Ang mga katangian ng isang isosceles triangle ay ipinahayag ng mga sumusunod na theorems.
Theorem 1. Sa isang isosceles triangle, ang mga anggulo sa base ay pantay.
Theorem 2. Sa isang isosceles triangle, ang bisector na iginuhit sa base ay ang median at altitude.
Theorem 3. Sa isang isosceles triangle, ang median na iginuhit sa base ay ang bisector at ang altitude.
Theorem 4. Sa isang isosceles triangle, ang altitude na iginuhit sa base ay ang bisector at median.
Patunayan natin ang isa sa kanila, halimbawa Theorem 2.5.
Patunay. Isaalang-alang natin ang isosceles triangle ABC na may base BC at patunayan na ∠ B = ∠ C. Hayaang AD ang bisector ng triangle ABC (Fig. 1). Ang mga Triangles ABD at ACD ay pantay ayon sa unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok (AB = AC ayon sa kondisyon, AD ay isang pangkaraniwang panig, ∠ 1 = ∠ 2, dahil ang AD ay isang bisector). Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ito ay sumusunod na ∠ B = ∠ C. Ang teorama ay napatunayan.
Gamit ang Theorem 1, naitatag ang sumusunod na theorem.
Theorem 5. Ang ikatlong pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok. Kung ang tatlong panig ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng tatlong panig ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga naturang tatsulok ay magkapareho (Larawan 2).
Magkomento. Ang mga pangungusap na itinatag sa mga halimbawa 1 at 2 ay nagpapahayag ng mga katangian ng perpendicular bisector ng isang segment. Mula sa mga panukalang ito ay sumusunod na ang mga perpendicular bisector sa mga gilid ng isang tatsulok ay nagsalubong sa isang punto.
Halimbawa 1. Patunayan na ang isang punto sa eroplano na katumbas ng layo mula sa mga dulo ng isang segment ay nasa perpendicular bisector sa segment na ito.
Solusyon. Hayaang magkapantay ang layo ng point M mula sa mga dulo ng segment AB (Fig. 3), ibig sabihin, AM = BM.
Pagkatapos ang Δ AMV ay isosceles. Gumuhit tayo ng tuwid na linya p sa puntong M at sa gitnang punto O ng segment na AB. Sa pamamagitan ng pagbuo, ang segment MO ay ang median ng isosceles triangle AMB, at samakatuwid (Theorem 3), at ang taas, ibig sabihin, ang tuwid na linya MO, ay perpendicular bisector para i-segment ang AB.
Halimbawa 2. Patunayan na ang bawat punto ng perpendicular bisector sa isang segment ay katumbas ng layo mula sa mga dulo nito.
Solusyon. Hayaang p ang perpendicular bisector sa segment AB at point O ang midpoint ng segment AB (tingnan ang Fig. 3).
Isaalang-alang ang isang di-makatwirang punto M na nakahiga sa tuwid na linya p. Gumuhit tayo ng mga segment na AM at BM. Ang mga tatsulok na AOM at BOM ay pantay, dahil ang kanilang mga anggulo sa vertex O ay tama, ang leg OM ay karaniwan, at ang leg OA ay katumbas ng leg OB ayon sa kundisyon. Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na AOM at BOM ay sumusunod na ang AM = BM.
Halimbawa 3. Sa tatsulok na ABC (tingnan ang Fig. 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; sa tatsulok DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Paghambingin ang mga tatsulok na ABC at DEF. Hanapin ang katumbas na pantay na mga anggulo.
Solusyon. Ang mga tatsulok na ito ay pantay ayon sa ikatlong pamantayan. Kaugnay nito, pantay na mga anggulo: A at E (kabaligtaran ng magkaparehong panig BC at FD), B at F (katapat ng magkaparehong panig AC at DE), C at D (kabaligtaran ng magkaparehong panig AB at EF).
Halimbawa 4. Sa Figure 5, AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.
Hanapin ang anggulo D.
Solusyon. Isaalang-alang ang mga tatsulok na ABC at ADC. Ang mga ito ay pantay ayon sa ikatlong criterion (AB = DC, BC = AD ayon sa kundisyon at side AC ay karaniwan). Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ito ay sumusunod na ∠ B = ∠ D, ngunit ang anggulo B ay katumbas ng 100°, na nangangahulugang ang anggulo D ay katumbas ng 100°.
Halimbawa 5. Sa isang isosceles triangle na ABC na may base AC, ang panlabas na anggulo sa vertex C ay 123°. Hanapin ang laki ng anggulong ABC. Ibigay ang iyong sagot sa antas.
Solusyon sa video.
Ang isang equilateral triangle, sa pamamagitan ng kahulugan, ay hindi isosceles, dahil sa isang isosceles triangle ay dalawang panig lamang ang pantay sa isa't isa, ngunit sa isang equilateral triangle, ang lahat ng panig ay pantay sa isa't isa. Ang isang equilateral triangle ay isang espesyal na kaso lamang ng isang isosceles triangle, ngunit naiiba mula dito. Upang makabuo ng isang equilateral triangle, sapat na malaman ang haba ng isang gilid lamang, ngunit upang makagawa ng isang isosceles triangle, kailangan mong malaman ang mga haba ng dalawang panig. Ang kahulugan ni Leib ng isang isosceles triangle ay ganap na tama.
Sagot ni Naitkin:
Oktubre 17, 2014 sa 16:03
A = "Ang isang equilateral triangle, sa kahulugan, ay hindi isosceles"
B = "Ang isang equilateral triangle ay isang espesyal na kaso lamang ng isang isosceles triangle",
Ang dalawang expression na ito ay hindi maaaring totoo sa parehong oras. 
Sagot ni Vyacheslav:
Oktubre 18, 2014 sa 13:54
Sa katotohanan, ang parehong mga expression ay totoo. Ito ay malinaw na nakikita mula sa Figure 7 vasil stryzhak. Ang buong hanay ng mga tatsulok ay isosceles, kabilang ang pulang equilateral na isa, na tumutugma sa expression B. Ngunit isa lamang (pula) equilateral triangle ang eksepsiyon mula sa hanay ng isosceles triangles, at samakatuwid ay hindi matatawag na isosceles lamang. Upang tukuyin ang isang tatsulok na may pantay na panig, hindi sapat na sabihin na ito ay isosceles. Ito espesyal na uri, na hindi lamang isosceles, at mayroon itong espesyal na pangalan.
Sagot ni Naitkin:
Oktubre 19, 2014 sa 9:36
Ang "lamang" ay katumbas ng femoral, ito (equilateral) ay natural na hindi. Ngunit sa parehong oras ito ay isosceles. Ang isang equilateral triangle ay "nakuha" mula sa isang isosceles triangle nang hindi nawawala ang alinman sa mga katangian ng isang isosceles triangle. Ibig sabihin
C = "isang equilateral triangle ay isosceles", at
D = "ang equilateral triangle ay isang espesyal na kaso ng isosceles triangle."
ito ay magkaparehong mga pahayag (C=D).
Magbigay ng isang halimbawa ng kung anong ari-arian ang natatalo ng isosceles triangle (natatalo ito! [Kung nadagdagan ito, ang lahat ng katangian ng isosceles triangle ay mananatili dito]) at magiging equilateral?
(2 sides lang ang equal, let me remind you, this is not a property. This is from the definition. And since we are discussing definitions, we need to abstract from definitions alloge. Not take into account definitions in general and understand what isosceles at equilateral triangles ay. Alamin natin , anong uri ng kahulugan, alam lamang ang mga katangian.)
Sagot ni Vyacheslav:
Oktubre 19, 2014 sa 21:13
Anong mga katangian ang maaari nating pag-usapan nang walang mga kahulugan? Hindi ba ang pagkakapantay-pantay ng dalawang panig sa isang isosceles triangle ay sumusunod sa kahulugan nito? Bakit kailangang magbigay ng isang halimbawa ng pag-aari ng isang isosceles triangle na nawawala kapag ito ay naging equilateral? Hindi pwedeng mawala ang wala sa iyo. Ang isosceles triangle ay walang ikatlong pantay na gilid at hindi nito maaaring mawala ang property na ito.
Isosceles triangle ay isang tatsulok kung saan ang dalawang panig ay pantay ang haba. Ang pantay na panig ay tinatawag na lateral, at ang huli ay tinatawag na base. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang isang regular na tatsulok ay isosceles din, ngunit ang kabaligtaran ay hindi totoo.
Ari-arian
- Ang mga anggulo sa tapat ng pantay na panig ng isang isosceles triangle ay pantay sa bawat isa. Ang mga bisector, median at altitude na iginuhit mula sa mga anggulong ito ay pantay din.
- Ang bisector, median, taas at perpendicular bisector na iginuhit sa base ay nag-tutugma sa bawat isa. Ang mga sentro ng naka-inscribe at naka-circumscribe na mga bilog ay nasa linyang ito.
- Ang mga anggulo sa tapat ng magkaparehong panig ay palaging talamak (sumusunod mula sa kanilang pagkakapantay-pantay).
Hayaan a- ang haba ng dalawang magkapantay na gilid ng isang isosceles triangle, b- haba ng ikatlong panig, α At β - kaukulang mga anggulo, R- radius ng circumscribed na bilog, r- radius ng inscribed .
Ang mga gilid ay matatagpuan tulad ng sumusunod:
Ang mga anggulo ay maaaring ipahayag sa mga sumusunod na paraan:
Ang perimeter ng isang isosceles triangle ay maaaring kalkulahin sa alinman sa mga sumusunod na paraan:
Ang lugar ng isang tatsulok ay maaaring kalkulahin sa isa sa mga sumusunod na paraan:
(Formula ni Heron).Palatandaan
- Dalawang anggulo ng isang tatsulok ay pantay.
- Ang taas ay sumasabay sa median.
- Ang taas ay sumasabay sa bisector.
- Ang panggitnang bahagi ay tumutugma sa median.
- Magkapantay ang dalawang taas.
- Ang dalawang median ay pantay.
- Dalawang bisector ay pantay (Steiner-Lemus theorem).
Tingnan din
Wikimedia Foundation. 2010.
Tingnan kung ano ang "Isosceles triangle" sa iba pang mga diksyunaryo:
ISOSceles TRIANGLE, ISANG TRIANGLE na may dalawang panig na magkapareho ang haba; ang mga anggulo sa mga panig na ito ay pantay din... Pang-agham at teknikal na encyclopedic na diksyunaryo
At (simple) trigon, tatsulok, tao. 1. Geometric na pigura, na may hangganan ng tatlong magkasalungat na linya na bumubuo ng tatlong panloob na anggulo (mat.). Mapurol na tatsulok. Talamak na tatsulok. Kanang tatsulok.…… Diksyunaryo Ushakova
ISOSceles, aya, oe: isang isosceles triangle na may dalawang magkapantay na gilid. | pangngalan isosceles, at, babae Ang paliwanag na diksyunaryo ni Ozhegov. S.I. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992 … Ozhegov's Explanatory Dictionary
tatsulok- ▲ isang polygon na may tatlong anggulo, isang tatsulok, ang pinakasimpleng polygon; ay tinukoy ng 3 puntos na hindi nakahiga sa parehong linya. tatsulok. matinding anggulo. acute-angled. kanang tatsulok: binti. hypotenuse. isosceles triangle. ▼…… Diksyonaryo ng Ideograpiko wikang Ruso
tatsulok- TRIANGLE1, a, m ng ano o may def. Isang bagay sa hugis ng isang geometric na pigura na napapalibutan ng tatlong intersecting na linya na bumubuo ng tatlong panloob na anggulo. Inayos niya ang mga sulat ng kanyang asawa, mga dilaw na tatsulok mula sa harapan. TRIANGLE2, a, m... ... Paliwanag na diksyunaryo ng mga pangngalan ng Ruso
Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Triangle (mga kahulugan). Ang isang tatsulok (sa Euclidean space) ay isang geometric na pigura na nabuo ng tatlong mga segment na nag-uugnay sa tatlong mga punto na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya. Tatlong tuldok,... ... Wikipedia
Triangle (polygon)- Mga Triangle: 1 acute, rectangular at obtuse; 2 regular (equilateral) at isosceles; 3 bisector; 4 median at sentro ng grabidad; 5 taas; 6 orthocenter; 7 gitnang linya. TRIANGLE, isang polygon na may 3 gilid. Minsan sa ilalim... Illustrated Encyclopedic Dictionary
encyclopedic Dictionary
tatsulok- A; m. 1) a) Isang geometric na pigura na napapalibutan ng tatlong intersecting na linya na bumubuo ng tatlong panloob na anggulo. Parihabang, isosceles triangle. Kalkulahin ang lugar ng tatsulok. b) ott. ano o may def. Isang pigura o bagay ng ganitong hugis... ... Diksyunaryo ng maraming expression
A; m. 1. Isang geometric na pigura na napapalibutan ng tatlong magkasalubong na linya na bumubuo ng tatlong panloob na anggulo. Parihaba, isosceles t. Kalkulahin ang lugar ng tatsulok. // ano o may def. Isang pigura o bagay ng ganitong hugis. T. mga bubong. T.…… encyclopedic Dictionary
Sasaklawin ng araling ito ang paksang “Isosceles triangle at ang mga katangian nito.” Malalaman mo kung ano ang hitsura ng isosceles at equilateral triangles at kung paano nailalarawan ang mga ito. Patunayan ang theorem sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulo sa base ng isang isosceles triangle. Isaalang-alang din ang theorem tungkol sa bisector (median at altitude) na iginuhit sa base ng isang isosceles triangle. Sa pagtatapos ng aralin, malulutas mo ang dalawang problema gamit ang kahulugan at katangian ng isang isosceles triangle.
Kahulugan:Isosceles ay tinatawag na tatsulok na ang dalawang panig ay pantay.
kanin. 1. Isosceles triangle
AB = AC - mga gilid. BC - pundasyon.
Ang lugar ng isang isosceles triangle ay katumbas ng kalahati ng produkto ng base at taas nito.
Kahulugan:Equilateral ay tinatawag na tatsulok kung saan ang lahat ng tatlong panig ay pantay.
kanin. 2. Equilateral triangle
AB = BC = SA.
Teorama 1: Sa isang isosceles triangle, ang mga base na anggulo ay pantay.
Ibinigay: AB = AC.
Patunayan:∠B =∠C.
kanin. 3. Pagguhit para sa teorama
Patunay: tatsulok ABC = tatsulok ACB ayon sa unang palatandaan (dalawang pantay na panig at ang anggulo sa pagitan nila). Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sumusunod na ang lahat ng kaukulang elemento ay pantay. Nangangahulugan ito na ∠B = ∠C, na siyang kailangang patunayan.
Teorama 2: Sa isang isosceles triangle bisector iginuhit sa base ay panggitna At taas.
Ibinigay: AB = AC, ∠1 = ∠2.
Patunayan:ВD = DC, AD patayo sa BC.
kanin. 4. Pagguhit para sa Theorem 2
Patunay: tatsulok ADB = tatsulok ADC ayon sa unang palatandaan (AD - pangkalahatan, AB = AC ayon sa kondisyon, ∠BAD = ∠DAC). Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay sumusunod na ang lahat ng kaukulang elemento ay pantay. BD = DC dahil magkatapat sila pantay na anggulo. Kaya AD ang median. Gayundin ∠3 = ∠4 dahil sila ay nakahiga sa magkabilang panig. Ngunit, bukod sa, sila ay pantay-pantay sa kabuuan. Samakatuwid, ∠3 = ∠4 = . Nangangahulugan ito na ang AD ay ang taas ng tatsulok, na kung ano ang kailangan naming patunayan.
Sa tanging kaso a = b = . Sa kasong ito, ang mga linyang AC at BD ay tinatawag na patayo.
Dahil ang bisector, height at median ay magkaparehong segment, ang mga sumusunod na pahayag ay totoo rin:
Ang altitude ng isosceles triangle na iginuhit sa base ay ang median at bisector.
Ang median ng isosceles triangle na iginuhit sa base ay ang altitude at bisector.
Halimbawa 1: Sa isang isosceles triangle, ang base ay kalahati ng laki ng gilid, at ang perimeter ay 50 cm.Hanapin ang mga gilid ng tatsulok.
Ibinigay: AB = AC, BC = AC. P = 50 cm.
Hanapin: BC, AC, AB.
Solusyon:
kanin. 5. Pagguhit halimbawa 1
Tukuyin natin ang batayang BC bilang a, pagkatapos AB = AC = 2a.
2a + 2a + a = 50.
5a = 50, a = 10.
Sagot: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.
Halimbawa 2: Patunayan na sa isang equilateral triangle ang lahat ng mga anggulo ay pantay.
Ibinigay: AB = BC = SA.
Patunayan:∠A = ∠B = ∠C.
Patunay:
kanin. 6. Pagguhit halimbawa
∠B = ∠C, dahil AB = AC, at ∠A = ∠B, dahil AC = BC.
Samakatuwid, ∠A = ∠B = ∠C, na siyang kailangang patunayan.
Sagot: Napatunayan.
Sa aralin ngayon ay tumingin tayo sa isang isosceles triangle at pinag-aralan ang mga pangunahing katangian nito. Sa susunod na aralin ay malulutas natin ang mga problema sa paksa ng isosceles triangles, sa pagkalkula ng lugar ng isang isosceles at equilateral triangle.
- Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. at iba pa.. Geometry 7. - M.: Edukasyon.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. at iba pa.. Geometry 7. 5th ed. - M.: Enlightenment.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometry 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, ed. Sadovnichego V.A. - M.: Edukasyon, 2010.
- Mga diksyunaryo at encyclopedia sa Academician ().
- Festival ng Pedagogical Ideas " Pampublikong aralin» ().
- Kaknauchit.ru ().
1. No. 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometry 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, ed. Sadovnichego V.A. - M.: Edukasyon, 2010.
2. Ang perimeter ng isang isosceles triangle ay 35 cm, at ang base ay tatlong beses na mas maliit kaysa sa gilid. Hanapin ang mga gilid ng tatsulok.
3. Ibinigay: AB = BC. Patunayan na ∠1 = ∠2.
4. Ang perimeter ng isang isosceles triangle ay 20 cm, ang isa sa mga gilid nito ay dalawang beses na mas malaki kaysa sa isa. Hanapin ang mga gilid ng tatsulok. Ilang solusyon mayroon ang problema?