Poligon- geometrijski lik na ravnini, omeđen zatvorenom izlomljenom linijom; pravac koji se dobije ako uzmemo n bilo koje točke A 1, A 2, ..., A n i svaku od njih spojimo ravnim odsječcima sa sljedećom, a zadnju s prvom.
Postoje dvije vrste poligona: konveksne i nekonveksne. Pobliže ćemo pogledati konveksne poligone. Poligon se naziva konveksan, ako nijedna stranica mnogokuta, budući da je neograničeno produžena, ne siječe mnogokut na dva dijela. Konveksni poligoni su pravilni i nepravilni, ali ćemo razmatrati pravilne. Konveksni poligon nazvao ispraviti, ako su sve stranice jednake i svi kutovi jednaki. Središte pravilnog mnogokuta je točka jednako udaljena od svih njegovih vrhova i svih njegovih stranica.
Središnji kut pravilnog mnogokuta je kut pod kojim je stranica vidljiva iz njegova središta. Svojstva pravilnog mnogokuta:
1) Kružnici je upisan i oko kružnice opisan pravilan mnogokut, pri čemu se središta tih kružnica podudaraju;
2) Središte pravilnog mnogokuta poklapa se sa središtima upisane i opisane kružnice;
3) Desna strana n-gon je povezan s radijusom R formula opisane kružnice;
4) Perimetri su točni n-kuti se odnose kao polumjeri opisanih kružnica.
5) Dijagonale pravilnog n-kuta dijele njegove kutove na jednake dijelove.
Pravilni peterokut
Pogledajmo pobliže pravilni peterokut - peterokut.
Osnovni odnosi: tjemeni kut peterokuta je 108°, vanjski kut je 72°. Stranica peterokuta izražava se polumjerima upisane i opisane kružnice:
Konstruirajmo pravilan peterokut. To je lako učiniti pomoću opisanog kruga. Iz njegovog središta potrebno je uzastopno iscrtati kutove s vrhom u središtu kruga, jednakim 72 °. Stranice uglova presijecat će krug u pet točaka, povezujući ih u nizu, dobivamo redoviti peterokut. Sada nacrtajmo sve dijagonale u ovom peterokutu. Oni tvore pravilan peterokut u obliku zvijezde, t.j. poznati pentagram. Zanimljivo je da stranice pentagrama, sijekući se, opet tvore pravilan peterokut, u kojemu sjecište dijagonala daje novi pentagram i tako dalje ad infinitum (vidi sliku 6).
Pentagram je pravilan nekonveksan peterokut, također je i pravilan zvjezdasti peterokut, odnosno pravilna peterokutna zvijezda. Mnogi cvjetovi, morske zvijezde i ježinci, virusi itd. imaju oblik zvijezde petokrake. Prvi spomen pentagrama datira iz Stara Grčka. Prevedeno s grčkog, pentagram doslovno znači pet linija. Pentagram je bio zaštitni znak pitagorejske škole (580.-500. pr. Kr.). Vjerovali su da ovaj lijepi poligon ima mnoga mistična svojstva. Pobožan stav prema pentagramu bio je karakterističan i za srednjovjekovne mistike, koji su mnogo posuđivali od pitagorejaca. U srednjem vijeku se vjerovalo da pentagram služi kao znak zaštite od Sotone.
Pentagon predstavlja geometrijski lik s pet uglova. Štoviše, s gledišta geometrije, kategorija peterokuta uključuje sve poligone koji imaju ovu karakteristiku, bez obzira na položaj njegovih stranica.
Zbroj kutova peterokuta
Pentagon je zapravo mnogokut, pa za izračunavanje zbroja njegovih kutova možete upotrijebiti formulu usvojenu za izračun navedenog zbroja u odnosu na mnogokut s bilo kojim brojem kutova. Navedeni smatra zbroj kutova poligona sljedećom jednakošću: zbroj kutova = (n - 2) * 180°, gdje je n broj kutova u željenom mnogokutu.Dakle, u slučaju kada govorimo o točno o, vrijednost n u ovoj formuli bit će jednaka 5. Dakle, zamjenom zadane vrijednosti n u formulu, ispada da će zbroj kutova peterokuta biti 540°. Međutim, treba imati na umu da je primjena ove formule u odnosu na određeni peterokut povezana s nizom ograničenja.
Vrste peterokuta
Činjenica je da se navedena formula, koja se, kao i za druge vrste ovih geometrijskih figura, može primijeniti samo ako je riječ o takozvanom konveksnom poligonu. On je pak geometrijski lik koji zadovoljava sljedeći uvjet: sve njegove točke nalaze se s jedne strane ravne crte koja prolazi između dva susjedna vrha.Dakle, postoji cijela kategorija peterokuta, čiji će se zbroj kutova razlikovati od navedene vrijednosti. Tako je, na primjer, jedna od varijanti nekonveksnog peterokuta geometrijska figura u obliku zvijezde. Zvjezdasti peterokut također se može dobiti pomoću cijelog skupa dijagonala pravilnog peterokuta, odnosno peterokuta: u ovom slučaju dobiveni geometrijski lik nazivat će se pentagramom, koji ima jednaki kutovi. U tom će slučaju zbroj navedenih kutova biti 180°.
Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete zahtjev na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu elektronička pošta itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Sakupili mi osobni podaci omogućuje nam da Vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događanjima i nadolazećim događanjima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim stranama
Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Po potrebi - sukladno zakonu, sudskom postupku, pravnim postupcima i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.
Već smo napisali da su pitagorejci svijet promatrali organiziranim prema zakonima numeričke harmonije. Otkrili su da je percepcija harmonije u glazbi povezana s određenim odnosima između brojeva (vidi Pitagorina harmonija); no vizualni sklad, pokazuje se, također je povezan s određenim odnosima između različitih segmenata. U tom smislu, najpoznatiji zlatni rez- način dijeljenja segmenta na dva nejednaka dijela, pri čemu se cijeli segment odnosi prema većem dijelu kao veći prema manjem:
Kipar Polikleitos razvio je ideju o kanonu (pravilu) za prikazivanje proporcionalnih ljudsko tijelo i jasno je utjelovio svoj kanon u kipu “Dorifor” (“Kopljanik”), inače zvanom jednostavno “Kanon”. Zlatni rez je u izobilju prisutan u proporcijama kipa. Na primjer, omjer visina donjeg i gornjeg dijela na koji pupak dijeli kip jednak je zlatnom rezu; zauzvrat, baza vrata se dijeli gornji dio također u zlatnom rezu; koljena dijeliti donji dio u zlatnom rezu itd.
Tijekom renesanse znanstvenici i umjetnici razvili su novo zanimanje za zlatni rez. Talijanski matematičar Luca Pacioli posvetio mu je svoju knjigu “Božanska proporcija”. A njegov prijatelj, veliki Leonardo da Vinci, posjeduje izraz "zlatni omjer" (stari su ga obično nazivali "podjela segmenta u ekstremnom i srednjem omjeru"). "Zlatni omjer" često se nalazi u djelima Raphaela, Michelangela i Durera.
Johannes Kepler, kojem pitagorejske ideje o temeljnom numeričkom skladu svemira nisu strane, rekao je da geometrija ima dva blaga - Pitagorin teorem i zlatni rez; prvi se može usporediti s mjerom zlata, drugi s dragim kamenom.
Eksperimentalno je dokazano da npr. od pravokutnika različitih omjera stranica ljudsko oko preferira one kod kojih je taj omjer jednak zlatnom rezu. Listovi papira, čokoladice, kreditne kartice i sl. vrlo se često izrađuju u obliku upravo takvih pravokutnika.
Da biste podijelili dani segment AB u omjeru zlatnog reza, trebate vratiti okomicu kroz jedan od njegovih krajeva, recimo kroz točku B, položiti na njega segment BD = AB /2, nacrtati segment AD, staviti na njemu odsječak DE = AB /2 i na kraju označimo točku C na odsječku AB tako da je AC = AE. Točka C će dijeliti segment AB u zlatnom rezu.
Dokažimo to. Po Pitagorinoj teoremi (AE + ED) 2 = AB 2 + BD 2, odn.
AE 2 + 2AE ∙ ED + ED 2 = AB 2 + BD 2, a kako je BD = DE = AB /2 i AE = AC, tada je
AC 2 + AC ∙ AB = AB 2,
odakle je AC 2 = AB (AB – AC).
Kako je AB – AC = BC, imamo
AC 2 = AB ∙ BC, odakle
Gornja konstrukcija omogućuje nam da pronađemo brojčanu vrijednost zlatnog reza. Jednak je omjeru cijelog segmenta AB i segmenta
Dakle, zlatni rez je izražen brojem 
Ovaj broj je otprilike 1.618. Često se naziva Fidijinim brojem i označava se grčkim slovom Φ:
| Φ = |
Broj se ponekad naziva Fidijinim malim brojem (a Φ je tada velik broj Phidias) i označava se sa φ. Približno je jednak 0,618. Zlatni rez se izražava kao iracionalan broj. To proizlazi iz iracionalnosti (da je zlatni rez racionalan, onda bi i broj = 2Φ – 1 bio racionalan), a iracionalnost se može dokazati na sličan način kao i iracionalnost geometrijska ilustracija euklidskog algoritma. Imamo pravokutnik a 1 × a 2 čije su stranice povezane u zlatnom rezu. Odgađanje za veća strana manji, dobit ćemo kvadrat, a preostali pravokutnik će biti sličan originalnom pravokutniku: Primjenom iste operacije na njega, opet ćemo dobiti kvadrat i pravokutnik sličan originalu, itd. (Zanimljivo, prvi, treći , peti itd. pravokutnici imaju zajedničku dijagonalu, poput druge, četvrte, šeste itd. te se dvije dijagonale sijeku pod pravim kutom u točki koja pripada svim pravokutnicima).
Budući da ovaj algoritam nikada ne završava, segmenti a 1 i a 2 nemaju br opća mjera. Kepler je rekao da se zlatni rez neprestano reproducira. Često se nalazi u živoj prirodi u građi takvih organizama, čiji su dijelovi približno slični cjelini - na primjer, u školjkama, u rasporedu lišća na izdancima itd.
 |
|
Riža. 5. Sudoper |
Konačno, zlatni rez nam omogućuje konstruiranje pravilnog peterokuta. (Znate kako sastaviti pravilne trokute i četverokute bez ikakve pomoći, zar ne? Crtanjem kružnica oko njih i dijeljenjem stranica na pola, nije teško konstruirati pravilne mnogokute s 2 n i 3 ∙ 2 n vrhova). Proširite li stranice pravilnog peterokuta do točaka sjecišta s produžecima susjednih stranica, dobit ćete prekrasnu petokraku zvijezdu. Ovo je drevni mistični simbol, popularan, posebno, među Pitagorejcima: naziva se "pentagram" ili "pentalfa", to jest, doslovno, "pet slova" ili "pet alfa" - viđen je kao kombinacija pet slova “alfa” (A) . Pentagram se smatrao simbolom zdravlja - harmonije u čovjeku - i služio je među Pitagorejcima identifikacijska oznaka. (Na primjer, kada je jedan pitagorejac bio na samrtnoj postelji u stranoj zemlji i nije imao novca da plati čovjeku koji se brinuo o njemu do njegove smrti, naredio je da se na vratima njegove kuće nacrta pentagram. Nekoliko godina kasnije, drugi pitagorejac je vidio ovaj znak i vlasnik je dobio velikodušnu nagradu). Ispostavilo se da u pentagramu različite linije dijele jedna drugu u odnosu na zlatni rez. Zapravo, trokuti ACD i ABE su slični, AB : AC = AE : AD. Ali AD = BC i AE = AC, pa prema tome AB: AC = AC: BC. Ispada da se bilo koji od 10 segmenata vanjske konture zvijezde odnosi u zlatnom rezu na bilo koji od 5 segmenata koji tvore mali unutarnji peterokut.
Usput, iz sličnosti istih trokuta ACD i ABE slijedi da je trokut ACD jednakokračan i CD = AD. To znači da se dijagonala pravilnog peterokuta odnosi na njegovu stranicu, također u zlatnom rezu. Svih pet dijagonala pravilnog peterokuta tvori još jedan pentagram, u kojem se opet ponavljaju svi odnosi.
Ako trebate izgraditi pravilan peterokut sa stranicom a 1, tada morate segment a 1 u zlatnom rezu podijeliti na segmente a 2 i a 3, a zatim konstruirati jednakokračni trokut sa stranicama a 1, a 1 i (a 1 + a 2). Dva odsječka duljine a 1 činit će dvije stranice traženog peterokuta, a odsječak duljine a 1 + a 2 = a 1 /Φ njegova je dijagonala. Konstruiranjem ostalih trokuta nije teško pronaći preostale vrhove peterokuta.
U srednjem vijeku pentagram je služio kao simbol Venere: ovaj planet se približava Zemlji na pet točaka tvoreći peterokut.
Jednakokračni trokut čije su stranice povezane s bazom u zlatnom rezu - na primjer, trokut koji čine dvije dijagonale i stranica pravilnog peterokuta - ima još jedan zanimljivo imanje: simetrale njegovih kutova na osnovici jednake su samoj osnovici.
Takav se trokut često nalazi u sastavu raznih umjetnička djela– na primjer, u poznatoj “La Gioconda” Leonarda da Vincija.
U rječniku objašnjenja Ozhegova stoji da je peterokut omeđen s pet linija koje se presijecaju i koje tvore pet unutarnjih kutova, kao i svaki predmet sličnog oblika. Ako određeni mnogokut ima sve iste stranice i kutove, tada se naziva pravilnim (peterokutom).
Što je zanimljivo o pravilnom peterokutu?
U tom je obliku izgrađena poznata zgrada Ministarstva obrane Sjedinjenih Država. Od trodimenzionalnih pravilnih poliedara samo dodekaedar ima lica u obliku peterokuta. A u prirodi nema apsolutno nikakvih kristala čija bi lica nalikovala pravilnom peterokutu. Štoviše, ova figura je poligon sa minimalna količina kutovi koji se ne mogu koristiti za popločavanje prostora. Samo peterokut ima isti broj dijagonala kao i broj stranica. Slažem se, ovo je zanimljivo!
Osnovna svojstva i formule
Pomoću formula za proizvoljan pravilan poligon možete odrediti sve potrebne parametre koje peterokut ima.
- Središnji kut α = 360 / n = 360/5 =72°.
- Unutarnji kut β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Prema tome, zbroj unutarnjih kutova je 540°.
- Omjer dijagonale i stranice je (1+√5)/2, odnosno (približno 1,618).
- Duljina stranice pravilnog peterokuta može se izračunati pomoću jedne od tri formule, ovisno o tome koji je parametar već poznat:
- ako je krug opisan oko njega i poznat je njegov polumjer R, tada je a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
- u slučaju kada je kružnica polumjera r upisana u pravilan peterokut, a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
- događa se da je umjesto polumjera poznata vrijednost dijagonale D, tada se stranica određuje na sljedeći način: a ≈ D/1,618.
- Površina pravilnog peterokuta određena je, opet, ovisno o tome koji parametar znamo:
- ako postoji upisana ili opisana kružnica, koristi se jedna od dvije formule:
S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r ili S = (n*R 2 *sin α)/2 ≈ 2,3776*R 2 ;
- Površina se također može odrediti znajući samo duljinu bočne stranice a:
S = (5*a 2 *tg54°)/4 ≈ 1,7205* a 2 .
Pravilni peterokut: konstrukcija
Ova geometrijska figura može se konstruirati na različite načine. Na primjer, uklopiti ga u krug zadanog polumjera ili ga izgraditi na temelju zadane strane. Redoslijed radnji opisan je u Euklidovim Elementima otprilike 300. pr. U svakom slučaju trebat će nam šestar i ravnalo. Razmotrimo metodu konstrukcije pomoću danog kruga.
1. Odaberite proizvoljni radijus i nacrtajte krug, označivši njegovo središte točkom O.
2. Na liniji kružnice odaberite točku koja će služiti kao jedan od vrhova našeg peterokuta. Neka to bude točka A. Spojite točke O i A ravnom crtom.
3. Nacrtaj pravac kroz točku O okomito na pravac OA. Označite sjecište ove ravne linije s kružnicom kao točku B.
4. Na pola puta između točaka O i B konstruirajte točku C.
5. Sada nacrtajte kružnicu čije će središte biti u točki C i koja će prolaziti kroz točku A. Mjesto njezinog sjecišta s linijom OB (bit će unutar prve kružnice) bit će točka D.
6. Konstruirajte kružnicu koja prolazi kroz D čije će središte biti u A. Mjesta njezina sjecišta s izvornom kružnicom treba označiti točkama E i F.
7. Sada konstruirajte krug čije će središte biti u E. To se mora učiniti tako da prolazi kroz A. Njegovo drugo sjecište originalnog kruga mora biti označeno
8. Na kraju, konstruirajte kružnicu kroz A sa središtem u točki F. Drugo sjecište originalne kružnice označite točkom H.
9. Sada preostaje samo spojiti vrhove A, E, G, H, F. Naš pravilan peterokut će biti spreman!