- Прежде чем приступить к вычислению давления газа с помощью молекулярно-кинетической теории, рассмотрим детальнее простые закономерности, относящиеся к средним значениям скоростей теплового движения молекул.
Средние значения
Предположим, что молекулы газа движутся беспорядочно. Скорость любой молекулы может оказаться как очень большой, так и очень маленькой. Направление движения молекул хаотически меняется при их столкновениях друг с другом. Об этом было рассказано в главе 2. Наблюдение броуновского движения служит доказательством участия молекул в хаотическом движении.
Однако, хотя движение отдельных молекул хаотично, поведение всех молекул в целом обнаруживает простые закономерности. Во-первых, если в газе произвольно выделить какое-либо направление, то среднее число молекул, движущихся в этом направлении, должно равняться среднему числу молекул, движущихся в противоположном направлении. Ведь хаос в движении молекул означает, что ни одно из направлений движения не является преимущественным. Все они равноправны.
Точно так же среднее число людей, идущих по улице города в одну и другую сторону, в среднем за достаточно большой промежуток времени (или для достаточно большой группы людей) одинаково. Конечно, если исключить особые случаи вроде уличного шествия.
Во-вторых, простые закономерности справедливы для средней арифметической скорости молекул. Пусть имеется N молекул. Проекции скоростей этих молекул на ось X могут принимать всевозможные значения: v 1x , v 2x , v 3x , ..., v Nx , причем каждая проекция может быть как положительной, так и отрицательной. Средняя арифметическая проекции скорости х на данное направление X равна сумме проекций скоростей всех молекул, деленной на их число:
Из-за хаоса в движении молекул положительные значения проекций скоростей встречаются столь же часто, как и отрицательные. Поэтому среднее значение проекции скорости на данное направление X равно нулю: х = 0. Если бы это было не так, то газ двигался бы как единое целое.
Среднее же значение модуля проекции скорости | х | является вполне определенной величиной, отличной от нуля. Поясним это таким примером. Рост учеников в одном классе неодинаков, но среднее значение роста - определенная величина. Чтобы ее найти, надо сложить рост всех учеников и разделить эту сумму на их количество (рис. 4.2).
Рис. 4.2
Среднее значение квадрата скорости
Нас будет интересовать средний квадрат проекции скорости. Он находится так же, как квадрат модуля скорости (см. выражение (4.1.2)):
Скорости молекул принимают непрерывный ряд значений. Определить точные значения скоростей и вычислить среднее значение (статистическое среднее) с помощью формулы (4.3.2) практически невозможно. Определим несколько иначе, более реалистично. Обозначим через n 1 число молекул в объеме 1 см 3 , имеющих проекции скоростей, близкие к v 1x ; через n 2 - число молекул в том же объеме, но со скоростями, близкими к v kx , и т. д.(1) Число молекул со скоростями, близкими к максимальной v kx , обозначим через n k (скорость v kx может быть сколь угодно велика). При этом должно выполняться условие n 1 + n 2 + ... + n i + ... + n k = n, где n - концентрация молекул. Тогда для среднего значения квадрата проекции скорости вместо формулы (4.3.2) можно написать следующую эквивалентную формулу:
Так как направление X ничем не отличается от направлений Y и Z (опять-таки из-за хаоса в движении молекул), справедливы равенства
Средняя скорость движения молекул
средняя скорость движения молекул $\left\langle v\right\rangle $, которая определяется как:
где N -- число молекул. Или, среднюю скорость можно найти как:
где $F\left(v\right)=4\pi {\left(\frac{m_0}{2\pi kT}\right)}^{\frac{3}{2}}exp\left(-\frac{m_0v^2}{2kT}\right)v^2$ -- функция распределения молекул по модулю скорости, указывающая долю молекул со скоростями, находящимися в единичном интервале $dv$ около величины скорости $v$, $m_0$- масса молекулы, $k$- постоянная Болцмана, T -- термодинамическая температура. Для того, чтобы определить, как средняя скорость молекулы связана с макропараметрами газа, как системы частиц, найдем значение интеграла (2).
Произведем замену:
Следовательно:
Подставим (4) и (5) в (3), получим:
Проведем интегрирование по частям, получим:
где R -- универсальная газовая постоянная, $\mu $- молярная масса газа.
Среднюю скорость движения молекул называют также скоростью теплового движения молекул.
Средняя относительная скорость молекул:
\[\left\langle v_{otn}\right\rangle =\sqrt{2}\sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}}=\sqrt{2}\left\langle v\right\rangle \left(7\right).\]
Средняя квадратичная скорость
Средней квадратичной скоростью движения молекул газа называют величину:
\[\left\langle v_{kv}\right\rangle =\sqrt{\frac{1}{N}\sum\limits^N_{i=1}{{v_i}^2}}\left(8\right).\]
\[{\left\langle v_{kv}\right\rangle }^2=\int\nolimits^{\infty }_0{v^2F\left(v\right)dv\ \left(9\right).}\]
Проводя интегрирование, которое аналогично интегрированию при получении связи средней скорости с температурой газа, получим:
\[\left\langle v_{kv}\right\rangle =\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}=\sqrt{\frac{3RT}{\mu }}\left(10\right).\]
Именно средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул газа входит в основное уравнение молекулярно-кинетической теории:
где $n=\frac{N}{V}$ -- концентрация частиц вещества, $N$- число частиц вещества, V- объем.
Пример 1
Задание: Определите, как изменяется средняя скорость движения молекул идеального газа при увеличении давления в процессе, представленном на графике (рис.1).
Запишем выражение для средней скорости движения молекул газа в виде:
\[\left\langle v\right\rangle =\sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}}\ \left(1.1\right)\]
По графику видим, что $p\sim \rho \ или\ p=C\rho ,\ $ где C- некоторая константа.
Подставим (1.2) в (1.1), получим:
\[\left\langle v\right\rangle =\sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}}=\sqrt{\frac{8C\rho }{\pi n}\frac{n}{\rho }}=\sqrt{\frac{8C}{\pi }}\left(1.3\right)\]
Ответ: В процессе, изображенном на графике, с ростом давления средняя скорость движения молекул не изменяется.
Пример 2
Задание: Можно ли вычислить среднюю квадратичную скорость молекулы идеального газа, если известны: давление газа (p), молярная масса газа ($\mu $) и концентрация молекул газа (n)?
Используем выражение для $\left\langle v_{kv}\right\rangle:$
\[\left\langle v_{kv}\right\rangle =\sqrt{\frac{3RT}{\mu }}\left(2.1\right).\]
Кроме того, из уравнения Менделеева -- Клайперона и зная, что $\frac{m}{\mu }=\frac{N}{N_A}$:
Разделим правую и левую части (2.2) на V, зная, что $\frac{N}{V}=n$ получим:
Подставим (2.3) в выражение для среднеквадратичной скорости (2.1), имеем:
\[\left\langle v_{kv}\right\rangle =\sqrt{\frac{3pN_A}{\mu n}}\ \left(2.4\right).\]
Ответ: По заданным в условии задачи параметрам среднеквадратичную скорость движения молекул газа вычислить можно с помощью формулы $\left\langle v_{kv}\right\rangle =\sqrt{\frac{3pN_A}{\mu n}}.$
«Законы молекулярной физики» - Три состояния вещества. Давление газа. Объем куба. Абсолютная температура. Диффузия. Масса одного моля вещества. Молекула ДНК. Молекулярное взаимодействие. Степень нагретости тела. Масса и размеры молекул. Твердые тела. Определение диаметра молекул. Газовые законы. Жидкости. Газы. Определение скоростей молекул газа.
«Атомы и молекулы» - Английский физик Джон Релей (1842 – 1919). Да Нет Некоторые можно, а некоторые нельзя. Атомы углерода. Во Вселенной: атомы водорода, атомы гелия (99%). Ядро состоит из частиц: протонов и нейтронов. 1. Молекула водорода. Население Земли. Вещество состоит из огромного числа мельчайших частиц. 2. Молекула кислорода.
«Теория по молекулярной физике» - Изотермическое сжатие. Распределение Больцмана. Совокупность тел, составляющих макроскопическую систему. Объединённый газовый закон (Закон Клапейрона). Нормальные условия. Холодильная машина. Равенство нулю рассматривается как наиболее вероятное. Изобара. Температура. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории.
«Масса и размеры молекул» - Молекула. Массы молекул. Количество вещества. Масса и размеры молекул. Учитель. Самая маленькая молекула. Объём слоя масла. Найти формулы. Число молекул. Синквейн. Фотографии молекул. Размер молекулы. Постоянная Авогадро. Решить задачи.
«Молекулярная физика» - Молекулы беспорядочно движутся. Молекулярная физика. Уравнение состояния идеального газа. Все вещества состоят из молекул, которые разделены промежутками. P=const; Изобарный процесс. T=const; Изотермический процесс. Основное уравнение МКТ для газов. Таким образом, Температура. k – постоянная Больцмана = 1,38*10-23 Дж/К.
«Расположение молекул» - Лед. Промежутки между молекулами малы, но притяжение мало и форма не сохраняется. Проведём эксперимент. Большие расстояния между молекулами. Воск. Озон. Какими свойствами обладают газы? Золото. Вещество. Неупорядоченное расположение молекул. Очень сильное взаимодействие между молекулами. Кристаллические вещества.
Всего в теме 21 презентация
Нас будет интересовать средний квадрат проекции скорости. Он находится так же, как квадрат модуля скорости (см. выражение (4.1.2)):
Скорости
молекул принимают непрерывный ряд
значений. Определить точные значения
скоростей и вычислить среднее значение
(статистическое среднее) с помощью
формулы (4.3.2) практически невозможно.
Определим
несколько иначе, более реалистично.
Обозначим черезп
1
число
молекул в объеме 1 см 3 ,
имеющих проекции скоростей, близкие к
v
1х
;
через
п
2
-
число молекул в том же объеме, но со
скоростями, близкими к v
kx
,
и
т. д.* Число молекул со скоростями,
близкими к максимальной v
kx
,
обозначим
через n
k
(скорость
v
k
x
может
быть сколь угодно велика). При этом
должно выполняться условие: п
1
+ п
2
+
...
+ n
i
+
... + n
k
= п,
где
п
-
концентрация
молекул. Тогда для среднего значения
квадрата проекции скорости вместо
формулы (4.3.2) можно написать следующую
эквивалентную формулу:
* О том, как эти числа могут быть определены, будет рассказано в §4.6.
Так как направление X ничем не отличается от направлений Y и Z (опять-таки из-за хаоса в движении молекул), справедливы равенства:
(4.3.4)
Для каждой молекулы квадрат скорости равен:
Значение среднего квадрата скорости, определяемое так же, как средний квадрат проекции скорости (см. формулы (4.3.2) и (4.3.3)), равно сумме средних квадратов ее проекций:
(4.3.5)
Из выражений (4.3.4) и (4.3.5) следует, что
(4.3.6)
т. е. средний квадрат проекции скорости равен среднего квадрата самой скорости. Множительпоявляется вследствие трехмерности пространства и, значит, существования трех проекций у любого вектора.
Скорости молекул беспорядочно меняются, но среднее значение проекций скорости на любое направление и средний квадрат скорости - вполне определенные величины.
§ 4.4. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
Вычислим с помощью молекулярно-кинетической теории давление газа. На основе проделанных расчетов можно будет сделать очень важный вывод о связи температуры газа со средней кинетической энергией молекул.
Пусть газ находится в прямоугольном сосуде с твердыми стенками. Газ и сосуд имеют одинаковые температуры, т. е. находятся в состоянии теплового равновесия. Будем считать столкновения молекул со стенками абсолютно упругими. При этом условии кинетическая энергия молекул в результате столкновения не меняется.
Требование того, чтобы столкновения были абсолютно упругими, не является строго обязательным. В точности оно и не реализуется. Молекулы могут отражаться от стенки под разными углами и со скоростями, не равными по модулю скоростям до соударения. Но в среднем кинетическая энергия отраженных стенкой молекул будет равна кинетической энергии падающих молекул, если только существует тепловое равновесие. Результаты расчета не зависят от детальной картины столкновений молекул со стенкой. Поэтому вполне допустимо считать столкновения молекул подобными столкновениям упругих шаров с абсолютно гладкой твердой стенкой.
Вычислим давление газа на стенку сосуда CD , имеющую площадь S и расположенную перпендикулярно оси X (рис. 4.3).
