiet, cik piemēru jūs varējāt pareizi atrisināt. Pirmā reize! Bez kalkulatora! Un izdari pareizos secinājumus...
Atcerieties - pareizā atbilde ir saņemts no otrās (it īpaši trešās) reizes neskaitās! Tāda ir skarbā dzīve.
Tātad, atrisināt eksāmenu režīmā ! Tā, starp citu, jau ir gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam. Atrisinām piemēru, pārbaudām, atrisinām nākamo. Mēs visu izlēmām – vēlreiz pārbaudījām no pirmās līdz pēdējam. Bet tikai Tad paskaties atbildes.
Aprēķināt:
Vai esat izlēmuši?
Mēs meklējam atbildes, kas atbilst jums. Es tās apzināti pierakstīju nesakārtoti, prom no kārdinājuma, tā teikt... Lūk, atbildes, rakstītas ar semikolu.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Tagad mēs izdarām secinājumus. Ja viss izdevās, priecājos par jums! Pamata aprēķini ar daļskaitļiem nav jūsu problēma! Jūs varat darīt nopietnākas lietas. Ja nē...
Tātad jums ir viena no divām problēmām. Vai abas uzreiz.) Zināšanu trūkums un (vai) neuzmanība. Bet šis atrisināms Problēmas.
Ja jums patīk šī vietne...
Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)
Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)
Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.
Turpināsim pētīt darbības ar parastajām daļskaitļiem. Tagad uzmanības centrā parasto daļskaitļu reizināšana. Šajā rakstā mēs sniegsim noteikumu parasto daļskaitļu reizināšanai un apsvērsim šī noteikuma piemērošanu, risinot piemērus. Mēs arī pievērsīsimies parastas daļdaļas reizināšanai ar naturālu skaitli. Noslēgumā apskatīsim, kā reizināt trīs un vairāk frakcijas
Lapas navigācija.
Parastās daļskaitļa reizināšana ar parasto daļskaitli
Sāksim ar formulējumu parasto daļskaitļu reizināšanas noteikumi: reizinot daļskaitli ar daļskaitli, tiek iegūta daļa, kuras skaitītājs ir vienāds ar reizināmo daļu skaitītāju reizinājumu, un saucējs ir vienāds ar saucēju reizinājumu.
Tas ir, formula atbilst parasto daļu a/b un c/d reizinājumam.
Sniegsim piemēru, kas ilustrē parasto daļskaitļu reizināšanas noteikumu. Apsveriet kvadrātu ar malas 1 vienību. , savukārt tā laukums ir 1 vienība 2. Sadaliet šo kvadrātu vienādos taisnstūros, kuru malas ir 1/4 vienības. un 1/8 vienības. , savukārt sākotnējais kvadrāts sastāvēs no 4·8=32 taisnstūriem, tāpēc katra taisnstūra laukums ir 1/32 no sākotnējā kvadrāta laukuma, tas ir, tas ir vienāds ar 1/32 vienībām 2 . Tagad krāsosim daļu no sākotnējā laukuma. Visas mūsu darbības ir atspoguļotas zemāk esošajā attēlā.
Iekrāsotā taisnstūra malas ir 5/8 vienības. un 3/4 vienības. , kas nozīmē, ka tā laukums ir vienāds ar daļskaitļu 5/8 un 3/4 reizinājumu, tas ir, vienībām 2. Bet iekrāsotais taisnstūris sastāv no 15 “maziem” taisnstūriem, kas nozīmē, ka tā laukums ir 15/32 vienības 2. Līdz ar to,. Tā kā 5·3=15 un 8·4=32, pēdējo vienādību var pārrakstīt kā 
, kas apstiprina formu parasto daļskaitļu reizināšanas formulu .
Ņemiet vērā, ka, izmantojot norādīto reizināšanas noteikumu, varat reizināt gan pareizās, gan nepareizās daļskaitļus, kā arī daļskaitļus ar vienādiem saucējiem un daļskaitļus ar dažādiem saucējiem.
Apsvērsim parasto daļskaitļu reizināšanas piemēri.
Reiziniet parasto daļu 7/11 ar parasto daļu 9/8.
Reizināto daļu 7 un 9 skaitītāju reizinājums ir vienāds ar 63, un saucēju reizinājums 11 un 8 ir vienāds ar 88. Tādējādi, reizinot parastās daļas 7/11 un 9/8, tiek iegūta daļa 63/88.
Šeit ir īss risinājuma kopsavilkums: 
.
Mēs nedrīkstam aizmirst par iegūtās daļas samazināšanu, ja reizināšanas rezultātā tiek iegūta reducējama daļa, un par visas daļas atdalīšanu no nepareizās daļas.
Reiziniet daļas 4/15 un 55/6.
Piemērosim parasto daļskaitļu reizināšanas noteikumu: 
.
Acīmredzot iegūtā daļdaļa ir reducējama (dalāmības ar 10 pārbaude ļauj noteikt, ka daļskaitļa 220/90 skaitītājam un saucējam ir kopējais reizinātājs 10). Samazināsim daļu 220/90: gcd(220, 90)=10 un 
. Atliek izolēt visu daļu no iegūtās nepareizās frakcijas: .
Ņemiet vērā, ka frakcijas samazināšanu var veikt pirms skaitītāju reizinājumu un reizināto daļu saucēju reizinājumu aprēķināšanas, tas ir, ja daļai ir forma . Lai to izdarītu, skaitļi a, b, c un d tiek aizstāti ar to faktorizāciju pirmfaktoros, pēc kuriem tiek samazināti tie paši skaitītāja un saucēja koeficienti.
Skaidrības labad atgriezīsimies pie iepriekšējā piemēra.
Aprēķiniet formas daļu reizinājumu.
Saskaņā ar parasto daļskaitļu reizināšanas formulu mums ir 
.
Tā kā 4=2·2, 55=5·11, 15=3,5 un 6=2,3, tad 
. Tagad mēs samazinām izplatītākos galvenos faktorus: 
.
Atliek tikai aprēķināt skaitļus skaitītājā un saucējā un pēc tam izolēt visu daļu no nepareizās daļas: 
.
Jāatzīmē, ka daļskaitļu reizināšanu raksturo komutatīva īpašība, tas ir, reizinātās daļas var apmainīt: 
.
Parastas daļskaitļa reizināšana ar naturālu skaitli
Sāksim ar formulējumu noteikumi parastās daļskaitļa reizināšanai ar naturālu skaitli: reizinot daļskaitli ar naturālu skaitli, tiek iegūta daļa, kuras skaitītājs ir vienāds ar daļdaļas skaitītāja reizinājumu ar naturālo skaitli, un saucējs ir vienāds ar reizināmās daļas saucēju.
Izmantojot burtus, noteikumam daļskaitļa a/b reizināšanai ar naturālu skaitli n ir forma .
Formula izriet no formulas divu veidlapas parasto daļu reizināšanai. Patiešām, attēlojot naturālu skaitli kā daļu ar saucēju 1, mēs iegūstam 
.
Apskatīsim piemērus daļskaitļa reizināšanai ar naturālu skaitli.
Reiziniet daļu 2/27 ar 5.
Reizinot skaitītāju 2 ar skaitli 5, tiek iegūts 10, tāpēc, pamatojoties uz noteikumu par daļskaitļa reizināšanu ar naturālu skaitli, reizinājums 2/27 ar 5 ir vienāds ar daļskaitli 10/27.
Ir ērti uzrakstīt visu risinājumu šādi: 
.
Reizinot daļskaitli ar naturālu skaitli, iegūtā daļa bieži ir jāsamazina, un, ja tā ir arī nepareiza, tad attēlo kā jauktu skaitli.
Reiziniet daļu 5/12 ar skaitli 8.
Saskaņā ar formulu daļskaitļa reizināšanai ar naturālu skaitli mums ir 
. Acīmredzot iegūtā daļa ir reducējama (dalāmības zīme ar 2 norāda skaitītāja un saucēja kopējo dalītāju 2). Samazināsim daļu 40/12: tā kā LCM(40, 12)=4, tad 
. Atliek izcelt visu daļu: .
Šeit ir viss risinājums: 
.
Ņemiet vērā, ka samazināšanu var veikt, aizstājot skaitļus skaitītājā un saucējā ar to sadalīšanos pirmfaktoros. Šajā gadījumā risinājums izskatītos šādi: .
Noslēgumā mēs atzīmējam, ka daļskaitļa reizināšanai ar naturālu skaitli ir komutatīva īpašība, tas ir, daļdaļas reizinājums ar naturālu skaitli ir vienāds ar šī naturālā skaitļa reizinājumu ar daļu: 
.
Trīs vai vairāk frakciju reizināšana
Veids, kā mēs definējām parastās daļskaitļus un reizināšanas darbību ar tām, ļauj apgalvot, ka visas naturālo skaitļu reizināšanas īpašības attiecas arī uz daļskaitļu reizināšanu.
Reizināšanas komutatīvās un asociatīvās īpašības ļauj viennozīmīgi noteikt reizinot trīs vai vairāk daļskaitļus un naturālus skaitļus. Šajā gadījumā viss notiek pēc analoģijas ar trīs vai vairāku naturālu skaitļu reizināšanu. Jo īpaši daļskaitļus un naturālos skaitļus produktā var pārkārtot, lai atvieglotu aprēķinu, un, ja nav iekavas, kas norāda darbību veikšanas secību, mēs paši varam sakārtot iekavas jebkurā no pieņemamajiem veidiem.
Apskatīsim piemērus vairāku daļskaitļu un naturālu skaitļu reizināšanai.
Reiziniet trīs parastās frakcijas 1/20, 12/5, 3/7 un 5/8.
Pierakstīsim preci, kas mums jāaprēķina 
. Saskaņā ar daļskaitļu reizināšanas noteikumu uzrakstītais reizinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir vienāds ar visu daļu skaitītāju reizinājumu, un saucējs ir vienāds ar saucēju reizinājumu: 
.
Pirms reizinājumu aprēķināšanas skaitītājā un saucējā vēlams visus faktorus aizstāt ar to sadalījumiem vienkāršos faktoros un veikt samazināšanu (var, protams, pēc reizināšanas samazināt daļu, bet daudzos gadījumos tas prasa daudz skaitļošanas piepūle): .
.
Reiziniet piecus skaitļus 
.
Šajā produktā ir ērti grupēt daļu 7/8 ar skaitli 8 un skaitli 12 ar daļu 5/36, tas vienkāršos aprēķinus, jo ar šādu grupēšanu samazinājums ir acīmredzams. Mums ir
.
.
Daļskaitļu reizināšana
Mēs apsvērsim parasto frakciju reizināšanu vairākos iespējamos variantos.
Parastās daļskaitļa reizināšana ar daļskaitli
Šis ir vienkāršākais gadījums, kad jums ir jāizmanto tālāk norādītais daļskaitļu reizināšanas noteikumi.
Uz reiziniet daļu ar daļu, nepieciešams:
- reiziniet pirmās daļdaļas skaitītāju ar otrās daļskaitļa skaitītāju un ierakstiet to reizinājumu jaunās daļdaļas skaitītājā;
- reiziniet pirmās daļdaļas saucēju ar otrās daļskaitļa saucēju un ierakstiet to reizinājumu jaunās daļas saucējā;
Pirms skaitītāju un saucēju reizināšanas pārbaudiet, vai daļskaitļus var samazināt. Daļskaitļu samazināšana aprēķinos padarīs jūsu aprēķinus daudz vienkāršākus.
Daļas reizināšana ar naturālu skaitli
Lai izveidotu daļu reizināt ar naturālu skaitli Daļas skaitītājs jāreizina ar šo skaitli un daļdaļas saucējs nav jāmaina.
Ja reizināšanas rezultātā tiek iegūta nepareiza daļa, neaizmirstiet to pārvērst par jauktu skaitli, tas ir, iezīmējiet visu daļu.
Jauktu skaitļu reizināšana
Lai reizinātu jauktos skaitļus, vispirms tie jāpārvērš nepareizās daļskaitļos un pēc tam jāreizina saskaņā ar parasto daļskaitļu reizināšanas noteikumu.
Vēl viens veids, kā reizināt daļu ar naturālu skaitli
Dažreiz, veicot aprēķinus, ir ērtāk izmantot citu metodi parastās daļdaļas reizināšanai ar skaitli.
Lai reizinātu daļu ar naturālu skaitli, jums ir jādala daļskaitļa saucējs ar šo skaitli un skaitītājs jāatstāj tāds pats.
Kā redzams no piemēra, šī noteikuma versija ir ērtāk lietojama, ja daļdaļas saucējs dalās ar naturālu skaitli bez atlikuma.
Jauktu skaitļu reizināšana: noteikumi, piemēri, risinājumi.
Šajā rakstā mēs apskatīsim jauktu skaitļu reizināšana. Pirmkārt, mēs izklāstīsim jauktu skaitļu reizināšanas noteikumu un apsvērsim šī noteikuma piemērošanu, risinot piemērus. Tālāk mēs runāsim par jaukta skaitļa un naturāla skaitļa reizināšanu. Visbeidzot, mēs iemācīsimies reizināt jauktu skaitli un kopējo daļskaitli.
Lapas navigācija.
Jauktu skaitļu reizināšana.
Jauktu skaitļu reizināšana var reducēt līdz parasto daļskaitļu reizināšanai. Lai to izdarītu, jauktos skaitļus ir pietiekami pārvērst nepareizās daļskaitļos.
Pierakstīsim to jauktu skaitļu reizināšanas noteikums:
- Pirmkārt, jauktie skaitļi, kas tiek reizināti, jāaizstāj ar nepareizām daļskaitļiem;
- Otrkārt, jums ir jāizmanto noteikums daļskaitļu reizināšanai ar daļām.
Apskatīsim piemērus šī noteikuma piemērošanai, reizinot jauktu skaitli ar jauktu skaitli.
Veikt jauktu skaitļu reizināšanu un .
Vispirms attēlosim jauktos skaitļus, kas tiek reizināti kā nepareizās daļskaitļi: 
Un 
. Tagad jauktu skaitļu reizināšanu varam aizstāt ar parasto daļskaitļu reizināšanu: 
. Piemērojot daļskaitļu reizināšanas noteikumu, mēs iegūstam 
. Rezultātā iegūtā daļa ir nereducējama (sk. reducējamās un nereducējamās daļas), taču tā ir nepareiza (sk. pareizās un nepareizās daļas), tāpēc, lai iegūtu galīgo atbildi, atliek izolēt visu daļu no nepareizās daļas: .
Rakstīsim visu risinājumu vienā rindā: .
.
Lai stiprinātu jauktu skaitļu reizināšanas prasmes, apsveriet iespēju atrisināt citu piemēru.
Veiciet reizināšanu.
Smieklīgi skaitļi un ir attiecīgi vienādi ar daļskaitļiem 13/5 un 10/9. Tad 
. Šajā posmā ir pienācis laiks atcerēties par daļskaitļa samazināšanu: aizstāt visus skaitļus daļā ar to sadalīšanos primārajos faktoros un veikt identisku faktoru samazināšanu.
Jaukta skaitļa un naturāla skaitļa reizināšana
Pēc jaukta skaitļa aizstāšanas ar nepareizu daļskaitli, jaukta skaitļa reizināšana ar naturālu skaitli noved pie parastās daļskaitļa un naturālā skaitļa reizināšanas.
Reiziniet jauktu skaitli un naturālo skaitli 45.
Jaukts skaitlis ir vienāds ar daļskaitli 
. Aizstāsim skaitļus iegūtajā daļskaitlī ar to sadalīšanos pirmfaktoros, veiksim samazināšanu un pēc tam atlasīsim visu daļu: .
.
Jaukta skaitļa un naturāla skaitļa reizināšanu dažreiz ērti var veikt, izmantojot reizināšanas sadalījuma īpašību attiecībā pret saskaitīšanu. Šajā gadījumā jaukta skaitļa un naturāla skaitļa reizinājums ir vienāds ar veselās skaitļa daļas reizinājumu ar doto naturālo skaitli un daļējās daļas reizinājumu ar doto naturālo skaitli, tas ir, 
.
Aprēķiniet produktu.
Aizstāsim jaukto skaitli ar veselo skaitļu un daļskaitļu daļu, pēc tam piemērojot reizināšanas sadales īpašību: .
Jauktu skaitļu un daļskaitļu reizināšana Visērtāk to reducēt līdz parasto daļskaitļu reizināšanai, attēlojot jaukto skaitli, kas tiek reizināts kā nepareiza daļa.
Reiziniet jaukto skaitli ar parasto daļskaitli 4/15.
Jaukto skaitli aizstājot ar daļskaitli, mēs iegūstam 
.
Daļskaitļu reizināšana
§ 140. Definīcijas. 1) Daļas reizināšana ar veselu skaitli tiek definēta tāpat kā veselu skaitļu reizināšana, proti: reizināt skaitli (reizinātāju) ar veselu skaitli (koeficientu) nozīmē sastādīt identisku vārdu summu, kurā katrs vārds ir vienāds ar reizinātāju un vārdu skaits ir vienāds ar reizinātāju.
Tātad reizināšana ar 5 nozīmē summas atrašanu:
2) Skaitļa (reizinātāja) reizināšana ar daļskaitli (koeficientu) nozīmē atrast šo reizinātāja daļu.
Tādējādi dotā skaitļa daļas atrašanu, ko mēs apsvērām iepriekš, mēs sauksim par reizināšanu ar daļu.
3) Skaitli (reizinātāju) reizināt ar jauktu skaitli (koeficientu) nozīmē reizinātāju vispirms ar reizinātāja veselo skaitli, pēc tam ar reizinātāja daļu un šo divu reizinājumu rezultātus saskaitīt kopā.
Piemēram:
Tiek izsaukts skaitlis, kas iegūts pēc reizināšanas visos šajos gadījumos strādāt, t.i., tāpat kā reizinot veselus skaitļus.
No šīm definīcijām ir skaidrs, ka daļskaitļu reizināšana ir darbība, kas vienmēr ir iespējama un vienmēr ir nepārprotama.
§ 141. Šo definīciju lietderība. Lai saprastu, cik ieteicams aritmētikā ieviest pēdējās divas reizināšanas definīcijas, ņemsim vērā šādu problēmu:
Uzdevums. Vienmērīgi kustīgs vilciens veic 40 km stundā; kā uzzināt, cik kilometri paiesšis vilciens noteiktā stundu skaitā?
Ja mēs paliktu pie vienas reizināšanas definīcijas, kas norādīta veselu skaitļu aritmētikā (vienādu vārdu saskaitīšana), tad mūsu problēmai būtu trīs dažādi risinājumi, proti:
Ja dotais stundu skaits ir vesels skaitlis (piemēram, 5 stundas), tad, lai atrisinātu problēmu, ar šo stundu skaitu jāreizina 40 km.
Ja dotais stundu skaits ir izteikts kā daļskaitlis (piemēram, stunda), tad šīs daļas vērtība būs jāatrod no 40 km.
Visbeidzot, ja dotais stundu skaits ir sajaukts (piemēram, stundas), tad 40 km būs jāreizina ar jauktajā skaitlī ietverto veselo skaitli un rezultātam jāpievieno vēl viena 40 km daļa, kas ir jauktajā skaitlī. numuru.
Mūsu sniegtās definīcijas to visu pieļauj iespējamie gadījumi sniedz vienu vispārīgu atbildi:
jums jāreizina 40 km ar noteiktu stundu skaitu, lai kāds tas būtu.
Tādējādi, ja problēma ir attēlota vispārējs skats Tātad:
Vienmērīgi kustīgs vilciens stundā nobrauc v km. Cik kilometrus vilciens nobrauks t stundās?
tad neatkarīgi no tā, kādi ir skaitļi v un t, mēs varam sniegt vienu atbildi: vēlamo skaitli izsaka ar formulu v · t.
Piezīme. Atrast noteikta skaitļa daļu, pēc mūsu definīcijas, nozīmē to pašu, ko reizināt ar šo daļu; tādēļ, piemēram, atrast 5% (t.i., piecas simtdaļas) no dotā skaitļa nozīmē to pašu, ko reizināt ar doto skaitli ar vai ar ; atrast 125% no dotā skaitļa nozīmē to pašu, kas reizināt šo skaitli ar vai ar utt.
§ 142. Piezīme par to, kad skaitlis palielinās un kad samazinās no reizināšanas.
Reizināšana ar pareizu daļskaitli samazina skaitli, un reizināšana ar nepareizo daļskaitli palielina skaitli, ja šī nepareizā daļa ir lielāka par vienu, un paliek nemainīga, ja tā ir vienāda ar vienu.
komentēt. Reizinot daļskaitļus, kā arī veselus skaitļus, reizinājums tiek pieņemts vienāds ar nulli, ja kāds no faktoriem vienāds ar nulli Tātad,.
143.§ Reizināšanas noteikumu atvasināšana.
1) Daļas reizināšana ar veselu skaitli. Daļskaitli reizina ar 5. Tas nozīmē palielināt 5 reizes. Lai daļskaitli palielinātu 5 reizes, pietiek palielināt tās skaitītāju vai samazināt saucēju 5 reizes (§ 127).
Tāpēc:
1. noteikums. Lai reizinātu daļu ar veselu skaitli, skaitītājs jāreizina ar šo veselo skaitli, bet saucējs jāatstāj tāds pats; tā vietā jūs varat arī dalīt daļskaitļa saucēju ar doto veselo skaitli (ja iespējams) un atstāt skaitītāju tādu pašu.
komentēt. Daļas un tās saucēja reizinājums ir vienāds ar tās skaitītāju.
Tātad:
2. noteikums. Lai reizinātu veselu skaitli ar daļskaitli, jums jāreizina veselais skaitlis ar daļskaitļa skaitītāju un jāpadara šis reizinājums par skaitītāju, un kā saucējs jāparaksta šīs daļas saucējs.
3. noteikums. Lai reizinātu daļskaitli ar daļskaitli, jums jāreizina skaitītājs ar skaitītāju un saucējs ar saucēju un jāpadara pirmais reizinājums par skaitītāju, bet otrais par reizinājuma saucēju.
komentēt. Šo noteikumu var piemērot arī daļskaitļa reizināšanai ar veselu skaitli un veselu skaitli ar daļskaitli, ja tikai mēs uzskatām, ka vesels skaitlis ir daļa ar saucēju viens. Tātad:
Tādējādi trīs tagad izklāstītie noteikumi ir ietverti vienā, ko kopumā var izteikt šādi:
4) Jauktu skaitļu reizināšana.
4. noteikums. Lai reizinātu jauktus skaitļus, tie jāpārvērš nepareizās daļskaitļos un pēc tam jāreizina saskaņā ar daļskaitļu reizināšanas noteikumiem. Piemēram:
144.§ Samazinājums pavairošanas laikā. Reizinot frakcijas, ja iespējams, ir jāveic iepriekšējs samazinājums, kā redzams no šādiem piemēriem:
Šādu samazināšanu var veikt, jo skaitītāju un saucēju samazinot par tas pats numurs vienreiz.
145.§ Preces maiņa ar mainīgiem faktoriem. Mainoties faktoriem, daļskaitļu reizinājums mainīsies tieši tāpat kā veselu skaitļu reizinājums (§ 53), proti: ja palielināsit (vai samazināsiet) jebkuru koeficientu vairākas reizes, tad reizinājums palielināsies (vai samazināsies) par tādu pašu summu.
Tātad, ja piemērā:
lai reizinātu vairākas daļdaļas, jums jāreizina to skaitītāji savā starpā un saucēji savā starpā un jāpadara pirmais reizinājums par skaitītāju, bet otrais par reizinājuma saucēju.
komentēt. Šo noteikumu var attiecināt arī uz tādiem skaitļiem, kuros daži no skaitļa faktoriem ir veseli skaitļi vai jaukti, ja tikai veselo skaitli uzskatām par daļskaitli ar saucēju viens, un jauktos skaitļus pārvēršam nepareizās daļās. Piemēram:
147.§ Reizināšanas pamatīpašības. Tās reizināšanas īpašības, kuras mēs norādījām veseliem skaitļiem (§ 56, 57, 59), attiecas arī uz daļskaitļu reizināšanu. Norādīsim šīs īpašības.
1) Produkts nemainās, mainot faktorus.
Piemēram:
Patiešām, saskaņā ar iepriekšējā punkta noteikumu pirmais produkts ir vienāds ar daļu, bet otrais ir vienāds ar daļu. Taču šīs daļdaļas ir vienādas, jo to vārdi atšķiras tikai veselo skaitļu faktoru secībā, un, mainot faktoru vietas, veselo skaitļu reizinājums nemainās.
2) Produkts nemainīsies, ja kāda faktoru grupa tiks aizstāta ar to preci.
Piemēram:
Rezultāti ir vienādi.
No šīs reizināšanas īpašības var izdarīt šādu secinājumu:
lai reizinātu skaitli ar reizinājumu, varat reizināt šo skaitli ar pirmo koeficientu, iegūto skaitli reizināt ar otro utt.
Piemēram:
3) Sadales reizināšanas likums (attiecībā pret saskaitīšanu). Lai reizinātu summu ar skaitli, varat reizināt katru terminu atsevišķi ar šo skaitli un pievienot rezultātus.
Šo likumu mēs izskaidrojām (59. §) kā attiecinātu uz veseliem skaitļiem. Tas paliek patiess bez izmaiņām daļskaitļiem.
Ļaujiet mums parādīt, patiesībā, ka vienlīdzība
(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .
(reizināšanas sadalījuma likums attiecībā pret saskaitīšanu) paliek patiess pat tad, ja burti apzīmē daļskaitļus. Apskatīsim trīs gadījumus.
1) Vispirms pieņemsim, ka faktors m ir vesels skaitlis, piemēram, m = 3 (a, b, c – jebkuri skaitļi). Saskaņā ar reizināšanas ar veselu skaitli definīciju mēs varam rakstīt (vienkāršības labad ierobežojot sevi ar trim vārdiem):
(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).
Pamatojoties uz asociatīvo saskaitīšanas likumu, mēs varam izlaist visas labajā pusē esošās iekavas; Piemērojot komutatīvo saskaitīšanas likumu un pēc tam atkal asociatīvo likumu, mēs acīmredzami varam pārrakstīt labā puse Tātad:
(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).
(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.
Tas nozīmē, ka šajā gadījumā tiek apstiprināts sadales likums.
Daļas dalīšana ar naturālu skaitli
Sadaļas: Matemātika
T nodarbības veids: ONZ (jaunu zināšanu atklāšana – izmantojot uz aktivitātēs balstītas mācību metodes tehnoloģiju).
- Izsecināt metodes daļskaitļa dalīšanai ar naturālu skaitli;
- Attīstīt spēju dalīt daļskaitli ar naturālu skaitli;
- Atkārtojiet un pastipriniet frakciju dalīšanu;
- Apmāciet spēju samazināt daļas, analizēt un risināt problēmas.
Aprīkojuma demonstrācijas materiāls:
1. Uzdevumi zināšanu atjaunošanai:
2. Izmēģinājuma (individuālais) uzdevums.
1. Veiciet sadalīšanu:
2. Veiciet dalīšanu, neveicot visu aprēķinu ķēdi: .
- Dalot daļu ar naturālu skaitli, jūs varat reizināt saucēju ar šo skaitli, bet skaitītāju atstāt to pašu.
- Ja skaitītājs dalās ar naturālu skaitli, tad, dalot daļu ar šo skaitli, var dalīt skaitītāju ar skaitli un atstāt saucēju to pašu.
I. Motivācija (pašnoteikšanās) uz izglītojošas aktivitātes.
- Organizēt prasību aktualizāciju skolēnam attiecībā uz izglītojošiem pasākumiem (“obligāti”);
- Organizēt studentu aktivitātes, lai izveidotu tematiskos ietvarus (“Es varu”);
- Radīt apstākļus skolēna iekšējai nepieciešamībai pēc iekļaušanas izglītības aktivitātēs (“Gribu”).
Organizācija izglītības process I posmā.
Sveiki! Priecājos jūs visus redzēt matemātikas stundā. Ceru, ka tas ir abpusēji.
Puiši, kādas jaunas zināšanas jūs apguvāt pēdējā nodarbībā? (Sadalīt daļskaitļus).
Pa labi. Kas jums palīdz sadalīt frakcijas? (Noteikums, īpašības).
Kur mums ir vajadzīgas šīs zināšanas? (Piemēros, vienādojumos, uzdevumos).
Labi padarīts! Jūs labi paveicāt pēdējās nodarbības uzdevumus. Vai šodien vēlies pats atklāt jaunas zināšanas? (Jā).
Tad - ejam! Un nodarbības devīze būs apgalvojums "Tu nevari iemācīties matemātiku, skatoties, kā to dara kaimiņš!"
II. Zināšanu atjaunināšana un individuālo grūtību novēršana izmēģinājuma darbībā.
- Organizēt apgūto darbības metožu atjaunināšanu, kas ir pietiekama jaunu zināšanu veidošanai. Ierakstiet šīs metodes verbāli (runā) un simboliski (standarta) un vispāriniet tās;
- Organizēt garīgo operāciju aktualizāciju un kognitīvie procesi, pietiekams jaunu zināšanu veidošanai;
- Motivēt izmēģinājuma darbību un tās patstāvīgu izpildi un pamatojumu;
- Prezentēt individuālu uzdevumu izmēģinājuma darbībai un analizēt to, lai identificētu jaunu izglītības saturu;
- Organizēt nodarbības izglītības mērķa un tēmas fiksāciju;
- Organizēt izmēģinājuma darbības īstenošanu un novērst grūtības;
- Organizēt saņemto atbilžu analīzi un fiksēt individuālās grūtības, veicot izmēģinājuma darbību vai to attaisnojot.
Izglītības procesa organizēšana II posmā.
Frontāli, izmantojot planšetdatorus (atsevišķas plates).
1. Salīdziniet izteiksmes:
(Šīs izteiksmes ir vienādas)
Kādas interesantas lietas pamanījāt? (Dividendes skaitītājs un saucējs, dalītāja skaitītājs un saucējs katrā izteiksmē palielināts par vienādu reižu skaitu. Tādējādi izteiksmēs dividendes un dalītāji tiek attēloti ar daļskaitļiem, kas ir vienādi savā starpā).
Atrodiet izteiciena nozīmi un pierakstiet to planšetdatorā. (2)
Kā es varu uzrakstīt šo skaitli kā daļskaitli?
Kā jūs veicāt sadalīšanas darbību? (Bērni izrunā likumu, skolotājs uz tāfeles izliek burtu simbolus)
2. Aprēķiniet un pierakstiet tikai rezultātus:
3. Saskaitiet rezultātus un pierakstiet atbildi. (2)
Kā sauc 3. uzdevumā iegūto skaitli? (dabisks)
Vai jūs domājat, ka varat dalīt daļskaitli ar naturālu skaitli? (Jā, mēs mēģināsim)
Izmēģiniet šo.
4. Individuāls (izmēģinājuma) uzdevums.
Veikt sadalīšanu: (tikai a piemērs)
Kādu likumu jūs izmantojāt dalīšanai? (Saskaņā ar daļskaitļu dalīšanas ar daļdaļām noteikumu)
Tagad sadaliet daļu ar naturālu skaitli vienkāršāk, neveicot visu aprēķinu ķēdi: (b piemērs). Es jums došu 3 sekundes šim nolūkam.
Kurš nevarēja izpildīt uzdevumu 3 sekundēs?
Kas to izdarīja? (Tādu nav)
Kāpēc? (Mēs nezinām ceļu)
Ko tu dabūji? (Grūtības pakāpe)
Kā jūs domājat, ko mēs darīsim klasē? (Daļdaļas dalīt ar naturāliem skaitļiem)
Tieši tā, atveriet piezīmju grāmatiņas un pierakstiet nodarbības tēmu: “Daļdaļas dalīšana ar naturālu skaitli”.
Kāpēc šī tēma izklausās jauna, ja jūs jau zināt, kā dalīt daļskaitļus? (Vajag jauns veids)
Pa labi. Šodien mēs izveidosim paņēmienu, kas vienkāršo daļskaitļa dalīšanu ar naturālu skaitli.
III. Problēmas atrašanās vietas un cēloņa noteikšana.
- Organizēt pabeigto darbību atjaunošanu un ierakstīt (verbāli un simboliski) vietu - soli, operāciju - kur radās grūtības;
- Organizēt studentu darbību korelāciju ar izmantoto metodi (algoritmu) un grūtības cēloņa fiksāciju ārējā runā - konkrētām zināšanām, prasmēm vai iemaņām, kuru trūkst, lai atrisinātu šāda veida sākotnējo problēmu.
Izglītības procesa organizēšana III posmā.
Kāds uzdevums tev bija jāizpilda? (Sadaliet daļu ar naturālu skaitli, neizejot cauri visai aprēķinu ķēdei)
Kas jums sagādāja grūtības? (Nevarēju izlemt īsu laikuātrs ceļš)
Kādu mērķi mēs sev izvirzām nodarbībā? (Atrast ātrs ceļš dalot daļu ar naturālu skaitli)
Kas tev palīdzēs? (Jau zināms noteikums daļskaitļu dalīšanai)
IV. Izveidojiet projektu, lai izkļūtu no problēmas.
- Projekta mērķa precizēšana;
- Metodes izvēle (precizējums);
- Līdzekļu noteikšana (algoritms);
- Izveidojiet plānu mērķa sasniegšanai.
Izglītības procesa organizēšana IV posmā.
Atgriezīsimies pie testa uzdevuma. Jūs teicāt, ka dalījāt saskaņā ar daļskaitļu dalīšanas noteikumu? (Jā)
Lai to izdarītu, aizstājiet naturālo skaitli ar daļskaitli? (Jā)
Kādu soli (vai soļus), jūsuprāt, var izlaist?
(Risinājuma ķēde ir atvērta uz tāfeles: 
Analizējiet un izdariet secinājumus. (1. darbība)
Ja atbildes nav, mēs vadīsim jūs ar jautājumiem:
Kur pazuda dabiskais dalītājs? (saucējā)
Vai skaitītājs ir mainījies? (Nē)
Tātad, kuru soli jūs varat "izlaist"? (1. darbība)
- Daļdaļas saucēju reiziniet ar naturālu skaitli.
- Skaitītāju nemainām.
- Mēs iegūstam jaunu frakciju.
V. Izbūvētā projekta realizācija.
- Organizēt komunikatīvo mijiedarbību, lai īstenotu konstruēto projektu, kura mērķis ir iegūt trūkstošās zināšanas;
- Organizēt konstruētās darbības metodes ierakstīšanu runā un zīmēs (izmantojot standartu);
- Organizēt sākotnējās problēmas risinājumu un dokumentēt, kā pārvarēt grūtības;
- Organizēt skaidrojumu ģenerālis jaunas zināšanas.
Izglītības procesa organizēšana V posmā.
Tagad ātri palaidiet testa gadījumu jaunā veidā.
Tagad jūs varējāt ātri izpildīt uzdevumu? (Jā)
Paskaidrojiet, kā jūs to izdarījāt? (Bērni runā)
Tas nozīmē, ka esam ieguvuši jaunas zināšanas: noteikums daļskaitļa dalīšanai ar naturālu skaitli.
Labi padarīts! Sakiet to pa pāriem.
Tad viens students runā ar klasi. Noteikumu-algoritmu fiksējam verbāli un standarta veidā uz tāfeles.
Tagad ievadiet burtu apzīmējumus un pierakstiet mūsu noteikuma formulu.
Skolēns raksta uz tāfeles, sakot likumu: dalot daļu ar naturālu skaitli, var reizināt saucēju ar šo skaitli, bet skaitītāju atstāt to pašu.
(Katrs raksta formulu savās burtnīcās).
Tagad vēlreiz analizējiet testa uzdevuma risināšanas ķēdi, pagriežot Īpaša uzmanība uz atbildi. Ko tu izdarīji? (Daļas 15 skaitītājs tika dalīts (samazināts) ar skaitli 3)
Kāds ir šis numurs? (dabisks, dalītājs)
Tātad, kā citādi jūs varat dalīt daļu ar naturālu skaitli? (Pārbaudiet: ja daļskaitļa skaitītājs dalās ar šo naturālo skaitli, tad varat dalīt skaitītāju ar šo skaitli, ierakstīt rezultātu jaunās daļskaitļa skaitītājā un atstāt saucēju to pašu)
Pierakstiet šo metodi kā formulu. (Skolēns, izrunājot, uzraksta noteikumu uz tāfeles. Formulu katrs raksta savās kladēs.)
Atgriezīsimies pie pirmās metodes. Varat to izmantot, ja a:n? (Jā tas vispārīga metode)
Un kad ir ērti izmantot otro metodi? (Ja daļdaļas skaitītājs tiek dalīts ar naturālu skaitli bez atlikuma)
VI. Primārā konsolidācija ar izrunu ārējā runā.
- Organizējiet bērniem jaunas darbības metodes asimilāciju, risinot standarta problēmas ar viņu izrunu ārējā runā (frontāli, pa pāriem vai grupām).
Izglītības procesa organizēšana VI posmā.
Aprēķiniet jaunā veidā:
- Nr.363 (a; d) - izpildīts pie valdes, izrunājot noteikumu.
- Nr.363 (e; f) - pa pāriem ar pārbaudi pēc parauga.
VII. Patstāvīgs darbs ar pašpārbaudi atbilstoši standartam.
- Organizēt pašizpilde skolēniem tiek doti uzdevumi jaunam darbības veidam;
- Organizēt pašpārbaudi, pamatojoties uz salīdzinājumu ar standartu;
- Pamatojoties uz izpildes rezultātiem patstāvīgs darbs organizēt pārdomas par jauna rīcības veida asimilāciju.
Izglītības procesa organizēšana VII posmā.
Aprēķiniet jaunā veidā:
Studenti pārbauda atbilstību standartam un atzīmē izpildes pareizību. Kļūdu cēloņi tiek analizēti un kļūdas tiek novērstas.
Skolotājs jautā tiem skolēniem, kuri kļūdījās, kāds ir iemesls?
Šajā posmā ir svarīgi, lai katrs students patstāvīgi pārbaudītu savu darbu.
Pirms 8. uzdevuma risināšanas apsveriet piemēru no mācību grāmatas:
IX. Pārdomas par mācību aktivitātēm klasē.
- Organizēt nodarbībā apgūtā jaunā satura ierakstīšanu;
- Organizēt reflektīvu izglītības pasākumu analīzi no studentiem zināmo prasību izpildes viedokļa;
- Organizēt skolēnu vērtējumu par savām aktivitātēm stundā;
- Organizēt neatrisināto grūtību fiksēšanu stundā kā virzienu turpmākajām izglītības aktivitātēm;
- Organizēt diskusiju un mājasdarbu ierakstīšanu.
Izglītības procesa organizēšana IX posmā.
Puiši, kādas jaunas zināšanas jūs šodien esat atklājuši? (Iemācījās, kā vienkāršā veidā dalīt daļu ar naturālu skaitli)
Formulējiet vispārīgu metodi. (Viņi saka)
Kādā veidā un kādos gadījumos to var izmantot? (Viņi saka)
Kādas ir jaunās metodes priekšrocības?
Vai esam sasnieguši savu stundas mērķi? (Jā)
Kādas zināšanas izmantojāt sava mērķa sasniegšanai? (Viņi saka)
Vai jums viss izdevās?
Kādas bija grūtības?
Lai pareizi reizinātu daļu ar daļu vai daļu ar skaitli, jums jāzina vienkārši noteikumi. Tagad mēs detalizēti analizēsim šos noteikumus.
Parastās daļskaitļa reizināšana ar daļskaitli.
Lai reizinātu daļu ar daļskaitli, jums jāaprēķina skaitītāju reizinājums un šo daļu saucēju reizinājums.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Apskatīsim piemēru:
Pirmās daļdaļas skaitītāju reizinām ar otrās daļdaļas skaitītāju, kā arī pirmās daļas saucēju ar otrās daļdaļas saucēju.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ reizes 3) (7 \reizes 3) = \frac(4) (7)\\\)
Daļa \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) tika samazināta par 3.
Daļdaļas reizināšana ar skaitli.
Pirmkārt, atcerēsimies noteikumu, jebkuru skaitli var attēlot kā daļskaitli \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Reizinot izmantosim šo noteikumu.
' (20) (7) = 2\frac(6) (7)\\\)
Nepareiza daļa \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) pārveidots par jauktu daļu.
Citiem vārdiem sakot, Reizinot skaitli ar daļskaitli, skaitli reizinām ar skaitītāju un saucēju atstājam nemainīgu. Piemērs:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3) (5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Jaukto frakciju reizināšana.
Lai reizinātu jauktās daļskaitļus, vispirms katra jauktā daļa ir jāattēlo kā nepareiza daļskaitļi un pēc tam jāizmanto reizināšanas kārtula. Mēs reizinām skaitītāju ar skaitītāju un saucēju ar saucēju.
Piemērs:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5) (6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 reizes 6) = \frac(3 reizes \krāsa(sarkans) (3) reizes 23) (4 reizes 2 reizes \krāsa(sarkans) (3)) = \frac(69) (8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Apgriezto daļu un skaitļu reizināšana.
Daļa \(\bf \frac(a)(b)\) ir apgrieztā daļa \(\bf \frac(b)(a)\, ja a≠0,b≠0.
Daļskaitļus \(\bf \frac(a)(b)\) un \(\bf \frac(b)(a)\) sauc par reciprokālām daļām. Apgriezto daļu reizinājums ir vienāds ar 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Piemērs:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Jautājumi par tēmu:
Kā reizināt daļu ar daļu?
Atbilde: Parasto daļu reizinājums ir skaitītāja reizinājums ar skaitītāju, saucēja ar saucēju. Lai iegūtu jaukto frakciju reizinājumu, tās jāpārvērš nepareizā frakcijā un jāreizina saskaņā ar noteikumiem.
Kā reizināt daļskaitļus ar dažādiem saucējiem?
Atbilde: nav nozīmes tam, vai daļskaitļiem ir vienādi vai atšķirīgi saucēji, reizināšana notiek saskaņā ar likuma skaitļa ar skaitītāju, saucēja ar saucēju reizinājumu.
Kā reizināt jauktās frakcijas?
Atbilde: vispirms jauktā daļa jāpārvērš nepareizā daļskaitlī un pēc tam jāatrod reizinājums, izmantojot reizināšanas noteikumus.
Kā reizināt skaitli ar daļskaitli?
Atbilde: mēs reizinām skaitli ar skaitītāju, bet saucēju atstājam to pašu.
1. piemērs:
Aprēķiniet reizinājumu: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7) (11)\) b) \(\frac(2) (15) \times \frac(10) (13) \ )
Risinājums:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( sarkans) (5)) (3 \reizes \krāsa(sarkans) (5) \reizes 13) = \frac(4) (39)\)
2. piemērs:
Aprēķiniet skaitļa un daļskaitļa reizinājumus: a) \(3 \times \frac(17) (23)\) b) \(\frac(2) (3) \times 11\)
Risinājums:
a) \(3 \times \frac(17) (23) = \frac(3) (1) \times \frac(17) (23) = \frac(3 \times 17) (1 \reizes 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2) (3) \times \frac(11) (1) = \frac(2 \times 11) (3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
3. piemērs:
Uzrakstiet daļskaitļa \(\frac(1)(3)\) apgriezto vērtību?
Atbilde: \(\frac(3)(1) = 3\)
4. piemērs:
Aprēķiniet divu savstarpēji apgrieztu daļu reizinājumu: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Risinājums:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
5. piemērs:
Vai apgrieztās daļas var būt:
a) vienlaikus ar pareizām frakcijām;
b) vienlaikus nepareizas frakcijas;
c) tajā pašā laikā naturālie skaitļi?
Risinājums:
a) lai atbildētu uz pirmo jautājumu, sniegsim piemēru. Daļa \(\frac(2)(3)\) ir pareiza, tās apgrieztā daļa būs vienāda ar \(\frac(3)(2)\) — nepareiza daļdaļa. Atbilde: nē.
b) gandrīz visos daļskaitļu uzskaitījumos šis nosacījums nav izpildīts, bet ir daži skaitļi, kas izpilda nosacījumu, ka tie vienlaikus ir nepareiza daļdaļa. Piemēram, nepareizā daļa ir \(\frac(3)(3)\), tās apgrieztā daļa ir vienāda ar \(\frac(3)(3)\). Mēs iegūstam divas nepareizās daļas. Atbilde: ne vienmēr noteiktos apstākļos, kad skaitītājs un saucējs ir vienādi.
c) naturālie skaitļi ir skaitļi, kurus mēs izmantojam, skaitot, piemēram, 1, 2, 3, …. Ja ņemam skaitli \(3 = \frac(3)(1)\), tad tā apgrieztā daļa būs \(\frac(1)(3)\). Daļa \(\frac(1)(3)\) nav naturāls skaitlis. Ja mēs ejam cauri visiem skaitļiem, skaitļa apgrieztais skaitlis vienmēr ir daļskaitlis, izņemot 1. Ja ņemam skaitli 1, tad tā atgriezeniskā daļa būs \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Skaitlis 1 ir naturāls skaitlis. Atbilde: tie vienlaikus var būt naturāli skaitļi tikai vienā gadījumā, ja tas ir skaitlis 1.
6. piemērs:
Veiciet jauktu frakciju reizinājumu: a) \(4 \reizes 2\frac(4) (5)\) b) \(1\frac(1) (4) \reizes 3\frac(2) (7)\ )
Risinājums:
a) \(4 \reizes 2\frac(4) (5) = \frac(4) (1) \reizes \frac(14) (5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2) (7) = \frac(5) (4) \times \frac(23) (7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
7. piemērs:
Vai divi savstarpējie skaitļi var būt jaukti skaitļi vienlaikus?
Apskatīsim piemēru. Ņemsim jauktu daļskaitli \(1\frac(1)(2)\, atrodam tās apgriezto daļskaitli, lai to izdarītu, mēs to pārvēršam nepareizā daļskaitlī \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Tās apgrieztā daļa būs vienāda ar \(\frac(2)(3)\) . Daļa \(\frac(2)(3)\) ir pareiza daļa. Atbilde: Divas daļdaļas, kas ir savstarpēji apgrieztas, nevar vienlaikus būt sajaukti skaitļi.