Daudzstūris- ģeometriska figūra plaknē, ko ierobežo slēgta lauzta līnija; taisne, ko iegūst, ja ņemam n jebkuru punktu A 1, A 2, ..., A n un savienojam katru no tiem ar nākamo, bet pēdējo ar pirmo, ar taisnes nogriežņiem.
Ir divu veidu daudzstūri: izliekta un neizliekta. Sīkāk apskatīsim izliektos daudzstūrus. Tiek saukts daudzstūris izliekts, ja neviena daudzstūra mala, kas ir bezgalīgi pagarināta, sagriež daudzstūri divās daļās. Izliektie daudzstūri ir regulāri un neregulāri, bet mēs apsvērsim parastos. Izliekts daudzstūris sauca pareizi, ja visas malas ir vienādas un visi leņķi ir vienādi. Regulāra daudzstūra centrs ir punkts vienādā attālumā no visām tā virsotnēm un visām tā malām.
Parasta daudzstūra centrālais leņķis ir leņķis, kurā mala ir redzama no tā centra. Parasta daudzstūra īpašības:
1) riņķī ir ierakstīts regulārs daudzstūris un apvilkts ap apli, šo apļu centriem sakrītot;
2) Regulāra daudzstūra centrs sakrīt ar ierakstīto un ierobežoto riņķa līniju centriem;
3) Labā puse n-gon ir saistīts ar rādiusu R ierobežota apļa formula;
4) Perimetri ir pareizi n-goni ir saistīti kā ierobežotu apļu rādiusi.
5) Regulāra n-stūra diagonāles sadala tā leņķus vienādās daļās.
Regulārs piecstūris
Apskatīsim tuvāk parasto piecstūri – piecstūri.
Pamatsakarības: piecstūra virsotnes leņķis ir 108°, ārējais leņķis ir 72°. Piecstūra malu izsaka ar ierakstītā un ierobežotā apļa rādiusu:
Konstruēsim regulāru piecstūri. To ir viegli izdarīt, izmantojot ierobežotu apli. No tā centra ir nepieciešams secīgi uzzīmēt leņķus ar virsotni apļa centrā, kas vienāds ar 72 °. Stūru malas krustos apli piecos punktos, savienojot tos virknē, iegūstam regulāru piecstūri. Tagad uzzīmēsim visas diagonāles šajā piecstūrī. Tie veido regulāru zvaigznes formas piecstūri, t.i. slavenā pentagramma. Interesanti, ka pentagrammu malas, krustojoties, atkal veido regulāru piecstūri, kurā diagonāļu krustošanās dod mums jaunu pentagrammu un tā tālāk bezgalīgi (sk. 6. att.).
Pentagramma ir regulārs neizliekts piecstūris, tas ir arī regulārs piecstūris ar zvaigznēm vai regulāra piecstūra zvaigzne. Daudziem ziediem, jūras zvaigznēm un ežiem, vīrusiem utt. ir piecstaru zvaigznes forma. Pirmā pentagrammas pieminēšana datēta ar Senā Grieķija. Tulkojumā no grieķu valodas pentagramma burtiski nozīmē piecas rindiņas. Pentagramma bija Pitagora skolas (580-500 BC) pazīme. Viņi uzskatīja, ka šim skaistajam daudzstūrim ir daudz mistisku īpašību. Godbijīga attieksme pret pentagrammu bija raksturīga arī viduslaiku mistiķiem, kuri daudz aizņēmās no pitagoriešiem. Viduslaikos tika uzskatīts, ka pentagramma kalpo kā aizsardzības zīme no sātana.
Piecstūris attēlo ģeometriskā figūra ar pieciem stūriem. Turklāt no ģeometrijas viedokļa piecstūru kategorijā ietilpst visi daudzstūri, kuriem ir šī īpašība, neatkarīgi no tā malu atrašanās vietas.
Piecstūra leņķu summa
Piecstūris patiesībā ir daudzstūris, tāpēc, lai aprēķinātu tā leņķu summu, varat izmantot formulu, kas pieņemta, lai aprēķinātu norādīto summu attiecībā pret daudzstūri ar jebkuru leņķu skaitu. Iepriekš minētais uzskata, ka daudzstūra leņķu summa ir šāda vienādība: leņķu summa = (n - 2) * 180°, kur n ir leņķu skaits vēlamajā daudzstūrī.Tādējādi gadījumā, kad mēs runājam par tieši o, n vērtība šajā formulā būs vienāda ar 5. Tādējādi formulā aizstājot doto n vērtību, iznāk, ka piecstūra leņķu summa būs 540°. Tomēr jāpatur prātā, ka šīs formulas piemērošana attiecībā uz konkrētu piecstūri ir saistīta ar vairākiem ierobežojumiem.
Piecstūru veidi
Fakts ir tāds, ka norādīto formulu, kas, tāpat kā citiem šo ģeometrisko figūru veidiem, var izmantot tikai tad, ja mēs runājam par tā saukto izliekto daudzstūri. Tā savukārt ir ģeometriska figūra, kas apmierina šādu nosacījumu: visi tās punkti atrodas vienā pusē no taisnes, kas iet starp divām blakus virsotnēm.Tādējādi ir vesela piecstūru kategorija, kuras leņķu summa atšķirsies no norādītās vērtības. Tā, piemēram, viens no neizliekta piecstūra variantiem ir zvaigznes formas ģeometriska figūra. Zvaigznes piecstūri var iegūt arī, izmantojot visu regulāra piecstūra, tas ir, piecstūra, diagonāļu kopu: šajā gadījumā iegūto ģeometrisko figūru sauks par pentagrammu, kurai ir vienādi leņķi. Šajā gadījumā norādīto leņķu summa būs 180°.
Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.
Personiskās informācijas vākšana un izmantošana
Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.
Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.
Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.
Kādu personas informāciju mēs apkopojam:
- Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi E-pasts utt.
Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:
- Mūsu savākts Personīgā informācijaļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem pasākumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
- Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
- Mēs varam arī izmantot personas informāciju iekšējiem mērķiem, piemēram, auditam, datu analīzei un dažādi pētījumi lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
- Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.
Informācijas izpaušana trešajām personām
Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.
Izņēmumi:
- Ja nepieciešams - likumā noteiktajā kārtībā, tiesvedībā, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai lūgumiem no plkst. valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
- Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.
Personiskās informācijas aizsardzība
Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.
Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī
Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.
Jau rakstījām, ka pitagorieši uzskatīja pasauli sakārtotu pēc skaitliskās harmonijas likumiem. Viņi atklāja, ka harmonijas uztvere mūzikā ir saistīta ar noteiktām attiecībām starp skaitļiem (sk. Pitagora harmoniju); taču vizuālā harmonija, izrādās, ir saistīta arī ar noteiktām attiecībām starp dažādiem segmentiem. Šajā sakarā slavenākais zelta griezums- metode segmenta sadalīšanai divās nevienlīdzīgās daļās, kurā viss segments ir saistīts ar lielāko daļu, jo lielākais ir saistīts ar mazāko:
Tēlnieks Polikleitos izstrādāja ideju par kanonu (noteikumu) proporcionāla attēlošanai cilvēka ķermenis un skaidri iemiesoja savu kanonu statujā "Dorifors" ("Šķēpmens"), ko citādi sauca vienkārši par "Kanonu". Statujas proporcijās ir daudz zelta griezuma. Piemēram, apakšējās un augšējās daļas augstuma attiecība, kurā naba sadala statuju, ir vienāda ar zelta griezumu; savukārt kakla pamatne sadalās augšējā daļa arī zelta griezumā; ceļi dalās apakšējā daļa zelta griezumā utt.
Renesanses laikā zinātniekiem un māksliniekiem radās jauna interese par zelta griezumu. Viņam savu grāmatu “Dievišķā proporcija” veltīja itāļu matemātiķis Luka Pačioli. Un viņa draugam, lielajam Leonardo da Vinči, pieder termins “zelta attiecība” (senie cilvēki to parasti sauca par “segmenta sadalīšanu galējā un vidējā proporcijā”). “Zelta attiecība” bieži sastopama Rafaela, Mikelandželo un Durera darbos.
Johanness Keplers, kuram Pitagora idejas par Visuma pamatā esošo skaitlisko harmoniju nav svešas, teica, ka ģeometrijai ir divi dārgumi – Pitagora teorēma un zelta griezums; pirmo var salīdzināt ar zelta mēru, otro ar dārgakmeni.
Eksperimentāli ir pierādīts, ka, piemēram, no taisnstūriem ar dažādām malu attiecībām cilvēka acs dod priekšroku tiem, kuros šī attiecība ir vienāda ar zelta griezumu. Papīra loksnes, šokolādes tāfelītes, kredītkartes utt. ļoti bieži tiek izgatavotas tieši šādu taisnstūru formā.
Lai sadalītu doto segmentu AB zelta griezuma proporcijā, jāatjauno perpendikuls caur vienu no tā galiem, teiksim, caur punktu B, uz tā jānoliek nogrieznis BD = AB /2, jāuzzīmē segments AD, jāievieto. uz tā segments DE = AB /2 un visbeidzot atzīmējiet punktu C uz segmenta AB tā, lai AC = AE. Punkts C sadalīs segmentu AB zelta griezumā.
Pierādīsim to. Pēc Pitagora teorēmas (AE + ED) 2 = AB 2 + BD 2 vai
AE 2 + 2AE ∙ ED + ED 2 = AB 2 + BD 2, un tā kā BD = DE = AB /2 un AE = AC, tad
AC 2 + AC ∙ AB = AB 2,
kur AC 2 = AB (AB – AC).
Tā kā AB – AC = BC, mums ir
AC 2 = AB ∙ BC, no kurienes
Iepriekš minētā konstrukcija ļauj mums atrast zelta griezuma skaitlisko vērtību. Tas ir vienāds ar visa segmenta AB attiecību pret segmentu
Tādējādi zelta griezumu izsaka ar skaitli 
Šis skaitlis ir aptuveni 1,618. To bieži sauc par Phidias numuru un apzīmē ar grieķu burtu Φ:
| Φ = |
Skaitli dažreiz sauc par nelielo Phidias skaitu (un tad Φ ir liels skaits Phidias) un apzīmē ar φ. Tas ir aptuveni vienāds ar 0,618. Zelta griezumu izsaka kā iracionālu skaitli. Tas izriet no iracionalitātes (ja zelta griezums būtu racionāls, tad racionāls būtu arī skaitlis = 2Φ – 1), un iracionalitāti var pierādīt līdzīgi kā iracionalitāti. Turklāt Φ iracionalitāti ir diezgan vienkārši parādīt, izmantojot Eiklida algoritma ģeometriskā ilustrācija. Pieņemsim taisnstūri a 1 × a 2, kura malas ir saistītas zelta griezumā. Atlikšana uz lielāka puse mazāku, mēs iegūsim kvadrātu, un atlikušais taisnstūris būs līdzīgs sākotnējam taisnstūrim: Piemērojot tam to pašu darbību, mēs atkal iegūsim kvadrātu un oriģinālam līdzīgu taisnstūri utt. (Interesanti, ka pirmais, trešais , piektajiem utt. taisnstūriem ir kopīga diagonāle, tāpat kā otrā, ceturtā, sestā utt., šīs divas diagonāles krustojas taisnā leņķī punktā, kas pieder visiem taisnstūriem.
Tā kā šis algoritms nekad nebeidzas, segmentiem a 1 un a 2 nav vispārējs pasākums. Keplers teica, ka zelta griezums pastāvīgi atkārtojas. Dzīvajā dabā tas bieži sastopams tādu organismu struktūrā, kuru daļas ir aptuveni līdzīgas veselumam - piemēram, čaumalās, lapu izvietojumā uz dzinumiem u.c.
 |
|
Rīsi. 5. Izlietne |
Visbeidzot, zelta griezums ļauj mums izveidot regulāru piecstūri. (Jūs zināt, kā bez jebkādas palīdzības izveidot regulārus trigonus un četrstūrus, vai ne? Apvelkot tiem apļus un sadalot malas uz pusēm, nav grūti izveidot regulārus daudzstūrus ar 2 n un 3 ∙ 2 n virsotnēm). Ja jūs pagarinat regulāra piecstūra malas līdz krustošanās punktiem ar blakus esošo malu paplašinājumiem, jūs iegūstat skaistu piecstaru zvaigzni. Šis ir sens mistisks simbols, kas īpaši populārs pitagoriešu vidū: to sauc par "pentagrammu" vai "pentalfu", tas ir, burtiski, "pieci burti" vai "piecas alfas" - tas tika uzskatīts par piecu kombināciju. burti “alfa” (A) . Pentagramma tika uzskatīta par veselības simbolu - harmoniju cilvēkā - un kalpoja pitagoriešiem identifikācijas zīme. (Piemēram, kad svešā zemē viens no pitagoriešiem gulēja uz nāves gultas un viņam nebija naudas, lai samaksātu vīrietim, kurš viņu pieskatīja līdz viņa nāvei, viņš lika uz viņa mājas durvīm uzzīmēt pentagrammu. Dažas gadus vēlāk šo zīmi ieraudzīja cits pitagorietis, un īpašnieks saņēma dāsnu atlīdzību). Izrādās, ka pentagrammā dažādas līnijas sadala viena otru attiecībā pret zelta griezumu. Faktiski trijstūri ACD un ABE ir līdzīgi, AB : AC = AE : AD. Bet AD = BC un AE = AC, un tāpēc AB: AC = AC: BC. Izrādās, ka jebkurš no 10 zvaigznes ārējās kontūras segmentiem zelta griezumā ir saistīts ar jebkuru no 5 segmentiem, veidojot nelielu iekšējo piecstūri.
Starp citu, no vienādu trīsstūru ACD un ABE līdzības izriet, ka trijstūris ACD ir vienādsānu un CD = AD. Tas nozīmē, ka regulāra piecstūra diagonāle attiecas uz tā malu, arī zelta griezumā. Visas piecas regulāra piecstūra diagonāles veido vēl vienu pentagrammu, kurā visas attiecības atkārtojas vēlreiz.
Ja jums ir nepieciešams izveidot regulāru piecstūri ar malu a 1, tad jums ir jāsadala segments a 1 ar zelta griezumu segmentos a 2 un a 3, pēc tam jākonstruē vienādsānu trīsstūris ar malām a 1, a 1 un (a 1 + a 2). Divi segmenti ar garumu a 1 veidos divas vēlamā piecstūra malas, un segments ar garumu a 1 + a 2 = a 1 /Φ ir tā diagonāle. Konstruējot citus trīsstūrus, nav grūti atrast atlikušās piecstūra virsotnes.
Viduslaikos pentagramma kalpoja kā Veneras simbols: šī planēta tuvojas Zemei piecos punktos, veidojot piecstūri.
Vienādsānu trijstūrim, kura malas ir saistītas ar pamatni zelta griezumā - piemēram, trijstūrim, ko veido divas diagonāles un regulāra piecstūra malas, ir vēl viens interesants īpašums: tā leņķu bisektrise pie pamatnes ir vienāda ar pašu pamatni.
Šāds trīsstūris bieži sastopams dažādu sastāvā mākslas darbi– piemēram, slavenajā Leonardo da Vinči “La Džokondā”.
Ožegova skaidrojošajā vārdnīcā teikts, ka piecstūris ir piecstūris, ko ierobežo piecas krustojošas līnijas, kas veido piecus iekšējos leņķus, kā arī jebkurš līdzīgas formas objekts. Ja dotajam daudzstūrim ir vienādas malas un leņķi, tad to sauc par regulāru (piecstūri).
Kas ir interesants parastajā piecstūrī?
Šādā formā tika uzcelta plaši pazīstamā ASV Aizsardzības departamenta ēka. No trīsdimensiju regulārajiem daudzskaldņiem tikai dodekaedram ir piecstūra formas sejas. Un dabā absolūti nav kristālu, kuru sejas atgādinātu parastu piecstūri. Turklāt šis skaitlis ir daudzstūris ar minimālais daudzums stūri, kurus nevar izmantot teritorijas bruģēšanai. Tikai piecstūrim ir tāds pats diagonāļu skaits kā malu skaits. Piekrītu, tas ir interesanti!
Pamatīpašības un formulas
Izmantojot formulas patvaļīgam regulāram daudzstūram, varat noteikt visus nepieciešamos parametrus, kas ir piecstūrim.
- Centrālais leņķis α = 360 / n = 360/5 =72°.
- Iekšējais leņķis β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Attiecīgi iekšējo leņķu summa ir 540°.
- Diagonāles un sānu attiecība ir (1+√5) /2, tas ir (aptuveni 1,618).
- Parasta piecstūra malas garumu var aprēķināt, izmantojot vienu no trim formulām atkarībā no tā, kurš parametrs jau ir zināms:
- ja ap to aprakstīts aplis un zināms tā rādiuss R, tad a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
- gadījumā, ja aplis ar rādiusu r ir ierakstīts regulārā piecstūrī, a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
- gadās, ka rādiusu vietā ir zināma diagonāles D vērtība, tad malu nosaka šādi: a ≈ D/1,618.
- Regulāra piecstūra laukums atkal tiek noteikts atkarībā no tā, kādu parametru mēs zinām:
- ja ir ierakstīts vai ierobežots aplis, tad izmanto vienu no divām formulām:
S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r vai S = (n*R2 *sin α)/2 ≈ 2,3776*R2;
- Platību var noteikt arī, zinot tikai sānu malas garumu a:
S = (5*a 2 *tg54°)/4 ≈ 1,7205* a 2 .
Regulārs piecstūris: būvniecība
Šo ģeometrisko figūru var konstruēt dažādos veidos. Piemēram, ievietojiet to aplī ar noteiktu rādiusu vai izveidojiet to, pamatojoties uz doto malu. Darbību secība tika aprakstīta Eiklida elementos aptuveni 300. gadā pirms mūsu ēras. Jebkurā gadījumā mums būs nepieciešams kompass un lineāls. Apskatīsim būvniecības metodi, izmantojot doto apli.
1. Izvēlieties patvaļīgu rādiusu un uzzīmējiet apli, atzīmējot tā centru ar punktu O.
2. Uz riņķa līnijas izvēlieties punktu, kas kalpos kā viena no mūsu piecstūra virsotnēm. Lai tas ir punkts A. Savienojiet punktus O un A ar taisni.
3. Novelciet līniju caur punktu O, kas ir perpendikulāra taisnei OA. Apzīmējiet šīs taisnes krustpunktu ar apļa līniju kā punktu B.
4. Pusceļā starp punktiem O un B konstruē punktu C.
5. Tagad uzzīmējiet apli, kura centrs būs punktā C un kurš iet caur punktu A. Tā krustošanās vieta ar taisni OB (tā atradīsies pašā pirmajā riņķī) būs punkts D.
6. Izveidojiet apli, kas iet caur D, kura centrs atradīsies pie A. Tā krustošanās vietas ar sākotnējo apli jāatzīmē ar punktiem E un F.
7. Tagad izveidojiet apli, kura centrs būs E. Tas jādara tā, lai tas iet caur A. Jāatzīmē tā otrs sākotnējā apļa krustojums
8. Visbeidzot izveidojiet apli caur A, kura centrs atrodas punktā F. Apzīmējiet otru sākotnējā apļa krustpunktu ar punktu H.
9. Tagad atliek tikai savienot virsotnes A, E, G, H, F. Mūsu regulārais piecstūris būs gatavs!