Vektora a → garums tiks apzīmēts ar → . Šis apzīmējums ir līdzīgs skaitļa modulim, tāpēc vektora garumu sauc arī par vektora moduli.
Lai noteiktu vektora garumu plaknē pēc tā koordinātām, jāņem vērā taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēma O x y. Ļaujiet tajā norādīt kādu vektoru a → ar koordinātām a x; ak. Ieviesīsim formulu vektora a → garuma (moduļa) atrašanai caur koordinātām a x un a y.
Atzīmēsim vektoru O A → = a → no sākuma. Definēsim atbilstošās punkta A projekcijas uz koordinātu asīm kā A x un A y. Tagad aplūkosim taisnstūri O A x A A y ar diagonāli O A .
No Pitagora teorēmas izriet vienādība O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , no kurienes O A = O A x 2 + O A y 2 . No jau zināmās vektoru koordinātu definīcijas taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmā iegūstam, ka O A x 2 = a x 2 un O A y 2 = a y 2, un pēc konstrukcijas O A garums ir vienāds ar vektora O A garumu → , kas nozīmē O A → = O A x 2 + O A y 2.
No tā izrādās, ka formula vektora garuma noteikšanai a → = a x ; a y ir atbilstošā forma: a → = a x 2 + a y 2 .
Ja vektors a → ir dots izvērsuma veidā koordinātu vektoros a → = a x · i → + a y · j → , tad tā garumu var aprēķināt, izmantojot to pašu formulu a → = a x 2 + a y 2 , in šajā gadījumā koeficienti a x un a y darbojas kā vektora a → koordinātes dotajā koordinātu sistēmā.
1. piemērs
Aprēķināt vektora garumu a → = 7 ; e, kas norādīts taisnstūra koordinātu sistēmā.
Risinājums
Lai atrastu vektora garumu, izmantosim formulu vektora garuma atrašanai no koordinātām a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e
Atbilde: a → = 49 + e.
Formula vektora garuma atrašanai a → = a x ; a y; a z no tās koordinātām Dekarta koordinātu sistēmā Oxyz telpā, tiek iegūta līdzīgi formulai gadījumam plaknē (skat. attēlu zemāk)
Šajā gadījumā O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (jo OA ir diagonāle taisnstūra paralēlskaldnis), tātad O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . No vektoru koordinātu definīcijas varam uzrakstīt šādas vienādības O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , un garums OA ir vienāds ar vektora garumu, kuru mēs meklējam, tāpēc O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .
No tā izriet, ka vektora garums a → = a x ; a y; a z ir vienāds ar a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .
2. piemērs
Aprēķināt vektora garumu a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , kur i → , j → , k → ir taisnstūra koordinātu sistēmas vienību vektori.
Risinājums
Vektoru dekompozīcija a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → ir dota, tās koordinātas ir a → = 4, - 3, 5. Izmantojot iepriekš minēto formulu, mēs iegūstam a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2.
Atbilde: a → = 5 2 .
Vektora garums caur tā sākuma un beigu punktu koordinātām
Iepriekš tika iegūtas formulas, kas ļauj atrast vektora garumu pēc tā koordinātām. Mēs izskatījām gadījumus plaknē un trīsdimensiju telpā. Izmantosim tās, lai atrastu vektora koordinātas no tā sākuma un beigu punktu koordinātām.
Tātad ir doti punkti ar dotām koordinātām A (a x ; a y) un B (b x ; b y), līdz ar to vektoram A B → ir koordinātes (b x - a x ; b y - a y), kas nozīmē, ka tā garumu var noteikt pēc formulas: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2
Un, ja trīsdimensiju telpā ir doti punkti ar dotām koordinātām A (a x ; a y ; a z) un B (b x ; b y ; b z), tad vektora A B → garumu var aprēķināt, izmantojot formulu
A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2
3. piemērs
Atrodiet vektora A B garumu → ja taisnstūra koordinātu sistēmā A 1, 3, B - 3, 1.
Risinājums
Izmantojot formulu vektora garuma atrašanai no plaknes sākuma un beigu punktu koordinātām, iegūstam A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1 ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .
Otrais risinājums paredz pēc kārtas lietot šīs formulas: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -
Atbilde: A B → = 20 - 2 3 .
4. piemērs
Nosakiet, pie kādām vērtībām vektora A B → garums ir vienāds ar 30, ja A (0, 1, 2); B (5 , 2 , λ 2) .
Risinājums
Vispirms pierakstīsim vektora A B → garumu, izmantojot formulu: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2
Tad mēs pielīdzinām iegūto izteiksmi 30, no šejienes atrodam nepieciešamo λ:
26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 un λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2, λ 3 = 0.
Atbilde: λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.
Vektora garuma atrašana, izmantojot kosinusa teorēmu
Diemžēl uzdevumos vektora koordinātas ne vienmēr ir zināmas, tāpēc mēs apsvērsim citus veidus, kā atrast vektora garumu.
Ļaujiet dot divu vektoru garumus A B → , A C → un leņķi starp tiem (vai leņķa kosinusu), un jums ir jāatrod vektora B C → vai C B → garums. Šajā gadījumā trijstūrī △ A B C jāizmanto kosinusa teorēma un jāaprēķina malas B C garums, kas ir vienāds ar vektora vēlamo garumu.
Apskatīsim šo gadījumu, izmantojot šādu piemēru.
5. piemērs
Vektoru A B → un A C → garumi ir attiecīgi 3 un 7, un leņķis starp tiem ir π 3. Aprēķināt vektora garumu B C → .
Risinājums
Vektora B C → garums šajā gadījumā ir vienāds ar trijstūra △ A B C malas B C garumu. No nosacījuma ir zināmi trijstūra malu A B un A C garumi (tie ir vienādi ar atbilstošo vektoru garumiem), zināms arī leņķis starp tām, tāpēc varam izmantot kosinusa teorēmu: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Tādējādi B C → = 37 .
Atbilde: B C → = 37 .
Tātad, lai atrastu vektora garumu no koordinātām, ir šādas formulas a → = a x 2 + a y 2 vai a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 no vektora sākuma un beigu punktu koordinātām. A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 vai A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, dažos gadījumos jāizmanto kosinusa teorēma .
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Beidzot es tiku pie šīs plašās un ilgi gaidītās tēmas. analītiskā ģeometrija. Pirmkārt, nedaudz par šo augstākās matemātikas sadaļu... Noteikti tagad atceraties skolas ģeometrijas kursu ar daudzām teorēmām, to pierādījumiem, zīmējumiem utt. Ko slēpt, ievērojamai daļai skolēnu nemīlēts un bieži vien neskaidrs priekšmets. Analītiskā ģeometrija, dīvainā kārtā, var šķist interesantāka un pieejamāka. Ko nozīmē īpašības vārds “analītisks”? Uzreiz prātā nāk divas klišejiskas matemātiskas frāzes: “grafiskā risinājuma metode” un “ analītiskā metode risinājumi." Grafiskā metode , protams, ir saistīta ar grafiku un zīmējumu konstruēšanu. Analītisks tas pats metodi ietver problēmu risināšanu galvenokārt izmantojot algebriskas darbības. Šajā sakarā gandrīz visu analītiskās ģeometrijas problēmu risināšanas algoritms ir vienkāršs un caurspīdīgs, bieži vien pietiek ar vajadzīgās formulas pielietošanu - un atbilde ir gatava; Nē, protams, mēs to nevarēsim izdarīt bez zīmējumiem, turklāt, lai labāk izprastu materiālu, es mēģināšu tos citēt ārpus nepieciešamības.
Jaunatvērtais ģeometrijas nodarbību kurss nepretendē uz teorētiski pabeigtu, tas ir vērsts uz praktisku uzdevumu risināšanu. Savās lekcijās iekļaušu tikai to, kas, manuprāt, ir praktiski svarīgi. Ja jums nepieciešama pilnīgāka palīdzība kādā apakšnodaļā, iesaku šādu diezgan pieejamu literatūru:
1) Lieta, kas, ne pa jokam, ir pazīstama vairākām paaudzēm: Skolas mācību grāmata par ģeometriju, autori – L.S. Atanasjans un kompānija. Šis skolas ģērbtuves pakaramais ir izgājis jau 20 (!) atkārtotus izdrukas, kas, protams, nav robeža.
2) Ģeometrija 2 sējumos. Autori L.S. Atanasjans, Baziļevs V.T.. Šī ir literatūra vidusskolai, jums būs nepieciešama pirmais sējums. Reti sastopami uzdevumi var izkrist no mana redzes loka, un apmācības rokasgrāmata sniegs nenovērtējamu palīdzību.
Abas grāmatas var bez maksas lejupielādēt tiešsaistē. Turklāt jūs varat izmantot manu arhīvu ar gatavie risinājumi, ko var atrast lapā Lejupielādējiet piemērus augstākajā matemātikā.
Starp rīkiem es atkal piedāvāju savu attīstību - programmatūras pakotne analītiskajā ģeometrijā, kas ievērojami vienkāršos dzīvi un ietaupīs daudz laika.
Tiek pieņemts, ka lasītājs pārzina ģeometriskos pamatjēdzienus un figūras: punkts, taisne, plakne, trīsstūris, paralelograms, paralēlskaldnis, kubs utt. Ieteicams atcerēties dažas teorēmas, vismaz Pitagora teorēmu, sveiki atkārtotājiem)
Un tagad mēs secīgi aplūkosim: vektora jēdzienu, darbības ar vektoriem, vektora koordinātas. Iesaku lasīt tālāk svarīgākais raksts Vektoru punktu reizinājums, un arī Vektors un vektoru jauktais reizinājums. Arī vietējais uzdevums - segmenta sadalīšana šajā ziņā - nebūs lieks. Pamatojoties uz iepriekš minēto informāciju, jūs varat apgūt taisnes vienādojums plaknē Ar Vienkāršākie risinājumu piemēri, kas ļaus iemācīties risināt ģeometrijas uzdevumus. Noderīgi ir arī šādi raksti: Plaknes vienādojums telpā, Līnijas vienādojumi telpā, Pamatproblēmas uz taisnes un plaknes, citas analītiskās ģeometrijas sadaļas. Protams, pa ceļam tiks ņemti vērā standarta uzdevumi.
Vektora koncepcija. Bezmaksas vektors
Vispirms atkārtosim vektora skolas definīciju. Vektors sauca režisēts segments, kuram ir norādīts tā sākums un beigas:
Šajā gadījumā segmenta sākums ir punkts, segmenta beigas ir punkts. Pats vektors tiek apzīmēts ar . Virziens ir būtiska, ja pārvietojat bultiņu uz otru segmenta galu, jūs iegūstat vektoru, un tas jau ir pilnīgi atšķirīgs vektors. Vektora jēdzienu ir ērti identificēt ar fiziska ķermeņa kustību: jāpiekrīt, ieiešana pa institūta durvīm vai iziešana no institūta durvīm ir pilnīgi atšķirīgas lietas.
Atsevišķus plaknes vai telpas punktus ir ērti uzskatīt par t.s nulles vektors. Šādam vektoram beigas un sākums sakrīt.
!!! Piezīme: Šeit un tālāk var pieņemt, ka vektori atrodas vienā plaknē vai arī var pieņemt, ka tie atrodas telpā - iesniegtā materiāla būtība ir spēkā gan plaknei, gan telpai.
Apzīmējumi: Daudzi uzreiz pamanīja nūju bez bultiņas apzīmējumā un teica: augšā ir arī bulta! Tiesa, to var uzrakstīt ar bultiņu: , bet tas ir arī iespējams ieraksts, ko izmantošu turpmāk. Kāpēc? Acīmredzot šis ieradums izveidojās praktisku apsvērumu dēļ, mani šāvēji skolā un augstskolā izrādījās pārāk dažāda izmēra un pinkaini. IN izglītojoša literatūra dažreiz viņi nemaz neuztraucas ar ķīļrakstu, bet izceļ burtus treknrakstā: , tādējādi norādot, ka tas ir vektors.
Tā bija stilistika, un tagad par vektoru rakstīšanas veidiem:
1) Vektorus var rakstīt ar diviem lielajiem latīņu burtiem: 
un tā tālāk. Šajā gadījumā pirmais burts Obligāti apzīmē vektora sākuma punktu, bet otrais burts apzīmē vektora beigu punktu.
2) Vektorus raksta arī ar maziem latīņu burtiem:
Jo īpaši īsuma labad mūsu vektoru var pārveidot par mazu Latīņu burts.
Garums vai modulis vektoru, kas nav nulle, sauc par segmenta garumu. Nulles vektora garums ir nulle. Loģiski.
Vektora garumu norāda ar moduļa zīmi: ,
Nedaudz vēlāk mēs uzzināsim, kā atrast vektora garumu (vai mēs to atkārtosim, atkarībā no tā, kurš).
Šī bija pamatinformācija par vektoriem, kas bija pazīstama visiem skolēniem. Analītiskajā ģeometrijā ts bezmaksas vektors.
Vienkārši sakot - vektoru var attēlot no jebkura punkta:
Mēs esam pieraduši šādus vektorus saukt par vienādiem (vienādu vektoru definīcija tiks sniegta zemāk), bet no tīri matemātiskā viedokļa tie ir VEKTORS vai VEKTORS bezmaksas vektors. Kāpēc bezmaksas? Jo uzdevumu risināšanas gaitā jūs varat “piestiprināt” to vai citu vektoru JEBKURAM vajadzīgā plaknes vai telpas punktam. Šī ir ļoti forša funkcija! Iedomājieties patvaļīga garuma un virziena vektoru - to var “klonēt” bezgalīgi daudz reižu un jebkurā telpas punktā, patiesībā tas pastāv VISUR. Ir tāds studentu teiciens: Katrs pasniedzējs par vektoru sasodīts. Galu galā tā nav tikai asprātīga atskaņa, viss ir matemātiski pareizi - tur var pievienot arī vektoru. Bet nesteidzieties priecāties, bieži cieš paši skolēni =)
Tātad, bezmaksas vektors-Šo daudzi identiski virzīti segmenti. Skolas vektora definīcija, kas dota rindkopas sākumā: “Virzīto segmentu sauc par vektoru...” nozīmē. specifisks virzīts segments, kas ņemts no dotās kopas, kas ir piesaistīts noteiktam plaknes vai telpas punktam.
Jāatzīmē, ka no fizikas viedokļa brīvā vektora jēdziens parasti ir nepareizs, un vektora pielietojuma vietai ir nozīme. Patiešām, pietiek ar tiešu vienāda spēka sitienu pa degunu vai pieri, lai attīstītu manu muļķīgo piemēru. dažādas sekas. tomēr bez maksas vektori ir atrodami arī vyshmat gaitā (tur neiet :)).
Darbības ar vektoriem. Vektoru kolinearitāte
IN skolas kurssģeometrija, tiek ņemtas vērā vairākas darbības un noteikumi ar vektoriem: saskaitīšana pēc trijstūra likuma, saskaitīšana pēc paralelograma likuma, vektoru atšķirības noteikums, vektora reizināšana ar skaitli, vektoru skalārā reizinājums utt. Sākumā atkārtosim divus noteikumus, kas īpaši attiecas uz analītiskās ģeometrijas problēmu risināšanu.
Noteikums vektoru pievienošanai, izmantojot trīsstūra noteikumu
Apsveriet divus patvaļīgus nulles vektorus un: 
Jums jāatrod šo vektoru summa. Sakarā ar to, ka visi vektori tiek uzskatīti par brīviem, mēs atcelsim vektoru no beigas vektors: 
Vektoru summa ir vektors. Lai labāk izprastu noteikumu, ieteicams iekļaut fiziskā nozīme: ļaujiet kādam ķermenim pārvietoties pa vektoru un pēc tam pa vektoru. Tad vektoru summa ir iegūtā ceļa vektors ar sākumu izejas punktā un beigas pienākšanas punktā. Līdzīgs noteikums ir formulēts jebkura vektoru skaita summai. Kā saka, ķermenis var iet savu ceļu ļoti noliekts pa zigzagu vai varbūt autopilotā - pa iegūto summas vektoru.
Starp citu, ja vektors tiek atlikts no sākās vektoru, tad iegūstam ekvivalentu paralelograma noteikums vektoru pievienošana.
Pirmkārt, par vektoru kolinearitāti. Abi vektori tiek saukti kolineārs, ja tie atrodas uz vienas līnijas vai uz paralēlām līnijām. Aptuveni runājot, mēs runājam par paralēliem vektoriem. Bet attiecībā uz tiem vienmēr tiek lietots īpašības vārds “kolineārs”.
Iedomājieties divus kolineārus vektorus. Ja šo vektoru bultiņas ir vērstas vienā virzienā, tad šādus vektorus sauc līdzrežisors. Ja bultiņas ir vērstas pret dažādas puses, tad vektori būs pretējos virzienos.
Apzīmējumi: vektoru kolinearitāte tiek rakstīta ar parasto paralēlisma simbolu: , savukārt ir iespējama detalizācija: (vektori ir līdzvirzīti) vai (vektori ir pretēji virzīti).
Darbs skaitļa vektors, kas nav nulle, ir vektors, kura garums ir vienāds ar , Un vektori un ir kopīgi vērsti uz un pretēji vērsti uz .
Noteikums vektora reizināšanai ar skaitli ir vieglāk saprotams ar attēla palīdzību: 
Apskatīsim to sīkāk:
1) Virziens. Ja reizinātājs ir negatīvs, tad vektors maina virzienu uz pretējo.
2) garums. Ja reizinātājs ir ietverts vai robežās, tad vektora garums samazinās. Tādējādi vektora garums ir puse no vektora garuma. Ja reizinātāja modulis ir lielāks par vienu, tad vektora garums palielinās pie reizes.
3) Lūdzu, ņemiet vērā visi vektori ir kolineāri, kamēr viens vektors tiek izteikts caur citu, piemēram, . Arī otrādi ir taisnība: ja vienu vektoru var izteikt caur citu, tad šādi vektori noteikti ir kolineāri. Tādējādi: ja mēs reizinām vektoru ar skaitli, mēs iegūstam kolineāru(attiecībā pret oriģinālu) vektors.
4) vektori ir kopīgi virzīti. Vektori un ir arī kopīgi vadīti. Jebkurš pirmās grupas vektors ir vērsts pretēji jebkuram otrās grupas vektoram.
Kuri vektori ir vienādi?
Divi vektori ir vienādi, ja tie atrodas vienā virzienā un tiem ir vienāds garums. Ņemiet vērā, ka līdzvirziena nozīmē vektoru kolinearitāti. Definīcija būtu neprecīza (lieka), ja mēs teiktu: "Divi vektori ir vienādi, ja tie ir kolineāri, kopvirziena un tiem ir vienāds garums."
No brīvā vektora jēdziena viedokļa vienādi vektori ir viens un tas pats vektors, kā minēts iepriekšējā punktā.
Vektoru koordinātas plaknē un telpā
Pirmais punkts ir ņemt vērā vektorus plaknē. Attēlosim Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmu un attēlosim to no koordinātu sākuma vientuļš vektori un:
Vektori un ortogonāls. Ortogonāls = perpendikulārs. Iesaku lēnām pierast pie terminiem: paralēlisma un perpendikularitātes vietā lietojam vārdus attiecīgi kolinearitāte Un ortogonalitāte.
Apzīmējums: Vektoru ortogonalitāti raksta ar parasto perpendikulitātes simbolu, piemēram: .
Apskatāmie vektori tiek saukti koordinātu vektori vai orts. Šie vektori veidojas pamats lidmašīnā. Kas ir pamats, manuprāt, tas ir intuitīvi skaidrs daudziem, vairāk detalizēta informācija var atrast rakstā Vektoru lineārā (ne)atkarība. Vektoru bāze Vienkāršiem vārdiem sakot, koordinātu pamats un izcelsme nosaka visu sistēmu - tas ir sava veida pamats, uz kura vārās pilnvērtīga un bagāta ģeometriskā dzīve.
Dažreiz tiek saukts konstruētais pamats ortonormāls plaknes pamats: “orto” - tā kā koordinātu vektori ir ortogonāli, īpašības vārds “normalizēts” nozīmē vienību, t.i. bāzes vektoru garumi ir vienādi ar vienu.
Apzīmējums: pamatu parasti raksta iekavās, kuru iekšpusē stingrā secībā bāzes vektori ir uzskaitīti, piemēram: . Koordinātu vektori tas ir aizliegts pārkārtot.
Jebkurš plaknes vektors vienīgais veids izteikts kā: 
, Kur - cipariem kuras sauc vektora koordinātasšajā pamatā. Un pati izteiksme 
sauca vektoru dekompozīcijapēc pamata .
Pasniedz vakariņas:
Sāksim ar alfabēta pirmo burtu: . Zīmējums skaidri parāda, ka, sadalot vektoru bāzē, tiek izmantoti tikko apspriestie:
1) noteikums vektora reizināšanai ar skaitli: un ;
2) vektoru saskaitīšana pēc trijstūra likuma: .
Tagad garīgi uzzīmējiet vektoru no jebkura cita plaknes punkta. Ir pilnīgi skaidrs, ka viņa pagrimums viņam "nerimstoši sekos". Lūk, vektora brīvība - vektors “visu nes sev līdzi”. Šis īpašums, protams, attiecas uz jebkuru vektoru. Smieklīgi, ka pašiem bāzes (brīvajiem) vektoriem nav jābūt uzzīmētiem no oriģināla, vienu var uzzīmēt, piemēram, apakšā pa kreisi, bet otru augšā pa labi, un nekas nemainīsies! Tiesa, jums tas nav jādara, jo skolotājs arī parādīs oriģinalitāti un neparedzētā vietā iegūs jums “kredītu”.
Vektori precīzi ilustrē likumu vektora reizināšanai ar skaitli, vektors ir vērsts kopā ar bāzes vektoru, vektors ir vērsts pretī bāzes vektoram. Šiem vektoriem viena no koordinātām ir vienāda ar nulli, to var rūpīgi uzrakstīt šādi:
Un bāzes vektori, starp citu, ir šādi: (patiesībā tie tiek izteikti caur sevi).
Un visbeidzot: , . Starp citu, kas ir vektoru atņemšana, un kāpēc es nerunāju par atņemšanas likumu? Kaut kur lineārajā algebrā es neatceros, kur, es atzīmēju, ka ir atņemšana īpašs gadījums papildinājums. Tādējādi vektoru “de” un “e” paplašinājumus var viegli uzrakstīt kā summu: , 
. Pārkārtojiet terminus un skatiet zīmējumā, cik labi šajās situācijās darbojas vecā labā vektoru saskaitīšana pēc trijstūra likuma.
Apskatītā formas sadalīšanās 
dažreiz sauc par vektoru sadalīšanos ort sistēmā(t.i., vienību vektoru sistēmā). Bet tas nav vienīgais veids, kā rakstīt vektoru, ir izplatīta šāda iespēja:
Vai ar vienādības zīmi:
Pašus bāzes vektorus raksta šādi: un
Tas ir, vektora koordinātas ir norādītas iekavās. Praktiskajos uzdevumos tiek izmantotas visas trīs apzīmējumu iespējas.
Es šaubījos, vai runāt, bet tomēr teikšu: vektora koordinātas nevar pārkārtot. Stingri pirmajā vietā mēs pierakstām koordinātu, kas atbilst vienības vektoram, stingri otrajā vietā pierakstām koordinātu, kas atbilst vienības vektoram. Patiešām, un ir divi dažādi vektori.
Mēs uzzinājām koordinātas lidmašīnā. Tagad paskatīsimies uz vektoriem trīsdimensiju telpā, šeit gandrīz viss ir vienāds! Tas tikai pievienos vēl vienu koordinātu. Ir grūti izveidot trīsdimensiju zīmējumus, tāpēc es aprobežojos ar vienu vektoru, kuru vienkāršības labad nostādīšu malā no izcelsmes: 
Jebkurš 3D telpas vektors vienīgais veids
paplašināt pēc ortonormāla pamata: 
, kur šajā bāzē ir vektora (skaitļa) koordinātas.
Piemērs no attēla: 
. Apskatīsim, kā šeit darbojas vektoru noteikumi. Pirmkārt, vektora reizināšana ar skaitli: (sarkanā bultiņa), (zaļā bultiņa) un (aveņu bultiņa). Otrkārt, šeit ir vairāku, šajā gadījumā trīs, vektoru pievienošanas piemērs: . Summas vektors sākas sākotnējā izejas punktā (vektora sākumā) un beidzas galapunktā (vektora beigās).
Visi trīsdimensiju telpas vektori, protams, ir arī brīvi, mēģiniet garīgi novirzīt vektoru no jebkura cita punkta, un jūs sapratīsit, ka tā sadalīšanās "paliks ar to".
Līdzīgi plakanajam korpusam, papildus rakstīšanai 
versijas ar iekavām tiek plaši izmantotas: vai nu .
Ja izvērsumā trūkst viena (vai divu) koordinātu vektoru, tad to vietā tiek liktas nulles. Piemēri:
vektors (rūpīgi 
) – rakstīsim ;
vektors (rūpīgi 
) – rakstīsim ;
vektors (rūpīgi 
) – rakstīsim.
Bāzes vektorus raksta šādi:
Šīs, iespējams, ir visas minimālās teorētiskās zināšanas, kas nepieciešamas analītiskās ģeometrijas problēmu risināšanai. Var būt daudz terminu un definīciju, tāpēc es iesaku manekeniem vēlreiz izlasīt un saprast šo informāciju atkal. Un jebkuram lasītājam noderēs ik pa laikam atsaukties uz pamata nodarbību, lai labāk apgūtu materiālu. Kollinearitāte, ortogonalitāte, ortonormālā bāze, vektoru dekompozīcija - šie un citi jēdzieni tiks bieži lietoti nākotnē. Vēlos atzīmēt, ka ar vietnes materiāliem nepietiek, lai nokārtotu teorētisko pārbaudījumu vai kolokviju ģeometrijā, jo es rūpīgi šifrēju visas teorēmas (un bez pierādījumiem) - uz zinātniskā prezentācijas stila rēķina, bet pluss jūsu priekšmeta izpratne. Lai saņemtu detalizētu teorētisko informāciju, lūdzu, paklanieties profesoram Atanasjanam.
Un mēs pārejam uz praktisko daļu:
Vienkāršākās analītiskās ģeometrijas problēmas.
Darbības ar vektoriem koordinātēs
Ļoti ieteicams iemācīties atrisināt uzdevumus, kas tiks izskatīti pilnībā automātiski, un formulas iegaumēt, pat īpaši neatceros, tos atcerēsies paši =) Tas ir ļoti svarīgi, jo citas analītiskās ģeometrijas problēmas ir balstītas uz vienkāršākajiem elementārajiem piemēriem, un to būs kauns izniekot papildu laiks bandinieku ēšanai. Nav nepieciešams aizpogāt krekla augšējās pogas; daudzas lietas ir pazīstamas no skolas laikiem.
Materiāla prezentācija noritēs paralēli – gan plaknei, gan telpai. Tā iemesla dēļ, ka visas formulas... jūs redzēsiet paši.
Kā atrast vektoru no diviem punktiem?
Ja ir doti divi plaknes punkti un, tad vektoram ir šādas koordinātas: 
Ja ir doti divi punkti telpā un, tad vektoram ir šādas koordinātas:
tas ir, no vektora beigu koordinātām jums ir jāatņem atbilstošās koordinātas vektora sākums.
Vingrinājums: Tiem pašiem punktiem pierakstiet formulas vektora koordinātu atrašanai. Formulas nodarbības beigās.
1. piemērs
Ņemot vērā divus plaknes punktus un . Atrodiet vektora koordinātas
Risinājums: pēc atbilstošās formulas:
Alternatīvi var izmantot šādu ierakstu:
Estēti izlems to:
Personīgi esmu pieradis pie ieraksta pirmās versijas.
Atbilde:
Atbilstoši nosacījumam nevajadzēja konstruēt zīmējumu (kas ir raksturīgi analītiskās ģeometrijas uzdevumiem), bet, lai precizētu dažus punktus manekeniem, es nebūšu slinks: 
Jums noteikti ir jāsaprot atšķirība starp punktu koordinātām un vektora koordinātām:
Punkta koordinātas– tās ir parastās koordinātas taisnstūra koordinātu sistēmā. Uzzīmēt punktus koordinātu plaknē, domāju, visi prot jau no 5.-6.klases. Katram punktam plaknē ir stingra vieta, un tos nevar nekur pārvietot.
Vektora koordinātas– šajā gadījumā tā ir tās paplašināšana atbilstoši bāzei. Jebkurš vektors ir brīvs, tāpēc, ja nepieciešams, mēs varam to viegli pārvietot prom no kāda cita plaknes punkta. Interesanti, ka vektoriem vispār nav jāveido asis vai taisnstūra koordinātu sistēma, ir nepieciešams tikai pamats, šajā gadījumā plaknes ortonormālais pamats.
Punktu koordinātu un vektoru koordinātu ieraksti šķiet līdzīgi: , un koordinātu nozīme absolūti dažādi, un jums ir labi jāapzinās šī atšķirība. Šī atšķirība, protams, attiecas arī uz telpu.
Dāmas un kungi, piepildīsim rokas:
2. piemērs
a) Tiek doti punkti un. Atrodiet vektorus un .
b) Tiek doti punkti 
Un . Atrodiet vektorus un .
c) Punkti un tiek doti. Atrodiet vektorus un .
d) Tiek piešķirti punkti. Atrodiet vektorus 
.
Varbūt ar to pietiek. Šie ir piemēri neatkarīgs lēmums, centies tos nepamest novārtā, tas atmaksāsies ;-). Nav nepieciešams veikt zīmējumus. Risinājumi un atbildes nodarbības beigās.
Kas ir svarīgi, risinot analītiskās ģeometrijas uzdevumus? Ir svarīgi būt ĪPAŠI UZMANĪGIEM, lai nepieļautu meistarīgo kļūdu “divi plus divi ir vienāds ar nulli”. Uzreiz atvainojos, ja kaut kur kļūdījos =)
Kā uzzināt segmenta garumu?
Garumu, kā jau minēts, norāda ar moduļa zīmi.
Ja ir doti divi plaknes punkti un , tad segmenta garumu var aprēķināt, izmantojot formulu
Ja ir doti divi punkti telpā un, tad segmenta garumu var aprēķināt, izmantojot formulu
Piezīme: Formulas paliks pareizas, ja tiks apmainītas atbilstošās koordinātas: un , bet pirmā opcija ir standarta
3. piemērs
Risinājums: pēc atbilstošās formulas:
Atbilde: 
Skaidrības labad uztaisīšu zīmējumu 
Segments – tas nav vektors, un, protams, jūs to nevarat pārvietot nekur. Turklāt, ja zīmējat pēc mēroga: 1 vienība. = 1 cm (divas piezīmju grāmatiņas šūnas), tad iegūto atbildi var pārbaudīt ar parasto lineālu, tieši izmērot segmenta garumu.
Jā, risinājums ir īss, bet tajā ir vēl pāris svarīgi punkti ko es vēlētos precizēt:
Pirmkārt, atbildē mēs ievietojām dimensiju: “vienības”. Stāvoklī nav norādīts, KAS tas ir, milimetri, centimetri, metri vai kilometri. Tāpēc matemātiski pareizs risinājums būtu vispārīgais formulējums: “vienības” - saīsināti kā “vienības”.
Otrkārt, atkārtosim skolas materiālu, kas noder ne tikai aplūkojamajam uzdevumam:
Lūdzu, ņemiet vērā svarīga tehnika – reizinātāja noņemšana zem saknes. Aprēķinu rezultātā mums ir rezultāts, un labs matemātiskais stils ietver faktora noņemšanu no saknes (ja iespējams). Sīkāk process izskatās šādi: 
. Protams, atstāt atbildi tādu, kāda tā ir, nebūtu kļūda – taču tas noteikti būtu trūkums un smags arguments skolotājas knibināšanai.
Šeit ir citi izplatīti gadījumi: 
Bieži vien saknē ir pietiekami daudz liels skaits, Piemēram. Ko darīt šādos gadījumos? Izmantojot kalkulatoru, pārbaudām, vai skaitlis dalās ar 4: . Jā, tas tika pilnībā sadalīts, šādi: 
. Vai varbūt skaitli atkal var dalīt ar 4? . Tādējādi: 
. Skaitļa pēdējais cipars ir nepāra, tāpēc trešo reizi dalot ar 4 acīmredzot nedarbosies. Mēģināsim dalīt ar deviņiem: . Rezultātā:
Gatavs.
Secinājums: ja zem saknes iegūstam skaitli, kuru nevar izvilkt kopumā, tad cenšamies izņemt faktoru no zem saknes - ar kalkulatoru pārbaudām, vai skaitlis dalās ar: 4, 9, 16, 25, 36, 49 utt.
Risinot dažādas problēmas, saknes vienmēr cenšas izvilkt faktorus no saknes, lai izvairītos no zemākas atzīmes un nevajadzīgām problēmām, izstrādājot savus risinājumus, pamatojoties uz skolotāja komentāriem.
Atkārtosim arī sakņu kvadrātošanu un citus spēkus: 
Noteikumi darbībām ar grādiem in vispārējs skats var atrast skolas mācību grāmatā par algebru, bet es domāju, ka pēc dotajiem piemēriem viss vai gandrīz viss jau ir skaidrs.
Uzdevums patstāvīgam risinājumam ar segmentu telpā:
4. piemērs
Punkti un tiek doti. Atrodiet segmenta garumu.
Risinājums un atbilde ir stundas beigās.
Kā uzzināt vektora garumu?
Ja ir dots plaknes vektors, tad tā garumu aprēķina pēc formulas.
Ja ir dots telpas vektors, tad tā garumu aprēķina pēc formulas 
.
Pirmkārt, mums ir jāsaprot pats vektora jēdziens. Lai ieviestu ģeometriskā vektora definīciju, atcerēsimies, kas ir segments. Ieviesīsim šādu definīciju.
1. definīcija
Nogrieznis ir daļa no taisnas līnijas, kurai ir divas robežas punktu veidā.
Segmentam var būt 2 virzieni. Lai apzīmētu virzienu, vienu no segmenta robežām sauksim par tā sākumu, bet otru robežu par beigām. Virziens ir norādīts no tā sākuma līdz segmenta beigām.
2. definīcija
Par vektoru jeb virzīto segmentu sauksim segmentu, kuram ir zināms, kura no segmenta robežām tiek uzskatīta par sākumu un kura ir tās beigas.
Apzīmējums: ar diviem burtiem: $\overline(AB)$ – (kur $A$ ir tā sākums un $B$ ir tā beigas).
Vienā mazā burtā: $\overline(a)$ (1. att.).
Tagad ieviesīsim tieši vektora garuma jēdzienu.
3. definīcija
Vektora $\overline(a)$ garums būs segmenta $a$ garums.
Apzīmējums: $|\overline(a)|$
Vektora garuma jēdziens ir saistīts, piemēram, ar tādu jēdzienu kā divu vektoru vienādība.
4. definīcija
Mēs nosauksim divus vektorus par vienādiem, ja tie atbilst diviem nosacījumiem: 1. Tie ir līdzvirziena; 1. To garumi ir vienādi (2. att.).
Lai definētu vektorus, ievadiet koordinātu sistēmu un nosakiet vektora koordinātas ievadītajā sistēmā. Kā zināms, jebkuru vektoru var sadalīt formā $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, kur $m$ un $n$ ir reāli skaitļi, un $\overline (i )$ un $\overline(j)$ ir vienības vektori attiecīgi uz $Ox$ un $Oy$ ass.
5. definīcija
Vektora $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ izplešanās koeficientus sauksim par šī vektora koordinātām ieviestajā koordinātu sistēmā. Matemātiski:
$\overline(c)=(m,n)$
Kā uzzināt vektora garumu?
Lai iegūtu formulu patvaļīga vektora garuma aprēķināšanai, ņemot vērā tā koordinātas, apsveriet šādu problēmu:
1. piemērs
Dots: vektors $\overline(α)$ ar koordinātām $(x,y)$. Atrast: šī vektora garums.
Ieviesīsim plaknē Dekarta koordinātu sistēmu $xOy$. Atcelsim $\overline(OA)=\overline(a)$ no ieviestās koordinātu sistēmas sākuma. Konstruēsim konstruētā vektora projekcijas $OA_1$ un $OA_2$ attiecīgi uz $Ox$ un $Oy$ asīm (3. att.).
Mūsu konstruētais vektors $\overline(OA)$ būs punkta $A$ rādiusa vektors, tāpēc tam būs koordinātes $(x,y)$, kas nozīmē
$=x$, $[OA_2]=y$
Tagad mēs varam viegli atrast vajadzīgo garumu, izmantojot Pitagora teorēmu, mēs iegūstam
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Atbilde: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Secinājums: Lai atrastu vektora garumu, kura koordinātas ir norādītas, ir jāatrod šo koordinātu summas kvadrāta sakne.
Uzdevumu paraugi
2. piemērs
Atrodiet attālumu starp punktiem $X$ un $Y$, kuriem ir šādas koordinātes: attiecīgi $(-1.5)$ un $(7.3)$.
Jebkurus divus punktus var viegli saistīt ar vektora jēdzienu. Apsveriet, piemēram, vektoru $\overline(XY)$. Kā jau zināms, šāda vektora koordinātas var atrast, no beigu punkta koordinātām ($Y$) atņemot atbilstošās sākuma punkta koordinātas ($X$). Mēs to saņemam
Standarta definīcija: "Vektors ir virzīts segments." Tas parasti ir absolventa zināšanu apjoms par vektoriem. Kam nepieciešami “virziena segmenti”?
Bet patiesībā, kas ir vektori un kam tie ir paredzēti?
Laika prognoze. "Ziemeļrietumu vējš, ātrums 18 metri sekundē." Piekrītu, ir svarīgs gan vēja virziens (no kurienes tas pūš), gan tā ātruma lielums (tas ir, absolūtā vērtība).
Daudzumus, kuriem nav virziena, sauc par skalāriem. Mise, darbs, elektriskais lādiņš nekur nav virzīts. Tos raksturo tikai skaitliska vērtība - “cik kilogramu” vai “cik džoulu”.
Fizikālos lielumus, kuriem ir ne tikai absolūtā vērtība, bet arī virziens, sauc par vektora lielumiem.
Ātrums, spēks, paātrinājums - vektori. Viņiem ir svarīgi “cik daudz” un “kur” ir svarīgi. Piemēram, paātrinājums gravitācijas dēļ 
vērsts uz Zemes virsmu, un tā magnitūda ir 9,8 m/s 2. Impulss, spriedze elektriskais lauks, indukcija magnētiskais lauks- arī vektoru daudzumus.
Vai atceries to fizikālie lielumi apzīmē ar latīņu vai grieķu burtiem. Bultiņa virs burta norāda, ka daudzums ir vektors:
Šeit ir vēl viens piemērs.
Automašīna pārvietojas no A uz B. Gala rezultāts- tā kustība no punkta A uz punktu B, tas ir, kustība pēc vektora.
Tagad ir skaidrs, kāpēc vektors ir virzīts segments. Lūdzu, ņemiet vērā, ka vektora beigas ir tur, kur atrodas bultiņa. Vektora garums sauc par šī segmenta garumu. Apzīmēts ar: vai
Līdz šim esam strādājuši ar skalārie lielumi, saskaņā ar aritmētikas un elementārās algebras likumiem. Vektori ir jauns jēdziens. Šī ir vēl viena matemātisko objektu klase. Viņiem ir savi noteikumi.
Reiz mēs pat neko nezinājām par cipariem. Mana iepazīšanās ar viņiem sākās pamatskolā. Izrādījās, ka skaitļus var salīdzināt savā starpā, saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt. Mēs uzzinājām, ka ir skaitlis viens un nulle.
Tagad mēs esam iepazīstināti ar vektoriem.
Jēdzieni “vairāk” un “mazāk” vektoriem nepastāv - galu galā to virzieni var būt dažādi. Var salīdzināt tikai vektoru garumus.
Bet ir vektoru vienlīdzības jēdziens.
Vienāds tiek saukti vektori, kuriem ir vienāds garums un vienāds virziens. Tas nozīmē, ka vektoru var pārnest paralēli sev uz jebkuru plaknes punktu.
Vientuļa ir vektors, kura garums ir 1. Nulle ir vektors, kura garums ir nulle, tas ir, tā sākums sakrīt ar beigām.
Visērtāk ir strādāt ar vektoriem taisnstūra koordinātu sistēmā - tajā pašā, kurā mēs zīmējam funkciju grafikus. Katrs punkts koordinātu sistēmā atbilst diviem skaitļiem – tā x un y koordinātām, abscisai un ordinātai.
Vektoru nosaka arī divas koordinātas:
Šeit vektora koordinātas ir ierakstītas iekavās - x un y.
Tie tiek atrasti vienkārši: vektora beigu koordinātas mīnus tā sākuma koordinātas.
Ja ir dotas vektora koordinātas, tā garumu nosaka pēc formulas
Vektoru pievienošana
Ir divi veidi, kā pievienot vektorus.
1. Paralelogrammas noteikums. Lai pievienotu vektorus un , mēs novietojam abu izcelsmi vienā punktā. Mēs veidojam paralelogramu un no tā paša punkta zīmējam paralelograma diagonāli. Tā būs vektoru un .
Vai atceries teiku par gulbi, vēžiem un līdaku? Viņi ļoti centās, bet nekad neizkustināja ratus no vietas. Galu galā to spēku vektora summa, ko viņi pielika ratiem, bija vienāda ar nulli.
2. Otrs vektoru pievienošanas veids ir trīsstūra noteikums. Ņemsim tos pašus vektorus un . Mēs pievienosim otrā vektora sākumu pirmā vektora beigām. Tagad savienosim pirmās sākumu un otrās beigas. Šī ir vektoru un .
Izmantojot to pašu noteikumu, varat pievienot vairākus vektorus. Mēs tos sakārtojam vienu pēc otra un pēc tam savienojam pirmā sākumu ar pēdējās beigām.
Iedomājieties, ka jūs dodaties no punkta A uz punktu B, no B uz C, no C uz D, tad uz E un uz F. Šo darbību gala rezultāts ir kustība no A uz F.
Pievienojot vektorus, mēs iegūstam:
Vektoru atņemšana
Vektors ir vērsts pretēji vektoram. Vektoru un garumi ir vienādi.
Tagad ir skaidrs, kas ir vektoru atņemšana. Vektoru starpība un ir vektora un vektora summa.
Vektora reizināšana ar skaitli
Ja vektoru reizina ar skaitli k, iegūst vektoru, kura garums k reižu atšķiras no garuma . Tas ir vienā virzienā ar vektoru, ja k ir lielāks par nulli, un pretējs, ja k ir mazāks par nulli.
Vektoru punktu reizinājums
Vektorus var reizināt ne tikai ar skaitļiem, bet arī vienu ar otru.
Vektoru skalārā reizinājums ir vektoru garumu un starp tiem esošā leņķa kosinusa reizinājums.
Lūdzu, ņemiet vērā, ka mēs sareizinājām divus vektorus, un rezultāts bija skalārs, tas ir, skaitlis. Piemēram, fizikā mehāniskais darbs vienāds ar divu vektoru – spēka un nobīdes – skalāro reizinājumu:
Ja vektori ir perpendikulāri, to skalārais reizinājums ir nulle.
Un šādi skalārais reizinājums tiek izteikts caur vektoru koordinātām un:
No skalārās reizinājuma formulas var atrast leņķi starp vektoriem:
Šī formula ir īpaši ērta stereometrijā. Piemēram, profila vienotā valsts eksāmena matemātikā 14. uzdevumā jāatrod leņķis starp krustojošām līnijām vai starp taisni un plakni. 14. uzdevums bieži tiek atrisināts vairākas reizes ātrāk, izmantojot vektora metodi, nekā izmantojot klasisko metodi.
IN skolas mācību programma matemātikā viņi pēta tikai vektoru skalāro reizinājumu.
Izrādās, ka bez skalārās reizinājuma pastāv arī vektora reizinājums, kad divu vektoru reizināšanas rezultāts ir vektors. Ikviens, kurš kārto vienoto valsts eksāmenu fizikā, zina, kas ir Lorenca spēks un Ampera spēks. Šo spēku atrašanas formulas ietver vektoru reizinājumus.
Vektori ir ļoti noderīgs matemātisks rīks. Jūs to redzēsit savā pirmajā gadā.
