1. Bit transformacijske metode, njezino mjesto u školski tečaj geometrija.

2. Vrste transformacija:

a) kretanja i njihova svojstva; jednakost figura;

b) transformacija sličnosti; slične brojke.

3. Primjene transformacijske metode.

(1) Za različite autore udžbenika geometrije za srednje škole transformacije zauzimaju različita mjesta u smislu opsega i stupnja strogosti. U udžbenik uredio A. N. Kolmogorov, transformacije služe kao osnova za dokaz mnogih teorema (njihovom opravdanju posvećen je njihov poseban aksiom pokretljivosti). Udžbenik A. P. Kiseleva ne govori ništa o transformacijama.

U geometriji 7-11 A.V.Pogorelova tema transformacije figura se obrađuje u osmom razredu. Tema nije velikog opsega. Koncept “transformacije” izveden je na vizualnoj i intuitivnoj razini: “Ako se svaka točka date figure na neki način pomakne, tada ćemo dobiti novu figuru. Kažu da je ova brojka dobivena transformacijom iz ove."

Opisna definicija je popraćena slikom. Daje se definicija gibanja i razmatraju se njegova svojstva. Zatim su jasno definirane specifične vrste transformacija. U ovom vodiču, simetrija oko točke, simetrija oko pravca, homotetija i sličnost definirani su kao transformacije s odgovarajućim svojstvima; paralelno prevođenje je definirano kao transformacija u koordinatnom obliku; a okretanje se definira kao vrsta kretanja. Uz definiciju transformacija, dan je i način konstruiranja likova tijekom transformacija.

U udžbeniku Geometrija 7-9 (autori: L. S. Atanasyan i dr.) gradivo o transformacijama prikazano je pod temom "Kretanja" u 9. razredu. Ovo je zadnja tema u ovom vodiču. Ovdje se uvode koncepti "preslikavanja ravnine na samu sebe", "kretanje" i razmatraju se glavne vrste kretanja. Osim toga, razumije važno pitanje o povezanosti pojmova preklapanja I pokret, njihova je ekvivalentnost dokazana.

Glavni cilj teme je upoznati studente s pojmom gibanja u ravnini, s određenim vrstama gibanja: središnja i osna simetrija, paralelna translacija, rotacija. Koncept preslikavanja ravnine na samu sebe smatra se samo osnovom za uvođenje pojma gibanja. Preslikavanje ravnine na samu sebe na vizualnoj i intuitivnoj razini razmatra se pomoću pojmova aksijalne i središnje simetrije koji su učenicima već poznati.

Budući da program srednje škole u matematici još ne pruža detaljnu studiju razna svojstva navedenih transformacija, onda bi pitanje uporabe transformacija trebalo prenijeti u izbornu nastavu ili razmotriti na nastavi matematičkog kruga. Kao što je gore spomenuto, općeobrazovni školski tečaj geometrije ne ide u detalje o matematičkoj definiciji koncepta "transformacije". No, nastavnik matematike trebao bi razumjeti da se u geometriji transformacija (u slučaju ravnine) shvaća kao "preslikavanje cijele ravnine na samu sebe, u kojem svaka točka X prikazan u jednoj točki X 1, i u svakoj točki Y 1 odgovara jednoj točki Y».

S učenicima razgovaramo o transformaciji oblika. Lik je, za razliku od ravnine, konačan, pa je koncept transformacije likova pristupačniji. Učenicima se može reći da je transformacija ravnine funkcija, i obrazovanje, ali u geometriji govorimo o podudarnosti točaka, a ne brojeva.

(2) Među transformacijama koje se uče u školi postoje dvije vrste: transformacija gibanja i transformacija sličnosti. U školi se ne proučavaju sve vrste transformacija.

„Transformacija jedne figure u drugu naziva se gibanjem ako zadržava razmak između točaka, tj. prevodi bilo koje dvije točke X I Y jedna brojka u bodove X 1 i Y 1 druga figura tako da XY = X 1 Y 1".

Ako se razmatra sekvencijalno izvođenje dviju ili više transformacija, tada se rezultat takvog sekvencijalnog izvođenja transformacija u geometriji naziva sastav transformacije.

U ovom vodiču je navedeno samo jedno svojstvo kompozicije: dva stavka izvedena u nizu ponovno proizvode pokret.

Razmatra se i obrnuta transformacija ove. Dokazano je da je transformacija inverzna gibanju gibanje.

Postoji implicitno svojstvo: sastav transformacije njezinog inverza je identična transformacija.

Učenici trebaju shvatiti da je nakon dokazivanja svojstava gibanja moguće operirati ne samo s točkama, već i s transformacijama odsječaka, ravnih linija, zraka, kutova itd. I možete biti potpuno sigurni da će se figure koje su bile podvrgnute transformaciji gibanja pretvoriti u iste: segmenti će se pretvoriti u segmente, kutovi u kutove, itd.; Štoviše, segmenti će se pretvoriti u jednake segmente, kutovi u jednake kutove, itd.

U udžbeniku A.V.Pogorelova dokazuje se da je simetrija oko točke gibanje (koristeći prvi kriterij jednakosti trokuta); simetrija oko pravca je gibanje (dokazuje se koordinatnom metodom). U drugom slučaju, os simetrije je odabrana kao os ordinate.

Sljedeći korak u proučavanju pokreta je njihovo korištenje za određivanje jednakost brojke.

Jednakost likova uvodi se na različite načine u različitim školskim predmetima geometrije. Ponekad je opća definicija " jednake figure” uopće se ne daje, ponekad se odmah uvodi. U udžbeniku A.V. Pogorelov najprije uvodi pojam jednakosti određenih likova (odsječaka, kutova, trokuta), a zatim daje opća definicija jednakost figura koristeći koncept gibanja: “ Dva se lika nazivaju jednakima ako se kretanjem pretvaraju jedan u drugi.”

To je dokazano važna činjenica: jednakost trokuta, određena njihovom kombinacijom kretanjem, i jednakost, kako smo je do sada shvaćali, izražavaju isto. Drugim riječima, moguće je dokazati istovjetnost dviju definicija. Dokaz se sastoji od dva dijela: 1) iz pretpostavke da 2 trokuta ABC I A 1 U 1 S 1 se spajaju kretanjem, dokazuje se jednakost njihovih odgovarajućih kutova i stranica; 2) pretpostavlja se da ti trokuti imaju jednake odgovarajuće stranice i kutove i dokazuje se da se mogu spojiti kretanjem.

Prvi dio dokaza oslanja se na definiciju gibanja i njegovo svojstvo da su kutovi očuvani tijekom gibanja. Rješenje drugog dijela zadatka ovisi o položaju trokuta. Razmotrimo jednu od opcija dokaza, različitu od one date u udžbeniku A.V. Pogorelova. Trokut A 2 U 1 S 2 se izvodi iz trokuta ABC paralelna translacija u smjeru određenom snopom AA 2 po udaljenosti AA 2. Trokut A 1 U 1 S 1 se izvodi iz trokuta A 2 U 1 S 2 okretanjem za kut α u smjeru kazaljke na satu (vidi sl. 1).

Glavni cilj izučavanja ove teme je upoznavanje učenika s primjerima geometrijskih transformacija.

U radu na temi glavnu pozornost treba posvetiti razvijanju vještina konstruiranja slika najjednostavnijih figura (točaka, segmenata, trokuta) specifičnim pokretima. Svojstvo gibanja se koristi na vizualnoj i intuitivnoj razini; odgovarajući teoremi mogu se razmatrati bez dokaza. Prilikom rješavanja zadataka učenici se trebaju upoznati s primjerima likova koji imaju simetriju.

Opći koncept o jednakosti likova može se razmatrati samo uvodno (npr. u obliku predavanja) bez naknadne reprodukcije dokaza od strane studenata.

U udžbeniku geometrija 7-9 HP. Atanasyana i drugih, tema “Kretanje” započinje uvođenjem pojma preslikavanja ravnine na samu sebe, čija se definicija daje opisno.

Proučavanje teme započinje ponavljanjem pojma točke simetrične u odnosu na zadanu točku ( centralna simetrija) i zadana linija ( osna simetrija).

Ranije, u 8. razredu, učenici su središnju i osnu simetriju smatrali svojstvom geometrijski oblici. Sada se ovi općenito poznati pojmovi uvode kao primjeri preslikavanja ravnine na samu sebe. Tijekom ponavljanja učenike treba upoznati s pojmom održavanja udaljenosti između točaka. Nešto poput sljedećih zadataka može poslužiti u tu svrhu.

1. Iscrtajte točke A 1 , U 1, simetrično na točke A I U relativno ravno l(vidi sl. 2a – 2c).

2. Postoji li točka na ravnini za koju ne postoji točka simetrična u odnosu na zadani pravac?

3. Dokažite da u svakom od slučajeva 2a – 2b A 1 U 1 = AB.

4. Čekaj malo A 1 i U 1, simetrično na točke A I U u odnosu na točku OKO, ako a) točka OKO leži na segmentu AB; b) točka OKO ne leži na ravnoj liniji AB.

5. Postoji li takva točka u ravnini za koju ne postoji točka simetrična u odnosu na tu točku?

6. Dokažite da je u svakom od 4 slučaja razmatrana u zadatku A 1 U 1 = AB.

Sada možemo uvesti koncept preslikavanja ravnine na samu sebe i ilustrirati ga primjerima središnje i osne simetrije. Važno je naglasiti da su pri preslikavanju ravnine na samu sebe ispunjena 2 uvjeta:

1) Svakoj točki u ravnini pridružena je jedna točka na ravnini;

2) Svaka točka na ravnini se dovodi u korespondenciju s nekom točkom na ravnini.

Nakon toga možete razmotriti zadatke konsolidacije ovaj koncept.

Sada, na temelju gore navedenih zadataka 3 i 6, uvodimo koncept kretanja:

"Kretanje aviona je preslikavanje aviona na samu sebe, uz očuvanje udaljenosti."

Nakon toga se razmatra teorem o preslikavanju segmenta i njegov korolar. Učenike treba podsjetiti da se dokaz sastoji od dva dijela:

1) dokazuje se da svaka točka R ovog segmenta MN karte do određene točke R 1 segment M 1 N 1 ;

2) dokazuje se da u svakoj točki R 1 segment M 1 N 1 neka točka prolazi R ovog segmenta MN.

Stavka Prekrivanje i kretanje nije obavezna, ali se može razmotriti u dobro pripremljenom razredu. Ovaj materijal se može prezentirati u obliku predavanja. Pojam superpozicije, na temelju kojeg je utvrđena jednakost likova, jedan je od temeljnih (nedefiniranih) pojmova u ovom kolegiju geometrije. Nametanja su takva preslikavanja ravnine na samu sebe koja imaju svojstva izražena u aksiomima 7 – 13 (Atanasyan L.S. et al. Geo. 7-9).

Kretanje je definiran koncept: ono je preslikavanje ravnine na samu sebe, uz očuvanje udaljenosti.

Iz definicije gibanja i aksioma nametanja neposredno slijedi da bilo koji preklapanje je pokret. Dokazuje se i obrnuta tvrdnja: bilo koji pokret je nametanje.

Dakle, pojam superpozicije podudara se s pojmom kretanja.

Nema potrebe od učenika zahtijevati da dokažu činjenice navedene u stavku 115.

Gradivo o paralelnoj translaciji i rotaciji još dvije vrste gibanja može se prezentirati iu obliku predavanja. Korisno je učenicima skrenuti pozornost na činjenicu da se kod paralelnog prevođenja crta preslikava na liniju koja je s njom paralelna ili na samu sebe. Iz ovoga slijedi jednostavna metoda za konstruiranje slika ravnih linija i segmenata s paralelnim prevođenjem.

Jaki učenici mogu ispitati dokaz da su paralelno prevođenje i rotacija pokreti u udžbeniku sami u razredu, nakon čega slijedi opća rasprava. Od slabih učenika ne treba tražiti da reproduciraju dokaze.

Na kraju poglavlja nalaze se geometrijski zadaci za koje se preporuča korištenje kretnji.

Neki od ovih problema dani su s rješenjima.

(2b) Igra transformacije sličnosti važnu ulogu u geometriji. Ovo je razumljivo. Naš stvarni prostor ima grupu sličnosti. Svi geometrijski objekti prostora, ako su oblikovani od ravnih segmenata, mogu se podijeliti u 2 skupa: slične i različite figure. U mnogim sličnim figurama mogu postojati jednaki. Djetetov koncept sličnosti figura nastaje mnogo ranije nego koncept njihove veličine. To se objašnjava osobitostima vizualne percepcije: Dvije figure različite veličine, ali identični po obliku ne razlikuju se.

Oblik figura se ne mijenja kada se promijeni udaljenost s koje je figura vidljiva. Glavni znakovi nepromjenjivosti oblika figure su jednakost kutovi i proporcionalnost odgovarajući segmenti.

U udžbeniku A.V. Pogorelova Geometrija 7 – 11 Definicija transformacije sličnosti uvodi se slično kao i definicija gibanja:

Transformacija lika F u lik F 1 naziva se transformacijom sličnosti ako se tijekom te transformacije udaljenost između točaka poveća (ili smanji) za isti broj puta.

To znači da ako proizvoljne točke A I U brojke F ovom transformacijom idu na bodove A 1 i U 1 figura F 1, dakle A 1 U 1 = kAV. Broj k naziva se koeficijent sličnosti.

Nakon uvođenja ovog koncepta, dokazano je da homotetija dolazi do transformacije sličnosti. Ova činjenica je dokazana vektorskom metodom. Slično, što se tiče gibanja, dokazuje se da pri transformaciji sličnosti tri točke A, U, S, koji leže na istoj ravnoj crti, transformiraju se u tri točke A 1 , U 1 , S 1 leže na istoj ravnoj liniji, a redoslijed njihovog međusobnog položaja je sačuvan. Iz toga slijedi da transformacija sličnosti pretvara pravce u prave, zrake u zrake, odsječke u odsječke.

Koristeći homotetiju, dokazuje se da transformacija sličnosti zadržava kutove između polupravaca.

Učenici trebaju obratiti pozornost na činjenicu da nije svaka transformacija sličnosti homotetija.

Koristeći koncept transformacije sličnosti, dana je definicija sličnih figura. U udžbeniku A.V. Pogorelov prvi daje definiciju sličnih figura: “Dvije figure se nazivaju sličnim ako se pretvaraju jedna u drugu transformacijom sličnosti.”

Za označavanje takvih slika, poseban simbol ~ ( F ~ F 1).

Zatim se razmatra sličnost trokuta.

U oznaci ∆ ABC~∆A 1 U 1 S 1, pretpostavlja se da su vrhovi kombinirani transformacijom sličnosti na odgovarajućim mjestima, tj. A ulazi u A 1, itd.

Iz svojstava transformacije sličnosti slijedi da sličnih trokuta odgovarajući kutovi su jednaki i odgovarajuće stranice proporcionalne.

Dokaz obilježja sličnosti provodi se korištenjem koncepta homotetije. Znakovi sličnosti pravokutnih trokuta razmatraju se zasebno.

U temi “Mnogokuti” ispituje se pitanje sličnosti pravilnih konveksnih mnogokuta.

Tema "Površine figura" bavi se pitanjem površine sličnih figura: "površine sličnih figura odnose se kao kvadrati njihovih odgovarajućih linearnih dimenzija."

Pojam transformiranja figura u prostoru uvodi se na isti način kao i na ravnini. Međutim, postoje neke osobitosti.

Pri razmatranju transformacije simetrije u prostoru, uz simetriju u odnosu na točku i pravac, dodaje se i simetrija u odnosu na ravninu. Novo svojstvo kretanja u prostoru je da kretanje pretvara ravnine u ravnine. Novo svojstvo za paralelni prijenos u prostoru je: kod paralelnog prijenosa u prostoru svaka se ravnina pretvara ili u samu sebe ili u ravninu paralelnu s njom.

Pri razmatranju teme „Sličnosti prostornih figura“ dodaju se sljedeće tvrdnje: „transformacija sličnosti pretvara ravnine u ravnine“ i „transformacija homotetije u prostoru pretvara svaku ravninu koja ne prolazi kroz središte homotetije u paralelnu ravninu ( ili u sebe kada k=1)".

Pri razmatranju transformacija u prostoru može se ograničiti na njihove intuitivne vizualne prikaze i ne fokusirati se na izvođenje korištenih činjenica. A glavni naglasak treba biti na korištenju transformacija u dokazivanju teorema i rješavanju problema.

U udžbeniku L.S. Atanasyan i dr. u 8. razredu, VII. poglavlje raspravlja o temi "Slični trokuti", koja počinje uvođenjem koncepta proporcionalnih odsječaka. Učenicima se objašnjava da svakodnevni život morate se nositi s predmetima istog oblika, ali različitih veličina. Takvi objekti su prototipovi sličnih geometrijskih figura. Fokus je na sličnim trokutima. Sličnost trokuta ne uvodi se transformacijom sličnosti, već jednakošću kutova i proporcionalnošću sličnih stranica. Znakovi sličnosti trokuta mogu se dokazati vrlo jednostavno, na temelju teorema: “Ako je kut jednog trokuta jednak kutu drugog trokuta, tada su površine tih trokuta povezane kao umnožak stranica koje zatvaraju jednake kutove.”

Nakon dokazivanja znakova sličnosti, prikazana je primjena sličnosti u dokazivanju teorema i rješavanju zadataka. Kao praktične primjene sličnosti trokuta opisane su metode za promjenu visine objekta i udaljenosti do nedostupne točke. Dana je ideja primjene metode sličnosti u rješavanju konstrukcijskih problema.

Vrlo kratki oblik govori o tome kako možete odrediti sličnost proizvoljnih likova. korištena simbolika: ∆ ABC~∆A 1 U 1 S 1 (trokut ABC sličan trokutu A 1 U 1 S 1). Daje se pojam centralno sličnih figura: „svakoj točki M brojke F točka se uspoređuje M 1 ravnina tako da se točke M I M 1 leže na zraku s početkom u nekoj fiksnoj točki OKO, i OM 1 = kOM(vidi sliku 3). Kao rezultat ove usporedbe dobiva se slika F 1, slična slici F. U ovom slučaju brojke F I F 1 nazivaju se središnje sličnim."

(3) Metoda transformacije koristi se pri razmatranju raznih teorijska pitanja kolegij geometrije: Primjena gibanja u određivanju jednakosti likova: primjena transformacije sličnosti u proučavanju sličnih trokuta (u udžbeniku A.V. Pogorelova); Paralelni transport i vektori usko su povezani.

Metoda transformacije ima široku primjenu u rješavanju raznih geometrijskih problema. Međutim, s primjenom ove metode u rješavanju zadataka učenici se ne upoznaju na školskim satima matematike. Ovo se pitanje postavlja u izbornim ili izvannastavnim aktivnostima.

Metoda transformacije koristi se pri rješavanju problema dokaza, konstrukcije, te pri rješavanju tzv. geometrijskih problema nalaženja maksimuma i minimuma. U ovom slučaju koriste se sve vrste transformacija.

Stranica 1

Transformacije likova proučavaju se u kolegiju geometrije u ravnini i prostoru. Ako se svaka točka datog lika na ravnini ili u prostoru na neki način pomakne, tada dobivamo novi lik. Kažu da je ova brojka dobivena transformacijom iz ove.  

Transformacija figure F u F2 je transformacija sličnosti, jer zadržava odnose udaljenosti između odgovarajućih točaka, ali ta transformacija nije homotetija.  

Transformacija figure F u figuru F naziva se središnja transformacija ili homotetija.  

Transformacija lika F u lik P naziva se transformacijom sličnosti ako se tijekom te transformacije udaljenosti između točaka mijenjaju (povećavaju ili smanjuju) za isti broj puta.  

Neka transformacija figure F u figuru FI prebacuje razne točke figure F u različita ložišta figure F. Neka proizvoljna točka X figure F ovom transformacijom ide u točku X figure F. Transformacija lik FI u lik F, u kojem će točka X ići u točku X, zove se inverzna transformacija danog. Transformacija inverzna gibanju također je gibanje.  

U geometriji se transformacija likova ove prirode naziva transformacija sličnosti.  

U ovom se slučaju transformacija figure shvaća kao njezino pomicanje. Među transformacijama ističu se kretnje i transformacija sličnosti. Razmatraju se pojedine vrste gibanja: osna simetrija, središnja simetrija, rotacija, paralelna translacija. Posebna vrsta transformacije sličnosti je homotetija.  

Brojke koje odgovaraju ovoj transformaciji nazivaju se. Lik koji se podudara sa svojim međusobno polarnim naziva se.  

U geometriji se ovakva transformacija likova naziva sličnom.  

Pod kretanjem podrazumijevamo takvu transformaciju likova kada sve njihove točke, ne mijenjajući svoj relativni položaj, mijenjaju ga u odnosu na fiksne ravnine projekcija. Tijekom planparalelnog kretanja sve točke figure se pomiču paralelne ravnine. Obično su to ravnine ili ravnine projekcije. Pravci duž kojih se točke kreću nazivaju se njihovim putanjama; to su ravninske krivulje.  

Međutim, u mnogim slučajevima to se događa korisna upotreba pretvaranje figure u sličnu figuru. Ova sličnost čuva kutove, ali može promijeniti udaljenosti. U tom se slučaju sve udaljenosti povećavaju (ili smanjuju) u istom omjeru, koji se naziva koeficijent sličnosti.  

Metodom transformacije figura često je moguće doći do rješenja problema, a čak se u mnogim slučajevima uspjeh ove metode može naslutiti na prvi pogled. Ova se metoda sastoji u zamjeni zadane ili željene figure, ili nekog njihovog dijela, novom figurom koja je povezana s izvornom specifičnom konstrukcijom i omogućuje rješavanje problema ili približavanje njegovom rješenju. Za sada ćemo razmatrati samo one transformacije u kojima je nova figura jednaka staroj i razlikuje se od nje samo po položaju.  

Konstrukcija Desarguesove konfiguracije dovodi do zanimljive posljedice vezane uz transformacije figura i konstrukciju perspektivnih projekcija. Prilikom rješavanja prethodnog zadatka zadano je pet točaka - Desarguesova ravna crta koju definiraju dvije točke M i P, Desarguesova točka S i dvije točke A i A, koje se nalaze na istom rubu piramide u njezinim različitim presjecima. Za druge dvije točke jednog dijela piramide (njene baze), B i C, odgovarajuće točke B i C pronađene su u drugom presjeku. Odgovarajuće točke su točke koje se nalaze na istom rubu.  

75. Primjeri transformacija oblika.

Transformacije likova proučavaju se u kolegiju geometrije u ravnini i prostoru. Ako se svaka točka datog lika na ravnini ili u prostoru na neki način pomakne, tada dobivamo novi lik. Kažu da je ova brojka dobivena transformacijom iz ove. Evo nekoliko primjera transformacija oblika.

1. Simetrija oko točke (centralna simetrija). Simetrija oko točke definirana je na sljedeći način. Neka je O fiksna točka i X proizvoljna točka. Točka se naziva simetričnom točki X u odnosu na točku O ako točke leže na istoj pravoj liniji, a točka simetrična točki O je sama točka O. Na slici 203 točke X i simetrične su jedna drugoj u odnosu na točku O.

Neka F - ovu figuru a O je fiksna točka ravnine. Transformacija lika F u lik u kojem svaka njegova točka X ide u točku simetričnu X u odnosu na danu točku O naziva se transformacija simetrije u odnosu na točku O. Slika 204 prikazuje simetričnu u odnosu na središte. O.

Slika 205 prikazuje dvije kocke simetrične u odnosu na točku O.

Ako se transformacija simetrije oko točke O translatira

lik u sebe, tada se lik naziva centralno simetričnim, a točka O njegovo središte simetrije. Na primjer, paralelogram je centralno simetričan lik. Središte njegove simetrije je točka sjecišta dijagonala (slika 206, a). Kružnica sa središtem O također je centralno simetrična figura sa središtem simetrije O (slika 206, b) Sve navedene figure su ravne.

U prostoru, kao iu ravnini, ima mnogo primjera središnje simetričnih likova. Na primjer, slika 207 prikazuje sljedeće figure: kocka, kugla, paralelopiped.

2. Simetrija u odnosu na ravnu (osna simetrija). Neka je I fiksna ravna linija (slika 208). Točku nazivamo simetričnom točki X u odnosu na ravnu liniju I ako je ravna crta okomita na ravnu liniju I i gdje je O točka presjeka pravaca i I. Ako točka X leži na pravoj liniji I, tada je sama točka simetrična točki X. Na slici 208, a točke su simetrične u odnosu na ravnu liniju I.

Transformacija lika F u kojoj svaka točka X ide u točku simetričnu s obzirom na pravac I naziva se transformacija simetrije s obzirom na pravac I. U tom se slučaju figure nazivaju simetričnima s obzirom na pravac I.

ravna linija I. Slika 208, b prikazuje krugove simetrične u odnosu na ravnu liniju I.

Na slici 209 prikazane su dvije sfere simetrične u odnosu na pravac I.

Ako transformacija simetrije u odnosu na pravac I transformira lik F u samog sebe, tada se lik naziva simetričnim u odnosu na pravac 19, a pravac I naziva se osi simetrije lika.

Na primjer, ravne linije koje prolaze kroz sjecište dijagonala pravokutnika paralelnih s njegovim stranama su osi simetrije pravokutnika (slika 210, a). Ravne linije na kojima leže dijagonale romba su njegove osi simetrije (slika 210, b). Krug je simetričan u odnosu na bilo koju ravnu liniju koja prolazi kroz njegovo središte (slika 210, c). Sve ove figure su ravne.

U prostoru, kao iu ravnini, postoji mnogo primjera likova koji imaju osi simetrije. Slika 211 prikazuje sljedeće figure: to su kuboidan, stožac, pravilna četverokutna piramida.

3. Simetrija u odnosu na ravninu. Neka je a proizvoljna fiksna ravnina. Iz točke X spuštena je okomica na ravninu a (O je njezino sjecište s ravninom a), a na njezinom produžetku preko točke O

izdvojiti segment jednako Bodovima X i nazivaju se simetrične u odnosu na ravninu a (slika 212).

Transformacija lika F u kojoj svaka točka X lika F ide u točku simetričnu X u odnosu na ravninu a naziva se transformacija simetrije u odnosu na ravninu. U tom slučaju figure se nazivaju simetrične u odnosu na ravninu

Slika 213 prikazuje dvije sfere simetrične u odnosu na ravninu a.

Ako transformacija simetrije u odnosu na ravninu transformira lik u sebe, tada se kaže da je lik simetričan u odnosu na ravninu; ravnina se naziva ravnina simetrije.

Slika 214 prikazuje dvije ravnine simetrije kugle. Imajte na umu da sfera ima beskonačan broj takvih ravnina simetrije. Kocka također ima ravnine simetrije. Slika 215 prikazuje dva od njih.

4. Homotetija. Neka je F zadani lik, a O fiksna točka (slika 216). Povucimo zraku kroz proizvoljnu točku X lika F i na nju iscrtajmo odsječak jednak gdje je pozitivan broj. Transformacija figure u kojoj svaka njezina točka X ide u točku konstruiranu na naznačeni način naziva se homotetija u odnosu na

PREOBRAZBA SLIČNOSTI

Transformacija oblika F u F" zove se transformacija sličnosti , ako se tijekom ove transformacije udaljenosti između točaka mijenjaju za isti broj puta (slika 1). To znači da ako proizvoljne točke X, Y F oblici kod transformacije, sličnosti idu do točaka X", Y" Brojke "F". zatim X"Y" = k-XY , i broj k -- isto za sve točke X, Y . Broj k naziva se koeficijent sličnosti . Za k = l transformacija sličnosti je očito pokret.

Neka je F zadana figura i O fiksna točka (slika 2). Povucimo zraku OX kroz proizvoljnu točku X lika F i nacrtajmo na nju odsječak OX" jednak k?OX, gdje je k pozitivan broj. Transformacija lika F, u kojoj svaka njegova točka X ide u točku X", konstruiran na naznačeni način, naziva se homotetija u odnosu na središte O. Broj k naziva se koeficijent homotetije, figure F i F" nazivaju se homotetične.

Teorem 1. Homotetija je transformacija sličnosti

Dokaz. Neka je O središte homotetije, k koeficijent homotetije, X i Y dvije proizvoljne točke slike (slika 3.)

sl.3

Uz homotetiju, točke X i Y idu u točke X" i Y" na zrakama OX i OY, redom, i OX" = k?OX, OY" = k?OY. To implicira vektorske jednakosti OX" = kOX, OY" = kOY.

Oduzimajući ove jednakosti član po član, dobivamo: OY"-OX" = k (OY-OX).

Kako je OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY, tada je X"Y" = kHY. To znači /X"Y"/=k /XY/, tj. X"Y" = kXY. Prema tome, homotetija je transformacija sličnosti. Teorem je dokazan.

Transformacija sličnosti široko se koristi u praksi pri izradi crteža dijelova strojeva, konstrukcija, planova lokacije itd. Ove slike su slične transformacije imaginarnih slika u punoj veličini. Koeficijent sličnosti naziva se skala. Na primjer, ako je dio terena prikazan u mjerilu 1:100, to znači da jedan centimetar na planu odgovara 1 m na tlu.

Zadatak. Na slici 4 prikazan je nacrt imanja u mjerilu 1:1000. Odredite dimenzije imanja (duljina i širina).

Otopina. Duljina i širina imanja na nacrtu su 4 cm i 2,7 cm. Budući da je nacrt rađen u mjerilu 1:1000, dimenzije imanja su 2,7 x 1000 cm = 27 m, 4 x 100 cm = 40 m.

SVOJSTVA TRANSFORMACIJE SLIČNOSTI

Kao i za gibanje, dokazano je da tijekom transformacije sličnosti tri točke A, B, C koje leže na istom pravcu prelaze u tri točke A 1, B 1, C 1 koje također leže na istom pravcu. Štoviše, ako se točka B nalazi između točaka A i C, tada se točka B 1 nalazi između točaka A 1 i C 1. Slijedi da se transformacijom sličnosti pravci pretvaraju u pravce, polupravci u polupravci, a isječci u isječci.

Dokažimo da transformacija sličnosti čuva kutove između polupravaca.

Doista, neka se kut ABC transformira sličnošću s koeficijentom k u kut A 1 B 1 C 1 (sl. 5). Podvrgnimo kut ABC transformaciji homotetije u odnosu na njegov vrh B s koeficijentom homotetije k. U ovom slučaju, točke A i C će se pomaknuti u točke A 2 i C 2. Trokuti A 2 BC 2 i A 1 B 1 C 1 jednaki su prema trećem kriteriju. Iz jednakosti trokuta slijedi da su kutovi A 2 BC 2 i A 1 B 1 C 1 jednaki. To znači da su kutovi ABC i A 1 B 1 C 1 jednaki, što je i trebalo dokazati.

Ljudi su se oduvijek bavili transformacijama figura. Čovjek već kamenog doba, prikazujući špiljske životinje na zidovima, zapravo je pretvarao prostorna tijela u plošne likove. Gledanje u sjenu predmeta u sunčan dan, vidimo rezultat paralelnog dizajna sunčeve zrake ovaj predmet na površinu poda ili tla. A zrake koje dolaze iz svjetiljke izvode središnji dizajn (Sl. 8.20)

Najvažniji od geometrijskih transformacija su pokreti i sličnosti koje su vam poznate iz planimetrije. Razmotrimo te transformacije u prostoru.

§ 25. GIBANJA

25.1. Transformacije oblika.

Dokazujući u 1. poglavlju da određeni lik F ima središnju ili zrcalnu simetriju, svakoj točki X lika F pridružili smo neku točku X tog lika, simetričnu točki X u odnosu na središte ili ravninu, tj. izvršio neku transformaciju oblika

Prisjetimo se da se općenito transformacija f (ili preslikavanje f) figure F sastoji u činjenici da je svakoj njezinoj točki X pridružena određena točka X (sl. 25.1). Sve točke X tvore određeni lik F za koji se kaže da je dobiven transformacijom (prikazom) iz lika

Također kažu da je točka X slika točke X

tijekom transformacije i napiši , a za lik F kažu da je to slika lika F koji se transformira i napiši

Ako zadanom transformacijom različite točke figure odgovaraju različitim slikama, tada se transformacija naziva jedan na jedan. Na primjer, projiciranje prostora na ravninu nije transformacija jedan na jedan, jer različite točke u prostoru mogu imati istu projekciju. A projiciranje ravnine na ravninu u smjeru koji nije paralelan s tim ravninama je transformacija jedan na jedan.

Neka je lik F dobiven kao rezultat transformacije jedan na jedan f iz lika F. Tada je svaka točka lika F slika samo jedne (jedine) točke X lika F. Doista, inače transformacija bi dvije različite točke figure prenijela u istu točku X F, što je nemoguće jer je transformacija jedan na jedan. Stoga se svakoj točki X figure F može pridružiti ona jedina točka X figure F, čija je slika pod transformacijom f točka X. Dakle, definiramo transformaciju figure F u figuru F, koji se naziva inverzom za transformaciju f i koji se označava Ako transformacija ima inverz , onda se naziva reverzibilnom.

Iz ovih definicija neposredno slijedi da ako je transformacija f invertibilna, onda je i njena inverzna transformacija također invertibilna, pa se transformacije f nazivaju međusobno inverzne.

Neka transformacija transformira lik F u lik G, a transformacija g transformira lik G u lik (sl. 25.2). Ako se tijekom transformacije točka X figure F pomaknula u točku figure G, a zatim se točka Y tijekom transformacije g pomaknula u točku figure H, tada se točka X time pomaknula u točku Z. To se piše na sljedeći način: