Показуючий зв'язок похідної знака з характером монотонності функції.
Будь ласка, будьте гранично уважні у наступному. Дивіться, графік ЧОГО вам дано! Функції чи її похідної
Якщо дано графік похідної, то цікавитимуть нас лише знаки функції та нулі. Жодні «пагорби» та «впадини» не цікавлять нас у принципі!
Завдання 1.
На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Визначте кількість цілих точок, де похідна функції негативна.
Рішення:
На малюнку виділені кольором області зменшення функції :
У ці області зменшення функції потрапляє 4 цілі значення.
Завдання 2.
На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна до прямої або збігається з нею.
Рішення:
Раз дотична до графіка функції паралельна (або збігається) прямий (або, що те саме, ), що має кутовий коефіцієнт , рівний нулю, те й дотична має кутовий коефіцієнт .
Це своє чергу означає, що дотична паралельна осі , оскільки кутовий коефіцієнт є тангенс кута нахилу дотичної до осі .
Тому ми знаходимо на графіку точки екстремуму (точки максимуму і мінімуму), - саме в них дотичні до графіка функції будуть паралельні осі.
Таких точок – 4.
Завдання 3.
На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна до прямої або збігається з нею.
Рішення:
Якщо дотична до графіку функції паралельна (або збігається) прямий, що має кутовий коефіцієнт, то і дотична має кутовий коефіцієнт.
Це своє чергу означає, що у точках торкання.
Тому дивимося, скільки точок на графіку мають ординату , що дорівнює .
Як бачимо, таких точок – чотири.
Завдання 4.
На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть кількість точок, у яких похідна функції дорівнює 0.
Рішення:
Похідна дорівнює нулю в точках екстремуму. У нас їх 4:
Завдання 5.
На малюнку зображено графік функції та одинадцять точок на осі абсцис:. У скільки з цих точок похідна функції негативна?
Рішення:
На проміжках зменшення функції її похідна набуває негативних значень. А зменшується функція в точках. Таких точок 4.
Завдання 6.
На малюнку зображено графік функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть суму точок екстремуму функції.
Рішення:
Крапки екстремуму- Це точки максимуму (-3, -1, 1) і точки мінімуму (-2, 0, 3).
Сума точок екстремуму: -3-1+1-2+0+3=-2.
Завдання 7.
На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть проміжки зростання функції. У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять до цих проміжків.
Рішення:
На малюнку виділено проміжки, у яких похідна функції неотрицательна.
На малому проміжку зростання цілих точок немає, на проміжку зростання чотири цілі значення: , , і .
Їхня сума:
Завдання 8.
На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. Знайдіть проміжки зростання функції. У відповіді вкажіть довжину найбільшого їх.
Рішення:
На малюнку виділені кольором всі проміжки, у яких похідна позитивна, отже сама функція зростає цих проміжках.
Довжина найбільшого їх – 6.
Завдання 9.
На малюнку зображено графік похідної функції, визначеної на інтервалі. У якій точці відрізка набуває найбільшого значення.
Рішення:
Дивимося як поводиться графік на відрізку, а саме нас цікавить тільки знак похідної .
Знак похідної на - мінус, так як графік на цьому відрізку нижче осі.
Операція відшукання похідної називається диференціюванням.
В результаті вирішення завдань про відшукання похідних у найпростіших (і не дуже простих) функцій визначення похідної як межі відношення прирощення до прирощення аргументу з'явилися таблиця похідних і точно певні правиладиференціювання. Першими на ниві знаходження похідних попрацювали Ісаак Ньютон (1643-1727) та Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716).
Тому в наш час, щоб знайти похідну будь-якої функції, не треба обчислювати згадану вище межу відношення збільшення функції до збільшення аргументу, а потрібно лише скористатися таблицею похідних та правилами диференціювання. Для знаходження похідної підходить наступний алгоритм.
Щоб знайти похідну, треба вираз під знаком штриха розібрати на складові прості функціїта визначити, якими діями (твір, сума, приватна)пов'язані ці функції. Далі похідні елементарних функцій знаходимо у таблиці похідних, а формули похідних твору, суми та частки - у правилах диференціювання. Таблиця похідних та правила диференціювання дані після перших двох прикладів.
приклад 1.Знайти похідну функції
Рішення. З правил диференціювання з'ясовуємо, що похідна суми функцій є сума похідних функцій, тобто.
З таблиці похідних з'ясовуємо, що похідна "ікса" дорівнює одиниці, а похідна синуса - косінус. Підставляємо ці значення у суму похідних і знаходимо необхідну умовою завдання похідну:
приклад 2.Знайти похідну функції
Рішення. Диференціюємо як похідну суми, в якій другий доданок з постійним множником, його можна винести за знак похідної:
Якщо поки що виникають питання, звідки береться, вони, як правило, прояснюються після ознайомлення з таблицею похідних та найпростішими правилами диференціювання. До них ми і переходимо зараз.
Таблиця похідних простих функцій
| 1. Похідна константи (числа). Будь-якого числа (1, 2, 5, 200 ...), яке є у виразі функції. Завжди дорівнює нулю. Це дуже важливо пам'ятати, тому що потрібно дуже часто | |
| 2. Похідна незалежною змінною. Найчастіше "ікса". Завжди дорівнює одиниці. Це також важливо запам'ятати надовго | |
| 3. Похідна ступеня. У ступінь під час вирішення завдань необхідно перетворювати неквадратні коріння. | |
| 4. Похідна змінної у ступені -1 | |
| 5. Похідна квадратного кореня | |
| 6. Похідна синуса | |
| 7. Похідна косинуса |  |
| 8. Похідна тангенса |  |
| 9. Похідна котангенсу |  |
| 10. Похідна арксинусу |  |
| 11. Похідна арккосинусу |  |
| 12. Похідна арктангенса |  |
| 13. Похідна арккотангенса |  |
| 14. Похідна натурального логарифму | |
| 15. Похідна логарифмічна функція |  |
| 16. Похідна експоненти | |
| 17. Похідна показової функції |
Правила диференціювання
| 1. Похідна суми чи різниці |  |
| 2. Похідна твори |  |
| 2a. Похідна вирази, помноженого на постійний множник | |
| 3. Похідна приватного |  |
| 4. Похідна складної функції |  |
Правило 1.Якщо функції
диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовані і функції
причому
тобто. похідна суми алгебраїчної функцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій.
Слідство. Якщо дві функції, що диференціюються, відрізняються на постійний доданок, то їх похідні рівні, тобто.
Правило 2Якщо функції
диференційовані в деякій точці, то в тій же точці диференційовано та їх добуток
причому
тобто. похідна робота двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну іншої.
Наслідок 1. Постійний множник можна виносити за знак похідної:
Наслідок 2. Похідна твори декількох функцій, що диференціюються, дорівнює сумі творів похідної кожного з співмножників на всі інші.
Наприклад, для трьох множників:
Правило 3Якщо функції
диференційовані в деякій точці і , то в цій точці диференційовано та їх приватнеu/v , причому
тобто. похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника.
Де що шукати на інших сторінках
При знаходженні похідної твору і частки у реальних завданнях завжди потрібно застосовувати відразу кілька правил диференціювання, тому більше прикладівна ці похідні – у статті"Виробничі твори та приватні функції".
Зауваження.Слід не плутати константу (тобто число) як доданок у сумі і як постійний множник! У разі доданку її похідна дорівнює нулю, а у разі постійного множника вона виноситься за знак похідних. Це типова помилка, яка зустрічається на початковому етапівивчення похідних, але в міру вирішення вже кількох одно-двоскладових прикладів середній студент цієї помилки вже не робить.
А якщо під час диференціювання твору чи приватного у вас з'явився доданок u"v, в котрому u- число, наприклад, 2 або 5, тобто константа, то похідна цього числа дорівнюватиме нулю і, отже, все доданок буде дорівнює нулю (такий випадок розібраний у прикладі 10).
Інша часта помилка - механічне рішення похідної складної функції як похідної простий функції. Тому похідної складної функціїприсвячено окрему статтю. Але спочатку вчитимемося знаходити похідні простих функцій.
По ходу не обійтися без перетворень виразів. Для цього може знадобитися відкрити у нових вікнах посібники Дії зі ступенями та коріннямі Дії з дробами .
Якщо Ви шукаєте рішення похідних дробів зі ступенями та корінням, тобто, коли функція має вигляд начебто 
, то слідуйте на заняття "Похідна суми дробів зі ступенями та корінням".
Якщо ж перед Вами завдання начебто 
, то Вам на заняття "Виробні простих тригонометричних функцій".
Покрокові приклади - як знайти похідну
приклад 3.Знайти похідну функції
Рішення. Визначаємо частини виразу функції: весь вираз представляє твір, яке співмножники - суми, у другий у тому числі одне з доданків містить постійний множник. Застосовуємо правило диференціювання твору: похідна твори двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший:
Далі застосовуємо правило диференціювання суми: похідна суми алгебраїчної функцій дорівнює сумі алгебри похідних цих функцій. У нашому випадку в кожній сумі другий доданок зі знаком мінус. У кожній сумі бачимо і незалежну змінну, похідна якої дорівнює одиниці, і константу (число), похідна якої дорівнює нулю. Отже, "ікс" у нас перетворюється на одиницю, а мінус 5 - на нуль. У другому виразі "ікс" помножено на 2, так що двійку множимо на ту ж одиницю як похідну "ікса". Отримуємо такі значення похідних:
Підставляємо знайдені похідні у суму творів та отримуємо необхідну умовою завдання похідну всієї функції:
приклад 4.Знайти похідну функції
Рішення. Від нас потрібно знайти похідну приватного. Застосовуємо формулу диференціювання частки: похідна частки двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника. Отримуємо:
Похідну співмножників у чисельнику ми вже знайшли в прикладі 2. Не забудемо також, що твір, що є другим співмножником у чисельнику в поточному прикладі береться зі знаком мінус:
Якщо Ви шукаєте вирішення таких завдань, в яких треба знайти похідну функції, де суцільне нагромадження коренів та ступенів, як, наприклад, 
, то ласкаво просимо на заняття "Виробна суми дробів зі ступенями і корінням" .
Якщо ж Вам потрібно дізнатися більше про похідні синуси, косінуси, тангенси та інші тригонометричних функцій, тобто, коли функція має вигляд начебто , то Вам на урок "Виробні простих тригонометричних функцій" .
Приклад 5.Знайти похідну функції
Рішення. У цій функції бачимо твір, один із співмножників яких - квадратний корінь із незалежної змінної, з похідною якого ми ознайомились у таблиці похідних. За правилом диференціювання твору та табличного значенняпохідної квадратного кореня отримуємо:
Приклад 6.Знайти похідну функції
Рішення. У цій функції бачимо приватне, ділене якого - квадратний корінь із незалежної змінної. За правилом диференціювання приватного, яке ми повторили і застосували в прикладі 4, та табличного значення похідної квадратного кореня отримуємо:
Щоб позбутися дробу в чисельнику, множимо чисельник і знаменник на .
При вирішенні різних завдань геометрії, механіки, фізики та інших галузей знання виникла потреба за допомогою одного й того ж аналітичного процесу з цієї функції y=f(x)отримувати нову функцію, яку називають похідною функцією(або просто похідної цієї функції f(x)та позначають символом
Той процес, з допомогою якого з цієї функції f(x)отримують нову функцію f "(x), називають диференціюваннямі складається з наступних трьох кроків: 1) даємо аргументу xприріст
xі визначаємо відповідне збільшення функції
y = f(x+
x)-f(x); 
2) складаємо відношення x 3) рахуючи
xпостійним, а 
0, знаходимо f "(x), який позначаємо через x, хіба що підкреслюючи цим, що отримана функція залежить лише від значення , коли ми переходимо до межі.:
Визначення
Похідний y "=f" (x)
цієї функції y=f(x)при цьому x 
називається межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу за умови, що збільшення аргументу прагне нуля, якщо, звісно, ця межа існує, тобто. кінцевий. 
Таким чином, x, або Зауважимо, що якщо за деякого значення, наприклад при 
x=a
x, ставлення f(x)при Зауважимо, що якщо за деякого значення0 не прагне кінцевої межі, то в цьому випадку кажуть, що функція Зауважимо, що якщо за деякого значенняпри Зауважимо, що якщо за деякого значення.
(або в точці
) не має похідної або не диференційована в точці
f(x)
2. Геометричний зміст похідної.
Розглянемо графік функції у = f (х), що диференціюється на околицях точки x 0
Розглянемо довільну пряму, що проходить через точку графіка функції - точку А(x 0 , f (х 0)) і перетинає графік деякою точкою B(x;f(x)). Така пряма (АВ) називається січною. З ∆АВС: АС = ∆x;
НД =∆у; tgβ=∆y/∆x. 
Оскільки АС || Ox, то ALO = BAC = β (як відповідні при паралельних). Але ALO – це кут нахилу секущої АВ до позитивного напрямку осі Ох. Значить, tg = k - кутовий коефіцієнт прямої АВ. 
Тепер зменшуватимемо ∆х, тобто. ∆х→ 0. При цьому точка В наближатиметься до точки А за графіком, а січна АВ повертатиметься. Граничним положенням січної АВ при ∆х→ 0 буде пряма (a), яка називається дотичною до графіка функції у = f (х) у точці А. 
Якщо перейти до межі при ∆х → 0 у рівності tgβ = ∆y/∆x, то отримаємо
або tg = f "(x 0), оскільки
-кут нахилу дотичної до позитивного напрямку осі Ох 0 , за визначенням похідної. Але tg = k - кутовий коефіцієнт дотичної, отже, k = tg = f "(x 0). 0 .
Отже, геометричний зміст похідної полягає в наступному:
Розглянемо рух точки прямою. Нехай задана координата точки будь-якої миті часу x(t). Відомо (з курсу фізики), що середня швидкість за проміжок часу дорівнює відношенню відстані, пройденого цей проміжок часу, тимчасово, тобто.
Vср = ∆x/∆t. Перейдемо до межі в останньому рівні при ∆t → 0.
lim Vср (t) = (t 0) - миттєва швидкість у момент часу t 0 , ∆t → 0.
а lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (за визначенням похідної).
Отже, (t) = x"(t).
Фізичний зміст похідної полягає в наступному: похідна функціїy = f(x) у точціx 0 - це швидкість зміни функціїf(х) у точціx 0
Похідна застосовується у фізиці для знаходження швидкості за відомою функцією координати від часу, прискорення за відомою функцією швидкості від часу.
(t) = x"(t) - швидкість,
a(f) = "(t) - прискорення, або
Якщо відомий закон руху матеріальної точки по колу, то можна знайти кутову швидкість та кутове прискорення при обертальному русі:
φ = φ(t) - зміна кута від часу,
ω = φ"(t) - кутова швидкість,
ε = φ"(t) - кутове прискорення, або ε = φ"(t).
Якщо відомий закон розподілу маси неоднорідного стрижня, можна знайти лінійну щільність неоднорідного стрижня:
m = m(х) - маса,
x l - довжина стрижня,
р = m "(х) - лінійна густина.
За допомогою похідної вирішуються завдання з теорії пружності та гармонійних коливань. Так, згідно із законом Гука
F = -kx, x - змінна координата, k-коефіцієнт пружності пружини. Поклавши ω 2 =k/m, отримаємо диференціальне рівняння пружинного маятника х"(t) + ω 2 x(t) = 0,
де ω = √k/√m частота коливань (l/c), k - жорсткість пружини (H/m).
Рівняння виду у + ω 2 y = 0 називається рівнянням гармонійних коливань (механічних, електричних, електромагнітних).
у = Asin(ωt + φ 0) або у = Acos(ωt + φ 0), де
А - амплітуда коливань, - циклічна частота,
φ 0 – початкова фаза.
Безперервність та диференційованість функції.
Теорема Дарбу . Інтервали монотонності.
Критичні точки . Екстремум (мінімум, максимум).
План дослідження функції.
Зв'язок між безперервністю та диференційованістю функції. Якщо функція f(x)диференційована в деякій точці, вона безперервна в цій точці. Назад неправильно: безперервна функціяможе не мати похідної.
Слідкість. Якщо функція розривна у певній точці, вона не має похідної в цій точці.
Достатні ознаки монотонності функції.
Якщо f’(x) > 0 у кожній точці інтервалу (a, b), то функція f (x)зростає цьому інтервалі.
Якщо f’(x) < 0 у кожній точці інтервалу (a, b) , то функція f(x)зменшується у цьому інтервалі.
Теорема Дарбу. Точки, у яких похідна функції дорівнює 0або немає, ділять область визначення функції на інтервали, всередині яких похідна зберігає знак.
Використовуючи ці інтервали, можна знайти інтервали монотонностіфункцій, що дуже важливо при їх дослідженні.
Отже, функція зростає на інтервалах (- , 0) та ( 1, + ) і зменшується на інтервалі ( 0, 1). Крапка x= 0 не входить у область визначення функції, але по мірі наближенняxк0 доданок x - 2 необмежено зростає, тому функція також необмежено зростає. У точціx= 1 значення функції дорівнює 3. Відповідно до цього аналізу ми можемо построїти графік функції (рис.4 б ) .
Критичні точки. Внутрішні точки області визначення функції,в яких похідна дорівнюєнулю чи не існує, називаються критичними точкамицієї функції. Ці точки дуже важливі при аналізі функції та побудові її графіка, тому що тільки у цих точках функція може мати екстремум (мінімум або максимум , рис.5 а,б).
У точках x 1 , x 2 (Мал.5 a) та x 3 (Мал.5 b) похідна дорівнює 0; у точках x 1 , x 2 (Мал.5 б) похідна немає. Але вони всі точки екстремуму.
Необхідна умова екстремуму. Якщо x 0 - точка екстремуму функції f(x) і похідна f' існує у цій точці, то f'(x 0)= 0.
Ця теорема - необхіднеумова екстремуму. Якщо похідна функції у певній точці дорівнює 0,то це не означає, що функція має екстремум у цій точці. Наприклад, похідна функціїf (x) = x 3 дорівнює 0 при x= 0, але ця функція не має екстремуму в цій точці (рис.6).
З іншого боку, функціяy = | x| , представлена на рис.3, має мінімум у точціx= 0 , але у цій точці похідної немає.
Достатні умови екстремуму.
Якщо похідна під час переходу через точку x 0 змінює свій знак із плюсу на мінус, то x 0 - точка максимуму.
Якщо похідна під час переходу через точку x 0 змінює свій знак з мінуса на плюс, то x 0 - точка мінімуму.
План дослідження функції. Для побудови графіка функції необхідно:
1) знайти область визначення та область значень функції,
2) встановити, чи є функція парної чи непарної,
3) визначити, чи є функція періодичною чи ні,
4) знайти нулі функції та її значення приx = 0,
5) знайти інтервали знакопостійності,
6) визначити інтервали монотонності,
7) знайти точки екстремуму та значення функції у цих точках,
8) проаналізувати поведінку функції поблизу “особливих” точок
І при великих значенняхмодуляx .
П р і м е р. Дослідіть функціюf(x) = x 3 + 2 x 2 - x- 2 та побудуйте графік.
Розв'язання. Досліджуємо функцію за вищенаведеною схемою.
1) область визначенняxR (x- будь-яке дійснечисло);
Область значеньyR , так як f (x) – багаточлен непарної
ступеня;
2) функція f (x) не є ні парною, ні непарною
(Поясніть будь ласка);
3) f (x) – неперіодична функція (доведіть це самі);
4) графік функції перетинається із віссюYу точці (0, - 2),
Так як f (0) = - 2; щоб знайти нулі функції потрібно
Вирішити рівняння:x 3 + 2 x 2 - x - 2 = 0, один із коренів
Якого ( x= 1) очевидний. Інші коріння знаходяться
(якщо вони є! ) з розв'язання квадратного рівняння:
x 2 + 3 x+ 2 = 0, яке отримано поділом багаточлена
x 3 + 2 x 2 - x- 2 на двочлен ( x- 1). Легко перевірити,
Що два інші корені:x 2 = - 2 та x 3 = - 1. Таким чином,
Нулями функції є: - 2, - 1 та 1.
5) Це означає, що числова вісь ділиться цим корінням на
Чотири інтервали знакопостійності, всередині яких
Функція зберігає свій знак:
Цей результат може бути отриманий розкладанням
багаточлена на множники:
x 3 + 2 x 2 - x - 2 = (x + 2) (x + 1 (x – 1)
І оцінкою знака твору .
6) Похідна f’ (x) = 3 x 2 + 4 x- 1 не має точок, в яких
Вона не існує, тому її область визначенняR (Усе
дійсні числа); нуліf’ (x) – це коріння рівняння:
3 x 2 + 4 x- 1 = 0 .
Отримані результати зведено до таблиці:
Завдання.
Функція y=f(x) визначено інтервалі (-5; 6). На малюнку зображено графік функції y = f (x). Знайдіть серед точок х 1 , х 2 , ..., х 7 ті точки, де похідна функції f(x) дорівнює нулю. У відповідь запишіть кількість знайдених точок.
Рішення:
Принцип у вирішенні цього завдання такий: є три можливі поведінкифункції на цьому інтервалі:
1) коли функція зростає (там похідна більша за нуль)
2) коли функція зменшується (там похідна менше нуля)
3) коли функція не зростає і не зменшується (там похідна або дорівнює нулю, або не існує)
Нас цікавить третій варіант.
Похідна дорівнює нулю, де функція гладка і не існує в точках зламу. Розглянемо усі ці точки.
х 1 - функція зростає, отже, похідна f′(x) >0
х 2 - функція приймає мінімум і гладка, отже, похідна f '(x) = 0
х 3 - функція приймає максимум, але в цій точці злам, значитьпохідна f ′(x) не існує
х 4 - функція приймає максимум, але в цій точці злам, значитьпохідна f ′(x) не існує
х 5 - похідна f '(x) = 0
х 6 - функція зростає, отже похідна f′(x) >0
х 7 - функція приймає мінімум і гладка, отжепохідна f '(x) = 0
Бачимо, що f ′(x) = 0 у точках х 2 , х 5 і х 7 , разом 3 точки.