Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судового порядку, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
Почнемо зі властивості логарифму одиниці. Його формулювання таке: логарифм одиниці дорівнює нулю, тобто, log a 1=0для будь-якого a>0, a≠1. Доказ не викликає складнощів: оскільки a 0 =1 для будь-якого a , що задовольняє зазначеним вище умовам a>0 і a≠1 , то рівність log a 1=0 відразу випливає з визначення логарифму.
Наведемо приклади застосування розглянутої якості: log 3 1=0 , lg1=0 і .
Переходимо до наступної властивості: логарифм числа, рівної основи, дорівнює одиниці, тобто, log a a=1при a>0, a≠1. Справді, оскільки a 1 =a для будь-якого a , то визначення логарифму log a a=1 .
Прикладами використання цієї властивості логарифмів є рівності log 5 5 = 1, log 5,6 5,6 і lne = 1 .
Наприклад, log 2 2 7 =7 , lg10 -4 =-4 і 
.
Логарифм твору двох позитивних чисел x і y дорівнює добутку логарифмів цих чисел: log a (x · y) = log a x + log a y, a>0, a≠1. Доведемо властивість логарифму твору. В силу властивостей ступеня a log a x + log a y = log a x · log a y, а так як за основною логарифмічною тотожністю a log a x = x і a log a y = y, то a log a x a log a y = x y. Таким чином, a log a x + log a y = x · y, звідки за визначенням логарифму випливає рівність, що доводиться.
Покажемо приклади використання властивості логарифму добутку: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3 
.
Властивість логарифму твору можна узагальнити на твір кінцевого числа n позитивних чисел x 1 , x 2 , …, x n як log a (x 1 · x 2 · ... · x n) = log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Ця рівність без проблем доводиться.
Наприклад, натуральний логарифм твору можна замінити сумою трьох натуральних логарифмів чисел 4 , e , і .
Логарифм приватного двох позитивних чисел x і y дорівнює різниці логарифмів цих чисел. Властивості приватного логарифму відповідає формула виду , де a>0 , a≠1 , x і y – деякі позитивні числа. Справедливість цієї формули доводиться як і формула логарифму твору: оскільки 
, то щодо визначення логарифму .
Наведемо приклад використання цієї властивості логарифму: 
.
Переходимо до властивості логарифму ступеня. Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм модуля основи цього ступеня. Запишемо цю властивість логарифму ступеня у вигляді формули: log a b p = log a | b |, де a>0 , a≠1 , b та p такі числа, що ступінь b p має сенс і b p >0 .
Спочатку доведемо цю властивість для позитивних b. Основне логарифмічне тотожність дозволяє нам уявити число b як a log a b тоді b p = (a log a b) p , а отримане вираз в силу властивість ступеня дорівнює a p · log a b . Так ми приходимо до рівності b p = a p · log a b , з якого за визначенням логарифму укладаємо, що log a b p = p · log a b .
Залишилося довести цю властивість для негативних b. Тут зауважуємо, що вираз log a b p при негативних b має сенс лише при парних показниках ступеня p (оскільки значення ступеня b p має бути більшим за нуль, в іншому випадку логарифм не матиме сенсу), а в цьому випадку b p =|b| p. Тоді b p = | b | p = (a log a | b |) p = a p · log a | b |, Звідки log a b p = p log a | b | .
Наприклад, 
і ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Із попередньої властивості випливає властивість логарифму з кореня: логарифм кореня n-ого ступеня дорівнює добутку дробу 1/n на логарифм підкореного виразу, тобто, 
, де a>0, a≠1, n – натуральне число, Більше одиниці, b>0.
Доказ базується на рівності (дивіться ), яка справедлива для будь-яких позитивних b і властивості логарифму ступеня: 
.
Ось приклад використання цієї властивості: 
.
Тепер доведемо формулу переходу до нової основи логарифмувиду 
. Для цього достатньо довести справедливість рівності log c b = log a b log c a . Основне логарифмічне тотожність дозволяє нам число b уявити як a log a b тоді log c b = log c a log a b . Залишилося скористатися властивістю логарифму ступеня: log ca log ab = log a b log c a. Так доведено рівність log c b = log a b log ca , а значить, доведено і формулу переходу до нової основи логарифму.
Покажемо кілька прикладів застосування цієї властивості логарифмів: і 
.
Формула переходу до нової основи дозволяє переходити до роботи з логарифмами, що мають «зручну» основу. Наприклад, з її допомогою можна перейти до натуральних або десяткових логарифмів, щоб можна було обчислити значення логарифму таблиці логарифмів. Формула переходу до нової основи логарифму також дозволяє в деяких випадках знаходити значення логарифму, коли відомі значення деяких логарифмів з іншими основами.
Часто використовується окремий випадокформули початку нової основи логарифма при c=b виду 
. Звідси видно, що log ab і log ba – . Наприклад, 
.
Також часто використовується формула 
яка зручна при знаходженні значень логарифмів. Для підтвердження своїх слів покажемо, як з її допомогою обчислюється значення логарифму . Маємо 
. Для доказу формули 
достатньо скористатися формулою переходу до нової основи логарифму a: 
.
Залишилося довести властивості порівняння логарифмів.
Доведемо, що для будь-яких позитивних чисел b1 і b2, b1 log a b 2 , а за a>1 – нерівність log a b 1 Нарешті, залишилося довести останню з перерахованих властивостей логарифмів. Обмежимося доказом його першої частини, тобто доведемо, що якщо a 1 >1 , a 2 >1 і a 1 1 справедливо log a 1 b> log a 2 b . Інші твердження цієї властивості логарифмів доводяться за аналогічним принципом. Скористаємося методом від неприємного. Припустимо, що за a 1 >1 , a 2 >1 і a 1 1 справедливо log a 1 b≤log a 2 b . За властивостями логарифмів ці нерівності можна переписати як 
і 
відповідно, а з них випливає, що log b a 1 ≤ log b a 2 і log b a 1 ≥ log b a 2 відповідно. Тоді за властивостями ступенів з однаковими основами повинні виконуватися рівності b log b a 1 b log b a 2 і b log b a 1 b log b a 2 , тобто, a 1 a 2 . Так ми дійшли суперечності умові a 1
Список літератури.
- Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
- Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).
ПОКАЗНА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ VIII
§ 184. Логарифм ступеня та кореня
Теорема 1.Логарифм ступеня позитивного числа дорівнює добутку показника цього ступеня на логарифм її основи.
Іншими словами, якщо а і х позитивні та а =/= 1, то для будь-якого дійсного числа k
log a x k = k log a x . (1)
Для доказу цієї формули достатньо показати, що
= a k log a x . (2)
= x k
a k log a x = (a log a x ) k = x k .
Звідси випливає справедливість формули (2), отже, і (1).
Зауважимо, що якщо число k є натуральним ( k = п ), то формула (1) є окремим випадком формули
log a (x 1 x 2 x 3 ... x n ) = log a x 1 + log a x 2+log a x 3 + ... log a x n .
доведеною ще у попередньому параграфі. Справді, вважаючи у цій формулі
x 1 = x 2 = ... = x n = x ,
отримуємо:
log a x n = n log a x .
1) log 3 25 = log 3 5 2 = 2 log 3 5;
2) log 3 2 √ 3 = √3 log 3 2.
при негативних значеннях х Формула (1) втрачає сенс. Наприклад, не можна писати log 2 (-4) 2 = 2 log 2 (- 4), оскільки вираз log 2 (-4) не визначено. Зауважимо, що вираз, що стоїть у лівій частині цієї формули, має сенс:
log 2 (-4) 2 = log 2 16 = 4.
Взагалі, якщо число х негативно, то вираз log a x 2k = 2k log a x визначено, оскільки x 2k > 0. Вираз же 2 k log a x у цьому випадку немає сенсу. Тому писати
Log a x 2k = 2k log a x
не можна. Однак можна писати
log a x 2k = 2k log a | x | (3)
Ця формула легко виходить із (1), якщо врахувати, що
x 2k = | x | 2k
Наприклад,
log 3 (-3) 4 = 4 log 3 | -3 | = 4 log 3 3 = 4.
Теорема 2.Логарифм кореня з позитивного числа дорівнює логарифму підкореного виразу, поділеного на показник кореня.
Іншими словами, якщо числа а і х позитивні, а =/= 1 і п - натуральне число, то
log a n √x = 1 / n log a x
Справді, n √x =. Тому з теореми 1
log a n √x = log a = 1 / n log a x .
1) log 3 √8 = 1/2 log 3 8; 2) log 2 5 √27 = 1/5 log 2 27.
Вправи
1408. Як зміниться логарифм числа, якщо, не змінюючи підстав:
а) звести число квадрат;
б) витягти із числа квадратний корінь?
1409. Як зміниться різницю log 2 a - log 2 b , якщо числа а і b замінити відповідно на:
а) а 3 та b 3; б) 3 а та 3 b ?
1410. Знаючи, що log 10 2 ≈ 0,3010, log 10 3 ≈ 0,4771, знайти логарифми на підставі 10 чисел:
8; 9; 3 √2 ; 3 √6 ; 0,5; 1 / 9
1411. Довести, що логарифми послідовних членів геометричної прогресії утворюють арифметичну прогресію.
1412. Чи відрізняються одна від одної функції
у = log 3 х 2 та у = 2 log 3 х
Побудувати графіки цих функцій.
1413. Знайти помилку у таких перетвореннях:
log 2 1/3 = log 2 1/3
2log 2 1/3 > log 2 1/3;
log 2 (1/3) 2 > log 2 1/3
(1 / 3) 2 > 1 / 3 ;
Корінь логарифмуз позитивного числа дорівнює логарифму підкореного виразу, поділеному на показник кореня:
І в правду, при роботі зі ступенями використовується залежність, отже, застосувавши теорему логарифму ступеня і отримуємо цю формулу.
Застосуємо її на практиці, розглянемо приклад:
При вирішення завдань на знаходження логарифмудосить часто виявляється корисним від логарифмів з однієї основи (наприклад, а) перейти до логарифмів з іншої основи (наприклад, з) . У таких ситуаціях застосовують наступну формулу:
При цьому мається на увазі, що a, bі ззвичайно ж позитивні числа, причому аі зне рівні один.
Для доказу цієї формули скористаємося основною логарифмічною тотожністю:
Якщо позитивні числа рівні, то, очевидно, рівні та їх логарифми з однієї й тієї ж підстави з. Тому:
Застосувавши теорему про логарифм ступеня:
Отже , log a b · log c a = log c bзвідки і витікає формула зміни основи логарифму.
Отже, маємо ступеня двійки. Якщо взяти число з нижнього рядка, можна легко знайти ступінь, у якому доведеться звести двійку, щоб вийшло це число. Наприклад, щоб отримати 16, треба два звести до четвертого ступеня. А щоб отримати 64, треба два звести на шостий ступінь. Це видно з таблиці.
А тепер – власне, визначення логарифму:
Логарифм на підставі a від аргументу x - це ступінь, в яку треба звести число a щоб отримати число x .
Позначення: log a x = b , де a - основа, x - аргумент, b - власне, чому дорівнює логарифм.
Наприклад, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм на підставі 2 від числа 8 дорівнює трьом, оскільки 2 3 = 8). З тим самим успіхом log 2 64 = 6, оскільки 2 6 = 64.
Операцію знаходження логарифму числа за заданою основою називають логарифмуванням. Отже, доповнимо нашу таблицю новим рядком:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
На жаль, не всі логарифми вважаються так легко. Наприклад, спробуйте знайти log 2 5 . Числа 5 немає в таблиці, але логіка нагадує, що логарифм лежатиме десь на відрізку . Тому що 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Такі числа називаються ірраціональними: цифри після коми можна писати нескінченно, і вони ніколи не повторюються. Якщо логарифм виходить ірраціональним, його краще і залишити: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .
Важливо розуміти, що логарифм - це вираз із двома змінними (підстава та аргумент). Багато хто спочатку плутає, де знаходиться підстава, а де - аргумент. Щоб уникнути прикрих непорозумінь, просто погляньте на картинку:
Перед нами - не що інше як визначення логарифму. Згадайте: логарифм – це ступінь, В яку треба звести підставу, щоб отримати аргумент. Саме основа зводиться у ступінь - на картинці воно виділено червоним. Виходить, що основа завжди знаходиться внизу! Це чудове правило я розповідаю своїм учням на першому ж занятті – і жодної плутанини не виникає.
З визначенням розібралися - залишилося навчитися рахувати логарифми, тобто. позбавлятися знаку «log». Для початку зазначимо, що з визначення випливає два важливі факти:
- Аргумент і основа завжди повинні бути більшими за нуль. Це випливає з визначення рівня раціональним показником, до якого зводиться визначення логарифму.
- Підстава повинна бути відмінною від одиниці, оскільки одиниця в будь-якій мірі все одно залишається одиницею. Через це питання «у яку міру треба звести одиницю, щоб отримати двійку» позбавлене сенсу. Немає такої міри!
Такі обмеження називаються областю допустимих значень(ОДЗ). Виходить, що ОДЗ логарифму має такий вигляд: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .
Зауважте, що жодних обмежень на число b (значення логарифму) не накладається. Наприклад, логарифм може бути негативним: log 2 0,5 = −1 , т.к. 0,5 = 2 −1.
Втім, зараз ми розглядаємо лише числові вирази, де знати ОДЗ логарифму не потрібно. Усі обмеження вже враховані упорядниками завдань. Але коли підуть логарифмічні рівняння та нерівності, вимоги ОДЗ стануть обов'язковими. Адже в основі та аргументі можуть стояти вельми неслабкі конструкції, які зовсім необов'язково відповідають наведеним вище обмеженням.
Тепер розглянемо загальну схему обчислення логарифмів. Вона складається із трьох кроків:
- Уявити основу a і аргумент x у вигляді ступеня з мінімально можливою основою, більшою за одиницю. Принагідно краще позбутися десяткових дробів;
- Вирішити щодо змінної рівняння: x = a b ;
- Отримане число b буде відповіддю.
От і все! Якщо логарифм виявиться ірраціональним, це буде видно вже на першому етапі. Вимога, щоб основа була більше одиниці, дуже актуальна: це знижує ймовірність помилки та значно спрощує викладки. Аналогічно з десятковими дробами: якщо одразу перевести їх у звичайні, помилок буде в рази менше.
Подивимося, як працює ця схема на конкретних прикладах:
Завдання. Обчисліть логарифм: log 5 25
- Представимо основу та аргумент як ступінь п'ятірки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;
- Отримали відповідь: 2.
Складемо і розв'яжемо рівняння:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Завдання. Обчисліть логарифм:
Завдання. Обчисліть логарифм: log 4 64
- Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
- Складемо і розв'яжемо рівняння:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - Отримали відповідь: 3.
Завдання. Обчисліть логарифм: log 16 1
- Представимо основу та аргумент як ступінь двійки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
- Складемо і розв'яжемо рівняння:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0; - Отримали відповідь: 0.
Завдання. Обчисліть логарифм: log 7 14
- Представимо основу та аргумент як ступінь сімки: 7 = 7 1 ; 14 у вигляді ступеня сімки не представляється, оскільки 7 1< 14 < 7 2 ;
- З попереднього пункту випливає, що логарифм не рахується;
- Відповідь – без змін: log 7 14.
Невелике зауваження до останнього прикладу. Як переконатися, що число не є точним ступенем іншого числа? Дуже просто – достатньо розкласти його на прості множники. Якщо в розкладанні є хоча б два різні множники, число не є точним ступенем.
Завдання. З'ясуйте, чи є точними ступенями числа: 8; 48; 81; 35; 14 .
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точний ступінь, т.к. множник лише один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не є точним ступенем, оскільки є два множники: 3 і 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точний ступінь;
35 = 7 · 5 - знову не є точним ступенем;
14 = 7 · 2 - знову не точний ступінь;
Зауважимо також, що найпростіші числа завжди є точними ступенями самих себе.
Десятковий логарифм
Деякі логарифми зустрічаються настільки часто, що мають спеціальну назву та позначення.
Десятковий логарифм від аргументу x - це логарифм на підставі 10, тобто. ступінь, у яку треба звести число 10, щоб одержати число x . Позначення: lg x.
Наприклад, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - і т.д.
Відтепер, коли у підручнику зустрічається фраза типу «Знайдіть lg 0,01», знайте: це не друкарська помилка. Це десятковий логарифм. Втім, якщо вам незвично таке позначення, його можна переписати:
lg x = log 10 x
Все, що правильне для простих логарифмів, вірно і для десяткових.
Натуральний логарифм
Існує ще один логарифм, який має власну позначку. У певному сенсі він навіть більш важливий, ніж десятковий. Йдеться про натуральний логарифм.
Натуральний логарифм від аргументу x - це логарифм на основі e, тобто. ступінь, в яку треба звести число e щоб отримати число x . Позначення: ln x.
Багато хто запитає: що за число e ? Це ірраціональне число, його точне значення знайти та записати неможливо. Наведу лише перші його цифри:
e = 2,718281828459...
Не заглиблюватимемося, що це за число і навіщо потрібно. Просто пам'ятайте, що e - основа натурального логарифму:
ln x = log e x
Таким чином, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - і т.д. З іншого боку, ln 2 – ірраціональне число. Взагалі, натуральний логарифм будь-якого раціонального числа є ірраціональним. Крім, зрозуміло, одиниці: ln1 = 0.
Для натуральних логарифмів справедливі всі правила, які правильні для звичайних логарифмів.