Дать определение параллельных плоскостей в пространстве. Параллельные плоскости

Параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство. Пусть a и b - данные плоскости, а 1 и а 2 – прямые в плоскости a , пересекающиеся в точке А , b 1 и b 2 соответственно параллельные им прямые в плоскости b . Допустим, что плоскости a и b не параллельны, то есть они пересекаются по некоторой прямой с . Прямая а 1 параллельна прямой b 1 , значит она параллельна и самой плоскости b (признак параллельности прямой и плоскости). Прямая а 2 параллельна прямой b 2 , значит она параллельна и самой плоскости b (признак параллельности прямой и плоскости). Прямая с принадлежит плоскости a , значит хотя бы одна из прямых а 1 или а 2 пересекает прямую с, то есть имеет с ней общую точку. Но прямая с также принадлежит и плоскости b , значит, пересекая прямую с, прямая а 1 или а 2 пересекает плоскость b , чего быть не может, так как прямые а 1 и а 2 параллельны плоскости b . Из этого следует, что плоскости a и b не пересекаются, то есть они параллельны.

Теорема 1 . Если две параллельные плоскости пересекаются третей, то прямые пересечения параллельны.
Доказательство. Пусть a и b - параллельные плоскости, а g - плоскость, пересекающая их. Плоскость a пересеклась с плоскостью g по прямой а. Плоскость b пересеклась с плоскостью g по прямой b . Линии пересечения а и b лежатв одной плоскости g и потому могут быть либо пересекающимися, либо параллельными прямыми. Но, принадлежа двум параллельным плоскостям, они не могут иметь общих точек. Следовательно, они параллельны.

Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.
Доказательство. Пусть a и b - параллельные плоскости, а а и b – параллельные прямые, пересекающие их. Через прямые а и b проведем плоскость g (эти прямые параллельны, значит определяют плоскость, причем только одну). Плоскость a пересеклась с плоскостью g по прямой АВ. Плоскость b пересеклась с плоскостью g по прямой СД.По предыдущей теореме прямая с параллельна прямой d . Прямые а, b , АВ и СД принадлежат плоскости g .Четырехугольник, ограниченный этими прямыми,есть параллелограмм (у него противоположные стороны параллельны). А раз это параллелограмм, то противоположные стороны у него равны, то есть АД = ВС

Всем, кто когда-либо учился или сейчас учится в школе, приходилось сталкиваться с различными трудностями при изучении дисциплин, которые включены в программу, разработанную Министерством образования.

С какими трудностями приходится сталкиваться

Изучение языков сопровождается зазубриванием имеющихся грамматических правил и основных исключений из них. Физкультура требует от учеников большой выкладки, хорошей физической формы и огромного терпения.

Однако ни с чем нельзя сравнить те сложности, которые возникают при изучении точных дисциплин. Алгебра, содержащая в себе запутанные способы решения элементарных задач. Физика с богатым набором формул физических законов. Геометрия и ее разделы, в основе которых лежат сложные теоремы и аксиомы.

Примером могут служить аксиомы, объясняющие теорию параллельности плоскостей, которые необходимо обязательно запомнить, так как они лежат в основе всего курса школьной программы по стереометрии. Давайте попробуем разобраться, как проще и быстрее это можно сделать.

Параллельные плоскости на примерах

Аксиома, указывающая на параллельность плоскостей, звучит следующим образом: «Любые две плоскости считаются параллельными только в том случае, если они не содержат общих точек », то есть не пересекаются друг с другом. Чтобы более детально представить себе данную картину, в качестве элементарного примера можно привести отношение потолка и пола или противоположных стен в здании. Становится сразу понятно, что имеется в виду, а также подтверждается тот факт, что эти плоскости в обычном случае никогда не пересекутся.

Другим примером может служить оконный стеклопакет, где в качестве плоскостей выступают полотна стекол. Они также ни при каких условиях не будут образовывать точек пересечения между собой. Дополнительно к этому можно добавить книжные полки, кубик Рубика, где плоскостями являются его противоположные грани, и прочие элементы быта.

Обозначаются рассматриваемые плоскости специальным знаком в виде двух прямых «||», которые наглядно иллюстрируют параллельность плоскостей. Таким образом, применяя реальные примеры, можно сформировать более четкое восприятие темы, а, следовательно, можно переходить далее к рассмотрению более сложных понятий.

Где и как применяется теория параллельных плоскостей

При изучении школьного курса геометрии ученикам приходится сталкиваться с разносторонними задачами, где зачастую необходимо определить параллельность прямых, прямой и плоскости между собой или зависимость плоскостей друг от друга. Анализируя имеющееся условие, каждую задачу можно соотнести к четырем основным классам стереометрии.

К первому классу относят задачи, в условии которых необходимо определить параллельность прямой и плоскостимежду собой. Ее решение сводится к доказательству одноименной теоремы. Для этого нужно определить, имеется ли для прямой, не принадлежащей рассматриваемой плоскости, параллельная прямая, лежащая в этой плоскости.

Ко второму классу задач относятся те, в которых задействуют признак параллельности плоскостей. Его применяют для того, чтобы упростить процесс доказательства, тем самым значительно сокращая время на поиск решения.

Следующий класс охватывает спектр задач о соответствии прямых основным свойствам параллельности плоскостей. Решение задач четвертого класса заключается в определении, выполняется ли условие параллельности плоскостей. Зная, как именно происходит доказательство той или иной задачи, ученикам становится проще ориентироваться при применении имеющегося арсенала геометрических аксиом.

Таким образом, задачи, условие которых требует определить и доказать параллельность прямых, прямой и плоскости или двух плоскостей между собой, сводятся к правильному подбору теоремы и решению согласно имеющемуся набору правил.

О параллельности прямой и плоскости

Параллельность прямой и плоскости - особая тема в стереометрии, так как именно она является базовым понятием, на которое опираются все последующие свойства параллельности геометрических фигур.

Согласно имеющимся аксиомам, в случае когда две точки прямой принадлежат некоторой плоскости, можно сделать вывод, что данная прямая также лежит в ней. В сложившейся ситуации становится ясно, что возможны три варианта расположения прямой относительно плоскости в пространстве:

1. Прямая принадлежит плоскости.
2. Для прямой и плоскости имеется одна общая точка пересечения.
3. Для прямой и плоскости точки пересечения отсутствуют.

Нас, в частности, интересует последний вариант, когда отсутствуют какие-либо точки пересечения. Только тогда можно говорить о том, что прямая и плоскость относительно друг друга являются параллельными. Таким образом, подтверждается условие основной теоремы о признаке параллельности прямой и плоскости, которая гласит, что: «Если прямая, не принадлежащая рассматриваемой плоскости, параллельна любой прямой на этой плоскости, то рассматриваемая прямая также является параллельной данной плоскости».

Необходимость использования признака параллельности

Признак параллельности плоскостей, как правило, используется для поиска упрощенного решения задач о плоскостях. Суть данного признака состоит в следующем: «Если имеются две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельные двум прямым, принадлежащим другой плоскости, то такие плоскости можно назвать параллельными ».

Дополнительные теоремы

Помимо использования признака, доказывающего параллельность плоскостей, на практике можно встретиться с применением двух других дополнительных теорем. Первая представлена в следующей форме: «Если одна из двух параллельных плоскостей параллельна третьей, то и вторая плоскость либо тоже параллельна третьей, либо полностью совпадает с ней ».

Базируясь на использовании приводимых теорем, всегда можно доказать параллельность плоскостей относительно рассматриваемого пространства. Вторая теорема отображает зависимость плоскостей от перпендикулярной прямой и имеет вид: «Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны по отношению к некоторой прямой, то они считаются параллельными друг другу ».

Понятие необходимого и достаточного условия

При неоднократном решении задач доказательства параллельности плоскостей было выведено необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей. Известно, что любая плоскость задается параметрическим уравнением вида: А 1 х+ В 1 у+ C 1 z+D 1 =0. Наше условие базируется на использовании системы уравнений, задающих расположение плоскостей в пространстве, и представлено следующей формулировкой: «Для доказательства параллельности двух плоскостей необходимо и достаточно, чтобы система уравнений, описывающих эти плоскости, была несовместной, то есть не имела решения ».

Основные свойства

Однако при решении геометрических задач использования признака параллельности не всегда бывает достаточно. Иногда возникает ситуация, когда необходимо доказать параллельность двух и более прямых в различных плоскостях или равенство отрезков, заключенных на этих прямых. Для этого применяют свойства параллельности плоскостей. В геометрии их насчитывается всего два.

Первое свойство позволяет судить о параллельности прямых в определенных плоскостях и представлено в следующем виде: «Если две параллельные плоскости пересечь третьей, то прямые, образованные линиями пересечения, будут также параллельны друг другу ».

Смысл второго свойства состоит в том, чтобы доказать равенство отрезков, расположенных на параллельных прямых. Его трактовка представлена ниже. «Если рассматривать две параллельные плоскости и заключить между ними область, то можно утверждать, что длина образованных этой областью отрезков будет одинакова ».

В данной статье будут изучены вопросы параллельности плоскостей. Дадим определение плоскостям, которые параллельны между собой; обозначим признаки и достаточные условия параллельности; рассмотрим теорию на иллюстрациях и практических примерах.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Параллельные плоскости – плоскости, не имеющие общих точек.

Чтобы обозначить параллельность применяют такой символ: ∥ . Если заданы две плоскости: α и β , являющиеся параллельными, краткая запись об этом будет выглядеть так: α ‖ β .

На чертеже, как правило, плоскости, параллельные друг другу, отображаются как два равных параллелограмма, имеющих смещение относительно друг друга.

В речи параллельность можно обозначить так: плоскости α и β параллельны, а также – плоскость α параллельна плоскости β или плоскость β параллельна плоскости α .

Параллельность плоскостей: признак и условия параллельности

В процессе решения геометрических задач зачастую возникает вопрос: а параллельны ли заданные плоскости между собой? Для получения ответа на этот вопрос используют признак параллельности, который также является достаточным условием параллельности плоскостей. Запишем его как теорему.

Теорема 1

Плоскости являются параллельными, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Доказательство этой теоремы приводится в программе геометрии за 10 - 11 класс.

В практике для доказательства параллельности, в том числе, применяют две следующие теоремы.

Теорема 2

Если одна из параллельных плоскостей параллельна третьей плоскости, то другая плоскость или также параллельна этой плоскости, или совпадает с ней.

Теорема 3

Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны некоторой прямой, то они параллельны.

На основе этих теорем и самого признака параллельности доказывается факт параллельности любых двух плоскостей.

Рассмотрим подробнее необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей α и β , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Допустим, что в некоторой прямоугольной системе координат задана плоскость α, которой соответствует общее уравнение A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , а также задана плоскость β , которую определяет общее уравнение вида A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Теорема 4

Для параллельности заданных плоскостей α и β необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имела решения (являлась несовместной).

Доказательство

Предположим, что заданные плоскости, определяемые уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 являются параллельными, а значит не имеют общих точек. Таким образом, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, координаты которой отвечали бы условиям одновременно обоих уравнений плоскостей, т.е. система A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имеет решения. Если указанная система не имеет решений, тогда не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, чьи координаты одновременно отвечали бы условиям обоих уравнений системы. Следовательно, плоскости, заданные уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имеют ни одной общей точки, т.е. они параллельны.

Разберем использование необходимого и достаточного условия параллельности плоскостей.

Пример 1

Заданы две плоскости: 2 x + 3 y + z - 1 = 0 и 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 . Необходимо определить, являются ли они параллельными.

Решение

Запишем систему уравнений из заданных условий:

2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0

Проверим, возможно ли решить полученную систему линейных уравнений.

Ранг матрицы 2 3 1 2 3 1 1 3 равен одному, поскольку миноры второго порядка равны нулю. Ранг матрицы 2 3 1 1 2 3 1 1 3 - 4 равен двум, поскольку минор 2 1 2 3 - 4 отличен от нуля. Таким образом, ранг основной матрицы системы уравнений меньше, чем ранг расширенной матрицы системы.

Совместно с этим, из теоремы Кронекера-Капелли следует: система уравнений 2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 не имеет решений. Этим фактом доказывается, что плоскости 2 x + 3 y + z - 1 = 0 и 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 являются параллельными.

Отметим, что, если бы мы применили для решения системы линейных уравнений метод Гаусса, это дало бы тот же результат.

Ответ: заданные плоскости параллельны.

Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей возможно описать по-другому.

Теорема 5

Чтобы две несовпадающие плоскости α и β были параллельны друг другу необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы плоскостей α и β являлись коллинеарными.

Доказательство сформулированного условия базируется на определении нормального вектора плоскости.

Допустим, что n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) являются нормальными векторами плоскостей α и β соответственно. Запишем условие коллинеарности данных векторов:

n 1 → = t · n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2 C 1 = t · C 2 , где t – некое действительное число.

Таким образом, чтобы несовпадающие плоскости α и β с заданными выше нормальными векторами были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы имело место действительное число t , для которого верно равенство:

n 1 → = t · n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t · A 2 B 1 = t · B 2 C 1 = t · C 2

Пример 2

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства заданы плоскости α и β . Плоскость α проходит через точки: A (0 , 1 , 0) , B (- 3 , 1 , 1) , C (- 2 , 2 , - 2) . Плоскость β описывается уравнением x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 Необходимо доказать параллельность заданных плоскостей.

Решение

Удостоверимся, что заданные плоскости не совпадают. Действительно, так и есть, поскольку координаты точки A не соответствуют уравнению плоскости β .

Следующим шагом определим координаты нормальных векторов n 1 → и n 2 → , соответствующие плоскостям α и β . Также проверим условие коллинеарности этих векторов.

Вектор n 1 → можно задать, взяв векторное произведение векторов A B → и A C → . Их координаты соответственно: (- 3 , 0 , 1) и (- 2 , 2 , - 2) . Тогда:

n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → - 3 0 1 - 2 1 - 2 = - i → - 8 j → - 3 k → ⇔ n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3)

Для получения координат нормального вектора плоскости x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 приведем это уравнение к общему уравнению плоскости:

x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 12 x + 2 3 y + 1 4 z - 1 = 0

Таким образом: n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4 .

Осуществим проверку, выполняется ли условие коллинеарности векторов n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3) и n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4

Так как - 1 = t · 1 12 - 8 = t · 2 3 - 3 = t · 1 4 ⇔ t = - 12 , то векторы n 1 → и n 2 → связаны равенством n 1 → = - 12 · n 2 → , т.е. являются коллинеарными.

Ответ : плоскости α и β не совпадают; их нормальные векторы коллинеарные. Таким образом, плоскости α и β параллельны.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или могут пересекаться, как показано в следующей таблице.

Две пересекающиеся плоскости

Определение: Две плоскости называют пересекающимися , если они не совпадают , и у них есть общие точки . В случае, когда две плоскости пересекаются, пересечением этих плоскостей является прямая линия .

Две параллельные плоскости

Определение: Две плоскости называют параллельными , если они не имеют общих точек .

Признаки параллельности двух плоскостей

Первый признак параллельности двух плоскостей . Если две пересекающиеся прямые пересекающиеся прямые , лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены плоскости α и β

Прямые a и b лежат в плоскости α и пересекаются в точке K . Прямые c и d лежат в плоскости β и параллельны прямым a и b соответственно.

Будем доказывать первый признак параллельности двух плоскостей методом «от противного». Для этого предположим, что плоскости α и β не параллельны. Следовательно, плоскости α и β должны пересекаться, причём пересекаться по некоторой прямой. Обозначим прямую линию, по которой пересекаются плоскости α и β буквой l (рис.2) и воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости .

Плоскость α проходит через прямую a , параллельную прямой c , и пересекает плоскость β по прямой l . Отсюда, в силу , заключаем, что прямые a и l параллельны. В то же время плоскость α проходит через прямую b , параллельную прямой d , и пересекает плоскость β по прямой l . Отсюда, в силу признака параллельности прямой и плоскости , заключаем, что прямые b и l параллельны. Таким образом, мы получили, что на плоскости α через точку K проходят две прямые, а именно, прямые a и b , которые параллельны прямой l . Полученное противоречие с аксиомой о параллельных прямых даёт возможность утверждать, что предположение о том, что плоскости α и β пересекаются, является неверным. Доказательство первого признака параллельности двух плоскостей завершено.

Второй признак параллельности двух плоскостей . Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 3, на котором изображены плоскости α и β .

На этом рисунке также изображены прямые a и b , которые лежат в плоскости α и пересекаются в точке K. По условию каждая из прямых a и b параллельна плоскости β . Требуется доказать, что плоскости α и β параллельны.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству первого признака параллельности двух плоскостей, и мы его оставляем читателю в качестве полезного упражнения.

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике .

индивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

На этом уроке мы рассмотрим три свойства параллельных плоскостей: о пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью; о параллельных отрезках, заключенных между параллельными плоскостями; и о рассечении сторон угла параллельными плоскостями. Далее решим несколько задач с использованием этих свойств.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Свойства параллельных плоскостей

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости и и плоскость , которая пересекает плоскости и по прямым а и b соответственно (Рис. 1.).

Прямые а и b лежат в одной плоскости, а именно в плоскости γ. Докажем, что прямые а и b не пересекаются.

Если бы прямые а и b пересекались, то есть имели бы общую точку, то эта общая точка принадлежала бы двум плоскостям и , и , что невозможно, так как они параллельны по условию.

Итак, прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости и и параллельные прямые АВ и С D , которые пересекают эти плоскости (Рис. 2.). Докажем, что отрезки АВ и С D равны.

Две параллельные прямые АВ и С D образуют единственную плоскость γ, γ = АВ D С . Плоскость γ пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым (по первому свойству). Значит, прямые АС и В D параллельны.

Прямые АВ и С D также параллельны (по условию). Значит, четырехугольник АВ D С - параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Из свойств параллелограмма следует, что отрезки АВ и С D равны, что и требовалось доказать.

Параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные плоскости и, которые рассекают стороны угла А (Рис. 3.). Нужно доказать, что .

Параллельные плоскости и рассечены плоскостью угла А . Назовем линию пересечения плоскости угла А и плоскости - ВС, а линию пересечения плоскости угла А и плоскости - В 1 С 1 . По первому свойству, линии пересечения ВС и В 1 С 1 параллельны.

Значит, треугольники АВС и АВ 1 С 1 подобны. Получаем:

3. Математический сайт Цегельного Виталия Станиславовича ()

4. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ()

1. Точка О - общая середина каждого из отрезков АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , которые не лежат в одной плоскости. Докажите, что плоскости АВС и А 1 В 1 С 1 параллельны.

2. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости.

3. Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и вторую.

4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 6, 8, 9 стр. 29