Fizikā spektra pētīšanai bieži izmanto trīsstūrveida prizmu, kas izgatavota no stikla balta gaisma, jo tas spēj to sadalīt atsevišķos komponentos. Šajā rakstā mēs apsvērsim apjoma formulu

Kas ir trīsstūrveida prizma?

Pirms apjoma formulas došanas apsvērsim šī skaitļa īpašības.

Lai to iegūtu, jums ir jāņem jebkuras formas trīsstūris un jāpārvieto paralēli sev līdz zināmam attālumam. Trijstūra virsotnes sākuma un beigu pozīcijās jāsavieno ar taisniem segmentiem. Iegūto tilpuma skaitli sauc par trīsstūrveida prizmu. Tas sastāv no piecām pusēm. Divas no tām sauc par bāzēm: tās ir paralēlas un vienādas viena ar otru. Attiecīgās prizmas pamatnes ir trīsstūri. Trīs atlikušās malas ir paralelogrami.

Papildus malām aplūkojamo prizmu raksturo sešas virsotnes (trīs katrai pamatnei) un deviņas malas (6 malas atrodas pamatu plaknēs un 3 malas veido malu krustojums). Ja sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm, tad šādu prizmu sauc par taisnstūrveida.

Atšķirība trīsstūrveida prizma no visām pārējām šīs klases figūrām ir tas, ka tā vienmēr ir izliekta (četru, piecu, ..., n-stūru prizmas var būt arī ieliektas).

Tā ir taisnstūra figūra ar vienādmalu trīsstūri tās pamatnē.

Vispārējas trīsstūra prizmas tilpums

Kā atrast trīsstūrveida prizmas tilpumu? Formula iekšā vispārējs skats līdzīgi kā jebkura veida prizmām. Tam ir šāds matemātiskais apzīmējums:

Šeit h ir figūras augstums, tas ir, attālums starp tās pamatiem, S o ir trijstūra laukums.

S o vērtību var atrast, ja ir zināmi daži trīsstūra parametri, piemēram, viena mala un divi leņķi vai divas malas un viens leņķis. Trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no tā augstuma un tās malas garuma reizinājuma, par kuru šis augstums ir pazemināts.

Kas attiecas uz figūras augstumu h, tad visvieglāk to atrast taisnstūra prizmai. Pēdējā gadījumā h sakrīt ar sānu malas garumu.

Regulāras trīsstūra prizmas tilpums

Trijstūra prizmas tilpuma vispārīgā formula, kas norādīta iepriekšējā sadaļa rakstu var izmantot, lai aprēķinātu atbilstošo vērtību regulārai trīsstūrveida prizmai. Tā kā tā pamatne ir vienādmalu trīsstūris, tā laukums ir vienāds ar:

Ikviens var iegūt šo formulu, ja atceras, ka vienādmalu trijstūrī visi leņķi ir vienādi viens ar otru un ir 60 o. Šeit simbols a ir trijstūra malas garums.

Augstums h ir malas garums. Tam nav nekāda sakara ar pamatu pareiza prizma un var pieņemt patvaļīgas vērtības. Rezultātā trīsstūrveida prizmas tilpuma formula ir pareizais veids izskatās šādi:

Pēc saknes aprēķināšanas jūs varat pārrakstīt šo formulu šādi:

Tādējādi, lai atrastu regulāras prizmas tilpumu ar trīsstūrveida pamatni, ir nepieciešams pamatnes malu kvadrātā, reizināt šo vērtību ar augstumu un iegūto vērtību reizināt ar 0,433.

Definīcija.

Šis ir sešstūris, kura pamatnes ir divi vienādi kvadrāti, bet sānu malas ir vienādi taisnstūri

Sānu riba- ir divu blakus esošo sānu virsmu kopējā puse

Prizmas augstums- tas ir segments, kas ir perpendikulārs prizmas pamatnēm

Prizmas diagonāle- segments, kas savieno divas pamatu virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai

Diagonālā plakne- plakne, kas iet caur prizmas diagonāli un tās sānu malām

Diagonālā sadaļa- prizmas un diagonālās plaknes krustpunkta robežas. Regulāras četrstūra prizmas diagonālais šķērsgriezums ir taisnstūris

Perpendikulārs griezums (ortogonāls griezums)- tas ir prizmas un plaknes krustpunkts, kas novilkts perpendikulāri tās sānu malām

Regulāras četrstūra prizmas elementi

Attēlā parādītas divas regulāras četrstūra prizmas, kuras apzīmē ar atbilstošiem burtiem:

• Bāzes ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 ir vienādas un paralēlas viena otrai
• Sānu malas AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C un CC 1 D 1 D, no kurām katra ir taisnstūris
• Sānu virsma- visu prizmas sānu virsmu laukumu summa
• Kopējā virsma - visu pamatņu un sānu virsmu laukumu summa (sānu virsmas un pamatņu laukumu summa)
• Sānu ribas AA 1, BB 1, CC 1 un DD 1.
• Diagonāle B 1 D
• Pamatnes diagonāle BD
• Diagonālais griezums BB 1 D 1 D
• Perpendikulārs griezums A 2 B 2 C 2 D 2.

Regulāras četrstūra prizmas īpašības

• Pamati ir divi vienādi kvadrāti
• Pamatnes ir paralēlas viena otrai
• Sānu malas ir taisnstūri
• Sānu malas ir vienādas viena ar otru
• Sānu virsmas ir perpendikulāras pamatnēm
• Sānu ribas ir paralēlas viena otrai un vienādas
• Perpendikulārs griezums perpendikulārs visām sānu ribām un paralēls pamatnēm
• Perpendikulāra griezuma leņķi - taisni
• Regulāras četrstūra prizmas diagonālais šķērsgriezums ir taisnstūris
• Perpendikulārs (ortogonāls griezums) paralēli pamatiem

Formulas regulārai četrstūra prizmai

Instrukcijas problēmu risināšanai

Risinot problēmas par tēmu " regulāra četrstūra prizma" nozīmē to:

Pareiza prizma- prizma, kuras pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, un sānu malas ir perpendikulāras pamatnes plaknēm. Tas ir, regulāra četrstūra prizma atrodas savā pamatnē kvadrāts. (skatīt parastās četrstūra prizmas īpašības iepriekš) Piezīme. Šī ir daļa no nodarbības ar ģeometrijas problēmām (sekciju stereometrija - prizma). Šeit ir problēmas, kuras ir grūti atrisināt. Ja jums ir jāatrisina ģeometrijas problēma, kuras šeit nav, rakstiet par to forumā. Lai norādītu izguves darbību kvadrātsakne simbols tiek izmantots problēmu risināšanā√ .

Uzdevums.

Parastā četrstūra prizmā pamatlaukums ir 144 cm 2 un augstums ir 14 cm. Atrodiet prizmas diagonāli un laukumu pilna virsma.

Risinājums.
Regulārs četrstūris ir kvadrāts.
Attiecīgi pamatnes puse būs vienāda

√144 = 12 cm.
No kurienes regulāras taisnstūra prizmas pamatnes diagonāle būs vienāda ar
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Regulāras prizmas diagonāle veidojas ar pamatnes diagonāli un prizmas augstumu taisnleņķa trīsstūris. Attiecīgi saskaņā ar Pitagora teorēmu noteiktas regulāras četrstūra prizmas diagonāle būs vienāda ar:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Atbilde: 22 cm

Uzdevums

Nosakiet regulāras četrstūra prizmas kopējo virsmu, ja tās diagonāle ir 5 cm un sānu skaldnes diagonāle ir 4 cm.

Risinājums.
Tā kā regulāras četrstūra prizmas pamatne ir kvadrāts, mēs atrodam pamatnes malu (apzīmēta kā a), izmantojot Pitagora teorēmu:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Tad sānu virsmas augstums (apzīmēts ar h) būs vienāds ar:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Kopējais virsmas laukums būs vienāds ar sānu virsmas laukuma summu un divkāršu pamatplatību

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Atbilde: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Darba veids: 8
Tēma: Prizma

Stāvoklis

Parastā trīsstūrveida prizmā ABCA_1B_1C_1 pamatnes malas ir 4, bet sānu malas ir 10. Atrodiet prizmas šķērsgriezuma laukumu pēc plaknes, kas iet cauri malu AB, AC, A_1B_1 un A_1C_1 viduspunktiem.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Apsveriet šādu attēlu.

Tāpēc segments MN ir trijstūra A_1B_1C_1 viduslīnija MN = \frac12 B_1C_1=2. Tāpat KL=\frac12BC=2. Turklāt MK = NL = 10. No tā izriet, ka četrstūris MNLK ir paralelograms. Tā kā MK\paralēlais AA_1, tad MK\perp ABC un MK\perp KL. Tāpēc četrstūris MNLK ir taisnstūris. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.

Atbilde

Darba veids: 8
Tēma: Prizma

Stāvoklis

Parastās četrstūra prizmas ABCDA_1B_1C_1D_1 tilpums ir 24 . Punkts K ir malas CC_1 vidusdaļa. Atrodiet piramīdas KBCD tilpumu.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Saskaņā ar nosacījumu KC ir piramīdas KBCD augstums. CC_1 ir prizmas ABCDA_1B_1C_1D_1 augstums.

Tā kā K ir CC_1 viduspunkts, tad KC=\frac12CC_1.Ļaujiet CC_1=H , tad KC=\frac12H. Ņemiet vērā arī to S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). Tad V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Tāpēc V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Atbilde

Avots: “Matemātika. Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam 2017. Profila līmenis." Ed. F. F. Lisenko, S. Kulabukhova.

Darba veids: 8
Tēma: Prizma

Stāvoklis

Atrodiet regulāras sešstūra prizmas sānu virsmas laukumu, kuras pamatnes mala ir 6 un augstums ir 8.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Prizmas sānu virsmas laukums tiek atrasts, izmantojot formulu S puse. = P pamata · h = 6a\cdot h, kur P pamata. un h ir attiecīgi pamatnes perimetrs un prizmas augstums, kas vienāds ar 8, un a ir regulāra sešstūra mala, kas vienāda ar 6. Tāpēc S puse. = 6\cpunkts 6\cpunkts 8 = 288.

Atbilde

Avots: “Matemātika. Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam 2017. Profila līmenis." Ed. F. F. Lisenko, S. Kulabukhova.

Darba veids: 8
Tēma: Prizma

Stāvoklis

Ūdens tika ielejams traukā, kas veidots kā regulāra trīsstūrveida prizma. Ūdens līmenis sasniedz 40 cm Kādā augstumā būs ūdens līmenis, ja tas tiks ieliets citā tādas pašas formas traukā, kura pamatnes mala ir divreiz lielāka par pirmo? Izsakiet savu atbildi centimetros.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Lai a ir pirmā trauka pamatnes sānu mala, tad 2 a ir otrā trauka pamatnes sānu mala. Pēc nosacījuma šķidruma V tilpums pirmajā un otrajā traukā ir vienāds. Ar H apzīmēsim līmeni, līdz kuram šķidrums ir pacēlies otrajā traukā. Tad V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, Un, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. No šejienes \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40 = 4H, H=10.

Atbilde

Avots: “Matemātika. Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam 2017. Profila līmenis." Ed. F. F. Lisenko, S. Kulabukhova.

Darba veids: 8
Tēma: Prizma

Stāvoklis

Parastā sešstūra prizmā ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 visas malas ir vienādas ar 2. Atrodiet attālumu starp punktiem A un E_1.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Trijstūris AEE_1 ir taisnstūrveida, jo mala EE_1 ir perpendikulāra prizmas pamatnes plaknei, leņķis AEE_1 būs taisnleņķis.

Pēc tam, izmantojot Pitagora teorēmu, AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Atradīsim AE no trijstūra AFE, izmantojot kosinusa teorēmu. Katrs regulāra sešstūra iekšējais leņķis ir 120^(\circ). Tad AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\left (-\frac12 \right).

Tādējādi AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Atbilde

Avots: “Matemātika. Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam 2017. Profila līmenis." Ed. F. F. Lisenko, S. Kulabukhova.

Darba veids: 8
Tēma: Prizma

Stāvoklis

Atrodiet taisnas prizmas sānu virsmas laukumu, kuras pamatnē atrodas rombs ar diagonālēm, kas vienādas ar 4\sqrt5 un 8, un sānu mala ir vienāda ar 5.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Taisnas prizmas sānu virsmas laukumu nosaka pēc formulas S puse. = P pamata · h = 4a\cdot h, kur P pamata. un h, attiecīgi, pamatnes perimetrs un prizmas augstums, kas vienāds ar 5, un a ir romba mala. Atradīsim romba malu, izmantojot faktu, ka romba ABCD diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras un dalītas ar krustpunktu.

Videokursā “Saņem A” iekļautas visas tēmas, kas nepieciešamas, lai sekmīgi nokārtotu vienoto valsts eksāmenu matemātikā ar 60-65 punktiem. Pilnīgi visi profila vienotā valsts eksāmena matemātikas uzdevumi 1-13. Piemērots arī matemātikas vienotā valsts eksāmena kārtošanai. Ja vēlies vienoto valsts eksāmenu nokārtot ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!

Sagatavošanas kurss Vienotajam valsts eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss, kas nepieciešams, lai atrisinātu Vienotā valsts eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmie 12 uzdevumi) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne 100 ballu students, ne humanitāro zinātņu students.

Visa nepieciešamā teorija. Ātri veidi Vienotā valsts eksāmena risinājumi, kļūmes un noslēpumi. Ir analizēti visi aktuālie FIPI uzdevumu bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst Vienotā valsts eksāmena 2018 prasībām.

Kursā ietilpst 5 lielas tēmas, 2,5 stundas katrs. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.

Simtiem vienotā valsts eksāmena uzdevumu. Vārdu problēmas un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami algoritmi problēmu risināšanai. Ģeometrija. teorija, izziņas materiāls, visu veidu vienotā valsts pārbaudījuma uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas apkrāpšanas lapas, izstrāde telpiskā iztēle. Trigonometrija no nulles līdz problēmai 13. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Vizuāls skaidrojums sarežģīti jēdzieni. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Risinājuma pamats sarežģīti uzdevumi Vienotā valsts eksāmena 2 daļas.

Skolēniem, kuri gatavojas kārtot vienoto valsts eksāmenu matemātikā, noteikti jāiemācās risināt problēmas taisnas un regulāras prizmas laukuma atrašanā. Daudzu gadu prakse apstiprina faktu, ka daudzi studenti uzskata, ka šādi ģeometrijas uzdevumi ir diezgan sarežģīti.

Tajā pašā laikā vidusskolēniem ar jebkuru sagatavotības līmeni jāspēj atrast regulāras un taisnas prizmas laukumu un tilpumu. Tikai šajā gadījumā viņi varēs paļauties uz konkursa rezultātu saņemšanu, pamatojoties uz vienotā valsts eksāmena nokārtošanas rezultātiem.

Galvenie punkti, kas jāatceras

• Ja prizmas sānu malas ir perpendikulāras pamatnei, to sauc par taisnu līniju. Visas šīs figūras sānu virsmas ir taisnstūri. Taisnas prizmas augstums sakrīt ar tās malu.
• Parasta prizma ir prizma, kuras sānu malas ir perpendikulāras pamatnei, kurā atrodas regulārais daudzstūris. Šī attēla sānu malas ir vienādi taisnstūri. Pareiza prizma vienmēr ir taisna.

Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam kopā ar Shkolkovo ir jūsu panākumu atslēga!

Lai padarītu nodarbības vieglas un pēc iespējas efektīvākas, izvēlieties mūsu matemātikas portālu. Šeit viss ir parādīts nepieciešamais materiāls, kas palīdzēs sagatavoties sertifikācijas testa nokārtošanai.

Speciālisti izglītojošs projekts“Shkolkovo” piedāvā pāriet no vienkārša uz sarežģītu: vispirms mēs sniedzam teoriju, pamata formulas, teorēmas un elementāras problēmas ar risinājumiem, un tad pakāpeniski pārejam pie uzdevumiem. eksperta līmenī.

Pamatinformācija ir sistematizēta un skaidri parādīta sadaļā “Teorētiskā informācija”. Ja esat jau atkārtojis nepieciešamo materiālu, iesakām vingrināties uzdevumu risināšanā, lai atrastu pareizās prizmas laukumu un tilpumu. Sadaļā “Katalogs” ir sniegta liela vingrinājumu izvēle dažādas pakāpes grūtības.

Mēģiniet aprēķināt taisnas un regulāras prizmas laukumu vai tieši tagad. Analizējiet jebkuru uzdevumu. Ja tas nesagādā nekādas grūtības, varat droši pāriet uz ekspertu līmeņa vingrinājumiem. Un, ja rodas zināmas grūtības, mēs iesakām regulāri gatavoties vienotajam valsts eksāmenam tiešsaistē kopā ar Shkolkovo matemātikas portālu, un uzdevumi par tēmu “Taisna un regulāra prizma” jums būs viegli.