В одній із попередніх статей ми вже згадували про ступінь числа. Сьогодні ми намагатимемося зорієнтуватися у процесі знаходження її значення. Науково кажучи, ми з'ясовуватимемо, як правильно зводити в ступінь. Ми розберемося, як виробляється цей процес, одночасно торкнемося всі ймовірні показники ступеня: натуральний, ірраціональний, раціональний, цілий.
Отже, давайте докладно розглянемо рішення прикладів і з'ясуємо, що означає:
- Визначення поняття.
- Зведення у негативну ст.
- Цілий показник.
- Зведення числа до ірраціонального ступеня.
Ось точно відбиває значення визначення: «Зведенням у ступінь називають визначення значення ступеня числа».
Відповідно, зведення числа a у ст. r та процес знаходження значення ступеня a з показником r – це ідентичні поняття. Наприклад, якщо стоїть завдання обчислити значення ступеня (0,6)6″, її можна спростити до висловлювання «Повести число 0,6 в ступінь 6».
Після цього можна приступати безпосередньо до правил зведення.
Зведення у негативний ступінь
Для наочності слід звернути увагу на такий ланцюжок виразів:
110 = 0,1 = 1 * 10 мінус 1 ст.,
1100 = 0,01 = 1 * 10 мінус 2 степ.,
11000 = 0,0001 = 1 * 10 мінус 3 ст.,
110000 = 0,00001 = 1 * 10 в мінус 4 ступені.
Завдяки даним прикладам можна чітко переглянути можливість моментально обчислити 10 у будь-якій мінусового ступеня. Для цієї мети досить банально зрушувати десяткову складову:
- 10 -1 ступеня - перед одиницею 1 нуль;
- в -3 - три нулі перед одиницею;
- в -9 - це 9 нулів та ін.
Так само легко зрозуміти за даною схемою, скільки становитиме 10 мінус 5 ст. -
1100000=0,000001=(1*10)-5.
Як звести число в натуральний ступінь
Згадуючи визначення, враховуємо, що натуральне число a ст. n дорівнює добутку з n множників, причому кожен із них дорівнює a. Проілюструємо: (а * а * ... а) n, де n - це кількість чисел, які множаться. Відповідно, щоб a звести в n, необхідно розрахувати твір наступного виду: а * а * ... а розділити на n разів.
Звідси стає очевидним, що зведення у натуральну ст. спирається на вміння здійснювати множення(Цей матеріал висвітлений у розділі для множення дійсних чисел). Давайте розглянемо завдання:
Зведіть -2 в 4 ст.
Ми маємо справу із натуральним показником. Відповідно, хід рішення буде наступним: (-2) у ст. 4 = (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Тепер залишилося тільки здійснити множення цілих чисельностей: (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Отримуємо 16.
Відповідь на завдання:
(-2) у ст. 4=16.
Приклад:
Обчисліть значення: три цілих дві сьомі у квадраті.
Даний приклад дорівнює наступному твору: три аж два сьомих помножити на три аж два сьомих. Пригадавши, як здійснюється множення змішаних чисел, завершуємо зведення:
- 3 цілих 2 сьомих помножити на себе;
- і 23 сьомих помножити на 23 сьомих;
- дорівнює 529 сорок дев'ятих;
- скорочуємо та отримуємо 10 тридцять дев'ять сорок дев'ятих.
Відповідь: 10 39/49
Щодо питання зведення в ірраціональний показник, слід зазначити, що розрахунки починають проводити після завершення попереднього округлення основи ступеня до будь-якого розряду, який дозволив би отримати величину із заданою точністю. Наприклад, нам потрібно звести число П (пі) у квадрат.
Починаємо з того, що округляємо П до сотих і отримуємо:
П у квадраті = (3,14) 2 = 9,8596. Однак, якщо скоротити П до десятитисячних, отримаємо П=3,14159. Тоді зведення в квадрат отримує зовсім інше число: 9,8695877281.
Тут слід зазначити, що у багатьох завданнях немає потреби зводити ірраціональні числа на ступінь. Як правило, відповідь вписується або у вигляді, власне, ступеня, наприклад, корінь з 6 до ступеня 3, або, якщо дозволить вираз, проводиться його перетворення: корінь з 5 в 7 ступені = 125 корінь з 5.
Як звести число в цілий ступінь
Цю маніпуляцію алгебри доречно брати до уваги для наступних випадків:
- для цілих чисел;
- для нульового показника;
- для позитивного показника.
Оскільки практично всі цілі позитивні числа збігаються з масою чисел натуральних, то постановка в позитивну ступінь цілий - це той же процес, що і постановка в ст. натуральну. Цей процесми описали у попередньому пункті.
Тепер поговоримо про обчислення ст. нульовий. Ми вже з'ясували вище, що нульовий ступінь числа a можна визначити для будь-якого відмінного від нуля a (дійсного), при цьому a ст. 0 дорівнюватиме 1.
Відповідно, зведення будь-якого дійсного числа в нульову ст. даватиме одиницю.
Наприклад, 10 ст.0=1, (-3,65)0=1, а 0 в ст. 0 не можна визначити.
Щоб завершити зведення в цілу ступінь, залишається визначитися з варіантами цілих негативних значень. Ми пам'ятаємо, що ст. від a з цілим показником -z визначатиметься як дріб. У знаменнику дробу розташовується ст. з цілим позитивним значенням, значення якої ми вже навчилися шукати. Тепер залишається лише розглянути приклад зведення.
Приклад:
Обчислити значення числа 2 у кубі з негативним показником.
Процес вирішення:
Відповідно до визначення ступеня з негативним показником позначаємо: два мінус 3 ст. дорівнює один до двох у третій ступені.
Знаменник розраховується просто: два у кубі;
3 = 2*2*2=8.
Відповідь: два в мінус 3 ст. = одна восьма.
Початковий рівень
Ступінь та її властивості. Вичерпний гід (2019)
Навіщо потрібні ступені? Де вони тобі стануть у пригоді? Чому тобі потрібно витрачати час на їхнє вивчення?
Щоб дізнатися все про ступеня, про те для чого вони потрібні, як використовувати свої знання в повсякденному життічитай цю статтю.
І, звичайно ж, знання ступенів наблизить тебе до успішної здачі ОДЕабо ЄДІ і до вступу до ВНЗ твоєї мрії.
Let"s go... (Поїхали!)
Важливе зауваження! Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Для цього потрібно натиснути CTRL+F5 (Windows) або Cmd+R (Mac).
ПОЧАТКОВИЙ РІВЕНЬ
Зведення в ступінь - це така сама математична операція, як додавання, віднімання, множення або поділ.
Зараз поясню все людською мовоюна простих прикладах. Будь уважний. Приклади елементарні, але пояснюють важливі речі.
Почнемо зі складання.
Пояснювати тут нема чого. Ти й так усе знаєш: нас вісім чоловік. У кожного по дві пляшки коли. Скільки всього кіл? Правильно – 16 пляшок.
Тепер множення.
Той самий приклад із колою можна записати інакше: . Математики - люди хитрі та ліниві. Вони спочатку помічають якісь закономірності, а потім вигадують спосіб якнайшвидше їх «рахувати». У нашому випадку вони помітили, що у кожного з восьми чоловік однакова кількість пляшок коли і придумали прийом, який називається множенням. Погодься, вважається легше і швидше, ніж.
Отже, щоб вважати швидше, легше і без помилок, потрібно лише запам'ятати таблицю множення. Ти, звичайно, можеш робити все повільніше, важче та з помилками! Але...
Ось таблиця множення. Повторюй.
І інший, красивіший:
А які ще хитрі прийоми рахунку вигадали ліниві математики? Правильно - зведення числа в ступінь.
Зведення числа до ступеня
Якщо тобі потрібно помножити число на себе п'ять разів, то математики кажуть, що тобі потрібно звести це число в п'яту ступінь. Наприклад, . Математики пам'ятають, що два в п'ятому ступені – це. І вирішують такі завдання в умі - швидше, легше і без помилок.
Для цього потрібно лише запам'ятати те, що виділено кольором у таблиці ступенів чисел. Повір, це полегшить тобі життя.
До речі, чому другий ступінь називають квадратомчисла, а третю - кубом? Що це означає? Дуже гарне питання. Нині будуть тобі і квадрати, і куби.
Приклад із життя №1
Почнемо з квадрата чи з другого ступеня числа.
Уяви собі квадратний басейн розміром метра на метр. Басейн стоїть у тебе на дачі. Спека і дуже хочеться купатися. Але… басейн без дна! Потрібно застелити дно басейну плиткою. Скільки тобі треба плитки? Для того, щоб це визначити, тобі потрібно дізнатися площу дна басейну.
Ти можеш просто порахувати, тикаючи пальцем, що дно басейну складається із кубиків метр на метр. Якщо у тебе плитка метр на метр, тобі потрібно буде шматків. Це легко… Але де ти бачив таку плитку? Плитка швидше буде див на див. І тоді «пальцем рахувати» замучишся. Тоді доведеться множити. Отже, з одного боку дна басейну в нас поміститься плиток (штук) і з іншого теж плиток. Помноживши на ти отримаєш плиток ().
Ти помітив, що для визначення площі дна басейну ми помножили одне й те саме саме на себе? Що це означає? Якщо множиться те саме число, ми можемо скористатися прийомом «зведення в ступінь». (Звичайно, коли в тебе всього два числа, все одно перемножити їх або звести в ступінь. Але якщо в тебе їх багато, то зводити в ступінь значно простіше і помилок при розрахунках виходить теж менше. Для ЄДІ це дуже важливо).
Отже, тридцять другою мірою буде (). Або ж можна сказати, що тридцять у квадраті буде. Іншими словами, другий ступінь числа завжди можна подати у вигляді квадрата. І навпаки, якщо ти бачиш квадрат - це ЗАВЖДИ другий ступінь якогось числа. Квадрат – це зображення другого ступеня числа.
Приклад із життя №2
Ось тобі завдання, порахувати, скільки квадратів на шахівниці за допомогою квадрата числа... З одного боку клітин і з іншого теж. Щоб порахувати їх кількість, потрібно вісім помножити на вісім або якщо помітити, що шахова дошка - це квадрат зі стороною, то можна звести вісім у квадрат. Вийде клітини. () Так?
Приклад із життя №3
Тепер куб чи третій ступінь числа. Той самий басейн. Але тепер тобі потрібно дізнатися, скільки води доведеться залити у цей басейн. Тобі треба порахувати обсяг. (Обсяги та рідини, до речі, вимірюються в кубічних метрах. Несподівано, правда?) Намалюй басейн: дно розміром на метр і глибиною метра і спробуй порахувати, скільки всього кубів розміром метр на метр увійде в твій басейн.
Прямо показуй пальцем і рахуй! Раз, два, три, чотири… двадцять два, двадцять три… Скільки вийшло? Чи не збився? Важко пальцем рахувати? Так то! Бери приклад із математиків. Вони ліниві, тому помітили, що щоб порахувати об'єм басейну, треба перемножити один на одного його довжину, ширину та висоту. У нашому випадку обсяг басейну дорівнюватиме кубів… Легше правда?
А тепер уяви, наскільки математики ліниві та хитрі, якщо вони і це спростили. Звели все до однієї дії. Вони помітили, що довжина, ширина і висота дорівнює і що одне й те число перемножується саме на себе… А що це означає? Це означає, що можна скористатися ступенем. Отже, те, що ти вважав пальцем, вони роблять в одну дію: три в кубі одно. Записується це так: .
Залишається тільки запам'ятати таблицю ступенів. Якщо ти, звичайно, такий же лінивий і хитрий як математики. Якщо любиш багато працювати і робити помилки – можеш продовжувати вважати пальцем.
Ну і щоб остаточно переконати тебе, що ступеня придумали ледарі та хитрюги для вирішення своїх життєвих проблем, а не для того, щоб створити тобі проблеми, ось тобі ще пара прикладів із життя.
Приклад із життя №4
У тебе є мільйон рублів. На початку кожного року ти заробляєш на кожному мільйоні ще один мільйон. Тобто, кожен твій мільйон на початку кожного року подвоюється. Скільки грошей у тебе буде за роки? Якщо ти зараз сидиш і вважаєш пальцем, значить ти дуже працелюбна людинаі.. дурний. Але швидше за все ти даси відповідь через пару секунд, тому що ти розумний! Отже, у перший рік - два помножити на два... на другий рік - те, що вийшло, ще на два, на третій рік... Стоп! Ти помітив, що число перемножується саме на себе один раз. Значить, два в п'ятому ступені - мільйон! А тепер уяви, що у вас змагання і ці мільйони отримає той, хто швидше порахує... Варто запам'ятати ступеня чисел, як вважаєш?
Приклад із життя №5
У тебе є мільйон. На початку кожного року ти заробляєш на кожному мільйоні ще два. Здорово правда? Кожен мільйон потроюється. Скільки грошей у тебе буде за рік? Давай рахувати. Перший рік – помножити на, потім результат ще на… Вже нудно, бо ти вже все зрозумів: три множиться саме на себе рази. Значить четвертою мірою дорівнює мільйон. Треба просто пам'ятати, що три в четвертому ступені це або.
Тепер ти знаєш, що за допомогою зведення числа в ступінь ти здорово полегшиш життя. Давай подивимося на те, що можна робити зі ступенями і що тобі потрібно знати про них.
Терміни та поняття... щоб не заплутатися
Отже, спочатку давай визначимо поняття. Як думаєш, що таке показник ступеня? Це дуже просто - це число, яке знаходиться «вгорі» ступеня числа. Не науково, зате зрозуміло і легко запам'ятати.
Ну і заразом, що така підстава ступеня? Ще простіше - це число, яке знаходиться внизу, в основі.
Ось тобі рисунок для вірності.
Ну і в загальному вигляді, щоб узагальнити і краще запам'ятати.
Ступінь числа з натуральним показником
Ти вже напевно здогадався: бо показник ступеня – це натуральне число. Так, але що таке натуральне число? Елементарно! Натуральні це числа, які використовуються в рахунку при перерахуванні предметів: один, два, три... Ми ж коли вважаємо предмети не говоримо: «мінус п'ять», «мінус шість», «мінус сім». Ми також не говоримо: «одна третя», або «нуль цілих, п'ять десятих». Це не натуральні цифри. А які це числа, як ти думаєш?
Числа типу "мінус п'ять", "мінус шість", "мінус сім" відносяться до цілим числам.Взагалі, до цілих чисел відносяться всі натуральні числа, протилежні числа натуральним (тобто взяті зі знаком мінус), і число. Нуль зрозуміти легко – це коли нічого немає. А що означає негативні («мінусові») числа? А ось їх придумали в першу чергу для позначення боргів: якщо у тебе баланс на телефоні рублів, це означає, що ти винен оператору рублів.
Будь-які дроби – це раціональні числа. Як вони виникли, як гадаєш? Дуже просто. Декілька тисяч років тому наші предки виявили, що їм не вистачає натуральних чисел для вимірювання довжини, ваги, площі тощо. І вони вигадали раціональні числа… Цікаво, правда ж?
Є ще ірраціональні числа. Що це за числа? Якщо коротко, то нескінченний десятковий дріб. Наприклад, якщо довжину кола розділити на її діаметр, то вийде ірраціональне число.
Резюме:
Визначимо поняття ступеня, показник якого — натуральне число (тобто ціле та позитивне).
- Будь-яке число в першому ступені дорівнює самому собі:
- Звести число в квадрат - значить помножити його на себе:
- Звести число в куб - значить помножити його на себе три рази:
Визначення.Звести число в натуральну міру - значить помножити число саме на себе раз:
.
Властивості ступенів
Звідки ці властивості взялися? Зараз покажу.
Подивимося: що таке і ?
За визначенням:
Скільки тут множників всього?
Дуже просто: до множників ми дописали множників, разом вийшло множників.
Але за визначенням це ступінь числа з показником, тобто: , що потрібно було довести.
приклад: Спростіть вираз
Рішення:
Приклад:Спростіть вираз.
Рішення:Важливо помітити, що у нашому правилі обов'язковоповинні бути однакові підстави!
Тому ступеня з основою ми поєднуємо, а залишається окремим множником:
тільки для створення ступенів!
У жодному разі не можна написати, що.
2. то й є -а ступінь числа
Так само, як і з попередньою властивістю, звернемося до визначення ступеня:
Виходить, що вираз множиться сам на себе раз, тобто, згідно з визначенням, це і є ступінь числа:
По суті, це можна назвати «винесенням показника за дужки». Але ніколи не можна цього робити у сумі:
Згадаймо формули скороченого множення: скільки разів нам хотілося написати?
Але це не так, адже.
Ступінь з негативною основою
До цього моменту ми обговорювали лише те, яким має бути показник ступеня.
Але якою має бути підстава?
У ступенях з натуральним показникомоснова може бути будь-яким числом. І справді, адже ми можемо множити один на одного будь-які числа, будь вони позитивні, негативні, або навіть.
Давайте подумаємо, які знаки (« » або « ») матимуть ступеня позитивних чи негативних чисел?
Наприклад, позитивним чи негативним буде число? А? ? З першим усе зрозуміло: скільки позитивних чисел ми один на одного не множили, результат буде позитивним.
Але з негативними трохи цікавіше. Адже ми пам'ятаємо просте правило з 6 класу: «мінус на мінус дає плюс». Тобто, або. Але якщо ми помножимо, вийде.
Визнач самостійно, який знак будуть мати такі вирази:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Впорався?
Ось відповіді: У перших чотирьох прикладах, сподіваюся, все зрозуміло? Просто дивимося на основу та показник ступеня, і застосовуємо відповідне правило.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
У прикладі 5) все теж не так страшно, як здається: адже неважливо, чому рівна підстава - ступінь парний, а значить, результат завжди буде позитивним.
Ну, за винятком випадку, коли основа дорівнює нулю. Адже підстава не рівна? Очевидно ні, тому що (бо).
Приклад 6) вже не такий простий!
6 прикладів для тренування
Розбір рішення 6 прикладів
Якщо не зважати на восьмий ступінь, що ми тут бачимо? Згадуємо програму 7 класу. Отже, згадали? Це формула скороченого множення, а саме – різниця квадратів! Отримуємо:
Уважно дивимось на знаменник. Він дуже схожий на один із множників чисельника, але що не так? Не той порядок доданків. Якби їх поміняти місцями можна було б застосувати правило.
Але як це зробити? Виявляється, дуже легко: тут нам допомагає парний рівень знаменника.
Магічним чином доданки змінилися місцями. Це «явище» застосовується для будь-якого виразу парною мірою: ми можемо безперешкодно змінювати знаки в дужках.
Але важливо запам'ятати: змінюються всі знаки одночасно!
Повернемося, наприклад:
І знову формула:
Цілимими називаємо натуральні числа, протилежні їм (тобто взяті зі знаком «») та число.
ціле позитивне число, а воно нічим не відрізняється від натурального, все виглядає в точності як у попередньому розділі.
А тепер розглянемо нові випадки. Почнемо з показника, що дорівнює.
Будь-яке число в нульового ступеняодно одиниці:
Як завжди, запитаємо себе: чому це так?
Розглянемо якийсь ступінь із основою. Візьмемо, наприклад, і домножимо на:
Отже, ми помножили число на, і отримали те, що було - . А на яке число треба помножити, щоби нічого не змінилося? Правильно, на. Значить.
Можемо зробити те саме вже з довільним числом:
Повторимо правило:
Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці.
Але з багатьох правил є винятки. І тут воно теж є - це число (як основа).
З одного боку, будь-якою мірою повинен дорівнювати - скільки нуль сам на себе не помножуй, все-одно отримаєш нуль, це ясно. Але з іншого боку, як і будь-яке число в нульовому ступені, має дорівнювати. То що з цього правда? Математики вирішили не зв'язуватися і відмовилися зводити нуль у нульовий ступінь. Тобто тепер нам не можна не тільки ділити на нуль, а й зводити його на нульовий ступінь.
Поїхали далі. Крім натуральних чисел та числа до цілих відносяться негативні числа. Щоб зрозуміти, що таке негативний ступінь, вчинимо як минулого разу: домножимо якесь нормальне число на таке ж негативною мірою:
Звідси вже нескладно висловити:
Тепер поширимо отримане правило на довільний ступінь:
Отже, сформулюємо правило:
Число негативною мірою назад такому ж числу позитивно. Але при цьому основа не може бути нульовою:(Бо на ділити не можна).
Підведемо підсумки:
I. Вираз не визначено у разі. Якщо то.
ІІ. Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці: .
ІІІ. Число, що не дорівнює нулю, негативною мірою назад такому ж числу в позитивному ступені: .
Завдання для самостійного вирішення:
Ну і, як завжди, приклади для самостійного вирішення:
Розбір завдань для самостійного розв'язання:
Знаю-знаю, числа страшні, але на ЄДІ треба бути готовим до всього! Виріш ці приклади або розбери їх рішення, якщо не зміг вирішити і ти навчишся легко справлятися з ними на іспиті!
Продовжимо розширювати коло чисел, «придатних» як показник ступеня.
Тепер розглянемо раціональні числа.Які числа називаються раціональними?
Відповідь: всі, які можна подати у вигляді дробу, де і - цілі числа, причому.
Щоб зрозуміти, що таке «дрібний ступінь», розглянемо дріб:
Зведемо обидві частини рівняння до ступеня:
Тепер згадаємо правило про «ступінь ступеня»:
Яке число треба звести до ступеня, щоб отримати?
Це формулювання - визначення кореня ступеня.
Нагадаю: коренем -ого ступеня числа () називається число, яке при зведенні до ступеня дорівнює.
Тобто, корінь ступеня - це операція, зворотна зведенню в ступінь: .
Виходить що. Очевидно, цей окремий випадокможна розширити: .
Тепер додаємо чисельник: що таке? Відповідь легко отримати за допомогою правила «ступінь ступеня»:
Але чи може бути підстава будь-яким числом? Адже корінь можна отримувати не з усіх чисел.
Жодне!
Згадуємо правило: будь-яке число, зведене у парний ступінь – число позитивне. Тобто витягувати коріння парного ступеня з негативних чисел не можна!
А це означає, що не можна такі числа зводити в дрібний ступінь з парним знаменником, тобто вираз не має сенсу.
А що щодо висловлювання?
Але тут постає проблема.
Число можна представити у вигляді інших, скоротливих дробів, наприклад, або.
І виходить, що існує, але не існує, адже це просто дві різні записиодного й того числа.
Або інший приклад: раз, то можна записати. Але варто нам по-іншому записати показник, і знову отримаємо неприємність: (тобто отримали зовсім інший результат!).
Щоб уникнути подібних парадоксів, розглядаємо тільки позитивна основа ступеня з дробовим показником.
Отже, якщо:
- - натуральне число;
- - ціле число;
Приклади:
Ступені з раціональним показником дуже корисні для перетворення виразів з корінням, наприклад:
5 прикладів для тренування
Розбір 5 прикладів для тренування
Ну а тепер – найскладніше. Зараз ми розберемо ступінь з ірраціональним показником.
Всі правила і властивості ступенів тут такі самі, як і для ступеня з раціональним показником, за винятком
Адже за визначенням ірраціональні числа - це числа, які неможливо уявити у вигляді дробу, де і - цілі числа (тобто ірраціональні числа - це все дійсні числа, крім раціональних).
При вивченні ступенів з натуральним, цілим і раціональним показником, ми щоразу складали якийсь «образ», «аналогію», або опис більш звичних термінах.
Наприклад, ступінь із натуральним показником - це число, кілька разів помножене саме на себе;
...число в нульовому ступені- це ніби число, помножене саме на себе раз, тобто його ще не почали множити, значить, саме число ще навіть не з'явилося - тому результатом є лише якась «заготівля числа», а саме число;
...ступінь із цілим негативним показником- це ніби стався якийсь «зворотний процес», тобто число не множили саме на себе, а ділили.
Між іншим, у науці часто використовується ступінь комплексним показникомтобто показник - це навіть не дійсне число.
Але в школі ми про такі складнощі не думаємо, осягнути ці нові поняття тобі буде можливість в інституті.
КУДИ МИ ВПЕВНЕНІ ТИ ПОСТУПИШ! (якщо навчишся вирішувати такі приклади:))
Наприклад:
Виріши самостійно:
Розбір рішень:
1. Почнемо з звичайного нам правила зведення ступеня в ступінь:
Тепер подивися на показник. Нічого він не нагадує тобі? Згадуємо формулу скороченого множення різниця квадратів:
Виходить що:
Відповідь: .
2. Наводимо дроби у показниках ступенів до однакового виду: або обидві десяткові, або обидві звичайні. Отримаємо, наприклад:
Відповідь: 16
3. Нічого особливого, застосовуємо звичайні властивості ступенів:
ПРОСУНУТИЙ РІВЕНЬ
Визначення ступеня
Ступенем називається вираз виду: , де:
- — основа ступеня;
- - показник ступеня.
Ступінь із натуральним показником (n = 1, 2, 3,...)
Звести число в натуральний ступінь n - значить помножити число саме на себе:
Ступінь із цілим показником (0, ±1, ±2,...)
Якщо показником ступеня є ціле позитивнечисло:
Зведення у нульовий ступінь:
Вислів невизначений, т.к., з одного боку, будь-якою мірою - це, з другого - будь-яке число -ою мірою - це.
Якщо показником ступеня є ціле негативнечисло:
(Бо на ділити не можна).
Ще раз про нулі: вираз не визначений у випадку. Якщо то.
Приклади:
Ступінь із раціональним показником
- - натуральне число;
- - ціле число;
Приклади:
Властивості ступенів
Щоб простіше було вирішувати завдання, спробуємо зрозуміти: звідки ці властивості взялися? Доведемо їх.
Подивимося: що таке та?
За визначенням:
Отже, у правій частині цього виразу виходить такий твір:
Але за визначенням це ступінь числа з показником, тобто:
Що й потрібно було довести.
приклад : Спростіть вираз
Рішення : .
приклад : Спростіть вираз
Рішення : Важливо помітити, що у нашому правилі обов'язковомають бути однакові підстави. Тому ступеня з основою ми поєднуємо, а залишається окремим множником:
Ще одне важливе зауваження: це правило - тільки для добутку ступенів!
У жодному разі не можна написати, що.
Так само, як і з попередньою властивістю, звернемося до визначення ступеня:
Перегрупуємо цей твір так:
Виходить, що вираз множиться сам на себе раз, тобто, згідно з визначенням, це і є ступінь числа:
По суті, це можна назвати «винесенням показника за дужки». Але ніколи не можна цього робити у сумі: !
Згадаймо формули скороченого множення: скільки разів нам хотілося написати? Але це не так, адже.
Ступінь із негативною основою.
До цього моменту ми обговорювали лише те, яким має бути показникступеня. Але якою має бути підстава? У ступенях з натуральним показником основа може бути будь-яким числом .
І справді, адже ми можемо множити один на одного будь-які числа, будь вони позитивні, негативні, або навіть. Давайте подумаємо, які знаки (« » або « ») матимуть ступеня позитивних чи негативних чисел?
Наприклад, позитивним чи негативним буде число? А? ?
З першим усе зрозуміло: скільки позитивних чисел ми один на одного не множили, результат буде позитивним.
Але з негативними трохи цікавіше. Адже ми пам'ятаємо просте правило з 6 класу: «мінус на мінус дає плюс». Тобто, або. Але якщо ми помножимо на (), вийде -.
І так нескінченно: при кожному наступному множенні знак змінюватиметься. Можна сформулювати такі прості правила:
- парнуступінь - число позитивне.
- Негативне число, зведене в непарнуступінь - число негативне.
- Позитивне число будь-якої міри - число позитивне.
- Нуль будь-якою мірою дорівнює нулю.
Визнач самостійно, який знак будуть мати такі вирази:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Впорався? Ось відповіді:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
У перших чотирьох прикладах, сподіваюся, все зрозуміло? Просто дивимося на основу та показник ступеня, і застосовуємо відповідне правило.
У прикладі 5) все теж не так страшно, як здається: адже неважливо, чому рівна підстава - ступінь парний, а значить, результат завжди буде позитивним. Ну, за винятком випадку, коли основа дорівнює нулю. Адже підстава не рівна? Очевидно ні, тому що (бо).
Приклад 6) вже не такий простий. Тут треба дізнатися, що менше: чи? Якщо згадати, що стає ясно, що, а значить, підстава менше нуля. Тобто застосовуємо правило 2: результат буде негативним.
І знову використовуємо визначення ступеня:
Все як завжди - записуємо визначення ступенів і, ділимо їх один на одного, розбиваємо на пари і отримуємо:
Перш ніж розібрати останнє правило, розв'яжемо кілька прикладів.
Обчисли значення виразів:
Рішення :
Якщо не зважати на восьмий ступінь, що ми тут бачимо? Згадуємо програму 7 класу. Отже, згадали? Це формула скороченого множення, а саме – різниця квадратів!
Отримуємо:
Уважно дивимось на знаменник. Він дуже схожий на один із множників чисельника, але що не так? Не той порядок доданків. Якби їх поміняти місцями можна було б застосувати правило 3. Але як це зробити? Виявляється, дуже легко: тут нам допомагає парний рівень знаменника.
Якщо примножити його на, нічого не зміниться, чи не так? Але тепер виходить таке:
Магічним чином доданки змінилися місцями. Це «явище» застосовується для будь-якого виразу парною мірою: ми можемо безперешкодно змінювати знаки в дужках. Але важливо запам'ятати: змінюються усі знаки одночасно!Не можна замінити, змінивши тільки один неугодний нам мінус!
Повернемося, наприклад:
І знову формула:
Отже, тепер останнє правило:
Як будемо доводити? Звичайно, як завжди: розкриємо поняття ступеня і спростимо:
Ну а тепер розкриємо дужки. Скільки всього вийде букв? раз по множниках - що це нагадує? Це не що інше, як визначення операції множення: всього там виявилося множників Тобто це, за визначенням, ступінь числа з показником:
Приклад:
Ступінь з ірраціональним показником
На додаток до інформації про ступені для середнього рівня, розберемо ступінь з ірраціональним показником. Всі правила та властивості ступенів тут точно такі ж, як і для ступеня з раціональним показником, за винятком - адже за визначенням ірраціональні числа - це числа, які неможливо уявити у вигляді дробу, де і - цілі числа (тобто ірраціональні числа - це усі дійсні числа, крім раціональних).
При вивченні ступенів з натуральним, цілим і раціональним показником, ми щоразу складали якийсь «образ», «аналогію», або опис більш звичних термінах. Наприклад, ступінь із натуральним показником - це число, кілька разів помножене саме на себе; число в нульовому ступені - це ніби число, помножене саме на себе раз, тобто його ще не почали множити, значить, саме число ще навіть не з'явилося - тому результатом є лише якась «заготівля числа», а саме число; ступінь із цілим негативним показником - це ніби стався якийсь «зворотний процес», тобто число не множили саме на себе, а ділили.
Уявити ступінь з ірраціональним показником дуже складно (так само, як складно уявити 4-мірний простір). Це швидше чисто математичний об'єкт, який математики створили, щоб розширити поняття ступеня на весь простір чисел.
Між іншим, у науці часто використовується ступінь із комплексним показником, тобто показник – це навіть не дійсне число. Але в школі ми про такі складнощі не думаємо, осягнути ці нові поняття тобі буде можливість в інституті.
Отже, що ми робимо, якщо бачимо ірраціональний показник ступеня? Усіми силами намагаємося його позбутися!:)
Наприклад:
Виріши самостійно:
| 1) | 2) | 3) |
Відповіді:
- Згадуємо формулу різниця квадратів. Відповідь: .
- Наводимо дроби до однакового виду: або обидві десяткові або обидві звичайні. Отримаємо, наприклад: .
- Нічого особливого, застосовуємо звичайні властивості ступенів:
КОРОТКИЙ ВИКЛАД РОЗДІЛУ ТА ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
ступенемназивається вираз виду: , де:
Ступінь із цілим показником
ступінь, показник якого - натуральне число (тобто ціле і позитивне).
Ступінь із раціональним показником
ступінь, показник якого - негативні та дробові числа.
Ступінь з ірраціональним показником
ступінь, показник якого - нескінченний десятковий дріб або корінь.
Властивості ступенів
Особливості ступенів.
- Негативне число, зведене в парнуступінь - число позитивне.
- Негативне число, зведене в непарнуступінь - число негативне.
- Позитивне число будь-якої міри - число позитивне.
- Нуль будь-якою мірою дорівнює.
- Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює.
ТЕПЕР ТЕБЕ СЛОВО...
Як тобі стаття? Напиши внизу у коментарях сподобалася чи ні.
Розкажи про свій досвід використання властивостей ступенів.
Можливо, у тебе є питання. Або пропозиції.
Напиши коментарі.
І удачі на іспитах!
Зведення в негативний ступінь- один з основних елементів математики, який часто зустрічається при вирішенні завдань алгебри. Нижче наведено докладну інструкцію.
Як зводити в негативний ступінь – теорія
Коли ми числом у звичайний ступінь, ми множимо його значення кілька разів. Наприклад, 3 3 = 3×3×3 = 27. Із негативним дробом усе навпаки. Загальний виглядза формулою матиме такий вигляд: a -n = 1/a n . Таким чином, щоб звести число в негативний ступінь, потрібно одиницю поділити на це число, але вже позитивно.
Як зводити в негативний ступінь – приклади на звичайних числах
Тримаючи вищенаведене правило розумі, вирішимо кілька прикладів.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Відповідь: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Відповідь -4 -2 = 1/16.
Але чому відповідь у першому та другому прикладах однакова? Справа в тому, що при зведенні негативного числа в парний ступінь (2, 4, 6 і т.д.) знак стає позитивним. Якби ступінь був парним, то мінус зберігся:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Як зводити у негативний ступінь – числа від 0 до 1
Згадаймо, що при зведенні числа в проміжку від 0 до 1 до позитивного ступеня значення зменшується зі зростанням ступеня. Так, наприклад, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.
Приклад 3: Обчислити 0,5 -2
Рішення: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Відповідь: 0,5 -2 = 4
Розбір (послідовність дій):
- Перекладаємо десятковий дріб 0,5 в дробовий 1/2. Так легше.
Зводимо 1/2 в негативний ступінь. 1/(2)-2. Ділимо 1 на 1/(2) 2 , отримуємо 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4
Приклад 4: Обчислити 0,5 -3
Рішення: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
Приклад 5: Обчислити -0,5 -3
Рішення: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Відповідь: -0,5 -3 = -8
Виходячи з 4-го та 5-го прикладів, зробимо кілька висновків:
- Для позитивного числа в проміжку від 0 до 1 (приклад 4), що зводиться в негативний ступінь, парність або непарність ступеня не важлива, значення виразу буде позитивним. При цьому чим більше ступінь, тим більше значення.
- Для негативного числа в проміжку від 0 до 1 (приклад 5), що зводиться в негативний ступінь, парність або непарність ступеня не має значення значення виразу буде негативним. При цьому чим більше ступінь, тим менше значення.
Як зводити в негативний ступінь - ступінь у вигляді дробового числа
Вирази цього типу мають такий вид: a -m/n , де a – звичайне число, m – чисельник ступеня, n – знаменник ступеня.
Розглянемо приклад:
Обчислити: 8 -1/3
Рішення (послідовність дій):
- Згадуємо правило зведення числа у негативний ступінь. Отримаємо: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
- Зауважте, у знаменнику число 8 в дробового ступеня. Загальний вид обчислення дробового ступеня такий: a m/n = n 8 m.
- Таким чином, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Отримуємо кубічний корінь із восьми, який дорівнює 2. Виходячи звідси, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
- Відповідь: 8 -1/3 = 2
У цьому матеріалі ми розберемо, що таке ступінь числа. Крім основних визначень ми сформулюємо, що таке ступеня з натуральними, цілими, раціональними та ірраціональними показниками. Як завжди, всі поняття будуть проілюстровані прикладами завдань.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Спочатку сформулюємо базове визначення ступеня із натуральним показником. Для цього нам доведеться згадати основні правила множення. Заздалегідь уточнимо, що як підстава будемо поки що брати дійсне число (позначимо його буквою a), а як показник – натуральне (позначимо буквою n).
Визначення 1
Ступінь числа a з натуральним показником n - це добуток n-ного числа множників, кожен з яких дорівнює числу а. Записується ступінь так: a n, а як формули її склад можна наступним чином:
Наприклад, якщо показник ступеня дорівнює 1 , а основа – a то перший ступінь числа a записується як a 1. Враховуючи, що a – це значення множника, а 1 – число множників, ми можемо дійти невтішного висновку, що a 1 = a.
Загалом можна сказати, що ступінь – це зручна форма запису великої кількостірівних множників. Так, запис виду 8 · 8 · 8 · 8можна скоротити до 8 4 . Приблизно так само твір допомагає нам уникнути запису великої кількостідоданків (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); ми це вже розбирали у статті, присвяченій множенню натуральних чисел.
Як же правильно прочитати запис ступеня? Загальноприйнятий варіант - "a в ступені n". Або можна сказати «n-на ступінь a» або «a-n-ного ступеня». Якщо, скажімо, у прикладі зустрівся запис 8 12 , ми можемо прочитати «8 у 12-му ступені», «8 у ступені 12» або «12-й ступінь 8-ми».
Другий і третій ступеня числа мають усталені назви: квадрат і куб. Якщо бачимо другий ступінь, наприклад, числа 7 (7 2) , ми можемо сказати « 7 у квадраті» чи «квадрат числа 7 ». Аналогічно третій ступінь читається так: 5 3 - Це "куб числа 5" або "5 в кубі". Втім, вживати стандартне формулювання «у другому/третьому ступені» теж можна, це не буде помилкою.
Приклад 1
Розберемо приклад ступеня з натуральним показником: для 5 7 п'ятірка буде основою, а сімка – показником.
В основі не обов'язково має стояти ціле число: для ступеня (4 , 32) 9 основою буде дріб 4, 32, а показником – дев'ятка. Зверніть увагу на дужки: такий запис робиться для всіх ступенів, основи яких відрізняються від натуральних чисел.
Наприклад: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .
Навіщо потрібні дужки? Вони допомагають уникнути помилок у розрахунках. Скажімо, у нас є два записи: (− 2) 3 і − 2 3 . Перша їх означає негативне число мінус два, зведене у ступінь з натуральним показником три; друга – число, що відповідає протилежному значенню ступеня 2 3 .
Іноді в книгах можна зустріти дещо інше написання ступеня числа. a^n(Де а - основа, а n - показник). Тобто 4^9 – це те саме, що й 4 9 . Якщо n являє собою багатозначне число, він береться в дужки. Наприклад, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Але ми будемо використовувати позначення a nяк найбільш уживане.
Про те, як обчислити значення ступеня з натуральним показником, легко здогадатися з її визначення: потрібно просто перемножити a n число разів. Докладніше про це ми писали в іншій статті.
Поняття ступеня є оберненим до іншого математичного поняття – кореня числа. Якщо ми знаємо значення ступеня та показник, ми можемо обчислити її основу. Ступінь має деякі специфічними властивостями, корисними для вирішення завдань, які ми розібрали у межах окремого матеріалу.
У показниках ступеня можуть стояти як натуральні числа, а й взагалі будь-які цілі значення, зокрема негативні і нулі, адже вони теж належать до безлічі цілих чисел.
Визначення 2
Ступінь числа з цілим позитивним показником можна відобразити у вигляді формули: 
.
У цьому n – будь-яке ціле позитивне число.
Розберемося з поняттям нульового ступеня. Для цього ми використовуємо підхід, що враховує властивість приватного для ступенів рівними підставами. Воно формулюється так:
Визначення 3
Рівність a m: a n = a m − nбуде правильно за умов: m і n – натуральні числа, m< n , a ≠ 0 .
Остання умова важлива, оскільки дозволяє уникнути поділу на нуль. Якщо значення m і n рівні, ми отримаємо наступний результат: a n: a n = a n − n = a 0
Але при цьому a n : a n = 1 – приватне рівних чисел a nта a . Виходить, що нульовий ступінь будь-якого відмінного від нуля числа дорівнює одиниці.
Однак такий доказ не підходить для нуля в нульовому ступені. Для цього нам потрібна інша властивість ступенів – властивість творів ступенів із рівними основами. Воно виглядає так: a m · a n = a m + n .
Якщо n у нас дорівнює 0, то a m · a 0 = a m(така рівність також доводить нам, що a 0 = 1). Але якщо і так само нулю, наша рівність набуває вигляду 0 m · 0 0 = 0 m, Воно буде вірним за будь-якого натурального значення n , і неважливо при цьому, чому саме дорівнює значення ступеня 0 0 , тобто воно може бути рівне будь-якому числу, і на вірність рівності це не вплине. Отже, запис виду 0 0 свого особливого сенсу немає, і ми йому його приписуватимемо.
За бажання легко перевірити, що a 0 = 1сходиться з властивістю ступеня (a m) n = a m · nза умови, що підстава ступеня не дорівнює нулю. Таким чином, ступінь будь-якого відмінного від нуля числа з нульовим показником дорівнює одиниці.
Приклад 2
Розберемо приклад із конкретними числами: Так, 5 0 - одиниця, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , а значення 0 0 НЕ визначено.
Після нульового ступеня нам залишилося розібратися, що являє собою ступінь негативний. Для цього нам знадобиться та сама властивість добутку ступенів з рівними основами, яку ми вже використовували вище: a m · a n = a m + n .
Введемо умову: m = − n , тоді a не повинно дорівнювати нулю. З цього виходить що a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Виходить, що a n і a − nу нас є взаємно зворотні числа.
Через війну a цілою негативною мірою не що інше, як дріб 1 a n .
Таке формулювання підтверджує, що для ступеня з цілим негативним показником дійсні ті самі властивості, якими володіє ступінь з натуральним показником (за умови, що підстава не дорівнює нулю).
Приклад 3
Ступінь a з цілим негативним показником n можна подати у вигляді дробу 1 a n . Таким чином, a - n = 1 a n за умови a ≠ 0та n – будь-яке натуральне число.
Проілюструємо нашу думку конкретними прикладами:
Приклад 4
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1
В останній частині параграфа спробуємо зобразити все сказане наочно в одній формулі:
Визначення 4
Ступінь числа a з натуральним показником z – це: a z = a z , e с л і z - ц е л е п о л о ж і т е л ь н о е ч і с л о 1 , z = 0 і a ≠ 0 , (п р і z = 0 і a = 0 отримає я 0 0 , зна ч е ня ви р а жен ня 0 0 не о п е д е л е т с я) 1 a z , е с л і z - ц е л о е д ри ц е т е л ь н о е ч і с л о і a ≠ 0 ( е с л і z - ц е л о е о т ри ц я т е л ь н о е ч і с л о і a = 0 отримає я 0 z , е г о з н а ч е н н е н е н о о п рі д е л е т с я)
Що таке ступеня з раціональним показником
Ми розібрали випадки, коли у показнику ступеня стоїть ціле число. Однак звести число в ступінь можна і тоді, коли в показнику стоїть дробове число. Це називається ступенем із раціональним показником. У цьому пункті ми доведемо, що вона має ті ж властивості, що й інші ступені.
Що таке раціональні числа? У їх безліч входять як цілі, і дробові числа, у своїй дробові числа можна у вигляді звичайних дробів (як позитивних, і негативних). Сформулюємо визначення ступеня числа a з дробовим показником m/n, де n – натуральне число, а m – ціле.
Ми маємо певний ступінь з дробовим показником a m n . Для того, щоб властивість ступеня в ступеня виконувалася, рівність a m n n = a m n · n = a m має бути вірною.
Враховуючи визначення кореня n - ного ступеня і що a m n n = a m , ми можемо прийняти умову a m n = a m n , якщо a m n має сенс за даних значень m , n і a .
Наведені вище властивості ступеня з цілим показником будуть вірними за умови amn = amn.
Основний висновок з наших міркувань такий: ступінь деякого числа a з дрібним показником m / n - це корінь n-го ступеня з числа a в ступені m. Це справедливо в тому випадку, якщо при даних значеннях m n і a вираз a m n зберігає сенс.
1. Ми можемо обмежити значення основи ступеня: візьмемо a , яке при позитивних значеннях m буде більше або дорівнює 0 , а для негативних – строго менше (оскільки при m ≤ 0 ми отримуємо 0 m, А такий ступінь не визначено). У такому разі визначення ступеня з дробовим показником виглядатиме так:
Ступінь з дробовим показником m / n для деякого позитивного числа a є корінь n-го ступеня з, зведеного в ступінь m. У вигляді формули це можна зобразити так:
Для ступеня з нульовою основою це положення також підходить, але тільки в тому випадку, якщо показник – позитивне число.
Ступінь з нульовою основою та дробовим позитивним показником m/n можна виразити як
0 m n = 0 m n = 0 за умови цілого позитивного m та натурального n .
При негативному відношенні m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.
Зазначимо один момент. Оскільки ми запровадили умову, що a більше чи дорівнює нулю, то у нас виявилися відкинуті деякі випадки.
Вираз a m n іноді все ж таки має сенс при деяких негативних значеннях a і деяких m . Так, вірні записи (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , в яких підстава негативна.
2. Другий підхід – це розглянути окремо корінь a m n з парними та непарними показниками. Тоді нам потрібно ввести ще одну умову: ступінь a , у показнику якого стоїть скоротитий звичайний дріб, вважається ступенем a , у показнику якого стоїть відповідний їй нескоротний дріб. Пізніше ми пояснимо, для чого нам ця умова і чому вона така важлива. Таким чином, якщо ми маємо запис a m · k n · k , то ми можемо звести його до a m n і спростити розрахунки.
Якщо n – непарне число, а значення m – позитивно, a – будь-яке невід'ємне число, то a m n має сенс. Умова неотрицательного a потрібна, оскільки корінь парного ступеня з негативного числа не беруть. Якщо значення m позитивно, то a то, можливо і негативним, і нульовим, т.к. корінь непарної міри можна витягти з будь-якого дійсного числа.
Об'єднаємо всі дані вище визначення одного запису:
Тут m/n означає нескоротний дріб, m – будь-яке ціле число, а n – будь-яке натуральне число.
Визначення 5
Для будь-якого звичайного скоротливого дробу m · k n · k ступінь можна замінити на a m n .
Ступінь числа a з нескоротним дробовим показником m / n - можна виразити у вигляді a m n наступних випадках: - для будь-яких дійсних a , цілих позитивних значень m і непарних натуральних значень n. Приклад: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .
Для будь-яких відмінних від нуля дійсних a цілих негативних значень m і непарних значень n наприклад, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7
Для будь-яких невід'ємних a цілих позитивних значень m і парних n наприклад, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .
Для будь-яких позитивних a цілих негативних m і парних n наприклад, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .
У разі інших значень ступінь із дробовим показником не визначається. Приклади таких ступенів: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .
Тепер пояснимо важливість умови, про яку говорили вище: навіщо замінювати дріб із скоротимим показником на дріб із нескоротним. Якби ми цього не зробили, то вийшли б такі ситуації, скажімо, 6/10 = 3/5. Тоді має бути вірним (-1) 6 10 = - 1 3 5 , але - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , а (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .
Визначення ступеня з дробовим показником, яке ми навели першим, зручніше застосовувати на практиці, ніж друге, тому ми далі користуватимемося саме ним.
Визначення 6
Таким чином, ступінь позитивного числа з дробовим показником m / n визначається як 0 m n = 0 m n = 0 . У разі негативних aзапис a m n немає сенсу. Ступінь нуля для позитивних дробових показників m/nвизначається як 0 m n = 0 m n = 0 для негативних дробових показників ми ступінь нуля не визначаємо.
У висновках зазначимо, що можна записати будь-який дробовий показник як у вигляді змішаного числа, так і у вигляді десяткового дробу: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .
При обчисленні краще замінювати показник ступеня звичайним дробом і далі користуватися визначенням ступеня з дробовим показником. Для прикладів вище у нас вийде:
5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7
Що таке ступеня з ірраціональним та дійсним показником
Що таке дійсні числа? У їх безліч входять як раціональні, і ірраціональні числа. Тому для того, щоб зрозуміти, що таке ступінь із дійсним показником, нам треба визначити ступеня з раціональними та ірраціональними показниками. Про раціональні ми згадували вище. Розберемося з ірраціональними показниками покроково.
Приклад 5
Припустимо, що ми маємо ірраціональне число a і послідовність його десяткових наближень a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Наприклад, візьмемо значення a = 1,67175331. . . тоді
a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671,. . . , a 0 = 1, 67, a 1 = 1, 6717, a 2 = 1, 671753,. . .
Послідовності наближень ми можемо поставити у відповідність послідовність ступенів a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Якщо згадати, що ми розповідали раніше про зведення чисел у раціональний ступінь, ми можемо самі підрахувати значення цих ступенів.
Візьмемо для прикладу a = 3, тоді a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . і т.д.
Послідовність ступенів можна звести до числа, яке і буде значенням ступеня з основою a та ірраціональним показником a . У результаті: ступінь з ірраціональним показником виду 31,67175331. . можна звести до 6 , 27 .
Визначення 7
Ступінь позитивного числа a з ірраціональним показником записується як a a . Його значення - це межа послідовності a a 0, a a 1, a a 2,. . . , де a 0, a 1, a 2,. . . є послідовними десятковими наближеннями ірраціонального числа a. Ступінь з нульовою основою можна визначити і для позитивних ірраціональних показників, при цьому 0 a = 0 Так, 06 = 0, 02133 = 0. А для негативних цього зробити не можна, оскільки, наприклад, значення 0 – 5, 0 – 2 π не визначено. Одиниця, зведена в будь-який ірраціональний ступінь, залишається одиницею, наприклад, і 12, 15 в 2 і 1 - 5 дорівнюють 1 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Формули ступеніввикористовують у процесі скорочення та спрощення складних виразів, у вирішенні рівнянь та нерівностей.
Число cє n-ний ступенем числа aколи:
Операції зі ступенями.
1. Помножуючи ступеня з однаковою основоюїх показники складаються:
a m· a n = a m + n.
2. У розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються:
3. Ступінь праці 2-х чи більшого числамножників дорівнює добутку ступенів цих співмножників:
(abc ...) n = a n · b n · c n ...
4. Ступінь дробу дорівнює відношенню ступенів ділимого та дільника:
(a/b) n = n / b n .
5. Зводячи ступінь у ступінь, показники ступенів перемножують:
(a m) n = a m n .
Кожна вищенаведена формула вірна у напрямах зліва направо та навпаки.
Наприклад. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4.
Операції з корінням.
1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коренів із цих співмножників:
2. Корінь із відношення дорівнює відношенню ділимого та дільника коренів:
3. При зведенні кореня на рівень досить звести на цей рівень підкорене число:
4. Якщо збільшити ступінь кореня в nраз і в той же час звести в n-у ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:
5. Якщо зменшити ступінь кореня в nраз і в той же час витягти корінь n-ой ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:
Ступінь із негативним показником.Ступінь деякого числа з непозитивним (цілим) показником визначають як одиницю, поділену на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величині непозитивного показника:
Формулу a m:a n =a m - nможна використовувати не тільки при m> n, але і при m< n.
Наприклад. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Щоб формула a m:a n =a m - nстала справедливою при m=n, потрібна присутність нульового ступеня.
Ступінь із нульовим показником.Ступінь усякого числа, не рівного нулю, З нульовим показником дорівнює одиниці.
Наприклад. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Ступінь із дробовим показником.Щоб звести дійсне число ау ступінь m/nнеобхідно вийняти корінь n-ого ступеня з m-ой ступеня цього числа а.