Відеоурок «Теорема про співвідношення між сторонами та кутами трикутника» представляє цю теорему, а також наслідки з неї. Знання теореми та її наслідків необхідне вирішення практичних завдань з геометрії, у яких знаходження параметрів трикутника використовуються різні співвідношення його сторін і кутів. Завдання відеоуроку - полегшити розуміння матеріалу, сприяти запам'ятовуванню теореми та наслідків із неї.
У відеоуроці використані анімаційні ефекти, які допомагають виділити важливі деталі геометричних фігурпри засвоєнні матеріалу. Також використовується виділення кольором виділення затвердження теореми та її наслідків. Голосовий супровід пояснення повністю замінює вчителя за стандартної подачі учням нового матеріалу.
На початку відеоуроку після представлення теми на екран виводиться текст теореми, яка стверджує про те, що проти більшої сторони в довільному трикутнику розташовується більший кут, навпроти більшого кута завжди розташована велика сторона. Дане твердження демонструється на трикутнику ΔАВС, який відображається на малюнку нижче за текст теореми. Доказ теореми пояснюється усно диктором.
Для доказу затвердження передбачається розглянути сторони AB, AC та кути, розташовані навпроти них - ∠C та ∠B. Передбачається, що для сторін AB>AC навпроти кути, що лежать, будуть ∠C>∠B. На стороні AB відкладається відрізок AD, що дорівнює за величиною відрізку AC. Так як сторона AC менша від сторони AB, то кінець відрізка точка D лежить між вершинами трикутника A і B. З цього випливає, що кут ∠1, що утворив при побудові, менше кута ∠C, а кут ∠2 як зовнішній до кута ∠BDC дорівнює сумі кутів ∠DBC та ∠DCB. Це означає, що ∠2 більше кута ∠DBC=∠B. Відповідно, і кут ∠C більший від кута ∠B.
Доказ зворотного затвердження зводиться до розгляду співвідношення сторін AB, AC, якщо кут ∠C більший за кут ∠B. Виконується доказ протилежного. Для цього передбачається, що при ∠C>∠B сторона AB дорівнює або менше від сторони AC. Однак з урахування рівності сторін AB=AC, знаючи властивості рівнобедреного трикутника, можна стверджувати, що в цьому випадку кути ∠C=∠B також дорівнюватимуть. Якщо ж AB
Далі у відеоуроці розглядаються наслідки цієї теореми. Стверджується, що з даної теореми гіпотенуза прямокутного трикутника завжди більша за катет. Дійсно, оскільки гіпотенуза лежить навпроти прямого кута, то катети розташовуються навпроти гострих кутів. Так як гострі кути завжди менше прямого, то і протилежні сторони-катети завжди менше гіпотенузи.
Друге наслідок теореми – ознака рівнобедреного трикутника. Дане слідство стверджує, що рівність двох кутів трикутника означає, що він рівнобедрений. На прикладі трикутника ΔABC розглядаються два кути ∠C і ∠B і протилежні їм сторони AB і AC. Передбачається, що рівність кутів ∠C=∠B відповідає рівність сторін AB=AC. Справді, якби сторони не були рівними, то за теоремою навпроти більшої сторони лежав би більший кут, а навпроти меншої сторони лежав би менший кут. Таким чином, припущення про нерівність сторін є невірним. Цей трикутник є рівнобедреним. Слідство доведено.
ТРИКУТНИКИ.
§ 30. Співвідношення між сторонами та кутами трикутника.
Теорема 1. Проти більшої сторони у трикутнику лежить і більший кут .
Нехай у /\ АВС сторона АВ більша за сторону ВС. Доведемо, що кут С, що лежить проти більшої сторони АВ, більший за кут А, що лежить проти меншої сторони ВС (чорт. 164).
Відкладемо на стороні АВ від точки відрізок ВD, рівний стороні ВС, і з'єднаємо відрізком, точки D і С.
Трикутник DВС рівнобедрений. Кут ВDС дорівнює куту ВСD, оскільки вони лежать проти рівних сторін у трикутнику.
Кут ВDС - зовнішній кут трикутника АDС, тому він більший за кут А.
Так як / ВСD = / ВDС, то і кут ВСD більший за кут А: / ВСD > / A. Але кут ВСD становить лише частину всього кута З, тому кут буде і поготів більше кута A.
Довести самостійно ту саму теорему за кресленням 165, коли ВD = АВ.
У § 18 ми довели, що в рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні, тобто в трикутнику проти рівних сторін лежать рівні кути. Доведемо тепер зворотні теореми.
Теорема 2. Проти рівних кутів у трикутнику лежать і рівні сторони.
Нехай у /\ AВС / A = / З (чорт. 166). Доведемо, що АВ = ВС, тобто трикутник АВС рівнобедрений.
Між сторонами АВ і ПС може бути лише одне з трьох наступних співвідношень:
1) АВ > НД;
2) АВ< ВС;
3) АВ = НД.
Якби сторона AВ була більша за ВС, то кут С був би більшим за кут A, але це суперечить умові теореми, отже, АВ не може бути більшим за ВС.
Так само АВ може бути менше ВС, оскільки у разі кут З був менше кута A.
Отже, можливе лише третій випадок, тобто.
Отже, ми довели: проти рівних кутів у трикутнику лежать і рівні сторони.
Теорема 3. Проти більшого кута у трикутнику лежить велика сторона.
Нехай у трикутнику АВС (чорт. 167) / C > / B
Доведемо, що АВ > АС.
Тут також може бути одне з трьох наступних співвідношень:
1) АВ = АС;
2) АВ< АС;
3) АВ > АС.
Якби сторона АВ дорівнювала стороні АС, то / З дорівнював би / Але це суперечить умові теореми. Значить, АВ не може дорівнювати АС
Так само АВ може бути менше АС, оскільки у разі кут З був менше кута B, що також суперечить цій умові.
Отже, можливий лише один випадок, а саме:
Ми довели: проти більшого кута у трикутнику лежить і велика сторона.
Слідство. У прямокутному трикутнику. гіпотенуза більша за будь-який з його катетів.
Цілі уроку:
Освітні:
- Удосконалювати навички розв'язання задач на тему “Теорема про співвідношення між сторонами та кутами трикутника”.
- Узагальнити та систематизувати теоретичний матеріал:
- Види трикутників;
- Сума кутів трикутника;
- Співвідношення між сторонами і кутами трикутника;
– ознака рівнобедреного трикутника.
Розвиваючі:
- Розвивати навички усного рахунку.
- Розвивати логічне мислення учнів.
- Формувати вміння чітко та ясно викладати свої думки.
- Розвивати математичну мову учнів у процесі виконання усної роботи з відтворення теоретичного матеріалу.
Виховні:
- Виховувати вміння працювати з наявною інформацією.
- Виховувати повагу до предмета, вміння бачити математичні завдання в навколишньому світі.
- Виховувати вміння слухати свого товариша, почуття взаємодопомоги та взаємопідтримки.
Тип уроку: урок узагальнення та систематизації знань із застосуванням комп'ютерних технологій.
Обладнання та наочність: Комп'ютер, проектор, презентація до уроку, кольорова крейда .
Оформлення дошки: на закритій частині дошки виконано креслення № 246.
Структура уроку.
| Вид діяльності. | № слайдів. | хв. |
| 1. Організаційний момент. | 1 | |
| 2. Повідомлення теми та цілей уроку. | 2 | |
| 3. Актуалізація опорних знань. | 6 | |
| 4. Практична робота. | 2–4 | 8 |
| 5. Фізкультхвилинка. | 2 | |
| 6. Закріплення вивченого матеріалу: № 241, 239, 246 – у зошиті. Письмово. | 23 | |
| 7. Підбиття підсумків уроку. Виставлення оцінок. | 2 | |
| 8. Завдання додому: повторити п.30 - п. 32 підручника, № 337, 338. | 1 |
Хід уроку
I. Організаційний момент.
ІІ. Повідомлення теми та цілей уроку.
Перевірка готовності учнів до уроку. Повідомлення учням цілей та плану уроку.
Метою сьогоднішнього уроку є узагальнення та систематизація теоретичного матеріалу, вдосконалення навичок вирішення завдань на тему “Теорема про співвідношення між сторонами та кутами трикутника”.
Сьогодні головною фігурою на нашому уроці буде трикутник.
ІІІ. Актуалізація опорних знань.
Фронтальна робота
- Що таке трикутник?
- Які трикутники бувають?
- Який трикутник називається гострокутним?
- Який трикутник називається прямокутним? Як називаються його сторони?
- Який трикутник називається тупокутним?
- Сформулюйте теорему про суму кутів трикутника.
- Який кут називається зовнішнім кутом трикутника? Чому дорівнює зовнішній кут трикутника?
- Який трикутник називається рівнобедреним? Перерахуйте його властивості.
- Сформулюйте ознаку рівнобедреного трикутника.
- Сформулюйте теорему про співвідношення між сторонами та кутами трикутника.
- Які наслідки випливають із теореми про співвідношення між сторонами та кутами трикутника?
IV. Практична робота. Усна робота на готових кресленнях . <Презентация>.
У трикутнику АВС знайдемо менший кут.
Менша сторона АС означає менший кут В.
У трикутнику NRQ знайдемо меншу сторону.
1) Найменший кут Q, т.к. 180 0 - (74 0 + 64 0) = 42 0
2) Менша сторона NR.
V. Фізкультхвилинка.
VI. Закріплення навчального матеріалу
Розв'язання задачі №241.
Учні записують у зошитах число, тему уроку. Вчитель викликає до дошки учня на вирішення завдання № 241.
Рішення: ∆АВС – рівнобедрений, значить<В = <С. MN||BC, откуда Отримали, що Вчитель викликає до дошки учня на вирішення завдання № 239. Рішення: 1. Розглянемо BMH – прямокутний, т.к. BH – висота. Наслідком 1 BM>BH. 2. BM=BH у разі якщо ∆АВС є рівнобедреним (АВ = ВС) або рівностороннім. Вчитель викликає до дошці учня на вирішення завдання № 246 (креслення накреслено на дошці). Рішення: Оскільки ВО – бісектриса, то OE||AB, отже, OD||AC, отже, P∆EDO = OE + ED + DO, але OE = BE, OD = DC, тоді P∆EDO = BE + ED + DC = BC. VII. Підбиття підсумків уроку. Виставлення оцінок. VIII. Завдання додому: повторити п.30 - п. 32 підручника № 337, 338. Література
