Теорияпластического течения устанавливает связь между напряжениями и бесконечно малыми приращениями пластических деформаций
Вводится понятие «интенсивность приращений пластических деформаций », выражение для которой аналогично выражению (9.1):
. (9.11)
В теории используются три гипотезы.
1. Среднее нормальное напряжение прямо пропорционально объёмной деформации, при этом коэффициент пропорциональности тотже, что и в пределах упругости. Эта гипотеза совпадает с первой гипотезой теории малых упругопластических деформаций. Продифференцировав выражение (9.9), получаем
, (9.12)
Приращение средней линейной деформации складывается из упругой части и пластической части :
.
Упругая часть приращения подчиняется закону Гука:
.
C учётом этого = 0, т.е. за счёт пластических деформаций объём не изменяется. Поэтому тензор приращений пластических деформаций представляет собой девиатор
2. Компоненты девиатора приращений пластических деформаций прямо пропорциональныкомпонентам девиатора напряженийD s:
.
В развёрнутой форме это условие имеет вид:
(9.13)
По аналогии с параметромy в теории малых упругопластических деформаций получается выражение дляd l:
.
3. Интенсивность напряжений является функцией интеграла от интенсивности приращений пластических деформаций, не зависящей от типа напряжённого состояния:
, (9.14)
где – интенсивность приращений пластических деформаций, определяемая по формуле (9.11).
Определим функцию с помощью диаграммы растяжения материала. Пустьs z
= s, s x
= s y
= 0, t xy
= t yz
= t zx
= 0, (материал несжимаемый). Тогдаs и
= s, 
.
Следовательно, 
.
| Рис. 9.4. Диаграмма растяжения |
. Поэтому для получения графика функции необходимо построить график зависимости напряжения от пластической деформации. Пусть известна диаграмма растяжения материалаs = f
(e) (рис. 9.4). Для произвольной точки В из полной деформации удалим упругую частьe у
сдвинув точку В по горизонтали в положение С. Выполнив подобные действия для всех точек кривой, расположенной выше точки А, получим искомую кривую: 
.
Уравнения теории текучести значительно сложнее уравнений теории малых упругопластических деформаций.
Доказано, что в случаях простого нагружения обе теории дают одинаковые результаты. Многочисленные опыты показали, что при сложном нагружении теория пластического течения даёт более достоверные результаты.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Какой материал называют упругопластическим ?
2. Как вычисляется интенсивность касательных напряжений t и ?
3. Как вычисляется интенсивность нормальных напряжений s и ?
4. Как вычисляется интенсивность деформаций e и ?
5. Как вычисляется интенсивность деформаций сдвига g и ?
6. Как записывается условие пластичности Треска–Сен-Венана?
7. Как записывается условие пластичности Губера-Мизеса?
8. Какое нагружение тела называется простым ?
9. В чем заключается теорема о простом нагружении?
10. На каких гипотезах основана теория малых упругопластических деформаций?
11. На каких гипотезах основана теория пластического течения?
Теория пластического течения строится на аналогии с вязкой жидкостью. Как и деформационная теория пластичности, она является феноменологической теорией, т.е. опирается на опытные данные и не рассматривает механизм процесса.
Постановка задачи предполагает рассмотрение жестко-пластичного материала, т.е. материала, для которого можно пренебречь упругими деформациями по сравнению с пластическими. Это довольно разумная постановка, т.к. в большинстве случаев упругие деформации составляют доли процента, тогда как пластические доходят до десятков процентов.
Аналогично теории пластичности теория пластического течения базируется на трех постулатах:
(5.8)
Если
,
то (5.8) превращается в уравнение
ньютоновской вязкой жидкости.
(5.9)
где
-
длина траектории деформирования в
пространстве деформаций
(
).
Обратим внимание, что, в отличие от
теории
пластичности,
есть функция длины кривой деформирования,
а не длины вектора, определяющего эту
кривую.
Последний
постулат отпадает при переходе этой
теории в теорию вязкой жидкости, т.е.
когда
.
Как
уже говорилось, интенсивность скоростей
деформаций сдвига по определению есть
следующая величина:
.
Если ее подставить в уравнение (5.8), то
получится
или
;
теперь перепишем (5.8):
.
Отметим
частный случай уравнения (5.9), случай
идеальной пластичности, который будет
рассматриваться в дальнейшем:
,
где
-
предел текучести материала на сдвиг.
В чем же состоит отличие пластического течения от течения вязкой жидкости, или, может быть это одно и то же?
Рассмотрим течение Куэтта, то есть движение вязкой жидкости между двумя соосными цилиндрами, вращающимися с разными угловыми скоростями. Увеличим поле скоростей, например, в два раза. Так как при этом напряжения в жидкости увеличиваются в два раза, то и прикладываемый к цилиндрам момент необходимо увеличить в два раза.
А
что произойдет в аналогичной ситуации
в случае пластического течения?
Предположим, что материал не упрочняется,
т.е.
.
В теле имеется поле скоростей
.
Напряжения, соответствующие этому полю-
.
Увеличим поле скоростей в
раз:
,
следовательно новая скорость деформаций
,
а новая интенсивность
.
Но напряжения и деформации связаны
формулой
,
откуда видно, что напряжения не изменятся:
. Т.е. при пластическом течении напряжения
не зависят от скорости деформирования.
Получим
выражение для работы, диссипирующейся
в среде. Работа изменения формы:
;
мощность:
.
Используя соотношение (5.8) получим:
.
Теорема о простом деформировании.
Если для одной и той же кривой деформации использовать деформационную теорию пластичности и теорию пластического течения, то полученные напряжения будут существенно различными. Возникает вопрос, а существуют ли режимы, при которых результаты этих теорий совпадают? Оказывается существуют.
В случае простых деформаций, т.е. когда деформации растут пропорционально какому- либо одному параметру, напряжения, полученные из деформационной теории пластичности и из теории пластического течения, тождественно совпадают. Докажем это утверждение.
Сперва
рассмотрим деформационную теорию. Для
простоты будем считать, что упругие
деформации много меньше пластических
и ими можно пренебречь:
.
Деформации растут пропорционально
времени:
.
Последнее равенство представляется
прямой в пространстве деформаций.
Напряжения, необходимые для того, чтобы
вызвать такие деформации есть:
.
Интенсивность деформаций сдвига:
,
а интенсивность касательных напряжений
есть функция от
(третий постулат теории), следовательно
.
Таким образом необходимые напряжения
выражаются формулой
или, так как
и
,
формулой
(*)
Теперь
рассмотрим соотношения теории течения.
Связь между напряжениями и скоростями
деформации дается формулой
.
Как и в предыдущем случае деформации
пропорциональны времени:
,
отсюда:
.
Следовательно:
.
Теперь рассмотрим закон упрочнения:
.
,
а так как
,
то
.
Так как
-
постоянная величина, то после интегрирования
получаем:
.
Таким образом
.
Теперь выражение для напряжений запишется
так:
.
Перепишем его, учитывая что
.
Окончательно получим:
(**).
Сравнивая выражения (*) и (**), видим что они тождественно совпадают.
Все рассуждения, проведенные в предыдущей теореме, относились к малому объему. А как обстоит дело в случае нагружения реального тела системой внешних сил, изменяющихся во времени? Как должны измениться эти силы, чтобы деформации были простыми в любой точке тела? Ответ на эти вопросы дает следующая теорема.
Теорема о простом нагружении.
Будем
исходить из деформационной теории
пластичности. Пусть, во-первых, материал
несжимаем (
),
а во-вторых функция упрочнения имеет
степенной вид:
.
Будем нагружать образец так, чтобы
поверхностные силы росли пропорционально
времени:
,
где
.
Если есть массовые силы, пусть они также
увеличиваются со временем:
.
Допустим в момент времени
решение задано, т.е. выполняются следующие
равенства:
причем
здесь
,
т.к. материал несжимаем. Кроме того
выполняется соотношение
.
Затем, с течением времени, увеличиваются
силы,
,
и, следовательно, остальные параметры:
напряжения (
),
интенсивность касательных напряжений
(
).
Деформации тоже изменяются, однако не
пропорционально времени, а как-то иначе,
например пропорционально некоторой
величине
,
которую надо найти:
.
Итак, в этом виде и будем искать решение.
Тогда
,
,
и, следовательно,
.
В справедливости этих равенств можно
легко убедиться, подставив их в формулы
1), 2) и 3).
Однако
кроме этих формул должен выполняться
закон упрочнения:
.
Подставляем:
.
Отсюда следует, с учетом аналогичного
соотношения при
,
что
.
Таким образом мы получили, что смещения
и деформации при простом нагружении
растут не простым образом, а пропорционально
величине
.
Следует отметить, что это доказательство проходит лишь для несжимаемого материала и для степенного закона упрочнения.
ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ
пластич. деформирование под действием постоянно нарастающего напряжения. П. т. может быть холодное (ниже темп-ры рекристаллизации) и горячее (выше этой темп-ры). Теория П. т. рассматривается в различных разделах физики твёрдого тела.
Большой энциклопедический политехнический словарь . 2004 .
Смотреть что такое "ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ" в других словарях:
пластическое течение - Явление, которое происходит, когда металлы протягиваются или сжимаются без разрыва. Тематики металлургия в целом EN plastic flow …
Plastic flow Пластическое течение. Явление, которое происходит, когда металлы протягиваются или сжимаются без разрыва. (Источник: «Металлы и сплавы. Справочник.» Под редакцией Ю.П. Солнцева; НПО Профессионал, НПО Мир и семья; Санкт Петербург,… … Словарь металлургических терминов
пластическое течение - изменение состояния твердого тела под внешней нагрузкой, сопровождаемое значительными остаточными деформацциями без разрушения Смотри также: Течение вязкое течение …
Течение - : Смотри также: пластическое течение вязкое течение … Энциклопедический словарь по металлургии
течение пластическое - Нарастание пластических деформаций без возрастания нагрузки [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя СССР)] EN plastic flow DE plastisches Fließen FR fluage plastique … Справочник технического переводчика
Течение пластическое - – нарастание пластических деформаций без возрастания нагрузки. [Энциклопедия «Техника». Строительство М.: Росмэн 2006 г.] Рубрика термина: Деформации материалов Рубрики энциклопедии: Абразивное оборудование, Абразивы, Автодороги … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов
Нарастание пластических деформаций без возрастания нагрузки (Болгарский язык; Български) пластично провлачване (Чешский язык; Čeština) plastické tečení (Немецкий язык; Deutsch) plastisches Fließen (Венгерский язык; Magyar) képlékeny folyás… … Строительный словарь
вязкое течение - медленное течение твердого тела (материала) при высокотемпературной обработке, когда скорость деформации является, как правило, линейной или степенной функцией приложенного напряжения; Смотри также: Течение … Энциклопедический словарь по металлургии
Цель испытания материалов состоит в том, чтобы оценить качество материала, определить его механические и эксплуатационные характеристики и выявить причины потери прочности. Химические методы. Химические испытания обычно состоят в том, что… … Энциклопедия Кольера
Горная порода - (Rock) Горная порода это совокупнность минералов, образующая самостоятельное тело в земной коре, вследстие природных явлений Группы горных пород, магматические и метаморфические горные породы, осадочные и метасоматические горные породы, строение… … Энциклопедия инвестора
1. Общие соотношения. Процесс пластической деформации является необратимым, большая часть работы деформации переходит в тепло. Напряжения в конечном состоянии зависят от пути деформирования. В связи с этим уравнения, описывающие пластическую деформацию, в принципе не могут быть конечными соотношениями, связывающими компоненты напряжения и деформации (аналогично соотношениям закона Гука), а должны быть дифференциальными (и притом неинтегрируемыми) зависимостями.
Уравнения теории пластического течения устанавливают связь между бесконечно малыми приращениями деформаций и напряжений, самими напряжениями и некоторыми параметрами пластического состояния.
Рассмотрим исходные положения этой теории:
- 1) Тело изотропно.
- 2) Относительное изменение объема мало и является упругой деформацией, пропорциональной среднему давлению:
Полные приращения составляющих деформации dе ij складываются из приращений составляющих упругой деформации dе ij e , - и пластической деформации dе ij p
Приращения составляющих упругой деформации связаны с приращениями составляющих напряжения законом Гука
4) Девиатор напряжения D у , и девиатор приращений пластической деформации D dе p пропорциональны, т.е.
где dл - некоторый бесконечно малый скалярный множитель. Напряженное состояние определяет мгновенные приращения компонент пластической деформации.
Из (2.4) вытекают соотношения (так как dе p =0)
Вычисляя теперь приращение работы пластической деформации, находим:
Таким образом, множитель d л связан с величиной приращения работы пластической деформации; так как dA p ? 0, то и dл?0. Согласно (2.2) получаем полные приращения компонент деформации:
где приращения компонент упругой деформации следует взять согласно закону Гука (2.3).
dA = dA e + dA p , (2.8)
где dA p дано формулой (2.6), а приращение работы упругой деформации равно dA e = dП, где упругий потенциал
При dл = 0 уравнения (2.7) переходят в закон Гука, написанный в дифференциальной форме. В общем случае уравнения (2.7) не являются полными, так как содержат неизвестный множитель, для определения которого нужно располагать дополнительным соотношением.
2. Теория пластичности Сен-Венана - Мизеса. Если в уравнениях Прандтля - Рейса пренебречь компонентами упругой деформации (что допустимо при развитой пластической деформации), то получим уравнения теории пластичности Сен-Венана - Мизеса.
пропорционален мощности пластической деформации, т.е. характеризует диссипацию. Исключая в последнем соотношении компоненты напряжения с помощью (2.11), легко находим:
Следовательно, уравнения (2.11) можно еще представить так:
Уравнения Сен-Венана-Мизеса широко применяются в математической теории пластичности и различных ее приложениях.