U fizici se trokutasta prizma izrađena od stakla često koristi za proučavanje spektra bijela svjetlost, budući da ga je sposoban razgraditi na pojedinačne komponente. U ovom ćemo članku razmotriti formulu volumena

Što je trokutasta prizma?

Prije davanja formule volumena, razmotrimo svojstva ove figure.

Da biste to dobili, trebate uzeti trokut bilo kojeg oblika i pomaknuti ga paralelno sa samim sobom na određenu udaljenost. Vrhovi trokuta u početnoj i krajnjoj poziciji trebaju biti povezani ravnim segmentima. Rezultirajuća volumetrijska figura naziva se trokutasta prizma. Sastoji se od pet strana. Dvije od njih nazivaju se bazama: međusobno su paralelne i jednake. Osnovice predmetne prizme su trokuti. Tri preostale stranice su paralelogrami.

Osim stranica, predmetnu prizmu karakterizira šest vrhova (po tri za svaku bazu) i devet bridova (6 bridova leži u ravninama baza, a 3 brida nastaju sjecištem stranica). Ako su bočni rubovi okomiti na baze, tada se takva prizma naziva pravokutnom.

Razlika trokutasta prizma od svih ostalih likova ove klase je da je uvijek konveksan (četvero-, pet-, ..., n-kutne prizme također mogu biti konkavne).

To je pravokutna figura s jednakostraničnim trokutom u svojoj osnovi.

Volumen opće trokutaste prizme

Kako pronaći volumen trokutaste prizme? Formula u opći pogled slično kao za bilo koju vrstu prizme. Ima sljedeću matematičku notaciju:

Ovdje je h visina figure, odnosno udaljenost između njegovih baza, S o je površina trokuta.

Vrijednost S o može se pronaći ako su poznati neki parametri za trokut, na primjer, jedna stranica i dva kuta ili dvije stranice i jedan kut. Površina trokuta jednaka je polovici umnoška njegove visine i duljine stranice za koju je ta visina spuštena.

Što se tiče visine h figure, najlakše ju je pronaći za pravokutnu prizmu. U potonjem slučaju, h se podudara s duljinom bočnog ruba.

Volumen pravilne trokutaste prizme

Opća formula za volumen trokutaste prizme, koja je dana u prethodni odjeljakčlanak se može koristiti za izračunavanje odgovarajuće vrijednosti za pravilnu trokutastu prizmu. Budući da mu je osnovica jednakostraničan trokut, površina mu je jednaka:

Svatko može dobiti ovu formulu ako se sjeti da su u jednakostraničkom trokutu svi kutovi međusobno jednaki i iznose 60o. Ovdje je simbol a duljina stranice trokuta.

Visina h je duljina brida. Nema to veze s temeljcem ispravna prizma i može poprimiti proizvoljne vrijednosti. Kao rezultat toga, formula za volumen trokutaste prizme je prava vrsta izgleda ovako:

Nakon što ste izračunali korijen, ovu formulu možete prepisati na sljedeći način:

Dakle, da biste pronašli volumen pravilne prizme s trokutastom bazom, potrebno je kvadrirati stranicu baze, pomnožiti ovu vrijednost s visinom i pomnožiti dobivenu vrijednost s 0,433.

Definicija.

Ovo je šesterokut čije su baze dva jednaka kvadrata, a bočne strane su jednaki pravokutnici.

Bočno rebro- je zajednička stranica dviju susjednih bočnih ploha

Visina prizme- ovo je segment okomit na baze prizme

Dijagonala prizme- segment koji povezuje dva vrha baza koje ne pripadaju istoj plohi

Dijagonalna ravnina- ravnina koja prolazi dijagonalom prizme i njezinim bočnim bridovima

Dijagonalni presjek- granice presjecišta prizme i dijagonalne ravnine. Dijagonalni presjek pravilne četverokutne prizme je pravokutnik

Okomit presjek (ortogonalni presjek)- ovo je sjecište prizme i ravnine povučene okomito na njezine bočne rubove

Elementi pravilne četverokutne prizme

Slika prikazuje dvije pravilne četverokutne prizme, koje su označene odgovarajućim slovima:

• Osnovice ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su međusobno jednake i paralelne
• Bočne strane AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, od kojih je svaka pravokutnik
• Bočna površina- zbroj površina svih bočnih stranica prizme
• Ukupna površina - zbroj površina svih baza i bočnih stranica (zbroj površina bočne površine i baza)
• Bočna rebra AA 1, BB 1, CC 1 i DD 1.
• Dijagonala B 1 D
• Dijagonala baze BD
• Dijagonalni presjek BB 1 D 1 D
• Okomit presjek A 2 B 2 C 2 D 2.

Svojstva pravilne četverokutne prizme

• Osnovice su dva jednaka kvadrata
• Baze su međusobno paralelne
• Bočne strane su pravokutnici
• Bočni rubovi su međusobno jednaki
• Bočne plohe su okomite na baze
• Bočna rebra su međusobno paralelna i jednaka
• Okomit presjek okomit na sva bočna rebra i paralelan s bazama
• Kutovi okomitog presjeka - ravni
• Dijagonalni presjek pravilne četverokutne prizme je pravokutnik
• Okomica (ortogonalni presjek) paralelna s bazama

Formule pravilne četverokutne prizme

Upute za rješavanje problema

Prilikom rješavanja problema na temu " pravilna četverokutna prizma" znači da:

Ispravna prizma- prizma u čijoj osnovi leži pravilan mnogokut, a bočni bridovi su okomiti na ravnine baze. To jest, pravilna četverokutna prizma sadrži u svojoj osnovi kvadrat. (vidi gore svojstva pravilne četverokutne prizme) Bilješka. Ovo je dio lekcije s geometrijskim zadacima (dio stereometrija - prizma). Evo problema koje je teško riješiti. Ako trebate riješiti geometrijski problem koji nije ovdje, pišite o tome na forumu. Za označavanje radnje vraćanja kvadratni korijen simbol se koristi u rješavanju problema√ .

Zadatak.

U pravilnoj četverokutnoj prizmi površina baze je 144 cm 2, a visina 14 cm. Odredite dijagonalu prizme i oplošje puna površina.

Otopina.
Pravilan četverokut je kvadrat.
Prema tome, strana baze će biti jednaka

√144 = 12 cm.
Odakle će biti jednaka dijagonala baze pravilne pravokutne prizme
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Dijagonala pravilne prizme tvori se s dijagonalom baze i visinom prizme. pravokutni trokut. Prema tome, prema Pitagorinom teoremu, dijagonala dane pravilne četverokutne prizme bit će jednaka:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odgovor: 22 cm

Zadatak

Odredi ukupnu plohu pravilne četverokutne prizme ako je njezina dijagonala 5 cm, a dijagonala bočne plohe 4 cm.

Otopina.
Budući da je baza pravilne četverokutne prizme kvadrat, stranicu baze (označenu kao a) nalazimo koristeći Pitagorin teorem:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Visina bočne strane (označena kao h) tada će biti jednaka:

H2 + 12,5 = 42
h 2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5
h = √3.5

Ukupna površina bit će jednaka zbroju bočne površine i dvostruke osnovne površine

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odgovor: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Vrsta posla: 8
Tema: Prizma

Stanje

U pravilnoj trokutastoj prizmi ABCA_1B_1C_1, stranice baze su 4, a bočni bridovi su 10. Odredite površinu poprečnog presjeka prizme ravninom koja prolazi središtima bridova AB, AC, A_1B_1 i A_1C_1.

Prikaži rješenje

Otopina

Razmotrite sljedeću sliku.

Odsječak MN je dakle središnja crta trokuta A_1B_1C_1 MN = \frac12 B_1C_1=2. Također, KL=\frac12BC=2. Osim toga, MK = NL = 10. Slijedi da je četverokut MNLK paralelogram. Budući da je MK\paralela AA_1, onda MK\perp ABC i MK\perp KL. Prema tome, četverokut MNLK je pravokutnik. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 20.

10\cdot 2 =

Vrsta posla: 8
Tema: Prizma

Stanje

Odgovor

Prikaži rješenje

Otopina

Volumen pravilne četverokutne prizme ABCDA_1B_1C_1D_1 je 24 . Točka K je sredina ruba CC_1. Nađi obujam piramide KBCD.

Prema uvjetu KC je visina piramide KBCD. CC_1 je visina prizme ABCDA_1B_1C_1D_1. Budući da je K središte CC_1, tada KC=\frac12CC_1. Neka je onda CC_1=H KC=\frac12H . Imajte na umu i to S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). Zatim, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H=\frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Stoga,

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Vrsta posla: 8
Tema: Prizma

Stanje

Izvor: “Matematika. Pripreme za Jedinstveni državni ispit 2017. Razina profila." ur. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Prikaži rješenje

Otopina

Nađite bočnu površinu pravilne šesterokutne prizme čija je osnovna stranica 6, a visina 8. · Područje bočne površine prizme nalazi se formulom S strane. = P osnovni

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Vrsta posla: 8
Tema: Prizma

Stanje

h = 6a\cdot h, gdje je P osnovni. i h su, redom, opseg baze i visina prizme, jednaki 8, a a je stranica pravilnog šesterokuta, jednaka 6. Prema tome, S strana. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Prikaži rješenje

Otopina

Voda je bila ulivena u posudu u obliku pravilne trokutaste prizme. Razina vode dosegne 40 cm Na kojoj će visini biti voda ako se ulije u drugu posudu istog oblika čija je stranica dna dva puta veća od prve? Odgovor izrazite u centimetrima. Neka je a stranica dna prve posude, tada je 2 a stranica dna druge posude. Prema uvjetu, volumen tekućine V u prvoj i drugoj posudi je isti. Označimo s H razinu do koje se tekućina popela u drugoj posudi. Zatim V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40=\frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, I, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Odavde \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H,

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Vrsta posla: 8
Tema: Prizma

Stanje

U pravilnoj šesterokutnoj prizmi ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 svi bridovi su jednaki 2. Pronađite udaljenost između točaka A i E_1.

Prikaži rješenje

Otopina

Trokut AEE_1 je pravokutan, budući da je brid EE_1 okomit na ravninu baze prizme, kut AEE_1 bit će pravi kut.

Zatim, prema Pitagorinom teoremu, AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Nađimo AE iz trokuta AFE koristeći kosinusni teorem. Svaki unutarnji kut pravilnog šesterokuta je 120^(\circ). Zatim AE^2=

AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)=

2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\lijevo (-\frac12 \desno).

Dakle, AE^2=4+4+4=12,

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Vrsta posla: 8
Tema: Prizma

Stanje

AE_1^2=12+4=16, AE_1=4. Odredite površinu bočne površine ravne prizme u čijoj osnovi leži romb s dijagonalama jednakim

Prikaži rješenje

Otopina

4\sqrt5 · i 8, i bočni rub jednak 5.

Područje bočne površine ravne prizme nalazi se pomoću formule S strane. = P osnovni

h = 4a\cdot h, gdje je P osnovni. i h, redom, opseg baze i visina prizme, jednak 5, a a je stranica romba. Nađimo stranicu romba koristeći se činjenicom da su dijagonale romba ABCD međusobno okomite i da se sjecištem dijele na dva dijela.

Video tečaj "Get A" uključuje sve teme potrebne za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sa 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Prikladno i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite položiti Jedinstveni državni ispit s 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i bez grešaka! Pripremni tečaj za Jedinstveni državni ispit za razrede 10-11, kao i za učitelje. Sve što vam je potrebno za rješavanje prvog dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 problema) i problema 13 (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa 100 bodova ni student humanističkih znanosti. Sva potrebna teorija.

Brzi načini rješenja, zamke i tajne jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI Banke zadataka. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018. Tečaj sadrži 5

velike teme , svaki po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno. Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Problemi s riječima i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Varljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorna imaginacija. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Vizualno objašnjenje složeni pojmovi. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Osnova za rješenje

Učenici koji se pripremaju za polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike svakako bi trebali naučiti rješavati probleme pronalaženja područja ravne i pravilne prizme. Dugogodišnja praksa potvrđuje činjenicu da mnogi učenici takve geometrijske zadatke smatraju dosta teškima.

U isto vrijeme, srednjoškolci s bilo kojim stupnjem obuke trebali bi moći pronaći površinu i volumen pravilne i ravne prizme. Samo u ovom slučaju moći će računati na dobivanje natjecateljskih bodova na temelju rezultata položenog Jedinstvenog državnog ispita.

Ključne točke koje treba zapamtiti

• Ako su bočni rubovi prizme okomiti na osnovicu, zove se pravac. Sve bočne strane ove figure su pravokutnici. Visina ravne prizme poklapa se s njezinim rubom.
• Pravilna prizma je ona čiji su bočni bridovi okomiti na osnovicu u kojoj se nalazi pravilan mnogokut. Bočne strane ove figure su jednaki pravokutnici. Ispravna prizma je uvijek ravna.

Priprema za jedinstveni državni ispit zajedno sa Shkolkovom ključ je vašeg uspjeha!

Kako bi vaša nastava bila lakša i što učinkovitija, odaberite naš matematički portal. Sve je predstavljeno ovdje potreban materijal, koji će vam pomoći da se pripremite za polaganje certifikacijskog ispita.

specijalisti obrazovni projekt“Shkolkovo” predlaže ići od jednostavnog prema složenom: prvo dajemo teoriju, osnovne formule, teoreme i elementarne probleme s rješenjima, a zatim postupno prelazimo na zadatke stručna razina.

Osnovni podaci sistematizirani su i pregledno prikazani u dijelu “Teoretski podaci”. Ako ste već uspjeli ponoviti potrebno gradivo, preporučamo da uvježbate rješavanje zadataka o pronalaženju oplošja i volumena prave prizme. Odjeljak "Katalog" predstavlja veliki izbor vježbi različitim stupnjevima složenost.

Pokušajte izračunati površinu ravne i pravilne prizme ili odmah. Analizirajte bilo koji zadatak. Ako ne uzrokuje poteškoće, možete sigurno prijeći na vježbe na stručnoj razini. A ako se pojave određene poteškoće, preporučujemo da se redovito pripremate za Jedinstveni državni ispit putem interneta zajedno s matematičkim portalom Shkolkovo, a zadaci na temu "Ravna i pravilna prizma" bit će vam laki.