(Fibonačijevi brojevi, engleski Fibonačijev niz, Fibonačijevi brojevi) – niz brojeva koje je izveo poznati matematičar Fibonači. Ima sljedeći oblik: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, itd.

Istorija Fibonačijevog niza

Leonardo iz Pize (Fibonači) je došao u matematiku iz praktične potrebe za uspostavljanjem poslovnih kontakata. U mladosti, Fibonacci je mnogo putovao, prateći svog oca na raznim poslovnim putovanjima, što mu je omogućilo da komunicira sa lokalnim naučnicima.

Niz brojeva koji danas nosi njegovo ime proizašao je iz problema sa zečevima, koji je autor iznio u knjizi Liber abacci (1202): čovjek je stavio par zečeva u tor okružen sa svih strana zidom. Pitanje: koliko parova zečeva ovaj par može da proizvede u godini, ako se zna da svakog meseca, počevši od drugog meseca, svaki par proizvodi još jedan par zečeva.

Kao rezultat toga, Fibonacci je utvrdio da će broj parova zečeva u svakom od narednih dvanaest mjeseci biti redom:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Gdje je svaki sljedeći broj- je zbir prethodna dva. Ovo je Fibonačijev niz (brojevi). Ovaj niz ima mnoga svojstva koja su zanimljiva sa matematičke tačke gledišta. Na primjer, ako podijelite liniju na 2 segmenta tako da je omjer između manjeg i većeg segmenta proporcionalan omjeru između većeg segmenta i cijele linije, dobit ćete koeficijent proporcionalnosti poznat kao "zlatni omjer". To je približno jednako 0,618. Renesansni naučnici su vjerovali da bi upravo ta proporcija, ako se promatra u arhitektonskim strukturama, najviše mogla zadovoljiti oko.

Primena Fibonačijevog niza

Fibonačijev niz našao je široku primenu u raznim oblastima nauke i života. Na primjer, u prirodi: u strukturi uragana, školjki, pa čak i galaksija. Tržište Forex valuta nije bilo izuzetak, gdje je niz uzastopnih brojeva počeo da se koristi za predviđanje trendova. Treba napomenuti da postoje stalne veze između ovih brojeva. Na primjer, kao što je gore spomenuto, omjer prethodnog broja prema sljedećem asimptotski teži 0,618 (zlatni omjer). Odnos određenog broja prema prethodnom takođe teži 0,618.

Pored predviđanja trendova, Fibonačijevi brojevi na Forexu se koriste za predviđanje pravca kretanja cene. Na primjer, preokret trenda prema zlatnom omjeru događa se na nivou od oko 61,8% prethodne promjene cijene (vidi sliku 1). Shodno tome, najprofitabilnija opcija u ovom slučaju bi bila zatvaranje pozicije malo ispod ovog nivoa. Na osnovu Fibonaccijeve serije možete izračunati najprofitabilnije trenutke za zatvaranje i otvaranje transakcija.

Takođe, jedan od načina da se koriste uzastopni brojevi Fibonačijevog niza na Forex tržištu je pravljenje lukova. Izbor centra za takav luk događa se na mjestu važnog dna ili stropa. Radijus lukova se izračunava množenjem Fibonačijevih omjera sa vrijednošću prethodnog značajnog porasta ili pada cijena.

Odabrani koeficijenti imaju sljedeće vrijednosti: 0,333, 0,382, 0,4, 0,5, 0,6, 0,618, 0,666. Položaj lukova određuje njihovu ulogu: podršku ili otpor. Da biste dobili ideju o vremenu kretanja cijena, lukovi se obično koriste u kombinaciji sa brzinom ili linijama ventilatora.

Princip njihove konstrukcije je sličan: potrebno je odabrati točke prošlih ekstrema i konstruirati horizontalna linija od vrha prvog od njih i okomitog od vrha drugog. Zatim biste trebali podijeliti rezultirajući vertikalni segment na dijelove koji odgovaraju koeficijentima, nacrtati zrake koje dolaze iz prve tačke kroz one koje ste upravo odabrali. Kada se koriste omjeri 2/3 i 1/3, dobivaju se linije velike brzine, a sa strožijim omjerima od 0,618, 0,5 i 0,382 dobivaju se linije ventilatora. Svi oni služe kao linije podrške ili otpora za trend cena (vidi sliku 2).

Presjeci lukova i linija lepeza služe kao signali za određivanje prekretnica trenda - kako u vremenu tako iu cijeni.

(Sl. 2 – Fibonačijev niz, konstrukcija lukova)

Više volatilne valutne parove karakteriše dostizanje viših Fibonačijevih nivoa u poređenju sa manje promenljivim. Maksimalna kretanja se bilježe u parovima dolar/frank i funta/dolar, a zatim dolar/jen i euro/dolar.

Upotreba Fibonačijevih serija na Forex tržištu valuta ima jednu osobinu - mogu se koristiti samo za dobra impulsna kretanja.

Fibonačijev niz, koji je postao poznat ponajviše zahvaljujući filmu i knjizi "Da Vinčijev kod", je niz brojeva koje je izveo italijanski matematičar Leonardo iz Pize, poznatiji pod pseudonimom Fibonači, u trinaestom veku. Naučnici su primijetili da se formula kojoj je podređen ovaj niz brojeva odražava u svijetu oko nas i odjekuje drugim matematičkim otkrićima, otvarajući nam tako vrata u tajne svemira. U ovom članku ćemo vam reći šta je Fibonačijev niz, pogledati primjere kako se ovaj obrazac prikazuje u prirodi, a također ćemo ga uporediti s drugim matematičkim teorijama.

Formulacija i definicija pojma

Fibonačijev niz je matematički niz u kojem je svaki element jednak zbiru prethodna dva. Označimo određeni član niza sa x n. Tako dobijamo formulu koja vrijedi za cijeli niz: x n+2 = x n + x n+1. U ovom slučaju, redosled niza će izgledati ovako: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Sljedeći broj će biti 55, pošto je zbir 21 i 34 55. I tako dalje po istom principu.

Primjeri u okruženju

Ako pogledamo biljku, posebno krunu listova, primijetit ćemo da cvjetaju spiralno. Uglovi se formiraju između susjednih listova, koji zauzvrat formiraju ispravan matematički Fibonačijev niz. Zahvaljujući ovoj osobini, svaki pojedinačni list koji raste na drvetu prima maksimalnu količinu sunčeva svetlost i toplinu.

Fibonačijeva matematička zagonetka

Čuveni matematičar je svoju teoriju predstavio u obliku zagonetke. Zvuči ovako. Možete postaviti par zečeva u skučeni prostor kako biste saznali koliko će se parova zečeva roditi u jednoj godini. Uzimajući u obzir prirodu ovih životinja, činjenicu da je svaki mjesec par sposoban da proizvede novi par, a oni postaju spremni za razmnožavanje nakon što navrše dva mjeseca, na kraju je dobio svoju čuvenu seriju brojeva: 1, 1, 2, 3, 5, 8 , 13, 21, 34, 55, 89, 144 - što pokazuje broj novih parova zečeva u svakom mjesecu.

Fibonačijev niz i proporcionalni odnos

Ova serija ima nekoliko matematičkih nijansi koje se moraju uzeti u obzir. Približavajući se sve sporije i sporije (asimptotski), teži određenom proporcionalnom odnosu. Ali to je iracionalno. Drugim riječima, to je broj s nepredvidivim i beskonačnim nizom decimalni brojevi u frakcijskom dijelu. Na primjer, omjer bilo kojeg elementa serije varira oko brojke 1,618, ponekad je premašuje, ponekad dostiže. Sljedeći se po analogiji približava 0,618. Što je obrnuto proporcionalno broju 1.618. Ako podijelimo elemente sa jedan, dobićemo 2,618 i 0,382. Kao što ste već shvatili, oni su također obrnuto proporcionalni. Rezultirajući brojevi se nazivaju Fibonačijevi omjeri. Hajde sada da objasnimo zašto smo izvršili ove proračune.

Zlatni odnos

Razlikujemo sve objekte oko sebe prema određenim kriterijumima. Jedna od njih je forma. Neki ljudi nas privlače više, neki manje, a neki nam se uopšte ne sviđaju. Primijećeno je da je simetričan i proporcionalan predmet čovjek mnogo lakše percipira i izaziva osjećaj harmonije i ljepote. Kompletna slika uvijek uključuje dijelove razne veličine, koji su međusobno u određenom odnosu. Odavde slijedi odgovor na pitanje šta se zove zlatni omjer. Ovaj koncept znači savršenstvo odnosa između cjeline i dijelova u prirodi, nauci, umjetnosti itd. Sa matematičke tačke gledišta, razmotrite sljedeći primjer. Uzmimo odsječak bilo koje dužine i podijelimo ga na dva dijela na način da je manji dio povezan s većim kao što je zbir (dužina cijelog segmenta) sa većim. Dakle, uzmimo segment With po vrijednosti jedan. Njegov deo A biće jednak 0,618, drugi deo b, ispostavilo se, jednako je 0,382. Dakle, ispunjavamo uslov Zlatnog omjera. Omjer segmenta linije c To a jednako 1.618. I odnos delova c I b- 2.618. Dobijamo već poznate Fibonačijeve omjere. Zlatni trokut, zlatni pravougaonik i zlatni kockasti su građeni po istom principu. Vrijedi i to napomenuti proporcionalni odnos delovi ljudskog tela su blizu zlatnog preseka.

Da li je Fibonačijev niz osnova svega?

Pokušajmo spojiti teoriju zlatnog reza i čuvenu seriju italijanskog matematičara. Počnimo s dva kvadrata prve veličine. Zatim na vrh dodajte još jedan kvadrat druge veličine. Nacrtajmo istu figuru pored nje sa dužinom stranice, jednak iznosu dve prethodne stranke. Slično, nacrtajte kvadrat veličine pet. I ovo možete nastaviti do beskonačnosti dok vam ne dosadi. Glavna stvar je da je veličina stranice svakog sljedećeg kvadrata jednaka zbroju stranica prethodna dva. Dobijamo niz poligona čije su stranice Fibonačijevi brojevi. Ove figure se nazivaju Fibonačijevi pravokutnici. Nacrtajmo glatku liniju kroz uglove naših poligona i dobijemo... Arhimedovu spiralu! Povećanje koraka date figure, kao što je poznato, uvijek je ravnomjerno. Ako koristite svoju maštu, rezultirajući crtež može se povezati s školjkom mekušaca. Odavde možemo zaključiti da je Fibonačijev niz osnova proporcionalnih, harmoničnih odnosa elemenata u okolnom svetu.

Matematički niz i svemir

Ako bolje pogledate, Arhimedova spirala (ponekad eksplicitno, ponekad prikriveno) i, shodno tome, Fibonačijev princip mogu se pratiti u mnogim poznatim prirodnim elementima koji okružuju ljude. Na primjer, ista školjka mekušaca, cvatovi obične brokule, cvijet suncokreta, šišarka crnogorične biljke i slično. Ako pogledamo dalje, vidjet ćemo Fibonačijev niz u beskonačnim galaksijama. Čak i čovjek, inspiriran prirodom i usvajajući njene forme, stvara predmete u kojima se mogu pratiti navedeni nizovi. Sada je vrijeme da se prisjetimo zlatnog omjera. Uz Fibonačijev obrazac, mogu se pratiti principi ove teorije. Postoji verzija da je Fibonačijev niz svojevrsni test prirode za prilagođavanje savršenijem i fundamentalnijem logaritamskom nizu zlatnog omjera, koji je gotovo identičan, ali nema početak i beskonačan. Obrazac prirode je takav da mora imati svoju referentnu tačku, od koje se može početi stvarati nešto novo. Omjer prvih elemenata Fibonačijevog niza je daleko od principa zlatnog omjera. Međutim, što dalje nastavljamo, to se neslaganje više izglađuje. Da biste odredili niz, morate znati njegova tri elementa koji dolaze jedan iza drugog. Za Zlatni niz dovoljna su dva. Pošto je to i aritmetička i geometrijska progresija.

Zaključak

Ipak, na osnovu navedenog mogu se postaviti sasvim logična pitanja: "Odakle ti brojevi? Ko je autor strukture cijelog svijeta, ko se trudio da ga učini idealnim? Da li je uvijek sve bilo onako kako je želio? Da pa, zašto je došlo do kvara? Šta će se dalje dogoditi?" Kada pronađete odgovor na jedno pitanje, dobijate sledeće. Rešio sam - pojavljuju se još dve. Nakon što ih riješite, dobijate još tri. Nakon što ih riješite, dobit ćete pet neriješenih. Zatim osam, pa trinaest, dvadeset jedan, trideset četiri, pedeset pet...

Fibonačijev niz, svima poznat iz filma "Da Vinčijev kod" - niza brojeva koje je u obliku zagonetke opisao italijanski matematičar Leonardo iz Pize, poznatiji pod nadimkom Fibonači, u 13. veku. Ukratko o suštini zagonetke:

Neko je stavio par zečeva u određeni zatvoreni prostor da bi saznao koliko bi se parova zečeva rodilo tokom godine, ako je priroda zečeva takva da svakog meseca par zečeva rodi još jedan par, a oni postaju sposobni da daju potomstvo kada napune dva meseca starosti.

Rezultat je niz ovakvih brojeva: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , gdje je prikazan broj parova zečeva u svakom od dvanaest mjeseci odvojenih zarezima. Može se nastaviti u nedogled. Njegova suština je da je svaki sljedeći broj zbir prethodna dva.

Ova serija ima nekoliko matematičkih karakteristika koje svakako treba dotaknuti. Asimptotski (približava se sve sporije) teži nekom konstantnom omjeru. Međutim, ovaj omjer je iracionalan, odnosno radi se o broju s beskonačnim, nepredvidivim nizom decimalnih cifara u razlomku. Nemoguće je to precizno izraziti.

Dakle, omjer bilo kojeg člana niza prema onom koji mu prethodi fluktuira oko broja 1,618 , ponekad ga prekoračuje, ponekad ne postiže. Omjer prema sljedećem se na sličan način približava broju 0,618 , što je obrnuto proporcionalno 1,618 . Ako elemente podijelimo sa jedan, dobićemo brojeve 2,618 I 0,382 , koji su također obrnuto proporcionalni. To su takozvani Fibonačijevi omjeri.

čemu sve ovo? Tako se približavamo jednom od najvećih misteriozne pojave priroda. Pametni Leonardo u suštini nije otkrio ništa novo, samo je podsjetio svijet na fenomen kao što je Golden Ratio, koji po važnosti nije inferioran Pitagorinoj teoremi.

Sve predmete oko sebe razlikujemo po njihovom obliku. Neki nam se sviđaju više, neki manje, neki su potpuno odvratni. Ponekad se interes može diktirati životnu situaciju, a ponekad i ljepotu posmatranog objekta. Simetričan i proporcionalan oblik potiče najbolju vizualnu percepciju i izaziva osjećaj ljepote i sklada. Kompletna slika se uvijek sastoji od dijelova različite veličine, koji su u određenom međusobnom odnosu i cjelini. Zlatni odnos - najviša manifestacija savršenstvo cjeline i njenih dijelova u nauci, umjetnosti i prirodi.

Da koristimo jednostavan primjer, zlatni omjer je podjela segmenta na dva dijela u takvom omjeru da je veći dio povezan s manjim, kao što je njihov zbir (cijeli segment) prema većem.

Ako uzmemo ceo segment c iza 1 , zatim segment a biće jednaki 0,618 , linijski segment b - 0,382 , samo na taj način će biti ispunjen uslov zlatnog preseka (0,618/0,382=1,618 ; 1/0,618=1,618 ) . Stav c To a jednaki 1,618 , A With To b 2,618 . To su isti Fibonačijevi omjeri koji su nam već poznati.

Naravno, postoji zlatni pravougaonik, zlatni trougao, pa čak i zlatni kockast. Proporcije ljudsko tijelo po mnogo čemu blizak Zlatnom rezu.

slika: marcus-frings.de

Ali zabava počinje kada spojimo znanje koje smo stekli. Slika jasno pokazuje odnos između Fibonačijevog niza i zlatnog omjera. Počinjemo s dva kvadrata prve veličine. Na vrh dodajte kvadrat druge veličine. Nacrtajte kvadrat pored njega sa stranom jednakom zbroju stranica prethodne dvije, treće veličine. Po analogiji, pojavljuje se kvadrat veličine pet. I tako sve dok se ne umorite, glavna stvar je da dužina stranice svakog sljedećeg kvadrata bude jednaka zbroju dužina stranica dva prethodna. Vidimo niz pravougaonika čije su stranice Fibonačijevi brojevi, i, što je čudno, nazivaju se Fibonačijevi pravougaonici.

Ako povučemo glatke linije kroz uglove naših kvadrata, nećemo dobiti ništa više od Arhimedove spirale, čiji je prirast uvijek ujednačen.

Ne podsjeća te ni na šta?

foto: ethanhein na Flickr-u

I ne samo u ljusci mekušaca možete pronaći Arhimedove spirale, već u mnogim cvjetovima i biljkama jednostavno nisu tako očigledne.

Aloe multifolia:

foto: brewbooks na Flickr-u

foto: beart.org.uk
foto: esdrascalderan na Flickr-u
foto: manj98 na Flickr-u

A sada je vrijeme da se prisjetimo Zlatnog reza! Jesu li neke od najljepših i najskladnijih kreacija prirode prikazane na ovim fotografijama? I to nije sve. Ako pažljivo pogledate, možete pronaći slične uzorke u mnogim oblicima.

Naravno, izjava da su sve ove pojave zasnovane na Fibonačijevom nizu zvuči preglasno, ali trend je očigledan. A osim toga, i sama je daleko od savršenstva, kao i sve na ovom svijetu.

Postoji pretpostavka da je Fibonačijev niz pokušaj prirode da se prilagodi fundamentalnijem i savršenijem logaritamskom nizu zlatnog preseka, koji je skoro isti, samo što počinje niotkuda i ide nikuda. Prirodi je svakako potreban nekakav cijeli početak od kojeg može krenuti; ne može stvoriti nešto ni iz čega. Omjeri prvih članova Fibonačijevog niza su daleko od zlatnog omjera. Ali što se dalje krećemo, ta odstupanja se više izglađuju. Za definisanje bilo koje serije dovoljno je poznavati njena tri pojma, koja dolaze jedan za drugim. Ali ne za zlatni niz, dva su mu dovoljna, geometrijska je i aritmetička progresija istovremeno. Moglo bi se pomisliti da je to osnova za sve ostale sekvence.

Svaki član zlatnog logaritamskog niza je stepen zlatnog omjera ( z). Dio serije izgleda otprilike ovako: ... z -5 ; z -4 ; z -3 ; z -2 ; z -1 ; z 0 ; z 1 ; z 2 ; z 3 ; z 4 ; z 5... Ako vrijednost Zlatnog omjera zaokružimo na tri decimale, dobićemo z=1,618, tada serija izgleda ovako: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Svaki sljedeći član se može dobiti ne samo množenjem prethodnog sa 1,618 , ali i dodavanjem dva prethodna. Dakle, eksponencijalni rast se postiže jednostavnim dodavanjem dva susjedna elementa. To je niz bez početka i kraja, a to je ono što Fibonačijev niz pokušava da bude. Imajući vrlo određen početak, teži idealu, nikad ga ne postiže. To je život.

Pa ipak, u vezi sa svime što smo vidjeli i pročitali, nameću se sasvim logična pitanja:
Odakle ti brojevi? Ko je ovaj arhitekta svemira koji je pokušao da ga učini idealnim? Je li ikada sve bilo onako kako je želio? I ako jeste, zašto je pošlo po zlu? Mutacije? Slobodan izbor? Šta će biti sljedeće? Da li se spirala uvija ili odmotava?

Nakon što ste pronašli odgovor na jedno pitanje, dobit ćete sljedeće. Ako ga riješite, dobit ćete dva nova. Kada se pozabavite njima, pojavit će se još tri. Kada i njih riješite, imat ćete pet neriješenih. Onda osam, pa trinaest, 21, 34, 55...

Izvori: ; ; ;

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ukrajine

Odeski državni ekonomski univerzitet

odjel______________________

Sažetak za predmet "Ekonomska analiza"

na temu:

"Fibonačijevi brojevi: tehnička analiza."

Izvršio: student 33. FME grupe

Kushnirenko Sergey

naučni savjetnik:

Kopteltseva Lidiya Vasilievna

Odessa

Uvod. 3

Istorijat i svojstva niza. 3

Korištenje Fibonačijevih brojeva u promjenama trenda. 5

Višestruke Fibonaccijeve ciljne cijene. 8

Zaključak. jedanaest

Reference.. 12

Uvod.

Italijanski trgovac Leonardo iz Pize (1180-1240), poznatiji kao Fibonači, bio je daleko najznačajniji matematičar srednjeg veka. Uloga njegovih knjiga u razvoju matematike i širenju matematičkog znanja u Evropi teško se može precijeniti.
Leonardov život i naučna karijera usko su povezani sa razvojem evropske kulture i nauke.
U doba Fibonaccija, preporod je još bio daleko, ali je istorija Italiji dala kratak vremenski period, koji bi se mogao nazvati probom za nadolazeću renesansu. Ovu probu je vodio Fridrih II, car (od 1220.) „Svetog rimskog carstva nemačke nacije“. Odgajan u tradicijama južne Italije, Fridrik II je bio iznutra duboko udaljen od evropskog hrišćanskog viteštva. Stoga je privukao Arape i Jevreje da predaju na Univerzitetu u Napulju, koji je osnovao, zajedno s kršćanskim učenjacima.
Viteške turnire koje je tako volio njegov djed, u kojima su se borci sakatili jedni druge radi zabave javnosti, Fridrik II uopće nije priznavao. Umjesto toga, gajio je mnogo manje krvava matematička takmičenja, u kojima su protivnici razmjenjivali probleme, a ne udarce.
Upravo na takvim turnirima zablistao je talenat Leonarda Fibonaccija. Ovo je bilo olakšano dobro obrazovanje, koju je njegovom sinu poklonio trgovac Bonacci, koji ga je poveo sa sobom na istok i dodijelio mu arapske učitelje.
Nakon toga, Fibonači je uživao stalno pokroviteljstvo Fridrika II.
Ovo pokroviteljstvo podstaklo je objavljivanje Fibonačijevih naučnih rasprava:
najobimnija „Knjiga Abakusa“, napisana 1202. godine, ali koja je do nas došla u svojoj drugoj verziji, koja datira iz 1228. godine; "Vježbe geometrije" (1220); "Knjige kvadrata" (1225). Iz ovih knjiga, koje su svojim nivoom nadmašile arapska i srednjovjekovna evropska djela, matematika se učila skoro sve do Descartesovog vremena (17. vijek).

Najveći interes je rad „Knjiga o Abakusu”. Ova knjiga je obimno djelo koje sadrži gotovo sve aritmetičke i algebarske podatke tog vremena i odigralo je značajnu ulogu u razvoju matematike u zapadna evropa tokom narednih nekoliko vekova. Konkretno, kroz ovu knjigu Evropljani su se upoznali sa hinduističkim („arapskim“) brojevima.

Osnovna svrha ovog sažetka je proučavanje osnovnih svojstava Fibonačijevih brojeva i njihove primjene u praksi analize trenda.

Istorijat i svojstva niza.

Leonard Fibonacci jedan je od najvećih matematičara srednjeg vijeka. U jednom od svojih djela, "Knjizi proračuna", Fibonacci je opisao indoarapski sistem računanja i prednosti njegove upotrebe u odnosu na rimski.

Fibonačijev niz brojeva ima mnogo zanimljiva svojstva. Na primjer, zbir dva susjedna broja u nizu daje vrijednost sljedećeg (na primjer, 1+1=2; 2+3=5, itd.), što potvrđuje postojanje tzv. Fibonačijevih koeficijenata. , tj. konstantni odnosi.

Jedna od najvažnijih posljedica ovih svojstava različitih članova niza je definirana na sljedeći način:

1. Omjer svakog broja prema sljedećem sve više teži 0,618 kako se serijski broj povećava. Omjer svakog broja prema prethodnom teži ka 1,618 (obrnuto od 0,618). Broj 0,618 se zove (FI), a o njemu ćemo detaljnije govoriti nešto kasnije.

2. Prilikom dijeljenja svakog broja s jednim nakon njega, dobijamo broj 0,382; naprotiv – odnosno 2.618.

3. Odabirom odnosa na ovaj način dobijamo glavni skup Fibonačijevih omjera: ... 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236. spomenimo i 0,5 (1/2). Svi oni igraju posebnu ulogu u prirodi, a posebno u tehničkoj analizi.

Važno je napomenuti da se činilo da je Fibonacci podsjetio čovječanstvo na svoj niz. Poznavali su ga stari Grci i Egipćani. I zaista, od tada, obrasci opisani Fibonačijevim omjerima pronađeni su u prirodi, arhitekturi, likovnoj umjetnosti, matematici, fizici, astronomiji, biologiji i mnogim drugim poljima.

Na primjer, broj 0,618 predstavlja konstantan koeficijent u tzv. zlatnom rezu (slika 1), gdje je bilo koji segment podijeljen na način da je omjer između njegovog manjeg i uglavnom jednak omjeru između većine i cijelog segmenta. Dakle, broj 0,618 poznat je i kao zlatni omjer ili zlatna sredina. Ova vrsta proporcija se može naći apsolutno svuda (slika 2).

Slika 1. Zlatni rez

Slika 2. Primjeri Fibonačijevih omjera

Zlatni omjer koristi priroda za izradu njegovih dijelova, od velikih do malih. Moderna nauka smatra da se Univerzum razvija po takozvanoj zlatnoj spirali (slika 3), koja se gradi upravo uz pomoć zlatnog koeficijenta. Ova spirala bukvalno nema kraja i početka. Manji zavoji nikada ne konvergiraju u istoj tački, ali veći se razvijaju neograničeno u prostoru.

Slika 3. Zlatna spirala

Neki od odnosa koji se primjenjuju su:

Najvažnije je da se uz pomoć svih ovih, na neki način mističnih, brojeva opisuju heterogeni procesi u Univerzumu.

Korištenje Fibonačijevih brojeva u promjenama trenda.

Proučavajući gornji niz, možemo pretpostaviti upotrebu Fibonačijevog niza u predviđanju cijena, tj. u tehničkoj analizi.

Ovu ideju je još 30-ih godina izrazio jedan od najviše poznati ljudi koji je doprineo teoriji tehnička analiza– Ralph Nelson Elliott. Od tada, specifične prednosti upotrebe ove ideje u gotovo svim metodama tehničke analize su nesumnjive.

Ralph Nelson Elliott je bio inženjer. Nakon teške bolesti početkom 1930-ih. Počeo je analizirati cijene dionica, posebno Dow Jones Industrial Average. Nakon niza vrlo uspješnih predviđanja, Elliott je 1939. objavio seriju članaka u časopisu Financial World Magazine. Prvo su iznijeli njegovo stajalište da kretanja Dow Jones indeksa prate određene ritmove. Prema Elliottu, sva ova kretanja prate isti zakon kao i plima - plimu prati oseka, a akciju (akciju) prati reakcija (reakcija). Ova šema ne zavisi od vremena, jer struktura tržišta, u cjelini, ostaje nepromijenjena.

Elliott je pisao: "Zakon prirode uključuje u razmatranje najvažniji element - ritam. Zakon prirode nije određeni sistem, nije metoda igranja na tržištu, već pojava karakteristična, po svemu sudeći, za tok bilo kojeg ljudska aktivnost. Njegova primjena u predviđanju je revolucionarna."

Ova prilika da se predvidi kretanje cijena drži legije analitičara da rade danonoćno. Uvodeći svoj pristup, Elliott je bio vrlo konkretan. Napisao je: „Svaku ljudsku aktivnost karakteriziraju tri karakteristične karakteristike: oblik, vrijeme i odnos - i svi se pokoravaju Fibonačijevom sumacijskom nizu."

Jedan od najjednostavnijih načina upotrebe Fibonačijevih brojeva u praksi je određivanje vremenskih intervala nakon kojih će se dogoditi određeni događaj, na primjer, promjena trenda. Analitičar broji određeni broj Fibonačijevih dana ili sedmica (13, 21, 34, 55, itd.) od prethodnog sličnog događaja.

Fibonačijevi brojevi se široko koriste za određivanje trajanja perioda u teoriji ciklusa. Za osnovu svih dominantan ciklus uzima se određeni broj dana, sedmica, mjeseci povezanih sa Fibonačijevim brojevima. Na primjer, dužina Kondratijevskog ciklusa (talasa) je 54 godine. Obratite pažnju na bliskost ove vrijednosti sa Fibonaccijevim brojem 55.

Jedan od načina da se koristi Fibonačijev broj je pravljenje lukova (slika 4).

Slika 4. Lukovi.

Centar za takav luk odabire se na tački važnog plafona (gore) ili dna (dole). Radijus lukova se izračunava množenjem Fibonačijevih omjera sa vrijednošću prethodnog značajnog pada ili rasta cijena.

Za to odabrani koeficijenti imaju sljedeće vrijednosti: 38,2%, 50%, 61,8%. Ovisno o njihovoj lokaciji, lukovi će igrati ulogu otpora ili potpore.

Niz Fibonačijevih brojeva privukao je pažnju tokom mnogih vekova, od ere velikog Leonarda do danas. Možda najnoviji primjer je hvaljeni roman Davincijeva šifra Dana Browna.

Pre svega, nekoliko reči o Fibonačijevim brojevima uopšte i o njihovom derivatu – posebno o zlatnom preseku. Poznato je da je Fibonačijev niz beskonačan niz brojeva, od kojih je svaki zbir prethodna dva.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,….

Porijeklo ovog niza obično se povezuje s imenom italijanskog trgovca Leonarda iz Pize, poznatijeg pod nadimkom Fibonacci. Bio je veliki matematičar svog vremena i njegova uloga u razvoju matematike teško se može precijeniti. Prema njegovim djelima, superiornijim od arapskih i srednjovjekovnih evropskih djela, matematika se predavala sve do 16.-17. stoljeća.

Fibonači je, takoreći, podsetio čovečanstvo na ono što mu je od davnina bilo poznato kao „zlatni presek“. Geometrijsko značenje Ova proporcija se sastoji u tome da se segment podijeli na način da se cjelina odnosi na njegov veći dio, kao što se najveći dio odnosi na najmanji. Vrijednost zlatnog omjera je iracionalna, odnosno ne može se izračunati apsolutno tačno. Međutim, približno se može dobiti dijeljenjem dva susjedna broja u Fibonačijevom nizu, a što su brojevi veći, to će rezultat biti tačniji. Division više sa manjim daje vrijednost F*=1,618...., a dijeljenjem manjeg sa većim otprilike dobijemo F=0,618......

Na osnovu arhitektonskih spomenika koji su do nas došli i uzoraka materijalne kulture iz dalekih epoha, možemo pretpostaviti da su stari poznavali te odnose. Iako se obično veruje da je koncept zlatnog preseka uveo Pitagora (6. vek pre nove ere), sasvim je moguće da je to znanje starije i da je on to znanje pozajmio od Egipćana ili Babilonaca. Proporcije Keopsove piramide, hramova, bareljefa tog vremena, nekih predmeta za domaćinstvo i nakita iz Tutankamonove grobnice odgovaraju omjerima zlatnog omjera. Francuski arhitekta Le Corbusier je pronašao ove korespondencije u proporcijama na reljefima koji prikazuju faraone; prisutni su na fasadi kompleksa hrama Partenona. Drevni reljefi iz egipatskih grobnica prikazuju ljude kako se drže merni instrumenti, u kojem su zabilježene ove izuzetne proporcije.

Platon (IV vek pre nove ere) je znao za zlatni presek; ovaj odnos se pominje u Euklidovim elementima. Nakon Euklida, slična istraživanja su sproveli Hipsikle (II vek pne), Papus (III vek nove ere) i drugi. srednjovjekovne Evrope S njim smo se upoznali preko arapskih prijevoda Euklidovih elemenata. Prevodilac J. Campano iz Navare (III vek) dao je komentare na prevod. Treba napomenuti da je u to vrijeme ta saznanja bila tajna, pažljivo čuvana od neupućenih i držana u strogoj tajnosti.

Tokom renesanse, zlatnom preseku su obraćali pažnju Leonardo da Vinči, Albreht Direr i tvorac deskriptivne geometrije, monah Luca Pacioli. U njemu je pronašao "božansku suštinu" - izraz trojstva Boga sina, Boga oca i Boga Duha Svetoga. Podrazumijevalo se da je mali segment personifikacija Boga sina, veći dio je Bog otac, a svi zajedno Duh Sveti.

U narednim stoljećima nastavljeno je proučavanje ove proporcije. Nemac i profesor Zeising je 1855. objavio svoje delo „Estetičko istraživanje”, gde je proporciju zlatnog preseka proglasio univerzalnim za sve pojave prirode i umetnosti. Na osnovu proučavanja dimenzija nekoliko hiljada ljudskih tijela, došao je do zaključka da se njime izražava prosječni statistički zakon i da su proporcije ljudskog tijela opisane omjerima članova Fibonačijevog niza. To je evidentno u odnosu na najviše različitim dijelovima tijelo - dužina ramena, podlaktice i šake, šaka i prsti itd.

Zlatni rez se nalazi ne samo u umjetnosti i arhitekturi, već iu prirodi. Proporcije Fibonačijevog niza prisutne su u rasporedu listova na drveću, raznim sjemenkama, u bioritmima i funkcionisanju mozga i vizualne percepcije, muzičkim tonovima, poetskim metrima, u genskim strukturama živih organizama i slično.

Manifestacija Fibonačijevih brojeva nije ograničena na zakone percepcije i žive prirode. Iz istorije astronomije poznato je da je u 18.st. Njemački astronom I. Titius je, koristeći Fibonačijev niz, pronašao obrazac u udaljenostima između planeta Solarni sistem. Danas postoje brojni podaci o ispoljavanju zlatnog preseka u najrazličitijim fizičkim sistemima - u energetskim prelazima elementarnih čestica, u strukturi nekih hemijska jedinjenja itd. Uspostavljene su veze između zlatnog preseka i svojstava vode, jačine i frekvencije zvuka, spektra vidljive svetlosti, fizička i mehanička svojstva čvrste materije i tako dalje. Ove činjenice su dokaz nezavisnosti numeričke serije o uslovima njegovog ispoljavanja, što je jedan od znakova njegove univerzalnosti. Postoje čak i pokušaji da se napravi hronologija ljudsko društvo baziran na Fibonaccijevom nizu.

Kao razlozi koji objašnjavaju ove pojave, najčešće se navode rezultati istraživanja koji pokazuju da najstabilnije prirodne i društvene konfiguracije imaju oblik nalik na Fibonači, jer su optimalne u smislu uštede energije i resursa.

U 20. veku, na osnovu Fibonačijevog niza, stvorena je jedna od najuspešnijih metoda za analizu finansijskih, robnih i drugih tržišta - Elliott talasna teorija. Uz malo mašte, mogu se uočiti sasvim očigledne analogije između finansijskog tržišta i onoga što zovemo „političko tržište“. Pod ovim poslednjim mislimo politički sistem regulisanje civilnog društva, tamo gde postoje interesi razne grupe stanovništva, a moguće kontradikcije među njima rješavaju se sporazumima u okviru demokratskih procedura. Općenito, opšte je poznato da je politika umjetnost kompromisa. A kompromis je uvijek dogovor i nije bitno da li je trgovinski, posrednički ili politički. U tom smislu sve političari- politički igrači na tržištu.

Pri tome, uopće nije važno šta motivira političare: velike ideje, lične ambicije, interesi finansijskih i industrijskih grupa koje ih podržavaju, ili određene grupe stanovništva, ili jednostavno, njihov vlastiti interes. Bitno je da, aktivnim, stvaraju političke partije, promovirati određene projekte implementirane u zakonodavnim ili drugim aktivnostima. Ovdje imamo isti paradoks tržišne ekonomije. U slučaju da se aktivnosti političara odvijaju u pravnom polju, bez obzira na motivaciju, to je objektivno korisno za društvo, jer svojom užurbanošću i treperenjem ovi „brokeri političkog tržišta“ rješavaju probleme samoregulacije društveni organizam. Nastavljajući analogiju, možemo reći da se „trgovci i investitori političkog tržišta“ mogu smatrati onim silama koje finansiraju politička aktivnost.

Ako je to tako, onda postoji iskušenje primjene metoda analize finansijskih tržišta na politička tržišta. Jedna takva metoda tehničke analize je korištenje Elliottovog talasnog zakona. Prije više od šezdeset godina, Ralph Elliott razvio je teoriju tržišnog ponašanja, koju je u najpotpunijem obliku iznio u knjizi “Zakon prirode – tajna svemira”, objavljenoj 1946. godine. Već je bio uvjeren da njegova teorija pokriva ne samo ponašanje berzanskih indeksa, već i više opšti zakoni priroda koja upravlja aktivnostima ljudskog društva.

Suština Elliottovog pristupa je da se društvo razvija i mijenja prema prepoznatljivim obrascima. Identificirao je više od desetak tipova obrazaca kretanja („talasa“) koji se javljaju u toku tržišnih cijena, ponavljajući se u obliku, ali ne nužno u vremenu ili amplitudi. Dobili su nazive, definicije i ilustracije ovih modela.

Prema njegovoj teoriji, kretanje se odvija po “starom dobrom principu”: tri koraka naprijed, dva nazad, a valovi su razdvojeni - impulsni (naprijed) i korektivni (nazad). Zaista, čak i letimičan pogled na grafikon Dow Jones indeksa ili na ponašanje deviznih kurseva na FOREX tržištu je dovoljan da se vidi kretanje talasa veliki iznos velikih i malih talasa. Odlikuje ih svojstvo zvano "samosličnost", svojstveno takozvanim fraktalima.

Elliott je tvrdio da je, bez obzira na veličinu, oblik valova prilično stabilan, a redoslijed njihove izmjene može se razumno objasniti. Zakon talasa je obrazac razvoja i opadanja. Odnosi između pojedinačnih talasa zasnivaju se na brojevima izvedenim iz Fibonačijevog niza, a posebno na zlatnom preseku.

Neki autori pokušavaju da primene Elliotov talasni zakon čak i da analiziraju istoriju čovečanstva i njegov globalni razvoj. Ne postavljajući sebi ovako velike zadatke, pokušaćemo da razmotrimo sa stanovišta primenljivosti Fibonačijevog niza za analizu trajanja nekih procesa koji su se odigrali u Rusiji u 20. veku, pa ćemo čak pokušati da damo i neku vrstu prognoze za prve decenije 21. veka.

Treba napomenuti da su danas različiti indeksi (Dow Jones, NASDAQ, itd.) razvijeni i naširoko korišteni za tržište dionica, što omogućava izgradnju i analizu grafikona njihovih promjena tokom vremena. Za političko tržište, takvi pokazatelji će možda tek morati da se kreiraju u budućnosti. Intuitivno je jasno da bi ovi hipotetički analozi Dow Jonesovog indeksa trebali imati vjerovatnoću, entropijsku prirodu.