Apskatīsim integrālrēķina lietojumus. Šajā nodarbībā mēs analizēsim tipisko un visizplatītāko uzdevumu plaknes figūras laukuma aprēķināšana, izmantojot noteiktu integrāli. Visbeidzot, lai visi, kas meklē jēgu augstākajā matemātikā, to atrod. Nekad nevar zināt. Mums tas dzīvē būs jātuvina vasarnīcas gabals elementārās funkcijas un atrast tās laukumu, izmantojot noteiktu integrāli.
Lai veiksmīgi apgūtu materiālu, jums ir:
1) Saprast nenoteikto integrāli vismaz vidējā līmenī. Tādējādi manekeniem vispirms jāizlasa nodarbība Nav.
2) Prast pielietot Ņūtona-Leibnica formulu un aprēķināt noteiktais integrālis. Jūs varat izveidot siltas draudzīgas attiecības ar noteiktiem integrāļiem lapā Noteikts integrālis. Risinājumu piemēri. Uzdevums “aprēķināt laukumu, izmantojot noteiktu integrāli” vienmēr ietver zīmējuma konstruēšanu, Tieši tāpēc aktuāls jautājums Tur būs arī tavas zināšanas un prasmes zīmēšanā. Jums ir jāspēj izveidot vismaz taisni, parabolu un hiperbolu.
Sāksim ar izliektu trapecveida formu. Izliekta trapecveida forma ir plakana figūra, ko ierobežo kādas funkcijas grafiks y = f(x), ass VĒRSIS un līnijas x = a; x = b.
Līklīnijas trapeces laukums ir skaitliski vienāds ar noteiktu integrāli
Jebkuram noteiktam integrālim (kas pastāv) ir ļoti laba ģeometriskā nozīme. Klasē Noteikts integrālis. Risinājumu piemēri mēs teicām, ka noteikts integrālis ir skaitlis. Un tagad ir pienācis laiks pateikt vēl vienu noderīgs fakts. No ģeometrijas viedokļa noteiktais integrālis ir AREA. tas ir, noteiktais integrālis (ja tāds pastāv) ģeometriski atbilst noteiktas figūras laukumam. Apsveriet noteikto integrāli
Integrand
definē līkni uz plaknes (to var uzzīmēt, ja vēlas), un pats noteiktais integrālis ir skaitliski vienāds ar laukumu atbilstošā izliektā trapece.
1. piemērs
, , , .
Šis ir tipisks uzdevuma paziņojums. Vissvarīgākais lēmuma punkts ir zīmējuma uzbūve. Turklāt zīmējums ir jākonstruē PAREIZI.
Veidojot zīmējumu, iesaku šādu secību: sākumā labāk ir konstruēt visas taisnes (ja tādas ir) un tikai Tad– parabolas, hiperbolas, citu funkciju grafiki. Punktu pa punktam būvniecības tehnika ir atrodama izziņas materiāls Elementāro funkciju grafiki un īpašības. Tur arī var atrast ļoti noderīgu materiālu mūsu nodarbībai – kā ātri uzbūvēt parabolu.
Šīs problēmas risinājums varētu izskatīties šādi.
Zīmēsim (ņemiet vērā, ka vienādojums y= 0 norāda asi VĒRSIS):
Mēs neēnosim izliektu trapecveida formu, šeit ir skaidrs, kādā jomā mēs runājam par. Risinājums turpinās šādi:
Uz segmenta [-2; 1] funkciju grafiks y = x 2 + 2 atrodas virs assVĒRSIS, Tāpēc:
Atbilde: .
Kam ir grūtības ar noteiktā integrāļa aprēķināšanu un Ņūtona-Leibnica formulas piemērošanu
,
atsaukties uz lekciju Noteikts integrālis. Risinājumu piemēri. Pēc uzdevuma izpildes vienmēr ir lietderīgi aplūkot zīmējumu un noskaidrot, vai atbilde ir patiesa. IN šajā gadījumā“ar aci” mēs saskaitām šūnu skaitu zīmējumā - labi, būs apmēram 9, šķiet, ka tā ir taisnība. Ir pilnīgi skaidrs, ka, ja mēs saņēmām, teiksim, atbildi: 20 kvadrātvienības, tad ir acīmredzams, ka kaut kur ir pieļauta kļūda - 20 šūnas acīmredzami neietilpst attiecīgajā attēlā, augstākais ducis. Ja atbilde ir noraidoša, tad arī uzdevums tika atrisināts nepareizi.
2. piemērs
Aprēķiniet figūras laukumu, ierobežots ar līnijām xy = 4, x = 2, x= 4 un ass VĒRSIS.
Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās.
Ko darīt, ja atrodas izliektā trapece zem assVĒRSIS?
3. piemērs
Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y = e-x, x= 1 un koordinātu asis.
Risinājums: izveidosim zīmējumu:
Ja izliekta trapece pilnībā atrodas zem ass VĒRSIS , tad tā laukumu var atrast, izmantojot formulu:
Šajā gadījumā:
.
Uzmanību! Nedrīkst jaukt divu veidu uzdevumus:
1) Ja jums tiek lūgts atrisināt vienkārši noteiktu integrāli bez ģeometriskas nozīmes, tas var būt negatīvs.
2) Ja jums tiek lūgts atrast figūras laukumu, izmantojot noteiktu integrāli, tad laukums vienmēr ir pozitīvs! Tāpēc tikko apspriestajā formulā parādās mīnuss.
Praksē visbiežāk figūra atrodas gan augšējā, gan apakšējā pusplaknē, un tāpēc no vienkāršākajām skolas problēmām mēs pārejam pie jēgpilnākiem piemēriem.
4. piemērs
Atrodiet plaknes figūras laukumu, ko ierobežo līnijas y = 2x – x 2 , y = -x.
Risinājums: Vispirms jums ir jāizveido zīmējums. Konstruējot zīmējumu apgabala uzdevumos, mūs visvairāk interesē līniju krustošanās punkti. Atradīsim parabolas krustošanās punktus y = 2x – x 2 un taisni y = -x. To var izdarīt divos veidos. Pirmā metode ir analītiska. Mēs atrisinām vienādojumu:
Tas nozīmē, ka integrācijas apakšējā robeža a= 0, integrācijas augšējā robeža b= 3. Bieži vien ir izdevīgāk un ātrāk konstruēt līnijas pa punktam, un integrācijas robežas kļūst skaidras “pašas no sevis”. Tomēr analītiskā robežu noteikšanas metode dažkārt joprojām ir jāizmanto, ja, piemēram, grafiks ir pietiekami liels vai detalizētā konstrukcija neatklāja integrācijas robežas (tās var būt daļēja vai neracionāla). Atgriezīsimies pie uzdevuma: racionālāk ir vispirms izveidot taisni un tikai pēc tam parabolu. Izveidosim zīmējumu:
Atkārtosim, ka, konstruējot punktveida, integrācijas robežas visbiežāk tiek noteiktas “automātiski”.
Un tagad darba formula:
Ja segmentā [ a; b] kāda nepārtraukta funkcija f(x) lielāks par vai vienāds ar daži nepārtraukta funkcija g(x), tad atbilstošās figūras laukumu var atrast, izmantojot formulu:
Šeit vairs nav jādomā par to, kur atrodas figūra - virs ass vai zem ass, bet gan ir svarīgi, kurš grafiks ir AUGSTĀKS(attiecībā pret citu grafiku), un kurš no tiem ir Apakšā.
Apskatāmajā piemērā ir acīmredzams, ka segmentā parabola atrodas virs taisnes, un tāpēc no 2 x – x 2 jāatņem - x.
Pabeigtais risinājums varētu izskatīties šādi:
Vēlamo figūru ierobežo parabola y = 2x – x 2 uz augšu un taisni y = -x zemāk.
2. segmentā x – x 2 ≥ -x. Saskaņā ar atbilstošo formulu:
Atbilde: .
Faktiski skolas formula izliektas trapeces laukumam apakšējā pusplaknē (skat. piemēru Nr. 3) ir īpašs gadījums formulas
.
Jo ass VĒRSIS ko dod vienādojums y= 0, un funkcijas grafiks g(x), kas atrodas zem ass VĒRSIS, Tas
.
Un tagad pāris piemēri savam risinājumam
5. piemērs
6. piemērs
Atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas
Risinot problēmas, kas saistītas ar laukuma aprēķināšanu, izmantojot noteiktu integrāli, dažreiz notiek smieklīgi atgadījumi. Zīmējums izdarīts pareizi, aprēķini pareizi, bet neuzmanības dēļ... Tika atrasts nepareizās figūras laukums.
7. piemērs
Vispirms izveidosim zīmējumu:
Figūra, kuras apgabals mums jāatrod, ir iekrāsots zilā krāsā(uzmanīgi apskatiet nosacījumu - kā figūra ir ierobežota!). Bet praksē neuzmanības dēļ viņi bieži nolemj, ka viņiem jāatrod ēnotais figūras laukums zaļš!
Šis piemērs ir noderīgs arī tāpēc, ka tas aprēķina figūras laukumu, izmantojot divus noteiktus integrāļus. Tiešām:
1) Uz segmenta [-1; 1] virs ass VĒRSIS grafiks atrodas taisni y = x+1;
2) segmentā virs ass VĒRSIS hiperbolas grafiks atrodas y = (2/x).
Ir pilnīgi skaidrs, ka apgabalus var (un vajadzētu) pievienot, tāpēc:
Atbilde:
8. piemērs
Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas
Iesniegsim vienādojumus “skolas” formā
un izveidojiet punktu pa punktam zīmējumu:
No zīmējuma ir skaidrs, ka mūsu augšējā robeža ir “laba”: b = 1.
Bet kāda ir zemākā robeža?! Ir skaidrs, ka tas nav vesels skaitlis, bet kas tas ir?
Var būt, a=(-1/3)? Bet kur ir garantija, ka zīmējums ir izveidots ar nevainojamu precizitāti, tā var izrādīties a=(-1/4). Ko darīt, ja mēs izveidojam grafiku nepareizi?
Šādos gadījumos jums ir jātērē papildu laiks un analītiski precizēt integrācijas robežas.
Atradīsim grafiku krustošanās punktus
Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu:
.
Tāpēc a=(-1/3).
Tālākais risinājums ir triviāls. Galvenais neapjukt maiņās un zīmēs. Šeit veiktie aprēķini nav no vienkāršākajiem. Uz segmentu
, 
,
pēc atbilstošās formulas:
Atbilde: 
Nodarbības noslēgumā apskatīsim divus sarežģītākus uzdevumus.
9. piemērs
Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas
Risinājums: attēlosim šo figūru zīmējumā.
Lai zīmētu punktu pa punktam, jums jāzina izskats sinusoīdi. Kopumā ir lietderīgi zināt visu elementāro funkciju grafikus, kā arī dažas sinusa vērtības. Tos var atrast vērtību tabulā trigonometriskās funkcijas . Dažos gadījumos (piemēram, šajā gadījumā) ir iespējams izveidot shematisku zīmējumu, uz kura principiāli pareizi jāattēlo integrācijas grafiki un robežas.
Šeit nav nekādu problēmu ar integrācijas ierobežojumiem, tie izriet tieši no nosacījuma:
– “x” mainās no nulles uz “pi”. Pieņemsim tālāku lēmumu:
Segmentā funkcijas grafiks y= grēks 3 x atrodas virs ass VĒRSIS, Tāpēc:
(1) Nodarbībā var redzēt, kā sinusus un kosinusus ir integrēti nepāra pakāpēs Trigonometrisko funkciju integrāļi. Nospiežam vienu sinusu.
(2) Mēs izmantojam galveno trigonometrisko identitāti formā
(3) Mainīsim mainīgo t= cos x, tad: atrodas virs ass, tāpēc:
.
.
Piezīme: ievērojiet, kā šeit tiek ņemts pieskares integrālis kubā; trigonometriskā identitāte
.
Uzdevums Nr. 3. Izveidojiet zīmējumu un aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas
Integrāļa pielietojums lietišķo uzdevumu risināšanā
Platības aprēķins
Nepārtrauktas nenegatīvas funkcijas noteiktais integrālis f(x) ir skaitliski vienāds ar līknes trapeces laukums, ko ierobežo līkne y = f(x), O x ass un taisnes x = a un x = b. Saskaņā ar to apgabala formula ir uzrakstīta šādi:
Apskatīsim dažus plaknes figūru laukumu aprēķināšanas piemērus.
Uzdevums Nr.1. Aprēķini laukumu, ko ierobežo taisnes y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Risinājums. Konstruēsim figūru, kuras laukums mums būs jāaprēķina.
y = x 2 + 1 ir parabola, kuras zari ir vērsti uz augšu, un parabola ir nobīdīta uz augšu par vienu vienību attiecībā pret O y asi (1. attēls).
Attēls 1. Funkcijas y = x 2 + 1 grafiks
Uzdevums Nr.2. Aprēķiniet laukumu, ko ierobežo taisnes y = x 2 – 1, y = 0 diapazonā no 0 līdz 1.
 |
Risinājums.Šīs funkcijas grafiks ir zaru parabola, kas ir vērsta uz augšu, un parabola ir nobīdīta attiecībā pret O y asi uz leju par vienu vienību (2. attēls).
2. attēls. Funkcijas y = x 2 – 1 grafiks
Uzdevums Nr. 3. Izveidojiet zīmējumu un aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas
y = 8 + 2x – x 2 un y = 2x – 4.
Risinājums. Pirmā no šīm divām līnijām ir parabola, kuras zari ir vērsti uz leju, jo koeficients x 2 ir negatīvs, bet otrā līnija ir taisne, kas krusto abas koordinātu asis.
Lai konstruētu parabolu, atrodam tās virsotnes koordinātas: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – virsotnes abscisa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ir tās ordināta, N(1;9) ir virsotne.
Tagad atradīsim parabolas un taisnes krustošanās punktus, atrisinot vienādojumu sistēmu:
Vienādojuma labo malu pielīdzināšana, kura kreisās puses ir vienādas.
Mēs iegūstam 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 vai x 2 - 12 = 0, no kurienes 
.
Tātad punkti ir parabolas un taisnes krustošanās punkti (1. attēls).
3. attēls Funkciju y = 8 + 2x – x 2 un y = 2x – 4 grafiki
Konstruēsim taisni y = 2x – 4. Tā iet caur punktiem (0;-4), (2;0) uz koordinātu asīm.
Lai konstruētu parabolu, var izmantot arī tās krustošanās punktus ar 0x asi, tas ir, vienādojuma saknes 8 + 2x – x 2 = 0 vai x 2 – 2x – 8 = 0. Izmantojot Vietas teorēmu, tas ir vienkārši lai atrastu tā saknes: x 1 = 2, x 2 = 4.
3. attēlā parādīts attēls (paraboliskais segments M 1 N M 2), ko ierobežo šīs līnijas.
Problēmas otrā daļa ir atrast šīs figūras laukumu. Tās laukumu var atrast, izmantojot noteiktu integrāli saskaņā ar formulu 
.
Saistībā ar šis nosacījums, mēs iegūstam integrāli: 
2 Rotācijas ķermeņa tilpuma aprēķins
Ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot līkni y = f(x) ap O x asi, aprēķina pēc formulas:
Rotējot ap O y asi, formula izskatās šādi:
Uzdevums Nr.4. Nosakiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot izliektu trapecveida formu, kuru ierobežo taisnas līnijas x = 0 x = 3 un līkne y = ap O x asi.
Risinājums. Uzzīmēsim attēlu (4. attēls).
4. attēls. Funkcijas y = grafiks
Nepieciešamais apjoms ir 
Uzdevums Nr.5. Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot izliektu trapecveida formu, kuru ierobežo līkne y = x 2 un taisnes y = 0 un y = 4 ap O y asi.
Risinājums. Mums ir:
Pārskatiet jautājumus
IN iepriekšējā sadaļa kas veltīta noteikta integrāļa ģeometriskās nozīmes analīzei, mēs saņēmām vairākas formulas līknes trapeces laukuma aprēķināšanai:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x nepārtrauktai un nenegatīvai funkcijai y = f (x) intervālā [ a ; b ] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x nepārtrauktai un nepozitīvai funkcijai y = f (x) intervālā [ a ; b ] .
Šīs formulas ir piemērojamas, lai atrisinātu vienkāršus uzdevumus. Patiesībā mums bieži būs jāstrādā ar sarežģītākām figūrām. Šajā sakarā mēs šo sadaļu veltīsim algoritmu analīzei, lai aprēķinātu to figūru laukumu, ko ierobežo funkcijas tiešā veidā, t.i. piemēram, y = f(x) vai x = g(y).
TeorēmaLai funkcijas y = f 1 (x) un y = f 2 (x) ir definētas un nepārtrauktas intervālā [ a ; b ] un f 1 (x) ≤ f 2 (x) jebkurai vērtībai x no [ a ; b ] . Tad formula attēla G laukuma aprēķināšanai, ko ierobežo līnijas x = a, x = b, y = f 1 (x) un y = f 2 (x), izskatīsies šādi: S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Līdzīga formula būs piemērojama figūras laukumam, ko ierobežo līnijas y = c, y = d, x = g 1 (y) un x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Pierādījums
Apskatīsim trīs gadījumus, kuriem formula būs derīga.
Pirmajā gadījumā, ņemot vērā laukuma aditivitātes īpašību, sākotnējā attēla G un līknes trapeces G 1 laukumu summa ir vienāda ar attēla G 2 laukumu. Tas nozīmē, ka
Tāpēc S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Pēdējo pāreju varam veikt, izmantojot noteiktā integrāļa trešo īpašību.
Otrajā gadījumā vienādība ir patiesa: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Grafiskā ilustrācija izskatīsies šādi:
Ja abas funkcijas ir nepozitīvas, mēs iegūstam: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Grafiskā ilustrācija izskatīsies šādi:
Apskatīsim vispārīgo gadījumu, kad y = f 1 (x) un y = f 2 (x) krustojas ar O x asi.
Mēs apzīmējam krustošanās punktus kā x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Šie punkti sadala segmentu [a; b ] n daļās x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, kur α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Tāpēc
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Mēs varam veikt pēdējo pāreju, izmantojot noteiktā integrāļa piekto īpašību.
Ilustrēsim vispārīgo gadījumu grafikā.
Formulu S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x var uzskatīt par pierādītu.
Tagad pāriesim uz tādu figūru laukuma aprēķināšanas piemēru analīzi, kurus ierobežo līnijas y = f (x) un x = g (y).
Mēs sāksim izskatīt jebkuru piemēru, izveidojot grafiku. Attēls ļaus mums attēlot sarežģītas figūras kā vienkāršāku figūru savienības. Ja grafiku un attēlu veidošana uz tiem rada grūtības, varat izpētīt sadaļu par elementārajām funkcijām, ģeometriskā transformācija funkciju grafikus, kā arī grafiku konstruēšanu funkcijas izpētes laikā.
1. piemērs
Ir nepieciešams noteikt figūras laukumu, ko ierobežo parabola y = - x 2 + 6 x - 5 un taisnes y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.
Risinājums
Uzzīmēsim līnijas grafikā Dekarta koordinātu sistēmā.
Uz segmenta [ 1 ; 4 ] parabolas y = - x 2 + 6 x - 5 grafiks atrodas virs taisnes y = - 1 3 x - 1 2. Šajā sakarā, lai iegūtu atbildi, mēs izmantojam iepriekš iegūto formulu, kā arī noteiktā integrāļa aprēķināšanas metodi, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Atbilde: S(G) = 13
Apskatīsim sarežģītāku piemēru.
2. piemērs
Ir jāaprēķina figūras laukums, ko ierobežo līnijas y = x + 2, y = x, x = 7.
Risinājums
Šajā gadījumā mums ir tikai viena taisna līnija, kas atrodas paralēli x asij. Tas ir x = 7. Tas liek mums pašiem atrast otro integrācijas robežu.
Izveidosim grafiku un uzzīmēsim uz tā uzdevuma formulējumā norādītās līnijas.
Ja grafiks ir mūsu acu priekšā, mēs varam viegli noteikt, ka integrācijas apakšējā robeža būs taisnes y = x grafika un pusparabolas y = x + 2 krustošanās punkta abscisa. Lai atrastu abscisu, mēs izmantojam vienādības:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
Izrādās, ka krustojuma punkta abscisa ir x = 2.
Vēršam jūsu uzmanību uz to, ka plkst vispārīgs piemērs zīmējumā taisnes y = x + 2, y = x krustojas punktā (2; 2), tāpēc šādi detalizēti aprēķini var šķist lieki. Mēs to atvedām šeit detalizēts risinājums tikai tāpēc, ka ir vairāk sarežģīti gadījumi risinājums var nebūt tik acīmredzams. Tas nozīmē, ka vienmēr ir labāk analītiski aprēķināt līniju krustojuma koordinātas.
Uz intervāla [ 2 ; 7] funkcijas y = x grafiks atrodas virs funkcijas y = x + 2 grafika. Lai aprēķinātu laukumu, izmantosim formulu:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Atbilde: S (G) = 59 6
3. piemērs
Ir jāaprēķina figūras laukums, ko ierobežo funkciju y = 1 x un y = - x 2 + 4 x - 2 grafiki.
Risinājums
Uzzīmēsim līnijas grafikā.
Definēsim integrācijas robežas. Lai to izdarītu, mēs nosakām līniju krustošanās punktu koordinātas, pielīdzinot izteiksmes 1 x un - x 2 + 4 x - 2. Ar nosacījumu, ka x nav nulle, vienādība 1 x = - x 2 + 4 x - 2 kļūst ekvivalenta trešās pakāpes vienādojumam - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 ar veseliem skaitļiem. Lai atsvaidzinātu atmiņu par šādu vienādojumu risināšanas algoritmu, mēs varam skatīt sadaļu “Kubisko vienādojumu risināšana”.
Šī vienādojuma sakne ir x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Sadalot izteiksmi - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ar binomiālu x - 1, iegūstam: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Atlikušās saknes varam atrast no vienādojuma x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
Mēs atradām intervālu x ∈ 1; 3 + 13 2, kurā skaitlis G atrodas virs zilās un zem sarkanās līnijas. Tas palīdz mums noteikt figūras laukumu:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Atbilde: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
4. piemērs
Ir jāaprēķina figūras laukums, ko ierobežo līknes y = x 3, y = - log 2 x + 1 un abscisu ass.
Risinājums
Uzzīmēsim visas līnijas grafikā. Funkcijas y = - log 2 x + 1 grafiku varam iegūt no grafika y = log 2 x, ja to novietojam simetriski ap x asi un pārvietojam par vienu vienību uz augšu. X ass vienādojums ir y = 0.
Atzīmēsim līniju krustošanās punktus.
Kā redzams attēlā, funkciju y = x 3 un y = 0 grafiki krustojas punktā (0; 0). Tas notiek tāpēc, ka x = 0 ir vienīgā reālā vienādojuma x 3 = 0 sakne.
x = 2 ir vienīgā vienādojuma sakne - log 2 x + 1 = 0, tātad funkciju y = - log 2 x + 1 un y = 0 grafiki krustojas punktā (2; 0).
x = 1 ir vienīgā vienādojuma sakne x 3 = - log 2 x + 1 . Šajā sakarā funkciju y = x 3 un y = - log 2 x + 1 grafiki krustojas punktā (1; 1). Pēdējais apgalvojums var nebūt acīmredzams, bet vienādojumam x 3 = - log 2 x + 1 nevar būt vairāk par vienu sakni, jo funkcija y = x 3 stingri palielinās, un funkcija y = - log 2 x + 1 ir stingri samazinās.
Tālākais risinājums ietver vairākas iespējas.
Variants #1
Mēs varam attēlot skaitli G kā divu summu izliektas trapeces, kas atrodas virs x ass, no kurām pirmā atrodas zem viduslīnijas uz segmenta x ∈ 0; 1, bet otrais atrodas zem sarkanās līnijas uz segmenta x ∈ 1; 2. Tas nozīmē, ka laukums būs vienāds ar S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Variants Nr.2
G attēlu var attēlot kā divu figūru starpību, no kurām pirmā atrodas virs x ass un zem zilās līnijas segmentā x ∈ 0; 2, un otrā starp sarkanajām un zilajām līnijām segmentā x ∈ 1; 2. Tas ļauj mums atrast apgabalu šādi:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Šajā gadījumā, lai atrastu apgabalu, jums būs jāizmanto formula šādā formā: S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Faktiski līnijas, kas ierobežo figūru, var attēlot kā argumenta y funkcijas.
Atrisināsim vienādojumus y = x 3 un - log 2 x + 1 attiecībā pret x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Mēs iegūstam nepieciešamo platību:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Atbilde: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
5. piemērs
Ir jāaprēķina figūras laukums, ko ierobežo līnijas y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.
Risinājums
Ar sarkanu līniju uzzīmējam ar funkciju y = x definēto līniju. Mēs zīmējam līniju y = - 1 2 x + 4 zilā krāsā un līniju y = 2 3 x - 3 melnā krāsā.
Atzīmēsim krustojuma punktus.
Atradīsim funkciju y = x un y = - 1 2 x + 4 grafiku krustpunktus:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Pārbaudiet: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nav Vai vienādojuma risinājums x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 ir vienādojuma ⇒ (4; 2) krustošanās punkts i y = x un y = - 1 2 x risinājums. + 4
Atradīsim funkciju y = x un y = 2 3 x - 3 grafiku krustpunktu:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Pārbaudiet: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 ir vienādojuma ⇒ (9 ; 3) atrisinājums, punkts a s y = x un y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Vienādojumam nav risinājuma
Atradīsim līniju y = - 1 2 x + 4 un y = 2 3 x - 3 krustošanās punktu:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) krustošanās punkts y = - 1 2 x + 4 un y = 2 3 x - 3
Metode Nr.1
Iedomāsimies vajadzīgās figūras laukumu kā atsevišķu figūru laukumu summu.
Tad figūras laukums ir:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metode Nr.2
Sākotnējās figūras laukumu var attēlot kā divu citu figūru summu.
Pēc tam mēs atrisinām līnijas vienādojumu attiecībā pret x un tikai pēc tam pielietojam figūras laukuma aprēķināšanas formulu.
y = x ⇒ x = y 2 sarkanā līnija y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 melnā līnija y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
Tātad apgabals ir:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 g + 9 2 - - 2 g + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 g + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 g + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Kā redzat, vērtības ir vienādas.
Atbilde: S (G) = 11 3
Rezultāti
Lai atrastu figūras laukumu, ko ierobežo noteiktās līnijas, mums ir jākonstruē līnijas plaknē, jāatrod to krustošanās punkti un jāizmanto formula, lai atrastu laukumu. Šajā sadaļā mēs apskatījām visbiežāk sastopamos uzdevumu variantus.
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Faktiski, lai atrastu figūras laukumu, jums nav nepieciešams tik daudz zināšanu par nenoteiktu un noteiktu integrāli. Uzdevums “aprēķināt laukumu, izmantojot noteiktu integrāli” vienmēr ietver zīmējuma konstruēšanu, tāpēc jūsu zināšanas un zīmēšanas prasmes būs daudz aktuālāks jautājums. Šajā sakarā ir lietderīgi atsvaidzināt atmiņu par pamata elementārfunkciju diagrammām un vismaz prast izveidot taisni un hiperbolu.
Izliekta trapecveida forma ir plakana figūra, ko ierobežo ass, taisnas līnijas un nepārtrauktas funkcijas grafiks segmentā, kas nemaina zīmi šajā intervālā. Ļaujiet šis skaitlis atrodas ne zemāks x ass:
Tad līknes trapeces laukums ir skaitliski vienāds ar noteiktu integrāli. Jebkuram noteiktam integrālim (kas pastāv) ir ļoti laba ģeometriskā nozīme.
No ģeometrijas viedokļa noteiktais integrālis ir AREA.
tas ir, noteikts integrālis (ja tāds pastāv) ģeometriski atbilst noteiktas figūras laukumam. Piemēram, ņemiet vērā noteikto integrāli. Integrāde nosaka līkni plaknē, kas atrodas virs ass (tie, kas vēlas, var izveidot zīmējumu), un pats noteiktais integrālis ir skaitliski vienāds ar atbilstošās līknes trapeces laukumu.
1. piemērs
Šis ir tipisks uzdevuma paziņojums. Pirmkārt un vissvarīgākais brīdis risinājumi - zīmēšanas zīmējums. Turklāt zīmējums ir jākonstruē PAREIZI.
Veidojot zīmējumu, iesaku šādu secību: sākumā labāk ir konstruēt visas taisnes (ja tādas ir) un tikai Tad- parabolas, hiperbolas, citu funkciju grafiki. Izdevīgāk ir veidot funkciju grafikus punkts pa punktam.
Šīs problēmas risinājums varētu izskatīties šādi.
Uzzīmēsim zīmējumu (ņemiet vērā, ka vienādojums nosaka asi):
Segmentā atrodas funkcijas grafiks virs ass, Tāpēc:
Atbilde:
Pēc uzdevuma izpildes vienmēr ir lietderīgi aplūkot zīmējumu un noskaidrot, vai atbilde ir patiesa. Šajā gadījumā “ar aci” mēs saskaitām šūnu skaitu zīmējumā - labi, būs apmēram 9, šķiet, ka tā ir taisnība. Ir pilnīgi skaidrs, ka, ja mēs saņēmām, teiksim, atbildi: 20 kvadrātvienības, tad ir acīmredzams, ka kaut kur ir pieļauta kļūda - 20 šūnas acīmredzami neietilpst attiecīgajā attēlā, augstākais ducis. Ja atbilde ir noraidoša, tad arī uzdevums tika atrisināts nepareizi.
3. piemērs
Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas un koordinātu asis.
Risinājums: Uztaisīsim zīmējumu:
Ja atrodas izliekta trapece zem ass(vai vismaz ne augstāk dotā ass), tad tās laukumu var atrast, izmantojot formulu:
Šajā gadījumā:
Uzmanību! Nevajadzētu jaukt abus uzdevumu veidus:
1) Ja jums tiek lūgts atrisināt vienkārši noteiktu integrāli bez ģeometriskas nozīmes, tas var būt negatīvs.
2) Ja jums tiek lūgts atrast figūras laukumu, izmantojot noteiktu integrāli, tad laukums vienmēr ir pozitīvs! Tāpēc tikko apspriestajā formulā parādās mīnuss.
Praksē visbiežāk figūra atrodas gan augšējā, gan apakšējā pusplaknē, un tāpēc no vienkāršākajām skolas problēmām mēs pārejam pie jēgpilnākiem piemēriem.
4. piemērs
Atrodiet plaknes figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , .
Risinājums: Vispirms jums jāpabeidz zīmējums. Vispārīgi runājot, konstruējot zīmējumu laukuma problēmās, mūs visvairāk interesē līniju krustošanās punkti. Atradīsim parabolas un taisnes krustpunktus. To var izdarīt divos veidos. Pirmā metode ir analītiska. Mēs atrisinām vienādojumu:
Tas nozīmē, ka integrācijas apakšējā robeža ir , integrācijas augšējā robeža ir .
Ja iespējams, labāk neizmantot šo metodi..
Daudz izdevīgāk un ātrāk ir būvēt līnijas pa punktam, un integrācijas robežas kļūst skaidras “pašas no sevis”. Tomēr analītiskā robežu noteikšanas metode dažkārt joprojām ir jāizmanto, ja, piemēram, grafiks ir pietiekami liels vai detalizētā konstrukcija neatklāja integrācijas robežas (tās var būt daļēja vai neracionāla). Un mēs arī apsvērsim šādu piemēru.
Atgriezīsimies pie uzdevuma: racionālāk ir vispirms izveidot taisni un tikai pēc tam parabolu. Izveidosim zīmējumu:
Un tagad darba formula: ja segmentā ir kāda nepārtraukta funkcija lielāks par vai vienāds ar kādu nepārtrauktu funkciju , tad figūras laukumu, ko ierobežo šo funkciju grafiki un līnijas , var atrast, izmantojot formulu: 
Šeit jums vairs nav jādomā par to, kur atrodas figūra - virs ass vai zem ass, un, rupji runājot, ir svarīgi, kurš grafiks ir AUGSTĀKS(attiecībā pret citu grafiku), un kurš no tiem ir Apakšā.
Apskatāmajā piemērā ir acīmredzams, ka segmentā parabola atrodas virs taisnes, un tāpēc ir jāatņem no
Pabeigtais risinājums varētu izskatīties šādi:
Vēlamo figūru ierobežo parabola augšpusē un taisna līnija zemāk.
Segmentā saskaņā ar atbilstošo formulu:
Atbilde:
4. piemērs
Aprēķiniet figūras laukumu, ko ierobežo līnijas , , , .
Risinājums: Vispirms izveidosim zīmējumu:
Figūra, kuras apgabals mums jāatrod, ir iekrāsots zilā krāsā(uzmanīgi apskatiet nosacījumu - kā figūra ir ierobežota!). Bet praksē neuzmanības dēļ bieži rodas “kļūme”, ka jums ir jāatrod zaļā krāsā iekrāsotais figūras laukums!
Šis piemērs ir noderīgs arī ar to, ka tas aprēķina figūras laukumu, izmantojot divus noteiktus integrāļus.
Tiešām:
1) Uz segmenta virs ass ir taisnes grafiks;
2) Uz segmenta virs ass ir hiperbolas grafiks.
Ir pilnīgi skaidrs, ka apgabalus var (un vajadzētu) pievienot, tāpēc:
1. problēma(par izliektas trapeces laukuma aprēķināšanu).
Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā xOy ir dots skaitlis (skat. attēlu), ko ierobežo x asi, taisnas līnijas x = a, x = b (izliekta trapece. Nepieciešams aprēķināt izliektās trapeces laukumu).
Risinājums.Ģeometrija sniedz mums receptes daudzstūru laukumu un dažu apļa daļu (sektora, segmenta) aprēķināšanai. Izmantojot ģeometriskus apsvērumus, mēs varam atrast tikai aptuvenu vajadzīgā laukuma vērtību, argumentējot šādi.
Sadalīsim segmentu [a; b] (izliektas trapeces pamats) uz n vienādās daļās; šo sadalīšanu veic, izmantojot punktus x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Novelsim taisnas līnijas caur šiem punktiem paralēli y asij. Tad dotā līknes trapece tiks sadalīta n daļās, n šaurās kolonnās. Visas trapeces laukums ir vienāds ar kolonnu laukumu summu.
Apskatīsim k-to kolonnu atsevišķi, t.i. izliekta trapece, kuras pamatne ir segments. Aizstāsim to ar taisnstūri ar tādu pašu pamatni un augstumu, kas vienāds ar f(x k) (sk. attēlu). Taisnstūra laukums ir vienāds ar \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), kur \(\Delta x_k \) ir segmenta garums; Ir dabiski uzskatīt iegūto produktu par aptuvenu k-tās kolonnas laukuma vērtību. 
Ja mēs tagad darām to pašu ar visām pārējām kolonnām, mēs nonāksim pie šāda rezultāta: dotās līknes trapeces laukums S ir aptuveni vienāds ar n taisnstūriem veidotas pakāpeniskas figūras laukumu S n (skat. attēlu):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \punkti + f(x_k)\Delta x_k + \punkti + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Šeit apzīmējuma vienveidības labad pieņemam, ka a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - segmenta garums, \(\Delta x_1 \) - segmenta garums utt.; šajā gadījumā, kā mēs vienojāmies iepriekš, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Tātad, \(S \approx S_n \), un šī aptuvenā vienādība ir precīzāka, jo lielāks n.
Pēc definīcijas tiek uzskatīts, ka nepieciešamais līknes trapeces laukums ir vienāds ar secības robežu (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
2. problēma(par punkta pārvietošanu)
Pārvietojas taisnā līnijā materiālais punkts. Ātruma atkarību no laika izsaka ar formulu v = v(t). Atrast punkta kustību noteiktā laika periodā [a; b].
Risinājums. Ja kustība būtu viendabīga, tad problēma tiktu atrisināta ļoti vienkārši: s = vt, t.i. s = v(b-a). Nevienmērīgai kustībai ir jāizmanto tās pašas idejas, uz kurām balstījās iepriekšējās problēmas risinājums.
1) Sadaliet laika intervālu [a; b] n vienādās daļās.
2) Aplūkosim laika periodu un pieņemsim, ka šajā laika periodā ātrums bija nemainīgs, tāds pats kā laikā t k. Tātad mēs pieņemam, ka v = v(t k).
3) Atradīsim aptuveno punkta kustības vērtību noteiktā laika periodā, apzīmēsim šo aptuveno vērtību kā s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Atrodiet aptuveno pārvietojuma s vērtību:
\(s \apmēram S_n \) kur
\(S_n = s_0 + \punkti + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \punkti + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Nepieciešamais pārvietojums ir vienāds ar secības robežu (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Apkoposim. Dažādu problēmu risinājumi tika reducēti uz vienu un to pašu matemātisko modeli. Daudzas problēmas no dažādām zinātnes un tehnoloģiju jomām noved pie viena un tā paša modeļa risināšanas procesā. Tas nozīmē, ka šis matemātiskais modelis ir īpaši jāizpēta.
Noteikta integrāļa jēdziens
Sniegsim matemātisko aprakstu modelim, kas tika uzbūvēts trīs aplūkotajās problēmas funkcijai y = f(x), nepārtrauktai (bet ne obligāti nenegatīvai, kā tika pieņemts aplūkotajās problēmās) intervālā [a; b]:
1) sadalīt segmentu [a; b] n vienādās daļās;
2) sastāda summu $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) aprēķiniet $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
Matemātiskās analīzes gaitā tika pierādīts, ka šī robeža pastāv nepārtrauktas (vai pa daļām nepārtrauktas) funkcijas gadījumā. Viņi viņu sauc noteikts funkcijas y = f(x) integrālis virs segmenta [a; b] un apzīmē šādi:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Skaitļus a un b sauc par integrācijas robežām (attiecīgi apakšējo un augšējo).
Atgriezīsimies pie iepriekš apspriestajiem uzdevumiem. 1. uzdevumā doto apgabala definīciju tagad var pārrakstīt šādi:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
šeit S ir līknes trapeces laukums, kas parādīts attēlā iepriekš. Tas ir noteikta integrāļa ģeometriskā nozīme.
2. uzdevumā doto punkta pārvietojuma s definīciju, kas kustas taisnā līnijā ar ātrumu v = v(t) laika periodā no t = a līdz t = b, var pārrakstīt šādi:
Ņūtona-Leibnica formula
Vispirms atbildēsim uz jautājumu: kāda ir saistība starp noteikto integrāli un antiatvasinājumu?
Atbilde ir atrodama 2. uzdevumā. No vienas puses, pārvietojumu s punktam, kas kustas taisnā līnijā ar ātrumu v = v(t) laika periodā no t = a līdz t = b aprēķina formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Savukārt kustīga punkta koordināte ir ātruma antiatvasinājums - apzīmēsim to ar s(t); Tas nozīmē, ka pārvietojumu s izsaka ar formulu s = s(b) - s(a). Rezultātā mēs iegūstam:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
kur s(t) ir v(t) antiatvasinājums.
Matemātiskās analīzes gaitā tika pierādīta šāda teorēma.
Teorēma. Ja funkcija y = f(x) ir nepārtraukta intervālā [a; b], tad formula ir derīga
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
kur F(x) ir f(x) antiatvasinājums.
Doto formulu parasti sauc Ņūtona-Leibnica formula par godu angļu fiziķim Īzakam Ņūtonam (1643-1727) un vācu filozofam Gotfrīdam Leibnicam (1646-1716), kuri to saņēma neatkarīgi viens no otra un gandrīz vienlaikus.
Praksē tā vietā, lai rakstītu F(b) - F(a), viņi izmanto apzīmējumu \(\left. F(x)\right|_a^b \) (to dažreiz sauc dubultā aizstāšana) un attiecīgi pārrakstiet Ņūtona-Leibnica formulu šādā formā:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)
Aprēķinot noteiktu integrāli, vispirms atrodiet antiatvasinājumu un pēc tam veiciet dubulto aizstāšanu.
Pamatojoties uz Ņūtona-Leibnica formulu, mēs varam iegūt divas noteiktā integrāļa īpašības.
1. īpašums. Funkciju summas integrālis vienāds ar summu integrāļi:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
2. īpašums. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no integrālzīmes:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Plaknes figūru laukumu aprēķināšana, izmantojot noteiktu integrāli
Izmantojot integrāli, jūs varat aprēķināt ne tikai līknes trapeces, bet arī plakano figūru laukumus. sarežģīts tips, piemēram, tas, kas parādīts attēlā. Skaitlis P ir ierobežots ar taisnēm x = a, x = b un nepārtrauktu funkciju grafikiem y = f(x), y = g(x), un uz nogriežņa [a; b] pastāv nevienādība \(g(x) \leq f(x) \). Lai aprēķinātu šāda skaitļa laukumu S, mēs rīkojamies šādi:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Tātad figūras laukums S, ko ierobežo taisnas līnijas x = a, x = b un funkciju y = f(x), y = g(x) grafiki, nepārtraukti uz segmenta un tādi, ka jebkuram x no segmenta [a; b] ir izpildīta nevienādība \(g(x) \leq f(x) \), kas aprēķināta pēc formulas
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)