Apskatīsim patvaļīgu taisni, kas iet caur punktu funkcijas grafikā - punkts A(x 0, f (x 0)) un krustojot grafiku kādā punktā B(x; f(x )). Šādu līniju (AB) sauc par sekantu. No ∆ABC: ​​​​AC = ∆ x ; BC =∆у; tgβ =∆ y /∆ x .

Kopš AC || Vērsis, tad Ð ALO = Ð BAC = β (atbilstoši paralēli). BetÐ ALO ir sekanta AB slīpuma leņķis pret Ox ass pozitīvo virzienu. nozīmē, tgβ = k - taisnes AB leņķiskais koeficients.

Tagad mēs samazināsim ∆х, t.i. ∆х→ 0. Šajā gadījumā punkts B tuvosies punktam A saskaņā ar grafiku un griezīsies AB. Sekanta AB ierobežojošā pozīcija pie ∆х→ 0 būs taisna līnija ( a ), ko sauc par funkcijas y = grafika pieskari f (x) punktā A.

Ja vienādībā ejam uz robežu kā ∆x → 0 tg β =∆ y /∆ x , tad iegūstam

vai tg a = f "(x 0 ), kopš
a - Ox ass pozitīvā virziena pieskares slīpuma leņķis

, pēc atvasinājuma definīcijas. Bet tg a = k ir pieskares leņķiskais koeficients, kas nozīmē, ka k = tg a = f "(x 0 ).

Tātad atvasinājuma ģeometriskā nozīme ir šāda:

Funkcijas atvasinājums punktā x 0 ir vienāds ar slīpumu pieskares funkcijas grafikam, kas novilkta punktā ar abscisu x 0.

Atvasinājuma fiziskā nozīme.

Apsveriet punkta kustību pa taisnu līniju. Ļaujiet punkta koordinātas norādīt jebkurā laikā x(t ). Ir zināms (no fizikas kursa), ka vidējais ātrums noteiktā laika periodā [ t 0; t 0 + ∆ t ] ir vienāds ar šajā laika periodā nobrauktā attāluma attiecību pret laiku, t.i.

V av = ∆ x /∆ t . Pārejam uz robežu pēdējā vienādībā pie ∆ t → 0.

lim V av (t) = n (t 0 ) - momentānais ātrums laika momentā t 0, ∆ t → 0.

un lim = ∆ x /∆ t = x "(t 0 ) (pēc atvasinājuma definīcijas).

Tātad n(t) = x"(t).

Atvasinājuma fiziskā nozīme ir šāda: funkcijas atvasinājums y = f( x) punktāx 0 ir funkcijas izmaiņu ātrums f(x) punktāx 0

Atvasinājumu izmanto fizikā, lai atrastu ātrumu no zināmas koordinātu funkcijas pret laiku, paātrinājumu no zināmas ātruma un laika funkcijas.

u (t) = x "(t) - ātrums,

a(f) = n"(t ) - paātrinājums vai

a(t) = x"(t).

Ja ir zināms kustības likums materiālais punkts pa apli, tad jūs varat atrast leņķisko ātrumu un leņķisko paātrinājumu rotācijas kustības laikā:

φ = φ (t ) - leņķa maiņa laika gaitā,

ω = φ "(t ) - leņķiskais ātrums,

ε = φ "(t ) - leņķiskais paātrinājums vaiε = φ "(t).

Ja ir zināms nehomogēna stieņa masas sadalījuma likums, tad nehomogēna stieņa lineāro blīvumu var atrast:

m = m (x) - masa,

x О , l - stieņa garums,

p = m "(x) - lineārais blīvums.

Izmantojot atvasinājumu, tiek atrisināti elastības un harmonisko vibrāciju teorijas uzdevumi. Tātad, saskaņā ar Huka likumu

F = - kx, x - mainīgas koordinātas, k - atsperes elastības koeficients. Liekotω2 = k/m , mēs iegūstam atsperes svārsta diferenciālvienādojumu x"( t ) + ω 2 x(t ) = 0,

kur ω = √ k /√ m svārstību frekvence ( l/c ), k - atsperes stīvums ( h/m).

Formas y vienādojums" +ω2 g = 0 sauc par harmonisko svārstību vienādojumu (mehānisko, elektrisko, elektromagnētisko). Šādu vienādojumu risinājums ir funkcija

y = Asin (ωt + φ 0) vai y = Acos (ωt + φ 0), kur

A ir svārstību amplitūda,ω - cikliskā frekvence,

φ 0 - sākuma fāze.

Nodarbības mērķi:

Izglītojoši:

• Radīt apstākļus, lai studenti jēgpilni asimilētu atvasinājuma fizisko nozīmi.
• Veicināt prasmju un iemaņu veidošanos praktiska izmantošana atvasinājums dažādu fizisku problēmu risināšanai.

Izglītojoši:

• Veicināt studentu matemātiskā skatījuma un kognitīvās intereses attīstību, atklājot tēmas praktisko nepieciešamību un teorētisko nozīmi.
• Radīt apstākļus skolēnu domāšanas prasmju pilnveidošanai: salīdzināt, analizēt, vispārināt.

Izglītojoši:

• Veicināt interesi par matemātiku.

Nodarbības veids: Nodarbība jaunu zināšanu apguvē.

Darba formas: frontāla, individuāla, grupa.

Aprīkojums: Dators, interaktīvā tāfele, prezentācija, mācību grāmata.

Nodarbības struktūra:

1. Organizatoriskais brīdis, nosakot stundas mērķi
2. Jauna materiāla apgūšana
3. Jauna materiāla primārā konsolidācija
4. Patstāvīgs darbs
5. Nodarbības kopsavilkums. Atspulgs.

Nodarbības progress

es Organizatoriskais moments, nodarbības mērķa noteikšana (2 min.)

II. Jauna materiāla apgūšana (10 min.)

Skolotājs: Iepriekšējās nodarbībās iepazināmies ar atvasinājumu aprēķināšanas noteikumiem, mācījāmies atrast atvasinājumus no lineāra, jaudas, trigonometriskās funkcijas. Mēs uzzinājām, kāda ir atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Šodien stundā mēs uzzināsim, kur šis jēdziens tiek izmantots fizikā.

Lai to izdarītu, atcerieties atvasinājuma definīciju (2. slaids)

Tagad pievērsīsimies fizikas kursam (3. slaids)

Studenti runā un atceras fiziskie jēdzieni un formulas.

Ļaujiet ķermenim kustēties saskaņā ar likumu S(t)= f(t) Aplūkosim ķermeņa noieto ceļu laikā no t 0 līdz t 0 + Δ t, kur Δt ir argumenta pieaugums. Brīdī t 0 ķermenis ir šķērsojis ceļu S(t 0), brīdī t 0 +Δt - ceļš S(t 0 +Δt). Tāpēc laikā Δt ķermenis izgāja ceļu S(t 0 +Δt) – S(t 0), t.i. mēs saņēmām funkcijas pieaugumu. Vidējais ātrumsķermeņa kustības šajā laika periodā υ==

Jo īsāks laika intervāls t, jo precīzāk varam noskaidrot, ar kādu ātrumu ķermenis kustas brīdī t. Novirzot t →0, iegūstam momentāno ātrumu - ātruma skaitlisko vērtību šīs kustības momentā t.

υ= , pie Δt → 0 ātrums ir ceļa atvasinājums attiecībā pret laiku.

4. slaids

Atcerēsimies paātrinājuma definīciju.

Izmantojot iepriekš sniegto materiālu, varam secināt, ka pie t a(t)= υ’(t) paātrinājums ir ātruma atvasinājums.

Tālāk uz interaktīvās tāfeles tiek parādītas strāvas stipruma, leņķiskā ātruma, emf utt. formulas. Studenti pievieno momentānās datu vērtības fizikālie lielumi izmantojot atvasinājuma jēdzienu. (Ja jums nav interaktīvās tāfeles, izmantojiet prezentāciju)

5.-8. slaidi

Studenti formulē secinājumus.

Secinājums:(9. slaids) Atvasinājums ir funkcijas izmaiņu ātrums. (Ceļa funkcijas, koordinātas, ātrums, magnētiskā plūsma utt.)

υ (x)=f ’(x)

Skolotājs: Mēs redzam, ka saikne starp visdažādāko fizikas, tehnisko zinātņu un ķīmijas pētīto procesu kvantitatīvo raksturlielumu ir līdzīga saiknei starp ceļu un ātrumu. Var uzdot daudzas problēmas, kuru risināšanai jāatrod arī noteiktas funkcijas izmaiņu ātrums, piemēram: šķīduma koncentrācijas atrašana noteiktā brīdī, šķidruma plūsmas ātruma atrašana, leņķiskais ķermeņa rotācijas ātrums, lineārais blīvums punktā utt. Tagad mēs atrisināsim dažas no šīm problēmām.

III. Iegūto zināšanu nostiprināšana (darbs grupās) (15 min.)

Seko diskusija valdē

Pirms uzdevumu risināšanas noskaidro fizikālo lielumu mērvienības.

Ātrums – [m/s]
Paātrinājums – [m/s 2]
Spēks — [N]
Enerģija — [J]

1. uzdevuma grupa

Punkts pārvietojas saskaņā ar likumu s(t)=2t³-3t (s ir ceļš metros, t ir laiks sekundēs). Aprēķināt punkta ātrumu un tā paātrinājumu laikā 2s

2. uzdevuma grupa

Spararats griežas ap asi saskaņā ar likumu φ(t)= t 4 -5t. Atrodiet tā leņķisko ātrumu ω laikā 2s (φ ir griešanās leņķis radiānos, ω ir leņķiskais ātrums rad/s)

3. uzdevuma grupa

Ķermenis, kas sver 2 kg, kustas taisni saskaņā ar likumu x(t)=2-3t+2t²

Atrast ķermeņa ātrumu un tā kinētisko enerģiju 3 s pēc kustības sākuma. Kāds spēks iedarbojas uz ķermeni šajā laika brīdī? (t mēra sekundēs, x mēra metros)

4. uzdevums

Punkts apņemas svārstīgas kustības saskaņā ar likumu x(t)=2sin3t. Pierādīt, ka paātrinājums ir proporcionāls x koordinātei.

IV. Patstāvīgs uzdevumu Nr.272, 274, 275, 277 risinājums

[A.N. Kolmogorovs, A.M. Abramovs u.c. "Algebra un analīzes sākums, 10.-11.klase"] 12 min

Ņemot vērā:	Risinājums:
x(t)=- ______________ t=? υ(t)=?	υ(t)=х’(t); υ(t)= (-)’=·3t²+6t= +6t; a(t)=υ’(t) a(t)=( +6t)’=·2t+6=-t+6; a(t)=0; -t+6=0; t=6; υ(6)=+6·6=-18+36=18m/s Atbilde: t=6c; υ(6)= 18m/s

Funkcijas f (x) atvasinājums punktā x0 ir robeža (ja tāda pastāv) funkcijas pieauguma attiecībai punktā x0 pret argumenta Δx pieaugumu, ja argumenta pieaugumam ir tendence nulle un tiek apzīmēts ar f '(x0). Funkcijas atvasinājuma atrašanas darbību sauc par diferenciāciju.
Funkcijas atvasinātajam ir tas fiziskā nozīme: funkcijas atvasinājums noteiktā punktā - funkcijas izmaiņu ātrums noteiktā punktā.

Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Atvasinājums punktā x0 ir vienāds ar funkcijas y=f(x) grafika pieskares slīpumu šajā punktā.

Atvasinājuma fiziskā nozīme. Ja punkts pārvietojas pa x asi un tā koordināte mainās atbilstoši likumam x(t), tad punkta momentānais ātrums ir:

Diferenciāļa jēdziens, tā īpašības. Diferencēšanas noteikumi. Piemēri.

Definīcija. Funkcijas diferenciālis noteiktā punktā x ir funkcijas pieauguma galvenā, lineārā daļa. Funkcijas diferenciālis y = f(x) ir vienāds ar tās atvasinājuma un neatkarīgā mainīgā inkrementa reizinājumu. (arguments).

Tas ir rakstīts šādi:

vai

Or


Diferenciālās īpašības
Diferenciāļa īpašības ir līdzīgas atvasinājuma īpašībām:





UZ diferenciācijas pamatnoteikumi ietver:
1) konstanta faktora novietošana ārpus atvasinājuma zīmes
2) summas atvasinājums, starpības atvasinājums
3) funkciju reizinājuma atvasinājums
4) divu funkciju koeficienta atvasinājums (daļdaļas atvasinājums)

Piemēri.
Pierādīsim formulu: Pēc atvasinājuma definīcijas mums ir:

Patvaļīgu faktoru var ņemt aiz pārejas zīmes līdz robežai (tas ir zināms no robežas īpašībām), tāpēc

Piemēram: Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums: Izmantosim likumu par reizinātāja novietošanu ārpus atvasinājuma zīmes :

Diezgan bieži vispirms ir jāvienkāršo diferencējamās funkcijas forma, lai izmantotu atvasinājumu tabulu un atvasinājumu atrašanas noteikumus. Sekojošie piemēri to skaidri apstiprina.

Diferenciācijas formulas. Diferenciāļa pielietojums aptuvenos aprēķinos. Piemēri.

Diferenciāļa izmantošana aptuvenos aprēķinos ļauj izmantot diferenciāli, lai tuvinātu funkcijas vērtības.
Piemēri.
Izmantojot diferenciāli, aprēķiniet aptuveni
Lai aprēķinātu dotā vērtība pielietosim formulu no teorijas
Ieviesīsim vērā funkciju un attēlosim doto vērtību formā
tad rēķināsim

Aizvietojot visu formulā, mēs beidzot iegūstam
Atbilde:

16. L'Hopital noteikums 0/0 vai ∞/∞ formas nenoteiktību atklāšanai. Piemēri.
Divu bezgalīgi mazu vai divu bezgalīgi lielu daudzumu attiecības robeža ir vienāda ar to atvasinājumu attiecības robežu.

1)

17. Funkciju palielināšana un samazināšanās. Funkcijas galējība. Algoritms monotonitātes un ekstrēma funkcijas izpētei. Piemēri.

Funkcija palielinās uz intervālu, ja jebkuriem diviem šī intervāla punktiem, kas savienoti ar attiecību , nevienlīdzība ir patiesa. tas ir, augstāka vērtība arguments atbilst lielākai funkcijas vērtībai, un tā grafiks iet “no apakšas uz augšu”. Demonstrācijas funkcija laika gaitā palielinās

Tāpat arī funkcija samazinās par intervālu, ja jebkuram diviem punktiem noteiktā intervālā tā, ka , Nevienlīdzība ir patiesa. Tas nozīmē, ka lielāka argumenta vērtība atbilst mazākai funkcijas vērtībai, un tās grafiks iet “no augšas uz leju”. Mūsējais ar intervālu samazinās, ar intervālu samazinās .

Ekstrēmi Punktu sauc par funkcijas y=f(x) maksimālo punktu, ja nevienādība ir patiesa visiem x tā tuvumā. Tiek izsaukta funkcijas vērtība maksimālajā punktā funkcijas maksimums un apzīmē .
Punktu sauc par funkcijas y=f(x) minimālo punktu, ja nevienādība ir patiesa visiem x tā tuvumā. Tiek izsaukta funkcijas vērtība minimālajā punktā minimālā funkcija un apzīmē .
Punkta apkārtne tiek saprasta kā intervāls , kur ir pietiekami mazs pozitīvs skaitlis.
Minimālos un maksimālos punktus sauc par ekstrēma punktiem, bet funkciju vērtības, kas atbilst galējiem punktiem, sauc par funkcijas galējība.

Lai izpētītu funkciju uz vienmuļību, izmantojiet šādu shēmu:
- Atrodiet funkcijas definīcijas domēnu;
- Atrast funkcijas atvasinājumu un atvasinājuma definīcijas apgabalu;
- Atrodiet atvasinājuma nulles, t.i. argumenta vērtība, pie kuras atvasinājums ir vienāds ar nulli;
- Atzīmējiet uz skaitļu stariem kopējā daļa funkcijas definīcijas apgabals un tās atvasinājuma definīcijas domēns, un uz tā - atvasinājuma nulles;
- Noteikt atvasinājuma zīmes katrā no iegūtajiem intervāliem;
- Izmantojot atvasinājuma zīmes, noteikt, uz kādiem intervāliem funkcija palielinās un uz kuriem samazinās;
- Ierakstiet atbilstošos intervālus, atdalot tos ar semikolu.

Pētījuma algoritms nepārtraukta funkcija y = f(x) monotonitātei un galējībām:
1) Atrodiet atvasinājumu f ′(x).
2) Atrodiet funkcijas y = f(x) stacionāros (f ′(x) = 0) un kritiskos (f ′(x) neeksistē) punktus.
3) Atzīmēt stacionāru un kritiskie punkti uz skaitļu līnijas un noteikt atvasinājuma zīmes uz iegūtajiem intervāliem.
4) Izdarīt secinājumus par funkcijas monotonitāti un tās galējībām.

18.Funkciju izliekums. Līkuma punkti. Izliekuma (ieliekuma) funkcijas izpētes algoritms Piemēri.

izliekts uz leju uz X intervāla, ja tā grafiks atrodas ne zemāk par tangensu tai jebkurā X intervāla punktā.

Diferencējamo funkciju sauc izliekts uz augšu uz X intervāla, ja tā grafiks neatrodas augstāk par pieskari tam jebkurā X intervāla punktā.

Punktu formulu sauc grafika lēciena punkts funkcija y=f(x), ja dotajā punktā funkcijas grafikam ir pieskare (tā var būt paralēla Oy asij) un ir tāda formulas punkta apkārtne, kurā pa kreisi un pa labi punkta M funkcijas grafikam ir dažādi izliekuma virzieni.

Izliekuma intervālu atrašana:

Ja funkcijai y=f(x) ir ierobežots otrais atvasinājums intervālā X un ja pastāv nevienādība (), tad funkcijas grafikam ir izliekums, kas vērsts uz leju (augšup) pie X.
Šī teorēma ļauj atrast funkcijas ieliekuma un izliekuma intervālus, jums jāatrisina tikai nevienādības un, attiecīgi, sākotnējās funkcijas definīcijas jomā.

Piemērs: uzzini intervālus, uz kuriem funkcijas grafiks Noskaidro intervālus, uz kuriem funkcijas grafiks ir izliekums, kas vērsts uz augšu, un izliekums, kas vērsts uz leju. ir izliekums, kas vērsts uz augšu, un izliekums, kas vērsts uz leju.
Risinājums:Šīs funkcijas definīcijas domēns ir viss reālo skaitļu kopums.
Atradīsim otro atvasinājumu.

Otrā atvasinājuma definīcijas apgabals sakrīt ar sākotnējās funkcijas definīcijas domēnu, tāpēc, lai noskaidrotu ieliekuma un izliekuma intervālus, pietiek atrisināt un attiecīgi. Līdz ar to funkcija ir izliekta uz leju intervāla formulā un izliekta uz augšu intervāla formulā.

19) Funkcijas asimptotes. Piemēri.

Taisni sauc vertikālā asimptote funkcijas grafiks, ja vismaz viens no robežvērtības vai vienāds ar vai .

komentēt. Taisna nevar būt vertikāla asimptote, ja funkcija punktā ir nepārtraukta. Tāpēc funkcijas pārtraukuma punktos jāmeklē vertikālās asimptotes.

Taisni sauc horizontālā asimptote funkcijas grafiks, ja vismaz viena no robežvērtībām vai ir vienāda ar .

komentēt. Funkcijas grafikā var būt tikai labā horizontālā asimptote vai tikai kreisā.

Taisni sauc slīps asimptote funkciju grafiks ja

PIEMĒRS:

Vingrinājums. Atrodiet funkcijas grafika asimptotus

Risinājums. Funkciju darbības joma:

a) vertikālās asimptotes: taisna līnija - vertikāla asimptote, kopš

b) horizontālās asimptotes: mēs atrodam funkcijas robežu bezgalībā:

tas ir, nav horizontālu asimptotu.

c) slīpi asimptoti:

Tādējādi slīpais asimptots ir: .

Atbilde. Vertikālā asimptote ir taisna.

Slīpa asimptote ir taisna.

20) Vispārējā shēma funkcijas izpēte un grafika uzzīmēšana. Piemērs.

a.
Atrodiet funkcijas ODZ un pārtraukuma punktus.

b. Atrodiet funkcijas grafika krustošanās punktus ar koordinātu asīm.

2. Veikt funkcijas izpēti, izmantojot pirmo atvasinājumu, tas ir, atrast funkcijas galējos punktus un pieauguma un samazināšanās intervālus.

3. Izpētīt funkciju, izmantojot otrās kārtas atvasinājumu, tas ir, atrast funkcijas grafa lēciena punktus un tās izliekuma un ieliekuma intervālus.

4. Atrodiet funkcijas grafika asimptotus: a) vertikāli, b) slīpi.

5. Pamatojoties uz pētījumu, konstruējiet funkcijas grafiku.

Ņemiet vērā, ka pirms grafika izveidošanas ir lietderīgi noteikt, vai šī funkcija pāra vai nepāra.

Atcerieties, ka funkcija tiek izsaukta pat tad, ja argumenta zīmes maiņa nemaina funkcijas vērtību: f(-x) = f(x) un funkciju sauc par nepāra, ja f(-x) = -f(x).

Šajā gadījumā ir pietiekami izpētīt funkciju un izveidot tās grafiku ODZ piederošā argumenta pozitīvajām vērtībām. Argumenta negatīvajām vērtībām grafiks tiek aizpildīts, pamatojoties uz to vienmērīga funkcija tas ir simetrisks pret asi Oy, un nepāra attiecībā pret izcelsmi.

Piemēri. Izpētiet funkcijas un veidojiet to grafikus.

Funkciju domēns D(y)= (–∞; +∞). Lūzuma punktu nav.

Krustojums ar asi Vērsis: x = 0,y= 0.

Funkcija ir nepāra, tāpēc to var pētīt tikai intervālā )