Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete zahtjev na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu elektronička pošta itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Sakupili mi osobni podaci omogućuje nam da Vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događanjima i nadolazećim događanjima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim stranama
Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Po potrebi - sukladno zakonu, sudskom postupku, pravnim postupcima i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.
U ovom ćemo članku govoriti o paralelnim pravcima, dati definicije, te navesti znakove i uvjete paralelnosti. Kako bi teoretsko gradivo bilo jasnije, poslužit ćemo se ilustracijama i rješenjima tipičnih primjera.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1
Paralelni pravci na ravnini– dvije ravne crte na ravnini koje nemaju zajedničkih točaka.
Definicija 2
Paralelne linije u trodimenzionalnom prostoru– dvije ravne crte u trodimenzionalnom prostoru koje leže u istoj ravnini i nemaju zajedničkih točaka.
Potrebno je napomenuti da je za određivanje paralelnih pravaca u prostoru iznimno važno pojašnjenje “leže u istoj ravnini”: dva pravca u trodimenzionalnom prostoru koji nemaju zajedničkih točaka i ne leže u istoj ravnini nisu paralelna. , ali se sijeku.
Za označavanje paralelnih pravaca uobičajeno je koristiti simbol ∥. Odnosno, ako su zadane prave a i b paralelne, ovaj uvjet treba ukratko napisati na sljedeći način: a ‖ b. Verbalno se paralelnost pravaca označava na sljedeći način: pravci a i b su paralelni, ili je pravac a paralelan s pravcem b, ili je pravac b paralelan s pravcem a.
Formulirajmo izjavu koja igra važnu ulogu u temi koja se proučava.
Aksiom
Kroz točku koja ne pripada zadanom pravcu prolazi jedini pravac paralelan sa zadanim. Ova se tvrdnja ne može dokazati na temelju poznatih aksioma planimetrije.
U slučaju govorimo o o prostoru, teorem je istinit:
Teorem 1
Kroz bilo koju točku u prostoru koja ne pripada zadanom pravcu, provest će jedna pravac paralelna zadanom.
Ovaj je teorem lako dokazati na temelju gornjeg aksioma (program geometrije za 10. - 11. razred).
Postoji znak paralelizma dovoljan uvjet, pri čemu je zajamčena paralelnost linija. Drugim riječima, ispunjenje ovog uvjeta dovoljno je za potvrdu činjenice paralelizma.
Konkretno, postoje potrebni i dovoljni uvjeti za paralelnost pravaca u ravnini i prostoru. Objasnimo: nužan je uvjet čije je ispunjenje potrebno za paralelne pravce; ako nije ispunjen, pravci nisu paralelni.
Ukratko, nužan i dovoljan uvjet za paralelnost pravaca je uvjet čije je poštivanje potrebno i dovoljno da pravci budu međusobno paralelni. S jedne strane, to je znak paralelizma, s druge strane, to je svojstvo svojstveno paralelnim linijama.
Prije nego što damo točnu formulaciju nužnog i dovoljnog uvjeta, podsjetimo se na nekoliko dodatnih pojmova.
Definicija 3
Sekantica– ravna crta koja siječe svaku od dvije zadane pravce koje se ne podudaraju.
Presijecajući dvije ravne linije transverzala tvori osam nerazvijenih kutova. Da bismo formulirali potreban i dovoljan uvjet, koristit ćemo takve vrste kutova kao što su ukriženi, odgovarajući i jednostrani. Pokažimo ih na ilustraciji:
Teorem 2
Ako su dva pravca u ravnini presječena transverzalom, tada je da bi zadani pravci bili paralelni potrebno i dovoljno da su kutovi koji se sijeku jednaki, ili da su odgovarajući kutovi jednaki, ili da je zbroj jednostraničkih kutova jednak 180 stupnjeva.
Ilustrirajmo grafički potreban i dovoljan uvjet za paralelnost pravaca u ravnini:
Dokaz ovih uvjeta nalazi se u programu geometrije za 7.-9.
Općenito, ovi uvjeti vrijede i za trodimenzionalni prostor, unatoč činjenici da dva pravca i sekanta pripadaju istoj ravnini.
Naznačimo još nekoliko teorema koji se često koriste za dokazivanje činjenice da su pravci paralelni.
Teorem 3
U ravnini su dva pravca paralelna s trećim međusobno paralelna. Ova značajka je dokazana na temelju gore navedenog aksioma paralelizma.
Teorem 4
U trodimenzionalnom prostoru, dvije linije paralelne s trećom su paralelne jedna s drugom.
Dokaz znaka proučava se u nastavnom planu i programu geometrije za 10. razred.
Dajmo ilustraciju ovih teorema:
Naznačimo još jedan par teorema koji dokazuju paralelnost pravaca.
Teorem 5
U ravnini su dva pravca okomita na treći paralelni jedan s drugim.
Formulirajmo sličnu stvar za trodimenzionalni prostor.
Teorem 6
U trodimenzionalnom prostoru, dvije linije okomite na treću su paralelne jedna s drugom.
Ilustrirajmo:
Svi gornji teoremi, znakovi i uvjeti omogućuju prikladno dokazivanje paralelnosti linija koristeći metode geometrije. To jest, da bi se dokazala paralelnost pravaca, može se pokazati da su odgovarajući kutovi jednaki, ili pokazati činjenicu da su dva dana pravca okomita na treći, itd. No imajte na umu da je često prikladnije koristiti metodu koordinata za dokazivanje paralelnosti pravaca na ravnini ili u trodimenzionalnom prostoru.
Paralelnost pravaca u pravokutnom koordinatnom sustavu
U danom pravokutnom koordinatnom sustavu, ravna linija određena je jednadžbom ravne linije na ravnini jedne od moguće vrste. Isto tako, ravna crta definirana u pravokutnom koordinatnom sustavu u trodimenzionalnom prostoru odgovara nekim jednadžbama za ravnu liniju u prostoru.
Napišimo potrebne i dovoljne uvjete paralelnosti pravaca u pravokutnom koordinatnom sustavu ovisno o vrsti jednadžbe koja opisuje zadane pravce.
Pođimo od uvjeta paralelnosti pravaca u ravnini. Temelji se na definicijama vektora smjera pravca i vektora normale pravca na ravnini.
Teorem 7
Da bi dva pravca koji se ne poklapaju bila paralelna na ravnini, potrebno je i dovoljno da su vektori smjera zadanih pravaca kolinearni, ili normalni vektori zadanih pravaca kolinearni, ili da je vektor smjera zadanih pravaca okomit na vektor normale drugog pravca.
Postaje očito da se uvjet paralelnosti pravaca na ravnini temelji na uvjetu kolinearnosti vektora ili uvjetu okomitosti dvaju vektora. To jest, ako su a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) vektori smjera pravaca a i b ;
i n b → = (n b x , n b y) normalni vektori pravaca a i b, tada gornji nužni i dovoljni uvjet pišemo na sljedeći način: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y ili n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y ili a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , gdje je t neki realni broj. Koordinate vodilica ili ravnih vektora određene su zadanim jednadžbama ravnih linija. Pogledajmo glavne primjere.
- Pravac a u pravokutnom koordinatnom sustavu određen je općom jednadžbom pravca: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; pravac b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tada će normalni vektori zadanih pravaca imati koordinate (A 1, B 1) odnosno (A 2, B 2). Uvjet paralelnosti pišemo na sljedeći način:
A 1 = t A 2 B 1 = t B 2
- Pravac a opisuje se jednadžbom pravca s nagibom oblika y = k 1 x + b 1 . Pravac b - y = k 2 x + b 2. Tada će normalni vektori zadanih pravaca imati koordinate (k 1, - 1) odnosno (k 2, - 1), a uvjet paralelnosti ćemo napisati na sljedeći način:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
Dakle, ako su paralelni pravci na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu zadani jednadžbama s kutnim koeficijentima, tada će kutni koeficijenti zadanih pravaca biti jednaki. A vrijedi i suprotna tvrdnja: ako su pravci koji se ne podudaraju na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu određeni jednadžbama pravca s jednakim kutnim koeficijentima, tada su ti zadani pravci paralelni.
- Pravci a i b u pravokutnom koordinatnom sustavu određeni su kanonskim jednadžbama pravca na ravnini: x - x 1 a x = y - y 1 a y i x - x 2 b x = y - y 2 b y ili parametarskim jednadžbama pravac na ravnini: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y i x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .
Tada će vektori smjera zadanih pravaca biti: a x, a y odnosno b x, b y, a uvjet paralelnosti ćemo napisati na sljedeći način:
a x = t b x a y = t b y
Pogledajmo primjere.
Primjer 1
Zadana su dva pravca: 2 x - 3 y + 1 = 0 i x 1 2 + y 5 = 1. Potrebno je utvrditi jesu li paralelni.
Otopina
Napišimo jednadžbu ravne linije u segmentima u obliku opće jednadžbe:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
Vidimo da je n a → = (2, - 3) vektor normale pravca 2 x - 3 y + 1 = 0, a n b → = 2, 1 5 vektor normale pravca x 1 2 + y 5 = 1.
Rezultirajući vektori nisu kolinearni, jer ne postoji takva vrijednost tata da bi jednakost bila istinita:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
Dakle, nije zadovoljen nužan i dovoljan uvjet za paralelnost pravaca u ravnini, što znači da zadani pravci nisu paralelni.
Odgovor: zadane prave nisu paralelne.
Primjer 2
Zadani su pravci y = 2 x + 1 i x 1 = y - 4 2. Jesu li paralelni?
Otopina
Pretvorimo kanonsku jednadžbu pravca x 1 = y - 4 2 u jednadžbu pravca s nagibom:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
Vidimo da jednadžbe pravaca y = 2 x + 1 i y = 2 x + 4 nisu iste (da je drugačije, pravci bi bili podudarni), a kutni koeficijenti pravaca su jednaki, što znači da zadani pravci su paralelni.
Pokušajmo problem riješiti drugačije. Prvo provjerimo podudaraju li se zadani pravci. Koristimo bilo koju točku na liniji y = 2 x + 1, na primjer, (0, 1), koordinate te točke ne odgovaraju jednadžbi crte x 1 = y - 4 2, što znači da linije odgovaraju ne poklapaju.
Sljedeći korak je utvrditi je li zadovoljen uvjet paralelnosti zadanih pravaca.
Vektor normale pravca y = 2 x + 1 je vektor n a → = (2 , - 1) , a vektor smjera drugog zadanog pravca je b → = (1 , 2) . Skalarni proizvod ovih vektora jednak je nuli:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
Dakle, vektori su okomiti: to nam pokazuje ispunjenje potrebnog i dovoljnog uvjeta za paralelnost izvornih pravaca. one. zadani pravci su paralelni.
Odgovor: ove su linije paralelne.
Za dokaz paralelnosti pravaca u pravokutnom koordinatnom sustavu trodimenzionalnog prostora koristi se sljedeći nužan i dovoljan uvjet.
Teorem 8
Da bi dvije pravce koje se ne podudaraju u trodimenzionalnom prostoru bile paralelne, potrebno je i dovoljno da vektori smjerova tih pravaca budu kolinearni.
one. S obzirom na jednadžbe pravaca u trodimenzionalnom prostoru, odgovor na pitanje: jesu li paralelni ili ne, nalazi se određivanjem koordinata vektora smjera zadanih pravaca, kao i provjerom uvjeta njihove kolinearnosti. Drugim riječima, ako su a → = (a x, a y, a z) i b → = (b x, b y, b z) vektori smjera pravaca a odnosno b, tada da bi bili paralelni, postojanje takvog realnog broja t potreban je tako da vrijedi jednakost:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
Primjer 3
Zadani su pravci x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 i x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Potrebno je dokazati paralelizam ovih pravaca.
Otopina
Uvjeti problema dani su kanonskim jednadžbama jednog pravca u prostoru i parametarskim jednadžbama drugog pravca u prostoru. Vodeći vektori a → i b → dani pravci imaju koordinate: (1, 0, - 3) i (2, 0, - 6).
1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2, tada je a → = 1 2 · b →.
Dakle, zadovoljen je potreban i dovoljan uvjet za paralelnost pravaca u prostoru.
Odgovor: dokazana je paralelnost zadanih pravaca.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Pojam paralelnih pravaca
Definicija 1
Paralelne linije– pravci koji leže u istoj ravnini ne podudaraju se i nemaju zajedničkih točaka.
Ako prave imaju zajedničku točku, onda se presijecati.
Ako su sve točke ravne odgovarati, tada u biti imamo jednu ravnu liniju.
Ako pravci leže u različitim ravninama, tada su uvjeti za njihovu paralelnost nešto veći.
Kada se razmatraju ravne linije na istoj ravnini, može se dati sljedeća definicija:
Definicija 2
Dva pravca u ravnini nazivaju se paralelno, ako se ne sijeku.
U matematici se paralelni pravci obično označavaju pomoću znaka paralelizma “$\parallel$”. Na primjer, činjenica da je pravac $c$ paralelan s pravcem $d$ označava se na sljedeći način:
$c\paralelno d$.
Često se razmatra koncept paralelnih segmenata.
Definicija 3
Dva se segmenta nazivaju paralelno, ako leže na paralelnim pravcima.
Na primjer, na slici su segmenti $AB$ i $CD$ paralelni, jer pripadaju paralelnim pravcima:
$AB \paralelni CD$.
Istovremeno, segmenti $MN$ i $AB$ ili $MN$ i $CD$ nisu paralelni. Ova se činjenica može napisati pomoću sljedećih simbola:
$MN ∦ AB$ i $MN ∦ CD$.
Na sličan način određuje se paralelnost pravca i dužine, pravca i poluprave, dužine i poluprave ili dvije zrake.
Povijesna pozadina
S grčki jezik Koncept "parallelos" prevodi se kao "u blizini" ili "drži se jedan pored drugog". Ovaj se pojam koristio u drevnoj Pitagorinoj školi čak i prije nego što su definirane paralelne linije. Prema povijesne činjenice Euklid u $III$ stoljeću. PRIJE KRISTA njegova su djela ipak otkrila značenje pojma paralelnih pravaca.
U davna vremena simbol za označavanje paralelnih pravaca imao je drugačiji izgled od onoga što koristimo u modernoj matematici. Na primjer, starogrčki matematičar Papus u $III$ st. OGLAS paralelizam je označen znakom jednakosti. one. činjenica da je pravac $l$ paralelan s pravcem $m$ prethodno je označavana s “$l=m$”. Kasnije se poznati znak “$\parallel$” počeo koristiti za označavanje paralelnosti pravaca, a znak jednakosti počeo se koristiti za označavanje jednakosti brojeva i izraza.
Paralelne linije u životu
Često to ne primjećujemo u običan život Okruženi smo ogromnim brojem paralelnih linija. Na primjer, u glazbenoj knjizi i zbirci pjesama s notama, osoblje je napravljeno pomoću paralelnih linija. Također paralelne linije pronađeno u glazbeni instrumenti(na primjer, žice za harfu, žice za gitaru, klavirske tipke itd.).
Električne žice koje se nalaze duž ulica i cesta također idu paralelno. Tračnice linije metroa i željeznice nalaze se paralelno.
Osim u svakodnevnom životu, paralelne linije nalazimo u slikarstvu, arhitekturi i gradnji zgrada.
Paralelne linije u arhitekturi
Na prikazanim slikama arhitektonske strukture sadrže paralelne linije. Korištenje paralelnih linija u izgradnji pomaže produžiti životni vijek takvih struktura i daje im izvanrednu ljepotu, atraktivnost i veličinu. Električni vodovi također se namjerno vode paralelno kako bi se izbjeglo njihovo križanje ili dodirivanje, što bi dovelo do kratkih spojeva, prekida i gubitka električne energije. Kako bi se vlak mogao slobodno kretati, tračnice su također napravljene u paralelnim linijama.
U slikarstvu se paralelne linije prikazuju kao konvergirajuće u jednu liniju ili blizu nje. Ova tehnika se naziva perspektiva, koja proizlazi iz iluzije vizije. Ako dugo gledate u daljinu, paralelne linije izgledat će kao dvije linije koje se spajaju.
Znakovi paralelnosti dvaju pravaca
Teorem 1. Ako se dva pravca sijeku sa sekantom:
ukršteni kutovi su jednaki, odn
odgovarajući kutovi su jednaki, odn
zbroj jednostraničkih kutova je 180°, tada
linije su paralelne(slika 1).
Dokaz. Ograničavamo se na dokazivanje slučaja 1.
Neka su pravci a i b koji se sijeku poprečni i kutovi AB jednaki. Na primjer, ∠ 4 = ∠ 6. Dokažimo da je a || b.
Pretpostavimo da pravci a i b nisu paralelni. Tada se sijeku u nekoj točki M i, prema tome, jedan od kutova 4 ili 6 bit će vanjski kut trokuta ABM. Radi određenosti neka je ∠ 4 vanjski kut trokuta ABM, a ∠ 6 unutarnji. Iz teorema o vanjskom kutu trokuta proizlazi da je ∠ 4 veći od ∠ 6, a to je u suprotnosti s uvjetom, što znači da se pravci a i 6 ne mogu sijeći, pa su paralelni.
Korolar 1. Dva različita pravca u ravnini okomitoj na isti pravac su paralelna(slika 2).
Komentar. Način na koji smo upravo dokazali slučaj 1 teorema 1 nazivamo metodom dokazivanja kontradikcijom ili svođenjem na apsurd. Ova metoda je dobila svoj prvi naziv jer se na početku argumenta postavlja pretpostavka koja je suprotna (suprotna) onome što treba dokazati. Naziva se dovođenjem u apsurd zbog činjenice da, razmišljajući na temelju postavljene pretpostavke, dolazimo do apsurdnog zaključka (do apsurda). Dobivanje takvog zaključka tjera nas da odbacimo početnu pretpostavku i prihvatimo onu koju je trebalo dokazati.
Zadatak 1. Konstruirajte pravac koji prolazi kroz zadanu točku M i paralelan je sa zadanim pravcem a, a ne prolazi kroz točku M.
Otopina. Kroz točku M povučemo ravnu liniju p okomitu na ravnu liniju a (slika 3).
Zatim kroz točku M povučemo pravac b okomito na pravac p. Pravac b je paralelan s pravcem a prema korolariji teorema 1.
Iz razmatranog problema proizlazi važan zaključak:
kroz točku koja ne leži na zadanom pravcu uvijek je moguće povući pravac paralelan sa zadanim.
Glavno svojstvo paralelnih pravaca je sljedeće.
Aksiom paralelnih pravaca. Kroz zadanu točku koja ne leži na zadanom pravcu prolazi samo jedan pravac paralelan zadanom.
Razmotrimo neka svojstva paralelnih pravaca koja slijede iz ovog aksioma.
1) Ako pravac siječe jedan od dva paralelna pravca, tada siječe i drugi (sl. 4).
2) Ako su dva različita pravca paralelna s trećim pravcem, tada su paralelna (slika 5).
Sljedeći teorem je također istinit.
Teorem 2. Ako su dva paralelna pravca presječena transverzalom, tada je:
poprečni kutovi su jednaki;
odgovarajući kutovi su jednaki;
zbroj jednostraničkih kutova je 180°.
Korolar 2. Ako je pravac okomit na jedan od dva paralelna pravca, onda je okomit i na drugi(vidi sliku 2).
Komentar. Teorem 2 naziva se inverzijom teorema 1. Zaključak teorema 1 je uvjet teorema 2. A uvjet teorema 1 je zaključak teorema 2. Nema svaki teorem inverziju, tj. ako je ovaj teorem istinit, tada obrnuti teorem može biti netočno.
Objasnimo to na primjeru teorema o vertikalnim kutovima. Ovaj se teorem može formulirati na sljedeći način: ako su dva kuta okomita, onda su jednaka. Obrnuti teorem bi bio: ako su dva kuta jednaka, onda su okomita. A to, naravno, nije točno. Dva jednaki kutovi uopće ne moraju biti okomiti.
Primjer 1. Dvije paralelne crte sijeku treća. Poznato je da je razlika između dva unutarnja jednakostrana kuta 30°. Pronađite ove kutove.
Otopina. Neka slika 6 ispunjava uvjet.
1. Ako su dva pravca paralelna s trećim pravcem, tada su paralelni:
Ako a||c I b||c, To a||b.
2. Ako su dva pravca okomita na treći pravac, tada su paralelna:
Ako a⊥c I b⊥c, To a||b.
Ostali znakovi paralelnosti pravaca temelje se na kutovima koji nastaju kada se dvije ravne crte sijeku s trećom.
3. Ako je zbroj unutarnjih jednostraničkih kutova 180°, tada su pravci paralelni:
Ako je ∠1 + ∠2 = 180°, tada a||b.
4. Ako su odgovarajući kutovi jednaki, tada su pravci paralelni:
Ako je ∠2 = ∠4, tada a||b.
5. Ako su unutarnji poprečni kutovi jednaki, tada su pravci paralelni:
Ako je ∠1 = ∠3, onda je a||b.
Svojstva paralelnih pravaca
Iskazi inverzni svojstvima paralelnih pravaca njihova su svojstva. Temelje se na svojstvima kutova nastalih sjecištem dviju paralelnih pravaca s trećim pravcem.
1. Kada dva paralelna pravca sijeku treći pravac, zbroj unutarnjih jednostraničkih kutova koje oni tvore jednak je 180°:
Ako a||b, tada je ∠1 + ∠2 = 180°.
2. Kada dva paralelna pravca sijeku treći pravac, odgovarajući kutovi koje oni čine jednaki su:
Ako a||b, tada je ∠2 = ∠4.
3. Kada dva paralelna pravca sijeku treći pravac, poprečni kutovi koje oni tvore jednaki su:
Ako a||b, tada je ∠1 = ∠3.
Sljedeće svojstvo je poseban slučaj za svako prethodno:
4. Ako je pravac na ravnini okomit na jedan od dva paralelna pravca, onda je okomit i na drugi:
Ako a||b I c⊥a, To c⊥b.
Peto svojstvo je aksiom paralelnih pravaca:
5. Kroz točku koja ne leži na zadanom pravcu može se povući samo jedan pravac paralelan sa zadanim pravcem.