Uzzīmējiet funkciju cos x pi 4. Trigonometriskās funkcijas

Galvenās trigonometriskās funkcijas ir funkcijas y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Apskatīsim katru no tiem atsevišķi.

Y = grēks(x)

Funkcijas y=sin(x) grafiks.

Galvenās īpašības:

3. Funkcija ir nepāra.

Y = cos(x)

Funkcijas y=cos(x) grafiks.

Galvenās īpašības:

1. Definīcijas apgabals ir visa skaitliskā ass.

2. Funkcija ierobežota. Vērtību kopa ir segments [-1;1].

3. Funkcija ir vienmērīga.

4. Funkcija ir periodiska ar mazāko pozitīvo periodu, kas vienāds ar 2*π.

Y = dzeltenbrūns(x)

Funkcijas y=tg(x) grafiks.

Galvenās īpašības:

1. Definīcijas apgabals ir visa skaitliskā ass, izņemot punktus formā x=π/2 +π*k, kur k ir vesels skaitlis.

3. Funkcija ir nepāra.

Y = ctg(x)

Funkcijas y=ctg(x) grafiks.

Galvenās īpašības:

1. Definīcijas apgabals ir visa skaitliskā ass, izņemot punktus formā x=π*k, kur k ir vesels skaitlis.

2. Neierobežota funkcija. Vērtību kopa ir visa skaitļu līnija.

3. Funkcija ir nepāra.

4. Funkcija ir periodiska ar mazāko pozitīvo periodu, kas vienāds ar π.

Nepieciešama palīdzība mācībās?

Iepriekšējā tēma:

Šajā nodarbībā mēs detalizēti aplūkosim funkciju y = cos x, tās galvenās īpašības un grafiku. Nodarbības sākumā mēs sniegsim definīciju trigonometriskā funkcija y = izmaksas uz koordinātu apļa un apsveriet funkcijas grafiku uz apļa un līnijas. Parādīsim šīs funkcijas periodiskumu grafikā un apsvērsim funkcijas galvenās īpašības. Nodarbības beigās risināsim vairākas vienkāršas problēmas, izmantojot funkcijas grafiku un tās īpašības.

Tēma: Trigonometriskās funkcijas

Nodarbība: Funkcija y=izmaksas, tās pamatīpašības un grafiks

Funkcija ir likums, saskaņā ar kuru tiek saistīta katra neatkarīga argumenta vērtība viena nozīme funkcijas.

Atcerēsimies funkcijas definīcijaĻaujiet t- jebkurš reāls skaitlis. Tam atbilst tikai viens punkts M uz skaitļu apļa. Punktā M ir viena abscisa. To sauc par skaitļa kosinusu t. Katra argumenta vērtība t atbilst tikai viena funkcijas vērtība (1. att.).

Centrālais leņķis ir skaitliski vienāds ar loka vērtību radiānos, t.i. skaitlis Tāpēc arguments var būt vai nu reāls skaitlis, vai leņķis radiānos.

Ja mēs varam noteikt katrai vērtībai, tad mēs varam izveidot funkcijas grafiku

Funkcijas grafiku var iegūt citā veidā. Pēc samazināšanas formulām tātad kosinusa grafiks ir sinusa vilnis, kas nobīdīts pa asi x pa kreisi (2. att.).

Funkciju īpašības

1) Definīcijas darbības joma:

2) Vērtību diapazons:

3) vienmērīga funkcija:

4) Mazākais pozitīvais periods:

5) krustošanās punktu koordinātas ar abscisu asi:

6) krustošanās punkta koordinātas ar ordinātu asi:

7) Intervāli, kuros funkcija iegūst pozitīvas vērtības:

8) Intervāli, kuros funkcija iegūst negatīvas vērtības:

9) Intervālu palielināšana:

10) Samazinoši intervāli:

11) Minimālais punktu skaits:

12) Minimālā funkcija: .

13) Maksimālais punktu skaits:

14) Maksimālās funkcijas:

Mēs esam apskatījuši funkcijas pamata īpašības un grafiku. Tālāk tie tiks izmantoti problēmu risināšanai.

Atsauces

1. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Apmācība par izglītības iestādēm(profila līmenis) ed. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Problēmu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), red. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra un aprēķini 10. klasei ( apmācības rokasgrāmata skolu un klašu skolēniem ar padziļinātu matemātikas apguvi).-M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Padziļināts pētījums algebra un matemātiskā analīze.-M.: Izglītība, 1997.g.

5. Matemātikas uzdevumu krājums augstskolu reflektantiem (M.I. Skanavi redakcija - M.: Augstskola, 1992).

6. Merzļaks A.G., Polonskis V.B., Jakirs M.S. Algebriskais simulators.-K.: A.S.K., 1997.g.

7. Sahakjans S.M., Goldmens A.M., Deņisovs D.V. Problēmas par algebru un analīzes principiem (rokasgrāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11. klašu skolēniem - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Problēmu krājums par algebru un analīzes principiem: mācību grāmata. pabalsts 10-11 klasēm. ar dziļumu pētīta Matemātika.-M.: Izglītība, 2006.g.

Mājas darbs

Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Problēmu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), red. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.6, 16.7, 16.9.

Papildu tīmekļa resursi

3. Izglītības portāls eksāmenu sagatavošanai ().

Šajā nodarbībā mēs detalizēti aplūkosim funkciju y = cos x, tās galvenās īpašības un grafiku. Nodarbības sākumā mēs sniegsim trigonometriskās funkcijas y = izmaksas definīciju uz koordinātu apļa un aplūkosim tās grafiku. funkcija uz apļa un līnijas. Parādīsim šīs funkcijas periodiskumu grafikā un apsvērsim funkcijas galvenās īpašības. Nodarbības beigās risināsim vairākas vienkāršas problēmas, izmantojot funkcijas grafiku un tās īpašības.

Tēma: Trigonometriskās funkcijas

Nodarbība: Funkcija y=izmaksas, tās pamatīpašības un grafiks

Funkcija ir likums, saskaņā ar kuru katra neatkarīga argumenta vērtība ir saistīta ar vienu funkcijas vērtību.

Centrālais leņķis ir skaitliski vienāds ar loka vērtību radiānos, t.i. skaitlis Tāpēc arguments var būt vai nu reāls skaitlis, vai leņķis radiānos.

Ja mēs varam noteikt katrai vērtībai, tad mēs varam izveidot funkcijas grafiku

Funkcijas grafiku var iegūt citā veidā. Pēc samazināšanas formulām tātad kosinusa grafiks ir sinusa vilnis, kas nobīdīts pa asi x pa kreisi (2. att.).

Funkciju īpašības

1) Definīcijas darbības joma:

2) Vērtību diapazons:

3) vienmērīga funkcija:

4) Mazākais pozitīvais periods:

5) krustošanās punktu koordinātas ar abscisu asi:

6) krustošanās punkta koordinātas ar ordinātu asi:

7) Intervāli, kuros funkcija iegūst pozitīvas vērtības:

8) Intervāli, kuros funkcija iegūst negatīvas vērtības:

9) Intervālu palielināšana:

10) Samazinoši intervāli:

11) Minimālais punktu skaits:

12) Minimālā funkcija: .

13) Maksimālais punktu skaits:

14) Maksimālās funkcijas:

Mēs esam apskatījuši funkcijas pamata īpašības un grafiku. Tālāk tie tiks izmantoti problēmu risināšanai.

Atsauces

1. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm (profila līmenis), izd. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Problēmu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), red. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra un matemātiskā analīze 10. klasei (mācību grāmata skolu un klašu skolēniem ar padziļinātu matemātikas apguvi - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Padziļināta algebras un matemātiskās analīzes izpēte.-M.: Izglītība, 1997.g.

5. Matemātikas uzdevumu krājums augstskolu reflektantiem (M.I. Skanavi redakcija - M.: Augstskola, 1992).

6. Merzļaks A.G., Polonskis V.B., Jakirs M.S. Algebriskais simulators.-K.: A.S.K., 1997.g.

8. Karp A.P. Problēmu krājums par algebru un analīzes principiem: mācību grāmata. pabalsts 10-11 klasēm. ar dziļumu pētīta Matemātika.-M.: Izglītība, 2006.g.

Mājas darbs

Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Problēmu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), red. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.6, 16.7, 16.9.

Papildu tīmekļa resursi

3. Izglītības portāls eksāmenu sagatavošanai ().

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Funkcija y=cos(x). Funkcijas definīcija un grafiks"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes. Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.

Mācību līdzekļi un simulatori Interneta veikalā Integral 10. klasei
Algebriskas problēmas ar parametriem, 9.–11. klase
Programmatūras vide "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Ko mēs pētīsim:
1. Definīcija.
2. Funkcijas grafiks.
3. Funkcijas Y=cos(X) īpašības.
4. Piemēri.

Kosinusa funkcijas y=cos(x) definīcija

Puiši, mēs jau esam satikuši funkciju Y=sin(X).

Atcerēsimies vienu no spoku formulām: sin(X + π/2) = cos(X).

Pateicoties šai formulai, varam apgalvot, ka funkcijas sin(X + π/2) un cos(X) ir identiskas, un to funkciju grafiki sakrīt.

Funkcijas sin(X + π/2) grafiku iegūst no funkcijas sin(X) grafika, paralēli pārvēršot π/2 vienības pa kreisi. Tas būs funkcijas Y=cos(X) grafiks.

Funkcijas Y=cos(X) grafiku sauc arī par sinusoidālo vilni.

Funkcijas cos(x) īpašības

Definīcijas domēns ir reālu skaitļu kopa.
Funkcija ir vienmērīga. Atcerēsimies definīciju vienmērīga funkcija. Funkciju izsauc pat tad, ja ir spēkā vienādība y(-x)=y(x). Kā atceramies no spoku formulām: cos(-x)=-cos(x), definīcija ir izpildīta, tad kosinuss ir pāra funkcija.
Funkcija Y=cos(X) samazinās segmentā un palielinās segmentā [π; 2π]. Mēs to varam pārbaudīt mūsu funkcijas grafikā.
Funkcija Y=cos(X) ir ierobežota no apakšas un no augšas. Šis īpašums izriet no tā, ka
-1 ≤ cos(X) ≤ 1
Funkcijas mazākā vērtība ir -1 (pie x = π + 2πk). Augstākā vērtība funkcija ir vienāda ar 1 (pie x = 2πk).
Funkcija Y=cos(X) ir nepārtraukta funkcija. Apskatīsim grafiku un pārliecināsimies, ka mūsu funkcijai nav pārtraukumu, tas nozīmē nepārtrauktību.
Vērtību diapazons: segments [- 1; 1]. Tas ir skaidri redzams arī no grafika.
Funkcija Y=cos(X) ir periodiska funkcija. Apskatīsim grafiku vēlreiz un redzēsim, ka funkcija noteiktos intervālos ņem tās pašas vērtības.

Piemēri ar funkciju cos(x).

1. Atrisiniet vienādojumu cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

Risinājums: Izveidosim 2 funkcijas grafikus: y=cos(x) un y=(x - 2π) 2 + 1 (skat. attēlu).

y=(x - 2π) 2 + 1 ir parabola, kas nobīdīta pa labi par 2π un uz augšu par 1. Mūsu grafiki krustojas vienā punktā A(2π;1), šī ir atbilde: x = 2π.

2. Atzīmējiet funkciju Y=cos(X), ja x ≤ 0 un Y=sin(X), ja x ≥ 0

Risinājums: Lai izveidotu vajadzīgo grafiku, izveidosim divus funkcijas grafikus “gabalos”. Pirmā daļa: y=cos(x), ja x ≤ 0. Otrā daļa: y=sin(x)
ja x ≥ 0. Attēlosim abus “gabalus” vienā grafikā.

3. Atrodi vislielāko un mazākā vērtība funkcijas Y=cos(X) intervālā [π; 7π/4]

Risinājums: izveidosim funkcijas grafiku un apskatīsim mūsu segmentu [π; 7π/4]. Grafikā redzams, ka lielākās un zemākās vērtības tiek sasniegtas segmenta galos: attiecīgi punktos π un 7π/4.
Atbilde: cos(π) = -1 – mazākā vērtība, cos(7π/4) = lielākā vērtība.

4. Grafiksējiet funkciju y=cos(π/3 - x) + 1

Risinājums: cos(-x)= cos(x), tad vēlamais grafiks tiks iegūts, pārvietojot funkcijas y=cos(x) grafiku π/3 vienības pa labi un 1 vienība uz augšu.

Problēmas, kas jārisina patstāvīgi

1)Atrisiniet vienādojumu: cos(x)= x – π/2.
2) Atrisiniet vienādojumu: cos(x)= - (x – π) 2 - 1.
3) Grafiksējiet funkciju y=cos(π/4 + x) - 2.
4) Grafiksējiet funkciju y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Atrodiet segmentā funkcijas y=cos(x) lielāko un mazāko vērtību.
6) Atrast funkcijas y=cos(x) lielāko un mazāko vērtību segmentā [- π/6; 5π/4].

Video nodarbība “Funkcija y = cos x, tās īpašības un grafiks”. vizuālais materiāls lai pētītu šo tēmu. Rokasgrāmatā ir sniegtas funkcijas pazīmes, tās īpašības, kā arī apraksti problēmu risināšanai, kurās tiek izmantotas zināšanas par kosinusa īpašībām. Ar video nodarbības palīdzību skolotājam ir vieglāk sniegt nepieciešamās zināšanas un attīstīt skolēnu prasmes. Uzskates līdzekļi var palīdzēt padarīt nodarbību efektīvāku, nodrošinot dziļāku izpratni un labāku saglabāšanu, kā arī atbrīvojot stundu laiku individuālajam darbam.

Video stundas izmantošana dod skolotājam priekšrocības, lai efektīvāk pasniegtu materiālu. Rokasgrāmatu var izmantot tikai skaidrības labad, pievienojot skolotāja skaidrojumu vai kā patstāvīgu stundas daļu, dodot skolotājam iespēju pilnveidoties individuālais darbs ar studentiem. Demonstrētā grafiku un transformāciju konstruēšana, izmantojot animācijas efektus, kļūst skolēniem saprotamāka un palīdz apgūt problēmu risināšanas prasmes, izmantojot šo materiālu. Funkcijas rekvizītu izcelšana un izrunāšana, izmantojot video apmācības rīkus, palīdz tos labāk atcerēties.

Demonstrācija sākas ar tēmas nosaukuma ieviešanu. Lai izveidotu funkcijas y = cos x grafiku, skolēniem tiek atgādināta formula cos x = sin (x + π/2) samazināšanai, kas norāda, ka funkciju y = cos x un y = sin (x) grafiki. + π/2) ir identiski vienādi . Funkcijas y = sin (x + π/2) grafika uzzīmēšanai izmanto koordinātu plakni, uz kuras abscisu ass ir atzīmēts punkts -π/2. Ja šo punktu ņemam par koordinātu sākumpunktu, lai izveidotu sin x grafiku, tad šis grafiks ir arī funkcijas y = sin (x + π/2) grafiks koordinātu sākumam. Tas ir, funkcijas y = cos x grafiks tiek nobīdīts par π/2 pa funkcijas y = sin x grafika abscisu asi. Ir skaidrs, ka funkcijas y = cos x grafiks ir arī sinusoīds. Tās atrašanās vieta ļauj izdarīt secinājumus par funkcijas īpašībām.

Funkcijas pirmais īpašums attiecas uz definīcijas domēnu. Acīmredzot funkcijas definīcijas domēns būs visa skaitļa līnija, tas ir, D(f)=(- ∞;+∞).

Funkcijas otrais īpašums norāda funkcijas paritāti. Skolēniem tiek atgādināts 9. klasē apgūtais materiāls, kurā norādīts funkcijas paritātes nosacījums. Pāra funkcijai ir spēkā vienādība f(-x)=f(x). Runājot par kosinusa funkcijas paritāti, jāatzīmē, ka šīs funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret ordinātu asi. Funkcijas īpašības var demonstrēt attēlā, kas parāda vienības apli koordinātu plaknē. Pirmajā un ceturtajā ceturksnī tiek atzīmēti punkti, kas ir simetriski attiecībā pret abscisu asi. Kosinusu nosaka punkta abscisa, tāpēc diviem punktiem L(t) un N(-t) abscises ir vienādas. Tāpēc cos (-t)= cos t.

Trešā īpašība iezīmē funkcijas samazināšanās un palielināšanas intervālus. Īpašība norāda, ka segmentā funkcija samazinās, bet segmentā [π;2π] kosinuss palielinās. Attēlā parādīts funkcijas grafiks, kas skaidri parāda samazinošo un pieaugošo funkciju apgabalu.

Ir skaidrs, ka funkcija y = cos x palielinās katrā segmentā [π+2πk;2π+2πk]. Dilstoši segmenti iekšā vispārējs skats izskatās šādi, kur k ir vesels skaitlis.

Ceturtais īpašums norāda, ka kosinusa funkcija ir ierobežota augšā un zemāk. Līdzīgi kā sinuss, mēs varam atzīmēt kosinusa -1 ierobežotās vērtības<= cos х<=1. Поэтому функция является ограниченной.

Piektais īpašums norāda funkcijas mazāko un lielāko vērtību. Šajā gadījumā mazākā vērtība -1 tiek sasniegta jebkurā punktā x=π+2πk, bet lielākā vērtība 1 tiek sasniegta jebkurā punktā x=2πk.

Sestā īpašība norāda uz funkcijas y = cos x nepārtrauktību. Diagrammā parādīts, ka šai funkcijai nav pārtraukumu visā definīcijas jomā.

Funkcijas septītais īpašums nosaka, ka vērtību kopa y = cos x atrodas segmentā [-1;1].

Tālāk tiek aplūkoti piemēri, kuros nepieciešams izmantot zināšanas par funkcijas y = cos x īpašībām. Pirmajā piemērā nepieciešams atrisināt vienādojumu cos x=1-2. Šī vienādojuma risinājums būs funkciju grafiku krustošanās punkti, kurus attēlo vienādojuma labās un kreisās puses izteiksmes, tas ir, y = cos x un y = 1-x 2. Acīmredzot pirmā vienādojuma grafiks ir sinusoīds, kas tika parādīts iepriekš tēmā. Otrās funkcijas grafiks ir parabola, kuras virsotne atrodas punktā (0;1). Uzzīmējot katras funkcijas grafikus, šīs problēmas attēlā redzams, ka vienīgais abu grafiku krustpunkts būs punkts B(0;1).

Otrajā piemērā jums ir jāizveido un jālasa segmentā x definētās funkcijas grafiks<π/2 выражением sinx, а на отрезке х>=π/2 pēc izteiksmes cosx. Piemēra atrisinājumam pievienotajā attēlā funkcijas у=sinx grafiks ir uzzīmēts uz segmenta [-3π/2; π/2]. Šajā gadījumā punktā π/2 funkcija nepieņem vērtību. Uz segmenta [π/2; 3π/2] tiek konstruēts funkcijas y = cos x fragments. Acīmredzot izveidotie fragmenti tiks atkārtoti visā definīcijas jomā. Tālāk ir aprakstīts, kā funkcija tiek nolasīta. Tiek atzīmēts, ka tas nozīmē aprakstīt tā īpašības. Šīs funkcijas īpašības ir uzskaitītas - definīcijas apgabals (-∞;+∞), pāra vai nepāra pazīmju neesamība visā definīcijas jomā, funkcija ir ierobežota gan augšā, gan zemāk. Funkcijas lielākā vērtība būs 1, bet mazākā -1. Ir arī atzīmēts, ka punktā x=π/2 ir pārrāvums, funkciju vērtību kopa (-1;1).

Video nodarbība “Funkcija y = cos x, tās īpašības un grafiks” tiek izmantota matemātikas stundā par šo tēmu kā vizuālais materiāls. Tāpat šis video var būt noderīgs skolotājiem, kuri māca attālināti, lai skolēnos attīstītu nepieciešamās prasmes. Materiālu var ieteikt patstāvīgai pārskatīšanai studenti, kuri nav pietiekami labi apguvuši tēmu un kuriem nepieciešama papildu apmācība.

TEKSTA DEKODĒŠANA:

Pirms funkcijas y = cos x grafika konstruēšanas atcerieties redukcijas formulu, saskaņā ar kuru cos x = sin(x + 14ПЂ2) "> (argumenta x kosinuss ir vienāds ar argumenta x plus pi sinusu) divi). Tas nozīmē, ka funkcijas y = cos x Un

y = sin(x +14ПЂ2)"> ir identiski vienādi, tāpēc to grafiki sakrīt.

Lai attēlotu funkciju y = sin(x +14ПЂ2)"> mums būs nepieciešama papildu koordinātu sistēma ar sākumpunktu punktā B(-14ПЂ2"> ; 0) (punktā BE ar koordinātēm mīnus pi ar divi, nulle) Ja jaunajā koordinātu sistēmā uzzīmējam funkciju y = sin x, iegūstam funkcijas grafiku.

y = sin(x +14ПЂ2)"> vai funkcijas y = cos x grafiku, jo to grafiki sakrīt (skat. 1. att.).

Tā kā funkcijas y = cos x grafiks tiek iegūts no sinusa grafika, izmantojot paralēlo tulkošanu no attāluma14ПЂ2"> negatīvā virzienā, tad arī šīs funkcijas grafiks ir sinusoīds.

Funkcijas y = cos x grafiks sniedz skaidru priekšstatu par šīs funkcijas īpašībām.

ĪPAŠUMS 1. Domēns ir visu reālo skaitļu kopa jeb D (f) = (-14€ ; +14в€ћ">) (de no ef ir vienāds ar intervālu no mīnus bezgalības līdz plus bezgalībai).

ĪPAŠĪBA 2. Funkcija y = cos x ir pāra.

9. klases stundās uzzinājām, ka funkcija y = f (x), x ϵX (y ir vienāds ar eff no x, kur x pieder kopai x ir liels) tiek izsaukta pat tad, ja jebkurai vērtībai x no iestatiet X vienādību

f (- x) = f (x) (eff no mīnus x ir vienāds ar ef no x).

ĪPAŠUMS 3.Par intervālu [ 0 ; π ] (no nulles līdz pi) funkcija samazinās un palielinās segmentā [ π ; 2π ] (no pi līdz diviem pi) un tā tālāk.

Var izdarīt vispārīgu secinājumu: funkcija y = cos x segmentā palielinās

[π 14+2ПЂk ">;142ПЂ+2ПЂk "> ] (no pi plus divi pi ka līdz divi pi plus divi pi ka), un samazinās segmentā [14 2ПЂk">;14ПЂ+2ПЂk]"> (no divām virsotnēm līdz pi plus divas virsotnes), kur (ka pieder veselu skaitļu kopai).

ĪPAŠUMS 4. Funkcija ir ierobežota augšā un apakšā.

ĪPAŠĪBA 5. Funkcijas mazākā vērtība ir vienāda ar mīnus viens un tiek sasniegta jebkurā formas x = punktā.14ПЂ+2ПЂk"> (vai varat rakstīt y vārdu = - 1); maksimālā vērtība ir 1 un tiek sasniegta jebkurā formas x = punktā142ПЂk">

(vai arī varat rakstīt y max. = 1).

ĪPAŠĪBA 6. Funkcija y = cos x ir nepārtraukta.

ĪPAŠĪBA 7. Funkcijas vērtību kopa ir segments no mīnus viens līdz vienam (vai arī varat rakstīt E(f) = [ - 1; 1]).

Apskatīsim piemērus.

PIEMĒRS 1. Atrisiniet vienādojumu cos x= 1 - x 2 (kosinuss x ir vienāds ar vienu mīnus x kvadrātā).

Risinājums. Atrisināsim šo vienādojumu grafiski. Vienā koordinātu sistēmā mēs izveidosim divus funkciju grafikus: y = cos x un y = 1 - x 2. Funkciju grafiks

y = 1 - x 2 ir parabola, kuras zari ir vērsti uz leju, jo koeficients x kvadrātā ir negatīvs. (skat. 2. att.) Konstruētajiem grafikiem ir tikai viens kopīgs punkts - tas ir punkts B(0; 1) (būt ar koordinātēm nulle, viena).

Risinājums. Grafiku veidosim “pa gabalam”. Vispirms iezīmēsim funkcijas y = sin x grafika daļu uz atvērtā stara (-14в€ћ"> ;14ПЂ2">), tad tajā pašā koordinātu sistēmā uz stara [14 ПЂ2"> ; +14в€ћ">) konstruēsim daļu no funkcijas y = cos x grafika. Iegūsim funkcijas y = f(x) grafiku.

Izlasīsim šīs funkcijas grafiku (tas nozīmē funkcijas īpašību uzskaitījumu):

Definīcijas apgabals ir visu reālo skaitļu kopa, t.i.

D(f) = (-14 €; + в€ћ)"> (t.i., de no ef ir vienāds ar intervālu no mīnus bezgalības līdz plus bezgalībai).

Funkcija nav ne pāra, ne nepāra.
Funkcija ir ierobežota gan zemāk, gan augšpusē.
Funkcijas mazākā vērtība ir vienāda ar mīnus viens (tādu punktu ir bezgalīgi daudz), lielākā funkcijas vērtība ir vienāda ar vienu (tādu punktu ir arī bezgalīgi daudz).
Funkcijai ir pārtraukums punktā x =14ПЂ 2"> .
Funkciju vērtību kopa ir segments no mīnus viens līdz vienam.