Ovaj članak govori o paralelnim linijama i paralelnim linijama. Prvo se daje definicija paralelnih pravih na ravni i u prostoru, uvode se oznake, daju se primjeri i grafičke ilustracije paralelnih pravih. Zatim se razmatraju znaci i uslovi za paralelnost pravih. U zaključku su prikazana rješenja tipičnih problema dokazivanja paralelizma pravih, koja su data određenim jednačinama prave u pravokutnom koordinatnom sistemu na ravni i u trodimenzionalnom prostoru.
Navigacija po stranici.
Paralelne linije - osnovne informacije.
Definicija.
Zovu se dvije prave u ravni paralelno, ako nemaju zajedničke tačke.
Definicija.
Zovu se dvije linije u trodimenzionalnom prostoru paralelno, ako leže u istoj ravni i nemaju zajedničke tačke.
Imajte na umu da je klauzula „ako leže u istoj ravni“ u definiciji paralelnih pravih u prostoru veoma važna. Pojasnimo ovu tačku: dvije prave u trodimenzionalnom prostoru koje nemaju zajedničke tačke i ne leže u istoj ravni nisu paralelne, već seku.
Evo nekoliko primjera paralelnih linija. Suprotne ivice list sveske leže na paralelnim pravima. Prave linije duž kojih ravnina zida kuće siječe ravnine stropa i poda su paralelne. Željezničke šine na ravnom terenu također se mogu smatrati paralelnim prugama.
Za označavanje paralelnih linija koristite simbol “”. To jest, ako su prave a i b paralelne, onda možemo ukratko napisati a b.
Imajte na umu: ako su prave a i b paralelne, onda možemo reći da je prava a paralelna pravoj b, kao i da je prava b paralelna pravoj a.
Hajde da izgovorimo izjavu koja svira važnu ulogu kada se proučavaju paralelne prave na ravni: kroz tačku koja ne leži na datoj, prolazi jedna prava paralelna sa datom. Ova tvrdnja se prihvata kao činjenica (ne može se dokazati na osnovu poznatih aksioma planimetrije), a naziva se aksiomom paralelnih pravih.
Za slučaj u prostoru važi teorema: kroz bilo koju tačku u prostoru koja ne leži na datoj pravoj, prolazi jedna prava paralelna sa datom. Ova teorema se lako dokazuje korištenjem gornje aksiome paralelnih pravih (dokaz možete pronaći u udžbeniku geometrije za 10-11 razred, koji je naveden na kraju članka u popisu literature).
Za slučaj u prostoru važi teorema: kroz bilo koju tačku u prostoru koja ne leži na datoj pravoj, prolazi jedna prava paralelna sa datom. Ova teorema se može lako dokazati korištenjem gornjeg aksioma paralelne prave.
Paralelnost pravih - znaci i uslovi paralelizma.
Znak paralelizma pravih je dovoljno stanje paralelnost pravih, odnosno uslov čije ispunjenje garantuje paralelnost pravih. Drugim riječima, ispunjenje ovog uslova je dovoljno da se utvrdi činjenica da su prave paralelne.
Takođe postoje neophodni i dovoljni uslovi za paralelnost pravih na ravni iu trodimenzionalnom prostoru.
Objasnimo značenje izraza "neophodan i dovoljan uslov za paralelne prave".
Već smo se bavili dovoljnim uslovom za paralelne prave. Šta je "neophodan uslov za paralelne prave"? Iz naziva „neophodan“ jasno je da je ispunjenje ovog uslova neophodno za paralelne prave. Drugim riječima, ako nije ispunjen neophodan uvjet da prave budu paralelne, tada prave nisu paralelne. dakle, neophodan i dovoljan uslov za paralelne prave je uslov čije je ispunjenje neophodno i dovoljno za paralelne prave. Odnosno, s jedne strane, ovo je znak paralelizma pravih, a s druge strane, ovo je svojstvo koje imaju paralelne prave.
Prije nego što formulišemo neophodan i dovoljan uslov za paralelnost linija, preporučljivo je prisjetiti se nekoliko pomoćnih definicija.
Sekantna linija je prava koja siječe svaku od dvije date nepodudarne prave.
Kada se dvije prave linije seku sa transverzalom, nastaje osam nerazvijenih. U formulaciji neophodnog i dovoljnog uslova za paralelnost pravih, tzv ležeći poprečno, odgovarajući I jednostrani uglovi. Pokažimo ih na crtežu.
Teorema.
Ako se dvije prave u ravni sijeku transverzalom, tada je potrebno i dovoljno da su uglovi koji se seku jednaki, ili da su odgovarajući uglovi jednaki, ili je zbir jednostranih uglova jednak 180 da bi bile paralelne. stepeni.
Pokažimo grafičku ilustraciju ovog neophodnog i dovoljnog uslova za paralelnost pravih na ravni.
Dokaze za ove uslove za paralelnost pravih možete pronaći u udžbenicima geometrije za 7-9 razred.
Imajte na umu da se ovi uvjeti mogu koristiti i u trodimenzionalnom prostoru - glavna stvar je da dvije prave i sekansa leže u istoj ravni.
Evo još nekoliko teorema koje se često koriste za dokazivanje paralelizma pravih.
Teorema.
Ako su dvije prave u ravni paralelne s trećom pravom, onda su one paralelne. Dokaz ovog kriterija slijedi iz aksioma paralelnih pravih.
Sličan uslov postoji i za paralelne linije u trodimenzionalnom prostoru.
Teorema.
Ako su dvije prave u prostoru paralelne s trećom linijom, onda su paralelne. O dokazu ovog kriterija govori se na časovima geometrije u 10. razredu.
Ilustrujmo navedene teoreme.
Predstavimo još jednu teoremu koja nam omogućava da dokažemo paralelizam pravih na ravni.
Teorema.
Ako su dvije prave u ravni okomite na treću pravu, onda su paralelne.
Postoji slična teorema za linije u prostoru.
Teorema.
Ako su dvije prave u trodimenzionalnom prostoru okomite na istu ravan, onda su paralelne.
Nacrtajmo slike koje odgovaraju ovim teoremama.
Sve gore formulisane teoreme, kriterijumi i neophodni i dovoljni uslovi odlični su za dokazivanje paralelizma pravih metodama geometrije. Odnosno, da biste dokazali paralelizam dvije date prave, morate pokazati da su one paralelne s trećom linijom, ili pokazati jednakost poprečno ležećih uglova itd. Mnogi slični problemi rješavaju se na časovima geometrije u srednja škola. Međutim, treba napomenuti da je u mnogim slučajevima zgodno koristiti koordinatnu metodu za dokazivanje paralelnosti pravih na ravni ili u trodimenzionalnom prostoru. Hajde da formulišemo neophodne i dovoljne uslove za paralelnost pravih koje su određene u pravougaonom koordinatnom sistemu.
Paralelizam pravih u pravougaonom koordinatnom sistemu.
U ovom paragrafu članka ćemo formulisati neophodni i dovoljni uslovi za paralelne prave u pravougaonom koordinatnom sistemu, u zavisnosti od vrste jednadžbi koje definišu ove prave, a predstavljamo i detaljna rješenja karakteristični zadaci.
Počnimo sa uslovom paralelnosti dve prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy. Njegov dokaz se zasniva na definiciji vektora pravca prave i definicije vektora normale prave na ravni.
Teorema.
Da bi dvije nepodudarne prave bile paralelne u ravni, potrebno je i dovoljno da vektori smjera ovih pravih budu kolinearni, ili da su vektori normale ovih pravi kolinearni, ili da je vektor smjera jedne prave okomit na normalu vektor druge linije.
Očigledno, uvjet paralelizma dvije prave na ravni se svodi na (vektori pravca prava ili normalni vektori pravih) ili na (vektor smjera jedne prave i normalni vektor druge linije). Dakle, ako su i vektori smjera linija a i b, i 
I 
su normalni vektori pravih a i b, redom, tada će nužan i dovoljan uslov za paralelnost pravih a i b biti zapisan kao 
, ili 
, ili , gdje je t neki realni broj. Zauzvrat, koordinate vodilica i (ili) normalnih vektora linija a i b nalaze se pomoću poznatih jednačina linija.
Konkretno, ako prava linija a u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy na ravni definiše opštu pravolinijsku jednačinu oblika 
, i prava b - 
, tada normalni vektori ovih pravih imaju koordinate i, respektivno, a uslov paralelnosti pravih a i b biće zapisan kao .
Ako linija a odgovara jednadžbi prave sa ugaonim koeficijentom oblika , a prava b - , tada normalni vektori ovih pravih imaju koordinate i , a uslov za paralelnost ovih pravih ima oblik 
. Shodno tome, ako su linije na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu paralelne i mogu se specificirati jednačinama linija sa ugaonim koeficijentima, tada će ugaoni koeficijenti pravih biti jednaki. I obrnuto: ako se nepodudarne prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu mogu specificirati jednačinama prave sa jednakim ugaonim koeficijentima, onda su takve prave paralelne.
Ako su prava a i prava b u pravougaonom koordinatnom sistemu određene kanonskim jednačinama prave na ravni oblika 
I 
, ili parametarske jednadžbe prave linije na ravni oblika 
I 
u skladu s tim, vektori smjera ovih linija imaju koordinate i , a uvjet za paralelnost linija a i b zapisuje se kao .
Pogledajmo rješenja na nekoliko primjera.
Primjer.
Jesu li linije paralelne? 
i ?
Rješenje.
Prepišimo jednadžbu prave u segmentima u obliku opšte jednačine prave: 
. Sada možemo vidjeti da je to normalni vektor linije , a je normalni vektor prave. Ovi vektori nisu kolinearni, jer ne postoji pravi broj t za koji je jednakost ( 
). Shodno tome, nužan i dovoljan uslov za paralelnost pravih na ravni nije zadovoljen, pa date prave nisu paralelne.
odgovor:
Ne, prave nisu paralelne.
Primjer.
Da li su prave i paralelne?
Rješenje.
Svedimo kanonsku jednačinu prave na jednačinu prave sa ugaonim koeficijentom: . Očigledno je da jednačine pravih i nisu iste (u ovom slučaju date prave bi bile iste) i ugaoni koeficijenti pravih su jednaki, dakle, originalne prave su paralelne.
Znakovi paralelizma dvije prave
Teorema 1. Ako, kada se dvije prave seku sa sekantom:
ukršteni uglovi su jednaki, ili
odgovarajući uglovi su jednaki, ili
tada je zbir jednostranih uglova 180°
prave su paralelne(Sl. 1).
Dokaz. Ograničavamo se na dokazivanje slučaja 1.
Neka su prave a i b ukrštene, a uglovi AB jednaki. Na primjer, ∠ 4 = ∠ 6. Dokažimo da je a || b.
Pretpostavimo da prave a i b nisu paralelne. Tada se sijeku u nekoj tački M i stoga će jedan od uglova 4 ili 6 biti vanjski ugao trougla ABM. Radi određenosti, neka je ∠ 4 vanjski ugao trougla ABM, a ∠ 6 unutrašnji. Iz teoreme o spoljašnjem uglu trougla sledi da je ∠ 4 veći od ∠ 6, a to je u suprotnosti sa uslovom, što znači da se prave a i 6 ne mogu seći, pa su paralelne.
Zaključak 1. Dvije različite prave u ravni okomitoj na istu pravu su paralelne(Sl. 2).
Komentar. Način na koji smo upravo dokazali slučaj 1 teoreme 1 nazivamo metodom dokaza kontradikcijom ili svođenjem na apsurd. Ova metoda je dobila svoje prvo ime jer se na početku argumentacije postavlja pretpostavka koja je suprotna (suprotna) onome što treba dokazati. To se naziva dovođenjem do apsurda zbog činjenice da, rezonujući na osnovu postavljene pretpostavke, dolazimo do apsurdnog zaključka (do apsurda). Primanje takvog zaključka tjera nas da odbacimo pretpostavku iznesenu na početku i prihvatimo onu koju je trebalo dokazati.
Zadatak 1. Konstruisati pravu koja prolazi kroz datu tačku M i paralelna sa datom pravom a, a ne prolazi kroz tačku M.
Rješenje. Provlačimo pravu p kroz tačku M okomitu na pravu a (slika 3).
Zatim povučemo pravu b kroz tačku M okomitu na pravu p. Prava b je paralelna pravoj a prema posljedici teoreme 1.
Iz razmatranog problema proizlazi važan zaključak:
kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj uvek je moguće povući pravu paralelnu datoj.
Glavno svojstvo paralelnih linija je sljedeće.
Aksiom paralelnih pravih. Kroz datu tačku koja ne leži na datoj pravoj prolazi samo jedna prava paralelna sa datom.
Razmotrimo neka svojstva paralelnih pravih koja slijede iz ovog aksioma.
1) Ako prava seče jednu od dve paralelne prave, onda seče i drugu (slika 4).
2) Ako su dvije različite prave paralelne s trećom pravom, onda su one paralelne (slika 5).
Sljedeća teorema je također tačna.
Teorema 2. Ako se dvije paralelne prave sijeku transverzalom, onda:
poprečni uglovi su jednaki;
odgovarajući uglovi su jednaki;
zbir jednostranih uglova je 180°.
Zaključak 2. Ako je prava okomita na jednu od dvije paralelne prave, ona je također okomita na drugu(vidi sliku 2).
Komentar. Teorema 2 se naziva inverzna teorema 1. Zaključak teoreme 1 je uslov teoreme 2. A uslov teoreme 1 je zaključak teoreme 2. Nema svaka teorema inverz, tj. ako je ova teorema tačna, onda obrnuta teorema može biti netačno.
Objasnimo ovo na primjeru teoreme o vertikalnim uglovima. Ova teorema se može formulirati na sljedeći način: ako su dva ugla okomita, onda su jednaki. Obrnuti teorem bi bio: ako su dva ugla jednaka, onda su vertikalni. A ovo, naravno, nije tačno. Dva jednaka ugla ne moraju biti vertikalna.
Primjer 1. Dvije paralelne prave se ukrštaju trećom. Poznato je da je razlika između dva unutrašnja jednostrana ugla 30°. Pronađite ove uglove.
Rješenje. Neka slika 6 ispuni uslov.
1. Prvi znak paralelizma.
Ako su, kada dvije prave sijeku treću, unutrašnji uglovi koji leže poprečno jednaki, tada su ove prave paralelne.
Neka se prave AB i CD sijeku pravom EF i ∠1 = ∠2. Uzmimo tačku O - sredinu segmenta KL sekante EF (sl.).
Spustimo okomicu OM iz tačke O na pravu AB i nastavimo je dok ne preseče pravu CD, AB ⊥ MN. Dokažimo da je CD ⊥ MN.
Da biste to učinili, razmotrite dva trokuta: MOE i NOK. Ovi trouglovi su međusobno jednaki. Zaista: ∠1 = ∠2 prema teoremi; OK = OL - po konstrukciji;
∠MOL = ∠NOK, kao vertikalni uglovi. Dakle, stranica i dva susedna ugla jednog trougla su respektivno jednaki strani i dva susedna ugla drugog trougla; prema tome, ΔMOL = ΔNOK, i stoga ∠LMO = ∠KNO,
ali ∠LMO je ravan, što znači da je ∠KNO takođe ravan. Dakle, prave AB i CD su okomite na istu pravu MN, dakle, paralelne su, što je i trebalo dokazati.
Bilješka. Presek pravih MO i CD može se uspostaviti rotacijom trougla MOL oko tačke O za 180°.
2. Drugi znak paralelizma.
Pogledajmo da li su prave AB i CD paralelne ako su, kada seku treću pravu EF, odgovarajući uglovi jednaki.
Neka su neki odgovarajući uglovi jednaki, na primer ∠ 3 = ∠2 (Sl.);
∠3 = ∠1, kao vertikalni uglovi; to znači da će ∠2 biti jednako ∠1. Ali uglovi 2 i 1 su unutrašnji uglovi koji sijeku, a već znamo da ako su dvije prave siječe treću, unutrašnji uglovi koji se seku jednaki, onda su ove prave paralelne. Stoga AB || CD.
Ako su, kada dvije prave sijeku treću, odgovarajući uglovi jednaki, tada su ove dvije prave paralelne.
Na ovoj osobini zasniva se konstrukcija paralelnih linija pomoću ravnala i trougla za crtanje. To se radi na sljedeći način.
Pričvrstimo trougao na ravnalo kao što je prikazano na sl. Trokut ćemo pomjeriti tako da jedna njegova stranica klizi duž ravnala, a duž neke druge strane trougla ćemo povući nekoliko pravih linija. Ove linije će biti paralelne.
3. Treći znak paralelizma.
Neka znamo da kada se dvije prave AB i CD seku sa trećom pravom linijom, zbir svih unutrašnjih jednostranih uglova jednak je 2 d(ili 180°). Hoće li u ovom slučaju prave AB i CD biti paralelne (sl.).
Neka su ∠1 i ∠2 unutrašnji jednostrani uglovi i zbrojimo do 2 d.
Ali ∠3 + ∠2 = 2 d kao susedni uglovi. Dakle, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.
Dakle, ∠1 = ∠3, a ovi unutrašnji uglovi leže poprečno. Stoga AB || CD.
Ako, kada dvije prave sijeku treću, zbir unutrašnjih jednostranih uglova jednak je 2 d (ili 180°), onda su ove dvije prave paralelne.
Znakovi paralelnih linija:
1. Ako su, kada dvije prave seku treću, unutrašnji uglovi koji leže poprečno jednaki, onda su ove prave paralelne.2. Ako su, kada dvije prave sijeku treću, odgovarajući uglovi jednaki, tada su ove dvije prave paralelne.
3. Ako, kada dvije prave seku treću, zbir unutrašnjih jednostranih uglova iznosi 180°, onda su ove dvije prave paralelne.
4. Ako su dvije prave paralelne s trećom pravom, onda su paralelne jedna s drugom.
5. Ako su dvije prave okomite na treću pravu, onda su paralelne jedna s drugom.
Euklidov aksiom paralelizma
Zadatak. Kroz tačku M uzetu izvan prave AB povucite pravu paralelnu pravoj AB.
Koristeći dokazane teoreme o kriterijima za paralelne prave, možemo riješiti ovaj problem Različiti putevi,
Rješenje. 1. korak (crtež 199).
Povučemo MN⊥AB i kroz tačku M povučemo CD⊥MN;
dobijamo CD⊥MN i AB⊥MN.
Na osnovu teoreme (“Ako su dvije prave okomite na istu pravu, onda su paralelne.”) zaključujemo da je CD || AB.
2. metoda (crtež 200).
Nacrtamo MK koji seče AB pod bilo kojim uglom α, a kroz tačku M povučemo pravu liniju EF, koja formira ugao EMK sa pravom linijom MK, jednaka ugluα. Na osnovu teoreme (), zaključujemo da je EF || AB.
Odlučivši ovaj zadatak, možemo smatrati dokazanim da je kroz bilo koju tačku M izvan prave AB moguće povući pravu paralelnu s njom. Postavlja se pitanje: koliko pravih paralelnih sa datom pravom i koje prolaze kroz datu tačku može postojati?
Praksa konstrukcije nam omogućava da pretpostavimo da postoji samo jedna takva prava linija, jer se kod pažljivo izvedenog crteža spajaju prave na različite načine povučene kroz istu tačku paralelnu sa istom pravom linijom.
U teoriji, odgovor na postavljeno pitanje daje takozvani Euklidov aksiom paralelizma; formuliran je na sljedeći način:
Kroz tačku uzetu izvan date prave može se povući samo jedna prava paralelna ovoj pravoj.
Na crtežu 201, prava linija SC povučena je kroz tačku O, paralelna sa pravom AB.
Svaka druga prava koja prolazi kroz tačku O više neće biti paralelna pravoj AB, već će je preseći.
Aksiom koji je usvojio Euklid u svojim Elementima, a koji kaže da se na ravni, kroz tačku izvan date prave, može povući samo jedna prava paralelna ovoj pravoj, naziva se Euklidov aksiom paralelizma.
Više od dvije hiljade godina nakon Euklida, mnogi matematičari su pokušavali da dokažu ovu matematičku tvrdnju, ali njihovi pokušaji su uvijek bili neuspješni. Tek 1826. godine veliki ruski naučnik, profesor na Kazanskom univerzitetu Nikolaj Ivanovič Lobačevski je dokazao da se korišćenjem svih ostalih Euklidovih aksioma ovaj matematički predlog ne može dokazati, da ga zaista treba prihvatiti kao aksiom. N.I. Lobačevski je stvorio novu geometriju, koja se, za razliku od geometrije Euklida, naziva geometrija Lobačevskog.
U ovom članku ćemo govoriti o paralelnim linijama, dati definicije i skicirati znakove i uvjete paralelizma. Da bi teorijski materijal bio jasniji, koristit ćemo ilustracije i rješenja tipičnih primjera.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1
Paralelne prave na ravni– dvije prave na ravni koje nemaju zajedničkih tačaka.
Definicija 2
Paralelne linije u trodimenzionalnom prostoru– dvije prave u trodimenzionalnom prostoru, koje leže u istoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka.
Potrebno je napomenuti da je za određivanje paralelnih pravih u prostoru izuzetno važno pojašnjenje „leže u istoj ravni“: dvije prave u trodimenzionalnom prostoru koje nemaju zajedničke tačke i ne leže u istoj ravni nisu paralelne. , ali se ukrštaju.
Za označavanje paralelnih linija uobičajeno je koristiti simbol ∥. Odnosno, ako su date prave a i b paralelne, ovaj uslov treba ukratko napisati na sljedeći način: a ‖ b. Verbalno, paralelnost pravih se označava na sledeći način: prave a i b su paralelne, ili prava a je paralelna pravoj b, ili prava b paralelna pravoj a.
Hajde da formulišemo izjavu koja igra važnu ulogu u temi koja se proučava.
Aksiom
Kroz tačku koja ne pripada datoj pravoj prolazi jedina prava paralelna datoj. Ova tvrdnja se ne može dokazati na osnovu poznatih aksioma planimetrije.
U slučaju mi pričamo o tome o prostoru, teorema je tačna:
Teorema 1
Kroz bilo koju tačku u prostoru koja ne pripada datoj pravoj, proći će jedna prava paralelna datoj.
Ovu teoremu je lako dokazati na osnovu gornjeg aksioma (program geometrije za 10. - 11. razred).
Kriterijum paralelizma je dovoljan uslov, čije ispunjenje garantuje paralelnost pravih. Drugim riječima, ispunjenje ovog uslova je dovoljno da potvrdi činjenicu paralelizma.
Konkretno, postoje neophodni i dovoljni uslovi za paralelnost pravih na ravni i u prostoru. Objasnimo: nužan je uslov čije je ispunjenje neophodno za paralelne prave; ako nije ispunjen, prave nisu paralelne.
Da rezimiramo, neophodan i dovoljan uslov za paralelnost pravih je uslov čije je poštovanje neophodno i dovoljno da prave budu međusobno paralelne. S jedne strane, ovo je znak paralelizma, s druge strane, to je svojstvo svojstveno paralelnim linijama.
Prije nego što damo tačnu formulaciju potrebnog i dovoljnog uvjeta, podsjetimo se na nekoliko dodatnih pojmova.
Definicija 3
Sekantna linija– prava linija koja siječe svaku od dvije date nepodudarne prave.
Presijecajući dvije prave, transverzala formira osam nerazvijenih uglova. Da bismo formulirali neophodan i dovoljan uvjet, koristit ćemo takve vrste uglova kao što su ukršteni, odgovarajući i jednostrani. Hajde da ih demonstriramo na ilustraciji:
Teorema 2
Ako se dvije prave u ravni sijeku transverzalom, onda je da bi date prave bile paralelne potrebno i dovoljno da su uglovi koji se seku jednaki, ili odgovarajući uglovi jednaki, ili zbir jednostranih uglova jednak 180 stepeni.
Ilustrujmo grafički neophodan i dovoljan uslov za paralelnost pravih na ravni:
Dokaz ovih uslova je prisutan u programu geometrije za 7-9 razred.
Generalno, ovi uslovi važe i za trodimenzionalni prostor, pod uslovom da dve prave i sekansa pripadaju istoj ravni.
Naznačimo još nekoliko teorema koje se često koriste za dokazivanje činjenice da su prave paralelne.
Teorema 3
Na ravni su dvije prave paralelne s trećom paralelne jedna s drugom. Ova karakteristika je dokazana na osnovu aksioma paralelizma koji je gore naznačen.
Teorema 4
U trodimenzionalnom prostoru, dvije linije paralelne s trećom su paralelne jedna s drugom.
Dokaz znaka se izučava u nastavnom planu i programu geometrije 10. razreda.
Dajemo ilustraciju ovih teorema:
Naznačimo još jedan par teorema koje dokazuju paralelizam pravih.
Teorema 5
Na ravni, dvije prave okomite na treću su paralelne jedna s drugom.
Formulirajmo sličnu stvar za trodimenzionalni prostor.
Teorema 6
U trodimenzionalnom prostoru, dvije prave okomite na treću su paralelne jedna s drugom.
Ilustrujmo:
Sve gore navedene teoreme, znaci i uvjeti omogućuju praktično dokazivanje paralelizma pravih metodama geometrije. To jest, da bi se dokazala paralelnost pravih, može se pokazati da su odgovarajući uglovi jednaki, ili dokazati činjenicu da su dvije date prave okomite na treću, itd. Ali imajte na umu da je često zgodnije koristiti koordinatnu metodu za dokazivanje paralelnosti linija na ravni ili u trodimenzionalnom prostoru.
Paralelizam pravih u pravougaonom koordinatnom sistemu
U datom pravougaonom koordinatnom sistemu, prava je određena jednadžbom prave linije na ravni jedne od mogući tipovi. Isto tako, prava linija definisana u pravougaonom koordinatnom sistemu u trodimenzionalnom prostoru odgovara nekim jednačinama za pravu liniju u prostoru.
Zapišimo potrebne i dovoljne uslove za paralelnost pravih u pravougaonom koordinatnom sistemu u zavisnosti od tipa jednačine koja opisuje date prave.
Počnimo sa uslovom paralelnosti pravih na ravni. Zasnovan je na definicijama vektora smjera prave i vektora normale prave na ravni.
Teorema 7
Da bi dvije nepodudarne prave bile paralelne na ravni, potrebno je i dovoljno da su vektori smjera datih pravih kolinearni, ili da su vektori normale datih pravih kolinearni, ili da je vektor smjera jedne prave okomit na vektor normale druge linije.
Postaje očigledno da se uslov paralelnosti pravih na ravni zasniva na uslovu kolinearnosti vektora ili uslovu okomitosti dva vektora. To jest, ako su a → = (a x, a y) i b → = (b x, b y) vektori pravca a i b;
i n b → = (n b x , n b y) su normalni vektori pravih a i b, tada zapisujemo gornji neophodan i dovoljan uslov na sljedeći način: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y ili n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y ili a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , gdje je t neki realni broj. Koordinate vodilica ili pravih vektora određene su datim jednačinama pravih linija. Pogledajmo glavne primjere.
- Definisana je prava a u pravougaonom koordinatnom sistemu opšta jednačina prava linija: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; prava b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tada će normalni vektori datih linija imati koordinate (A 1, B 1) i (A 2, B 2), respektivno. Uslov paralelizma pišemo na sljedeći način:
A 1 = t A 2 B 1 = t B 2
- Prava a je opisana jednadžbom prave sa nagibom oblika y = k 1 x + b 1 . Prava linija b - y = k 2 x + b 2. Tada će normalni vektori datih pravih imati koordinate (k 1, - 1) i (k 2, - 1), respektivno, a uslov paralelizma ćemo napisati na sljedeći način:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
Dakle, ako su paralelne prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu date jednačinama sa ugaonim koeficijentima, onda će ugaoni koeficijenti datih pravih biti jednaki. I suprotna izjava je tačna: ako su nepodudarne prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu određene jednadžbama prave sa identičnim ugaonim koeficijentima, onda su ove date prave paralelne.
- Prave a i b u pravougaonom koordinatnom sistemu određene su kanonskim jednačinama prave na ravni: x - x 1 a x = y - y 1 a y i x - x 2 b x = y - y 2 b y ili parametarskim jednačinama prava na ravni: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y i x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .
Tada će vektori smjera datih linija biti: a x, a y i b x, b y, respektivno, a uvjet paralelizma ćemo napisati na sljedeći način:
a x = t b x a y = t b y
Pogledajmo primjere.
Primjer 1
Date su dvije linije: 2 x - 3 y + 1 = 0 i x 1 2 + y 5 = 1. Potrebno je utvrditi da li su paralelne.
Rješenje
Zapišimo jednačinu prave u segmentima u obliku opšte jednačine:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
Vidimo da je n a → = (2, - 3) vektor normale prave 2 x - 3 y + 1 = 0, a n b → = 2, 1 5 je vektor normale prave x 1 2 + y 5 = 1.
Rezultirajući vektori nisu kolinearni, jer ne postoji takva vrijednost tat da bi jednakost bila istinita:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
Dakle, nužan i dovoljan uslov za paralelnost pravih na ravni nije zadovoljen, što znači da date prave nisu paralelne.
odgovor: date prave nisu paralelne.
Primjer 2
Date su linije y = 2 x + 1 i x 1 = y - 4 2. Jesu li paralelne?
Rješenje
Transformirajmo kanonsku jednačinu ravne x 1 = y - 4 2 u jednačinu prave linije sa nagibom:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
Vidimo da jednačine pravih y = 2 x + 1 i y = 2 x + 4 nisu iste (da je drugačije, prave bi se poklopile) i da su ugaoni koeficijenti pravih jednaki, što znači date prave su paralelne.
Pokušajmo drugačije riješiti problem. Prvo, hajde da proverimo da li se date linije poklapaju. Koristimo bilo koju tačku na pravoj y = 2 x + 1, na primjer, (0, 1), koordinate ove tačke ne odgovaraju jednačini prave x 1 = y - 4 2, što znači da prave odgovaraju ne poklapaju.
Sledeći korak je da se utvrdi da li je uslov paralelnosti datih pravih zadovoljen.
Vektor normale prave y = 2 x + 1 je vektor n a → = (2 , - 1) , a vektor pravca druge date linije je b → = (1 , 2) . Skalarni proizvod ovih vektora jednak je nuli:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
Dakle, vektori su okomiti: ovo nam pokazuje ispunjenje neophodnog i dovoljnog uslova za paralelnost originalnih pravih. One. date prave su paralelne.
odgovor: ove prave su paralelne.
Za dokazivanje paralelnosti pravih u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora koristi se sledeći neophodan i dovoljan uslov.
Teorema 8
Da bi dvije nepodudarne prave u trodimenzionalnom prostoru bile paralelne, potrebno je i dovoljno da vektori smjera ovih linija budu kolinearni.
One. s obzirom na jednačine linija u trodimenzionalnom prostoru, odgovor na pitanje: da li su paralelne ili ne, nalazi se određivanjem koordinata vektora pravca datih linija, kao i provjerom uslova njihove kolinearnosti. Drugim riječima, ako su a → = (a x, a y, a z) i b → = (b x, b y, b z) vektori pravca a i b, redom, onda da bi one bile paralelne, postojanje takvog realnog broja t je neophodno, tako da vrijedi jednakost:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
Primjer 3
Date su linije x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 i x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Potrebno je dokazati paralelizam ovih pravih.
Rješenje
Uslovi zadatka dati su kanonskim jednačinama jedne prave u prostoru i parametarskim jednačinama druge prave u prostoru. Vodeći vektori a → i b → date linije imaju koordinate: (1, 0, - 3) i (2, 0, - 6).
1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , tada je a → = 1 2 · b → .
Posljedično, nužni i dovoljni uvjet za paralelnost pravih u prostoru je zadovoljen.
odgovor: paralelnost datih pravih je dokazana.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije u cilju poboljšanja usluga koje pružamo i pružanja preporuka u vezi sa našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.