Vienā no iepriekšējiem rakstiem mēs jau minējām skaitļa spēku. Šodien mēs centīsimies orientēties tās nozīmes atrašanas procesā. Zinātniski runājot, mēs izdomāsim, kā pareizi palielināt spēku. Mēs izdomāsim, kā šis process tiek veikts, un tajā pašā laikā mēs pieskarsimies visiem iespējamiem eksponentiem: dabiskajam, iracionālajam, racionālajam, veselam skaitlim.
Tātad, aplūkosim tuvāk piemēru risinājumus un uzzināsim, ko tas nozīmē:
- Jēdziena definīcija.
- Paaugstināšana negatīvajā mākslā.
- Vesels rādītājs.
- Skaitļa paaugstināšana līdz iracionālam spēkam.
Šeit ir definīcija, kas precīzi atspoguļo nozīmi: "Pakāpencija ir skaitļa pakāpes vērtības definīcija."
Attiecīgi, palielinot skaitli a Art. r un pakāpes a vērtības atrašanas process ar eksponentu r ir identiski jēdzieni. Piemēram, ja uzdevums ir aprēķināt jaudas vērtību (0,6) 6″, tad to var vienkāršot līdz izteiksmei "Palieliniet skaitli 0,6 līdz pakāpei 6".
Pēc tam jūs varat pāriet tieši uz būvniecības noteikumiem.
Paaugstināšana līdz negatīvam spēkam
Skaidrības labad jums vajadzētu pievērst uzmanību šādai izteicienu ķēdei:
110=0,1=1* 10 mīnus 1 ēdamkarote,
1100=0,01=1*10 mīnus 2 grādos,
11000=0,0001=1*10 mīnus 3 st.,
110000=0,00001=1*10 līdz mīnus 4 grādiem.
Pateicoties šiem piemēriem, jūs varat skaidri redzēt iespēju jebkurā brīdī uzreiz aprēķināt 10 mīnus grādu. Šim nolūkam pietiek vienkārši pārvietot decimāldaļu:
- 10 līdz -1 grādam - pirms viena ir 1 nulle;
- in -3 - trīs nulles pirms viena;
- in -9 ir 9 nulles un tā tālāk.
No šīs diagrammas ir arī viegli saprast, cik daudz būs 10 mīnus 5 ēdamk. -
1100000=0,000001=(1*10)-5.
Kā palielināt skaitli līdz dabiskajam spēkam
Atceroties definīciju, mēs ņemam vērā, ka naturālais skaitlis a Art. n ir vienāds ar n faktoru reizinājumu, no kuriem katrs ir vienāds ar a. Ilustrēsim: (a*a*…a)n, kur n ir reizināto skaitļu skaits. Attiecīgi, lai paaugstinātu a līdz n, ir jāaprēķina šādas formas reizinājums: a*a*…a dalīts ar n reizēm.
No tā kļūst skaidrs, ka paaugstinot uz dabisko sv. paļaujas uz spēju veikt reizināšanu(šis materiāls ir apskatīts sadaļā par reālo skaitļu reizināšanu). Apskatīsim problēmu:
Paceliet -2 uz 4. st.
Mums ir darīšana ar dabisku rādītāju. Attiecīgi lēmuma pieņemšanas gaita būs šāda: (-2) Art. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Tagad atliek tikai reizināt veselus skaitļus: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Mēs saņemam 16.
Atbilde uz problēmu:
(-2) Art. 4=16.
Piemērs:
Aprēķiniet vērtību: trīs punktu divas septītdaļas kvadrātā.
Šis piemērs ir vienāds ar šādu reizinājumu: trīs punkti divas septītās reizinātas ar trīs komata divas septītās. Atgādinot, kā tiek reizināti jaukti skaitļi, mēs pabeidzam konstrukciju:
- 3 punkts 2 septītās reizinātas ar sevi;
- ir vienāds ar 23 septītajām daļām, kas reizinātas ar 23 septītajām daļām;
- ir vienāds ar 529 četrdesmit devītajām daļām;
- mēs samazinām un iegūstam 10 trīsdesmit deviņas četrdesmit devītās.
Atbilde: 10 39/49
Runājot par paaugstināšanu līdz iracionālam eksponentam, jāatzīmē, ka aprēķinus sāk veikt pēc tam, kad ir pabeigta sākotnējā pakāpes bāzes noapaļošana līdz jebkuram ciparam, kas ļautu iegūt vērtību ar noteiktu precizitāti. Piemēram, mums ir jāliek kvadrātā skaitlis P (pi).
Mēs sākam ar P noapaļošanu līdz simtdaļām un iegūstam:
P kvadrātā = (3,14)2 = 9,8596. Tomēr, ja mēs samazinām P līdz desmit tūkstošdaļām, mēs iegūstam P = 3,14159. Tad kvadrātveida piešķiršana dod pavisam citu skaitli: 9.8695877281.
Šeit jāatzīmē, ka daudzās problēmās nav vajadzības paaugstināt iracionālos skaitļus līdz pakāpēm. Parasti atbilde tiek ievadīta vai nu faktiskās pakāpes formā, piemēram, 6 sakne ar pakāpju 3, vai, ja izteiksme atļauj, tiek veikta tās transformācija: sakne no 5 līdz 7 grādiem = 125 sakne no 5.
Kā palielināt skaitli līdz veselam skaitlim
Šī algebriskā manipulācija ir piemērota ņem vērā šādos gadījumos:
- veseliem skaitļiem;
- nulles indikatoram;
- pozitīva vesela skaitļa eksponentam.
Tā kā gandrīz visi pozitīvie veselie skaitļi sakrīt ar naturālo skaitļu masu, pozitīva vesela skaitļa jaudas iestatīšana ir tāds pats process kā iestatīšana Art. dabisks. Šis process mēs aprakstījām iepriekšējā punktā.
Tagad parunāsim par st. null. Mēs jau iepriekš noskaidrojām, ka skaitļa a nulles pakāpju var noteikt jebkuram, kas nav nulle a (reāls), savukārt a Art. 0 būs vienāds ar 1.
Attiecīgi, paaugstinot jebkuru reālo skaitli līdz nullei st. dos vienu.
Piemēram, 10 st. 0=1, (-3,65)0=1 un 0 st. 0 nevar noteikt.
Lai pabeigtu palielināšanu līdz veselam skaitlim, atliek izlemt par negatīvu veselu skaitļu vērtību opcijām. Mēs atceramies, ka Art. no a ar veselu skaitļa eksponentu -z tiks definēts kā daļa. Daļas saucējs ir st. ar pozitīvu veselu skaitļa vērtību, kuras vērtību mēs jau esam iemācījušies atrast. Tagad atliek tikai apsvērt būvniecības piemēru.
Piemērs:
Aprēķiniet skaitļa 2 vērtību kubā ar negatīvu veselu eksponentu.
Risinājuma process:
Saskaņā ar grāda definīciju ar negatīvu eksponentu mēs apzīmējam: divus mīnus 3 grādus. ir vienāds ar vienu līdz diviem ar trešo pakāpi.
Saucēju aprēķina vienkārši: divi kubi;
3 = 2*2*2=8.
Atbilde: divi līdz mīnus 3. art. = viena astotā daļa.
Ieejas līmenis
Grāds un tā īpašības. Visaptveroša rokasgrāmata (2019)
Kāpēc nepieciešami grādi? Kur tev tās būs vajadzīgas? Kāpēc jums vajadzētu veltīt laiku to izpētei?
Lai uzzinātu visu par grādiem, kam tie paredzēti, kā izmantot savas zināšanas ikdienas dzīve izlasi šo rakstu.
Un, protams, grādu zināšanas tuvinās panākumiem nokārtojot OGE vai vienotais valsts eksāmens un uzņemšana jūsu sapņu universitātē.
Ejam... (Ejam!)
Svarīga piezīme! Ja formulu vietā redzat gobbledygook, iztīriet kešatmiņu. Lai to izdarītu, nospiediet taustiņu kombināciju CTRL+F5 (operētājsistēmā Windows) vai Cmd+R (operētājsistēmā Mac).
IEEJAS LĪMENIS
Eksponentēšana ir matemātiska darbība, tāpat kā saskaitīšana, atņemšana, reizināšana vai dalīšana.
Tagad es visu paskaidrošu cilvēku valoda ar ļoti vienkāršiem piemēriem. Esi uzmanīgs. Piemēri ir elementāri, bet izskaidro svarīgas lietas.
Sāksim ar papildinājumu.
Te nav ko skaidrot. Jūs jau visu zināt: mēs esam astoņi. Katram ir divas kolas pudeles. Cik daudz tur ir kolas? Tieši tā – 16 pudeles.
Tagad reizināšana.
To pašu piemēru ar kolu var uzrakstīt dažādi: . Matemātiķi ir viltīgi un slinki cilvēki. Viņi vispirms pamana dažus modeļus un pēc tam izdomā veidu, kā tos ātrāk “skaitīt”. Mūsu gadījumā viņi pamanīja, ka katram no astoņiem cilvēkiem ir vienāds skaits kolas pudeļu, un nāca klajā ar paņēmienu, ko sauc par reizināšanu. Piekrītu, tas tiek uzskatīts par vieglāku un ātrāku nekā.
Tātad, lai skaitītu ātrāk, vieglāk un bez kļūdām, jums vienkārši jāatceras reizināšanas tabula. Protams, visu var darīt lēnāk, grūtāk un ar kļūdām! Bet…
Šeit ir reizināšanas tabula. Atkārtojiet.
Un vēl viens, skaistāks:
Kādus citus gudrus skaitīšanas trikus ir izdomājuši slinki matemātiķi? Pa labi - skaitļa paaugstināšana pakāpē.
Skaitļa palielināšana pakāpē
Ja jums ir jāreizina skaitlis ar sevi piecas reizes, tad matemātiķi saka, ka jums šis skaitlis jāpalielina līdz piektajai pakāpei. Piemēram,. Matemātiķi atceras, ka divi līdz piektajai pakāpei ir... Un viņi tādas problēmas risina savās galvās – ātrāk, vieglāk un bez kļūdām.
Viss, kas jums jādara, ir atcerieties, kas skaitļu pakāpju tabulā ir iezīmēts ar krāsu. Ticiet man, tas padarīs jūsu dzīvi daudz vieglāku.
Starp citu, kāpēc to sauc par otro pakāpi? kvadrāts cipari, bet trešais - kubs? Ko tas nozīmē? Ļoti labs jautājums. Tagad jums būs gan kvadrāti, gan kubi.
Reālās dzīves piemērs #1
Sāksim ar kvadrātu vai skaitļa otro pakāpi.
Iedomājieties kvadrātveida baseinu, kura izmēri ir viens metrs reiz viens metrs. Baseins atrodas jūsu vasarnīcā. Ir karsts, un es ļoti gribu peldēt. Bet... baseinam nav dibena! Jums ir jāpārklāj baseina dibens ar flīzēm. Cik flīžu jums vajag? Lai to noteiktu, jums jāzina baseina apakšējā daļa.
Jūs varat vienkārši aprēķināt, norādot ar pirkstu, ka baseina dibens sastāv no metrs pa metram kubiem. Ja jums ir flīzes viens metrs reiz viens metrs, jums būs nepieciešami gabali. Tas ir vienkārši... Bet kur jūs esat redzējuši tādas flīzes? Flīze, visticamāk, būs cm pa cm, un tad jūs tiksit spīdzināts, "skaitot ar pirkstu". Tad jums ir jāreizina. Tātad vienā baseina dibena pusē liksim flīzes (gabalus), bet otrā arī flīzes. Reiziniet ar un iegūsit flīzes ().
Vai pamanījāt, ka, lai noteiktu baseina dibena laukumu, mēs to pašu skaitli reizinām ar sevi? Ko tas nozīmē? Tā kā mēs reizinām vienu un to pašu skaitli, mēs varam izmantot “pastiprināšanas” paņēmienu. (Protams, ja jums ir tikai divi skaitļi, jums tie joprojām ir jāreizina vai jāpalielina pakāpē. Bet, ja jums to ir daudz, tad palielināt tos pakāpē ir daudz vienkāršāk un arī aprēķinos ir mazāk kļūdu Vienotajam valsts eksāmenam tas ir ļoti svarīgi).
Tātad, trīsdesmit līdz otrajai jaudai būs (). Vai arī mēs varam teikt, ka trīsdesmit kvadrātā būs. Citiem vārdiem sakot, skaitļa otro pakāpi vienmēr var attēlot kā kvadrātu. Un otrādi, ja jūs redzat kvadrātu, tas VIENMĒR ir kāda skaitļa otrais pakāpe. Kvadrāts ir skaitļa otrās pakāpes attēls.
Reālās dzīves piemērs #2
Šeit jums ir uzdevums: saskaitiet, cik lauciņu ir uz šaha galdiņa, izmantojot skaitļa kvadrātu... Vienā šūnu pusē un arī otrā. Lai aprēķinātu to skaitu, jums ir jāreizina astoņi ar astoņiem vai... ja pamanāt, ka šaha galds ir kvadrāts ar malu, tad varat kvadrātā astoņi. Jūs saņemsiet šūnas. () Tātad?
Reālās dzīves piemērs #3
Tagad kubs vai skaitļa trešā pakāpe. Tas pats baseins. Bet tagad jānoskaidro, cik daudz ūdens būs jāielej šajā baseinā. Jums jāaprēķina skaļums. (Tilpumus un šķidrumus, starp citu, mēra kubikmetros. Negaidīti, vai ne?) Uzzīmējiet baseinu: dibens ir metra lielumā un metra dziļumā, un mēģiniet izrēķināt, cik kubu būs metrs reiz metrs. iederas savā baseinā.
Vienkārši rādi ar pirkstu un skaita! Viens, divi, trīs, četri...divdesmit divi, divdesmit trīs...Cik tu dabūji? Nav pazudis? Vai ir grūti skaitīt ar pirkstu? Tas arī viss! Ņemiet piemēru no matemātiķiem. Viņi ir slinki, tāpēc pamanīja, ka, lai aprēķinātu baseina tilpumu, ir jāreizina tā garums, platums un augstums savā starpā. Mūsu gadījumā baseina tilpums būs vienāds ar kubiņiem... Vieglāk, vai ne?
Tagad iedomājieties, cik slinki un viltīgi ir matemātiķi, ja viņi arī to vienkāršotu. Mēs visu samazinājām līdz vienai darbībai. Viņi pamanīja, ka garums, platums un augstums ir vienādi un ka viens un tas pats skaitlis tiek reizināts ar sevi... Ko tas nozīmē? Tas nozīmē, ka varat izmantot grādu. Tātad, ko jūs kādreiz saskaitījāt ar pirkstu, viņi izdara vienu darbību: trīs kubi ir vienādi. Tas ir rakstīts šādi: .
Viss, kas paliek, ir atcerieties grādu tabulu. Ja vien, protams, neesat tik slinks un viltīgs kā matemātiķi. Ja jums patīk smagi strādāt un kļūdīties, varat turpināt skaitīt ar pirkstu.
Nu, lai beidzot jūs pārliecinātu, ka grādus izdomāja pametēji un viltīgi cilvēki, lai atrisinātu savu dzīves problēmas, un lai neradītu jums problēmas, šeit ir vēl pāris piemēri no dzīves.
Reālās dzīves piemērs #4
Jums ir miljons rubļu. Katra gada sākumā par katru nopelnīto miljonu jūs nopelnāt vēl vienu miljonu. Tas ir, katrs miljons jums ir dubultojies katra gada sākumā. Cik daudz naudas jums būs pēc gadiem? Ja jūs tagad sēžat un "skaitāt ar pirkstu", tas nozīmē, ka esat ļoti strādīgs cilvēks un.. stulbi. Bet visticamāk atbildi sniegsi pāris sekunžu laikā, jo esi gudrs! Tātad pirmajā gadā - divi reizināti ar divi... otrajā gadā - kas notika, vēl ar diviem, trešajā... Stop! Jūs pamanījāt, ka skaitlis tiek reizināts ar sevi reizēs. Tātad divi līdz piektajai pakāpei ir miljons! Tagad iedomājieties, ka jums ir sacensības, un tas, kurš prot saskaitīt visātrāk, iegūs šos miljonus... Ir vērts atcerēties skaitļu spēkus, vai ne?
Reālās dzīves piemērs #5
Tev ir miljons. Katra gada sākumā par katru nopelnīto miljonu jūs nopelnāt vēl divus. Lieliski, vai ne? Katrs miljons tiek trīskāršots. Cik daudz naudas jums būs pēc gada? Skaitīsim. Pirmais gads - reizini ar, tad rezultāts ar citu... Tas jau ir garlaicīgi, jo tu jau visu saprati: trīs tiek reizināts ar reizēm. Tātad ceturtajai pakāpei tas ir vienāds ar miljonu. Jums tikai jāatceras, ka trīs līdz ceturtā pakāpe ir vai.
Tagad jūs zināt, ka, paaugstinot skaitli līdz jaudu, jūs ievērojami atvieglosit savu dzīvi. Apskatīsim sīkāk, ko varat darīt ar grādiem un kas jums par tiem jāzina.
Termini un jēdzieni... lai neapjuktu
Tātad, pirmkārt, definēsim jēdzienus. Vai jūs domājat kas ir eksponents? Tas ir ļoti vienkārši – tas ir skaitlis, kas atrodas skaitļa jaudas "augšpusē". Nav zinātnisks, bet skaidrs un viegli iegaumējams...
Nu, tajā pašā laikā, ko tāds grādu pamats? Vēl vienkāršāk - tas ir numurs, kas atrodas zemāk, pie pamatnes.
Šeit ir zīmējums labam pasākumam.
Nu, vispārīgi sakot, lai vispārinātu un labāk atcerētos... Grāds ar bāzi “ ” un eksponents “ ” tiek lasīts kā “līdz pakāpei” un rakstīts šādi:
Skaitļa spēks ar naturālo eksponentu
Jūs droši vien jau uzminējāt: jo eksponents ir naturāls skaitlis. Jā, bet kas tas ir dabiskais skaitlis? Elementāri! Naturālie skaitļi ir tie skaitļi, kurus izmanto skaitīšanā, uzskaitot objektus: viens, divi, trīs... Kad mēs saskaitām objektus, mēs nesakām: “mīnus pieci”, “mīnus seši”, “mīnus septiņi”. Mēs arī nesakām: “viena trešdaļa” vai “nulle pieci”. Tie nav dabiski skaitļi. Kādi, jūsuprāt, tie ir skaitļi?
Tādi skaitļi kā “mīnus pieci”, “mīnus seši”, “mīnus septiņi” attiecas uz veseli skaitļi. Kopumā veseli skaitļi ietver visus naturālos skaitļus, skaitļus, kas ir pretēji dabiskajiem skaitļiem (tas ir, ņemti ar mīnusa zīmi) un skaitļus. Nulle ir viegli saprotama – tā ir tad, kad nekā nav. Ko nozīmē negatīvie (“mīnus”) skaitļi? Bet tie tika izgudroti galvenokārt, lai norādītu parādus: ja jūsu tālrunī ir atlikums rubļos, tas nozīmē, ka esat parādā operatoram rubļus.
Visas daļas ir racionāli skaitļi. Kā viņi radās, kā tu domā? Ļoti vienkārši. Pirms vairākiem tūkstošiem gadu mūsu senči atklāja, ka viņiem trūkst naturālo skaitļu, lai izmērītu garumu, svaru, laukumu utt. Un viņi izdomāja racionālie skaitļi... Interesanti, vai ne?
Ir arī neracionāli skaitļi. Kādi ir šie skaitļi? Īsāk sakot, tā ir bezgalīga decimāldaļdaļa. Piemēram, sadalot apļa apkārtmēru ar tā diametru, iegūstat neracionālu skaitli.
Atsākt:
Definēsim pakāpes jēdzienu, kura eksponents ir naturāls skaitlis (t.i., vesels skaitlis un pozitīvs).
- Jebkurš skaitlis ar pirmo pakāpi ir vienāds ar sevi:
- Skaitli kvadrātā nozīmē reizināt ar sevi:
- Ciparu kubēšana nozīmē reizināt to ar sevi trīs reizes:
Definīcija. Skaitļa palielināšana līdz dabiskajam pakāpēm nozīmē skaitļa reizināšanu ar reizinājumu:
.
Pakāpju īpašības
No kurienes radās šie īpašumi? Es jums tagad parādīšu.
Apskatīsim: kas tas ir Un ?
Pēc definīcijas:
Cik reizinātāju ir kopā?
Tas ir ļoti vienkārši: faktoriem pievienojām reizinātājus, un rezultāts bija reizinātāji.
Bet pēc definīcijas tas ir skaitļa pakāpe ar eksponentu, tas ir: , kas ir jāpierāda.
Piemērs: vienkāršojiet izteiksmi.
Risinājums:
Piemērs: Vienkāršojiet izteiksmi.
Risinājums: Ir svarīgi atzīmēt, ka mūsu noteikumā Obligāti jābūt tādiem pašiem iemesliem!
Tāpēc mēs apvienojam pilnvaras ar bāzi, bet tas paliek atsevišķs faktors:
tikai spēku produktam!
Nekādā gadījumā to nevar rakstīt.
2. tas arī viss skaitļa pakāpe
Tāpat kā ar iepriekšējo īpašumu, pievērsīsimies pakāpes definīcijai:
Izrādās, ka izteiksme tiek reizināta ar sevi reizes, tas ir, saskaņā ar definīciju šī ir skaitļa pakāpe:
Būtībā to var saukt par "rādītāja izņemšanu no iekavām". Bet jūs nekad nevarat to izdarīt kopumā:
Atcerēsimies saīsinātās reizināšanas formulas: cik reizes mēs gribējām rakstīt?
Bet tā galu galā nav taisnība.
Jauda ar negatīvu bāzi
Līdz šim mēs esam apsprieduši tikai to, kādam jābūt eksponentam.
Bet kam vajadzētu būt par pamatu?
Pilnvarās dabiskais rādītājs pamats var būt jebkurš skaitlis. Patiešām, mēs varam reizināt jebkurus skaitļus ar otru neatkarīgi no tā, vai tie ir pozitīvi, negatīvi vai pat.
Padomāsim par to, kurām zīmēm ("" vai "") būs pozitīvo un negatīvo skaitļu pakāpes?
Piemēram, vai skaitlis ir pozitīvs vai negatīvs? A? ? Ar pirmo viss ir skaidrs: neatkarīgi no tā, cik pozitīvus skaitļus mēs reizinām viens ar otru, rezultāts būs pozitīvs.
Bet negatīvie ir nedaudz interesantāki. Mēs atceramies vienkāršo likumu no 6. klases: "mīnus par mīnusu dod plusu." Tas ir, vai. Bet, ja mēs reizinām ar, tas darbojas.
Nosakiet paši, kāda zīme būs šādiem izteicieniem:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Vai jums izdevās?
Šeit ir atbildes: Es ceru, ka pirmajos četros piemēros viss ir skaidrs? Mēs vienkārši skatāmies uz bāzi un eksponentu un piemērojam atbilstošo noteikumu.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Piemērā 5) viss arī nav tik biedējoši, kā šķiet: galu galā nav svarīgi, ar ko ir vienāda bāze - pakāpe ir vienmērīga, kas nozīmē, ka rezultāts vienmēr būs pozitīvs.
Nu, izņemot gadījumus, kad bāze ir nulle. Bāze nav vienāda, vai ne? Acīmredzot nē, jo (jo).
6. piemērs vairs nav tik vienkāršs!
6 piemēri praksē
Risinājuma analīze 6 piemēri
Ja mēs ignorējam astoto spēku, ko mēs šeit redzam? Atcerēsimies 7. klases programmu. Tātad, vai atceries? Šī ir saīsinātās reizināšanas formula, proti, kvadrātu atšķirība! Mēs iegūstam:
Uzmanīgi apskatīsim saucēju. Tas izskatās kā viens no skaitītāja faktoriem, bet kas ir nepareizi? Noteikumu secība ir nepareiza. Ja tie tiktu mainīti, noteikums varētu tikt piemērots.
Bet kā to izdarīt? Izrādās, ka tas ir ļoti vienkārši: šeit mums palīdz saucēja vienmērīgā pakāpe.
Maģiski termini mainījās vietām. Šis "parādība" vienmērīgā mērā attiecas uz jebkuru izteiksmi: mēs varam viegli mainīt iekavās esošās zīmes.
Bet ir svarīgi atcerēties: visas pazīmes mainās vienlaicīgi!
Atgriezīsimies pie piemēra:
Un atkal formula:
Vesels mēs saucam naturālos skaitļus, to pretstati (tas ir, ņemti ar zīmi " ") un skaitli.
pozitīvs vesels skaitlis, un tas ne ar ko neatšķiras no dabīgā, tad viss izskatās tieši tāpat kā iepriekšējā sadaļā.
Tagad apskatīsim jaunus gadījumus. Sāksim ar rādītāju, kas vienāds ar.
Jebkurš numurs nulle grādu vienāds ar vienu:
Kā vienmēr, jautāsim sev: kāpēc tas tā ir?
Apskatīsim zināmu pakāpi ar bāzi. Ņemiet, piemēram, un reiziniet ar:
Tātad, mēs reizinājām skaitli ar, un mēs saņēmām to pašu, kas bija - . Ar kādu skaitli jāreizina, lai nekas nemainītos? Tieši tā, uz. Līdzekļi.
Mēs varam darīt to pašu ar patvaļīgu skaitli:
Atkārtosim noteikumu:
Jebkurš skaitlis līdz nullei ir vienāds ar vienu.
Bet daudziem noteikumiem ir izņēmumi. Un šeit tas ir arī tur - tas ir skaitlis (kā bāze).
No vienas puses, tam jābūt vienādam ar jebkuru grādu - neatkarīgi no tā, cik daudz jūs reizināt nulli ar sevi, jūs joprojām saņemsit nulli, tas ir skaidrs. Bet, no otras puses, tāpat kā jebkuram skaitlim ar nulles pakāpi, tam ir jābūt vienādam. Tātad, cik daudz no tā ir patiesība? Matemātiķi nolēma neiesaistīties un atteicās paaugstināt nulli uz nulles jaudu. Tas ir, tagad mēs nevaram ne tikai dalīt ar nulli, bet arī palielināt to līdz nulles jaudai.
Ejam tālāk. Papildus naturālajiem skaitļiem un skaitļiem veseli skaitļi ietver arī negatīvus skaitļus. Lai saprastu, kas ir negatīvs spēks, darīsim kā iepriekšējo reizi: reiziniet kādu normālu skaitli ar to pašu skaitli līdz negatīvam pakāpei:
Šeit ir viegli izteikt to, ko meklējat:
Tagad paplašināsim iegūto noteikumu līdz patvaļīgai pakāpei:
Tātad, formulēsim noteikumu:
Skaitlis ar negatīvu jaudu ir tā paša skaitļa ar pozitīvu pakāpju apgrieztais skaitlis. Bet tajā pašā laikā Bāze nevar būt nulle:(jo nevar dalīt ar).
Apkoposim:
I. Izteiciens lietā nav definēts. Ja, tad.
II. Jebkurš skaitlis līdz nullei ir vienāds ar vienu: .
III. Skaitlis, kas nav vienāds ar nulli negatīvā pakāpē, ir tāda paša skaitļa apgrieztais skaitlis pozitīvajam pakāpēm: .
Uzdevumi patstāvīgam risinājumam:
Kā parasti, neatkarīgu risinājumu piemēri:
Problēmu analīze neatkarīgam risinājumam:
Zinu, zinu, cipari ir biedējoši, bet vienotajā valsts eksāmenā jābūt gatavam uz visu! Atrisiniet šos piemērus vai analizējiet to risinājumus, ja nevarat tos atrisināt, un eksāmenā jūs iemācīsities ar tiem viegli tikt galā!
Turpināsim paplašināt skaitļu diapazonu, kas “piemērots” kā eksponents.
Tagad apsvērsim racionālie skaitļi. Kādus skaitļus sauc par racionāliem?
Atbilde: viss, ko var attēlot kā daļskaitli, kur un ir veseli skaitļi, un.
Lai saprastu, kas tas ir "daļēja pakāpe", apsveriet daļu:
Paaugstināsim abas vienādojuma puses līdz pakāpei:
Tagad atcerēsimies noteikumu par "no pakāpes līdz pakāpei":
Kāds skaitlis jāpalielina līdz pakāpei, lai iegūtu?
Šis formulējums ir th pakāpes saknes definīcija.
Atgādināšu: skaitļa () th pakāpju sakne ir skaitlis, kas, palielinot līdz pakāpei, ir vienāds ar.
Tas ir, th pakāpju sakne ir apgrieztā darbība, palielinot pakāpē: .
Izrādās, ka. Acīmredzot šis īpašs gadījums var paplašināt: .
Tagad mēs pievienojam skaitītāju: kas tas ir? Atbildi ir viegli iegūt, izmantojot jaudas-jaudas noteikumu:
Bet vai bāze var būt jebkurš skaitlis? Galu galā sakni nevar izvilkt no visiem skaitļiem.
Neviens!
Atcerēsimies noteikumu: jebkurš skaitlis, kas pacelts līdz pāra pakāpei, ir pozitīvs skaitlis. Tas ir, no negatīviem skaitļiem nav iespējams izvilkt pat saknes!
Tas nozīmē, ka šādus skaitļus nevar palielināt līdz daļējai pakāpei ar pāra saucēju, tas ir, izteiksmei nav jēgas.
Kā ar izteiksmi?
Bet šeit rodas problēma.
Skaitli var attēlot citu, reducējamu daļu veidā, piemēram, vai.
Un izrādās, ka tas pastāv, bet neeksistē, bet tie ir tikai divi dažādi ieraksti tas pats numurs.
Vai cits piemērs: vienreiz, tad varat to pierakstīt. Bet, ja indikatoru pierakstīsim savādāk, tad atkal nonāksim nepatikšanās: (tas ir, ieguvām pavisam citu rezultātu!).
Lai izvairītos no šādiem paradoksiem, mēs uzskatām tikai pozitīvs bāzes eksponents ar daļēju eksponentu.
Tātad, ja:
- — naturālais skaitlis;
- - vesels skaitlis;
Piemēri:
Racionālie eksponenti ir ļoti noderīgi, lai pārveidotu izteiksmes ar saknēm, piemēram:
5 piemēri praksē
5 apmācību piemēru analīze
Nu, tagad nāk grūtākā daļa. Tagad mēs to izdomāsim pakāpe ar iracionālu eksponentu.
Visi pakāpju noteikumi un īpašības šeit ir tieši tādi paši kā grādam ar racionālu eksponentu, ar izņēmumu
Galu galā pēc definīcijas iracionālie skaitļi ir skaitļi, kurus nevar attēlot kā daļu, kur un ir veseli skaitļi (tas ir, iracionālie skaitļi ir visi reālie skaitļi, izņemot racionālos).
Studējot grādus ar naturālajiem, veselajiem un racionālajiem eksponentiem, katru reizi mēs izveidojām noteiktu “attēlu”, “analoģiju” vai aprakstu pazīstamākos terminos.
Piemēram, pakāpe ar naturālo eksponentu ir skaitlis, kas reizināts pats ar sevi vairākas reizes;
...skaitlis līdz nullei- tas it kā ir skaitlis, kas vienreiz reizināts ar sevi, tas ir, viņi to vēl nav sākuši reizināt, kas nozīmē, ka pats skaitlis vēl pat nav parādījies - tāpēc rezultāts ir tikai noteikts “tukšs skaitlis” , proti, skaitlis;
...pakāpe ar negatīvu veselu eksponentu- it kā būtu noticis kāds “apgrieztais process”, tas ir, skaitlis netika reizināts ar sevi, bet dalīts.
Starp citu, zinātnē grāds ar komplekss rādītājs, tas ir, rādītājs nav pat reāls skaitlis.
Bet skolā mēs nedomājam par šādām grūtībām, jums būs iespēja izprast šīs jaunās koncepcijas institūtā.
KUR MĒS ESAM PĀRLIECINĀTI, TU DOSIET! (ja mācēsi risināt šādus piemērus :))
Piemēram:
Izlemiet paši:
Risinājumu analīze:
1. Sāksim ar mums jau ierasto varas paaugstināšanas noteikumu:
Tagad apskatiet indikatoru. Vai viņš tev neko neatgādina? Atcerēsimies formulu kvadrātu starpības saīsinātai reizināšanai:
IN šajā gadījumā,
Izrādās, ka:
Atbilde: .
2. Mēs samazinām daļskaitļus eksponentos vienā formā: vai nu abas decimāldaļas, vai abas parastās. Mēs iegūstam, piemēram:
Atbilde: 16
3. Nekas īpašs, mēs izmantojam parastās grādu īpašības:
PAPILDINĀJUMS
Pakāpes noteikšana
Grāds ir formas izteiksme: , kur:
- — grādu bāze;
- - eksponents.
Grāds ar naturālo rādītāju (n = 1, 2, 3,...)
Skaitļa palielināšana līdz dabiskajam pakāpēm n nozīmē skaitļa reizināšanu ar sevi:
Pakāpe ar veselu eksponentu (0, ±1, ±2,...)
Ja eksponents ir pozitīvs vesels skaitlis numurs:
Būvniecība līdz nulles grādiem:
Izteiksme ir nenoteikta, jo, no vienas puses, jebkurā pakāpē ir tas, un, no otras puses, jebkurš skaitlis līdz th pakāpei ir šis.
Ja eksponents ir negatīvs vesels skaitlis numurs:
(jo nevar dalīt ar).
Vēlreiz par nullēm: izteiksme gadījumā nav definēta. Ja, tad.
Piemēri:
Jauda ar racionālo eksponentu
- — naturālais skaitlis;
- - vesels skaitlis;
Piemēri:
Pakāpju īpašības
Lai atvieglotu problēmu risināšanu, mēģināsim saprast: no kurienes radās šīs īpašības? Pierādīsim tos.
Apskatīsim: kas ir un?
Pēc definīcijas:
Tātad šīs izteiksmes labajā pusē mēs iegūstam šādu produktu:
Bet pēc definīcijas tas ir skaitļa pakāpe ar eksponentu, tas ir:
Q.E.D.
Piemērs : vienkāršojiet izteiksmi.
Risinājums : .
Piemērs : vienkāršojiet izteiksmi.
Risinājums : Ir svarīgi atzīmēt, ka mūsu noteikumā Obligāti jābūt tādiem pašiem iemesliem. Tāpēc mēs apvienojam pilnvaras ar bāzi, bet tas paliek atsevišķs faktors:
Vēl viena svarīga piezīme: šis noteikums - tikai spēku reizinājumam!
Nekādā gadījumā to nevar rakstīt.
Tāpat kā ar iepriekšējo īpašumu, pievērsīsimies pakāpes definīcijai:
Pārgrupēsim šo darbu šādi:
Izrādās, ka izteiksme tiek reizināta ar sevi reizes, tas ir, saskaņā ar definīciju šī ir skaitļa pakāpe:
Būtībā to var saukt par "rādītāja izņemšanu no iekavām". Bet jūs nekad to nevarat izdarīt kopumā: !
Atcerēsimies saīsinātās reizināšanas formulas: cik reizes mēs gribējām rakstīt? Bet tā galu galā nav taisnība.
Jauda ar negatīvu bāzi.
Līdz šim mēs esam runājuši tikai par to, kādam tam vajadzētu būt indikators grādiem. Bet kam vajadzētu būt par pamatu? Pilnvarās dabisks indikators pamats var būt jebkurš skaitlis .
Patiešām, mēs varam reizināt jebkurus skaitļus ar otru neatkarīgi no tā, vai tie ir pozitīvi, negatīvi vai pat. Padomāsim par to, kurām zīmēm ("" vai "") būs pozitīvo un negatīvo skaitļu pakāpes?
Piemēram, vai skaitlis ir pozitīvs vai negatīvs? A? ?
Ar pirmo viss ir skaidrs: neatkarīgi no tā, cik pozitīvus skaitļus mēs reizinām viens ar otru, rezultāts būs pozitīvs.
Bet negatīvie ir nedaudz interesantāki. Mēs atceramies vienkāršo likumu no 6. klases: "mīnus par mīnusu dod plusu." Tas ir, vai. Bet, ja mēs reizinām ar (), mēs iegūstam - .
Un tā tālāk bezgalīgi: ar katru nākamo reizināšanu zīme mainīsies. Mēs varam formulēt sekojošo vienkārši noteikumi:
- pat grāds, - numurs pozitīvs.
- Negatīvs skaitlis palielināts līdz nepāra grāds, - numurs negatīvs.
- Pozitīvs skaitlis jebkurā pakāpē ir pozitīvs skaitlis.
- Nulle pret jebkuru jaudu ir vienāda ar nulli.
Nosakiet paši, kāda zīme būs šādiem izteicieniem:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Vai jums izdevās? Šeit ir atbildes:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Es ceru, ka pirmajos četros piemēros viss ir skaidrs? Mēs vienkārši skatāmies uz bāzi un eksponentu un piemērojam atbilstošo noteikumu.
Piemērā 5) viss arī nav tik biedējoši, kā šķiet: galu galā nav svarīgi, ar ko ir vienāda bāze - pakāpe ir vienmērīga, kas nozīmē, ka rezultāts vienmēr būs pozitīvs. Nu, izņemot gadījumus, kad bāze ir nulle. Bāze nav vienāda, vai ne? Acīmredzot nē, jo (jo).
6. piemērs) vairs nav tik vienkāršs. Šeit jums jānoskaidro, kas ir mazāks: vai? Ja mēs to atceramies, tas kļūst skaidrs un līdz ar to arī pamats mazāks par nulli. Tas ir, mēs piemērojam 2. noteikumu: rezultāts būs negatīvs.
Un atkal mēs izmantojam pakāpes definīciju:
Viss ir kā parasti - mēs pierakstām grādu definīciju un sadalām tos savā starpā, sadalām pa pāriem un iegūstam:
Pirms aplūkojam pēdējo noteikumu, atrisināsim dažus piemērus.
Aprēķiniet izteiksmes:
Risinājumi :
Ja mēs ignorējam astoto spēku, ko mēs šeit redzam? Atcerēsimies 7. klases programmu. Tātad, vai atceries? Šī ir saīsinātās reizināšanas formula, proti, kvadrātu atšķirība!
Mēs iegūstam:
Uzmanīgi apskatīsim saucēju. Tas izskatās kā viens no skaitītāja faktoriem, bet kas ir nepareizi? Noteikumu secība ir nepareiza. Ja tie tiktu mainīti, varētu piemērot 3. noteikumu. Bet kā? Izrādās, ka tas ir ļoti vienkārši: šeit mums palīdz saucēja vienmērīgā pakāpe.
Ja reizināt ar, nekas nemainās, vai ne? Bet tagad tas izrādās šādi:
Maģiski termini mainījās vietām. Šis "parādība" vienmērīgā mērā attiecas uz jebkuru izteiksmi: mēs varam viegli mainīt iekavās esošās zīmes. Bet ir svarīgi atcerēties: Visas zīmes mainās vienlaicīgi! Jūs to nevarat aizstāt ar, mainot tikai vienu trūkumu, kas mums nepatīk!
Atgriezīsimies pie piemēra:
Un atkal formula:
Tātad tagad pēdējais noteikums:
Kā mēs to pierādīsim? Protams, kā parasti: paplašināsim grāda jēdzienu un vienkāršosim to:
Nu, tagad atvērsim iekavas. Cik burtu ir kopā? reizes ar reizinātājiem — ko tas jums atgādina? Tas nav nekas vairāk kā darbības definīcija reizināšana: Tur bija tikai reizinātāji. Tas ir, pēc definīcijas tas ir skaitļa pakāpe ar eksponentu:
Piemērs:
Grāds ar iracionālu eksponentu
Papildus informācijai par vidējā līmeņa grādiem mēs analizēsim grādu ar iracionālu eksponentu. Visi pakāpju noteikumi un īpašības šeit ir tieši tādi paši kā pakāpei ar racionālu eksponentu, ar izņēmumu - galu galā iracionālie skaitļi pēc definīcijas ir skaitļi, kurus nevar attēlot kā daļu, kur un ir veseli skaitļi (tas ir , neracionālie skaitļi ir reāli skaitļi, izņemot racionālos skaitļus).
Studējot grādus ar naturālajiem, veselajiem un racionālajiem eksponentiem, katru reizi mēs izveidojām noteiktu “attēlu”, “analoģiju” vai aprakstu pazīstamākos terminos. Piemēram, pakāpe ar naturālo eksponentu ir skaitlis, kas reizināts pats ar sevi vairākas reizes; skaitlis līdz nulles pakāpei ir it kā skaitlis, kas reizināts ar sevi vienu reizi, tas ir, viņi to vēl nav sākuši reizināt, kas nozīmē, ka pats skaitlis vēl nav pat parādījies - tāpēc rezultāts ir tikai noteikts “tukšs numurs”, proti, numurs; grāds ar veselu negatīvu eksponentu - it kā būtu noticis kāds “apgrieztais process”, tas ir, skaitlis nav reizināts ar sevi, bet dalīts.
Ir ārkārtīgi grūti iedomāties grādu ar iracionālu eksponentu (tāpat kā ir grūti iedomāties 4-dimensiju telpu). Tas drīzāk ir tīri matemātisks objekts, ko matemātiķi radīja, lai paplašinātu pakāpes jēdzienu uz visu skaitļu telpu.
Starp citu, zinātnē bieži izmanto grādu ar sarežģītu eksponentu, tas ir, eksponents nav pat reāls skaitlis. Bet skolā mēs nedomājam par šādām grūtībām, jums būs iespēja izprast šīs jaunās koncepcijas institūtā.
Tātad, ko mēs darām, ja redzam iracionālu eksponentu? Mēs cenšamies no tā atbrīvoties! :)
Piemēram:
Izlemiet paši:
| 1) | 2) | 3) |
Atbildes:
- Atcerēsimies kvadrātu formulas atšķirību. Atbilde:.
- Mēs samazinām daļskaitļus līdz tādai pašai formai: vai nu abas decimāldaļas, vai abas parastās. Mēs iegūstam, piemēram: .
- Nekas īpašs, mēs izmantojam parastās grādu īpašības:
SADAĻAS KOPSAVILKUMS UN PAMATFORMULAS
Grāds sauc par izteiksmi formā: , kur:
Pakāpe ar veselu eksponentu
pakāpe, kuras eksponents ir naturāls skaitlis (t.i., vesels skaitlis un pozitīvs).
Jauda ar racionālo eksponentu
grāds, kura rādītājs ir negatīvs un daļskaitļi.
Grāds ar iracionālu eksponentu
pakāpe, kuras eksponents ir bezgalīga decimāldaļdaļa vai sakne.
Pakāpju īpašības
Pakāpju pazīmes.
- Negatīvs skaitlis palielināts līdz pat grāds, - numurs pozitīvs.
- Negatīvs skaitlis palielināts līdz nepāra grāds, - numurs negatīvs.
- Pozitīvs skaitlis jebkurā pakāpē ir pozitīvs skaitlis.
- Nulle ir vienāda ar jebkuru jaudu.
- Jebkurš skaitlis ar nulles pakāpi ir vienāds.
TAGAD JUMS IR VĀRDS...
Kā jums patīk raksts? Rakstiet zemāk komentāros, vai jums tas patika vai nē.
Pastāstiet mums par savu pieredzi, izmantojot grāda rekvizītus.
Varbūt jums ir jautājumi. Vai ieteikumi.
Raksti komentāros.
Un veiksmi eksāmenos!
Celtniecība iekšā negatīva pakāpe– viens no matemātikas pamatelementiem, ar kuru bieži nākas saskarties, risinot algebras uzdevumus. Tālāk ir sniegtas detalizētas instrukcijas.
Kā paaugstināt līdz negatīvam spēkam - teorija
Paaugstinot skaitli līdz parastajai pakāpei, mēs tā vērtību vairākas reizes reizinām. Piemēram, 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. Ar negatīvu daļskaitli ir otrādi. Vispārējs skats pēc formulas tas izskatīsies šādi: a -n = 1/a n. Tādējādi, lai palielinātu skaitli negatīvā pakāpē, jums tas ir jādala ar doto skaitli, bet ar pozitīvu pakāpju.
Kā paaugstināt līdz negatīvam pakāpēm - piemēri parastajiem skaitļiem
Paturot prātā iepriekš minēto noteikumu, atrisināsim dažus piemērus.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Atbilde: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Atbilde -4 -2 = 1/16.
Bet kāpēc atbildes pirmajā un otrajā piemērā ir vienādas? Fakts ir tāds, ka, ja negatīvs skaitlis tiek palielināts līdz pat pakāpei (2, 4, 6 utt.), zīme kļūst pozitīva. Ja grāds būtu vienmērīgs, tad mīnuss paliktu:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Kā palielināt skaitļus no 0 līdz 1 līdz negatīvai pakāpei
Atgādiniet, ka, ja skaitlis no 0 līdz 1 tiek palielināts līdz pozitīvai pakāpei, vērtība samazinās, palielinoties jaudai. Tā, piemēram, 0,5 2 = 0,25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.
3. piemērs: Aprēķiniet 0,5 -2
Risinājums: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Atbilde: 0,5 -2 = 4
Analīze (darbību secība):
- Pārvērtiet decimāldaļu 0,5 par daļskaitli 1/2. Tādā veidā ir vieglāk.
Palieliniet 1/2 līdz negatīvai pakāpei. 1/(2) -2. Sadaliet 1 ar 1/(2) 2, iegūstam 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4
4. piemērs: Aprēķiniet 0,5 -3
Risinājums: 0,5-3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
5. piemērs: Aprēķināt -0,5 -3
Risinājums: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Atbilde: -0,5 -3 = -8
Pamatojoties uz 4. un 5. piemēru, mēs varam izdarīt vairākus secinājumus:
- Pozitīvam skaitlim diapazonā no 0 līdz 1 (4. piemērs), kas paaugstināts līdz negatīvam pakāpēm, nav svarīgi, vai pakāpe ir pāra vai nepāra, izteiksmes vērtība būs pozitīva. Turklāt, jo augstāka pakāpe, jo lielāka vērtība.
- Negatīvam skaitlim diapazonā no 0 līdz 1 (5. piemērs), kas paaugstināts līdz negatīvam pakāpēm, nav svarīgi, vai pakāpe ir pāra vai nepāra, izteiksmes vērtība būs negatīva. Šajā gadījumā, jo augstāka pakāpe, jo zemāka vērtība.
Kā paaugstināt negatīvā pakāpē - pakāpju daļskaitļa formā
Šāda veida izteiksmēm ir šāda forma: a -m/n, kur a ir regulārs skaitlis, m ir pakāpes skaitītājs, n ir pakāpes saucējs.
Apskatīsim piemēru:
Aprēķināt: 8 -1/3
Risinājums (darbību secība):
- Atcerēsimies noteikumu par skaitļa paaugstināšanu negatīvā pakāpē. Mēs iegūstam: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
- Ņemiet vērā, ka saucējs ir 8 collas frakcionēta jauda. Daļējās jaudas aprēķina vispārīgā forma ir šāda: a m/n = n √8 m.
- Tādējādi 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Mēs iegūstam astoņu kuba sakni, kas ir vienāda ar 2. No šejienes 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
- Atbilde: 8 -1/3 = 2
Šajā materiālā apskatīsim, kas ir skaitļa pakāpiens. Papildus pamata definīcijām mēs formulēsim, kas ir pakāpes ar naturālo, veselo skaitļu, racionālo un iracionālo eksponentu. Kā vienmēr, visi jēdzieni tiks ilustrēti ar problēmu piemēriem.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Vispirms formulēsim grāda pamata definīciju ar naturālo eksponentu. Lai to izdarītu, mums jāatceras reizināšanas pamatnoteikumi. Iepriekš precizēsim, ka pagaidām par bāzi ņemsim reālu skaitli (apzīmē ar burtu a), bet kā rādītāju – naturālu skaitli (apzīmē ar burtu n).
1. definīcija
Skaitļa a pakāpe ar naturālo eksponentu n ir n-tā faktoru skaita reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar skaitli a. Grāds ir uzrakstīts šādi: a n, un formulas veidā tā sastāvu var attēlot šādi:
Piemēram, ja eksponents ir 1 un bāze ir a, tad a pirmo pakāpi raksta kā a 1. Ņemot vērā, ka a ir faktora vērtība un 1 ir faktoru skaits, mēs varam to secināt a 1 = a.
Kopumā mēs varam teikt, ka grāds ir ērts ierakstīšanas veids liels daudzums vienādi faktori. Tātad, veidlapas ieraksts 8 8 8 8 var saīsināt līdz 8 4 . Tādā pašā veidā darbs palīdz mums izvairīties no ierakstīšanas liels skaits termini (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; Mēs to jau apspriedām rakstā, kas veltīts naturālo skaitļu reizināšanai.
Kā pareizi izlasīt grāda ierakstu? Vispārpieņemtais variants ir “a ar n pakāpi”. Vai arī varat teikt “nth power of a” vai “antth power”. Ja, teiksim, piemērā mēs sastapāmies ar ierakstu 8 12 , mēs varam lasīt "8 līdz 12. pakāpei", "8 līdz 12. pakāpei" vai "8. 12. pakāpei".
Otrajai un trešajai skaitļu pakāpei ir savi nosaukumi: kvadrāts un kubs. Ja mēs redzam otro pakāpi, piemēram, skaitli 7 (7 2), tad varam teikt “7 kvadrātā” vai “skaitļa 7 kvadrāts”. Līdzīgi trešā pakāpe tiek lasīta šādi: 5 3 - tas ir "kubs ar numuru 5" vai "5 kubs". Tomēr jūs varat izmantot arī standarta formulējumu “līdz otrajai/trešajai pakāpei”, tā nebūs kļūda.
1. piemērs
Apskatīsim piemēru grādam ar naturālo eksponentu: for 5 7 pieci būs bāze, un septiņi būs eksponents.
Bāzei nav jābūt veselam skaitlim: pakāpei (4 , 32) 9 bāze būs daļa 4, 32, un eksponents būs deviņi. Pievērsiet uzmanību iekavām: šis apzīmējums ir veikts visiem pakāpēm, kuru bāzes atšķiras no naturālajiem skaitļiem.
Piemēram: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.
Kam domātas iekavas? Tie palīdz izvairīties no kļūdām aprēķinos. Pieņemsim, ka mums ir divi ieraksti: (− 2) 3 Un − 2 3 . Pirmais no tiem nozīmē negatīvu skaitli mīnus divi, kas palielināts līdz pakāpei ar naturālo eksponentu trīs; otrais ir skaitlis, kas atbilst pakāpes pretējai vērtībai 2 3 .
Dažreiz grāmatās var atrast nedaudz atšķirīgu skaitļa spēka pareizrakstību - a^n(kur a ir bāze un n ir eksponents). Tas ir, 4^9 ir tāds pats kā 4 9 . Gadījumā, ja n ir daudzciparu skaitlis, tas ir ņemts iekavās. Piemēram, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Bet mēs izmantosim apzīmējumu a n kā biežāk.
Ir viegli uzminēt, kā aprēķināt eksponenta vērtību ar naturālo eksponentu no tā definīcijas: jums vienkārši jāreizina n-tais reižu skaits. Vairāk par to rakstījām citā rakstā.
Pakāpes jēdziens ir apgriezts citam matemātiskam jēdzienam - skaitļa saknei. Ja mēs zinām jaudas un eksponenta vērtību, mēs varam aprēķināt tā bāzi. Grādam ir daži specifiskas īpašības, noderīga, lai atrisinātu problēmas, kuras mēs apspriedām atsevišķā materiālā.
Eksponenti var ietvert ne tikai naturālus skaitļus, bet arī jebkuras veselas vērtības kopumā, ieskaitot negatīvās un nulles, jo tās pieder arī veselo skaitļu kopai.
2. definīcija
Skaitļa jaudu ar pozitīvu veselu eksponentu var attēlot kā formulu: 
.
Šajā gadījumā n ir jebkurš pozitīvs vesels skaitlis.
Sapratīsim nulles pakāpes jēdzienu. Lai to izdarītu, mēs izmantojam pieeju, kas ņem vērā koeficientu īpašību pilnvarām ar vienādi. Tas ir formulēts šādi:
3. definīcija
Vienlīdzība a m: a n = a m − n būs patiess ar šādiem nosacījumiem: m un n ir naturāli skaitļi, m< n , a ≠ 0 .
Pēdējais nosacījums ir svarīgs, jo tas ļauj izvairīties no dalīšanas ar nulli. Ja m un n vērtības ir vienādas, mēs iegūstam šādu rezultātu: a n: a n = a n − n = a 0
Bet tajā pašā laikā a n: a n = 1 ir vienādu skaitļu koeficients a n un a. Izrādās, ka jebkura skaitļa, kas nav nulle, nulles jauda ir vienāda ar vienu.
Taču šāds pierādījums neattiecas uz jaudu no nulles līdz nullei. Lai to izdarītu, mums ir nepieciešama cita spēku īpašība - spēku produktu īpašība ar vienādām bāzēm. Tas izskatās šādi: a m · a n = a m + n .
Ja n ir vienāds ar 0, tad a m · a 0 = a m(šī vienlīdzība arī mums to pierāda a 0 = 1). Bet, ja un ir arī vienāds ar nulli, mūsu vienlīdzība iegūst formu 0 m · 0 0 = 0 m, Tā būs taisnība jebkurai n dabiskajai vērtībai, un nav nozīmes, kāda tieši ir pakāpes vērtība 0 0 , tas ir, tas var būt vienāds ar jebkuru skaitli, un tas neietekmēs vienādības precizitāti. Tāpēc veidlapas apzīmējums 0 0 nav savas īpašas nozīmes, un mēs to tam nepiešķirsim.
Ja vēlaties, to ir viegli pārbaudīt a 0 = 1 saplūst ar pakāpes īpašību (a m) n = a m n ar nosacījumu, ka grāda bāze nav nulle. Tādējādi jebkura skaitļa, kas nav nulle, ar eksponentu nulle jauda ir viens.
2. piemērs
Apskatīsim piemēru ar konkrētiem skaitļiem: Tātad, 5 0 - vienība, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , un vērtību 0 0 nav definēts.
Pēc nulles pakāpes mums vienkārši jānoskaidro, kas ir negatīvā pakāpe. Lai to izdarītu, mums ir vajadzīga tāda pati pakāpju reizinājuma īpašība ar vienādām bāzēm, ko mēs jau izmantojām iepriekš: a m · a n = a m + n.
Ieviesīsim nosacījumu: m = − n, tad a nedrīkst būt vienāds ar nulli. No tā izriet, ka a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Izrādās, ka a n un a−n mums ir savstarpēji abpusēji skaitļi.
Rezultātā a pret negatīvo veselo jaudu nav nekas vairāk kā daļa 1 a n.
Šis formulējums apstiprina, ka pakāpei ar veselu negatīvu eksponentu ir spēkā visas tās pašas īpašības, kas piemīt pakāpei ar naturālo eksponentu (ar nosacījumu, ka bāze nav vienāda ar nulli).
3. piemērs
Pakāpi a ar negatīvu vesela skaitļa eksponentu n var attēlot kā daļu 1 a n . Tādējādi a - n = 1 a n pakļauts a ≠ 0 un n ir jebkurš naturāls skaitlis.
Ilustrēsim savu ideju ar konkrētiem piemēriem:
4. piemērs
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1
Punkta pēdējā daļā mēģināsim visu pateikto skaidri attēlot vienā formulā:
4. definīcija
Skaitļa ar naturālo eksponentu z jauda ir: a z = a z, e ar l un z - pozitīvs vesels skaitlis 1, z = 0 un a ≠ 0, (ja z = 0 un a = 0 rezultāts ir 0 0, izteiksmes 0 0 vērtības nav definētas) 1 a z, ja un z ir negatīvs vesels skaitlis un a ≠ 0 (ja z ir negatīvs vesels skaitlis un a = 0, jūs saņemat 0 z, egoz vērtība nav noteikta)
Kas ir pilnvaras ar racionālu eksponentu?
Mēs pārbaudījām gadījumus, kad eksponents satur veselu skaitli. Tomēr jūs varat palielināt skaitli līdz pakāpei pat tad, ja tā eksponents satur daļskaitli. To sauc par jaudu ar racionālu eksponentu. Šajā sadaļā mēs pierādīsim, ka tam ir tādas pašas īpašības kā citām pilnvarām.
Kas ir racionālie skaitļi? To kopa ietver gan veselus, gan daļskaitļus, un daļskaitļus var attēlot kā parastās daļskaitļus (gan pozitīvos, gan negatīvos). Formulēsim skaitļa a pakāpes definīciju ar daļēju eksponentu m / n, kur n ir naturāls skaitlis un m ir vesels skaitlis.
Mums ir zināma pakāpe ar daļēju eksponentu a m n . Lai pastāvētu jaudas īpašība, vienādībai a m n n = a m n · n = a m ir jābūt patiesai.
Ņemot vērā n-tās saknes definīciju un to, ka a m n n = a m, mēs varam pieņemt nosacījumu a m n = a m n, ja a m n ir jēga dotajām m, n un a vērtībām.
Iepriekš minētās pakāpes īpašības ar veselu eksponentu būs patiesas ar nosacījumu a m n = a m n .
Galvenais secinājums no mūsu argumentācijas ir šāds: noteikta skaitļa a pakāpe ar daļēju eksponentu m / n ir skaitļa a n-tā sakne līdz pakāpei m. Tas ir taisnība, ja dotajām m, n un a vērtībām izteiksme a m n joprojām ir nozīmīga.
1. Mēs varam ierobežot pakāpes bāzes vērtību: pieņemsim a, kas m pozitīvajām vērtībām būs lielāka vai vienāda ar 0, bet negatīvām vērtībām - stingri mazāka (jo pie m ≤ 0 mēs saņemam 0 m, bet šāda pakāpe nav noteikta). Šajā gadījumā grāda definīcija ar daļēju eksponentu izskatīsies šādi:
Pakāpe ar daļēju eksponentu m/n kādam pozitīvam skaitlim a ir a n-tā sakne, kas paaugstināta līdz pakāpei m. To var izteikt kā formulu:
Pakāpei ar nulles bāzi arī šis noteikums ir piemērots, bet tikai tad, ja tā eksponents ir pozitīvs skaitlis.
Jaudu ar bāzes nulli un daļēju pozitīvu eksponentu m/n var izteikt kā
0 m n = 0 m n = 0 ar nosacījumu, ka m ir pozitīvs vesels skaitlis un n ir naturāls skaitlis.
Negatīvai attiecībai m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.
Atzīmēsim vienu punktu. Tā kā mēs ieviesām nosacījumu, ka a ir lielāks par nulli vai vienāds ar to, daži gadījumi tika atmesti.
Izteiciens a m n dažreiz joprojām ir jēga dažām a un dažām m negatīvām vērtībām. Tādējādi pareizie ieraksti ir (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, kuros bāze ir negatīva.
2. Otrā pieeja ir atsevišķi aplūkot sakni a m n ar pāra un nepāra eksponentiem. Tad mums būs jāievieš vēl viens nosacījums: pakāpe a, kuras eksponentā ir reducējama parastā daļa, tiek uzskatīta par pakāpi a, kuras eksponentā ir atbilstošā nereducējamā daļa. Vēlāk mēs paskaidrosim, kāpēc mums ir vajadzīgs šis nosacījums un kāpēc tas ir tik svarīgi. Tādējādi, ja mums ir apzīmējums a m · k n · k , tad varam to reducēt līdz a m n un vienkāršot aprēķinus.
Ja n ir nepāra skaitlis un m vērtība ir pozitīva un a ir jebkurš nenegatīvs skaitlis, tad m n ir jēga. Nosacījums, lai a nebūtu negatīvs, ir nepieciešams, jo pāra pakāpes sakni nevar iegūt no negatīva skaitļa. Ja m vērtība ir pozitīva, tad a var būt gan negatīva, gan nulle, jo Nepāra sakni var ņemt no jebkura reāla skaitļa.
Apvienosim visas iepriekš minētās definīcijas vienā ierakstā:
Šeit m/n nozīmē nereducējamu daļu, m ir jebkurš vesels skaitlis un n ir jebkurš naturāls skaitlis.
5. definīcija
Jebkurai parastai reducējamai daļai m · k n · k pakāpi var aizstāt ar a m n .
Skaitļa a jaudu ar nesamazināmu daļskaitli m/n – var izteikt kā m n in sekojošos gadījumos: - jebkuram reālam a, veseli skaitļi pozitīvas vērtības m un nepāra dabas vērtības n. Piemērs: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.
Jebkuram reālam a, kas nav nulle, negatīvas veselas vērtības m un nepāra vērtības n, piemēram, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 27
Jebkuram nenegatīvam a pozitīvs vesels skaitlis m un pat n, piemēram, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.
Jebkuram pozitīvam a, negatīvam veselam skaitlim m un pat n, piemēram, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .
Citu vērtību gadījumā pakāpe ar daļēju eksponentu netiek noteikta. Šādu grādu piemēri: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.
Tagad izskaidrosim iepriekš apspriestā nosacījuma nozīmi: kāpēc aizstāt daļu ar reducējamu eksponentu ar daļskaitli ar nereducējamu eksponentu. Ja mēs to nebūtu izdarījuši, mums būtu bijušas šādas situācijas, piemēram, 6/10 = 3/5. Tad tam vajadzētu būt patiesam (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , bet - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , un (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .
Grāda definīcija ar daļēju eksponentu, kuru mēs prezentējām vispirms, ir ērtāk lietojama praksē nekā otrā, tāpēc mēs to turpināsim izmantot.
6. definīcija
Tādējādi pozitīva skaitļa a jauda ar daļēju eksponentu m/n tiek definēta kā 0 m n = 0 m n = 0. Negatīvā gadījumā a ierakstam a m n nav jēgas. Nulles jauda pozitīviem daļskaitļiem m/n ir definēts kā 0 m n = 0 m n = 0, negatīviem daļskaitļa eksponentiem mēs nenosakām nulles pakāpi.
Secinājumos mēs atzīmējam, ka jebkuru daļskaitli var uzrakstīt gan jaukta skaitļa formā, gan formā decimālzīme: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .
Aprēķinot, labāk ir aizstāt eksponentu ar parastu daļskaitli un pēc tam izmantot eksponenta definīciju ar daļskaitli. Iepriekš minētajiem piemēriem mēs iegūstam:
5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7
Kas ir pilnvaras ar iracionāliem un reāliem eksponentiem?
Kas ir reālie skaitļi? Viņu komplektā ir gan racionāli, gan iracionāli skaitļi. Tāpēc, lai saprastu, kas ir pakāpe ar reālu eksponentu, mums ir jādefinē grādi ar racionāliem un iracionāliem eksponentiem. Iepriekš mēs jau minējām racionālos. Soli pa solim tiksim galā ar neracionāliem rādītājiem.
5. piemērs
Pieņemsim, ka mums ir iracionāls skaitlis a un tā decimālo tuvinājumu secība a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Piemēram, pieņemsim vērtību a = 1,67175331. . . , Tad
a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .
Aproksimāciju secību varam saistīt ar grādu secību a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Ja atceramies iepriekš teikto par skaitļu palielināšanu līdz racionālam pakāpēm, tad mēs paši varam aprēķināt šo spēku vērtības.
Ņemsim, piemēram a = 3, tad a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . utt.
Pakāpju secību var reducēt līdz skaitlim, kas būs jaudas vērtība ar bāzi a un iracionālu eksponentu a. Rezultātā: grāds ar formas 3 1, 67175331 iracionālu eksponentu. . var samazināt līdz 6, 27.
7. definīcija
Pozitīva skaitļa a jaudu ar iracionālu eksponentu a raksta kā a . Tā vērtība ir secības robeža a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , kur a 0 , a 1 , a 2 , . . . ir iracionālā skaitļa a secīgas decimāldaļas. Pakāpi ar nulles bāzi var definēt arī pozitīviem iracionāliem eksponentiem, ar 0 a = 0 Tātad, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Bet to nevar izdarīt ar negatīviem, jo, piemēram, vērtība 0 - 5, 0 - 2 π nav definēta. Piemēram, vienība, kas paaugstināta līdz jebkurai iracionālai jaudai, paliek vienība, un 1 2, 1 5 in 2 un 1 - 5 būs vienāda ar 1.
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Pakāpju formulas izmanto sarežģītu izteiksmju samazināšanas un vienkāršošanas procesā, vienādojumu un nevienādību risināšanā.
Numurs c ir n-skaitļa pakāpe a Kad:
Darbības ar grādiem.
1. C pakāpju reizināšana tas pats pamats to rādītāji summējas:
a m·a n = a m + n .
2. Dalot grādus ar vienu un to pašu bāzi, to eksponenti tiek atņemti:
3. Produkta jauda no 2 vai vairāk faktori ir vienādi ar šo faktoru pakāpju reizinājumu:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Daļas pakāpe ir vienāda ar dividendes un dalītāja pakāpju attiecību:
(a/b) n = a n/b n .
5. Paaugstinot pakāpju pakāpē, eksponenti tiek reizināti:
(a m) n = a m n .
Katra iepriekš minētā formula ir patiesa virzienos no kreisās puses uz labo un otrādi.
Piemēram. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Darbības ar saknēm.
1. Vairāku faktoru reizinājuma sakne ir vienāda ar šo faktoru sakņu reizinājumu:
2. Attiecības sakne ir vienāda ar dividendes un sakņu dalītāja attiecību:
3. Paaugstinot sakni līdz pakāpei, pietiek ar radikālo skaitli palielināt līdz šai pakāpei:
4. Ja palielināsit saknes pakāpi n vienreiz un tajā pašā laikā iekļauties n th jauda ir radikāls skaitlis, tad saknes vērtība nemainīsies:
5. Ja samazina saknes pakāpi n vienlaikus izvelciet sakni n-radikāla skaitļa pakāpe, tad saknes vērtība nemainīsies:
Grāds ar negatīvu eksponentu. Noteikta skaitļa ar nepozitīvu (veselu) eksponentu jaudu definē kā dalītu ar tā paša skaitļa jaudu ar eksponentu, kas vienāds ar nepozitīvā eksponenta absolūto vērtību:
Formula a m:a n =a m - n var izmantot ne tikai m> n, bet arī ar m< n.
Piemēram. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Uz formulu a m:a n =a m - n kļuva godīgs, kad m=n, ir nepieciešama nulles grādu klātbūtne.
Grāds ar nulles indeksu. Jebkura skaitļa spēks, nevis vienāds ar nulli, ar nulles eksponentu ir vienāds ar vienu.
Piemēram. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Grāds ar daļskaitli. Lai palielinātu reālu skaitli A līdz pakāpei m/n, jums ir jāizņem sakne n th pakāpe m- šī skaitļa pakāpe A.