Функция T (Tracer) отвечает за бросание луча из данной точки (o) в данном направлении (d). Она возвращает целое число, которое является кодом для результата бросания луча. 0 - луч ушел в небо, 1 - луч ушел в пол, 2 - луч наткнулся на сферу. Если была задета сфера, то функция обновляет переменные t (параметр, используемый для вычисления дистанции пересения) и n (полу-вектор при отскакивании от сферы).

Вот код, приведенный выше, но отформатированный и с комментариями:

// Тест на пересечение для линии // Возвращаем 2, если была задета сфера (а также дистанцию пересечения t и полу-вектор n). // Возвращаем 0, если луч ничего не задевает и идет вверх, в небо // Возвращаем 1, если луч ничего не задевает и идет вниз, в пол i T(v o,v d,f& t,v& n){ t=1e9; i m=0; f p=-o.z/d.z; if(.010){ // Да. Считаем расстояние от камеры до сферы f s=-b-sqrt(q); if(s.01) // Это минимальное расстояние, сохраняем его. А также // вычиваем вектор отскакивающего луча и записываем его в "n" t=s, n=!(p+d*t), m=2; } } return m; }

Число Leet

Многие программисты пытались сократить код еще больше. Сам автор остановился на версии, предоставленной в этой статье. Знаете, почему?

Fabien$ wc card.cpp 35 95 1337 card.cpp - много математики, но все очень подробно и ясно объясняется.

Алгоритм выглядит следующим образом: из виртуального глаза через каждый пиксел изображения испускается луч и находится точка его пересечения с поверхностью сцены (для упрощения изложения мы не рассматриваем объемные эффекты вроде тумана). Лучи, выпущенные из глаза называют первичными. Допустим, первичный луч пересекает некий объект 1 в точке H1 (рис. 1).

Рисунок 1. Алгоритм трассировки лучей.

Далее необходимо определить для каждого источника освещения, видна ли из него эта точка. Предположим пока, что все источники света точечные. Тогда для каждого точечного источника света, до него испускается теневой луч из точки H1. Это позволяет сказать, освещается ли данная точка конкретным источником. Если теневой луч находит пересечение с другими объектами, расположенными ближе чем источник чвета, значит, точка H1 находится в тени от этого источника и освещать ее не надо. Иначе, считаем освещение по некоторой локальной модели (Фонг, Кук-Торранс и.т.д.). Освещение со всех видимых (из точки H1) источников света складывается. Далее, если материал объекта 1 имеет отражающие свойства, из точки H1 испускается отраженный луч и для него вся процедура трассировки рекурсивно повторяется. Аналогичные действия должны быть выполнены, если материал имеет преломляющие свойства.

// Алгоритм трассировки лучей

//

float3 RayTrace (const Ray & ray )

{

float3 color (0,0,0);

Hit hit = RaySceneIntersection (ray );

if (!hit .exist )

return color ;

float3 hit_point = ray .pos + ray .dir *hit .t ;

for (int i =0;i

if (Visible (hit_point , lights ))

color += Shade (hit , lights );

if (hit .material .reflection > 0)

{

Ray reflRay = reflect (ray , hit );

color += hit .material .reflection*RayTrace (reflRay );

}

if (hit .material .refraction > 0)

{

Ray refrRay = refract (ray , hit );

color += hit .material .refraction *RayTrace (refrRay );

}

return color ;

}

Листинг 1. Алгоритм обратной трассировки лучей.

Поясним фрагмент программы (листинг 1). Луч представлен двумя векторами. Первый вектор – pos – точка испускание луча. Второй – dir – нормализованное направление луча. Цвет – вектор из трех чисел – синий, красный, зеленый. В самом начале функции RayTrace мы считаем пересечение луча со сценой (представленной просто списком объектов пока что) и сохраняем некоторую информацию о пересечении в переменной hit и расстояние до пересечения в переменной hit.t. Далее, если луч промахнулся и пересечения нет, нужно вернуть фоновый цвет (в нашем случае черный). Если пересечение найдено, мы вычисляем точку пересечения hit_point, используя уравнение луча (эквивалентное уравнению прямой с условием t>0). Когда мы вычислили точку пересечения в мировых координатах, приступаем к расчету теней. Пусть источники лежат в массиве lights. Тогда проходим в цикле по всему массиву и для каждого источника света проверяем (той же трассировкой луча), виден ли источник света из данной точки hit_point. Если виден, прибавляем освещение от данного источника, вычисленное по некоторой локальной модели (например модели Фонга). После, если у материала объекта, о который ударился луч, есть отражающие или преломляющие свойства, трассируем лучи рекурсивно, умножаем полученный цвет на соответствующий коэффициент отражения или преломления и прибавляем к результирующему цвету. Коэффициенты reflection и refraction могут быть как монохромными так и цветными. Всё зависит от того, какая используется математическая модель для представления материалов.

Иногда теневые лучи бывают цветные. Такие лучи используются, если есть вероятность того, что один объект перекрывается другим прозрачным объектом. В таком случае рассчитывается толщина пути теневого луча внутри прозрачного объекта и тень может приобрести какой-либо оттенок (если объект им обладает). Разумеется, тени, рассчитанные таким образом корректны, только если прозрачный объект, отбрасывающий тень, имеет очень близкий к единице коэффициент преломления (считаем что коэффициент преломления воздуха равен 1).

Если это не так, то под прозрачным объектом образуется сложная картина, называемая каустиком. Каустики рассчитываются отдельно с помощью метода фотонных карт . Типичный пример каустика – солнечный зайчик от стакана воды, когда через него просвечивает солнце.

Следует отметить, что обратная трассировка лучей в том виде, в котором она здесь описана, не является фотореалистичным методом визуализации. Более того, по сравнению с методом растеризации она позволяет корректно рассчитать лишь четкие отражения, преломления и устранить ступенчатость при большом числе лучей на пиксел (что медленно). Для получения всего спектра видимых эффектов необходимо использовать более сложные алгоритмы, которые, однако, базируются именно на трассировке лучей.

Рисунок 2. Изображение, полученное с помощью трассировки лучей.

Даже при разрешении картинки 1024x768 количество первичных лучей равно 786432 - то есть приближается к миллиону. Каждый из этих лучей может уйти глубоко в рекурсию, увеличивая количество трассируемых лучей в несколько раз. Объем вычислений, которые надо при этом производить - громадный и обычно трассировка лучей работает довольно медленно. Причем, львиная доля процессорного времени затрачивается на поиск пересечений. Поэтому вопрос производительности здесь стоит на первом месте. Существуют классы алгоритмов, позволяющих на порядки ускорить поиск пересечений. Соотношение качество/скорость является основным критерием при выборе тех или иных алгоритмов, но эффективные алгоритмы в любом случае стараются использовать когерентность лучей в том или ином виде. Подробнее о них см. в разделе "Быстрая трассировка лучей".

Методы трассировки лучей (Ray Tracing ) на сегодняшний день считаются наиболее мо­щными и универсальными методами создания реалистичных изображений. Известно много примеров реализации алгоритмов трассировки для качественного отображения самых слож­ных трехмерных сцен. Можно отметить, что универсальность методов трассировки взначительной мере обусловлена тем, что в их основе лежат простые и ясные понятия, кото­рые отражают наш опыт восприятия окружающего мира.

Рис. 8.12. Модели отражения: а – идеальное зеркало, б - неидеальное зеркало, в – диффузное, г – сумма диффузного и зеркального, д – обратное, е - сумма диффузного, зеркального и лбратного

Как мы видим окружающую реальность? Во-первых, нужно определиться с тем, что мы вообще способны видеть. Это изучается в специальных дисциплинах, а до некоторой степе­ни, это вопрос философский. Но здесь мы будем считать, что окружающие объекты обла­дают такими свойствами относительно света:

излучают;

отражают и поглощают;

пропускают сквозь себя.

Рис. 8.13. Излучение – а – раномерно во все тороны, б - направленно

Каждое из этих свойств можно описать некоторым набором характеристик. Например, излучение можно охарактеризовать интенсивностью, направленностью, спектром. Излуче­ние может исходить от условно точечного источника (далекая звезда) или от источника рас­сеянного света (скажем, от расплавленной лавы, извергающейся из кратера вулкана). Рас­пространение излучения может осуществляться вдоль довольно узкого луча (сфокусиро­ванный луч лазера) или конусом (прожектор), или равномерно во все стороны (Солнце), или еще как-то. Свойство отражения (поглощение) можно описать характеристиками диффуз­ного рассеивания и зеркального отражения. Прозрачность можно описать ослаблением ин­тенсивности и преломлением.

Распределение световой энергии по возмож­ным направлениям световых лучей можно ото­бразить с помощью векторных диаграмм, в кото­рых длина векторов соответствует интенсивно­сти (рис. 8.12 – 8.14).

В предшествующих параграфах мы с вами уже ознакомились с видами отражения, которые упоминаются наиболее часто - зеркальным и диффузным. Реже в литературе поминается обратное зеркальное или антизеркальное от­ ражение, в котором максимум интенсивности отражения соответствует направлению на источник. Обратное зеркальное отражение имеют некоторые виды растительности на по­верхности Земли, наблюдаемые с высоты рисовые поля.

Два крайних, идеализированных случая пре­ломления изображены на рис. 8.13.

Некоторые реальные объекты преломляют лучи намного более сложным образом, например, обле­деневшее стекло.

Один и тот же объект реальной действительно­сти может восприниматься как источник света, а может, при ином рассмотрении, считаться предме­том, только отражающим и пропускающим свет. Например, купол облачного неба в некоторой трехмерной сцене может моделироваться в видепротяженного (распределенного) источника света, а в других моделях это же небо выступа­ет как полупрозрачная среда, освещенная со стороны Солнца.

Рис. 8.14. Преломление а – идеальное, б - дифузное

В общем случае каждый объект описывается некоторым сочетанием вышеперечислен­ных трех свойств. В качестве упражнения попробуйте привести пример объекта, который обладает одновременно тремя указанными свойствами - сам излучает свет и, в то же вре­мя, отражает, а также пропускает свет от других источников. Вероятно, ваше воображение подскажет и другие примеры, нежели, скажем, раскаленное докрасна стекло.

Теперь рассмотрим то, как формируется изображение некоторой сцены, которая содер­жит несколько пространственных объектов. Будем считать, что из точек поверхности (объ­ема) излучаемых объектов выходят лучи света. Можно назвать такие лучи первичными -они освещают все другое.

Важным моментом является предположение, что световой луч в свободном пространстве распространяется вдоль прямой линии (хотя в специальных разде­лах физики изучаются также и причины возможного искривления). Но вгеометрической оптике принято, что луч света распространяется прямолинейно до тех пор, пока не встре­тится отражающая поверхность или граница среды преломления. Так будем полагать и мы.

От источников излучения исходит по разным направлениям бесчисленное множество первич­ных лучей (даже луч лазера невозможно идеально сфокусировать - все равно свет будет распро­страняться не одной идеально тонкой линией, а конусом, пучком лучей). Некоторые лучи уходят в свободное пространство, а некоторые (их также бесчисленное множество) попадают на другие объекты. Если луч попадет в прозрачный объект, то, преломляясь, он идет дальше, при этом неко­торая часть световой энергии поглощается. Подобно этому, если на пути луча встречается зеркально отражающая поверхность, то он также изменяет направление, а часть световой энергиипоглощается. Если объект зеркальный и одновременно прозрачный (например, обычное стекло), то будут уже два луча - в этом случае говорят, что луч расщепляется.

Можно сказать, что в результате воздействия на объекты первичных лучей возникают вторичные лучи. Бесчисленное множество вторичных лучей уходит в свободное пространство, но некоторые из них попадают на другие объекты. Так, многократноотражаясь и преломляясь, отдельные световые лучи приходят в точку наблюдения - глаз человека или оптическую систему камеры. Очевидно, что в точку наблюдения может попасть и часть первичных лучей непосредственно от источников излучения. Такимобразом, изображение сцены формируется некоторым множеством световых лучей.

Цвет отдельных точек изображения определяется спектром и интенсивностью первич­ных лучей источников излучения, а также поглощением световой энергии в объектах, встретившихся на пути соответствующих лучей.

Рис. 8.15. Схема обратной трассировки лучей

Непосредственная реализация данной лучевой модели формирования изображения представляется затруднительной. Можно попробовать разработать алгоритм построения изображения указанным способом. В таком алгоритме необходимо предусмотреть перебор всех первичных лучей и определить, какие из них попадают в объекты и в камеру. Потом выполнить перебор всех вторичных лучей, и также учесть только те, которые попадают в объекты и в камеру. И так далее. Можно назвать такой метод прямой трассировкой лучей. Практическая ценность такого метода вызовет сомнение. В самом деле, как учитывать бес­конечное множество лучей, идущих во все стороны? Очевидно, что полный перебор беско­нечного числа лучей в принципе невозможен. Даже если каким-то образом свести это к ко­нечному числу операций (например, разделить всю сферу направлений на угловые секторы и оперировать уже не бесконечно тонкими линиями, а секторами), все равно остается глав­ный недостаток метода - много лишних операций, связанных с расчетом лучей, которые потом не используются. Так, во всяком случае, это представляется в настоящее время.

Метод обратной трассировки лучей позволяет значительно сократить перебор свето­вых лучей. Метод разработан в 80-х годах, основополагающими считаются работы Уитте-да и Кэя . Согласно этому методу отслеживание лучей осуществляется не от источ­ников света, а в обратном"направлении - от точки наблюдения. Так учитываются только те лучи, которые вносят вклад в формирование изображения.

Рассмотрим, как можно получить растровое изображение некоторой трехмерной сцены методом обратной трассировки. Предположим, что плоскость проецирования разбита на множество квадратиков - пикселов. Выберем центральную проекцию с центром схода на некотором расстоянии от плоскости проецирования. Проведем прямую линию из центра схода через середину квадратика (пиксела) плоскости проецирования (рис. 8.15). Это будетпервичный луч обратной трассировки. Если прямая линия этого луча попадает в один или несколько объектов сцены, то выбираем ближайшую точку пересечения. Для определения цвета пиксела изображения нужно учитывать свойства объекта, а также то, какое световое излучение приходится на соответствующую точку объекта.

Рис. 8.16. Обратная трассировка для объектов, имеющих свойства зеркального отражения и преломления

Если объект зеркальный (хотя бы частично), то строим вторичный луч - луч падения, считая лучом отражения преды­дущий, первичный, трассируе­мый луч. Выше мы рассматри­вали зеркальное отражение и получили формулы для вектора отраженного луча по заданным векторам нормали и луча паде­ния. Но здесь нам известен век­тор отраженного луча, а как найти вектор падающего луча? Для этого можно использовать ту же формулу зеркального от­ражения, но определяя необхо­димый вектор луча падения как отраженный луч. То есть отра­жение наоборот.

Для идеального зеркала дос­таточно потом проследить лишь очередную точку пересечения вторичного луча с некоторым объектом. Что означает термин "идеальное зеркало"? Будем считать, что такое зеркало имеет идеально равную отполированную поверхность, поэтому одному отраженному лучу соответствует только один падающий луч. Зеркало может быть затемненным, то есть поглощать часть световой энергии, но все равно выполняется правило: один луч падает - один отражается. Можно рассматривать также "неидеальное зеркало".Это будет означать, что поверхность неровная. Направлению отраженного луча будут соот­ветствовать несколько падающих лучей (или наоборот, один падающий луч порождает не­сколько отраженных лучей), которые образуют некоторый конус, возможно, несимметрич­ный, с осью вдоль линии падающего луча идеального зеркала. Конус соответствует некото­рому закону распределения интенсивностей, простейший из которых описывается моделью Фонга - косинус угла, возведенный в некоторую степень. Неидеальное зеркало резко ус­ложняет трассировку - нужно проследить не один, а множество падающих лучей, учиты­вать взнос излучения от других видимых из данной точки объектов.

Если объект прозрачный, то необходимо построить новый луч, такой, который при пре­ломлении давал бы предшествующий трассируемый луч. Здесь также можно воспользо­ваться обратимостью, которая справедлива и для преломления. Для расчета вектора иско­мого луча можно применить рассмотренные выше формулы для вектора луча преломления,считая, что преломление происходит в обратном направлении (рис. 8.16).

Если объект обладает свойствами диффузного отражения и преломления, то, в общем случае, как и для неидеального зеркала, необходимо трассировать лучи, которые приходятот всех имеющихся объектов. Для диффузного отражения интенсивность отраженного све­та, как известно, пропорциональна косинусу угла между вектором луча от источника света и нормалью. Здесь источником света может выступать любой видимый из данной точки объект, способный передавать световую энергию.

Если выясняется, что текущий луч обратной трассировки не пересекает любой объект, а направляется в свободное пространство, то на этом трассировка для этого луча заканчива­ется.

Обратная трассировка лучей в том виде, в котором мы ее здесь рассмотрели, хотя и со­кращает перебор, но не позволяет избавиться от бесконечного числа анализируемых лучей.В самом деле, данный метод позволяет сразу получить для каждой точки изображения один первичный луч обратной трассировки. Однако вторичных лучей отражения уже может быть бесконечное число. Так, например, если объект может отражать свет от любого другого об­ъекта, и если эти другие объекты имеют довольно большие размеры, то какие именно точкиизлучающих объектов нужно учитывать для построения соответствующих лучей, например, при диффузном отражении? Очевидно, все точки.

При практической реализации метода обратной трассировки вводят ограничения. Неко­торые из них необходимы, чтобы можно было в принципе решить задачу синтеза изображе­ния, а некоторые ограничения позволяют значительно повысить быстродействие трассиров­ки. Примеры таких ограничений.

1. Среди всех типов объектов выделяются некоторые, которые назовем источниками све­та. Источники света могут только излучать свет, но не могут его отражать или прелом­лять (будем рассматривать толькоточечные источники света).

2. Свойства отражающих поверхностей описываются суммой двух компонентов - диф­фузного и зеркального.

3. В свою очередь, зеркальность также описывается двумя составляющими. Первая (reflection ) учитывает отражение от других объектов, которые не являются источниками света. Строится только один зеркально отраженный лучr для дальнейшей трассировки.Вторая составляющая ( Specular ) означает световые блики от источников света. Для этого направляются лучи на все источники света и определяются углы, образованные этими лучами с зеркально отраженным лучом обратной трассировки(r ). При зеркальном отра­жении цвет точки поверхности определяется цветом того, что отражается. В простейшем случае зеркало не имеет собственного цвета поверхности.

4. При диффузном отражении учитываются только лучи от источников света. Лучи от зеркально отражающих поверхностей игнорируются. Если луч, направленный на данный источник света, закрывается другим объектом, значит, данная точка объекта находится в тени. При диффузном отражении цвет освещенной точки поверхности определяется соб­ственным цветом поверхности и цветом источников света.

5. Для прозрачных (1гап5рагеп() объектов обычно не учитывается зависимость коэффици­ента преломления от длины волны. Иногда прозрачность вообще моделируют без пре­ломления, то есть направление преломленного луча I совпадает с направлением падаю­щего луча.

Для учета освещенности объектов светом, который рассеивается другими объектами, вводится фоновая составляющая(ат bient ).

7. Для завершения трассировки вводят некоторое предельное значение освещенности, ко­торое уже не должно вносить взнос в результирующий цвет, или ограничивают количе­ство итераций.

Согласно модели Уиттеда цвет некоторой точки объекта определяется суммарной интенсивностью

I( ) = KaIa( )C( ) + KdId( )C( ) + KsIs( ) + KrIr( ) + KtIt( )

где λ - длина волны,

С (λ) - заданный исходный цвет точки объекта,

К а,K d ,K s ,K r и К t - коэффициенты, учитывающие свойства конкретного объекта через параметры фонового подсвечивания, диффузного рассеивания, зеркальности, отражения и прозрачности,

I a - интенсивность фонового подсвечивания,

I d - интенсивность, учитываемая для диффузного рассеивания,

I s - интенсивность, учитываемая для зеркальности,

I r - интенсивность излучения, приходящего по отраженному лучу,

I t - интенсивность излучения, приходящего по преломленному лучу.

Интенсивность фонового подсвечивания (1 а ) для некоторого объекта обычно константа. Запишем формулы для других интенсивностей. Для диффузного отражения

I d =

где I i (λ) - интенсивность излученияi - ro источника света, θ i - угол между нормалью к по­верхности объекта и направлением наi - vi источник света.

Для зеркальности:

I d =

где р - показатель степени от единицы до нескольких сотен (согласно модели Фонга),α i -угол между отраженным лучом (обратной трассировки) и направлением на г"-й источник света.

Интенсивности излучений проходящих по отраженному лучу (I r ), а так же по преломленному лучу (I t ) , умножают на коэффициент, учитывающий ослабление интенсивности в зависимости от расстояния, пройденного лучом. Такой коэффициент записывается в виде е -  d где d - пройденное расстояние,  – параметр ослабления, учитывающий свойства среды, в которой распространяется луч.

Для первичного луча необходимо задать направление, которое соответствует избранной проекции. Если проекция центральная, то первичные лучи расходятся из общей точки, для параллельной проекции первичные лучи - параллельные. Луч можно задать, например, ко­ординатами начальной и конечной точек отрезка, координатой начальной точки и направле­нием, или еще как-нибудь.Задание первичного луча однозначно определяет проекцию изображаемой сцены . При обратной трассировке лучей любые преобразования координат вообще не обязательны. Проекция получается автоматически - в том числе, нетолько плоская, но и, например, цилиндрическая или сферическая. Это одно из проявлений универсальности метода трассировки.

В ходе трассировки лучей необходимо определять точки пересечения прямой линии лу­ча с объектами. Способ определения точки пересечения зависит от того, кокой это объект, и каким образом он представлен в определенной графической системе. Так, например, для объектов, представленных в виде многогранников и полигональных сеток, можно использо­вать известные методы определения точки пересечения прямой и плоскости, рассмотренные в аналитической геометрии. Однако, если ставится задача определения пересечения лу­ча с гранью, то необходимо еще, чтобы найденная точка пересечения лежала внутри конту­ра грани.

Известно несколько способов проверки произвольной точки на принадлежность полиго­ну. Рассмотрим две разновидности, в сущности, одного и того же метода (рис. 8.17).

Первый способ. Находятся все точки пересечения контура горизонталью, которая соответствует координатеYзаданной точки. Точки пересечения сортируются по возрастанию значений координат Х. Пары точек пересечения образуют отрезки. Если точка, которая проверяется, принадлежит одному из отрезков (для этого сравниваются координаты Х заданной точки и концов отрезков), то она – внутренняя.

Рис. 8.17. Точка – внутренняя, если: а - точка принадлежит секущему отрезку, б – число пересечений нечетное

Второй способ. Определяется точка, лежащая на одной горизонтали с испытуемой точкой, причем требуется, чтобы она лежала вне контура полигона. Найденная внешняя точка и испытуемая являются концами горизонтального отрезка. Определяются точки пересечения данного отрезка с контуром полигона. Если количество пересечений нечетное, это значит, что испытуемая точка – внутренняя.

Если луч пересекает несколько объектов, то выбирается ближайшая точка по направлению текущего луча.

Сделаем общие выводы о относительно метода обратной трассировки лучей.

Положительные черты

1. Универсальность метода, его применимость для синтеза изображения довольно сложных пространственных схем. Воплощает много законов геометрической оптики. Просто реализуются разнообразные проекции.

2. Даже усеченные варианты данного метода позволяют получить довольно реалистичные изображения. Например если ограничится только первичными лучами(из точки проецирования), то это дает удаление невидимых точек. Трассировка уже одного – двух вторичных лучей дает тени, зеркальность, прозрачность.

3. Все преобразования координат (если таковые имеются) линейные, поэтому довольно просто работать с текстурами.

4. Для одного пиксела растрового изображения можно трассировать несколько близко расположенных лучей, а потом усреднять их цвет для устранения лестничного (ступенчатого) эффекта (антиалиасинг).

5. Поскольку расчет отдельной точки изображения выполняется независимо от других точек, то это может быть эффективно использовано при реализации данного метода в параллельных вычислительных системах, в которых лучи могут трассироваться одновременно.

Недостатки

1. Проблемы с моделированием диффузного отражения и преломления

2. Для каждой точки изображения необходимо выполнять много вычислительных операций. Трассировка лучей принадлежит к числу самых медленных алгоритмов синтеза изображений.

Я знаю, это немного разочаровывает. Где отражения, тени и красивый внешний вид? Мы всё это получим, ведь мы пока только начали. Но это хорошее начало - сферы выглядят как круги, а это лучше, чем если бы они выглядели как кошки. Они не выглядят как сферы потому, что мы упустили важный компонент, позволяющий человеку определять форму объекта - то, как он взаимодействует со светом.

Освещение

Мы начнём с некоторых упрощающих допущений, которые облегчат нам жизнь.

Во-первых, мы объявим, что всё освещение имеет белый цвет. Это позволит нам охарактеризовать любой источник освещения единственным действительным числом i, называемым яркостью освещения. Симуляция цветного освещения не так сложна (необходимо только три значения яркости, по одному на канал, и вычисление всех цветов и освещения поканально), но чтобы сделать нашу работу проще, я не буду его делать.

Во-вторых, мы избавимся от атмосферы. Это значит, что освещение не становятся менее яркими, независимо от их дальности. Затухание яркости света в зависимости от расстояния реализовать тоже не слишком сложно, но для ясности мы пока его пропустим.

Источники освещения

Точечные источники

Лампа накаливания - хороший пример из реального мира того, приближением чего является точечный источник освещения. Хотя лампа накаливания не испускает свет из одной точки и он не является совершенно всенаправленным, но приближение достаточно хорошее.

Давайте зададим вектор как направление из точки P в сцене к источнику освещения Q. Этот вектор, называемый световым вектором , просто равен . Заметьте, что поскольку Q фиксирована, а P может быть любой точкой сцены, то в общем случае будет разным для каждой точки сцены.

Направленные источники

Это хитрый вопрос, и ответ зависит от того, что вы хотите отрендерить.

В масштабах Солнечной системы Солнце можно приблизительно считать точечным источником. В конце концов, оно испускает свет из точки (хотя и довольно большой) и испускает его во всех направлениях, то есть подходит под оба требования.

Однако если в вашей сцене действие происходит на Земле, то это не слишком хорошее приближение. Солнце находится так далеко, что каждый луч света будет на самом деле иметь одинаковое направление (Примечание: эта аппроксимация сохраняется в масштабе города, но не на более дальних расстояниях - на самом деле. древние греки смогли с удивительной точностью вычислить радиус Земли на основании разных направлений солнечного света в различных местах.). Хотя это можно аппроксимировать это с помощью точечного источника, сильно удалённого от сцены, это расстояние и расстояние между объектами в сцене настолько отличаются по величине, что могут появиться ошибки точности чисел.

Для таких случаев мы зададим направленные источники освещения . Как и точечные источники, направленный источник имеет яркость, но в отличие от них, у него нет позиции. Вместо неё у него есть направление . Можно воспринимать его как бесконечно удалённый точечный источник, светящий в определённом направлении.

В случае точечных источников нам нужно вычислять новый световой вектор для каждой точки P сцены, но в этом случае задан. В сцене с Солнцем и Землёй будет равен .

Окружающее освещение

Представьте, что происходит на Луне. Единственным значимым источником освещения поблизости является Солнце. То есть «передняя половина» Луны относительно Солнца получает всё освещение, а «задняя половина» находится в полной темноте. Мы видим это с разных углов на Земле, и этот эффект создаёт то, что мы называем «фазами» Луны.

Однако ситуация на Земле немного отличается. Даже точки, не получающие освещения непосредственно от источника освещения, не находятся полностью в темноте (просто посмотрите на пол под столом). Как лучи света достигают этих точек, если «обзор» на источники освещения чем-то перекрыт?

Как я упомянул в разделе Цветовые модели , когда свет падает на объект, часть его поглощается, но остальная часть рассеивается в сцене. Это значит, что свет может поступать не только от источников освещения, но и от других объектов, получающих его от источников освещения и рассеивающих его обратно. Но зачем останавливаться на этом? Рассеянное освещение в свою очередь падает на какой-нибудь другой объект, часть его поглощается, а часть снова рассеивается в сцене. При каждом отражении свет теряет часть своей яркости, но теоретически можно продолжать ad infinitum (Примечание: на самом деле нет, потому что свет имеет квантовую природу, но достаточно близко к этому.).

Это значит, что нужно считать источником освещения каждый объект . Как можно представить, это сильно увеличивает сложность нашей модели, поэтому мы не пойдём таким путём (Примечание: но вы можете хотя бы загуглить Global Illumination и посмотреть на прекрасные изображения.).

Но мы всё равно не хотим, чтобы каждый объект был или освещён напрямую, или был полностью тёмным (если только мы не рендерим модель Солнечной системы). Чтобы преодолеть эту преграду, мы зададим третий тип источников освещения, называемый окружающим освещением , которое характеризуется только яркостью. Считается, что оно носит безусловный вклад освещения в каждую точку сцены. Это очень сильное упрощение чрезвычайно сложного взаимодействия между источниками освещения и поверхностями сцены, но оно работает.

Освещённость одной точки

Для вычисления освещённости точки нам просто нужно вычислить количество света, вносимое каждым источником и сложить их, чтобы получить одно число, представляющее общее количество полученного точкой освещения. Затем мы можем умножить цвет поверхности в этой точке на это число, чтобы получить правильно освещённый цвет.

Итак, что произойдёт, когда луч света с направлением из направленного или точечного источника падает на точку P какого-нибудь объекта в нашей сцене?

Интуитивно мы можем разбить объекты на два общих класса, в зависимости от того, как они ведут себя со светом: «матовые» и «блестящие». Поскольку большинство окружающих нас предметов можно считать «матовыми», то с них мы и начнём.

Диффузное рассеяние

Чтобы убедиться в этом, внимательно посмотрите на какой-нибудь матовый объект, например, на стену: если двигаться вдоль стены, её цвет не меняется. То есть, видимый вами свет, отражённый от объекта, одинаков вне зависимости от того, в какое место объекта вы смотрите.

С другой стороны, количество отражённого света зависит от угла между лучом света и поверхностью. Интуитивно это понятно - энергия, переносимая лучом, в зависимости от угла должна распределиться по меньшей или большей поверхности, то есть энергия на единицу площади, отражённая в сцену, будет соответственно выше или ниже:

Чтобы выразить это математически, давайте охарактеризуем ориентацию поверхности по её вектору нормали . Вектор нормали, или просто «нормаль» - это вектор, перпендикулярный поверхности в какой-то точке. Также он является единичным вектором, то есть его длина равна 1. Мы будем называть этот вектор .

Моделирование диффузного отражения

Для геометрической аналогии давайте представим яркость света как «ширину» луча. Его энергия распределяется по поверхности размером . Когда и имеют одно направление, то есть луч перпендикулярен поверхности, , а это значит, что энергия, отражённая на единицу площади равна падающей энергии на единицу площади; < . С другой стороны, когда угол между и приближается к , приближается к , то есть энергия на единицу площади приближается к 0; . Но что происходит в промежутках?

Ситуация отображена на схеме ниже. Мы знаем , и ; я добавил углы и , а также точки , и , чтобы сделать связанные с этой схемой записи проще.

Поскольку технически луч света не имеет ширины, поэтому мы будем считать, что всё происходит на бесконечно малом плоском участке поверхности. Даже если это поверхность сферы, то рассматриваемая область настолько бесконечно мала, что она почти плоская относительно размера сферы, так же как Земля выглядит плоской при малых масштабах.

Луч света с шириной падает на поверхность в точке под углом . Нормаль в точке равна , а энергия, переносимая лучом, распределяется по . Нам нужно вычислить .

Один из углов равен , а другой - . Тогда третий угол равен . Но нужно заметить, что и тоже образуют прямой угол, то есть тоже должны быть . Следовательно, :

Давайте рассмотрим треугольник . Его углы равны , и . Сторона равна , а сторона равна .

И теперь… тригонометрия спешит на помощь! По определению ; заменяем на , а на , и получаем

Заметьте, что при углах больше значение становится отрицательным. Если мы не задумываясь используем это значение, то в результате получим источники света, вычитающие свет. Это не имеет никакого физического смысла; угол больше просто означает, что свет на самом деле достигает задней части поверхности, и не вносит свой вклад в освещение освещаемой точки. То есть если становится отрицательным, то мы считаем его равным .

Уравнение диффузного отражения

Нормали сферы

Этот вопрос намного хитрее, чем кажется, как мы увидим во второй части статьи. К счастью, для разбираемого нами случая есть очень простое решение: вектор нормали любой точки сферы лежит на прямой, проходящей через центр сферы. То есть если центр сферы - это , то направление нормали в точки равно :

Почему я написал «направление нормали», а не «нормаль»? Кроме перпендикулярности к поверхности, нормаль должна быть единичным вектором; это было бы справедливо, если бы радиус сферы был равен , что не всегда верно. Для вычисления самой нормали нам нужно разделить вектор на его длину, получив таким образом длину :

Рендеринг с диффузным отражением

Light { type = ambient intensity = 0.2 } light { type = point intensity = 0.6 position = (2, 1, 0) } light { type = directional intensity = 0.2 direction = (1, 4, 4) }
Заметьте, что яркость удобно суммируется в , потому что из уравнения освещения следует, что никакая точка не может иметь яркость света выше, чем единица. Это значит, что у нас не получатся области со «слишком большой выдержкой».

Уравнение освещения довольно просто преобразовать в псевдокод:

ComputeLighting(P, N) { i = 0.0 for light in scene.Lights { if light.type == ambient { i += light.intensity } else { if light.type == point L = light.position - P else L = light.direction n_dot_l = dot(N, L) if n_dot_l > 0 i += light.intensity*n_dot_l/(length(N)*length(L)) } } return i }
И единственное, что осталось - использовать ComputeLighting в TraceRay . Мы заменим строку, возвращающую цвет сферы

Return closest_sphere.color
на этот фрагмент:

P = O + closest_t*D # вычисление пересечения N = P - closest_sphere.center # вычисление нормали сферы в точке пересечения N = N / length(N) return closest_sphere.color*ComputeLighting(P, N)
Просто ради интереса давайте добавим большую жёлтую сферу:

Sphere { color = (255, 255, 0) # Yellow center = (0, -5001, 0) radius = 5000 }
Мы запускаем рендерер, и узрите - сферы наконец начали выглядеть как сферы!

Но постойте, как большая жёлтая сфера превратилась в плоский жёлтый пол?

Этого и не было, просто она настолько велика относительно других трёх, а камера настолько к ней близка, что она выглядит плоской. Так же, как наша планета выглядит плоской, когда мы стоим на её поверхности.

Отражение от гладкой поверхности

Возьмём бильярдный шар или только что вымытый автомобиль. В таких объектах проявляется особый шаблон распространения света, обычно с яркими областями, которые как будто движутся, когда вы ходите вокруг них. В отличие от матовых объектов, то, как вы воспринимаете поверхность этих объектов, на самом деле зависит от точки обзора.

Заметьте, что красные бильярдные шары остаются красными, если вы отойдёте на пару шагов назад, но яркое белое пятно, дающее им «блестящий» вид, похоже, двигается. Это значит, что новый эффект не заменяет диффузное отражение, а дополняет его.

Почему это происходит? Мы можем начать с того, почему это не происходит на матовых объектах. Как мы видели в предыдущем разделе, когда луч света падает на поверхнось матового объекта, он равномерно рассеивается назад в сцену во всех направлениях. Интуитивно понятно, что так происходит из-за неровности поверхности объекта, то есть на микроскопическом уровне она похожа на множество мелких поверхностей, направленных в случайных направлениях:

Но что будет, если поверхность не настолько неровная? Давайте возьмём другую крайность - идеально отполированное зеркало. Когда луч света падает на зеркало, он отражается в единственном направлении, которое симметрично углу падения относительно нормали зеркала. Если мы назовём направление отражённого света и условимся, что указывает на источник света, то получим такую ситуацию:

В зависимости от степени «отполированности» поверхности, она более или менее похожа на зеркало; то есть мы получаем «зеркальное» отражение (specular reflection, от латинского «speculum», то есть «зеркало»).

Для идеально отполированного зеркала падающий луч света отражается в единственном направлении . Именно это позволяет нам чётко видеть объекты в зеркале: для каждого падающего луча есть единственный отражённый луч . Но не каждый объект отполирован идеально; хотя бОльшая часть света отражается в направлении , часть его отражается в направлениях, близких к ; чем ближе к , тем больше света отражается в этом направлении. «Блеск» объекта определяет то, насколько быстро отражённый свет уменьшается при отдалении от :

Нас интересует то, как выяснить, какое количество света от отражается обратно в направлении нашей точки обзора (потому что это свет, который мы используем для определения цвета каждой точки). Если - это «вектор обзора», указывающий из в камеру, а - угол между и , то вот, что мы имеем:

При отражается весь свет. При свет не отражается. Как и в случае с диффузным отражением, нам нужно математическое выражение для определения того, что происходит при промежуточных значениях .

Моделирование «зеркального» отражения

Давайте возьмём . У него есть хорошие свойства: , , а значения постепенно уменьшаются от до по очень красивой кривой:

Соответствует всем требованиям к функции «зеркального» отражения, так почему бы не использовать его?

Но нам не хватает ещё одной детали. В такой формулировке все объекты блестят одинаково. Как изменить уравнение для получения различных степеней блеска?

Не забывайте, что этот блеск - мера того, насколько быстро функция отражения уменьшается при увеличении . Очень простой способ получения различных кривых блеска заключается в вычислении степени некоего положительного показателя . Поскольку , то очевидно, что ; то есть ведёт себя точкно так же, как , только «уже». Вот для разных значений :

Чем больше значение , тем «уже» становится функция в окрестностях , и тем более блестящим выглядит объект.

Обычно называют показателем отражения , и он является свойством поверхности. Поскольку модель не основана на физической реальности, значения можно определить только методом проб и ошибок, то есть настраивая значения до тех пор, пока они не начнут выглядеть «естественно» (Примечание: для использования модели на основе физики см. двулучевую функцию отражательной способности (ДФОС)).

Давайте объединим всё вместе. Луч падает на поверхность в точке , где нормаль равна , а показатель отражения - . Какое количество света отразится в направлении обзора ?

Мы уже решили, что это значение равно , где - это угол между и , который в свою очередь является , отражённым относительно . То есть первым шагом будет вычисление из и .

Мы можем разложить на два вектора и , таких, что , где параллелен , а перпендикулярен :

Это проекция на ; по свойствам скалярного произведения и исходя из того, что , длина этой проекции равна . Мы определили, что будет параллелен , поэтому .

Поскольку , мы можем сразу получить .

Теперь посмотрим на ; поскольку он симметричен относительно , его компонент, параллельный , тот же, что и у , а перпендикулярный компонент противоположен компоненту ; то есть :

Подставляя полученные ранее выражения, мы получим

Значение «зеркального» отражения

Рендеринг с «зеркальными» отражениями

Sphere { center = (0, -1, 3) radius = 1 color = (255, 0, 0) # Красный specular = 500 # Блестящий } sphere { center = (-2, 1, 3) radius = 1 color = (0, 0, 255) # Синий specular = 500 # Блестящий } sphere { center = (2, 1, 3) radius = 1 color = (0, 255, 0) # Зелёный specular = 10 # Немного блестящий } sphere { color = (255, 255, 0) # Жёлтый center = (0, -5001, 0) radius = 5000 specular = 1000 # Очень блестящий }
В коде нам нужно изменить ComputeLighting , чтобы он при необходимости вычислял значение «зеркальности» и прибавлял его к общему освещению. Заметьте, что теперь ему требуются и :

ComputeLighting(P, N, V, s) { i = 0.0 for light in scene.Lights { if light.type == ambient { i += light.intensity } else { if light.type == point L = light.position - P else L = light.direction # Диффузность n_dot_l = dot(N, L) if n_dot_l > 0 i += light.intensity*n_dot_l/(length(N)*length(L)) # Зеркальность if s != -1 { R = 2*N*dot(N, L) - L r_dot_v = dot(R, V) if r_dot_v >
И наконец нам нужно изменить TraceRay , чтобы он передавал новые параметры ComputeLighting . очевиден; он берётся из данных сферы. Но как насчёт ? - это вектор, указывающий от объекта в камеру. К счастью, в TraceRay у нас уже есть вектор, направленный из камеры к объекту - это , направление трассируемого луча! То есть - это просто .

Вот новый код TraceRay с «зеркальным» отражением:

TraceRay(O, D, t_min, t_max) { closest_t = inf closest_sphere = NULL for sphere in scene.Spheres { t1, t2 = IntersectRaySphere(O, D, sphere) if t1 in and t1 < closest_t closest_t = t1 closest_sphere = sphere if t2 in and t2 < closest_t closest_t = t2 closest_sphere = sphere } if closest_sphere == NULL return BACKGROUND_COLOR P = O + closest_t*D # Вычисление пересечения N = P - closest_sphere.center # Вычисление нормали сферы в точке пересечения N = N / length(N) return closest_sphere.color*ComputeLighting(P, N, -D, sphere.specular) }
И вот наша награда за всё это жонглирование векторами:

Тени

Давайте начнём с более фундаментального вопроса. Почему должны быть тени? Тени появляются там, где есть свет, но его лучи не могут достичь объекта, потому что на их пути есть другой объект.

Вы заметите, что в предыдущем разделе нас интересовали углы и вектора, но мы рассматривали только источник света и точку, которую нам нужно раскрасить, и полностью игнорировали всё остальное, что происходит в сцене - например, попавшийся на пути объект.

Вместо этого нам нужно добавить немного логики, говорящей "если между точкой и источником есть объект, то не нужно добавлять освещение, поступающее от этого источника ".

Мы хотим выделить два следующих случая:

Похоже, что у нас есть все необходимые для этого инструменты.

Давайте начнём с направленного источника. Мы знаем ; это точка, которая нас интересует. Мы знаем ; это часть определения источника освещения. Имея и , мы можем задать луч, а именно , который проходит из точки до бесконечно отдалённого источника освещения. Пересекает ли этот луч другой объект? Если нет, то между точкой и источником ничего нет, то есть мы можем вычислить освещённость от этого источника и прибавить его к общей освещённости. Если пересекает, то мы игнорируем этот источник.

Мы уже знаем, как вычислить ближайшее пересечение между лучом и сферой; мы используем его для трассировки лучей от камеры. Мы снова можем использовать его для вычисления ближайшего пересечения между лучом света и остальной сценой.

Однако параметры немного отличаются. Вместо того, чтобы начинаться с камеры, лучи испускаются из . Направление равно не , а . И нас интересуют пересечения со всем после на бесконечное расстояние; это значит, что и .

Мы можем обрабатывать точечные источники очень похожим образом, но с двумя исключениями. Во-первых, не задан , но его очень просто вычислить из позиции источника и . Во-вторых, нас интересуют любые пересечения, начиная с , но только до (в противном случае, объекты за источником освещения могли бы создавать тени!); то есть в этом случае и .

Существует один пограничный случай, который нам нужно рассмотреть. Возьмём луч . Если мы будем искать пересечения, начиная с , то мы, вероятнее всего, найдём саму при , потому что действительно находится на сфере, и ; другими словами, каждый объект будет отбрасывать тени на самого себя (Примечание: если точнее, то мы хотим избежать ситуации, при которой точка, а не весь объект, отбрасывает тень на саму себя; объект с более сложной чем сфера формой (а именно любой вогнутый объект) может отбрасывать истинные тени на самого себя!

Простейший способ справиться с этим - использовать в качестве нижней границы значений вместо малое значение . Геометрически, мы хотим сделать так, чтобы луч начинается немного вдали от поверхности, то есть рядом с , но не точно в . То есть для направленных источников интервал будет , а для точечных - .

Рендеринг с тенями

В предыдущей версии TraceRay вычислял ближайшее пересечение луч-сфера, а затем вычислял освещение в пересечении. Нам нужно извлечь код ближайшего пересечения, поскольку мы хотим использовать его снова для вычисления теней:

ClosestIntersection(O, D, t_min, t_max) { closest_t = inf closest_sphere = NULL for sphere in scene.Spheres { t1, t2 = IntersectRaySphere(O, D, sphere) if t1 in and t1 < closest_t closest_t = t1 closest_sphere = sphere if t2 in and t2 < closest_t closest_t = t2 closest_sphere = sphere } return closest_sphere, closest_t }
В результате TraceRay получается гораздо проще:

TraceRay(O, D, t_min, t_max) { closest_sphere, closest_t = ClosestIntersection(O, D, t_min, t_max) if closest_sphere == NULL return BACKGROUND_COLOR P = O + closest_t*D # Compute intersection N = P - closest_sphere.center # Compute sphere normal at intersection N = N / length(N) return closest_sphere.color*ComputeLighting(P, N, -D, sphere.specular) }
Теперь нам нужно добавить в ComputeLighting проверку тени:

ComputeLighting(P, N, V, s) { i = 0.0 for light in scene.Lights { if light.type == ambient { i += light.intensity } else { if light.type == point { L = light.position - P t_max = 1 } else { L = light.direction t_max = inf } # Проверка тени shadow_sphere, shadow_t = ClosestIntersection(P, L, 0.001, t_max) if shadow_sphere != NULL continue # Диффузность n_dot_l = dot(N, L) if n_dot_l > 0 i += light.intensity*n_dot_l/(length(N)*length(L)) # Зеркальность if s != -1 { R = 2*N*dot(N, L) - L r_dot_v = dot(R, V) if r_dot_v > 0 i += light.intensity*pow(r_dot_v/(length(R)*length(V)), s) } } } return i }
Вот как будет выглядеть наша заново отрендеренная сцена:

Исходный код и рабочее демо >>

Теперь у нас уже что-то получается.

Отражение

Давайте посмотрим, как работают зеркала. Когда мы смотрим в зеркало, то видим лучи света, отражающиеся от зеркала. Лучи света отражаются симметрично относительно нормали поверхности:

Допустим, мы трассируем луч и ближайшим пересечением оказывается зеркало. Какой цвет имеет луч света? Очевидно, то не цвет зеркала, а любой цвет, который имеет отражённый луч. Всё, что нам нужно - вычислить направление отражённого луча и выяснить, каким был цвет света, падающего из этого направления. Вот бы у нас была функция, возвращающая для заданного луча цвет света, падающего из этого направления…

О, постойте, у нас же она есть: она называется TraceRay .

Итак, мы начинаем с основного цикла TraceRay , чтобы увидеть, что «видит» луч, испущенный из камеры. Если TraceRay определяет, что луч видит отражающий объект, то он просто должен вычислить направление отражённого луча и вызвать… сам себя.

На этом этапе, я предлагаю вам перечитать последние три параграфа, пока вы их не поймёте. Если вы впервые читаете о рекурсивной трассировке лучей, то возможно вам понадобится перечитать пару раз, и немного подумать, прежде чем вы действительно поймёте .

Не торопитесь, я подожду.

Теперь, когда эйфория от этого прекрасного момента эврика! немного спала, давайте немного это формализируем.

Самое важное во всех рекурсивных алгоритмах - предотвратить бесконечный цикл. В этом алгоритме есть очевидное условие выхода: когда луч или падает на неотражающий объект, или когда он ни на что не падает. Но есть простой случай, в котором мы можем угодить в бесконечный цикл: эффект бесконечного коридора . Он проявляется, когда вы ставите зеркало напротив другого зеркала и видите в них бесконечные копии самого себя!

Есть множество способов предотвращения этой проблемы. Мы введём предел рекурсии алгоритма; он будет контролировать «глубину», на которую он сможет уйти. Давайте назовём его . При , то видим объекты, но без отражений. При мы видим некоторые объекты и отражения некоторых объектов. При мы видим некоторые объекты, отражения некоторых объектов и отражения некоторых отражений некоторых объектов . И так далее. В общем случае, нет особого смысла уходить вглубь больше чем на 2-3 уровня, потому что на этом этапе разница уже едва заметна.

Мы создадим ещё одно разграничение. «Отражаемость» не должна иметь значение «есть или нет» - объекты могут быть частично отражающими и частично цветными. Мы назначим каждой поверхности число от до , определяющее её отражаемость. После чего мы будем смешивать локально освещённый цвет и отражённый цвет пропорционально этому числу.

И наконец, нужно решить, какие параметры должен получать рекурсивный вызов TraceRay ? Луч начинается с поверхности объекта, точки . Направление луча - это направление света, отразившегося от ; в TraceRay у нас есть , то есть направление от камеры к , противоположное движению света, то есть направление отражённого луча будет , отражённый относительно . Аналогично тому, что происходит с тенями, мы не хотим, чтобы объекты отражали сами себя, поэтому . Мы хотим видеть объекты отражёнными вне зависимости от того, насколько они отдалены, поэтому . И последнее - предел рекурсии на единицу меньше, чем предел рекурсии, в котором мы находимся в текущий момент.

Рендеринг с отражением

Как и ранее, в первую очередь мы изменяем сцену:

Sphere { center = (0, -1, 3) radius = 1 color = (255, 0, 0) # Красный specular = 500 # Блестящий reflective = 0.2 # Немного отражающий } sphere { center = (-2, 1, 3) radius = 1 color = (0, 0, 255) # Синий specular = 500 # Блестящий reflective = 0.3 # Немного более отражающий } sphere { center = (2, 1, 3) radius = 1 color = (0, 255, 0) # Зелёный specular = 10 # Немного блестящий reflective = 0.4 # Ещё более отражающий } sphere { color = (255, 255, 0) # Жёлтый center = (0, -5001, 0) radius = 5000 specular = 1000 # Очень блестящий reflective = 0.5 # Наполовину отражающий }
Мы используем формулу «луча отражения» в паре мест, поэтому может избавиться от неё. Она получает луч и нормаль , возвращая , отражённый относительно :

ReflectRay(R, N) { return 2*N*dot(N, R) - R; }
Единственным изменением в ComputeLighting является замена уравнения отражения на вызов этого нового ReflectRay .

В основной метод внесено небольшое изменение - нам нужно передать TraceRay верхнего уровня предел рекурсии:

Color = TraceRay(O, D, 1, inf, recursion_depth)
Константе recursion_depth можно задать разумное значение, например, 3 или 5.

Единственные важные изменения происходят ближе к концу TraceRay , где мы рекурсивно вычисляем отражения:

TraceRay(O, D, t_min, t_max, depth) { closest_sphere, closest_t = ClosestIntersection(O, D, t_min, t_max) if closest_sphere == NULL return BACKGROUND_COLOR # Вычисление локального цвета P = O + closest_t*D # Вычисление точки пересечения N = P - closest_sphere.center # Вычисление нормали к сфере в точке пересечения N = N / length(N) local_color = closest_sphere.color*ComputeLighting(P, N, -D, sphere.specular) # Если мы достигли предела рекурсии или объект не отражающий, то мы закончили r = closest_sphere.reflective if depth <= 0 or r <= 0: return local_color # Вычисление отражённого цвета R = ReflectRay(-D, N) reflected_color = TraceRay(P, R, 0.001, inf, depth - 1) return local_color*(1 - r) + reflected_color*r }
Пусть результаты говорят сами за себя:

Чтобы лучше понять предел глубины рекурсии, давайте ближе рассмотрим рендер с :

А вот тот же увеличенный вид той же сцены, на этот раз отрендеренный с :

Как вы видите, разница заключается в том, видим ли мы отражения отражений отражений объектов, или только отражения объектов.

Произвольная камера

Давайте начнём с положения. Вы наверно заметили, что используется во всём псевдокоде только один раз: в качестве начальной точки лучей, исходящих из камеры в методе верхнего уровня. Если мы хотим поменять положение камеры. то единственное , что нужно сделать - это использовать другое значение для .

Влияет ли изменение положения на направление лучей? Ни в коей мере. Направление лучей - это вектор, проходящий из камеры на плоскость проекции. Когда мы перемещаем камеру, плоскость проекции двигается вместе с камерой, то есть их относительные положения не изменяются.

Давайте теперь обратим внимание на направление. Допустим, у нас есть матрица поворота, которая поворачивает в нужном направлении обзора, а - в нужное направление «вверх» (и поскольку это матрица поворота, то по определению она должна делать требуемое для ). Положение камеры не меняется, если вы просто вращаете камеру вокруг. Но направление меняется, оно просто подвергается тому же повороту, что и вся камера. То есть если у нас есть направление и матрица поворота , то повёрнутый - это просто .

Меняется только функция верхнего уровня:

For x in [-Cw/2, Cw/2] { for y in [-Ch/2, Ch/2] { D = camera.rotation * CanvasToViewport(x, y) color = TraceRay(camera.position, D, 1, inf) canvas.PutPixel(x, y, color) } }
Вот как выглядит наша сцена при наблюдении из другого положения и при другой ориентации:

Куда двигаться дальше

Оптимизация

Параллелизация

На самом деле, трассировщики лучей относятся к классу алгоритмов, называемому чрезвычайно параллелизуемым именно потому что, сама их природа позволяет очень просто их распараллеливать.

Кэширование значений

K1 = dot(D, D) k2 = 2*dot(OC, D) k3 = dot(OC, OC) - r*r
Некоторые из этих значений постоянны для всей сцены - как только вы узнаете, как расположены сферы, r*r и dot(OC, OC) больше не меняются. Можно вычислить их один раз во время загрузки сцены и хранить их в самих сферах; вам просто нужно будет пересчитать их, если сферы должны переместиться в следующем кадре. dot(D, D) - это константа для заданного луча, поэтому можно вычислить его в ClosestIntersection и передать в IntersectRaySphere .

Оптимизации теней

То есть когда мы ищем объекты между точкой и источником освещения, можно сначала проверить, не накладывает ли на текущую точку тень последний объект, накладывавший тень на предыдущую точку относительно того же источника освещения. Если это так, то мы можем закончить; если нет, то просто продолжаем обычным способом проверять остальные объекты.

Аналогично, при вычислении пересечения между лучом света и объектами в сцене на самом деле нам не нужно ближайшее пересечение - достаточно знать, что существует по крайней мере одно пересечение. Можно использовать специальную версию ClosestIntersection , которая возвращает результат, как только найдёт первое пересечение (и для этого нам нужно вычислять и возвращать не closest_t , а просто булево значение).

Пространственные структуры

Подробное рассмотрение таких структур не относится к тематике нашей статьи, но общая идея такова: предположим, что у нас есть несколько близких друг к другу сфер. Можно вычислить центр и радиус наименьшей сферы, содержащей все эти сферы. Если луч не пересекает эту граничную сферу, то можно быть уверенным, что он не пересекает ни одну содержащуюся в нём сферу, и сделать это можно за одну проверку пересечения. Разумеется, если он пересекает сферу, то нам всё равно нужно проверять, пересекает ли он какую-нибудь из содержащихся в ней сфер.

Подробнее об этом можно узнать, прочитав о иерархии ограничивающих объёмов .

Субдискретизация

Предположим, мы трассируем лучи для пикселей и , и они падают на один объект. Можно логически предположить, что луч для пикселя тоже будет падать на тот же объект, пропустить начальный поиск пересечений со всей сценой и перейти непосредственно к вычислению цвета в этой точке.

Если сделать так в горизонтальном и вертикальном направлениях, то можно выполнять максимум на 75% меньшей первичных вычислений пересечений луч-сцена.

Разумеется, так можно запросто пропустить очень тонкий объект: в отличие от рассмотренных ранее, это «неправильная» оптимизация, потому что результаты её использования не идентичны тому, что бы мы получили без неё; в каком-то смысле, мы «жульничаем» на этой экономии. Хитрость в том, как догадаться сэкономить правильно, обеспечив удовлетворительные результаты.

Другие примитивы

Заметьте, что с точки зрения TraceRay может подойти любой объект, пока для него нужно вычислять только два значения: значение для ближайшего пересечения между лучом и объектом, и нормаль в точке пересечения. Всё остальное в трассировщике лучей не зависит от типа объекта.

Хорошим выбором будут треугольники. Сначала нужно вычислить пересечение между лучом и плоскостью, содержащей треугольник, и если пересечение есть, то определить, находится ли точка внутри треугольника.

Конструктивная блочная геометрия

Как это работает? Для каждого объекта можно вычислить места, где луч входит и выходит из объекта; например, в случае сферы луч входит в и выходит в . Предположим, что нам нужно вычислить пересечение двух сфер; луч находится внутри пересечения, когда находится внутри обеих сфер, и снаружи в противоположном случае. В случае вычитания луч находится внутри, когда он находится внутри первого объекта, но не внутри второго.

В более общем виде, если мы хотим вычислить пересечение между лучом и (где - любой булевый оператор), то сначала нужно по отдельности вычислить пересечение луч- и луч- , что даёт нам «внутренний» интервал каждого объекта и . Затем мы вычисляем , который находится во «внутреннем» интервале . Нам нужно просто найти первое значение , которое находится и во «внутреннем» интервале и в интервале , которые нас интересуют:

Нормаль в точке пересечения является или нормалью объекта, создающего пересечение, или её противоположностью, в зависимости от того, глядим ли мы «снаружи» или «изнутри» исходного объекта.

Разумеется, и не обязаны быть примитивами; они сами могут быть результатами булевых операций! Если реализовать это чисто, то нам даже не потребуется знать, чем они являются, пока мы можем получить из них пересечения и нормали. Таким образом, можно взять три сферы и вычислить, например, .

Прозрачность

Реализация прозрачности очень похожа на реализацию отражения. Когда луч падает на частично прозрачную поверхность, мы, как и ранее, вычисляем локальный и отражённый цвет, но ещё и вычисляем дополнительный цвет - цвет света, проходящего сквозь объект, полученный ещё одним вызовом TraceRay . Затем нужно смешать этот цвет с локальным и отражённым цветами с учётом прозрачности объекта, и на этом всё.

Преломление

Например, приблизительно равен , а приблизительно равен . То есть для луча, входящего в воду под углом получаем

Остановитесь на мгновение и осознайте: если реализовать конструктивную блочную геометрию и прозрачность, то можно смоделировать увеличительное стекло (пересечение двух сфер), которое будет вести себя как физически правильное увеличительное стекло!

Суперсэмплинг

Однако не забывайте об аналогии, с которой мы начинали: каждый луч должен задавать «определяющий» цвет каждого квадрата «сетки», через которую мы смотрим. Используя по одному лучу на писель, мы условно решаем, что цвет луча света, проходящего через середину квадрата, определяет весь квадрат, но это может быть и не так.

Решить эту проблему можно трассированием нескольких лучей на пиксель - 4, 9, 16, и так далее, а затем усредняя их, чтобы получить цвет пикселя.

Разумеется, при этом трассировщик лучей становится в 4, 9 или 16 раз медленнее, по той же причине, по которой субдискретизация делает его в раз быстрее. К счастью, существует компромисс. Мы можем предположить, что свойства объекта вдоль его поверхности меняются плавно, то есть испускание 4 лучей на пиксель, которые падают на один объект в немного отличающихся точках, не слишком улучшит вид сцены. Поэтому мы можем начать с одного луча на пиксель и сравнивать соседние лучи: если они падают на другие объекты или их цвет отличается больше, чем на переделённое пороговое значение, то применяем к обоим подразделение пикселей.

Псевдокод трассировщика лучей

CanvasToViewport(x, y) { return (x*Vw/Cw, y*Vh/Ch, d) } ReflectRay(R, N) { return 2*N*dot(N, R) - R; } ComputeLighting(P, N, V, s) { i = 0.0 for light in scene.Lights { if light.type == ambient { i += light.intensity } else { if light.type == point { L = light.position - P t_max = 1 } else { L = light.direction t_max = inf } # Проверка теней shadow_sphere, shadow_t = ClosestIntersection(P, L, 0.001, t_max) if shadow_sphere != NULL continue # Диффузность n_dot_l = dot(N, L) if n_dot_l > 0 i += light.intensity*n_dot_l/(length(N)*length(L)) # Блеск if s != -1 { R = ReflectRay(L, N) r_dot_v = dot(R, V) if r_dot_v > 0 i += light.intensity*pow(r_dot_v/(length(R)*length(V)), s) } } } return i } ClosestIntersection(O, D, t_min, t_max) { closest_t = inf closest_sphere = NULL for sphere in scene.Spheres { t1, t2 = IntersectRaySphere(O, D, sphere) if t1 in and t1 < closest_t closest_t = t1 closest_sphere = sphere if t2 in and t2 < closest_t closest_t = t2 closest_sphere = sphere } return closest_sphere, closest_t } TraceRay(O, D, t_min, t_max, depth) { closest_sphere, closest_t = ClosestIntersection(O, D, t_min, t_max) if closest_sphere == NULL return BACKGROUND_COLOR # Вычисление локального цвета P = O + closest_t*D # Вычисление точки пересечения N = P - closest_sphere.center # Вычисление нормали сферы в точке пересечения N = N / length(N) local_color = closest_sphere.color*ComputeLighting(P, N, -D, sphere.specular) # Если мы достигли предела рекурсии или объект не отражающий, то мы закончили r = closest_sphere.reflective if depth <= 0 or r <= 0: return local_color # Вычисление отражённого цвета R = ReflectRay(-D, N) reflected_color = TraceRay(P, R, 0.001, inf, depth - 1) return local_color*(1 - r) + reflected_color*r } for x in [-Cw/2, Cw/2] { for y in [-Ch/2, Ch/2] { D = camera.rotation * CanvasToViewport(x, y) color = TraceRay(camera.position, D, 1, inf) canvas.PutPixel(x, y, color) } }
А вот сцена, использованная для рендеринга примеров:

Viewport_size = 1 x 1 projection_plane_d = 1 sphere { center = (0, -1, 3) radius = 1 color = (255, 0, 0) # Красный specular = 500 # Блестящий reflective = 0.2 # Немного отражающий } sphere { center = (-2, 1, 3) radius = 1 color = (0, 0, 255) # Синий specular = 500 # Блестящий reflective = 0.3 # Немного более отражающий } sphere { center = (2, 1, 3) radius = 1 color = (0, 255, 0) # Зелёный specular = 10 # Немного блестящий reflective = 0.4 # Ещё более отражающий } sphere { color = (255, 255, 0) # Жёлтый center = (0, -5001, 0) radius = 5000 specular = 1000 # Очень блестящий reflective = 0.5 # Наполовину отражающий } light { type = ambient intensity = 0.2 } light { type = point intensity = 0.6 position = (2, 1, 0) } light { type = directional intensity = 0.2 direction = (1, 4, 4) }

Теги: Добавить метки

Прямая трассировка . В методе прямой трассировки генерируется пучок лучей, выходящих из источника во всевозможных направлениях.

Большинство лучей, испущенных источником, не попадает в приемник, а значит, и не влияет на формируемое в нем изображение. Лишь очень малая часть лучей после всех отражений и преломлений в конце концов попадает в приемник, создавая изображение сцены в его рецепторах. На шероховатых поверхностях возникает множество диффузно отраженных лучей. Все их нужно программно генерировать и отслеживать, что лавинообразно усложняет задачу трассировки.

Прохождение луча в неидеальной среде сопровождается рассеянием и поглощением световой энергии на ее микрочастицах. Эти физические процессы чрезвычайно трудно адекватно моделировать на ЭВМ с ее конечными вычислительными ресурсами. На практике ограничиваются применением коэффициента затухания энергии луча на единицу пройденного им расстояния. Аналогично вводятся коэффициенты уменьшения энергии луча при его отражении и преломлении на поверхности раздела сред. С учетом этих коэффициентов отслеживается уменьшение энергии всех первичных и вторичных лучей в процессе их блуждания в пространстве сцены. Как только энергия некоторого луча становится меньше заданного абсолютного уровня или уменьшается в заданное число раз, трассировка данного луча прекращается.

Таким образом, главными недостатками метода прямой трассировки являются его большая трудоемкость и малая эффективность. При реализации метода большая часть работы по расчету пересечений лучей с объектами оказывается проделанной впустую.

Обратная трассировка. Метод обратной трассировки разработан в 80-х годах. Основополагающими считаются работы Уиттеда и Кея.

Для отсекания лучей, не попавших в приемник, достаточно рассматривать наблюдателя в качестве источника обратных лучей. Первичным лучом будет считаться луч V от наблюдателя к какой-либо точке на поверхности объекта.

По рассмотренным выше методикам рассчитываются вторичные, третичные и т.д. лучи. В результате для каждого первичного луча строится дерево трассировки, ветви которого составляют вторичные лучи. Ветвление трассы заканчивается, если:

● луч выходит за пределы сцены,

● луч встречается с непрозрачным телом, поглощающим свет,

● луч попадает в источник света,

● интенсивность луча падает ниже порога чувствительности,

● число расщеплений первичного луча становится слишком большим для имеющихся машинных ресурсов.

Результирующая прямая световая энергия (цвет и интенсивность), попавшая в приемник из направления V , слагается из энергий терминальных вершин дерева с учетом их потерь при распространении в оптических средах.

Метод обратной трассировки фактически аккумулирует все лучи, в действительности приходящие в приемник из определенного направления независимо от их начала. Это позволяет видеть и изображать на экране:

● непрозрачные объекты, поглощающие обратные лучи;

● прозрачные объекты, через которые благодаря преломлению наблюдателю видны другие объекты;

● отражения объектов на зеркальных поверхностях, в том числе и блики, соответствующие попаданию обратных лучей в источник света;

● тени, образующиеся в точках поверхности, заслоненных от источника другими объектами;

● другие разнообразные оптические эффекты.

Количество "зондирующих" обратных лучей, подвергаемых трассировке, ограничено числом точек на поверхностях объектов сцены, видимых из точки расположения наблюдателя и перебираемых с конечным шагом, зависящим от разрешения экрана. Благодаря этому объем вычислительных затрат в методе обратной трассировки существенно уменьшается по сравнению с методом прямой трассировки. Возможно комбинирование обоих методов для оптимизации алгоритмов и снижения их трудоемкости.

Алгоритмы трассировки носят характер рекурсивной процедуры, которая вызывает саму себя при появлении вторичного луча (анализируемый луч отражается или преломляется). Большая часть вычислений при реализации методов трассировки приходится на расчет пересечений лучей с поверхностями, в связи с чем они применяются для изображения оптических эффектов в сценах с небольшим числом объектов.

При практической реализации метода обратной трассировки вводят нижеприведенные ограничения. Некоторые из них необходимы, чтобы можно было в принципе решить задачу синтеза изображения, а некоторые ограничения позволяют значительно повысить быстродействие трассировки.

Ограничения метода обратной трассировки:

1. Среди всех типов объектов выделим источники света. Они могут только излучать свет, но не могут его отражать или преломлять. Обычно рассматриваются точечные источники.

2. Свойства отражающих поверхностей описываются суммой двух компонентов: диффузного и зеркального.

3. Зеркальность, в свою очередь, также описывается двумя составляющими. Первая (reflection) учитывает отражение от других объектов, не являющихся источниками света. Строится только один зеркально отраженный луч r для дальнейшей трассировки. Вторая компонента (specular) означает световые блики от источников света. Для этого направляются лучи на все источники определяются углы, образуемые этими лучами с зеркально отраженным лучом обратной трассировки (r ). При зеркальном отражении цвет точки поверхности определяется цветом того, что отражается. В простейшем случае зеркало не имеет собственного цвета поверхности.

4. При диффузном отражении учитываются только лучи от источников света. Лучи от зеркально отражающих поверхностей игнорируются. Если луч, направленный на данный источник света, закрывается другим объектом, значит, данная точка объекта находится в тени. При диффузном отражении цвет освещенной точки поверхности определяется собственным цветом поверхности и цветом источников света.

5. Для прозрачных (transparent) объектов обычно не учитывается зависимость коэффициента преломления от длины волны. Иногда прозрачность вообще моделируют без преломления, т.е. направление преломленного луча t совпадает с направлением падающего луча.

6. Для учета освещенности объектов светом, рассеиваемым другими объектами, вводится фоновая составляющая (ambient).

7. Для завершения трассировки вводят некоторое пороговое значение освещенности, которое уже не должно вносить вклад в результирующий цвет, либо ограничивают число итераций.

Положительные черты метода обратной трассировки:

● универсальность, применимость для синтеза изображений достаточно сложных пространственных сцен. Воплощает многие законы оптики. Просто реализуются разнообразные проекции;

● даже усеченные варианты данного метода позволяют получить достаточно реалистичные изображения. Например, если ограничиться только первичными лучами (из точки проецирования), то это дает удаление невидимых точек. Трассировка уже одного-двух вторичных лучей дает тени, зеркальность, прозрачность;

● все преобразования координат (если таковые есть) линейны, поэтому достаточно просто работать с текстурами;

● для одного пиксела растрового изображения можно трассировать несколько близко расположенных лучей, а потом усреднять их цвет для устранения эффекта ступенчатости;

● поскольку расчет отдельной точки изображения выполняется независимо от других точек, то это может быть эффективно использовано при реализации данного метода в параллельных вычислительных системах, в которых лучи могут трассироваться одновременно.

Недостатки метода обратной трассировки:

● проблемы с моделированием диффузного отражения и преломления;

● для каждой точки изображения необходимо выполнять много вычислительных операций. Трассировка лучей относится к числу самых медленных алгоритмов синтеза изображений.