Ova lekcija je namijenjena samostalno učenje tema "Dvostrani kut". U ovoj lekciji učenici će se upoznati s jednim od najvažnijih geometrijskih oblika, diedralnim kutom. Također ćemo u lekciji naučiti kako odrediti linearni kut razmatranog geometrijski lik a koliki je diedarski kut pri osnovici lika.
Ponovimo što je kut na ravnini i kako se mjeri.
Riža. 1. Avion
Promotrimo ravninu α (slika 1). Od točke OKO dvije zrake izlaze - OB I OA.
Definicija. Lik koji čine dvije zrake koje izlaze iz jedne točke naziva se kut.
Kut se mjeri u stupnjevima i radijanima.
Sjetimo se što je radijan.
Riža. 2. Radijan
Ako imamo središnji kut čija je duljina luka jednaka polumjeru, tada se takav središnji kut naziva kut od 1 radijana. ,∠ AOB= 1 rad (slika 2).
Odnos između radijana i stupnjeva.
drago mi je.
Shvaćamo, drago mi je. (). Zatim, 
Definicija. Diedralni kut zove se lik kojeg čini pravac A a dvije poluravnine sa zajedničkim rubom A, ne pripadaju istoj ravni.
Riža. 3. Poluravnine
Promotrimo dvije poluravnine α i β (slika 3). Zajednička im je granica A. Taj se lik naziva diedralni kut.
Terminologija
Poluravnine α i β su plohe diedarskog kuta.
Ravno A je brid diedralnog kuta.
Na zajedničkom rubu A diedarski kut, odaberite proizvoljnu točku OKO(slika 4). U poluravnini α iz točke OKO vratiti okomicu OA na ravnu liniju A. Iz iste točke OKO u drugoj poluravnini β konstruiramo okomicu OB do ruba A. Imam kut AOB, koji se naziva linearni kut diedralnog kuta.
Riža. 4. Mjerenje diedralnog kuta
Dokažimo jednakost svih linearnih kutova za zadani diedarski kut.
Neka nam je diedralni kut (slika 5). Izaberimo točku OKO i točka O 1 na ravnoj liniji A. Konstruirajmo linearni kut koji odgovara točki OKO, tj. povučemo dvije okomice OA I OB u ravninama α odnosno β do ruba A. Dobivamo kut AOB- linearni kut diedralnog kuta.
Riža. 5. Ilustracija dokaza
Od točke O 1 povucimo dvije okomice OA 1 I OB 1 do ruba A u ravninama α odnosno β i dobivamo drugi linearni kut A 1 O 1 B 1.
zrake O 1 A 1 I OA susmjerni, jer leže u istoj poluravnini i međusobno su paralelni kao dvije okomice na isti pravac A.
Isto tako, zrake Otprilike 1 u 1 I OB su surežirani, što znači ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 kao kutovi s kodirekcijskim stranicama, što je i trebalo dokazati.
Ravnina linearnog kuta okomita je na brid diedralnog kuta.
Dokazati: A ⊥ AOB.
Riža. 6. Ilustracija dokaza
Dokaz:
OA ⊥ A po konstrukciji, OB ⊥ A po konstrukciji (slika 6).
Nalazimo da je linija A okomito na dvije crte koje se sijeku OA I OB izvan aviona AOB, što znači da je ravno A okomito na ravninu OAV, što je i trebalo dokazati.
Diedralni kut se mjeri svojim linearnim kutom. To znači da onoliko stupnjeva radijana sadržano je u linearnom kutu, isti broj stupnjeva radijana sadržano je u njegovom diedralnom kutu. U skladu s tim razlikuju se sljedeće vrste diedralnih kutova.
Akutna (slika 6)
Diedarski kut je oštar ako mu je linearni kut oštar, tj. .
Ravno (Sl. 7)
Diedralni kut je prav kada je njegov linearni kut 90° - Tup (Sl. 8)
Diedralni kut je tup kada mu je linearni kut tup, tj. 
.
Riža. 7. Pravi kut
Riža. 8. Tupi kut
Primjeri konstruiranja linearnih kutova u realnim likovima
ABCD- tetraedar.
1. Konstruiraj linearni kut dvostranog kuta s bridom AB.
Riža. 9. Ilustracija za zadatak
Izgradnja:
Govorimo o diedralnom kutu, koji je formiran rubom AB i rubovi ABD I ABC(slika 9).
Napravimo izravnu DN okomito na ravninu ABC, N- osnovica okomice. Nacrtajmo nagnutu DM okomito na ravnu liniju AB,M- nagnuta baza. Po teoremu o tri okomice zaključujemo da je projekcija kose NM također okomito na pravac AB.
Odnosno s točke M obnovljene su dvije okomice na rub AB na dvije strane ABD I ABC. Dobili smo linearni kut DMN.
Imajte na umu da AB, brid diedralnog kuta, okomit na ravninu linearnog kuta, tj. ravninu DMN. Problem je riješen.
Komentar. Diedralni kut se može označiti na sljedeći način: DABC, Gdje
AB- rub, i točke D I S leže na različitim stranama kuta.
2. Konstruiraj linearni kut dvostranog kuta s bridom AC.
Povucimo okomicu DN do aviona ABC i sklon DN okomito na ravnu liniju AC. Po teoremu o tri okomice nalazimo da NN- kosa projekcija DN do aviona ABC, također okomito na pravac AC.DNH- linearni kut diedralnog kuta s bridom AC.
U tetraedru DABC svi rubovi su jednaki. Točka M- sredina rebra AC. Dokažite da kut DMV- linearni diedarski kut VASD, tj. diedralni kut s bridom AC. Jedno od njegovih lica je ACD, drugi - DIA(slika 10).
Riža. 10. Ilustracija za zadatak
Otopina:
Trokut ADC- jednakostraničan, DM- medijan, a time i visina. Sredstva, DM ⊥ AC. Isto tako, trokut AUC- jednakostraničan, UM- medijan, a time i visina. Sredstva, VM ⊥ AC.
Dakle, s točke M rebra AC diedral angle restaurirane dvije okomice DM I VM ovom bridu u plohama diedralnog kuta.
Dakle, ∠ DMU je linearni kut diedralnog kuta, što je trebalo dokazati.
Dakle, definirali smo diedralni kut, linearni kut diedralnog kuta.
U sljedećoj lekciji ćemo pogledati okomitost pravaca i ravnina, a zatim ćemo naučiti što je diedralni kut u osnovi likova.
Popis referenci na temu "Dihedralni kut", "Dihedralni kut na bazi geometrijskih figura"
- Geometrija. Razredi 10-11: udžbenik za opće obrazovanje obrazovne institucije/ Sharygin I.F.: Bustard, 1999. - 208 str.: ilustr.
- Geometrija. 10. razred: udžbenik za obrazovne institucije s produbljenim i specijalističkim studijem matematike / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izdanje, stereotip. - M.: Bustard, 2008. - 233 str.: ilustr.
- Yaklass.ru ().
- E-science.ru ().
- Webmath.exponenta.ru ().
- Tutoronline.ru ().
domaća zadaća na temu "Dvostrani kut", određivanje diedralnog kuta na bazi figura
Geometrija. Razredi 10-11: udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova (osnovne i specijalizirane razine) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, ispravljeno i prošireno - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr.
Zadaci 2, 3 str.
Što je linearni diedarski kut? Kako ga izgraditi?
ABCD- tetraedar. Konstruiraj linearni kut dvostranog kuta s bridom:
A) UD b) DS.
ABCD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - kocka Konstruirajte linearni kut diedralnog kuta A 1 ABC s rebrom AB. Odredite mu stupanjsku mjeru.
TRANSKRIPT TEKSTA LEKCIJE:
U planimetriji, glavni objekti su linije, segmenti, zrake i točke. Zrake koje izlaze iz jedne točke tvore jedan od njihovih geometrijskih oblika - kut.
Znamo da se linearni kut mjeri u stupnjevima i radijanima.
U stereometriji se objektima dodaje ravnina. Lik kojeg čine pravac a i dvije poluravnine sa zajedničkim rubom a koje ne pripadaju istoj ravnini u geometriji se naziva diedarski kut. Poluravnine su plohe diedarskog kuta. Ravnica a je brid diedralnog kuta.
Diedralni kut, kao i linearni kut, može se imenovati, mjeriti i konstruirati. To je ono što moramo otkriti u ovoj lekciji.
Nađimo kut diedra na modelu tetraedra ABCD.
Diedarski kut s rubom AB naziva se CABD, gdje točke C i D pripadaju različitim plohama kuta, a brid AB naziva se u sredini
Oko nas ima dosta objekata s elementima u obliku diedralnog kuta.
U mnogim gradovima u parkovima su postavljene posebne klupe za pomirenje. Klupa je izrađena u obliku dvije nagnute ravnine koje se spajaju prema središtu.
Kod gradnje kuća tzv dvovodni krov. Na ovoj kući krov je napravljen u obliku diedralnog kuta od 90 stupnjeva.
Diedralni kut se također mjeri u stupnjevima ili radijanima, ali kako to izmjeriti.
Zanimljivo je da se krovovi kuća oslanjaju na rogove. A obloga splavi oblikuje dvije krovne padine pod određenim kutom.
Prenesimo sliku na crtež. Na crtežu, za pronalaženje diedralnog kuta, na njegovom rubu označena je točka B. Iz te točke povučene su dvije zrake BA i BC okomite na rub kuta. Kut ABC koji čine te zrake naziva se linearni diedarski kut.
Stupanjska mjera diedralnog kuta je stupanjska mjera njegov linearni kut.
Izmjerimo kut AOB.
Mjera stupnja danog diedralnog kuta je šezdeset stupnjeva.
Za diedarski kut može se nacrtati beskonačan broj linearnih kutova; važno je znati da su svi jednaki.
Promotrimo dva linearna kuta AOB i A1O1B1. Zrake OA i O1A1 leže na istoj plohi i okomite su na pravac OO1, pa su susmjerne. Zrake OB i O1B1 također su suusmjerene. Dakle, kut AOB jednak je kutu A1O1B1 kao kutovi s istosmjernim stranicama.
Dakle, diedralni kut karakterizira linearni kut, a linearni kutovi su oštri, tupi i pravi. Razmotrimo modele diedarskih kutova.
Tupi kut je ako je njegov linearni kut između 90 i 180 stupnjeva.
Pravi kut ako je njegov linearni kut 90 stupnjeva.
Oštri kut, ako je njegov linearni kut od 0 do 90 stupnjeva.
Dokažimo jedno od važnih svojstava linearnog kuta.
Ravnina linearnog kuta okomita je na brid diedralnog kuta.
Neka je kut AOB linearni kut danog diedralnog kuta. Po konstrukciji su zrake AO i OB okomite na pravac a.
Ravnina AOB prolazi kroz dva siječna pravca AO i OB prema teoremu: Ravnina prolazi kroz dva siječna pravca i to samo jedan.
Pravac a je okomit na dva pravca koji se sijeku u toj ravnini, što znači da je, na temelju okomitosti pravca i ravnine, pravac a okomit na ravninu AOB.
Za rješavanje problema važno je znati konstruirati linearni kut zadanog diedralnog kuta. Konstruirajte linearni kut diedarskog kuta s bridom AB za tetraedar ABCD.
Riječ je o diedralnom kutu kojeg prvo tvore brid AB, jedna stranica ABD, a druga stranica ABC.
Evo jednog načina da ga izgradite.
Povucimo okomicu iz točke D na ravninu ABC. Označimo točku M kao osnovicu okomice. Podsjetimo se da se u tetraedru baza okomice poklapa sa središtem upisane kružnice u osnovici tetraedra.
Povucimo nagnuti pravac iz točke D okomito na rub AB, označimo točku N kao osnovicu nagnutog pravca.
U trokutu DMN isječak NM bit će projekcija nagnute DN na ravninu ABC. Prema teoremu o tri okomice, brid AB bit će okomit na projekciju NM.
To znači da su stranice kuta DNM okomite na brid AB, što znači da je konstruirani kut DNM željeni linearni kut.
Razmotrimo primjer rješavanja problema izračuna diedralnog kuta.
Jednakokračni trokut ABC i pravilni trokut ADB ne leže u istoj ravnini. Dužina CD je okomita na ravninu ADB. Odredi diedarski kut DABC ako je AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.
Diedarski kut DABC jednak je njegovom linearnom kutu. Izgradimo ovaj kut.
Povucimo nagnutu CM okomito na brid AB, budući da je trokut ACB jednakokračan, tada će se točka M podudarati sa sredinom brida AB.
Pravac CD okomit je na ravninu ADB, što znači da je okomit na pravac DM koji leži u toj ravnini. A segment MD je projekcija nagnute CM na ravninu ADV.
Pravac AB konstrukcijski je okomit na nagnutu CM, što znači da je prema teoremu o tri okomice okomit na projekciju MD.
Dakle, na brid AB nalaze se dvije okomice CM i DM. To znači da tvore linearni kut CMD diedralnog kuta DABC. I sve što trebamo učiniti je pronaći ga iz pravokutni trokut CDM.
Dakle, segment CM je medijan i visina jednakokračni trokut DIA, tada je prema Pitagorinom teoremu krak SM jednak 4 cm.
Iz pravokutnog trokuta DMB, prema Pitagorinom poučku, krak DM jednak je dvama korijenima iz tri.
Kosinus kuta iz pravokutnog trokuta jednak je omjeru susjedne krake MD i hipotenuze CM i jednak je trima korijenima od tri puta dva. To znači da je kut CMD 30 stupnjeva.
Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete zahtjev na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu elektronička pošta itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Sakupili mi osobni podaci omogućuje nam da Vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događanjima i nadolazećim događanjima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim stranama
Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Po potrebi - sukladno zakonu, sudskom postupku, pravnim postupcima i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.
PRVO POGLAVLJE RAVNICE I RAVNINE
V. DVOSTRANI KUTOVI, PRAVI KUT S RAVNINOM,
KUT DVIJE PRAVE RAVNICE KOJE SE KRIŽU, POLIEDALNI KUTOVI
Diedralni kutovi
38. Definicije. Dio ravnine koji leži s jedne strane bilo koje ravne linije koja leži u ovoj ravnini zove se poluravnina. Lik koji čine dvije poluravnine (P i Q, slika 26) koje izlaze iz jedne ravne crte (AB) naziva se diedralni kut. Izravni AB se zove rub, a poluravnine P i Q - stranke ili rubovi diedralni kut.
Takav se kut obično označava s dva slova postavljena uz njegov rub (diedarski kut AB). Ali ako na jednom rubu postoji nekoliko diedralnih kutova, tada je svaki od njih označen s četiri slova, od kojih su srednja dva na rubu, a vanjska dva na plohama (na primjer, diedralni kut SCDR) (Sl. 27).
Ako se iz proizvoljne točke D povuku rubovi AB (sl. 28) na svakoj plohi okomito na rub, tada se kut CDE koji oni čine naziva linearni kut diedralni kut.
Veličina linearnog kuta ne ovisi o položaju njegova vrha na rubu. Dakle, pravocrtni kutovi CDE i C 1 D 1 E 1 su jednaki jer su im stranice međusobno paralelne i imaju isti smjer.
Ravnina linearnog kuta je okomita na brid, jer sadrži dva pravca okomita na njega. Stoga, da bi se dobio linearni kut, dovoljno je presjeći lice zadanog diedralnog kuta s ravninom okomitom na rub, i razmotriti rezultirajući kut u ovoj ravnini.
39. Jednakost i nejednakost diedrskih kutova. Dva dvostrana kuta smatraju se jednakima ako se mogu spojiti kada se umetnu; inače, koji god diedralni kut koji se smatra manjim, činit će dio drugog kuta.
Kao i kutovi u planimetriji, diedarski kutovi mogu biti susjedni, okomiti itd.
Ako su dva susjedna diedarska kuta međusobno jednaka, tada se svaki od njih naziva pravi diedralni kut.
Teoremi. 1) Jednaki diedarski kutovi odgovaraju jednakim linearnim kutovima.
2) Veći diedarski kut odgovara većem linearnom kutu.
Neka su PABQ i P 1 A 1 B 1 Q 1 (sl. 29) dva diedarska kuta. Kut A 1 B 1 umetnemo u kut AB tako da se brid A 1 B 1 podudara s bridom AB, a stranica P 1 s plohom P.
Onda ako ovi diedarski kutovi su jednaki, tada se stranica Q 1 podudara s površinom Q; ako je kut A 1 B 1 manji od kuta AB, tada će stranica Q 1 zauzeti neki položaj unutar diedralnog kuta, na primjer Q 2.
Kad smo to uočili, uzmimo neku točku B na zajedničkom bridu i kroz nju povucimo ravninu R, okomitu na brid. Iz sjecišta te ravnine s plohama diedarskih kutova dobivaju se linearni kutovi. Jasno je da ako se diedralni kutovi podudaraju, tada će imati isti linearni kut CBD; ako se diedarski kutovi ne poklapaju, ako npr. lice Q 1 zauzme položaj Q 2, tada će veći diedralni kut imati veći linearni kut (naime: / CBD > / C 2 BD).
40. Konverzni teoremi. 1) Jednakim pravocrtnim kutovima odgovaraju jednaki diedarski kutovi.
2) Veći linearni kut odgovara većem diedralnom kutu .
Ovi se teoremi mogu lako dokazati kontradikcijom.
41. Posljedice. 1) Pravom diedralnom kutu odgovara pravi linearni kut i obrnuto.
Neka je (sl. 30) diedarski kut PABQ ravan. To znači da je jednak susjednom kutu QABP 1. Ali u ovom slučaju, linearni kutovi CDE i CDE 1 su također jednaki; a budući da su susjedne, svaka od njih mora biti ravna. Obrnuto, ako su susjedni linearni kutovi CDE i CDE 1 jednaki, tada su i susjedni diedarski kutovi jednaki, tj. svaki od njih mora biti ravan.
2) Svi pravi diedarski kutovi su jednaki, jer su im linearni kutovi jednaki .
Isto tako, lako je dokazati da:
3) Vertikalni diedarski kutovi su jednaki.
4) Diedral jednaki su kutovi s redom paralelnim i jednako (ili suprotno) usmjerenim bridovima.
5) Ako za jedinicu diedrskih kutova uzmemo diedralski kut koji odgovara jedinici linearnih kutova, tada možemo reći da se diedralni kut mjeri svojim linearnim kutom.
Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com
Naslovi slajdova:
DIEDRALNI KUT Profesor matematike GOU srednja škola br. 10 Eremenko M.A.
Glavni ciljevi lekcije: Uvesti pojam diedralnog kuta i njegovog linearnog kuta Razmotriti zadatke za primjenu ovih pojmova.
Definicija: Diedralni kut je lik kojeg tvore dvije poluravnine sa zajedničkim graničnim pravcem.
Veličina diedralnog kuta je veličina njegovog linearnog kuta. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB - linearni diedarski kut ACD B
Dokažimo da su svi linearni kutovi diedralnog kuta međusobno jednaki. Promotrimo dva linearna kuta AOB i A 1 OB 1. Zrake OA i OA 1 leže na istoj plohi i okomite su na OO 1, pa su susmjerne. Zrake OB i OB 1 također su suusmjerene. Stoga je ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (poput kutova s istosmjernim stranicama).
Primjeri diedralnih kutova:
Definicija: Kut između dviju ravnina koje se sijeku je najmanji od diedarskih kutova koje čine te ravnine.
1. zadatak: U kocki A ... D 1 pronađite kut između ravnina ABC i CDD 1. Odgovor: 90 o.
Zadatak 2: U kocki A ... D 1 pronaći kut između ravnina ABC i CDA 1. Odgovor: 45 o.
Zadatak 3: U kocki A ... D 1 pronaći kut između ravnina ABC i BDD 1. Odgovor: 90 o.
Zadatak 4: U kocki A ... D 1 pronaći kut između ravnina ACC 1 i BDD 1. Odgovor: 90 o.
Zadatak 5: U kocki A ... D 1 pronaći kut između ravnina BC 1 D i BA 1 D. Rješenje: Neka je O polovište B D. A 1 OC 1 – linearni kut diedralnog kuta A 1 B D C 1.
Zadatak 6: U tetraedru DABC svi bridovi su jednaki, točka M je sredina brida AC. Dokažite da je ∠ DMB linearni kut diedralnog kuta BACD .
Rješenje: Trokuti ABC i ADC su pravilni, pa je BM ⊥ AC i DM ⊥ AC pa je ∠ DMB linearni kut diedralnog kuta DACB.
7. zadatak: Iz vrha B trokuta ABC, čija stranica AC leži u ravnini α, povučena je okomica BB 1 na tu ravninu. Odredite udaljenost od točke B do pravca AC i ravnine α ako je AB=2, ∠VAS=150 0 i diedarski kut VASV 1 jednak 45 0.
Rješenje: ABC je tupokutni trokut sa tupi kut I, dakle, osnovica visine BC leži na nastavku stranice AC. VK – udaljenost od točke B do AC. BB 1 – udaljenost od točke B do ravnine α
2) Kako je AC ⊥VK, tada je AC⊥KB 1 (po teoremu, obratno od teoreme oko tri okomice). Dakle, ∠VKV 1 je linearni kut diedralnog kuta BASV 1 i ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0, VK=VA· sin 30 0, VK =1. ∆VKV 1: VV 1 =VK· sin 45 0 , VV 1 =