Vrsta posla: 8
Tema: Prizma

Stanje

U pravilnoj trokutastoj prizmi ABCA_1B_1C_1, stranice baze su 4, a bočni bridovi su 10. Odredite površinu poprečnog presjeka prizme ravninom koja prolazi središtima bridova AB, AC, A_1B_1 i A_1C_1.

Prikaži rješenje

Otopina

Razmotrite sljedeću sliku.

Odsječak MN je dakle središnja crta trokuta A_1B_1C_1 MN = \frac12 B_1C_1=2. Također, KL=\frac12BC=2. Osim toga, MK = NL = 10. Slijedi da je četverokut MNLK paralelogram. Budući da je MK\paralela AA_1, onda MK\perp ABC i MK\perp KL. Prema tome, četverokut MNLK je pravokutnik. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 20.

10\cdot 2 =

Vrsta posla: 8
Tema: Prizma

Stanje

Odgovor

Prikaži rješenje

Otopina

Volumen pravilne četverokutne prizme ABCDA_1B_1C_1D_1 je 24 . Točka K je sredina ruba CC_1. Nađi obujam piramide KBCD.

Prema uvjetu KC je visina piramide KBCD. CC_1 je visina prizme ABCDA_1B_1C_1D_1. Budući da je K središte CC_1, tada KC=\frac12CC_1. Neka je onda CC_1=H KC=\frac12H . Imajte na umu i to S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). Zatim, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H=\frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Stoga,

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Vrsta posla: 8
Tema: Prizma

Stanje

Izvor: “Matematika. Pripreme za Jedinstveni državni ispit 2017. Razina profila." ur. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Prikaži rješenje

Otopina

Nađite bočnu površinu pravilne šesterokutne prizme čija je osnovna stranica 6, a visina 8. · Područje bočne površine prizme nalazi se formulom S strane. = P osnovni

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Vrsta posla: 8
Tema: Prizma

Stanje

h = 6a\cdot h, gdje je P osnovni. i h su, redom, opseg baze i visina prizme, jednaki 8, a a je stranica pravilnog šesterokuta, jednaka 6. Prema tome, S strana. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288. U posudi koja ima pravilan oblik trokutasta prizma

Prikaži rješenje

Otopina

Neka je a stranica dna prve posude, tada je 2 a stranica dna druge posude. Prema uvjetu, volumen tekućine V u prvoj i drugoj posudi je isti. Označimo s H razinu do koje se tekućina popela u drugoj posudi. Zatim V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, I, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Odavde \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H, H=10.

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Vrsta posla: 8
Tema: Prizma

Stanje

U pravilnoj šesterokutnoj prizmi ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 svi bridovi su jednaki 2. Pronađite udaljenost između točaka A i E_1.

Prikaži rješenje

Otopina

Trokut AEE_1 je pravokutan, budući da je brid EE_1 okomit na ravninu baze prizme, kut AEE_1 bit će pravi kut.

Zatim, prema Pitagorinom teoremu, AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Nađimo AE iz trokuta AFE koristeći kosinusni teorem. Svaki unutarnji kut pravilnog šesterokuta je 120^(\circ). Zatim AE^2=

AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)=

2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\lijevo (-\frac12 \desno).

Dakle, AE^2=4+4+4=12,

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Vrsta posla: 8
Tema: Prizma

Stanje

AE_1^2=12+4=16, AE_1=4. Odredite površinu bočne površine ravne prizme u čijoj osnovi leži romb s dijagonalama jednakim

Prikaži rješenje

Otopina

4\sqrt5 · i 8, i bočni rub jednak 5.

Područje bočne površine ravne prizme nalazi se pomoću formule S strane. = P osnovni

h = 4a\cdot h, gdje je P osnovni. i h, redom, opseg baze i visina prizme, jednak 5, a a je stranica romba. Nađimo stranicu romba koristeći se činjenicom da su dijagonale romba ABCD međusobno okomite i da se sjecištem dijele na dva dijela.

Različite prizme se razlikuju jedna od druge. Istovremeno, imaju mnogo toga zajedničkog. Da biste pronašli područje baze prizme, morat ćete razumjeti koju vrstu ima.

Opća teorija

Prizma je svaki poliedar čije stranice imaju oblik paralelograma. Štoviše, njegova baza može biti bilo koji poliedar - od trokuta do n-kuta. Štoviše, baze prizme uvijek su međusobno jednake. Ono što se ne odnosi na bočne strane je da mogu značajno varirati u veličini.

Treba napomenuti da osnovno područje ravne ili nagnute prizme ne ovisi o kutu između njih i bočnih strana. Ako imaju iste figure na gornjoj i donjoj strani, tada će im površine biti jednake.

Trokutasta prizma

U osnovi ima lik s tri vrha, odnosno trokut. Kao što znate, može biti drugačije. Ako je tako, dovoljno je zapamtiti da je njegova površina određena polovinom umnoška krakova.

Matematički zapis izgleda ovako: S = ½ av.

Da biste saznali područje baze u opći pogled, bit će korisne formule: Čaplja i ona u kojoj je polovica stranice uzeta na visinu nacrtanu na nju.

Prvu formulu treba napisati na sljedeći način: S = √(r (r-a) (r-v) (r-s)). Ova oznaka sadrži poluopseg (p), to jest zbroj triju stranica podijeljen s dva.

Drugo: S = ½ n a * a.

Ako želite saznati područje baze trokutaste prizme, koja je pravilna, tada se trokut ispostavlja kao jednakostraničan. Za to postoji formula: S = ¼ a 2 * √3.

Četverokutna prizma

Njegova baza je bilo koji od poznatih četverokuta. Može biti pravokutnik ili kvadrat, paralelopiped ili romb. U svakom slučaju, da biste izračunali površinu baze prizme, trebat će vam vlastita formula.

Ako je baza pravokutnik, tada se njegova površina određuje na sljedeći način: S = ab, gdje su a, b stranice pravokutnika.

Kada govorimo o oko četverokutne prizme, zatim područje baze ispravna prizma izračunati pomoću formule za kvadrat. Jer on je taj koji leži u temelju. S = a 2.

U slučaju kada je baza paralelopiped, bit će potrebna sljedeća jednakost: S = a * n a. Dešava se da su zadane stranica paralelopipeda i jedan od kutova. Zatim izračunajte visinu koju ćete morati koristiti dodatna formula: na = b * sin A. Štoviše, kut A je susjedan stranici "b", a visina na je nasuprot tom kutu.

Ako se u podnožju prizme nalazi romb, za određivanje njegove površine trebat će vam ista formula kao i za paralelogram (budući da je to njegov poseban slučaj). Ali možete koristiti i ovo: S = ½ d 1 d 2. Ovdje su d 1 i d 2 dvije dijagonale romba.

Pravilna peterokutna prizma

Ovaj slučaj uključuje podjelu poligona na trokute, čija je površina lakše pronaći. Iako se događa da figure mogu imati različit broj vrhova.

Budući da je baza prizme pravilan peterokut, tada se može podijeliti na pet jednakostraničnog trokuta. Tada je površina baze prizme jednaka površini jednog takvog trokuta (formula se može vidjeti gore), pomnožena s pet.

Pravilna heksagonalna prizma

Prema principu opisanom za peterokutnu prizmu, moguće je šesterokut baze podijeliti na 6 jednakostraničnog trokuta. Formula za osnovno područje takve prizme slična je prethodnoj. Samo to treba pomnožiti sa šest.

Formula će izgledati ovako: S = 3/2 a 2 * √3.

Zadaci

Br. 1. S obzirom na pravilnu ravnu liniju, njezina dijagonala je 22 cm, visina poliedra je 14 cm. Izračunajte površinu baze prizme i cijele površine.

Otopina. Osnovica prizme je kvadrat, ali je stranica nepoznata. Njegovu vrijednost možete pronaći iz dijagonale kvadrata (x), koja je povezana s dijagonalom prizme (d) i njezinom visinom (h). x 2 = d 2 - n 2. S druge strane, ovaj segment "x" je hipotenuza u trokutu čije su katete jednake stranici kvadrata. Odnosno, x 2 = a 2 + a 2. Tako ispada da je a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Zamijenite broj 22 umjesto d i zamijenite "n" njegovom vrijednošću - 14, ispada da je stranica kvadrata 12 cm Sada samo saznajte površinu baze: 12 * 12 = 144 cm 2.

Da biste saznali površinu cijele površine, morate dodati dvostruko osnovno područje i učetverostručiti bočno područje. Potonji se lako može pronaći pomoću formule za pravokutnik: pomnožite visinu poliedra i stranicu baze. Odnosno, 14 i 12, ovaj broj će biti jednak 168 cm 2. Ukupna površina prizme je 960 cm 2.

Odgovor. Površina baze prizme je 144 cm 2. Ukupna površina je 960 cm 2.

Broj 2. Zadano Na osnovici je trokut sa stranicom 6 cm. U ovom slučaju dijagonala bočne plohe je 10 cm.

Otopina. Budući da je prizma pravilna, baza joj je jednakostranični trokut. Stoga ispada da je njegova površina jednaka 6 na kvadrat, pomnoženo s ¼ i kvadratnim korijenom iz 3. Jednostavan izračun dovodi do rezultata: 9√3 cm 2. Ovo je površina jedne baze prizme.

Sve bočne strane su jednake i pravokutnici sa stranicama 6 i 10 cm. Da biste izračunali njihove površine, samo pomnožite ove brojeve. Zatim ih pomnožite s tri, jer prizma ima točno toliko bočnih stranica. Tada se površina bočne površine rane ispostavlja da je 180 cm 2.

Odgovor. Područja: baza - 9√3 cm 2, bočna površina prizme - 180 cm 2.

Video tečaj "Get A" uključuje sve teme potrebne za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sa 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Prikladno i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite položiti Jedinstveni državni ispit s 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i bez grešaka!

Pripremni tečaj za Jedinstveni državni ispit za razrede 10-11, kao i za učitelje. Sve što vam je potrebno za rješavanje prvog dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 problema) i problema 13 (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa 100 bodova ni student humanističkih znanosti.

Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI Banke zadataka. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Tečaj sadrži 5 velike teme, svaki po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Problemi s riječima i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Varljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorna imaginacija. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Vizualno objašnjenje složeni pojmovi. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Osnova za rješenje složeni zadaci 2 dijela Jedinstvenog državnog ispita.

Definicija.

Ovo je šesterokut čije su baze dva jednaka kvadrata, a bočne strane su jednaki pravokutnici.

Bočno rebro- je zajednička stranica dviju susjednih bočnih ploha

Visina prizme- ovo je segment okomit na baze prizme

Dijagonala prizme- segment koji povezuje dva vrha baza koje ne pripadaju istoj plohi

Dijagonalna ravnina- ravnina koja prolazi dijagonalom prizme i njezinim bočnim bridovima

Dijagonalni presjek- granice presjecišta prizme i dijagonalne ravnine. Dijagonalni presjek pravilne četverokutne prizme je pravokutnik

Okomit presjek (ortogonalni presjek)- ovo je sjecište prizme i ravnine povučene okomito na njezine bočne rubove

Elementi pravilne četverokutne prizme

Slika prikazuje dvije pravilne četverokutne prizme, koje su označene odgovarajućim slovima:

• Osnovice ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su međusobno jednake i paralelne
• Bočne strane AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, od kojih je svaka pravokutnik
• Bočna površina- zbroj površina svih bočnih stranica prizme
• Ukupna površina - zbroj površina svih baza i bočnih stranica (zbroj površina bočne površine i baza)
• Bočna rebra AA 1, BB 1, CC 1 i DD 1.
• Dijagonala B 1 D
• Dijagonala baze BD
• Dijagonalni presjek BB 1 D 1 D
• Okomit presjek A 2 B 2 C 2 D 2.

Svojstva pravilne četverokutne prizme

• Osnovice su dva jednaka kvadrata
• Baze su međusobno paralelne
• Bočne strane su pravokutnici
• Bočni rubovi su međusobno jednaki
• Bočne plohe su okomite na baze
• Bočna rebra su međusobno paralelna i jednaka
• Okomit presjek okomit na sva bočna rebra i paralelan s bazama
• Kutovi okomitog presjeka - ravni
• Dijagonalni presjek pravilne četverokutne prizme je pravokutnik
• Okomica (ortogonalni presjek) paralelna s bazama

Formule pravilne četverokutne prizme

Upute za rješavanje problema

Prilikom rješavanja problema na temu " pravilna četverokutna prizma" znači da:

Ispravna prizma- prizma u čijoj osnovi leži pravilan mnogokut, a bočni bridovi su okomiti na ravnine baze. To jest, pravilna četverokutna prizma sadrži u svojoj osnovi kvadrat. (vidi gore svojstva pravilne četverokutne prizme) Bilješka. Ovo je dio lekcije s geometrijskim zadacima (dio stereometrija - prizma). Evo problema koje je teško riješiti. Ako trebate riješiti geometrijski problem koji nije ovdje, pišite o tome na forumu. Za označavanje radnje vraćanja kvadratni korijen simbol se koristi u rješavanju problema√ .

Zadatak.

U pravilnoj četverokutnoj prizmi površina baze je 144 cm 2, a visina 14 cm. Odredite dijagonalu prizme i oplošje puna površina.

Otopina.
Pravilan četverokut je kvadrat.
Prema tome, strana baze će biti jednaka

√144 = 12 cm.
Odakle će biti jednaka dijagonala baze pravilne pravokutne prizme
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Dijagonala pravilne prizme čini pravokutni trokut s dijagonalom baze i visinom prizme. Prema tome, prema Pitagorinom teoremu, dijagonala dane pravilne četverokutne prizme bit će jednaka:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odgovor: 22 cm

Zadatak

Odredi ukupnu plohu pravilne četverokutne prizme ako je njezina dijagonala 5 cm, a dijagonala bočne plohe 4 cm.

Otopina.
Budući da je baza pravilne četverokutne prizme kvadrat, stranicu baze (označenu kao a) nalazimo koristeći Pitagorin teorem:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Visina bočne strane (označena kao h) tada će biti jednaka:

H2 + 12,5 = 42
h 2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5
h = √3.5

Ukupna površina bit će jednaka zbroju bočne površine i dvostruke osnovne površine

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odgovor: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Pretpostavimo da trebamo pronaći volumen pravilne trokutaste prizme, čija je baza jednaka S, a visina jednaka h= AA’ = BB’ = CC’ (slika 306).

Nacrtajmo posebno osnovicu prizme, tj. trokut ABC (sl. 307, a) i izgradimo ga do pravokutnika, za koji povučemo ravnu liniju KM kroz vrh B || AC i iz točaka A i C spustimo okomice AF i CE na taj pravac. Dobivamo pravokutnik ACEF. Crtanjem visine VD trokuta ABC vidimo da je pravokutnik ACEF podijeljen na 4 pravokutni trokut. Štoviše, \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD i \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)LOŠE. To znači da je površina pravokutnika ACEF udvostručena više površine trokuta ABC, tj. jednaka 2S.

Na ovu prizmu s bazom ABC pričvrstit ćemo prizme s bazama ALL i BAF i visinom h(Slika 307, b). Dobivamo pravokutni paralelopiped s ACEF bazom.

Ako ovaj paralelopiped rasiječemo ravninom koja prolazi ravnima BD i BB’, vidjet ćemo da se pravokutni paralelopiped sastoji od 4 prizme s bazama BCD, ALL, BAD i BAF.

Prizme s bazama BCD i BC mogu se kombinirati jer su im baze jednake (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE), a jednaki su i bočni bridovi koji su okomiti na istu ravninu. To znači da su volumeni tih prizmi jednaki. Volumeni prizmi s bazama BAD i BAF također su jednaki.

Dakle, ispada da je volumen zadane trokutaste prizme s bazom ABC polovica volumena pravokutni paralelopiped s bazom ACEF.

Znamo da je volumen pravokutnog paralelopipeda jednak umnošku površine njegove baze i visine, tj. u ovom slučaju jednak 2S h. Stoga je volumen te prave trokutaste prizme jednak S h.

Volumen prave trokutaste prizme jednak je umnošku površine njezine baze i visine.

2. Volumen pravilne poligonalne prizme.

Da biste pronašli obujam pravilne mnogokutne prizme, na primjer peterokutne, s baznom površinom S i visinom h, podijelimo ga na trokutaste prizme (si. 308).

Označavajući površine baza trokutastih prizmi sa S 1, S 2 i S 3, a volumen zadane poligonalne prizme s V, dobivamo:

V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, ili

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

I na kraju: V = S h.

Na isti način se izvodi formula za volumen ravne prizme s bilo kojim poligonom u osnovi.

Sredstva, Volumen bilo koje prave prizme jednak je umnošku površine njezine baze i visine.

Volumen prizme

Teorema. Volumen prizme jednak je umnošku površine baze i visine.

Najprije dokazujemo ovaj teorem za trokutastu prizmu, a zatim za poligonalnu.

1) Povucimo (sl. 95) kroz brid AA 1 trokutaste prizme ABCA 1 B 1 C 1 ravninu paralelnu s plohom BB 1 C 1 C, a kroz brid CC 1 - ravninu paralelnu s plohom. AA 1 B 1 B; tada ćemo ravnine obiju baza prizme nastaviti dok se ne presjeku s nacrtanim ravninama.

Tada dobivamo paralelopiped BD 1 koji je dijagonalnom ravninom AA 1 C 1 C podijeljen na dvije trokutaste prizme (od kojih je jedna ova). Dokažimo da su te prizme jednake veličine. Da bismo to učinili, nacrtamo okomiti presjek abcd. Presjek će dati paralelogram čija dijagonala ak djeljiv sa dva jednakog trokuta. Ova prizma je po veličini jednaka ravnoj prizmi čija je baza \(\Delta\) abc, a visina je rub AA 1. Druga trokutasta prizma po površini je jednaka ravnoj liniji čija je baza \(\Delta\) adc, a visina je rub AA 1. Ali dvije ravne prizme sa jednako a jednake visine su jednake (jer se ugniježđene spajaju), što znači da su prizme ABCA 1 B 1 C 1 i ADCA 1 D 1 C 1 jednake veličine. Iz ovoga slijedi da je volumen te prizme polovica volumena paralelopipeda BD 1; dakle, označavajući visinu prizme sa H, dobivamo:

$$ V_(\Delta ex.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Povucimo dijagonalne ravnine AA 1 C 1 C i AA 1 D 1 D kroz brid AA 1 poligonalne prizme (slika 96).

Zatim će se ova prizma izrezati na nekoliko trokutastih prizmi. Zbroj volumena tih prizmi čini traženi volumen. Označimo li površine njihovih baza sa b 1 , b 2 , b 3, i ukupne visine kroz H, dobivamo:

volumen poligonalne prizme = b 1H+ b 2H+ b 3 H =( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (površina ABCDE) H.

Posljedica. Ako su V, B i H brojevi koji u odgovarajućim jedinicama izražavaju volumen, osnovnu površinu i visinu prizme, tada, prema onome što je dokazano, možemo napisati:

Ostali materijali