Obujam je lik koji se sastoji od svih točaka ravnine koje se nalaze na zadanoj udaljenosti od zadane točke. Ova točka se zove centar krug, a segment koji spaja središte s bilo kojom točkom na krugu je radius krugovi.
Dio ravnine omeđen kružnicom naziva se svuda okolo.
Kružni sektor ili samo sektor je dio kruga omeđen lukom i dva radijusa koji spajaju krajeve luka sa središtem kruga.
Segment je dio kružnice omeđen lukom i tetivom koja ga spaja.
Osnovni pojmovi
Tangens
Pravac sa samo jednom zajedničkom točkom naziva se tangens na kružnicu, a njihova zajednička točka se zove točka kontakta pravac i krug.
Svojstva tangente
Tangenta na kružnicu je okomita na polumjer povučen na točku dodirivanja.
Odsječci tangente na kružnicu povučene iz jedne točke jednaki su i sačinjavaju se jednaki kutovi s ravnom linijom koja prolazi kroz ovu točku i središte kruga.
Akord
Isječak koji spaja dvije točke na kružnici naziva se njezin akord. Tetiva koja prolazi središtem kruga naziva se promjer
Svojstva akorda
Promjer (radijus), okomit na tetivu, dijeli ovu tetivu i oba luka koja se s njom spajaju na pola. Verna i obrnuti teorem: ako promjer (radijus) raspolavlja tetivu, onda je okomit na tu tetivu.
Lukovi između paralelnih tetiva su jednaki.
Ako su dvije tetive kruga, AB I CD sijeku se u točki M, tada je umnožak odsječaka jedne tetive jednak umnošku odsječaka druge tetive: AM MB = CM MD.
Svojstva kruga
Ravna crta ne smije imati zajedničkih točaka s kružnicom; imaju jednu zajedničku točku s krugom ( tangens); imaju dvije zajedničke točke s njom ().
sječna
Kroz tri točke koje ne leže na istoj liniji možete povući kružnicu, i to samo jednu.
Dodirna točka dviju kružnica leži na liniji koja spaja njihova središta.
Teorem tangente i sekante Ako su tangenta i sekansa povučene iz točke koja leži izvan kružnice, tada je kvadrat duljine tangente jednak umnošku sekante i njenog vanjskog dijela: 2 M.C..
= MA MB
Ako su dvije sekante povučene iz točke koja leži izvan kružnice, tada je umnožak jedne sekante i njezina vanjskog dijela jednak umnošku druge sekante i njezina vanjskog dijela. MA MB = MC MD.
Kutovi u krugu
središnji Kut u krugu je ravni kut s vrhom u središtu.
Kut čiji vrh leži na kružnici i čije stranice sijeku tu kružnicu naziva se upisani kut.
Bilo koje dvije točke na kružnici dijele je na dva dijela. Svaki od tih dijelova naziva se luk krugovi. Mjera luka može biti mjera njegovog odgovarajućeg središnjeg kuta.
Luk se zove polukrug, ako je segment koji spaja njegove krajeve promjer.
Svojstva kutova pridruženih kružnici
Upisani kut je ili jednak polovici svog odgovarajućeg središnjeg kuta ili nadopunjuje polovicu tog kuta na 180°.
Kutovi upisani u istu kružnicu i naliježu na isti luk jednaki su.
Upisani kut obuhvaćen promjerom je 90°.
Kut koji čine tangenta na kružnicu i sekanta povučene kroz točku dodira jednak je polovici luka zatvorenog između njihovih stranica.
Duljine i površine
Obujam C radius R izračunava se formulom:
C= 2 R.
Kvadrat S polumjer kruga R izračunava se formulom:
S= R 2 .
Upisane i opisane kružnice
Krug i trokut 
središte upisane kružnice je sjecište simetrala trokuta, njegov polumjer r izračunava se formulom:
r = ,
Gdje S je površina trokuta, i - poluperimetar;
R= ,
R= ;
ovdje a, b, c su stranice trokuta, je kut nasuprot stranici a, S- površina trokuta;
središte kružnice opisane pravokutnom trokutu leži na sredini hipotenuze;
Središta opisane i upisane kružnice trokuta podudaraju se samo ako je trokut pravilan.
Krug i četverokuti
krug se može opisati oko konveksnog četverokuta ako i samo ako je zbroj njegovih unutarnjih suprotnih kutova jednak 180°:
180°;
Kružnica se može upisati u četverokut ako i samo ako su mu zbrojevi suprotnih stranica jednaki:
a + c = b + d;
paralelogram se može opisati kao krug ako i samo ako je pravokutnik;
moguće je opisati kružnicu oko trapeza ako i samo ako je taj trapez jednakokračan;
središte kružnice leži u sjecištu osi simetrije trapeza sa simetralom okomice na bočnu stranicu;
- Udaljenost od središta kružnice do prave linije veća je od polumjera. U tom slučaju sve točke pravca leže izvan kruga.
- Udaljenost od središta kružnice do prave crte manja je od polumjera. U ovom slučaju ravna linija ima točke koje leže unutar kruga, a budući da je ravna crta beskonačna u oba smjera, siječe je kružnica u 2 točke.
- Udaljenost od središta kružnice do prave crte jednaka je polumjeru. Pravac je tangenta.
Pravac koji s kružnicom ima samo jednu zajedničku točku naziva se tangens u krug.
U ovom slučaju naziva se zajednička točka točka kontakta.
Mogućnost postojanja tangente, i štoviše, povučene kroz bilo koju točku kružnice kao dodirne točke, dokazuje se sljedećim teoremom.
Teorema. Ako je pravac okomit na polumjer na svom kraju koji leži na kružnici, tada je taj pravac tangenta.
Neka je O (fig) središte neke kružnice, a OA neki njezin polumjer. Kroz njegov kraj A povucimo MN ^ OA.
Potrebno je dokazati da je pravac MN tangenta, tj. da taj pravac s kružnicom ima samo jednu zajedničku točku A.
Pretpostavimo suprotno: neka MN ima još jednu zajedničku točku s kružnicom, na primjer B.
Tada bi ravna linija OB bila radijus i stoga jednaka OA.
Ali to ne može biti, jer ako je OA okomit, onda OB mora biti nagnut na MN, a nagnuti je veći od okomice.
Konverzni teorem. Ako je pravac tangenta na kružnicu, tada je polumjer povučen na točku dodirivanja okomit na nju.
Neka je MN tangenta na kružnicu, A točka dodirivanja, a O središte kružnice.
Potrebno je dokazati da je OA^MN.
Pretpostavimo suprotno, tj. Pretpostavimo da okomica spuštena s O na MN neće biti OA, već neki drugi pravac, na primjer OB.
Uzmimo BC = AB i izvedimo OS.
Tada će OA i OS biti nagnuti, jednako udaljeni od okomice OB, pa je prema tome OS = OA.
Iz ovoga slijedi da će kružnica, uzimajući u obzir našu pretpostavku, imati dvije zajedničke točke s pravcem MN: A i C, tj. MN neće biti tangenta, već sekanta, što je u suprotnosti s uvjetom.
Posljedica. Kroz bilo koju datu točku na kružnici može se povući tangenta na tu kružnicu, i to samo jedna, budući da se kroz tu točku može povući okomica, i to samo jedna, na polumjer koji je uvučen u nju.
Teorema. Tangenta paralelna s tetivom dijeli luk na kojem se nalazi tetiva na pola u točki dodira.
Neka pravac AB (sl.) dodiruje kružnicu u točki M i neka je paralelan s tetivom CD.
Moramo dokazati da je ÈCM = ÈMD.
Provlačeći promjer ME kroz dodirnu točku, dobivamo: EM ^ AB, a time i EM ^ CB.
Prema tome CM=MD.
Zadatak. Kroz zadanu točku povuci tangentu na zadanu kružnicu.
Ako je dana točka na kružnici, povucite polumjer kroz nju i okomitu ravnu liniju kroz kraj polumjera. Ova linija će biti željena tangenta.
Razmotrimo slučaj kada je točka dana izvan kruga.
Neka se traži (sl.) kroz točku A povući tangentu na kružnicu sa središtem O.
Da bismo to učinili, iz točke A, kao središta, opišemo luk polumjera AO, a iz točke O, kao središta, siječemo taj luk u točkama B i C otvorom šestara jednakim promjeru zadane kružnice. .
Povukavši zatim tetive OB i OS, spojimo točku A s točkama D i E u kojima se te tetive sijeku sa zadanom kružnicom.
Pravci AD i AE tangiraju na kružnicu O.
Doista, iz konstrukcije je jasno da su cijevi AOB i AOC jednakokračne (AO = AB = AC) s osnovicama OB i OS jednakim promjeru kružnice O.
Budući da su OD i OE radijusi, onda je D sredina OB, a E sredina OS, što znači da su AD i AE središnje povučene na osnovice jednakokračnih cijevi, dakle okomite na te osnovice. Ako su pravci DA i EA okomiti na polumjere OD i OE, tada se dodiruju.
Posljedica. Dvije tangente povučene iz jedne točke na kružnicu jednake su i tvore jednake kutove s pravom linijom koja spaja tu točku sa središtem.
Dakle AD=AE i ÐOAD = ÐOAE (sl.), jer su pravokutni tr-ki AOD i AOE, koji imaju zajedničku hipotenuzu AO i jednake katete OD i OE (kao radijusi), jednaki.
Imajte na umu da ovdje riječ "tangenta" znači stvarni "odsječak tangente" od dane točke do točke kontakta.
Zadatak. Povuci tangentu na danu kružnicu O paralelnu sa danom pravom AB (sl.).
Iz središta O spustimo okomicu OS na AB i kroz točku D, u kojoj ta okomica siječe kružnicu, povučemo EF || AB.
Tangenta koju tražimo bit će EF.
Doista, budući da je OS ^ AB i EF || AB, tada EF ^ OD, a pravac okomit na polumjer na njegovom kraju koji leži na kružnici je tangenta.
Zadatak. Nacrtajte zajedničku tangentu na dvije kružnice O i O 1 (slika).
Analiza. Pretpostavimo da je problem riješen.
Neka je AB zajednička tangenta, A i B dodirne točke.
Očito, ako nađemo jednu od ovih točaka, na primjer, A, onda lako možemo pronaći i drugu.
Nacrtajmo polumjere OA i O 1 B. Ti su polumjeri, okomiti na zajedničku tangentu, međusobno paralelni.
Prema tome, ako iz O 1 povučemo O 1 C || BA, tada će cjevovod OCO 1 biti pravokutan u vrhu C.
Kao rezultat toga, ako kružnicu iz O opišemo kao središte polumjera OS, ona će dodirivati ravnu liniju O 1 C u točki C.
Polumjer ove pomoćne kružnice je poznat: jednak je OA – CA = OA - O 1 B, tj. jednaka je razlici polumjera tih kružnica.
Izgradnja. Iz središta O opisujemo kružnicu s polumjerom jednakim razlici tih polumjera.
Iz O 1 povučemo tangentu O 1 C na tu kružnicu (na način kako je navedeno u prethodnom zadatku).
Kroz tangentu C povučemo radijus OS i nastavimo ga dok ne naiđe na zadanu kružnicu u točki A. Na kraju iz A povučemo AB paralelno s CO 1.
Na točno isti način možemo konstruirati drugu zajedničku tangentu A 1 B 1 (Sl.). Pravci AB i A 1 B 1 nazivaju se vanjski zajedničke tangente.
Možete potrošiti još dva unutarnje tangente kako slijedi:
Analiza. Pretpostavimo da je problem riješen (Sl.). Neka je AB željena tangenta.
Povucimo radijuse OA i O 1 B na tangentne točke A i B. Budući da su oba polumjera okomita na zajedničku tangentu, oni su međusobno paralelni.
Prema tome, ako iz O 1 povučemo O 1 C || BA i nastavi OA do točke C, tada će OS biti okomit na O 1 C.
Kao rezultat toga, kružnica opisana radijusom OS iz točke O kao središta dodirivat će ravnu liniju O 1 C u točki C.
Polumjer ove pomoćne kružnice je poznat: jednak je OA+AC = OA+O 1 B, tj. On jednak zbroju polumjeri tih kružnica.
Izgradnja. Iz O kao središta opisujemo kružnicu polumjera jednakog zbroju tih polumjera.
Iz O 1 povučemo tangentu O 1 C na tu kružnicu.
Spojimo dodirnu točku C s O.
Na kraju kroz točku A, u kojoj OS siječe zadanu kružnicu, povučemo AB = O 1 C.
Na sličan način možemo konstruirati drugu unutarnju tangentu A 1 B 1.
Opća definicija tangente
Neka su tangenta AT i neka sekanta AM povučene kroz točku A na kružnicu sa središtem (sl.).
Zarotirajmo ovu sekansu oko točke A tako da se druga sjecišna točka B pomiče sve bliže i bliže A.
Tada će se okomica OD, spuštena od središta do sekante, sve više približavati polumjeru OA, a kut AOD može postati manji od bilo kojeg malog kuta.
Kut MAT koji čine sekansa i tangenta jednak je kutu AOD (zbog okomitosti njihovih stranica).
Stoga, kako se točka B neograničeno približava A, kut MAT također može postati proizvoljno mali.
Ovo se izražava drugim riječima ovako:
tangenta je granični položaj kojem teži sekanta povučena kroz točku dodirivanja kada se druga točka presjeka neograničeno približava točki dodirivanja.
Ovo svojstvo se uzima kao definicija tangente kada govorimo o o bilo kojoj krivulji.
Dakle, tangenta na krivulju AB (sl.) je granični položaj MT kojem teži sekanta MN kada se sjecišna točka P približava M bez ograničenja.
Imajte na umu da ovako definirana tangenta može imati više od jedne zajedničke točke s krivuljom (kao što se može vidjeti na sl.).
Izravno ( MN), ima samo jednu zajedničku točku s krugom ( A), zove se tangens u krug.
U ovom slučaju naziva se zajednička točka točka kontakta.
Mogućnost postojanja tangens, i, štoviše, povučen kroz bilo koju točku krug, kao dodirna točka, dokazuje se na sljedeći način teorema.
Neka se zahtijeva da se izvrši krug sa središtem O tangens kroz točku A. Da biste to učinili s točke A, kao iz središta, opisujemo luk radius A.O., a od točke O, kao središte, siječemo ovaj luk u točkama B I S rješenje šestara jednako promjeru zadane kružnice.
Nakon trošenja tada akordi O.B. I OS, spojite točku A s točkicama D I E, na kojoj se te tetive sijeku s danom kružnicom. Izravno OGLAS I A.E. - tangente na kružnicu O. Dapače, iz konstrukcije je jasno da trokuta AOB I AOC jednakokračan(AO = AB = AC) s bazama O.B. I OS, jednak promjeru kruga O.
Jer O.D. I O.E.- radijusi, dakle D - sredini O.B., A E- sredina OS, Znači OGLAS I A.E. - medijani, nosio u baze jednakokračni trokuti, i prema tome okomito na ove baze. Ako je ravno D.A. I E.A. okomito na radijuse O.D. I O.E., onda su - tangente.
Posljedica.
Dvije tangente povučene iz jedne točke na kružnicu jednake su i tvore jednake kutove s ravnom linijom koja spaja tu točku sa središtem.
Tako AD=AE i ∠ OAD = ∠OAE jer pravokutni trokuti AOD I AOE, imajući zajednički hipotenuza A.O. i jednaki noge O.D. I O.E.(kao radijusi), jednaki su. Imajte na umu da ovdje riječ "tangenta" zapravo znači " tangentni segment” od zadane točke do točke kontakta.
Sekanta, tangenta - sve se to moglo čuti stotinama puta na satovima geometrije. Ali završetak škole je iza nas, godine prolaze, a sva ta znanja se zaboravljaju. Što biste trebali zapamtiti?
Esencija
Izraz "tangenta na krug" vjerojatno je svima poznat. Ali malo je vjerojatno da će svi moći brzo formulirati njegovu definiciju. U međuvremenu, tangenta je ravna crta koja leži u istoj ravnini kao i kružnica koja je siječe samo u jednoj točki. Može ih biti ogroman broj, ali svi imaju ista svojstva, o čemu će biti riječi u nastavku. Kao što možda pretpostavljate, dodirna točka je mjesto gdje se sijeku kružnica i pravac. U svakom konkretnom slučaju postoji samo jedan, ali ako ih je više, onda će to biti sekans.
Povijest otkrića i proučavanja
Pojam tangente pojavio se u antičko doba. Konstrukcija ovih ravnih linija, najprije u kružnicu, a zatim u elipse, parabole i hiperbole pomoću ravnala i šestara, provedena je još god. početne faze razvoj geometrije. Naravno, povijest nije sačuvala ime pronalazača, ali je očito da su ljudi već u to vrijeme bili prilično upoznati sa svojstvima tangente na kružnicu.
U moderno doba ponovno se rasplamsao interes za ovaj fenomen - započeo je novi krug proučavanja ovog koncepta u kombinaciji s otkrivanjem novih krivulja. Tako je Galileo uveo pojam cikloide, a Fermat i Descartes konstruirali su joj tangentu. Što se krugova tiče, čini se da za starce na ovim prostorima više nema tajni.
Svojstva
Radijus nacrtan na točku sjecišta bit će ovo
glavno, ali ne i jedino svojstvo koje ima tangenta na kružnicu. Još jedan važna značajka već uključuje dvije ravne linije. Dakle, kroz jednu točku koja leži izvan kruga mogu se povući dvije tangente, a njihovi segmenti će biti jednaki. Postoji još jedan teorem o ovoj temi, ali se o njemu rijetko govori u okviru standarda školski tečaj, iako je izuzetno pogodan za rješavanje nekih problema. Zvuči ovako. Iz jedne točke koja se nalazi izvan kružnice, na nju su povučene tangenta i sekanta. Nastaju segmenti AB, AC i AD. A je sjecište pravaca, B je dodirna točka, C i D su sjecišta. U tom će slučaju vrijediti sljedeća jednakost: duljina tangente na kvadrat kruga bit će jednaka umnošku odsječaka AC i AD.
Postoji važna posljedica gore navedenog. Za svaku točku na kružnici možete konstruirati tangentu, ali samo jednu. Dokaz za to je vrlo jednostavan: teoretski spuštajući okomicu s polumjera na njega, saznajemo da formirani trokut ne može postojati. A to znači da je tangenta jedina.
Izgradnja
Među ostalim geometrijskim problemima tu su posebna kategorija, u pravilu, ne
koju vole učenici i studenti. Za rješavanje zadataka iz ove kategorije potrebni su vam samo šestar i ravnalo. Ovo su konstrukcijski zadaci. Postoje i oni za konstruiranje tangente.
Dakle, dana je kružnica i točka koja leži izvan njenih granica. I kroz njih je potrebno nacrtati tangentu. Kako to učiniti? Prije svega, potrebno je nacrtati segment između središta kružnice O i zadane točke. Zatim ga šestarom podijelite na pola. Da biste to učinili, morate postaviti polumjer - nešto više od polovice udaljenosti između središta izvornog kruga i ove točke. Nakon toga trebate izgraditi dva luka koja se presijecaju. Štoviše, radijus kompasa ne treba mijenjati, a središte svakog dijela kruga bit će izvorna točka odnosno O. Sjecišta lukova moraju biti spojena, što će segment podijeliti na pola. Postavite radijus na kompasu jednak ovoj udaljenosti. Zatim, sa središtem u točki sjecišta, konstruirajte još jedan krug. I izvorna točka i O će ležati na njoj. U ovom slučaju, postojat će još dva sjecišta s kružnicom zadanom u zadatku. Oni će biti kontaktne točke za prvobitno određenu točku.
Konstrukcija tangenti na kružnicu dovela je do rođenja
diferencijalni račun. Prvi rad na ovu temu objavio je slavni njemački matematičar Leibniz. Omogućila je mogućnost pronalaženja maksimuma, minimuma i tangenti bez obzira na frakcijske i iracionalne veličine. Pa, sada se koristi za mnoge druge izračune.
Osim toga, tangenta na kružnicu povezana je s geometrijski smisao tangens Odatle dolazi i naziv. Prevedeno s latinskog tangens znači "tangenta". Stoga je ovaj koncept povezan ne samo s geometrijom i diferencijalnim računom, već i s trigonometrijom.
Dva kruga
Tangenta ne utječe uvijek samo na jednu figuru. Ako se na jedan krug može povući ogroman broj ravnih linija, zašto ne bi i obrnuto? Može. Ali zadatak u ovom slučaju postaje ozbiljno kompliciran, jer tangenta na dvije kružnice možda neće prolaziti ni kroz jednu točku, a relativni položaj svih tih figura može biti vrlo
drugačiji.
Vrste i sorte
Kada govorimo o dvije kružnice i jednoj ili više ravnih linija, čak i ako se zna da su to tangente, nije odmah jasno kako se sve te figure nalaze jedna u odnosu na drugu. Na temelju toga razlikuje se nekoliko sorti. Dakle, krugovi mogu imati jednu ili dvije zajedničke točke ili ih uopće ne imati. U prvom slučaju će se presijecati, au drugom će se dodirivati. I ovdje se razlikuju dvije varijante. Ako je jedan krug, takoreći, ugrađen u drugi, tada se tangencija naziva unutarnjom, ako ne, onda vanjskom. Možete razumjeti relativni položaj figura ne samo na temelju crteža, već i na temelju podataka o zbroju njihovih radijusa i udaljenosti između njihovih središta. Ako su te dvije količine jednake, tada se kružići dodiruju. Ako je prvi veći, sijeku se, a ako je manji, onda nemaju zajedničkih točaka.
Isto vrijedi i za ravne linije. Za bilo koje dvije kružnice koje nemaju zajedničkih točaka, možete
konstruirajte četiri tangente. Dva od njih će se presijecati između figura, nazivaju se unutarnjim. Nekoliko drugih su vanjski.
Ako govorimo o kružnicama koje imaju jednu zajedničku točku, onda je problem uvelike pojednostavljen. Činjenica je da će za bilo koji relativni položaj u ovom slučaju imati samo jednu tangentu. I proći će kroz točku njihova sjecišta. Dakle, izgradnja neće biti teška.
Ako figure imaju dvije točke sjecišta, tada se za njih može konstruirati ravna linija, tangentna na krug i jedne i druge, ali samo vanjske. Rješenje ovog problema je slično onome što će biti objašnjeno u nastavku.
Rješavanje problema
I unutarnju i vanjsku tangentu na dvije kružnice nije tako jednostavno konstruirati, iako se ovaj problem može riješiti. Činjenica je da se za to koristi pomoćna figura, tako da ovu metodu morate smisliti sami
dosta problematično. Dakle, zadane su dvije kružnice s različitim polumjerima i središtima O1 i O2. Za njih trebate konstruirati dva para tangenti.
Prije svega, morate izgraditi pomoćni blizu središta većeg kruga. U tom slučaju na šestaru treba utvrditi razliku polumjera dvaju početnih likova. Iz središta manje kružnice konstruiraju se tangente na pomoćnu kružnicu. Nakon toga povlače se okomice od O1 i O2 do ovih linija dok se ne sijeku s izvornim figurama. Kao što slijedi iz osnovnog svojstva tangente, tražene točke na obje kružnice su pronađene. Problem je riješen, barem prvi dio.
Da biste konstruirali unutarnje tangente, morat ćete riješiti praktično
sličan zadatak. Opet će vam trebati pomoćna figura, ali ovaj put će njen radijus biti jednak zbroju originalnih. Na njega se konstruiraju tangente iz središta jedne od tih kružnica. Daljnji tijek rješenja može se shvatiti iz prethodnog primjera.
Tangenta na kružnicu ili čak dvije ili više nije tako težak zadatak. Naravno, matematičari su odavno prestali rješavati sličnih problema ručno i izračune povjeriti posebnim programima. Ali ne biste trebali misliti da sada ne morate to učiniti sami, jer da biste pravilno formulirali zadatak za računalo, morate puno učiniti i razumjeti. Nažalost, postoji bojazan da će nakon konačnog prelaska na testni oblik provjere znanja, konstrukcijski zadaci učenicima stvarati sve više poteškoća.
Što se tiče nalaženja zajedničkih tangenti za više kružnice, to nije uvijek moguće, čak i ako leže u istoj ravnini. Ali u nekim slučajevima možete pronaći takvu ravnu liniju.
Primjeri iz života
Zajednička tangenta na dvije kružnice često se pojavljuje u praksi, iako to nije uvijek vidljivo. Pokretne trake, blok sustavi, prijenosni remeni s remenicama, napetost konca u šivaćem stroju, pa čak i samo lanac bicikla - sve su to primjeri iz stvarnog života. Stoga nemojte misliti da geometrijski problemi ostaju samo u teoriji: u tehnici, fizici, građevinarstvu i mnogim drugim područjima oni nalaze praktičnu primjenu.