Чему равна сумма любого треугольника. Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника

. (Слайд 1)

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

  • Образовательные :
    • рассмотреть теорему о сумме углов треугольника,
    • показать применение теоремы при решении задач.
  • Воспитательные :
    • воспитание положительного отношения учащихся к знаниям,
    • воспитывать в учащихся средствами урока уверенность в своих силах.
  • Развивающие :
    • развитие аналитического мышления,
    • развитие «умений учиться»: использовать знания, умения и навыки в учебном процессе,
    • развитие логического мышления, способности четко формулировать свои мысли.

Оборудование: интерактивная доска, презентация, карточки.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

– Сегодня на уроке мы вспомним определения прямоугольного, равнобедренного, равностороннего треугольников. Повторим свойства углов треугольников. Применяя свойства внутренних односторонних и внутренних накрест лежащих углов докажем теорему о сумме углов треугольника и научимся применять ее при решении задач.

II. Устно (Слайд 2)

1) Найти на рисунках прямоугольный, равнобедренный, равносторонний треугольники.
2) Дать определение этим треугольникам.
3) Сформулировать свойства углов равностороннего и равнобедренного треугольника.

4) На рисунке KE II NH. (слайд 3)

– Укажите секущие для этих прямых
– Найти внутренние односторонние углы, внутренние накрест лежащие углы, назвать их свойства

III. Объяснение нового материала

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 о

По формулировке теоремы, ребята строят чертеж, записывают условие, заключение. Отвечая на вопросы, самостоятельно доказывают теорему.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

1. Через вершину В треугольника проведем прямую BD II AC.
2. Указать секущие для параллельных прямых.
3. Что можно сказать об углах CBD и ACB? (сделать запись)
4. Что мы знаем об углах CAB и ABD? (сделать запись)
5. Заменим угол CBD углом ACB
6. Сделать вывод.

IV. Закончи предложение. (Слайд 4)

1. Сумма углов треугольника равна …
2. В треугольнике один из углов равен, другой, третий угол треугольника равен …
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна …
4. Углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны …
5. Углы равностороннего треугольника равны...
6. Если угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника равен 1000, то углы при основании равны …

V. Немного истории. (Слайды 5-7)

Доказательство теоремы о сумме углов треугольника «Сумма внутренних
углов треугольника равна двум прямым» приписывают Пифагору (580-500 г.г. до н.э.)

Древнегреческий ученый Прокл (410-485 г.г. н.э.),

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

Образовательные:

  • вместе с ребятами “открыть” и доказать теорему о сумме углов треугольника;
  • обобщить и систематизировать изученный материал по данной теме;
  • познакомить учащихся с историческим материалом по изучаемой теме;
  • привить интерес к математике посредством включения в урок игровых технологий;
  • сформировать навыки, умения в решении геометрических задач;

Развивающие:

  • развить внимание, память, речь, логическое мышление, самостоятельность;
  • рассмотреть нескольких способов доказательства теоремы, обобщить с использованием элементов исследования, развить математическую речь;
  • сформировать умения сравнивать, обобщать факты и понятия;
  • развить сотрудничество при работе в парах.

Воспитательные:

  • воспитывать стремление достигать поставленную цель; чувство ответственности, уверенности в себе, умение работать в коллективе;
  • воспитывать такие черты характера, как настойчивость, целеустремленность, трудолюбие и дисциплинированность;
  • привить навыки аккуратности при построении чертежей;
  • сформировать гуманные отношения на уроке.

Оборудование: ПК, мультимедийное оборудование, планшеты, листы задания с домашней работой, картонные треугольники, раздаточный материал.

Применяемые формы обучения: Фронтальная, индивидуальная работа учащихся и работа в парах. Для активизации внимания, воображения введены игровые моменты.

Структура урока:

  1. Организация начала урока – 2 мин.
  2. Определение задач урока – 1 мин.
  3. Подготовка к основному этапу урока -5 мин.
  4. Актуализация ранее изученного материала – 4 мин.
  5. Ознакомление с новым материалом – 10 мин
  6. Физкультминутка – 1 мин
  7. Первичная проверка понимания – 5 мин.
  8. Усвоение знаний. Решение задач – 13 мин.
  9. Подведение итогов урока. Рефлексия – 2 мин.
  10. Информация о домашнем задании – 2 мин.

Ход урока

1. Организационный момент.

Приветствие. Проверка готовности учащихся к уроку. На доске тема урока и высказывание:

…Как для смертных истина ясна,
Что в треугольник двум тупым не влиться.
Данте А.

2. Определение задач урока.

Ребята, как вы думаете, о какой фигуре пойдет речь на этом уроке? Какие задачи урока?

  • “открыть” и доказать теорему о сумме углов треугольника;
  • научить решать задачи, применяя полученные знания.

3. Подготовка к основному этапу урока.

Сформулируйте определение треугольника. (Треугольник это геометрическая фигура, образования тремя точками, не лежащими на одной прямой, и отрезками, попарно соединяющими эти точки.)

Назовите элементы треугольника. (Углы, стороны, вершины.)

Назовите названия треугольников по сторонам. (Равносторонний, равнобедренный, разносторонний.)

Один из учащихся выбирает и показывает классу треугольники, заготовленные и лежащие на столе у учителя.

Треугольники различаются и по углам. Попробуем назвать треугольники по углам. (Другой учащийся выбирает: остроугольный, тупоугольный и прямоугольный треугольники.)

Давайте ответим на ряд вопросов:

Может ли треугольник иметь:

  1. два прямых угла;
  2. два тупых угла;
  3. один прямой и один тупой угол?

К доске вызывается один ученик и выполняет следующие рисунки:

Далее идет «коллективное обсуждение». Построенные лучи не пересекаются, значит, треугольник не получится. Сумма односторонних углов в первом случае равна 180°, во втором и третьем случае больше, чем 180°. В первом случае прямые параллельны, а во втором и третьем случае прямые расходятся. Делаем вывод: треугольники не могут иметь два прямых, два тупых. А также в треугольнике не может быть одновременно один тупой и один прямой углы. Слайд 3.

Опять посмотрим на модели треугольников и сделаем вывод: в прямоугольном треугольнике один угол прямой, а два угла острых, в тупоугольном треугольнике один угол тупой, а два острых, в остроугольном треугольнике все углы острые. Но теоретически мы на этот вопрос ответить не можем, пока не узнаем, чему равна сумма углов треугольника.

Итак, о треугольнике мы знаем уже достаточно много. А как вы думаете, чему равна сумма углов любого треугольника? (Заслушать ответы). Давайте проверим, верны ли ваши предположения с помощью практической работы.

Практическая работа (способствует актуализации знаний и навыков самопознания). (Работа в парах.) Слайды 4-5.

У каждого из вас есть на парте по одному треугольнику разных цветов. Ребята, мы с вами измеряли углы и с помощью транспортира и находили их сумму еще в 5 классе. Сумма углов у всех получалась разная (так может получаться потому, что неточно приложили транспортир, небрежно выполнили подсчет и т.д.).

Я предлагаю найти сумму углов треугольника двумя другими способами: возьмите треугольники, которые лежат у вас на парте. Они желтого или розового цвета. Обозначьте углы треугольника числами 1, 2, 3.

Учащиеся с желтыми треугольниками: оторвите два угла треугольника и приложите их к сторонам третьего угла так, чтобы все вершины были в одной точке. Замечаем, что все углы треугольника в сумме образуют развернутый угол.

Учащиеся с розовыми треугольниками: сложите углы во внутрь треугольника. Заметим, что перегибать треугольник надо по прямой параллельной к стороне, того угла который мы будем сгибать первым, а данный угол должен касаться данной стороны. Замечаем, что все углы треугольника в сумме образуют развернутый угол.

Чему равна градусная мера развернутого угла?

К какому выводу мы пришли?

Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Выполнив практическую работу, мы установили, что сумма углов треугольника равна 180 градусов.

В математике практическая работа дает возможность лишь сделать какое-то утверждение, но его нужно доказать. Утверждение, справедливость которого устанавливается путем доказательства, называется теоремой.

Какую теорему нам нужно доказать?

Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

4. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению новых знаний.

Слайды 6-7.

Прежде, чем доказать эту теорему решим две задачи устно они помогут нам при доказательстве теоремы:

5. Этап усвоения новых знаний, умений, навыков.

Слайды 8-9

(Возможны три способа доказательства).

Доказательство теоремы (развивает способность анализировать, обобщать и делать логические выводы, используя ранее изученный материал).

Один учащийся доказывает теорему у доски, по ходу комментируя свои действия. Остальные учащиеся работают в тетрадях. В случае неточности, учитель проводит корректировку.

Учитель: Что нам дано?

Учащийся: Дан треугольник.

Учитель: Постройте у себя в тетрадях произвольный треугольник и обозначьте его вершины А, В и С. Что требуется доказать?

Учащийся: Что сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: ∆ ABC
Доказать: A+B+C=180°

План доказательства:
1) Через вершину B проведем прямую DE || AC
2) Доказать, что 4 =1 , 5 = 3
3) Доказать, что если 4+2+5=180°, значит, 1+2+3=180° или в ∆ ABC A+B+C=180°

Но такой способ доказательства не единственный. Первое доказательство было дано еще Пифагором (5 в. до н.э.) В первой книге «Начала» Евклид излагает другое доказательство теоремы о сумме углов треугольника. Слайд 10.

Ребята доказывают устно:

Доказательство:
1) Через вершину B проведем луч BD|| AC.
2) 4и 3- накрест лежащие при BD||AC и секущей BC.
3) BD|| AC и AB- секущая, то 1+ABD=180° – односторонние углы.
4) тогда 1+2+4=180° , т.к 4=3 ,то 1+2+3=180° или A+B+C=180°

Попробуйте доказать дома эту теорему, используя чертеж учеников Пифагора. (Ребятам раздается лист с чертежами всех трех доказательств на дом.) Слайд 11.

6. Физкультминутка.

Слайды 12-14.

7. Закрепление изученного материала.

Теперь, пользуясь теоремой, можно обосновать, почему в треугольнике не может быть двух прямых углов, двух тупых углов, двух углов, один из которых тупой, а другой прямой.

Следствие из теоремы о сумме углов треугольника (выводится учащимися самостоятельно; это способствует развитию умения формулировать собственную точку зрения, высказывать и аргументировать ее).

В любом треугольнике либо все углы острые, либо два острых угла, а третий тупой или прямой .

Если в треугольнике все углы острые, то он называется остроугольным . Если один из углов треугольника тупой, то он называется тупоугольным . Если один из углов треугольника прямой, то он называется прямоугольным .

Устная работа: (планшеты) Слайд 15.

Ответьте на вопросы: Слайд 16.

  1. Если один из углов треугольника прямой, то какие будут два других угла?
  2. Если треугольник прямоугольный, то чему равна сумма острых углов треугольника?
  3. Если один из углов треугольника тупой, то чему равна сумма двух других углов треугольника?

    4. 9. Задание на дом.

    1. Раздаточный маериал: три чертежа для доказательства. (приложение 1 )
    2. П. 30-31, стр. 70, №223(а,б), 224, 225, 230

    10. Итог урока.

    Рефлексия:

    Продолжите фразу:

  • “Сегодня на уроке я узнал…”
  • “Сегодня на уроке я научился…”
  • “Сегодня на уроке я познакомился…”
  • “Сегодня на уроке я повторил…”
  • “Сегодня на уроке я закрепил…”

То, что «Сумма углов любого треугольника в Эвклидовой геометрии равна 180 градусов» можно просто запомнить. Если запомнить не просто, можно провести парочку экспериментов для лучшего запоминания.

Эксперимент первый

Начертите на листе бумаги несколько произвольных треугольников, например:

  • с произвольными сторонами;
  • равнобедренный треугольник;
  • прямоугольный треугольник.

Обязательно пользуйтесь линейкой. Теперь нужно вырезать полученные треугольники, делая это ровно по начерченным линиям. Закрасьте углы каждого треугольника цветным карандашом или фломастером. Например, в первом треугольники все углы будут красными, во втором - синими, третьем – зелеными. http://bit.ly/2gY4Yfz

От первого треугольника отрежьте все 3 угла и вершинами соедините их в одно точке, так, чтобы ближайшие стороны каждого угла соединялись. Как видно, три угла треугольника образовали развернутый угол, который равен 180 градусов. То же самое проделайте с двумя другими треугольниками – результат будет тот же. http://bit.ly/2zurCrd

Эксперимент второй

Чертим произвольный треугольник ABC. Выбираем любую вершину (например, C) и через нее проводим прямую DE, параллельную противоположной стороне (AB). http://bit.ly/2zbYNzq

Получаем следующее:

  1. Углы BAC и ACD равны, как внутренние накрестлежащие относительно AC;
  2. Углы ABC и BCE равны, как внутренние накрестлежащие относительно BC;
  3. Видим, что углы 1, 2 и 3 – углы треугольника, соединенные в одной точке образовали развернутый угол DCE, который равен 180 градусов.

Теорема о сумме углов треугольника гласит, что сумма всех внутренних углов любого треугольника равна 180°.

Пусть внутренние углы треугольника равны a, b и c, тогда:

a + b + c = 180°.

Из данной теории можно сделать вывод, что сумма всех внешних углов любого треугольника равна 360°. Так как внешний угол является смежным углом с внутренним, то их сумма равна 180°. Пусть внутренние углы треугольника равны a, b и c, тогда внешние углы при этих углах равна 180° - a, 180° - b и 180° - c.

Найдем сумму внешних углов треугольника:

180° - a + 180° - b + 180° - c = 540° - (a + b + c) = 540° - 180° = 360°.

Ответ: сумма внутренних углов треугольника равна 180°; сумма внешних углов треугольника равна 360°.

Теорема о сумме внутренних углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство:

  • Дан треугольник АВС.
  • Через вершину B проведем прямую DK параллельно основанию AC.
  • \angle CBK= \angle C как внутренние накрест лежащие при параллельных DK и AC, и секущей BC.
  • \angle DBA = \angle A внутренние накрест лежащие при DK \parallel AC и секущей AB. Угол DBK развернутый и равен
  • \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
  • Так как развернутый угол равен 180 ^\circ , а \angle CBK = \angle C и \angle DBA = \angle A , то получим 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.

Теорема доказана

Следствия из теоремы о сумме углов треугольника:

  1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° .
  2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45° .
  3. В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60° .
  4. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий - тупой или прямой.
  5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Теорема о внешнем угле треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся углов треугольника, не смежных с этим внешним углом

Доказательство:

  • Дан треугольник АВС, где ВСD - внешний угол.
  • \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
  • Из равенств угол \angle BCD + \angle BCA = 180^0
  • Получаем \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

Цели и задачи:

Образовательные:

  • повторить и обобщить знания о треугольнике;
  • доказать теорему о сумме углов треугольника;
  • практически убедиться в правильности формулировки теоремы;
  • научиться применять полученные знания при решении задач.

Развивающие:

  • развивать геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, умение самостоятельно добывать знания.

Воспитательные:

  • развивать личностные качества учащихся, таких как целеустремленность, настойчивость, аккуратность, умение работать в коллективе.

Оборудование: мультимедийный проектор, треугольники из цветной бумаги, УМК «Живая математика», компьютер, экран.

Подготовительный этап: учитель дает задание ученику подготовить историческую справку о теореме «Сумма углов треугольника».

Тип урока : изучение нового материала.

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие. Психологический настрой учащихся на работу.

II. Разминка

С геометрической фигурой “треугольник” мы познакомились на предыдущих уроках. Давайте повторим, что нам известно о треугольнике?

Учащиеся работают по группам. Им предоставлена возможность общаться друг с другом, каждому самостоятельно строить процесс познания.

Что получилось? Каждая группа высказывает свои предложения, учитель записывает их на доске. Проводится обсуждение результатов:

Рисунок 1

III. Формулируем задачу урока

Итак, о треугольнике мы знаем уже достаточно много. Но не все. У каждого из вас на парте есть треугольники и транспортиры. Как вы думаете, какую задачу мы можем сформулировать?

Ученики формулируют задачу урока - найти сумму углов треугольника.

IV. Объяснение нового материала

Практическая часть (способствует актуализации знаний и навыков самопознания).Проведите измерения углов с помощью транспортира и найдите их сумму. Результаты запишите в тетрадь (заслушать полученные ответы). Выясняем, что сумма углов у всех получилась разная (так может получиться, потому что неточно приложили транспортир, небрежно выполнили подсчет и т.д.).

Выполните перегибания по пунктирным линиям и узнайте, чему еще равна сумма углов треугольника:

а)
Рисунок 2

б)
Рисунок 3

в)
Рисунок 4

г)
Рисунок 5

д)
Рисунок 6

После выполнения практической работы ученики формулируют ответ: Сумма углов треугольника равна градусной мере развернутого угла, т. е. 180°.

Учитель: В математике практическая работа дает возможность лишь сделать какое-то утверждение, но его нужно доказать. Утверждение, справедливость которого устанавливается путем доказательства, называется теоремой. Какую теорему мы можем сформулировать и доказать?

Ученики: Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Историческая справка: Свойство суммы углов треугольника было установлено еще в Древнем Египте. Доказательство, изложенное в современных учебниках, содержится в комментариях Прокла к «Началам» Евклида. Прокл утверждает, что это доказательство (рис. 8) было открыто еще пифагорейцами (5 в. до н. э.). В первой книге «Начал» Евклид излагает другое доказательство теоремы о сумме углов треугольника, которое легко понять при помощи чертежа (рис. 7):


Рисунок 7


Рисунок 8

Чертежи высвечиваются на экране через проектор.

Учитель предлагает с помощью чертежей доказать теорему.

Затем доказательство проводится с применением УМК «Живая математика» . Учитель на компьютере проецирует доказательство теоремы.

Теорема о сумме углов треугольника: «Сумма углов треугольника равна 180°»


Рисунок 9

Доказательство:

а)

Рисунок 10

б)

Рисунок 11

в)

Рисунок 12

Учащиеся в тетради делает краткую запись доказательства теоремы:

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°.


Рисунок 13

Дано: Δ АВС

Доказать: А + В + С = 180°.

Доказательство:

Что требовалось доказать.

V. Физ. минутка.

VI. Объяснение нового материала (продолжение)

Следствие из теоремы о сумме углов треугольника выводится учащимися самостоятельно, это способствует развитию умения формулировать собственную точку зрения, высказывать и аргументировать ее:

В любом треугольнике либо все углы острые, либо два острых угла, а третий тупой или прямой .

Если в треугольнике все углы острые, то он называется остроугольным .

Если один из углов треугольника тупой, то он называется тупоугольным .

Если один из углов треугольника прямой, то он называется прямоугольным .

Теорема о сумме углов треугольника позволяет классифицировать треугольники не только по сторонам, но и по углам. (По ходу введения видов треугольников учащимися заполняется таблица)

Таблица 1

Вид треугольника Равнобедренный Равносторонний Разносторонний
Прямоугольный
Тупоугольный
Остроугольный

VII. Закрепление изученного материала.

  1. Решить задачи устно:

(Чертежи высвечиваются на экране через проектор)

Задача 1. Найдите угол С.


Рисунок 14

Задача 2. Найдите угол F.


Рисунок 15

Задача 3. Найдите углы К и N.

Рисунок 16

Задача 4. Найдите углы P и T.


Рисунок 17

  1. Решить задачу самостоятельно № 223 (б, г).
  2. Решить задачу на доске и в тетрадях уч-ся №224.
  3. Вопросы: Может ли треугольник иметь: а) два прямых угла; б) два тупых угла; в) один прямой и один тупой угол.
  4. (выполняется устно) На карточках, имеющихся на каждом столе, изображены различные треугольники. Определите на глаз вид каждого треугольника.


Рисунок 18

  1. Найдите сумму углов 1, 2 и 3.


Рисунок 19

VIII. Итог урока.

Учитель: Что мы узнали? Для любого ли треугольника применима теорема?

IX. Рефлексия.

Передайте мне свое настроение, ребята! С обратной стороны треугольника изобразите свою мимику.


Рисунок 20

Домашнее задание: п.30 (1 часть), вопрос 1 гл. IV стр. 89 учебника; № 223 (а, в), № 225.