Bilo koji jezik može izraziti istu informaciju drugim rečima i revolucije. Matematički jezik nije izuzetak. Ali isti izraz se može ekvivalentno napisati na različite načine. A u nekim situacijama, jedan od unosa je jednostavniji. U ovoj lekciji ćemo govoriti o pojednostavljenju izraza.
Ljudi komuniciraju dalje različitim jezicima. Za nas je važno poređenje par „ruski jezik – matematički jezik“. Iste informacije mogu se prenijeti na različitim jezicima. Ali, osim toga, može se izgovoriti na različite načine na jednom jeziku.
Na primjer: „Petya je prijatelj sa Vasjom“, „Vasya je prijatelj sa Petyom“, „Petya i Vasya su prijatelji“. Rečeno drugačije, ali ista stvar. Iz bilo koje od ovih fraza shvatili bismo o čemu govorimo.
Pogledajmo ovu frazu: "Dječak Petya i dječak Vasya su prijatelji." Razumemo šta mislimo mi pričamo o tome. Međutim, ne sviđa nam se zvuk ove fraze. Zar ne možemo to pojednostaviti, reći istu stvar, ali jednostavnije? "Dječak i dječak" - možete jednom reći: "Dječaci Petya i Vasya su prijatelji."
“Momci”... Zar se iz njihovih imena ne vidi da nisu djevojčice? Uklanjamo "dječake": "Petya i Vasya su prijatelji." A riječ "prijatelji" može se zamijeniti sa "prijatelji": "Petya i Vasya su prijatelji." Kao rezultat toga, prva, duga, ružna fraza zamijenjena je ekvivalentnom izjavom koju je lakše izgovoriti i lakše razumjeti. Pojednostavili smo ovu frazu. Pojednostaviti znači reći jednostavnije, ali ne izgubiti ili iskriviti značenje.
Matematičkim jezikom se dešava otprilike ista stvar. Jedna te ista stvar se može reći, drugačije napisana. Šta znači pojednostaviti izraz? To znači da za izvorni izraz postoji mnogo ekvivalentnih izraza, odnosno onih koji znače istu stvar. I iz sve te raznolikosti moramo izabrati najjednostavniji, po našem mišljenju, ili najprikladniji za naše daljnje svrhe.
Na primjer, razmotrite numerički izraz. To će biti ekvivalentno .
Takođe će biti ekvivalentna prva dva: 
.
Ispostavilo se da smo pojednostavili naše izraze i pronašli najkraći ekvivalentni izraz.
Za numeričke izraze, uvijek morate učiniti sve i dobiti ekvivalentni izraz kao jedan broj.
Pogledajmo primjer doslovnog izraza . Očigledno će biti jednostavnije.
Prilikom pojednostavljivanja literalnih izraza potrebno je izvršiti sve moguće radnje.
Da li je uvijek potrebno pojednostaviti izraz? Ne, ponekad će nam biti zgodnije da imamo ekvivalentan, ali duži unos.
Primjer: trebate oduzeti broj od broja.
Moguće je izračunati, ali ako bi prvi broj bio predstavljen njegovom ekvivalentnom notacijom: , tada bi proračuni bili trenutni: .
Odnosno, pojednostavljeni izraz nije uvijek koristan za nas za dalje proračune.
Ipak, vrlo često se suočavamo sa zadatkom koji samo zvuči kao „pojednostavite izraz“.
Pojednostavite izraz: .
Rješenje
1) Izvršite radnje u prvoj i drugoj zagradi: .
2) Izračunajmo proizvode: .
Očigledno, posljednji izraz ima jednostavniji oblik od početnog. Mi smo to pojednostavili.
Da bi se izraz pojednostavio, mora se zamijeniti ekvivalentom (jednako).
Za određivanje ekvivalentnog izraza potrebno vam je:
1) izvršiti sve moguće radnje,
2) koristiti svojstva sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja da pojednostavite proračune.
Svojstva sabiranja i oduzimanja:
1. Komutativno svojstvo sabiranja: preuređivanje članova ne mijenja zbir.
2. Kombinativno svojstvo sabiranja: da biste zbroju dva broja dodali treći broj, prvom broju možete dodati zbir drugog i trećeg broja.
3. Svojstvo oduzimanja zbira od broja: da biste oduzeli zbir od broja, možete oduzeti svaki član posebno.
Svojstva množenja i dijeljenja
1. Komutativno svojstvo množenja: preraspoređivanje faktora ne mijenja proizvod.
2. Kombinativno svojstvo: da biste pomnožili broj sa umnoškom dva broja, prvo ga možete pomnožiti prvim faktorom, a zatim pomnožiti rezultirajući proizvod drugim faktorom.
3. Distributivno svojstvo množenja: da biste pomnožili broj sa zbirom, morate ga pomnožiti sa svakim članom posebno.
Hajde da vidimo kako zapravo radimo mentalne proračune.
Izračunati:
Rješenje
1) Zamislimo kako
2) Zamislimo prvi faktor kao zbir bitni termini i izvrši množenje:
3) možete zamisliti kako i izvršiti množenje:
4) Zamijenite prvi faktor s ekvivalentnom sumom:
Distributivni zakon se također može koristiti u poleđina: .
Slijedite ove korake:
1) 
2) 
Rješenje
1) Radi praktičnosti, možete koristiti distributivni zakon, ali ga koristite u suprotnom smjeru - izvadite zajednički faktor iz zagrada.
2) Izvadimo zajednički faktor iz zagrada
Potrebno je kupiti linoleum za kuhinju i hodnik. Kuhinjski prostor - , hodnik - . Postoje tri vrste linoleuma: za i rublje za. Koliko će svaki koštati? tri vrste linoleum? (sl. 1)
Rice. 1. Ilustracija za iskaz problema
Rješenje
Metoda 1. Možete zasebno saznati koliko će novca biti potrebno za kupnju linoleuma za kuhinju, a zatim ga stavite u hodnik i zbrojite rezultirajuće proizvode.
Prvi nivo
Pretvaranje izraza. Detaljna teorija (2019)
Često čujemo ovu neprijatnu frazu: "pojednostavite izraz." Obično vidimo neku vrstu čudovišta poput ovog:
„Mnogo je jednostavnije“, kažemo, ali takav odgovor obično ne funkcioniše.
Sada ću vas naučiti da se ne plašite takvih zadataka.
Štaviše, na kraju lekcije, sami ćete pojednostaviti ovaj primjer na (samo!) običan broj (da, dovraga s ovim slovima).
Ali prije nego što započnete ovu aktivnost, morate biti u mogućnosti rukovati razlomcima I faktorski polinomi.
Stoga, ako to ranije niste radili, svakako savladajte teme “” i “”.
Jeste li ga pročitali? Ako jeste, onda ste sada spremni.
Idemo! (Idemo!)
Važna napomena!Ako vidite gobbledygook umjesto formula, obrišite keš memoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).
Operacije pojednostavljenja osnovnih izraza
Pogledajmo sada osnovne tehnike koje se koriste za pojednostavljenje izraza.
Najjednostavniji je
1. Donošenje sličnog
Šta su slični? Uzeli ste ovo u 7. razredu, kada su se u matematici prvi put pojavila slova umjesto brojeva.
Slično- ovo su pojmovi (monomi) sa istim slovnim dijelom.
Na primjer, u zbroju, slični pojmovi su i.
Sjećaš li se?
Dajte slično- znači dodavanje nekoliko sličnih pojmova jedan drugom i dobijanje jednog pojma.
Kako možemo spojiti slova? - pitate.
Ovo je vrlo lako razumjeti ako zamislite da su slova neka vrsta objekata.
Na primjer, pismo je stolica. Čemu je onda izraz jednak?
Dvije stolice plus tri stolice, koliko će to biti? Tako je, stolice: .
Sada pokušajte s ovim izrazom: .
Da ne bude zabune, neka različita slova predstavljaju različite objekte.
Na primjer, - je (kao i obično) stolica, a - je stol.
stolice stolovi stolovi stolovi stolice stolice stolovi
Zovu se brojevi kojima se množe slova u takvim terminima koeficijenti.
Na primjer, u monomu koeficijent je jednak. I u njemu je jednako.
Dakle, pravilo za donošenje sličnih je:
primjeri:
Dajte slične:
odgovori:
2. (i slično, jer, dakle, ovi pojmovi imaju isti slovni dio).
2. Faktorizacija
Ovo je obično najvažniji dio u pojednostavljivanju izraza.
Nakon što ste dali slične, najčešće je potreban rezultujući izraz faktorisati, odnosno predstavljen u obliku proizvoda.
Posebno ovo važno u razlomcima: na kraju krajeva, da bismo mogli smanjiti razlomak, Brojnik i imenilac moraju biti predstavljeni kao proizvod.
Detaljno ste prošli kroz metode faktoringa izraza u temi “”, tako da ovdje samo trebate zapamtiti šta ste naučili.
Da biste to učinili, riješite nekoliko primjera (morate ih faktorizirati)
primjeri:
rješenja:
3. Smanjenje razlomka.
Pa, što bi moglo biti ugodnije nego precrtati dio brojnika i nazivnika i izbaciti ih iz svog života?
To je ljepota smanjenja broja zaposlenih.
jednostavno je:
Ako brojnik i nazivnik sadrže iste faktore, oni se mogu smanjiti, odnosno ukloniti iz razlomka.
Ovo pravilo proizlazi iz osnovne osobine razlomka:
Odnosno, suština operacije redukcije je to Brojilac i imenilac razlomka dijelimo istim brojem (ili istim izrazom).
Da biste smanjili razlomak potrebno vam je:
1) brojilac i imenilac faktorisati
2) ako brojilac i imenilac sadrže zajednički faktori , mogu se precrtati.
primjeri:
Mislim da je princip jasan?
Skrenuo bih vam pažnju na jednu tipičnu grešku pri skraćivanju. Iako je ova tema jednostavna, mnogi ljudi sve rade pogrešno, a da to ne razumiju smanjiti- ovo znači podijeliti brojilac i imenilac su isti broj.
Nema skraćenica ako je brojilac ili nazivnik zbir.
Na primjer: trebamo pojednostaviti.
Neki ljudi rade ovo: što je apsolutno pogrešno.
Drugi primjer: smanjiti.
"Najpametniji" će uraditi ovo:
Reci mi šta nije u redu? Čini se: - ovo je množitelj, što znači da se može smanjiti.
Ali ne: - ovo je faktor samo jednog člana u brojiocu, ali sam brojilac u cjelini nije faktoriziran.
Evo još jednog primjera: .
Ovaj izraz je faktorizovan, što znači da ga možete smanjiti, odnosno podijeliti brojilac i imenilac sa, a zatim sa:
Možete ga odmah podijeliti na:
Da biste izbjegli takve greške, zapamtite lak način kako odrediti da li je izraz faktoriziran:
Aritmetička operacija koja se izvodi posljednja prilikom izračunavanja vrijednosti izraza je “master” operacija.
Odnosno, ako zamijenite neke (bilo koje) brojeve umjesto slova i pokušate izračunati vrijednost izraza, onda ako je posljednja radnja množenje, onda imamo proizvod (izraz je faktoriziran).
Ako je posljednja radnja zbrajanje ili oduzimanje, to znači da izraz nije faktoriziran (i stoga se ne može smanjiti).
Da biste to pojačali, sami riješite nekoliko primjera:
primjeri:
rješenja:
1. Nadam se da niste odmah požurili da sečete i? Još uvijek nije bilo dovoljno "smanjiti" jedinice ovako:
Prvi korak bi trebao biti faktorizacija:
4. Sabiranje i oduzimanje razlomaka. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik.
Sabiranje i oduzimanje običnih razlomaka je poznata operacija: tražimo zajednički nazivnik, množimo svaki razlomak faktorom koji nedostaje i dodajemo/oduzimamo brojioce.
prisjetimo se:
odgovori:
1. Imenioci i su relativno prosti, odnosno nemaju zajedničke faktore. Stoga je LCM ovih brojeva jednak njihovom proizvodu. Ovo će biti zajednički imenilac:
2. Ovdje je zajednički imenilac:
3. Ovdje, prije svega, pretvaramo miješane razlomke u nepravilne, a zatim prema uobičajenoj shemi:
Potpuno je druga stvar ako razlomci sadrže slova, na primjer:
Počnimo s nečim jednostavnim:
a) Imenioci ne sadrže slova
Ovdje je sve isto kao i sa običnim brojčanim razlomcima: nađemo zajednički nazivnik, pomnožimo svaki razlomak faktorom koji nedostaje i zbrojimo/oduzmemo brojioce:
Sada u brojiocu možete dati slične, ako ih ima, i razložiti ih:
Probajte sami:
odgovori:
b) Imenioci sadrže slova
Prisjetimo se principa pronalaženja zajedničkog nazivnika bez slova:
· prije svega utvrđujemo zajedničke faktore;
· zatim ispisujemo sve zajedničke faktore jedan po jedan;
· i pomnožite ih sa svim drugim neuobičajenim faktorima.
Da bismo odredili zajedničke činioce nazivnika, prvo ih činimo u proste faktore:
Istaknimo uobičajene faktore:
Sada napišimo uobičajene faktore jedan po jedan i dodajmo im sve neuobičajene (nepodvučene) faktore:
Ovo je zajednički imenitelj.
Vratimo se pismima. Imenioci su dati na potpuno isti način:
· faktor imenilaca;
· odrediti zajedničke (identične) faktore;
· jednom ispisati sve zajedničke faktore;
· pomnožite ih sa svim drugim neuobičajenim faktorima.
Dakle, redom:
1) rastaviti na faktore imenioce:
2) odrediti zajedničke (identične) faktore:
3) napišite sve zajedničke faktore jednom i pomnožite ih sa svim ostalim (nepodvučenim) faktorima:
Dakle, ovde postoji zajednički imenitelj. Prvi razlomak se mora pomnožiti sa, drugi - sa:
Usput, postoji jedan trik:
Na primjer: .
Vidimo iste faktore u nazivnicima, samo svi sa različiti indikatori. Zajednički imenilac će biti:
do stepena
do stepena
do stepena
do stepena.
Zakomplikujmo zadatak:
Kako napraviti da razlomci imaju isti imenilac?
Prisjetimo se osnovnog svojstva razlomka:
Nigdje se ne kaže da se isti broj može oduzeti (ili dodati) od brojnika i nazivnika razlomka. Jer to nije istina!
Uvjerite se sami: uzmite bilo koji razlomak, na primjer, i dodajte neki broj brojniku i nazivniku, na primjer, . šta si naučio?
Dakle, još jedno nepokolebljivo pravilo:
Kada razlomke svodite na zajednički nazivnik, koristite samo operaciju množenja!
Ali sa čim trebate pomnožiti da biste dobili?
Dakle, pomnožite sa. I pomnožite sa:
Izraze koji se ne mogu rastaviti na faktore ćemo nazvati "elementarnim faktorima".
Na primjer, - ovo je elementarni faktor. - Isto. Ali ne: može se faktorizirati.
Šta je sa izrazom? Da li je osnovno?
Ne, jer se može faktorizirati:
(o faktorizaciji ste već čitali u temi “”).
Dakle, elementarni faktori na koje rastavljate izraz sa slovima su analogni jednostavnim faktorima na koje rastavljate brojeve. I sa njima ćemo se nositi na isti način.
Vidimo da oba imenioca imaju množitelj. Ići će na zajednički imenilac do stepena (sjećate li se zašto?).
Faktor je elementaran i nemaju zajednički faktor, što znači da će se prvi razlomak jednostavno morati pomnožiti s njim:
Drugi primjer:
Rješenje:
Prije nego što panično pomnožite ove imenitelje, morate razmisliti o tome kako ih rastaviti na faktore? Obojica predstavljaju:
Odlično! onda:
Drugi primjer:
Rješenje:
Kao i obično, hajde da faktorizujemo nazivnike. U prvom nazivniku jednostavno ga stavljamo iz zagrada; u drugom - razlika kvadrata:
Čini se da nema zajedničkih faktora. Ali ako bolje pogledate, oni su slični... I istina je:
Pa da napišemo:
Odnosno, ispalo je ovako: unutar zagrade smo zamijenili pojmove, a istovremeno se znak ispred razlomka promijenio u suprotno. Imajte na umu, ovo ćete morati često raditi.
Sada da to dovedemo do zajedničkog imenioca:
Jasno? Hajde da to sada proverimo.
Zadaci za samostalno rješavanje:
odgovori:
Ovdje moramo zapamtiti još jednu stvar - razliku kocki:
Imajte na umu da nazivnik drugog razlomka ne sadrži formulu „kvadrat zbira“! Kvadrat sume bi izgledao ovako: .
A je takozvani nepotpuni kvadrat zbira: drugi član u njemu je proizvod prvog i posljednjeg, a ne njihov dvostruki proizvod. Parcijalni kvadrat zbira je jedan od faktora u proširenju razlike kocki:
Šta učiniti ako već postoje tri razlomka?
Da, ista stvar! Prije svega, uvjerimo se da je maksimalni broj faktora u nazivnicima isti:
Imajte na umu: ako promijenite znakove unutar jedne zagrade, znak ispred razlomka mijenja se u suprotan. Kada promijenimo predznake u drugoj zagradi, znak ispred razlomka se ponovo mijenja u suprotan. Kao rezultat toga, on (znak ispred razlomka) se nije promijenio.
Čitav prvi imenilac ispisujemo u zajednički imenilac, a zatim mu dodajemo sve faktore koji još nisu upisani, iz drugog, pa iz trećeg (i tako dalje, ako ima više razlomaka). Odnosno, ispada ovako:
Hm... Jasno je šta raditi sa razlomcima. Ali šta je sa njih dvoje?
Jednostavno je: znate kako sabirati razlomke, zar ne? Dakle, potrebno je da dva postane razlomak! Podsjetimo: razlomak je operacija dijeljenja (brojilac je podijeljen imeniocem, ako ste zaboravili). I nema ništa lakše nego podijeliti broj sa. U ovom slučaju, sam broj se neće promijeniti, već će se pretvoriti u razlomak:
Upravo ono što je potrebno!
5. Množenje i dijeljenje razlomaka.
Pa, najteži dio je sada gotov. A pred nama je ono najjednostavnije, ali ujedno i najvažnije:
Procedura
Koja je procedura za izračunavanje numeričkog izraza? Zapamtite tako što ćete izračunati značenje ovog izraza:
Jeste li brojali?
Trebalo bi da radi.
Dakle, da vas podsjetim.
Prvi korak je izračunavanje stepena.
Drugi je množenje i dijeljenje. Ako postoji više množenja i dijeljenja u isto vrijeme, mogu se izvršiti bilo kojim redoslijedom.
I na kraju, vršimo sabiranje i oduzimanje. Opet, bilo kojim redoslijedom.
Ali: izraz u zagradama se vrednuje van redova!
Ako se nekoliko zagrada međusobno pomnoži ili podijeli, prvo izračunamo izraz u svakoj od zagrada, a zatim ih množimo ili podijelimo.
Šta ako ima više zagrada unutar zagrada? Pa, razmislimo: neki izraz je napisan unutar zagrada. Prilikom izračunavanja izraza, šta prvo treba da uradite? Tako je, izračunajte zagrade. Pa, shvatili smo: prvo izračunamo unutrašnje zagrade, pa sve ostalo.
Dakle, procedura za gornji izraz je sljedeća (trenutna radnja je označena crvenom bojom, odnosno radnja koju trenutno izvodim):
Ok, sve je jednostavno.
Ali ovo nije isto što i izraz sa slovima?
Ne, to je isto! Samo umjesto aritmetičkih operacija morate raditi algebarske, odnosno radnje opisane u prethodni odeljak: donoseći slično, zbrajanje razlomaka, smanjenje razlomaka i tako dalje. Jedina razlika će biti djelovanje faktoringa polinoma (ovo često koristimo kada radimo sa razlomcima). Najčešće, da biste rastavili na faktore, trebate koristiti I ili jednostavno staviti zajednički faktor iz zagrada.
Obično je naš cilj da izraz predstavimo kao proizvod ili količnik.
Na primjer:
Hajde da pojednostavimo izraz.
1) Prvo, pojednostavljujemo izraz u zagradama. Tu imamo razliku razlomaka, a cilj nam je da je predstavimo kao proizvod ili količnik. Dakle, dovodimo razlomke na zajednički nazivnik i dodajemo:
Nemoguće je dalje pojednostavljivati ovaj izraz, svi faktori su ovde elementarni (sećate li se još šta to znači?).
2) Dobijamo:
Množenje razlomaka: šta može biti jednostavnije.
3) Sada možete skratiti:
OK, sve je gotovo. Ništa komplikovano, zar ne?
Drugi primjer:
Pojednostavite izraz.
Prvo pokušajte sami to riješiti, pa tek onda pogledajte rješenje.
Rješenje:
Prije svega, odredimo redoslijed radnji.
Prvo, dodajmo razlomke u zagradama, tako da umjesto dva razlomka dobijemo jedan.
Zatim ćemo uraditi dijeljenje razlomaka. Pa, dodajmo rezultat sa zadnjim razlomkom.
Šematski ću numerisati korake:
Sada ću vam pokazati proces, tonirajući trenutnu akciju u crveno:
Na kraju ću vam dati dva korisna savjeta:
1. Ako ima sličnih, moraju se odmah doneti. Kad god se kod nas pojave slični, preporučljivo je odmah ih pokrenuti.
2. Isto važi i za smanjenje razlomaka: čim se pojavi prilika za smanjenje, treba je iskoristiti. Izuzetak su razlomci koje dodajete ili oduzimate: ako sada imaju iste nazivnike, smanjenje treba ostaviti za kasnije.
Evo nekoliko zadataka koje možete sami riješiti:
I ono što je obećano na samom početku:
odgovori:
Rješenja (ukratko):
Ako ste se snašli s barem prva tri primjera, onda ste savladali temu.
Sada na učenje!
PRETVARANJE IZRAZA. SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE
Osnovne operacije pojednostavljivanja:
- Dovođenje sličnih: da biste dodali (smanjili) slične pojmove, potrebno je dodati njihove koeficijente i dodijeliti dio slova.
- Faktorizacija: stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada, njegova primjena, itd.
- Smanjenje razlomka: Brojilac i imenilac razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti istim brojem koji nije nula, što ne mijenja vrijednost razlomka.
1) brojilac i imenilac faktorisati
2) ako brojilac i imenilac imaju zajedničke činioce, mogu se precrtati.VAŽNO: samo se množitelji mogu smanjiti!
- Sabiranje i oduzimanje razlomaka:
; - Množenje i dijeljenje razlomaka:
;
Algebarski izraz u kojem se, uz operacije sabiranja, oduzimanja i množenja, koristi i dijeljenje na slovne izraze, naziva se frakcijski algebarski izraz. To su, na primjer, izrazi
Algebarskim razlomkom nazivamo algebarski izraz koji ima oblik kvocijenta podjele dva cjelobrojna algebarska izraza (na primjer, monomi ili polinomi). To su, na primjer, izrazi
Treći od izraza).
Identične transformacije frakcionih algebarskih izraza uglavnom imaju za cilj da ih predstave u obliku algebarskog razlomka. Za pronalaženje zajedničkog imenioca koristi se faktorizacija nazivnika razlomaka – pojmova kako bi se pronašao njihov najmanji zajednički višekratnik. Prilikom redukcije algebarskih razlomaka može se narušiti strogi identitet izraza: potrebno je isključiti vrijednosti veličina pri kojima faktor kojim se smanjuje postaje nula.
Navedimo primjere identičnih transformacija frakcionih algebarskih izraza.
Primjer 1: Pojednostavite izraz
Svi članovi se mogu svesti na zajednički nazivnik (zgodno je promijeniti predznak u nazivniku posljednjeg člana i znak ispred njega):
Naš izraz je jednak jedinici za sve vrijednosti osim ovih vrijednosti; on je nedefiniran i smanjenje razlomka je nezakonito).
Primjer 2. Predstavite izraz kao algebarski razlomak
Rješenje. Izraz se može uzeti kao zajednički imenilac. Pronalazimo redom:
Vježbe
1. Pronađite vrijednosti algebarskih izraza za navedene vrijednosti parametara:
2. Faktorizirajte.
Doslovni izraz (ili varijabilni izraz) je matematički izraz koji se sastoji od brojeva, slova i matematičkih simbola. Na primjer, sljedeći izraz je doslovan:
a+b+4
Koristeći abecedne izraze možete pisati zakone, formule, jednadžbe i funkcije. Sposobnost manipulisanja slovnim izrazima ključ je dobrog poznavanja algebre i više matematike.
Svaki ozbiljan problem u matematici svodi se na rješavanje jednačina. A da biste mogli rješavati jednačine, morate znati raditi s bukvalnim izrazima.
Da biste radili s bukvalnim izrazima, morate biti dobro upućeni u osnovnu aritmetiku: sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, osnovne zakone matematike, razlomke, operacije s razlomcima, proporcije. I ne samo učiti, već i temeljno razumjeti.
Sadržaj lekcijeVarijable
Zovu se slova koja su sadržana u doslovnim izrazima varijable. Na primjer, u izrazu a+b+4 varijable su slova a I b. Ako zamijenimo bilo koje brojeve umjesto ovih varijabli, onda literalni izraz a+b+4će se pretvoriti u numerički izraz čija se vrijednost može pronaći.
Pozivaju se brojevi koji se zamjenjuju za varijable vrijednosti varijabli. Na primjer, promijenimo vrijednosti varijabli a I b. Znak jednakosti se koristi za promjenu vrijednosti
a = 2, b = 3
Promijenili smo vrijednosti varijabli a I b. Varijabilna a dodijeljena vrijednost 2 , varijabla b dodijeljena vrijednost 3 . Kao rezultat toga, doslovni izraz a+b+4 pretvara u regularni numerički izraz 2+3+4 čija se vrijednost može naći:
2 + 3 + 4 = 9
Kada se varijable pomnože, one se pišu zajedno. Na primjer, snimite ab znači isto što i unos a×b. Ako zamijenimo varijable a I b brojevi 2 I 3 , onda dobijamo 6
2 × 3 = 6
Također možete zajedno napisati množenje broja izrazom u zagradama. Na primjer, umjesto a×(b + c) može se zapisati a(b + c). Primjenjujući zakon distribucije množenja, dobijamo a(b + c)=ab+ac.
Odds
U doslovnim izrazima često možete pronaći zapis u kojem su broj i varijabla napisani zajedno, na primjer 3a. Ovo je zapravo skraćenica za množenje broja 3 promjenljivom. a a ovaj unos izgleda tako 3×a .
Drugim riječima, izraz 3a je proizvod broja 3 i varijable a. Broj 3 u ovom poslu zovu koeficijent. Ovaj koeficijent pokazuje koliko će se puta varijabla povećati a. Ovaj izraz se može čitati kao " a tri puta" ili "tri puta A", ili "povećajte vrijednost varijable a tri puta", ali se najčešće čita kao "tri a«
Na primjer, ako je varijabla a jednak 5 , zatim vrijednost izraza 3a biće jednako 15.
3 × 5 = 15
Govoreći jednostavnim jezikom, koeficijent je broj koji dolazi prije slova (ispred varijable).
Može biti nekoliko slova, na primjer 5abc. Ovdje je koeficijent broj 5 . Ovaj koeficijent pokazuje da je proizvod varijabli abc povećava petostruko. Ovaj izraz se može čitati kao " abc pet puta" ili "povećajte vrijednost izraza abc pet puta" ili "pet abc«.
Ako umjesto varijabli abc zamijenite brojeve 2, 3 i 4, a zatim vrijednost izraza 5abc biće jednaki 120
5 × 2 × 3 × 4 = 120
Mentalno možete zamisliti kako su brojevi 2, 3 i 4 prvo pomnoženi, a rezultirajuća vrijednost se povećala pet puta:
Znak koeficijenta se odnosi samo na koeficijent i ne odnosi se na varijable.
Razmotrite izraz −6b. Minus ispred koeficijenta 6 , odnosi se samo na koeficijent 6 , i ne pripada varijabli b. Razumijevanje ove činjenice omogućit će vam da u budućnosti ne griješite sa znakovima.
Nađimo vrijednost izraza −6b at b = 3.
−6b −6×b. Radi jasnoće, napišimo izraz −6b u proširenom obliku i zamijeniti vrijednost varijable b
−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18
Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza −6b at b = −5
Hajde da zapišemo izraz −6b u proširenom obliku
−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30
Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza −5a+b at a = 3 I b = 2
−5a+b ovo je kratka forma za −5 × a + b, pa radi jasnoće pišemo izraz −5×a+b u proširenom obliku i zamijeniti vrijednosti varijabli a I b
−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13
Ponekad se slova pišu bez koeficijenta, na primjer a ili ab. U ovom slučaju, koeficijent je jedinica:
ali tradicionalno jedinica nije zapisana, pa jednostavno pišu a ili ab
Ako je ispred slova minus, tada je koeficijent broj −1 . Na primjer, izraz −a zapravo izgleda −1a. Ovo je proizvod minus jedan i varijable a. Ispalo je ovako:
−1 × a = −1a
Ovdje postoji mala zamka. U izrazu −a znak minus ispred varijable a zapravo se odnosi na "nevidljivu jedinicu" a ne na varijablu a. Stoga treba biti oprezan prilikom rješavanja problema.
Na primjer, ako je dat izraz −a i od nas se traži da pronađemo njegovu vrijednost u a = 2, onda smo u školi umjesto varijable zamijenili dvojku a i dobio odgovor −2 , ne fokusirajući se previše na to kako je ispalo. U stvari, minus jedan je pomnožen pozitivnim brojem 2
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × 2 = −2
Ako se da izraz −a i morate pronaći njegovu vrijednost u a = −2, onda vršimo zamjenu −2 umjesto varijable a
−a = −1 × a
−1 × a = −1 × (−2) = 2
Da bi se izbjegle greške, u početku se nevidljive jedinice mogu eksplicitno zapisati.
Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza abc at a=2 , b=3 I c=4
Izraz abc 1×a×b×c. Radi jasnoće, napišimo izraz abc a, b I c
1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
Primjer 5. Pronađite vrijednost izraza abc at a=−2 , b=−3 I c=−4
Hajde da zapišemo izraz abc u proširenom obliku i zamijeniti vrijednosti varijabli a, b I c
1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24
Primjer 6. Pronađite vrijednost izraza − abc at a=3, b=5 i c=7
Izraz − abc ovo je kratka forma za −1×a×b×c. Radi jasnoće, napišimo izraz − abc u proširenom obliku i zamijeniti vrijednosti varijabli a, b I c
−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105
Primjer 7. Pronađite vrijednost izraza − abc at a=−2, b=−4 i c=−3
Hajde da zapišemo izraz − abc u proširenom obliku:
−abc = −1 × a × b × c
Zamijenimo vrijednosti varijabli a , b I c
−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24
Kako odrediti koeficijent
Ponekad morate riješiti problem u kojem trebate odrediti koeficijent izraza. u osnovi, ovaj zadatak veoma jednostavno. Dovoljno je da možete pravilno množiti brojeve.
Da biste odredili koeficijent u izrazu, morate posebno pomnožiti brojeve uključene u ovaj izraz i posebno pomnožiti slova. Rezultirajući numerički faktor će biti koeficijent.
Primjer 1. 7m×5a×(−3)×n
Izraz se sastoji od nekoliko faktora. To se može jasno vidjeti ako izraz napišete u proširenom obliku. Odnosno, radovi 7m I 5a upišite u formular 7×m I 5×a
7 × m × 5 × a × (−3) × n
Primijenimo asocijativni zakon množenja, koji vam omogućava da množite faktore bilo kojim redoslijedom. Naime, odvojeno ćemo množiti brojeve i posebno množiti slova (varijable):
−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105 man
Koeficijent je −105 . Nakon završetka, preporučljivo je rasporediti dio slova po abecednom redu:
−105amn
Primjer 2. Odredite koeficijent u izrazu: −a×(−3)×2
−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a
Koeficijent je 6.
Primjer 3. Odredite koeficijent u izrazu: 
Pomnožimo brojeve i slova odvojeno:
Koeficijent je −1. Napominjemo da se jedinica ne upisuje, jer je uobičajeno da se ne piše koeficijent 1.
Ovi naizgled najjednostavniji zadaci mogu nam odigrati vrlo okrutnu šalu. Često se ispostavi da je znak koeficijenta pogrešno postavljen: ili nedostaje minus ili je, naprotiv, postavljen uzalud. Da biste izbjegli ove dosadne greške, mora se proučiti na dobrom nivou.
Sabira u doslovnim izrazima
Prilikom sabiranja više brojeva dobija se zbir ovih brojeva. Brojevi koji se sabiraju nazivaju se sabirci. Može postojati nekoliko termina, na primjer:
1 + 2 + 3 + 4 + 5
Kada se izraz sastoji od pojmova, mnogo je lakše procijeniti jer je dodavanje lakše nego oduzimanje. Ali izraz može sadržavati ne samo zbrajanje, već i oduzimanje, na primjer:
1 + 2 − 3 + 4 − 5
U ovom izrazu brojevi 3 i 5 su oduzeti, a ne sabrani. Ali ništa nas ne sprečava da oduzimanje zamijenimo sabiranjem. Tada ponovo dobijamo izraz koji se sastoji od pojmova:
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)
Nije važno što brojevi −3 i −5 sada imaju predznak minus. Glavna stvar je da su svi brojevi u ovom izrazu povezani znakom sabiranja, odnosno izraz je zbroj.
Oba izraza 1 + 2 − 3 + 4 − 5 I 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) jednaka istoj vrijednosti - minus jedan
1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1
1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1
Dakle, značenje izraza neće patiti ako negdje zamijenimo oduzimanje sa sabiranjem.
Također možete zamijeniti oduzimanje sa sabiranjem u doslovnim izrazima. Na primjer, razmotrite sljedeći izraz:
7a + 6b − 3c + 2d − 4s
7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)
Za bilo koje vrijednosti varijabli a b c d I s izrazi 7a + 6b − 3c + 2d − 4s I 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) će biti jednaka istoj vrijednosti.
Morate biti spremni na činjenicu da nastavnik u školi ili nastavnik na institutu može nazvati parne brojeve (ili varijable) koji nisu sabrani.
Na primjer, ako je razlika napisana na ploči a − b, onda učitelj to neće reći a je minus, i b- oduzeti. On će obje varijable nazvati jednom zajedničkom riječju - uslovi. A sve zbog izraza forme a − b matematičar vidi kako je zbir a+(−b). U ovom slučaju, izraz postaje zbir, a varijable a I (−b) postati uslovi.
Slični termini
Slični termini- to su termini koji imaju isti dio slova. Na primjer, razmotrite izraz 7a + 6b + 2a. Komponente 7a I 2a imaju isti dio slova - promjenljiv a. Dakle, uslovi 7a I 2a su slični.
Obično se dodaju slični pojmovi da bi se pojednostavio izraz ili riješila jednačina. Ova operacija se zove donoseći slične uslove.
Da biste dobili slične pojmove, potrebno je sabrati koeficijente ovih pojmova, a rezultat pomnožiti zajedničkim slovnim dijelom.
Na primjer, predstavimo slične pojmove u izrazu 3a + 4a + 5a. IN u ovom slučaju, svi pojmovi su slični. Zbrojimo njihove koeficijente i pomnožimo rezultat sa zajedničkim slovnim dijelom - promjenljivom a
3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a
Slični termini se obično spominju i rezultat se odmah zapisuje:
3a + 4a + 5a = 12a
Takođe, može se rezonovati na sledeći način:
Dodane su im 3 varijable a, još 4 varijable a i još 5 varijabli a. Kao rezultat, dobili smo 12 varijabli a
Pogledajmo nekoliko primjera dovođenja sličnih pojmova. S obzirom da je ova tema jako bitna, prvo ćemo detaljno zapisati svaki detalj. Iako je ovdje sve vrlo jednostavno, većina ljudi pravi mnogo grešaka. Uglavnom zbog nepažnje, a ne neznanja.
Primjer 1. 3a + 2a + 6a + 8 a
Zbrojimo koeficijente u ovom izrazu i pomnožimo rezultat sa zajedničkim slovnim dijelom:
3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a
dizajn (3 + 2 + 6 + 8)×a Ne morate to zapisati, tako da ćemo odmah napisati odgovor
3a + 2a + 6a + 8a = 19a
Primjer 2. Navedite slične pojmove u izrazu 2a+a
Drugi mandat a napisano bez koeficijenta, ali u stvari postoji koeficijent ispred njega 1 , koji ne vidimo jer nije zabilježen. Dakle, izraz izgleda ovako:
2a + 1a
Sada ćemo predstaviti slične pojmove. Odnosno, zbrajamo koeficijente i rezultat množimo zajedničkim slovnim dijelom:
2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a
Zapišimo ukratko rješenje:
2a + a = 3a
2a+a, možete misliti drugačije:
Primjer 3. Navedite slične pojmove u izrazu 2a−a
Zamijenimo oduzimanje sa sabiranjem:
2a + (−a)
Drugi mandat (−a) napisano bez koeficijenta, ali u stvarnosti izgleda tako (−1a). Koeficijent −1 opet nevidljiv zbog činjenice da nije snimljen. Dakle, izraz izgleda ovako:
2a + (−1a)
Sada ćemo predstaviti slične pojmove. Dodajmo koeficijente i pomnožimo rezultat sa zajedničkim slovnim dijelom:
2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a
Obično se piše kraće:
2a − a = a
Navođenje sličnih pojmova u izrazu 2a−a Možete razmišljati drugačije:
Postojale su 2 varijable a, oduzmite jednu varijablu a, i kao rezultat je ostala samo jedna varijabla a
Primjer 4. Navedite slične pojmove u izrazu 6a − 3a + 4a − 8a
6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)
Sada ćemo predstaviti slične pojmove. Hajde da saberemo koeficijente i pomnožimo rezultat sa ukupnim delom slova
(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a
Zapišimo ukratko rješenje:
6a − 3a + 4a − 8a = −a
Postoje izrazi koji sadrže nekoliko razne grupe sličnim terminima. Na primjer, 3a + 3b + 7a + 2b. Za takve izraze vrijede ista pravila kao i za ostale, odnosno zbrajanje koeficijenata i množenje rezultata zajedničkim slovnim dijelom. Ali da biste izbjegli greške, to je zgodno različite grupe Termini su istaknuti različitim linijama.
Na primjer, u izrazu 3a + 3b + 7a + 2b oni termini koji sadrže varijablu a, mogu biti podvučeni jednom linijom, a oni pojmovi koji sadrže varijablu b, može se naglasiti sa dvije linije:
Sada možemo predstaviti slične pojmove. Odnosno, zbrojite koeficijente i pomnožite rezultat sa ukupnim dijelom slova. Ovo se mora učiniti za obje grupe pojmova: za termine koji sadrže varijablu a i za termine koji sadrže varijablu b.
3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b
Opet, ponavljamo, izraz je jednostavan, a slični pojmovi se mogu imati na umu:
3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b
Primjer 5. Navedite slične pojmove u izrazu 5a − 6a −7b + b
Zamijenimo oduzimanje sa sabiranjem gdje je to moguće:
5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b
Podvucimo slične pojmove različitim linijama. Termini koji sadrže varijable a podvlačimo jednom linijom, a pojmovi su sadržaj varijabli b, podvuci sa dvije linije:
Sada možemo predstaviti slične pojmove. Odnosno, dodajte koeficijente i pomnožite rezultat sa zajedničkim slovnim dijelom:
5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)
Ako izraz sadrži obične brojeve bez faktora slova, oni se dodaju zasebno.
Primjer 6. Navedite slične pojmove u izrazu 4a + 3a − 5 + 2b + 7
Zamijenimo oduzimanje sa sabiranjem gdje je to moguće:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7
Hajde da predstavimo slične pojmove. Brojevi −5 I 7 nemaju faktore slova, ali su slični pojmovi - samo ih treba dodati. I termin 2bće ostati nepromijenjen, jer jedini u ovom izrazu ima faktor slova b, i nema se šta dodati:
4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2
Zapišimo ukratko rješenje:
4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2
Termini se mogu poredati tako da se oni pojmovi koji imaju isti slovni dio nalaze u istom dijelu izraza.
Primjer 7. Navedite slične pojmove u izrazu 5t+2x+3x+5t+x
Pošto je izraz zbir nekoliko pojmova, to nam omogućava da ga procijenimo bilo kojim redoslijedom. Dakle, termini koji sadrže varijablu t, može se napisati na početku izraza, a pojmovi koji sadrže varijablu x na kraju izraza:
5t + 5t + 2x + 3x + x
Sada možemo predstaviti slične pojmove:
5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x
Zapišimo ukratko rješenje:
5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x
Zbir suprotnih brojeva je nula. Ovo pravilo važi i za doslovne izraze. Ako izraz sadrži identične pojmove, ali sa suprotnim predznacima, onda ih se možete riješiti u fazi redukcije sličnih pojmova. Drugim riječima, jednostavno ih eliminirajte iz izraza, jer je njihov zbir jednak nuli.
Primjer 8. Navedite slične pojmove u izrazu 3t − 4t − 3t + 2t
Zamijenimo oduzimanje sa sabiranjem gdje je to moguće:
3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t
Komponente 3t I (−3t) su suprotne. Zbir suprotnih članova je nula. Ako uklonimo ovu nulu iz izraza, vrijednost izraza se neće promijeniti, pa ćemo je ukloniti. A mi ćemo ga ukloniti jednostavnim precrtavanjem pojmova 3t I (−3t)
Kao rezultat, ostat ćemo sa izrazom (−4t) + 2t. U ovaj izraz možete dodati slične pojmove i dobiti konačni odgovor:
(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t
Zapišimo ukratko rješenje:
Pojednostavljivanje izraza
"pojednostavi izraz" a ispod je izraz koji treba pojednostaviti. Pojednostavite izraz znači učiniti ga jednostavnijim i kraćim.
U stvari, već smo pojednostavljivali izraze kada smo smanjivali razlomke. Nakon redukcije, razlomak je postao kraći i lakši za razumijevanje.
Razmotrite sljedeći primjer. Pojednostavite izraz.
Ovaj zadatak se doslovno može shvatiti na sljedeći način: “Primijenite sve valjane radnje na ovaj izraz, ali ga učinite jednostavnijim.” .
U ovom slučaju možete smanjiti razlomak, odnosno podijeliti brojnik i nazivnik razlomka sa 2:
Šta još možete učiniti? Možete izračunati rezultujući razlomak. Tada dobijamo decimalni razlomak 0,5
Kao rezultat toga, razlomak je pojednostavljen na 0,5.
Prvo pitanje koje morate sebi postaviti kada rješavate takve probleme trebalo bi biti "Šta se može učiniti?" . Jer postoje radnje koje možete učiniti, a postoje radnje koje ne možete učiniti.
Drugi važna tačka Ono što treba zapamtiti je da se vrijednost izraza ne smije mijenjati nakon pojednostavljenja izraza. Vratimo se izrazu. Ovaj izraz predstavlja podjelu koja se može izvršiti. Nakon ove podjele, dobijamo vrijednost ovog izraza, koja je jednaka 0,5
Ali mi smo pojednostavili izraz i dobili smo novi pojednostavljeni izraz. Vrijednost novog pojednostavljenog izraza je i dalje 0,5
Ali smo takođe pokušali da pojednostavimo izraz tako što smo ga izračunali. Kao rezultat, dobili smo konačan odgovor od 0,5.
Dakle, koliko god pojednostavili izraz, vrijednost rezultirajućih izraza je i dalje jednaka 0,5. To znači da je pojednostavljenje izvršeno korektno u svakoj fazi. To je upravo ono čemu trebamo težiti kada pojednostavljujemo izraze – značenje izraza ne bi trebalo da pati od naših postupaka.
Često je potrebno pojednostaviti doslovne izraze. Za njih se primjenjuju ista pravila pojednostavljenja kao i za numeričke izraze. Možete izvršiti bilo koju valjanu radnju, sve dok se vrijednost izraza ne promijeni.
Pogledajmo nekoliko primjera.
Primjer 1. Pojednostavite izraz 5,21 s × t × 2,5
Da biste pojednostavili ovaj izraz, možete odvojeno množiti brojeve i odvojeno množiti slova. Ovaj zadatak je vrlo sličan onome koji smo gledali kada smo naučili odrediti koeficijent:
5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st
Dakle, izraz 5,21 s × t × 2,5 pojednostavljeno na 13,025st.
Primjer 2. Pojednostavite izraz −0,4 × (−6,3b) × 2
Drugi komad (−6.3b) može se prevesti u nama razumljiv oblik, odnosno napisan u obliku ( −6,3)×b , zatim pomnožite brojeve odvojeno i posebno pomnožite slova:
− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b
Dakle, izraz −0,4 × (−6,3b) × 2 pojednostavljeno na 5.04b
Primjer 3. Pojednostavite izraz 
Napišimo ovaj izraz detaljnije da jasno vidimo gdje su brojevi, a gdje slova:
Sada pomnožimo brojeve odvojeno i pomnožimo slova odvojeno:
Dakle, izraz pojednostavljeno na −abc. Ovo rješenje se može ukratko napisati:
Prilikom pojednostavljenja izraza, razlomci se mogu reducirati tokom procesa rješavanja, a ne na samom kraju, kao što smo radili s običnim razlomcima. Na primjer, ako u toku rješavanja naiđemo na izraz oblika , onda uopće nije potrebno izračunati brojilac i nazivnik i učiniti nešto ovako:
Razlomak se može smanjiti odabirom faktora i u brojniku i u nazivniku i smanjenjem ovih faktora za njihov najveći zajednički faktor. Drugim riječima, upotreba u kojoj ne opisujemo detaljno na šta su podijeljeni brojilac i imenilac.
Na primjer, u brojiocu je faktor 12, au nazivniku faktor 4 se može smanjiti za 4. Četvorku držimo u mislima i podijelimo 12 i 4 sa ovim četiri, zapisujemo odgovore pored ovih brojeva, pošto ih je prvo precrtao
Sada možete pomnožiti rezultirajuće male faktore. U ovom slučaju, malo ih je i možete ih umnožavati:
S vremenom ćete možda otkriti da prilikom rješavanja određenog problema izrazi počinju da se "debele", pa je preporučljivo da se naviknete na brza izračunavanja. Ono što se može izračunati u umu mora se izračunati u umu. Ono što se može brzo smanjiti mora se brzo smanjiti.
Primjer 4. Pojednostavite izraz 
Dakle, izraz pojednostavljeno na
Primjer 5. Pojednostavite izraz 
Pomnožimo odvojeno brojeve i slova:
Dakle, izraz pojednostavljeno na mn.
Primjer 6. Pojednostavite izraz 
Napišimo ovaj izraz detaljnije da jasno vidimo gdje su brojevi, a gdje slova:
Sada pomnožimo odvojeno brojeve i slova. Radi lakšeg izračunavanja, decimalni razlomak −6,4 i mješoviti broj mogu se pretvoriti u obične razlomke:
Dakle, izraz pojednostavljeno na
Rješenje za ovaj primjer može se napisati mnogo kraće. To će izgledati ovako:
Primjer 7. Pojednostavite izraz 
Pomnožimo odvojeno brojeve i slova. Radi lakšeg izračunavanja, mješoviti broj i decimale 0,1 i 0,6 se mogu pretvoriti u obične razlomke:
Dakle, izraz pojednostavljeno na a b c d. Ako preskočite detalje, onda ovu odluku može se napisati mnogo kraće:
Primijetite kako je razlomak smanjen. Novi faktori koji se dobijaju kao rezultat smanjenja prethodnih faktora takođe se mogu redukovati.
Hajde sada da pričamo šta ne treba raditi. Prilikom pojednostavljivanja izraza, strogo je zabranjeno množenje brojeva i slova ako je izraz zbir, a ne proizvod.
Na primjer, ako želite pojednostaviti izraz 5a+4b, onda to ne možete napisati ovako:
Ovo je isto kao da se od nas traži da saberemo dva broja i da ih pomnožimo umjesto da ih saberemo.
Prilikom zamjene bilo koje vrijednosti varijable a I b izraz 5a +4b pretvara u običan numerički izraz. Pretpostavimo da su varijable a I b imaju sljedeća značenja:
a = 2, b = 3
Tada će vrijednost izraza biti jednaka 22
5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22
Prvo se vrši množenje, a zatim se zbrajaju rezultati. A ako bismo pokušali da pojednostavimo ovaj izraz množenjem brojeva i slova, dobili bismo sljedeće:
5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab
20ab = 20 × 2 × 3 = 120
Ispada potpuno drugačije značenje izraza. U prvom slučaju je uspjelo 22 , u drugom slučaju 120 . To znači da se izraz pojednostavljuje 5a+4b izvršeno pogrešno.
Nakon pojednostavljenja izraza, njegova vrijednost se ne bi trebala mijenjati sa istim vrijednostima varijabli. Ako se prilikom zamjene bilo koje vrijednosti varijable u originalni izraz dobije jedna vrijednost, onda nakon pojednostavljenja izraza treba dobiti istu vrijednost kao prije pojednostavljenja.
Sa izrazom 5a+4b stvarno ništa ne možete učiniti. To ga ne pojednostavljuje.
Ako izraz sadrži slične pojmove, onda se oni mogu dodati ako je naš cilj pojednostaviti izraz.
Primjer 8. Pojednostavite izraz 0,3a−0,4a+a
0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a
ili kraće: 0,3a − 0,4a + a = 0.9a
Dakle, izraz 0,3a−0,4a+a pojednostavljeno na 0.9a
Primjer 9. Pojednostavite izraz −7,5a − 2,5b + 4a
Da bismo pojednostavili ovaj izraz, možemo dodati slične pojmove:
−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)
ili kraće −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)
Termin (−2,5b) ostao nepromijenjen jer se nije imao čime staviti.
Primjer 10. Pojednostavite izraz 
Da bismo pojednostavili ovaj izraz, možemo dodati slične pojmove:
Koeficijent je bio radi lakšeg izračuna.
Dakle, izraz pojednostavljeno na
Primjer 11. Pojednostavite izraz 
Da bismo pojednostavili ovaj izraz, možemo dodati slične pojmove:
Dakle, izraz pojednostavljeno na .
U ovom primjeru bi bilo prikladnije prvo dodati prvi i posljednji koeficijent. U ovom slučaju imamo kratko rješenje. To bi izgledalo ovako:
Primjer 12. Pojednostavite izraz 
Da bismo pojednostavili ovaj izraz, možemo dodati slične pojmove:
Dakle, izraz pojednostavljeno na 
.
Termin je ostao nepromijenjen, jer se nije imalo čemu dodati.
Ovo rješenje se može napisati mnogo kraće. To će izgledati ovako:
Kratko rješenje je preskočilo korake zamjene oduzimanja sa sabiranjem i detalja kako su razlomci svedeni na zajednički nazivnik.
Druga razlika je u tome što u detaljno rješenje odgovor izgleda , ali ukratko kao . U stvari, oni su isti izraz. Razlika je u tome što je u prvom slučaju oduzimanje zamijenjeno sabiranjem, jer smo na početku, kada smo detaljno zapisivali rješenje, oduzimanje zamijenili sabiranjem gdje god je to bilo moguće, a ta zamjena je sačuvana za odgovor.
Identiteti. Identično jednaki izrazi
Jednom kada pojednostavimo bilo koji izraz, on postaje jednostavniji i kraći. Da biste provjerili da li je pojednostavljeni izraz ispravan, dovoljno je zamijeniti bilo koju vrijednost varijabli prvo u prethodni izraz koji je trebao biti pojednostavljen, a zatim u novi koji je pojednostavljen. Ako je vrijednost u oba izraza ista, onda je pojednostavljeni izraz tačan.
Pogledajmo jednostavan primjer. Neka je potrebno pojednostaviti izraz 2a×7b. Da biste pojednostavili ovaj izraz, možete odvojeno množiti brojeve i slova:
2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab
Provjerimo da li smo izraz ispravno pojednostavili. Da bismo to učinili, zamijenimo bilo koje vrijednosti varijabli a I b prvo u prvi izraz koji je trebalo pojednostaviti, a zatim u drugi, koji je bio pojednostavljen.
Neka vrijednosti varijabli a , b bit će kako slijedi:
a = 4, b = 5
Zamijenimo ih u prvi izraz 2a×7b
Sada zamijenimo iste vrijednosti varijable u izraz koji je rezultat pojednostavljenja 2a×7b, naime u izrazu 14ab
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
To vidimo kada a=4 I b=5 vrijednost prvog izraza 2a×7b i značenje drugog izraza 14ab jednaka
2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280
14ab = 14 × 4 × 5 = 280
Isto će se dogoditi i za sve druge vrijednosti. Na primjer, neka a=1 I b=2
2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28
14ab = 14 × 1 × 2 =28
Dakle, za bilo koje vrijednosti varijabli izraza 2a×7b I 14ab jednake su istoj vrijednosti. Takvi izrazi se nazivaju identično jednake.
To zaključujemo između izraza 2a×7b I 14ab možete staviti znak jednakosti jer su jednaki istoj vrijednosti.
2a × 7b = 14ab
Jednakost je svaki izraz koji je povezan znakom jednakosti (=).
I jednakost forme 2a×7b = 14ab pozvao identitet.
Identitet je jednakost koja vrijedi za bilo koju vrijednost varijabli.
Drugi primjeri identiteta:
a + b = b + a
a(b+c) = ab + ac
a(bc) = (ab)c
Da, zakoni matematike koje smo proučavali su identiteti.
Prave numeričke jednakosti su također identiteti. Na primjer:
2 + 2 = 4
3 + 3 = 5 + 1
10 = 7 + 2 + 1
Odlučivanje težak zadatak Radi lakšeg izračunavanja, složeni izraz se zamjenjuje jednostavnijim izrazom koji je identično jednak prethodnom. Ova zamjena se zove identična transformacija izraza ili jednostavno transformisanje izraza.
Na primjer, pojednostavili smo izraz 2a×7b, i dobio je jednostavniji izraz 14ab. Ovo pojednostavljenje se može nazvati transformacijom identiteta.
Često možete pronaći zadatak koji kaže "dokazati da je jednakost identitet" a zatim se daje jednakost koju treba dokazati. Obično se ova jednakost sastoji od dva dijela: lijevog i desnog dijela jednakosti. Naš zadatak je izvršiti transformacije identiteta sa jednim od dijelova jednakosti i dobiti drugi dio. Ili izvršite identične transformacije na obje strane jednakosti i uvjerite se da obje strane jednakosti sadrže iste izraze.
Na primjer, dokažimo da je jednakost 0,5a × 5b = 2,5ab je identitet.
Pojednostavimo lijevu stranu ove jednakosti. Da biste to učinili, pomnožite brojeve i slova odvojeno:
0,5 × 5 × a × b = 2,5ab
2.5ab = 2.5ab
Kao rezultat male transformacije identiteta, lijeva strana jednakost je postala jednaka desnoj strani jednakosti. Tako smo dokazali da je jednakost 0,5a × 5b = 2,5ab je identitet.
Iz identičnih transformacija naučili smo sabirati, oduzimati, množiti i dijeliti brojeve, smanjivati razlomke, sabirati slične članove, a također i pojednostavljivati neke izraze.
Ali to nisu sve identične transformacije koje postoje u matematici. Postoji još mnogo identičnih transformacija. Vidjet ćemo to više puta u budućnosti.
Zadaci za samostalno rješavanje:
Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj nova grupa VKontakte i počnite primati obavještenja o novim lekcijama