Pieņemsim, ka mums jāatrod līnijas tilpums trīsstūrveida prizma, kuras pamatlaukums ir vienāds ar S un augstums ir vienāds ar h= AA’ = BB’ = CC’ (306. att.).

Atsevišķi uzzīmēsim prizmas pamatni, t.i., trijstūri ABC (307. att., a), un uzbūvēsim līdz taisnstūrim, kuram caur virsotni B novelkam taisni KM || AC un no punktiem A un C nolaižam perpendikulus AF un CE uz šo taisni. Mēs iegūstam taisnstūri ACEF. Uzzīmējot trijstūra ABC augstumu ВD, redzam, ka taisnstūris ACEF ir sadalīts 4 taisnleņķa trīsstūros. Turklāt \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD un \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Tas nozīmē, ka taisnstūra ACEF laukums tiek dubultots vairāk platības trīsstūris ABC, t.i., vienāds ar 2S.

Šai prizmai ar pamatni ABC piestiprināsim prizmas ar pamatnēm ALL un BAF un augstumu h(307. att., b). Mēs iegūstam taisnstūrveida paralēlskaldni ar ACEF pamatni.

Ja šo paralēlskaldni sadalīsim ar plakni, kas iet caur taisnēm BD un BB’, redzēsim, ka taisnstūrveida paralēlskaldnis sastāv no 4 prizmām ar pamatnēm BCD, ALL, BAD un BAF.

Prizmas ar pamatiem BCD un BC var kombinēt, jo to pamatnes ir vienādas (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) un arī to sānu malas, kas ir perpendikulāras vienai plaknei, ir vienādas. Tas nozīmē, ka šo prizmu tilpumi ir vienādi. Arī prizmu ar pamatnēm BAD un BAF tilpumi ir vienādi.

Tādējādi izrādās, ka dotās trīsstūrveida prizmas tilpums ar pamatni ABC ir puse no tilpuma taisnstūra paralēlskaldnis ar ACEF bāzi.

Mēs zinām, ka taisnstūra paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar tā pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu, t.i. šajā gadījumā vienāds ar 2S h. Tādējādi šīs taisnleņķa trīsstūrveida prizmas tilpums ir vienāds ar S h.

Taisnās trīsstūrveida prizmas tilpums ir vienāds ar tās pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu.

2. Taisnas daudzstūra prizmas tilpums.

Lai atrastu taisnas daudzstūra prizmas tilpumu, piemēram, piecstūra prizmu ar pamatlaukumu S un augstumu h, sadalīsim to trīsstūrveida prizmās (308. att.).

Apzīmējot trīsstūrveida prizmu pamatlaukumus ar S 1, S 2 un S 3 un dotās daudzstūra prizmas tilpumu ar V, iegūstam:

V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, vai

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

Un visbeidzot: V = S h.

Tādā pašā veidā tiek iegūta taisnās prizmas tilpuma formula ar jebkuru daudzstūri tās pamatnē.

nozīmē, Jebkuras taisnās prizmas tilpums ir vienāds ar tās pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu.

Prizmas tilpums

Teorēma. Prizmas tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu.

Vispirms mēs pierādām šo teorēmu trīsstūrveida prizmai un pēc tam daudzstūra prizmai.

1) Novelkam (95. att.) caur trijstūra prizmas ABCA 1 B 1 C 1 malu AA 1 plakni, kas ir paralēla virsmai BB 1 C 1 C, un caur malu CC 1 plakni, kas ir paralēla virsmai AA 1 B 1 B ; tad turpināsim abu prizmas pamatu plaknes, līdz tās krustojas ar uzzīmētajām plaknēm.

Tad iegūstam paralēlskaldni BD 1, kuru ar diagonālo plakni AA 1 C 1 C sadala divās trīsstūrveida prizmās (viena no kurām ir šī). Pierādīsim, ka šīs prizmas ir vienāda izmēra. Lai to izdarītu, mēs uzzīmējam perpendikulāru griezumu abcd. Šķērsgriezumā tiks izveidots paralelograms, kura diagonāle ac dalās ar divi vienāds trīsstūris. Šīs prizmas izmērs ir vienāds ar taisnu prizmu, kuras pamatne ir \(\Delta\) abc, un augstums ir mala AA 1. Citas trīsstūrveida prizmas laukums ir vienāds ar taisni, kuras pamatne ir \(\Delta\) adc, un augstums ir mala AA 1. Bet divas taisnas prizmas ar vienādi un vienādi augstumi ir vienādi (jo ligzdoti tie ir apvienoti), kas nozīmē, ka prizmas ABCA 1 B 1 C 1 un ADCA 1 D 1 C 1 ir vienāda izmēra. No tā izriet, ka šīs prizmas tilpums ir puse no paralēlskaldņa tilpuma BD 1; tāpēc, apzīmējot prizmas augstumu ar H, mēs iegūstam:

$$ V_(\Delta ex.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Caur daudzstūra prizmas malu AA 1 zīmēsim diagonālās plaknes AA 1 C 1 C un AA 1 D 1 D (96. att.).

Tad šī prizma tiks sagriezta vairākās trīsstūrveida prizmās. Šo prizmu tilpumu summa veido vajadzīgo tilpumu. Ja to pamatu laukumus apzīmējam ar b 1 , b 2 , b 3 un kopējo augstumu caur H, mēs iegūstam:

daudzstūra prizmas tilpums = b 1H+ b 2H+ b 3 H =( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (apgabals ABCDE) H.

Sekas. Ja V, B un H ir skaitļi, kas attiecīgajās vienībās izsaka prizmas tilpumu, pamatnes laukumu un augstumu, tad saskaņā ar pierādīto var rakstīt:

Citi materiāli

Fizikā spektra pētīšanai bieži izmanto trīsstūrveida prizmu, kas izgatavota no stikla balta gaisma, jo tas spēj to sadalīt atsevišķos komponentos. Šajā rakstā mēs apsvērsim apjoma formulu

Kas ir trīsstūrveida prizma?

Pirms apjoma formulas došanas apsvērsim šī skaitļa īpašības.

Lai to iegūtu, jums ir jāņem jebkuras formas trīsstūris un jāpārvieto paralēli sev līdz zināmam attālumam. Trijstūra virsotnes sākuma un beigu pozīcijās jāsavieno ar taisniem segmentiem. Iegūto tilpuma skaitli sauc par trīsstūrveida prizmu. Tas sastāv no piecām pusēm. Divas no tām sauc par bāzēm: tās ir paralēlas un vienādas viena ar otru. Attiecīgās prizmas pamatnes ir trīsstūri. Trīs atlikušās malas ir paralelogrami.

Papildus malām aplūkojamo prizmu raksturo sešas virsotnes (trīs katrai pamatnei) un deviņas malas (6 malas atrodas pamatu plaknēs un 3 malas veido malu krustojums). Ja sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm, tad šādu prizmu sauc par taisnstūrveida.

Atšķirība starp trīsstūrveida prizmu un visām pārējām šīs klases figūrām ir tāda, ka tā vienmēr ir izliekta (četru, piecu, ..., n-stūra prizmu var būt arī ieliektas).

Tā ir taisnstūra figūra ar vienādmalu trīsstūri tās pamatnē.

Vispārējas trīsstūra prizmas tilpums

Kā atrast trīsstūrveida prizmas tilpumu? Formula iekšā vispārējs skats līdzīgi kā jebkura veida prizmām. Tam ir šāds matemātiskais apzīmējums:

Šeit h ir figūras augstums, tas ir, attālums starp tās pamatiem, S o ir trijstūra laukums.

S o vērtību var atrast, ja ir zināmi daži trīsstūra parametri, piemēram, viena mala un divi leņķi vai divas malas un viens leņķis. Trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no tā augstuma un tās malas garuma reizinājuma, par kuru šis augstums ir pazemināts.

Kas attiecas uz figūras augstumu h, tad visvieglāk to atrast taisnstūra prizmai. Pēdējā gadījumā h sakrīt ar sānu malas garumu.

Regulāras trīsstūra prizmas tilpums

Trijstūra prizmas tilpuma vispārīgā formula, kas norādīta iepriekšējā sadaļa rakstu var izmantot, lai aprēķinātu atbilstošo vērtību regulārai trīsstūrveida prizmai. Tā kā tā pamatne ir vienādmalu trīsstūris, tā laukums ir vienāds ar:

Ikviens var iegūt šo formulu, ja atceras, ka vienādmalu trijstūrī visi leņķi ir vienādi viens ar otru un ir 60 o. Šeit simbols a ir trijstūra malas garums.

Augstums h ir malas garums. Tam nav nekāda sakara ar pamatu pareiza prizma un var pieņemt patvaļīgas vērtības. Rezultātā trīsstūrveida prizmas tilpuma formula ir pareizais veids izskatās šādi:

Pēc saknes aprēķināšanas jūs varat pārrakstīt šo formulu šādi:

Tādējādi, lai atrastu regulāras prizmas tilpumu ar trīsstūrveida pamatni, ir nepieciešams pamatnes malu kvadrātā, reizināt šo vērtību ar augstumu un iegūto vērtību reizināt ar 0,433.

Darba veids: 8
Tēma: Prizma

Stāvoklis

Parastā trīsstūrveida prizmā ABCA_1B_1C_1 pamatnes malas ir 4, bet sānu malas ir 10. Atrodiet prizmas šķērsgriezuma laukumu pēc plaknes, kas iet cauri malu AB, AC, A_1B_1 un A_1C_1 viduspunktiem.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Apsveriet šādu attēlu.

Tāpēc segments MN ir trijstūra A_1B_1C_1 viduslīnija MN = \frac12 B_1C_1=2. Tāpat KL=\frac12BC=2. Turklāt MK = NL = 10. No tā izriet, ka četrstūris MNLK ir paralelograms. Tā kā MK\paralēlais AA_1, tad MK\perp ABC un MK\perp KL. Tāpēc četrstūris MNLK ir taisnstūris. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.

Atbilde

Darba veids: 8
Tēma: Prizma

Stāvoklis

Parastās četrstūra prizmas ABCDA_1B_1C_1D_1 tilpums ir 24 . Punkts K ir malas CC_1 vidusdaļa. Atrodiet piramīdas KBCD tilpumu.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Saskaņā ar nosacījumu KC ir piramīdas KBCD augstums. CC_1 ir prizmas ABCDA_1B_1C_1D_1 augstums.

Tā kā K ir CC_1 viduspunkts, tad KC=\frac12CC_1.Ļaujiet CC_1=H , tad KC=\frac12H. Ņemiet vērā arī to S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). Tad V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Tāpēc V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Atbilde

Avots: “Matemātika. Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam 2017. Profila līmenis." Ed. F. F. Lisenko, S. Kulabukhova.

Darba veids: 8
Tēma: Prizma

Stāvoklis

Atrodiet regulāras sešstūra prizmas sānu virsmas laukumu, kuras pamatnes mala ir 6 un augstums ir 8.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Prizmas sānu virsmas laukums tiek atrasts, izmantojot formulu S puse. = P pamata · h = 6a\cdot h, kur P pamata. un h ir attiecīgi pamatnes perimetrs un prizmas augstums, kas vienāds ar 8, un a ir regulāra sešstūra mala, kas vienāda ar 6. Tāpēc S puse. = 6\cpunkts 6\cpunkts 8 = 288.

Atbilde

Avots: “Matemātika. Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam 2017. Profila līmenis." Ed. F. F. Lisenko, S. Kulabukhova.

Darba veids: 8
Tēma: Prizma

Stāvoklis

Ūdens tika ielejams traukā, kas veidots kā regulāra trīsstūrveida prizma. Ūdens līmenis sasniedz 40 cm Kādā augstumā būs ūdens līmenis, ja tas tiks ieliets citā tādas pašas formas traukā, kura pamatnes mala ir divreiz lielāka par pirmo? Izsakiet savu atbildi centimetros.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Lai a ir pirmā trauka pamatnes sānu mala, tad 2 a ir otrā trauka pamatnes sānu mala. Pēc nosacījuma šķidruma V tilpums pirmajā un otrajā traukā ir vienāds. Ar H apzīmēsim līmeni, līdz kuram šķidrums ir pacēlies otrajā traukā. Tad V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, Un, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. No šejienes \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40 = 4H, H=10.

Atbilde

Avots: “Matemātika. Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam 2017. Profila līmenis." Ed. F. F. Lisenko, S. Kulabukhova.

Darba veids: 8
Tēma: Prizma

Stāvoklis

Parastā sešstūra prizmā ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 visas malas ir vienādas ar 2. Atrodiet attālumu starp punktiem A un E_1.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Trijstūris AEE_1 ir taisnstūrveida, jo mala EE_1 ir perpendikulāra prizmas pamatnes plaknei, leņķis AEE_1 būs taisnleņķis.

Pēc tam, izmantojot Pitagora teorēmu, AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Atradīsim AE no trijstūra AFE, izmantojot kosinusa teorēmu. Katrs regulāra sešstūra iekšējais leņķis ir 120^(\circ). Tad AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\left (-\frac12 \right).

Tādējādi AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Atbilde

Avots: “Matemātika. Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam 2017. Profila līmenis." Ed. F. F. Lisenko, S. Kulabukhova.

Darba veids: 8
Tēma: Prizma

Stāvoklis

Atrodiet taisnas prizmas sānu virsmas laukumu, kuras pamatnē atrodas rombs ar diagonālēm, kas vienādas ar 4\sqrt5 un 8, un sānu mala ir vienāda ar 5.

Rādīt risinājumu

Risinājums

Taisnas prizmas sānu virsmas laukumu nosaka pēc formulas S puse. = P pamata · h = 4a\cdot h, kur P pamata. un h, attiecīgi, pamatnes perimetrs un prizmas augstums, kas vienāds ar 5, un a ir romba mala. Atradīsim romba malu, izmantojot faktu, ka romba ABCD diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras un dalītas ar krustpunktu.

Definīcija.

Šis ir sešstūris, kura pamatnes ir divi vienādi kvadrāti, bet sānu malas ir vienādi taisnstūri

Sānu riba- ir divu blakus esošo sānu virsmu kopējā puse

Prizmas augstums- tas ir segments, kas ir perpendikulārs prizmas pamatnēm

Prizmas diagonāle- segments, kas savieno divas pamatu virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai

Diagonālā plakne- plakne, kas iet caur prizmas diagonāli un tās sānu malām

Diagonālā sadaļa- prizmas un diagonālās plaknes krustpunkta robežas. Regulāras četrstūra prizmas diagonālais šķērsgriezums ir taisnstūris

Perpendikulārs griezums (ortogonāls griezums)- tas ir prizmas un plaknes krustpunkts, kas novilkts perpendikulāri tās sānu malām

Regulāras četrstūra prizmas elementi

Attēlā parādītas divas regulāras četrstūra prizmas, kuras apzīmē ar atbilstošiem burtiem:

• Bāzes ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 ir vienādas un paralēlas viena otrai
• Sānu malas AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C un CC 1 D 1 D, no kurām katra ir taisnstūris
• Sānu virsma- visu prizmas sānu virsmu laukumu summa
• Kopējā virsma - visu pamatņu un sānu virsmu laukumu summa (sānu virsmas un pamatņu laukumu summa)
• Sānu ribas AA 1, BB 1, CC 1 un DD 1.
• Diagonāle B 1 D
• Pamatnes diagonāle BD
• Diagonālais griezums BB 1 D 1 D
• Perpendikulārs griezums A 2 B 2 C 2 D 2.

Regulāras četrstūra prizmas īpašības

• Pamati ir divi vienādi kvadrāti
• Pamatnes ir paralēlas viena otrai
• Sānu malas ir taisnstūri
• Sānu malas ir vienādas viena ar otru
• Sānu virsmas ir perpendikulāras pamatnēm
• Sānu ribas ir paralēlas viena otrai un vienādas
• Perpendikulārs griezums perpendikulārs visām sānu ribām un paralēls pamatnēm
• Perpendikulāra griezuma leņķi - taisni
• Regulāras četrstūra prizmas diagonālais šķērsgriezums ir taisnstūris
• Perpendikulārs (ortogonāls griezums) paralēli pamatiem

Formulas regulārai četrstūra prizmai

Instrukcijas problēmu risināšanai

Risinot problēmas par tēmu " regulāra četrstūra prizma" nozīmē to:

Pareiza prizma- prizma, kuras pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, un sānu malas ir perpendikulāras pamatnes plaknēm. Tas ir, regulāra četrstūra prizma atrodas savā pamatnē kvadrāts. (skatīt parastās četrstūra prizmas īpašības iepriekš) Piezīme. Šī ir daļa no nodarbības ar ģeometrijas problēmām (sekciju stereometrija - prizma). Šeit ir problēmas, kuras ir grūti atrisināt. Ja jums ir jāatrisina ģeometrijas problēma, kuras šeit nav, rakstiet par to forumā. Lai norādītu izguves darbību kvadrātsakne simbols tiek izmantots problēmu risināšanā√ .

Uzdevums.

Parastā četrstūra prizmā pamatnes laukums ir 144 cm 2 un augstums ir 14 cm. Atrodiet prizmas diagonāli un kopējo virsmas laukumu.

Risinājums.
Regulārs četrstūris ir kvadrāts.
Attiecīgi pamatnes puse būs vienāda

√144 = 12 cm.
No kurienes regulāras taisnstūra prizmas pamatnes diagonāle būs vienāda ar
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Regulāras prizmas diagonāle veidojas ar pamatnes diagonāli un prizmas augstumu taisnleņķa trīsstūris. Attiecīgi saskaņā ar Pitagora teorēmu noteiktas regulāras četrstūra prizmas diagonāle būs vienāda ar:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Atbilde: 22 cm

Uzdevums

Nosakiet regulāras četrstūra prizmas kopējo virsmu, ja tās diagonāle ir 5 cm un sānu skaldnes diagonāle ir 4 cm.

Risinājums.
Tā kā regulāras četrstūra prizmas pamatne ir kvadrāts, mēs atrodam pamatnes malu (apzīmēta kā a), izmantojot Pitagora teorēmu:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Tad sānu virsmas augstums (apzīmēts ar h) būs vienāds ar:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Kopējais virsmas laukums būs vienāds ar sānu virsmas laukuma summu un divkāršu pamatplatību

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Atbilde: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Dažādas prizmas atšķiras viena no otras. Tajā pašā laikā viņiem ir daudz kopīga. Lai atrastu prizmas pamatnes laukumu, jums būs jāsaprot, kāda veida tai ir.

Vispārējā teorija

Prizma ir jebkurš daudzskaldnis, kura malām ir paralelograma forma. Turklāt tā pamatne var būt jebkurš daudzskaldnis - no trijstūra līdz n-stūrim. Turklāt prizmas pamatnes vienmēr ir vienādas viena ar otru. Tas, kas neattiecas uz sānu virsmām, ir tas, ka to izmērs var ievērojami atšķirties.

Risinot problēmas, saskaras ne tikai ar prizmas pamatnes laukumu. Tas var prasīt zināšanas par sānu virsmu, tas ir, visas sejas, kas nav pamatnes. Pilna virsma jau būs visu prizmu veidojošo seju savienība.

Dažreiz problēmas ir saistītas ar augstumu. Tas ir perpendikulārs pamatnēm. Daudzskaldņa diagonāle ir segments, kas savieno pa pāriem jebkuras divas virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai sejai.

Jāņem vērā, ka taisnas vai slīpas prizmas pamatnes laukums nav atkarīgs no leņķa starp tām un sānu virsmām. Ja tiem ir vienādi skaitļi augšējā un apakšējā virsmā, tad to laukumi būs vienādi.

Trīsstūrveida prizma

Tā pamatnē ir figūra ar trim virsotnēm, tas ir, trīsstūris. Kā jūs zināt, tas var būt atšķirīgs. Ja tā, tad pietiek atcerēties, ka tā laukumu nosaka puse no kāju produkta.

Matemātiskais apzīmējums izskatās šādi: S = ½ av.

Lai uzzinātu pamatnes laukumu kopumā, ir noderīgas formulas: Gārnis un tā, kurā pusi no malas ņem tai pievilktais augstums.

Pirmā formula jāraksta šādi: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Šis apzīmējums satur pusperimetru (p), tas ir, trīs malu summu, kas dalīta ar divi.

Otrkārt: S = ½ n a * a.

Ja vēlaties noskaidrot trīsstūrveida prizmas pamatnes laukumu, kas ir regulārs, tad trīsstūris izrādās vienādmalu. Tam ir formula: S = ¼ a 2 * √3.

Četrstūra prizma

Tās pamats ir jebkurš no zināmajiem četrstūriem. Tas var būt taisnstūris vai kvadrāts, paralēlskaldnis vai rombs. Katrā gadījumā, lai aprēķinātu prizmas pamatnes laukumu, jums būs nepieciešama sava formula.

Ja pamatne ir taisnstūris, tad tā laukumu nosaka šādi: S = ab, kur a, b ir taisnstūra malas.

Kad mēs runājam par apmēram četrstūra prizmu, tad parastās prizmas pamatnes laukumu aprēķina, izmantojot kvadrāta formulu. Jo viņš ir tas, kurš guļ pie pamatiem. S = a 2.

Gadījumā, ja bāze ir paralēlskaldnis, būs nepieciešama šāda vienādība: S = a * n a. Gadās, ka ir dota paralēlskaldņa mala un viens no leņķiem. Pēc tam, lai aprēķinātu augstumu, kas jums būs jāizmanto papildu formula: na = b * sin A. Turklāt leņķis A ir blakus malai “b”, un augstums na ir pretējs šim leņķim.

Ja prizmas pamatnē ir rombs, tad tā laukuma noteikšanai būs nepieciešama tāda pati formula kā paralelogramam (jo tas ir īpašs gadījums). Bet jūs varat arī izmantot šo: S = ½ d 1 d 2. Šeit d 1 un d 2 ir divas romba diagonāles.

Regulāra piecstūra prizma

Šajā gadījumā daudzstūris tiek sadalīts trīsstūros, kuru apgabalus ir vieglāk noskaidrot. Lai gan gadās, ka figūrām var būt atšķirīgs virsotņu skaits.

Tā kā prizmas pamatne ir regulārs piecstūris, tad to var sadalīt piecos vienādmalu trīsstūros. Tad prizmas pamatnes laukums ir vienāds ar viena šāda trīsstūra laukumu (formulu var redzēt iepriekš), reizinot ar pieci.

Regulāra sešstūra prizma

Saskaņā ar principu, kas aprakstīts piecstūra prizmai, ir iespējams sadalīt pamatnes sešstūri 6 vienādmalu trīsstūros. Šādas prizmas pamatlaukuma formula ir līdzīga iepriekšējai. Tikai to vajadzētu reizināt ar sešiem.

Formula izskatīsies šādi: S = 3/2 a 2 * √3.

Uzdevumi

Nr. 1. Dota regulāra taisne, tās diagonāle ir 22 cm, daudzskaldņa augstums ir 14 cm. Aprēķiniet prizmas pamatnes laukumu un visu virsmu.

Risinājums. Prizmas pamatne ir kvadrāts, bet tās mala nav zināma. Tās vērtību var atrast no kvadrāta diagonāles (x), kas ir saistīta ar prizmas diagonāli (d) un tās augstumu (h). x 2 = d 2 - n 2. No otras puses, šis segments “x” ir hipotenūza trijstūrī, kura kājas ir vienādas ar kvadrāta malu. Tas ir, x 2 = a 2 + a 2. Tādējādi iznāk, ka a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Nomainiet skaitli 22, nevis d, un aizstājiet “n” ar tā vērtību - 14, izrādās, ka kvadrāta mala ir 12 cm Tagad vienkārši noskaidrojiet pamatnes laukumu: 12 * 12 = 144 cm 2.

Lai uzzinātu visas virsmas laukumu, jums jāpievieno divreiz lielāks pamatlaukums un četrkāršots sānu laukums. Pēdējo var viegli atrast, izmantojot taisnstūra formulu: reiziniet daudzskaldņa augstumu un pamatnes malu. Tas ir, 14 un 12, šis skaitlis būs vienāds ar 168 cm 2. Prizmas kopējais virsmas laukums izrādās 960 cm2.

Atbilde. Prizmas pamatnes laukums ir 144 cm2. Visa virsma ir 960 cm2.

Nr. 2. Dots Pie pamatnes ir trīsstūris ar malu 6 cm Šajā gadījumā sānu skaldnes diagonāle ir 10 cm. Aprēķiniet laukumus: pamatne un sānu virsma.

Risinājums. Tā kā prizma ir regulāra, tās pamatne ir vienādmalu trīsstūris. Tāpēc tā laukums izrādās vienāds ar 6 kvadrātu, kas reizināts ar ¼ un kvadrātsakni no 3. Vienkāršs aprēķins noved pie rezultāta: 9√3 cm 2. Tas ir prizmas vienas pamatnes laukums.

Visas sānu malas ir vienādas un ir taisnstūri ar malām 6 un 10 cm. Lai aprēķinātu to laukumus, vienkārši reiziniet šos skaitļus. Pēc tam reiziniet tos ar trīs, jo prizmai ir tieši tik daudz sānu skaldņu. Tad brūces sānu virsmas laukums izrādās 180 cm2.

Atbilde. Laukumi: pamatne - 9√3 cm 2, prizmas sānu virsma - 180 cm 2.