Risinot uzdevumus ģeometrijā no vienotā valsts eksāmena un vienotā valsts eksāmena matemātikā, diezgan bieži rodas nepieciešamība, zinot abas trijstūra malas un leņķi starp tām, atrast trešo malu. Vai arī, zinot visas trīsstūra malas, atrodiet tā leņķus. Lai atrisinātu šīs problēmas, jums būs nepieciešama trīsstūra kosinusa teorēmas vērtība. Šajā rakstā matemātikas un fizikas pasniedzējs stāsta par to, kā šī teorēma tiek formulēta, pierādīta un pielietota praksē, risinot uzdevumus.
Trijstūra kosinusa teorēmas formulēšana
Trijstūra kosinusa teorēma saista abas trijstūra malas un leņķi starp tām ar malu, kas ir pretēja šim leņķim. Piemēram, apzīmēsim ar burtiem , un trijstūra malu garumus ABC, kas atrodas attiecīgi pretī leņķiem A, B Un C.
Tad šī trīsstūra kosinusa teorēmu var uzrakstīt šādi:
Attēlā turpmākās diskusijas ērtībai leņķis AR norādīts ar leņķi. Vārdos to var formulēt šādi: “Trijstūra jebkuras malas kvadrāts vienāds ar summu pārējo divu malu kvadrāti mīnus divreiz šo malu reizinājums ar leņķa kosinusu starp tām.
Ir skaidrs, ka, ja jūs izteiktu trijstūra otru malu, piemēram, malu, tad formulā jums būtu jāņem leņķa kosinuss A, tas ir, atrodas pretī vēlamajai malai trijstūrī, un labajā vienādojumā malas un būtu savās vietās. Sānu kvadrāta izteiksmi iegūst līdzīgi:
Trijstūra kosinusa teorēmas pierādījums
Trijstūra kosinusa teorēmas pierādīšana parasti tiek veikta šādi. Viņi sadala sākotnējo trīsstūri divos taisnleņķa trīsstūros ar augstumu un pēc tam spēlē ar iegūto trīsstūru malām un Pitagora teorēmu. Rezultātā pēc ilgām nogurdinošām pārvērtībām man sanāk vēlamo rezultātu. Man personīgi šī pieeja nepatīk. Un ne tikai apgrūtinošo aprēķinu dēļ, bet arī tāpēc, ka šajā gadījumā atsevišķi ir jāskata gadījums, kad trīsstūris ir neass. Ir pārāk daudz grūtību.
Es ierosinu pierādīt šo teorēmu, izmantojot jēdzienu “vektoru skalārais reizinājums”. Es apzināti uzņemos šo risku, zinot, ka daudzi skolēni labprātāk izvairās no šīs tēmas, uzskatot, ka tas ir kaut kā neskaidrs un labāk ar to nenodarboties. Bet nevēlēšanās atsevišķi lāpīt ar neaso trīsstūri mani joprojām pārņem. Turklāt iegūtais pierādījums ir pārsteidzoši vienkāršs un neaizmirstams. Tagad jūs to redzēsit.
Aizstāsim mūsu trīsstūra malas ar šādiem vektoriem:
Kosinusa teorēmas izmantošana trijstūrim ABC. Malas kvadrāts ir vienāds ar malu kvadrātu summu, no kuras atņemtas šo malu divkāršs reizinājums ar leņķa starp tām kosinusu:
Kopš , rezultāts ir:
Nozīmē,. Ir skaidrs, ka mēs nepieņemam negatīvu risinājumu, jo segmenta garums ir pozitīvs skaitlis.
Nepieciešamais leņķis ir norādīts attēlā. Pārrakstīsim kosinusa teorēmu trīsstūrim ABC. Tā kā mēs esam saglabājuši visu apzīmējumu, formula, kas izsaka kosinusa teorēmu šim trīsstūrim, paliks nemainīga:
Tagad aizvietosim šajā formulā visus norādītos daudzumus. Rezultātā mēs iegūstam šādu izteiksmi:
Pēc visiem aprēķiniem un pārveidojumiem mēs iegūstam šādu vienkāršu izteiksmi:
Kādai jābūt vērtībai akūts leņķis, lai tā kosinuss būtu vienāds ar Apskatām tabulu, kuru var atrast, un saņemam atbildi: .
Šādi tiek atrisinātas ģeometrijas problēmas, izmantojot kosinusa teorēmu trīsstūrim. Ja plānojat kārtot OGE vai vienoto valsts eksāmenu matemātikā, tad jums noteikti ir jāapgūst šis materiāls. Attiecīgās problēmas gandrīz noteikti būs eksāmenā. Mēģiniet tos atrisināt pats. Pabeidziet šādus uzdevumus:
- Trīsstūrī ABC pusē AB vienāds ar 4 cm, sānu B.C. vienāds ar 6 cm, leņķis B vienāds ar 30°. Atrodi pusi A.C..
- Trīsstūrī ABC pusē AB vienāds ar 10, sānu B.C. vienāds ar 8, sānu A.C. ir vienāds ar 9. Atrodiet leņķa kosinusu A.
Rakstiet savas atbildes un risinājumus komentāros. Lai tev veicas!
Materiālu sagatavojis Sergejs Valerijevičs
Formulācija: Trijstūra malas kvadrāts ir vienāds ar tā divu pārējo malu kvadrātu summu, no kuras atņemtas šo malu un starp tām esošā leņķa kosinuss.
Patvaļīgam trīsstūrim ABC un tā malas a,b un c (pretēji atbilstošajām virsotnēm) šo vienādību var uzrakstīt pārējām divām pusēm:
Kosinusa teorēmu izmanto, lai atrisinātu trīsstūrus divās galvenajās situācijās:
1) Ja ir norādītas divas malas un leņķis starp tām, un jums jāatrod pēdējā puse: 
2) Ja ir norādītas visas trīs trijstūra malas un jums jāatrod tā leņķi: 
Dažreiz matemātikas skolotājs iesaka izmantot kosinusa teorēmu uzdevumā ar divām norādītām malām un leņķi, kas neatrodas starp tām. Šajā gadījumā a) jums būs jāizlemj kvadrātvienādojums un izvēlieties īstās malas garumu no iegūtajām saknēm. b) šī situācija nav raksturīga problēmām ar vienoto valsts eksāmenu matemātikā, jo tas ne vienmēr unikāli definē trīsstūri. Ja leņķis neatrodas starp malām, tad ar kompasu un lineālu var izveidot divus dažādus trīsstūrus ar šādiem elementiem.
Kosinusu teorēmu dažreiz sauc par paplašināto Pitagora teorēmu vai Pitagora teorēmas vispārinājumu, jo 90 grādu leņķī iepriekš minētās vienādības iegūst . Tāpat kā jebkurš vispārinājums, tas ir daudz universālāks un efektīvāks nekā konkrēts gadījums un attiecas uz vairāk reālas situācijas(atšķirībā no mākslīgajiem Valsts pārbaudījuma un Vienotā valsts pārbaudījuma matemātikā uzdevumiem, kas paredzēti 8. klases programmai).
Visi man zināmie pierādījumi ietver vektorus un koordinātas. Atanasjana mācību grāmatā tas tiek veikts, izmantojot punktu koordinātas, un Pogorelova mācību grāmatā tiek izmantots jēdziens “vektoru skalārais reizinājums”. Veiksim pierādīšanu saskaņā ar Atanasjanu. Man šķiet, ka tas ir vispiemērotākais darbam ar matemātikas pasniedzēju, jo tam ir mazāka atkarība no blakus tēmām. 
Pierādīsim vienlīdzību pusei A un leņķis A. Lai to izdarītu, mēs ieviešam koordinātu sistēmu, kā parādīts attēlā (Ox ass ir vērsta gar malu AC). Pēc tam punkts B saņems koordinātas B (cCosA;cSinA). Tas ir vienīgais fakts, kas ir grūti vājam vai vidējam studentam, kas matemātikas skolotājam, kas strādā no Atanasjana mācību grāmatas, būtu atsevišķi jāņem vērā. Bieži vien tas ir sarežģīts tāpēc, ka to neatbalsta pietiekams uzdevumu skaits programmā un netiek izmantots pēc kosinusa teorēmas izpētes. Šāda punktu izkārtojuma gadījumā (ja tas ir akūts) matemātikas skolotājam jāatsaucas tikai uz akūtā leņķa kosinusa un sinusa definīciju taisnleņķa trīsstūros ar punktētām malām.
Tālākais pierādījums ir balstīts uz algebriskiem un trigonometriskiem aprēķiniem. Viņiem jāpievieno zināšanas par formulu attālums starp diviem punktiem.
Summas kvadrātam piemērojam saīsināto reizināšanas formulu:
Mēs to ievietojam iekavās: . Mēs izmantojam pamata trigonometriskā identitāte un saņemam
un beigās
Matemātikas skolotājs zinātkāram studentam var parādīt retu kosinusa teorēmas pierādījumu. 
Uzzīmēsim trijstūrī ABC augstumu BH un ierakstīsim AB=AH+HB vai c=bCosA+aCosB. Ja leņķis B ir strups, tad AB = AN-HB un ņemot vērā to, ka blakus esošo leņķu kosinusi ir pretēji, atkal iegūstam vienādību c = bCosA + aCosB. Tāpēc tas nav atkarīgs no trīsstūra veida. Uzrakstīsim līdzīgas formulas a un b:
a=cCosB+bCosC un b=aCosC+cCosA. Reizinot tos attiecīgi ar a un b un no to summas atņemot vienādību c=bCosA+aCosB, iegūstam vienādību
Kosinusu torema ļauj mums izskaidrot paralelograma diagonāļu īpašību, kas ir ļoti noderīga praksē: 
Paralelograma diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar tā malu garumu kvadrātu summu. Lai to pārbaudītu, pietiek pierakstīt kosinusa teorēmu katrai diagonālei un pievienot iegūtās vienādības.
Problēmu piemēri, kurās vienā vai otrā veidā var (vai vajag) izmantot kosinusa teorēmu:
1) Trijstūrī ar malām 2,3 un 4 atrodiet mediānas garumu, kas novilkta uz garāko malu.
2) Tajā pašā trīsstūrī atrodiet bisektrise, kas novilkta uz garāko malu.
3) Trijstūrī ABC segments, kas savieno viduspunktus AB un BC, ir vienāds ar 3 dm, mala AB ir vienāda ar 7 dm, leņķis C ir vienāds ar . Atrodi sauli.
4) Apļa centrs, kas ierakstīts taisnleņķa trīsstūris ABC ar taisnleņķi C atrodas attālumā no virsotnēm A un B. Novietojiet trijstūra kājas.
Pilnīga sagatavošanās vienotajam valsts eksāmenam matemātikā nav iespējama, neatrisinot uzdevumus pēc kosinusa teorēmas. IN Vienotā valsts eksāmena versija to var atrast telpā B4 vai C4. Pamazām interesantos C4 uzdevumus no savas didaktiskās bāzes un no izmēģinājuma eksāmeniem pārlikšu uz lapu. Skolotāji, neaizmirstiet, ka GIA, tāpat kā vienotajā valsts eksāmenā, kosinusa teorēma var parādīties gan varianta pirmajā, gan otrajā daļā.
Kolpakovs Aleksandrs Nikolajevičs,
matemātikas skolotājs Maskavā. Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam
Ja uzdevumā ir norādīti trijstūra divu malu garumi un leņķis starp tām, tad varat pielietot formulu trīsstūra laukumam caur sinusu.
Piemērs trijstūra laukuma aprēķināšanai, izmantojot sinusu. Dotās malas ir a = 3, b = 4 un leņķis γ = 30°. 30° leņķa sinuss ir 0,5 
Trijstūra laukums būs 3 kvadrātmetri. cm.
Var būt arī citi nosacījumi. Ja ir norādīts vienas malas garums un leņķi, tad vispirms jāaprēķina trūkstošais leņķis. Jo trijstūra visu leņķu summa ir 180°, tad:
Laukums būs vienāds ar pusi no malas kvadrāta, kas reizināts ar daļu. Tā skaitītājs ir blakus esošo leņķu sinusu reizinājums, un tā saucējs ir pretējā leņķa sinuss. Tagad mēs aprēķinām laukumu, izmantojot šādas formulas:
Piemēram, dots trīsstūris ar malu a=3 un leņķiem γ=60°, β=60°. Aprēķiniet trešo leņķi: 
Datu aizstāšana formulā
Mēs atklājam, ka trīsstūra laukums ir 3,87 kvadrātmetri. cm.
II. Trīsstūra laukums caur kosinusu
Lai atrastu trīsstūra laukumu, jums jāzina visu malu garumi. Izmantojot kosinusa teorēmu, jūs varat atrast nezināmas puses un tikai pēc tam tās izmantot.
Saskaņā ar kosinusa teorēmu trijstūra nezināmās malas kvadrāts ir vienāds ar atlikušo malu kvadrātu summu, no kuras atņemtas šo malu divkāršs un starp tām esošā leņķa kosinuss.
No teorēmas iegūstam formulas nezināmās malas garuma atrašanai:
Zinot, kā atrast trūkstošo pusi, kam ir divas malas un leņķis starp tām, jūs varat viegli aprēķināt laukumu. Formula trīsstūra laukumam caur kosinusu palīdz ātri un viegli atrast dažādu problēmu risinājumus.
Trijstūra laukuma formulas aprēķināšanas piemērs, izmantojot kosinusu
Dots trīsstūris ar zināmās partijas a = 3, b = 4 un leņķis γ = 45°. Pirmkārt, atradīsim trūkstošo pusi Ar. Kosinuss 45°=0,7. Lai to izdarītu, mēs aizstājam datus vienādojumā, kas iegūts no kosinusa teorēmas.
Tagad, izmantojot formulu, mēs atrodam
Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.
Personiskās informācijas vākšana un izmantošana
Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.
Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.
Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.
Kādu personas informāciju mēs apkopojam:
- Kad jūs iesniedzat pieprasījumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi e-pasts utt.
Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:
- Mūsu savāktie personas informācijaļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem pasākumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
- Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
- Mēs varam arī izmantot personas informāciju iekšējiem mērķiem, piemēram, auditam, datu analīzei un dažādi pētījumi lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
- Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.
Informācijas izpaušana trešajām personām
Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.
Izņēmumi:
- Ja nepieciešams - likumā noteiktajā kārtībā, tiesvedībā, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai lūgumiem no plkst. valsts aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
- Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.
Personiskās informācijas aizsardzība
Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.
Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī
Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.
Trigonometriju plaši izmanto ne tikai algebras sadaļā - analīzes sākumā, bet arī ģeometrijā. Šajā sakarā ir saprātīgi pieņemt ar trigonometriskām funkcijām saistīto teorēmu un to pierādījumu esamību. Patiešām, kosinusu un sinusu teorēmas rada ļoti interesantas un, pats galvenais, noderīgas attiecības starp trijstūra malām un leņķiem.
Izmantojot šo formulu, jūs varat iegūt jebkuru no trijstūra malām:
Apgalvojuma pierādījums ir iegūts, pamatojoties uz Pitagora teorēmu: hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu.
Apsveriet patvaļīgu trīsstūri ABC. No virsotnes C nolaižam augstumu h līdz figūras pamatnei, plkst šajā gadījumā Tās garums absolūti nav svarīgs. Tagad, ja mēs uzskatām patvaļīgu trīsstūri ACB, tad mēs varam izteikt C punkta koordinātas trigonometriski cos funkcijas un grēks.
Atcerēsimies kosinusa definīciju un pierakstīsim trijstūra ACD malu attiecību: cos α = AD/AC | reiziniet abas vienādības puses ar maiņstrāvu; AD = AC * cos α.
Mēs ņemam garumu AC kā b un iegūstam izteiksmi punkta C pirmajai koordinātei:
x = b * cosα. Līdzīgi atrodam ordinātu C vērtību: y = b * sin α. Tālāk mēs izmantojam Pitagora teorēmu un pārmaiņus izsakām h trīsstūrim ACD un DCB:
Ir skaidrs, ka abas izteiksmes (1) un (2) ir vienādas viena ar otru. Pielīdzināsim labās puses un parādīsim līdzīgas:
Praksē šī formula ļauj atrast trijstūra nezināmās malas garumu noteiktos leņķos. Kosinusa teorēmai ir trīs sekas: tiešai, akūtai un strups leņķis trīsstūris.
Aizstāsim cos α vērtību ar parasto mainīgo x, tad trijstūra ABC asajam leņķim iegūstam:
Ja leņķis izrādīsies pareizs, tad no izteiksmes pazudīs 2bx, jo cos 90° = 0. Grafiski otro konsekvenci var attēlot šādi:
Strupā leņķa gadījumā zīme “-” pirms dubultā argumenta formulā mainīsies uz “+”:
Kā redzams no skaidrojuma, attiecībās nav nekā sarežģīta. Kosinusa teorēma ir nekas vairāk kā Pitagora teorēmas tulkojums trigonometriskos daudzumos.
Teorēmas praktiskais pielietojums
1. uzdevums. Dots trīsstūris ABC, kura mala BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm un cos α = ½. Jums jāatrod malas AB garums.
Lai pareizi veiktu aprēķinu, jums jānosaka leņķis α. Lai to izdarītu, skatiet vērtību tabulu trigonometriskās funkcijas, saskaņā ar kuru loka kosinuss ir vienāds ar 1/2 60° leņķim. Pamatojoties uz to, mēs izmantojam teorēmas pirmā secinājuma formulu:
2. uzdevums. Trijstūrim ABC ir zināmas visas malas: AB =4√2,BC=5,AC=7. Jums jāatrod visi figūras leņķi.
Šajā gadījumā jūs nevarat iztikt bez problēmas apstākļu zīmējuma.
Tā kā leņķa vērtības joprojām nav zināmas, jums vajadzētu izmantot pilna formula akūtam leņķim.
Pēc analoģijas nav grūti izveidot formulas un aprēķināt citu leņķu vērtības:
Trīsstūra trīs leņķu summai jābūt 180°: 53 + 82 + 45 = 180, tāpēc risinājums ir atrasts.
Sinusu teorēma
Teorēma nosaka, ka patvaļīga trīsstūra visas malas ir proporcionālas pretējo leņķu sinusiem. Attiecības tiek uzrakstītas trīskāršās vienlīdzības formā:
Klasiskais apgalvojuma pierādījums tiek veikts, izmantojot aplī ierakstītas figūras piemēru.
Lai pārbaudītu apgalvojuma patiesumu, izmantojot trijstūra ABC piemēru attēlā, ir jāapstiprina fakts, ka 2R = BC / sin A. Pēc tam jāpierāda, ka pārējās malas ir saistītas ar pretēju leņķu sinusiem, piemēram, 2R vai D no apļa.
Lai to izdarītu, uzzīmējiet apļa diametru no virsotnes B. No riņķī ierakstīto leņķu īpašībām ∠GCB ir taisna līnija, un ∠CGB ir vienāds ar ∠CAB vai (π - ∠CAB). Sinusa gadījumā pēdējais apstāklis nav nozīmīgs, jo grēks (π –α) = sin α. Pamatojoties uz iepriekš minētajiem secinājumiem, var secināt, ka:
sin ∠CGB = BC/BG vai sin A = BC/2R,
Ja ņemam vērā citus attēla leņķus, mēs iegūstam sinusu teorēmas paplašinātu formulu:
Tipiski uzdevumi sinusu teorēmas zināšanu praktizēšanai ir trijstūra nezināmas malas vai leņķa atrašana.
Kā redzams no piemēriem, šādu uzdevumu risināšana nesagādā grūtības un sastāv no matemātisko aprēķinu veikšanas.