Pravokutni paralelopiped i njegove dijagonale. Paralelepiped i kocka. Vizualni vodič (2019.)

upute

Metoda 2. Pretpostavimo da je pravokutni paralelopiped kocka. Kocka je pravokutni paralelopiped, svaka strana je predstavljena kvadratom. Dakle, sve njegove strane su jednake. Tada će se za izračunavanje duljine njegove dijagonale izraziti na sljedeći način:

Izvori:

formula dijagonale pravokutnika

paralelopiped - poseban slučaj prizma u kojoj su svih šest stranica paralelogrami ili pravokutnici. Paralelepiped s pravokutnim stranicama naziva se i pravokutnik. Paralelepiped ima četiri dijagonale koje se sijeku. Ako su dana tri ruba a, b, c, možete pronaći sve dijagonale pravokutnog paralelopipeda izvođenjem dodatnih konstrukcija.

upute

Odredite dijagonalu paralelopipeda m. Da biste to učinili, pronađite nepoznatu hipotenuzu u a, n, m: m² = n² + a². Zamjena poznate vrijednosti, zatim izračunajte kvadratni korijen. Dobiveni rezultat bit će prva dijagonala paralelopipeda m.

Na isti način nacrtajte uzastopno sve ostale tri dijagonale paralelopipeda. Također, za svaku od njih izvršite dodatnu konstrukciju dijagonala susjednih lica. Uzimajući u obzir formirane pravokutne trokute i primjenjujući Pitagorin poučak, pronađite vrijednosti preostalih dijagonala.

Video na temu

Izvori:

nalaženje paralelopipeda

Hipotenuza je suprotna stranica pravi kut. Noge su stranice trokuta uz pravi kut. U odnosu na trokute ABC i ACD: AB i BC, AD i DC–, AC je zajednička hipotenuza za oba trokuta (željena dijagonala). Dakle, AC = kvadrat AB + kvadrat BC ili AC b = kvadrat AD + kvadrat DC. Zamijenite duljine stranica pravokutnik u gornju formulu i izračunajte duljinu hipotenuze (dijagonale pravokutnik).

Na primjer, strane pravokutnik ABCD jednake su sljedećim vrijednostima: AB = 5 cm i BC = 7 cm. Kvadrat dijagonale AC zadanog pravokutnik prema Pitagorinom teoremu: AC na kvadrat = kvadrat AB + kvadrat BC = 52+72 = 25 + 49 = 74 sq.cm. Koristite kalkulator za izračun vrijednosti kvadratni korijen 74. Trebali biste dobiti 8,6 cm (zaokružena vrijednost). Imajte na umu da prema jednom od svojstava pravokutnik, njegove dijagonale su jednake. Dakle, duljina druge dijagonale BD pravokutnik ABCD je jednaka duljini dijagonale AC. Za gornji primjer, ova vrijednost

U geometriji se razlikuju sljedeće vrste paralelopipeda: pravokutni paralelopiped (lice paralelopipeda su pravokutnici); pravi paralelopiped (njegove bočne strane djeluju kao pravokutnici); nagnuti paralelopiped (njegove bočne strane djeluju kao okomice); kocka je paralelepiped apsolutno istih dimenzija, a lica kocke su kvadrati. Paralelepipedi mogu biti nagnuti ili ravni.

Glavni elementi paralelopipeda su da su dva lica prikazanog geometrijski lik, koji nemaju zajednički brid su suprotni, a oni koji ga imaju su susjedni. Vrhovi paralelopipeda, koji ne pripadaju istoj plohi, djeluju jedan naspram drugoga. Paralelepiped ima dimenziju - to su tri ruba koji imaju zajednički vrh.

Isječak koji spaja suprotne vrhove naziva se dijagonala. Četiri dijagonale paralelopipeda, koje se sijeku u jednoj točki, istovremeno su podijeljene na pola.

Da biste odredili dijagonalu paralelopipeda, potrebno je odrediti stranice i bridove, koji su poznati iz uvjeta zadatka. S tri poznata rebra A , U , S nacrtaj dijagonalu u paralelopipedu. Prema svojstvu paralelopipeda, da su mu svi kutovi pravi, određena je dijagonala. Konstruirajte dijagonalu od jedne od ploha paralelopipeda. Dijagonale moraju biti nacrtane na način da dijagonala lica, željena dijagonala paralelopipeda i poznati brid tvore trokut. Nakon što je formiran trokut, pronađite duljinu te dijagonale. Dijagonala u drugom rezultirajućem trokutu djeluje kao hipotenuza, pa se može pronaći pomoću Pitagorinog teorema, koji se mora uzeti pod kvadratni korijen. Na taj način znamo vrijednost druge dijagonale. Da bismo pronašli prvu dijagonalu paralelopipeda u formiranom pravokutnom trokutu, potrebno je pronaći i nepoznatu hipotenuzu (prema Pitagorinom poučku). Koristeći isti primjer, uzastopno pronađite preostale tri dijagonale koje postoje u paralelopipedu, izvodeći dodatne konstrukcije dijagonala koje tvore pravokutne trokute i riješite pomoću Pitagorinog poučka.

Pravokutni paralelopiped (PP) nije ništa više od prizme, čija je baza pravokutnik. Za PP su sve dijagonale jednake, što znači da se bilo koja njegova dijagonala izračunava pomoću formule:

a, c - strane baze PP;

c je njegova visina.

Druga definicija može se dati razmatranjem Kartezijevog pravokutnog koordinatnog sustava:

PP dijagonala je radijus vektor bilo koje točke u prostoru određene koordinatama x, y i z u Kartezijevom koordinatnom sustavu. Ovaj radijus vektor do točke izvučen je iz ishodišta. A koordinate točke bit će projekcije radijus vektora (dijagonale PP) na koordinatne osi. Projekcije se podudaraju s vrhovima ovog paralelopipeda.

Paralelepiped i njegove vrste

Ako doslovno prevedemo njegovo ime sa starogrčkog, ispada da je to lik koji se sastoji od paralelnih ravnina. Postoje sljedeće ekvivalentne definicije paralelopipeda:

prizma s bazom u obliku paralelograma;
poliedar, čija je svaka strana paralelogram.

Njegove se vrste razlikuju ovisno o tome koja figura leži u njegovoj osnovi i kako su bočna rebra usmjerena. Općenito, govorimo o nagnuti paralelopiped, čija su baza i sve strane paralelogrami. Ako bočne strane prethodnog prikaza postanu pravokutnici, tada će se morati pozvati izravni. I pravokutan a baza također ima kutove od 90º.

Štoviše, u geometriji pokušavaju prikazati potonje na takav način da je vidljivo da su svi rubovi paralelni. Ovdje je, usput, glavna razlika između matematičara i umjetnika. Za potonje je važno prenijeti tijelo u skladu sa zakonom perspektive. I u ovom slučaju, paralelnost rebara je potpuno nevidljiva.

O uvedenim oznakama

U formulama u nastavku vrijede oznake navedene u tablici.

Formule za nagnuti paralelopiped

Prvi i drugi za područja:

Treći je izračunati volumen paralelopipeda:

Budući da je baza paralelogram, za izračunavanje njegove površine morat ćete koristiti odgovarajuće izraze.

Formule za pravokutni paralelopiped

Slično prvoj točki - dvije formule za površine:

I još jedan za volumen:

Prvi zadatak

Stanje. Dat je pravokutni paralelopiped čiji volumen treba pronaći. Poznata je dijagonala - 18 cm - i činjenica da s ravninom bočne plohe i bočnog ruba čini kut od 30, odnosno 45 stupnjeva.

Otopina. Da biste odgovorili na problemsko pitanje, morat ćete znati sve stranice u tri pravokutna trokuta. Oni će dati potrebne vrijednosti rubova prema kojima trebate izračunati volumen.

Prvo morate odrediti gdje je kut od 30º. Da biste to učinili, morate nacrtati dijagonalu bočne strane iz istog vrha odakle je nacrtana glavna dijagonala paralelograma. Kut između njih bit će ono što je potrebno.

Prvi trokut koji će dati jednu od vrijednosti stranica baze bit će sljedeći. Sadrži traženu stranicu i dvije nacrtane dijagonale. Pravokutan je. Sada morate koristiti omjer suprotne noge (strana baze) i hipotenuze (dijagonala). Jednak je sinusu od 30º. To jest, nepoznata strana baze bit će određena kao dijagonala pomnožena sa sinusom od 30º ili ½. Neka bude označeno slovom "a".

Drugi će biti trokut koji sadrži poznatu dijagonalu i rub s kojim čini 45º. Također je pravokutan, a opet možete koristiti omjer katete i hipotenuze. Drugim riječima, bočni rub prema dijagonali. Jednak je kosinusu od 45º. To jest, "c" se izračunava kao umnožak dijagonale i kosinusa od 45º.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

U istom trokutu morate pronaći drugu nogu. Ovo je neophodno kako bi se zatim izračunala treća nepoznata - "in". Neka bude označeno slovom "x". Može se lako izračunati pomoću Pitagorine teoreme:

x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).

Sada moramo razmotriti još jedno pravokutni trokut. Već sadrži poznate stranke“c”, “x” i onaj koji treba prebrojati, “b”:

in = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).

Sve tri količine su poznate. Možete koristiti formulu za volumen i izračunati ga:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).

Odgovor: obujam paralelopipeda je 729√2 cm3.

Drugi zadatak

Stanje. Trebate pronaći obujam paralelopipeda. U njemu se zna da su stranice paralelograma, koji leži u podnožju, 3 i 6 cm, kao i njegov oštar kut - 45º. Bočno rebro ima nagib prema bazi od 30º i jednako je 4 cm.

Otopina. Da biste odgovorili na pitanje problema, morate uzeti formulu koja je napisana za volumen nagnutog paralelopipeda. Ali obje su količine u njemu nepoznate.

Područje baze, odnosno paralelograma, odredit će se formulom u kojoj morate pomnožiti poznate strane i sinus oštrog kuta između njih.

S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).

Druga nepoznata veličina je visina. Može se povući iz bilo kojeg od četiri vrha iznad baze. Može se pronaći iz pravokutnog trokuta u kojem je visina kateta, a bočni brid hipotenuza. U ovom slučaju, kut od 30º leži nasuprot nepoznate visine. To znači da možemo koristiti omjer katete i hipotenuze.

n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.

Sada su sve vrijednosti poznate i volumen se može izračunati:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).

Odgovor: volumen je 18 √2 cm 3.

Treći zadatak

Stanje. Odredi obujam paralelepipeda ako se zna da je ravan. Stranice njegove baze čine paralelogram i jednake su 2 i 3 cm. Oštar kut između njih je 60º. Manja dijagonala paralelopipeda jednaka je većoj dijagonali baze.

Otopina. Da bismo saznali volumen paralelopipeda, koristimo se formulom s osnovicom i visinom. Obje su veličine nepoznate, ali ih je lako izračunati. Prvi je visina.

Budući da se manja dijagonala paralelopipeda po veličini podudara s većom bazom, mogu se označiti istim slovom d. Veći kut paralelogram je 120º, jer čini 180º s šiljastim. Neka druga dijagonala baze bude označena slovom "x". Sada za dvije dijagonale baze možemo napisati kosinusne teoreme:

d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.

Nema smisla pronaći vrijednosti bez kvadrata, jer će kasnije ponovno biti podignute na drugu snagu. Nakon zamjene podataka dobivamo:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Sada će se visina, koja je ujedno i bočni rub paralelopipeda, pokazati kao krak u trokutu. Hipotenuza će biti poznata dijagonala tijela, a druga kateta bit će "x". Možemo napisati Pitagorin teorem:

n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.

Dakle: n = √12 = 2√3 (cm).

Sada je druga nepoznata veličina površina baze. Može se izračunati pomoću formule spomenute u drugom problemu.

S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).

Kombinirajući sve u formulu volumena, dobivamo:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Odgovor: V = 18 cm 3.

Četvrti zadatak

Stanje. Potrebno je saznati obujam paralelopipeda koji ispunjava sljedeće uvjete: baza je kvadrat sa stranicom 5 cm; bočna lica su rombovi; jedan od vrhova koji se nalazi iznad baze jednako je udaljen od svih vrhova koji leže na bazi.

Otopina. Prvo se morate pozabaviti stanjem. Uz prvu točku o trgu nema pitanja. Drugi, o rombovima, jasno pokazuje da je paralelopiped nagnut. Štoviše, svi njegovi rubovi jednaki su 5 cm, budući da su strane romba iste. A iz trećeg postaje jasno da su tri dijagonale izvučene iz njega jednake. To su dva koja leže na bočnim stranama, a posljednji je unutar paralelopipeda. I te su dijagonale jednake rubu, odnosno također imaju duljinu od 5 cm.

Za određivanje volumena trebat će vam formula napisana za nagnuti paralelopiped. U njemu opet nema poznatih količina. Međutim, područje baze je lako izračunati jer je to kvadrat.

S o = 5 2 = 25 (cm 2).

Situacija s visinom je malo kompliciranija. To će biti ovako u tri figure: paralelopiped, četverokutna piramida i jednakokračni trokut. Ovu posljednju okolnost treba iskoristiti.

Budući da je to visina, to je krak u pravokutnom trokutu. Hipotenuza u njemu bit će poznati rub, a druga noga jednaka je polovici dijagonale kvadrata (visina je također medijan). A dijagonalu baze lako je pronaći:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).

V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).

Odgovor: 62,5 √2 (cm 3).

U ovoj lekciji svatko će moći proučavati temu "Pravokutni paralelopiped". Na početku lekcije ponovit ćemo što su proizvoljni i ravni paralelopipedi, prisjetiti se svojstava njihovih suprotnih stranica i dijagonala paralelopipeda. Zatim ćemo pogledati što je kvadar i razgovarati o njegovim osnovnim svojstvima.

Tema: Okomitost pravaca i ravnine

Lekcija: Kvadar

Ploha sastavljena od dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 i četiri paralelograma ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 naziva se paralelopiped(slika 1).

Riža. 1 paralelopiped

Odnosno: imamo dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 (baze), leže u paralelne ravnine tako da su bočni bridovi AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 paralelni. Tako se ploha sastavljena od paralelograma naziva paralelopiped.

Dakle, površina paralelopipeda je zbroj svih paralelograma koji čine paralelopiped.

1. Nasuprotne plohe paralelopipeda su paralelne i jednake.

(oblici su jednaki, odnosno mogu se spajati preklapanjem)

Na primjer:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (jednaki paralelogrami po definiciji),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (budući da su AA 1 B 1 B i DD 1 C 1 C suprotna lica paralelopipeda),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (jer su AA 1 D 1 D i BB 1 C 1 C suprotne plohe paralelepipeda).

2. Dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki i tom se točkom dijele na pola.

Dijagonale paralelopipeda AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B sijeku se u jednoj točki O, a svaka se dijagonala tom točkom dijeli na pola (slika 2).

Riža. 2 Dijagonale paralelopipeda sijeku se i sjecištem ih dijeli popola.

3. Tri su četvorke jednakih i paralelnih bridova paralelopipeda: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Definicija. Paralelepiped se naziva ravnim ako su mu bočni bridovi okomiti na baze.

Neka bočni brid AA 1 bude okomit na podnožje (sl. 3). To znači da je pravac AA 1 okomit na pravce AD i AB koji leže u ravnini baze. To znači da bočne strane sadrže pravokutnike. A baze sadrže proizvoljne paralelograme. Označimo ∠BAD = φ, kut φ može biti bilo koji.

Riža. 3 Pravi paralelopiped

Dakle, pravi paralelopiped je paralelopiped u kojem su bočni bridovi okomiti na osnovice paralelopipeda.

Definicija. Paralelepiped se naziva pravokutnik, ako su mu bočni bridovi okomiti na osnovicu. Osnove su pravokutnici.

Paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je pravokutan (slika 4), ako je:

1. AA 1 ⊥ ABCD (bočni brid okomit na ravninu baze, odnosno ravni paralelopiped).

2. ∠BAD = 90°, tj. baza je pravokutnik.

Riža. 4 Pravokutni paralelopiped

Pravokutni paralelopiped ima sva svojstva proizvoljnog paralelopipeda. Ali postoje dodatna svojstva koja su izvedena iz definicije kvadra.

Tako, kuboidan je paralelopiped čiji su bočni bridovi okomiti na osnovicu. Osnovica pravokutnog paralelopipeda je pravokutnik.

1. U pravokutnom paralelopipedu svih šest stranica su pravokutnici.

ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su po definiciji pravokutnici.

2. Bočna rebra su okomita na bazu. To znači da su sve bočne stranice pravokutnog paralelopipeda pravokutnici.

3. Sve diedralni kutovi pravokutni paralelopiped ravne linije.

Promotrimo, na primjer, diedarski kut pravokutnog paralelopipeda s bridom AB, tj. diedarski kut između ravnina ABC 1 i ABC.

AB je brid, točka A 1 leži u jednoj ravnini - u ravnini ABB 1, a točka D u drugoj - u ravnini A 1 B 1 C 1 D 1. Tada se razmatrani diedarski kut može označiti i na sljedeći način: ∠A 1 ABD.

Uzmimo točku A na rubu AB. AA 1 je okomit na brid AB u ravnini AVV-1, AD je okomit na brid AB u ravnini ABC. Dakle, ∠A 1 AD - linearni kut zadani diedarski kut. ∠A 1 AD = 90°, što znači da je diedarski kut na bridu AB 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Slično se dokazuje da su svi diedarski kutovi pravokutnog paralelopipeda pravi.

Kvadratna dijagonala kvadra jednak zbroju kvadrati svoje tri dimenzije.

Bilješka. Duljine triju bridova koji izlaze iz jednog vrha kvadra mjere su kvadra. Ponekad se nazivaju duljina, širina, visina.

Zadano je: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravokutni paralelopiped (sl. 5).

Dokaži: .

Riža. 5 Pravokutni paralelopiped

Dokaz:

Pravac CC 1 okomit je na ravninu ABC, a time i na pravac AC. To znači da je trokut CC 1 A pravokutan. Prema Pitagorinoj teoremi:

Promotrimo pravokutni trokut ABC. Prema Pitagorinoj teoremi:

Ali prije Krista i AD - suprotne strane pravokutnik. Dakle, BC = AD. Zatim:

Jer , A , To. Budući da je CC 1 = AA 1, to je trebalo dokazati.

Dijagonale pravokutnog paralelopipeda su jednake.

Označimo dimenzije paralelopipeda ABC kao a, b, c (vidi sliku 6), tada je AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Definicija

Poliedar nazvat ćemo zatvorenu plohu sastavljenu od mnogokuta i omeđujući određeni dio prostora.

Segmenti koji su stranice tih poligona nazivaju se rebra poliedar, a sami poligoni su rubovi. Vrhovi poligona nazivaju se vrhovi poliedra.

Razmatrat ćemo samo konveksne poliedre (ovo je poliedar koji se nalazi s jedne strane svake ravnine koja sadrži njegovu plohu).

Mnogokuti koji čine poliedar čine njegovu plohu. Dio prostora koji je omeđen danim poliedrom naziva se njegova unutrašnjost.

Definicija: prizma

Razmotrimo dva jednaka poligona \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) smještena u paralelnim ravninama tako da segmenti \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) paralelno. Poliedar sastavljen od poligona \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) , kao i paralelograma \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), naziva se (\(n\)-gonal) prizma.

Poligoni \(A_1A_2A_3...A_n\) i \(B_1B_2B_3...B_n\) nazivaju se bazama prizme, paralelogramima \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– bočne strane, segmenti \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- bočna rebra.
Dakle, bočni rubovi prizme su međusobno paralelni i jednaki.

Pogledajmo primjer - prizmu \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), u čijoj osnovi leži konveksni peterokut.

Visina prizme su okomice spuštene iz bilo koje točke jedne baze na ravninu druge baze.

Ako bočni rubovi nisu okomiti na bazu, tada se takva prizma naziva sklona(Sl. 1), inače – izravni. U ravnoj prizmi bočni bridovi su visine, a bočne plohe jednaki pravokutnici.

Ako pravilni mnogokut leži na bazi ravne prizme, tada se prizma naziva ispraviti.

Definicija: pojam volumena

Mjerna jedinica volumena je jedinična kocka (kocka koja mjeri \(1\times1\times1\) jedinica\(^3\), gdje je jedinica određena mjerna jedinica).

Možemo reći da je volumen poliedra količina prostora koju taj poliedar ograničava. Inače: ovo je veličina čija numerička vrijednost pokazuje koliko puta jedinična kocka i njeni dijelovi stanu u dati poliedar.

Volumen ima ista svojstva kao površina:

1. Svesci jednake figure su jednaki.

2. Ako je poliedar sastavljen od više poliedara koji se ne sijeku, tada je njegov volumen jednak zbroju volumena tih poliedara.

3. Volumen je nenegativna veličina.

4. Volumen se mjeri u cm\(^3\) (kubičnim centimetrima), m\(^3\) (kubičnim metrima) itd.

Teorema

1. Površina bočne površine prizme jednaka je proizvodu opsega baze i visine prizme.
Bočna površina je zbroj površina bočnih stranica prizme.

2. Volumen prizme jednak je umnošku površine baze i visine prizme: \

Definicija: paralelopiped

Paralelopiped je prizma s paralelogramom u osnovi.

Sve plohe paralelopipeda (ima \(6\) : \(4\) bočne plohe i \(2\) osnovke) su paralelogrami, a suprotne plohe (međusobno paralelne) su jednaki paralelogrami (slika 2) .

Dijagonala paralelopipeda je isječak koji povezuje dva vrha paralelepipeda koji ne leže na istoj plohi (ima ih \(8\): \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) itd.).

Pravokutni paralelopiped je pravi paralelopiped s pravokutnikom u osnovi.
Jer Budući da je ovo pravi paralelopiped, bočne strane su pravokutnici. To znači da su općenito sve plohe pravokutnog paralelopipeda pravokutnici.

Sve dijagonale pravokutnog paralelopipeda su jednake (to proizlazi iz jednakosti trokuta \(\trokut ACC_1=\trokut AA_1C=\trokut BDD_1=\trokut BB_1D\) itd.).

Komentar

Dakle, paralelopiped ima sva svojstva prizme.

Teorema

Bočna površina pravokutnog paralelopipeda je \

Kvadrat puna površina pravokutni paralelopiped jednak je \

Teorema

Volumen kvadra jednak je umnošku njegova tri brida koji izlaze iz jednog vrha (tri dimenzije kvadra): \

Dokaz

Jer U pravokutnom paralelopipedu bočni bridovi su okomiti na osnovicu, onda su to i njegove visine, odnosno \(h=AA_1=c\) Jer baza je pravokutnik, dakle \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Odatle dolazi ova formula.

Teorema

Dijagonala \(d\) pravokutnog paralelopipeda nalazi se pomoću formule (gdje su \(a,b,c\) dimenzije paralelopipeda) \

Dokaz

Pogledajmo sl. 3. Jer baza je pravokutnik, tada je \(\trokut ABD\) pravokutan, dakle, prema Pitagorinom teoremu \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Jer tada su svi bočni bridovi okomiti na baze \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) okomito na bilo koju ravnu liniju u ovoj ravnini, tj. \(BB_1\perp BD\) . To znači da je \(\trokut BB_1D\) pravokutan. Zatim, po Pitagorinom teoremu \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd

Definicija: kocka

Kocka je pravokutni paralelopiped, čija su sva lica jednaki kvadrati.

Dakle, tri dimenzije su međusobno jednake: \(a=b=c\) . Dakle, istinito je sljedeće

Teoremi

1. Volumen kocke s bridom \(a\) jednak je \(V_(\tekst(kocka))=a^3\) .

2. Dijagonala kocke nalazi se pomoću formule \(d=a\sqrt3\) .

3. Ukupna površina kocke \(S_(\tekst(puna kocka))=6a^2\).

Tema: Okomitost pravaca i ravnine

Lekcija: Kvadar

Ploha sastavljena od dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 i četiri paralelograma ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 naziva se paralelopiped(slika 1).

Riža. 1 paralelopiped

Odnosno: imamo dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 (baze), leže u paralelnim ravninama tako da su bočni bridovi AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 paralelni. Tako se ploha sastavljena od paralelograma naziva paralelopiped.