U ovom videu ćemo analizirati čitav niz linearnih jednadžbi koje se rješavaju istim algoritmom - zato se nazivaju najjednostavnijim.

Prvo, hajde da definišemo: šta je linearna jednačina i koja se zove najjednostavnija?

Linearna jednačina je ona u kojoj postoji samo jedna varijabla i to samo do prvog stepena.

Najjednostavnija jednadžba znači konstrukciju:

Sve ostale linearne jednadžbe se svode na najjednostavnije korištenjem algoritma:

1. Proširite zagrade, ako ih ima;
2. Premjestite termine koji sadrže varijablu na jednu stranu znaka jednakosti, a pojmove bez varijable na drugu;
3. Navedite slične pojmove lijevo i desno od znaka jednakosti;
4. Podijelite rezultirajuću jednačinu sa koeficijentom varijable $x$.

Naravno, ovaj algoritam ne pomaže uvijek. Činjenica je da se ponekad nakon svih ovih mahinacija koeficijent varijable $x$ pokaže jednakim nuli. U ovom slučaju su moguće dvije opcije:

1. Jednačina uopće nema rješenja. Na primjer, kada ispadne nešto poput $0\cdot x=8$, tj. na lijevoj strani je nula, a na desnoj strani je broj koji nije nula. U videu ispod ćemo pogledati nekoliko razloga zašto je ova situacija moguća.
2. Rješenje su svi brojevi. Jedini slučaj kada je to moguće je kada je jednačina svedena na konstrukciju $0\cdot x=0$. Sasvim je logično da bez obzira koji $x$ zamijenimo, ipak će se ispostaviti da je „nula jednaka nuli“, tj. ispravna brojčana jednakost.

Sada da vidimo kako sve ovo funkcionira na primjerima iz stvarnog života.

Primjeri rješavanja jednačina

Danas imamo posla sa linearnim jednadžbama, i to samo onim najjednostavnijim. Općenito, linearna jednačina označava svaku jednakost koja sadrži tačno jednu promjenljivu, a ide samo do prvog stepena.

Takve konstrukcije se rješavaju na približno isti način:

1. Prije svega, trebate proširiti zagrade, ako ih ima (kao u našem posljednjem primjeru);
2. Zatim kombinirajte slično
3. Na kraju, izolujte varijablu, tj. premjestite sve što je povezano s promjenljivom – termine u kojima je sadržana – na jednu stranu, a sve što ostaje bez nje pomjerite na drugu stranu.

Zatim, po pravilu, trebate donijeti slične sa svake strane rezultirajuće jednakosti, a nakon toga ostaje samo podijeliti sa koeficijentom “x” i dobićemo konačni odgovor.

U teoriji, ovo izgleda lijepo i jednostavno, ali u praksi čak i iskusni srednjoškolci mogu napraviti uvredljive greške u prilično jednostavnim linearnim jednačinama. Obično se prave greške prilikom otvaranja zagrada ili prilikom izračunavanja „plusova“ i „minusa“.

Osim toga, dešava se da linearna jednadžba uopće nema rješenja, ili da je rješenje cijela brojevna prava, tj. bilo koji broj. Ove suptilnosti ćemo pogledati u današnjoj lekciji. Ali počet ćemo, kao što ste već shvatili, s najjednostavnijim zadacima.

Šema za rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi

Prvo, dozvolite mi da još jednom napišem cijelu shemu za rješavanje najjednostavnijih linearnih jednadžbi:

1. Proširite zagrade, ako ih ima.
2. Izolujemo varijable, tj. Sve što sadrži "X" pomeramo na jednu stranu, a sve bez "X" na drugu.
3. Predstavljamo slične termine.
4. Sve dijelimo koeficijentom “x”.

Naravno, ova shema ne funkcionira uvijek, u njoj postoje određene suptilnosti i trikovi, a sada ćemo ih upoznati.

Rješavanje stvarnih primjera jednostavnih linearnih jednadžbi

Zadatak br. 1

Prvi korak zahtijeva da otvorimo zagrade. Ali oni nisu u ovom primjeru, pa preskačemo ovaj korak. U drugom koraku moramo izolirati varijable. Bilješka: mi pričamo o tome samo o pojedinačnim terminima. Hajde da to zapišemo:

Slične termine predstavljamo lijevo i desno, ali to je već urađeno ovdje. Stoga prelazimo na četvrti korak: podijelite sa koeficijentom:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tako da smo dobili odgovor.

Zadatak br. 2

U ovom problemu možemo vidjeti zagrade, pa ih proširimo:

I lijevo i desno vidimo približno isti dizajn, ali postupimo po algoritmu, tj. razdvajanje varijabli:

Evo nekoliko sličnih:

Iz kojih korijena ovo funkcionira? Odgovor: za bilo koje. Stoga možemo napisati da je $x$ bilo koji broj.

Zadatak br. 3

Treća linearna jednačina je zanimljivija:

\[\lijevo(6-x \desno)+\lijevo(12+x \desno)-\lijevo(3-2x \desno)=15\]

Postoji nekoliko zagrada, ali se ne množe ničim, već im samo prethodi razni znakovi. Hajde da ih raščlanimo:

Izvodimo drugi nama već poznat korak:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hajde da izračunamo:

Izvodimo posljednji korak - podijelimo sve sa koeficijentom “x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Stvari koje treba zapamtiti prilikom rješavanja linearnih jednačina

Ako zanemarimo prejednostavne zadatke, želio bih reći sljedeće:

• Kao što sam rekao gore, nema svaka linearna jednačina rješenje – ponekad jednostavno nema korijena;
• Čak i ako postoje korijeni, među njima može biti nula - u tome nema ništa loše.

Nula je isti broj kao i ostali; ne treba ga ni na koji način diskriminirati ili pretpostaviti da ako dobijete nulu, onda ste nešto pogriješili.

Druga karakteristika je vezana za otvaranje zagrada. Imajte na umu: kada je ispred njih "minus", uklanjamo ga, ali u zagradama mijenjamo znakove u suprotno. A onda ga možemo otvoriti pomoću standardnih algoritama: dobićemo ono što smo vidjeli u gornjim proračunima.

Razumijevanje ove jednostavne činjenice pomoći će vam da izbjegnete glupe i štetne greške u srednjoj školi, kada se takve stvari uzimaju zdravo za gotovo.

Rješavanje složenih linearnih jednadžbi

Idemo dalje složene jednačine. Sada će dizajni postati složeniji kada se izvrše razne transformacije pojavit će se kvadratna funkcija. Međutim, toga se ne trebamo bojati, jer ako, prema autorovom planu, rješavamo linearnu jednadžbu, onda će se tijekom procesa transformacije sigurno poništiti svi monomi koji sadrže kvadratnu funkciju.

Primjer br. 1

Očigledno, prvi korak je otvaranje zagrada. Uradimo ovo veoma pažljivo:

Sada pogledajmo privatnost:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Evo nekoliko sličnih:

Očigledno, ova jednadžba nema rješenja, pa ćemo ovo napisati u odgovoru:

\[\varnothing\]

ili nema korijena.

Primjer br. 2

Izvodimo iste radnje. Prvi korak:

Pomerimo sve sa promenljivom ulevo, a bez nje - udesno:

Evo nekoliko sličnih:

Očigledno, ova linearna jednadžba nema rješenja, pa ćemo je napisati na sljedeći način:

\[\varnothing\],

ili nema korijena.

Nijanse rješenja

Obje jednačine su potpuno riješene. Koristeći ova dva izraza kao primjer, još jednom smo se uvjerili da čak ni u najjednostavnijim linearnim jednadžbama možda sve nije tako jednostavno: može postojati ili jedan, ili nijedan, ili beskonačno mnogo korijena. U našem slučaju, razmatrali smo dvije jednačine, obje jednostavno nemaju korijen.

Ali želim da vam skrenem pažnju na još jednu činjenicu: kako raditi sa zagradama i kako ih otvoriti ako je ispred njih znak minus. Razmotrite ovaj izraz:

Prije otvaranja, morate sve pomnožiti sa "X". Napomena: množe se svaki pojedinačni termin. Unutra se nalaze dva pojma - odnosno dva člana i pomnoženi.

I tek nakon što se ove naizgled elementarne, ali vrlo važne i opasne transformacije završe, možete otvoriti zagradu sa stanovišta činjenice da iza nje stoji znak minus. Da, da: tek sada, kada su transformacije završene, sjetimo se da ispred zagrada stoji znak minus, što znači da sve ispod jednostavno mijenja predznake. Istovremeno, sami zagrade nestaju i, što je najvažnije, nestaje i prednji "minus".

Isto radimo i sa drugom jednačinom:

Nije slučajno što obraćam pažnju na ove male, naizgled beznačajne činjenice. Jer rješavanje jednadžbi je uvijek niz elementarnih transformacija, gdje nemogućnost jasnog i kompetentnog izvođenja jednostavnih radnji dovodi do toga da mi dolaze srednjoškolci i opet uče rješavati tako jednostavne jednačine.

Naravno, doći će dan kada ćete ove vještine usavršiti do automatizma. Više nećete morati da izvodite toliko transformacija svaki put; sve ćete pisati u jednom redu. Ali dok tek učite, svaku radnju morate napisati posebno.

Rješavanje još složenijih linearnih jednačina

Ono što ćemo sada riješiti teško se može nazvati najjednostavnijim zadatkom, ali smisao ostaje isti.

Zadatak br. 1

\[\left(7x+1 \desno)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Pomnožimo sve elemente u prvom dijelu:

Učinimo malo privatnosti:

Evo nekoliko sličnih:

Završimo zadnji korak:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Evo našeg konačnog odgovora. I uprkos činjenici da smo u procesu rješavanja imali koeficijente s kvadratnom funkcijom, oni su se međusobno poništavali, što jednačinu čini linearnom, a ne kvadratnom.

Zadatak br. 2

\[\lijevo(1-4x \desno)\lijevo(1-3x \desno)=6x\lijevo(2x-1 \desno)\]

Pažljivo izvršimo prvi korak: pomnožimo svaki element iz prve zagrade sa svakim elementom iz druge. Nakon transformacije trebalo bi postojati ukupno četiri nova pojma:

Sada pažljivo izvršimo množenje u svakom članu:

Pomerimo termine sa "X" ulevo, a one bez - udesno:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Evo sličnih pojmova:

Još jednom smo dobili konačan odgovor.

Nijanse rješenja

Najvažnija napomena o ove dvije jednačine je da čim počnemo množiti zagrade koje sadrže više od jednog člana, to čini tako da sledeće pravilo: uzimamo prvi član iz prvog i množimo sa svakim elementom iz drugog; zatim uzimamo drugi element iz prvog i na sličan način množimo sa svakim elementom iz drugog. Kao rezultat toga, imaćemo četiri mandata.

O algebarskom zbiru

Ovim posljednjim primjerom želio bih podsjetiti studente šta je algebarski zbir. U klasičnoj matematici, pod $1-7$ mislimo na jednostavnu konstrukciju: oduzeti sedam od jednog. U algebri pod ovim podrazumijevamo sljedeće: broju “jedan” dodajemo još jedan broj, odnosno “minus sedam”. Po tome se algebarski zbir razlikuje od običnog aritmetičkog zbira.

Čim, prilikom izvođenja svih transformacija, svakog zbrajanja i množenja, počnete vidjeti konstrukcije slične gore opisanim, jednostavno nećete imati problema u algebri kada radite s polinomima i jednadžbama.

Na kraju, pogledajmo još nekoliko primjera koji će biti još složeniji od ovih koje smo upravo pogledali, a da bismo ih riješili morat ćemo malo proširiti naš standardni algoritam.

Rješavanje jednadžbi s razlomcima

Da bismo riješili takve zadatke, morat ćemo dodati još jedan korak našem algoritmu. Ali prvo, da vas podsjetim na naš algoritam:

1. Otvorite zagrade.
2. Odvojene varijable.
3. Donesite slične.
4. Podijelite omjerom.

Nažalost, ovaj divni algoritam, uz svu svoju efikasnost, ispada da nije sasvim prikladan kada imamo razlomke ispred sebe. I u onome što ćemo vidjeti u nastavku, imamo razlomak i na lijevoj i na desnoj strani u obje jednačine.

Kako raditi u ovom slučaju? Da, vrlo je jednostavno! Da biste to učinili, morate dodati još jedan korak u algoritam, koji se može učiniti i prije i nakon prve radnje, odnosno uklanjanje razlomaka. Dakle, algoritam će biti sljedeći:

1. Riješite se razlomaka.
2. Otvorite zagrade.
3. Odvojene varijable.
4. Donesite slične.
5. Podijelite omjerom.

Šta znači "osloboditi se razlomaka"? I zašto se to može učiniti i nakon i prije prvog standardnog koraka? Zapravo, u našem slučaju svi razlomci su brojčani u nazivniku, tj. Svugdje je imenilac samo broj. Stoga, ako pomnožimo obje strane jednadžbe ovim brojem, riješit ćemo se razlomaka.

Primjer br. 1

\[\frac(\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Riješimo se razlomaka u ovoj jednadžbi:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Imajte na umu: sve se množi sa "četiri" jednom, tj. samo zato što imate dvije zagrade ne znači da morate svaku pomnožiti sa "četiri". Hajde da zapišemo:

\[\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]

Sada da proširimo:

Izdvajamo varijablu:

Vršimo redukciju sličnih pojmova:

\[-4x=-1\lijevo| :\lijevo(-4 \desno) \desno.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Dobili smo konačno rješenje, idemo na drugu jednačinu.

Primjer br. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Ovdje izvodimo sve iste radnje:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem je riješen.

To je, zapravo, sve što sam vam danas htio reći.

Ključne točke

Ključni nalazi su:

• Znati algoritam za rješavanje linearnih jednačina.
• Mogućnost otvaranja zagrada.
• Ne brini ako vidiš kvadratne funkcije, najvjerovatnije će se u procesu daljih transformacija smanjiti.
• Postoje tri vrste korijena u linearnim jednadžbama, čak i one najjednostavnije: jedan korijen, cijela brojevna prava je korijen i nema korijena.

Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da savladate jednostavnu, ali vrlo važnu temu za dalje razumijevanje sve matematike. Ako nešto nije jasno, idite na stranicu i riješite primjere prikazane tamo. Pratite nas, očekuje vas još mnogo zanimljivosti!

da rešavam matematiku. Pronađite brzo rješavanje matematičke jednačine u modu online. Web stranica www.site dozvoljava riješi jednačinu skoro svaki dat algebarski, trigonometrijski ili transcendentalna jednadžba online. Kada proučavate gotovo bilo koju granu matematike u različitim fazama, morate odlučiti jednačine online. Da biste odmah dobili odgovor, i što je najvažnije tačan, potreban vam je resurs koji vam to omogućava. Hvala sajtu www.site rješavajte jednačine na mreži trajat će nekoliko minuta. Glavna prednost www.site kod rješavanja matematičkih jednačine online- ovo je brzina i tačnost pruženog odgovora. Stranica je u stanju riješiti bilo koje algebarske jednadžbe online, trigonometrijske jednadžbe online, transcendentalne jednadžbe na mreži, i jednačine sa nepoznatim parametrima u modu online. Jednačine služe kao moćan matematički aparat rješenja praktični problemi. Uz pomoć matematičke jednačine moguće je izraziti činjenice i odnose koji na prvi pogled mogu izgledati zbunjujuće i složene. Nepoznate količine jednačine može se naći formulisanjem problema u matematički jezik u formi jednačine I odlučiti primljen zadatak u modu online na web stranici www.site. Bilo koji algebarska jednačina, trigonometrijska jednačina ili jednačine koji sadrži transcendentalno funkcije koje možete lako odlučiti online i dobiti tačan odgovor. Kada studirate prirodne nauke, neminovno se susrećete sa potrebom rješavanje jednačina. U ovom slučaju, odgovor mora biti tačan i mora se dobiti odmah u režimu online. Stoga za rješavanje matematičkih jednačina na mreži preporučujemo stranicu www.site, koja će postati vaš nezamjenjiv kalkulator rješavati algebarske jednadžbe online, trigonometrijske jednačine online, i transcendentalne jednadžbe na mreži ili jednačine sa nepoznatim parametrima. Za praktične probleme pronalaženja korijena raznih matematičke jednačine resurs www.. Rješavanje jednačine online sami, korisno je provjeriti primljeni odgovor koristeći online rješavanje jednačina na web stranici www.site. Morate ispravno napisati jednačinu i odmah dobiti online rješenje, nakon čega ostaje samo da uporedite odgovor sa vašim rješenjem jednadžbe. Provjera odgovora neće trajati više od minute, dovoljno je riješiti jednačinu na mreži i uporedi odgovore. Ovo će vam pomoći da izbjegnete greške u odluka i ispraviti odgovor na vrijeme kada rješavanje jednačina na mreži bilo algebarski, trigonometrijski, transcendentalno ili jednačina sa nepoznatim parametrima.

Šta je jednačina?

Jednačina je jedan od temeljnih koncepata svake matematike. I školsko i visoko obrazovanje. Ima smisla to shvatiti, zar ne? Štaviše, ovo je vrlo jednostavan koncept. Uvjerite se sami u nastavku. :) Pa koja je jednačina?

Činjenica da ova riječ ima isti korijen kao riječi „jednako“, „jednakost“, mislim, ne izaziva nikakve zamjerke ni od koga. Jednačina su dva matematička izraza povezana znakom jednakosti “=”. Ali... ne bilo koji. I one u kojima (barem jedan) sadrži nepoznata količina . Ili na drugi način varijabilna količina . Ili jednostavno "varijabilna" ukratko. Može postojati jedna ili više varijabli. U školskoj matematici, jednačine sa jedan varijabla. Što se obično označava slovomx . Ili druga zadnja slova latinice -y , z , t i tako dalje.

Za sada ćemo razmotriti i jednačine sa jednom promenljivom. Sa dvije ili više varijabli - u posebnoj lekciji.

Šta znači riješiti jednačinu?

Nastavi. Varijabla u izrazima uključenim u jednačinu može uzeti bilo koju važeće vrijednosti. Zato je varijabilna. :) Za neke vrijednosti varijable dobija se tačna jednakost, ali za druge nije. Riješite jednačinu- to znači pronalaženje svih takvih vrijednosti varijable, prilikom njihove zamjene original ispada jednačina istinska jednakost . Ili, naučnije, identitet. Na primjer, 5=5, 0=0, -10=-10. I tako dalje. :) Ili dokazati da takve vrijednosti varijabli ne postoje.

Posebno se fokusiram na riječ “original”. Zašto će biti jasno u nastavku.

Te same vrijednosti varijable, čijom zamjenom se jednačina pretvara u identitet, nazivaju se vrlo lijepo - korijeni jednadžbe. Ako se dokaže da takvih vrijednosti nema, onda u ovom slučaju kažu da je jednačina nema korijena.

Zašto su potrebne jednačine?

Zašto su nam potrebne jednačine? Prije svega, jednadžbe su vrlo moćan i najsvestraniji alat za rješavanje problema . Veoma drugačije. :) U školi se po pravilu radi problemi sa riječima. To su zadaci o kretanju, o radu, o procentima i mnogi, mnogi drugi. Međutim, upotreba jednadžbi nije ograničena na školske probleme o bazenima, cijevima, vlakovima i stolicama. :)

Bez sposobnosti sastavljanja i rješavanja jednačina, nemoguće je riješiti nijedan ozbiljan naučni problem – fizički, inženjerski ili ekonomski. Na primjer, izračunajte gdje će raketa pogoditi. Ili odgovorite na pitanje hoće li neka važna konstrukcija (lift ili most, na primjer) izdržati ili neće izdržati opterećenje. Ili predvidjeti vrijeme, porast (ili pad) cijena ili prihoda...

Općenito, jednadžba je ključna figura u rješavanju širokog spektra računskih problema.

Koje su jednačine?

U matematici postoji bezbroj jednačina. Većina različite vrste. Međutim, sve jednačine se mogu podijeliti u samo 4 klase:

1) Linearni,

2) Kvadrat,

3) razlomka (ili razlomka-racionalna),

4) Drugi.

Različite vrste jednačina zahtijevaju i drugačiji pristup do njihovog rješenja: linearne jednačine se rješavaju na jedan način, kvadratne na drugi, frakcijske jednačine na treći, trigonometrijske, logaritamske, eksponencijalne i druge također se rješavaju vlastitim metodama.

Ima, naravno, još drugih jednačina. To su iracionalne, trigonometrijske, eksponencijalne, logaritamske i mnoge druge jednačine. Pa čak i diferencijalne jednadžbe (za studente), gdje nepoznata nije broj, već funkcija. Ili čak čitava porodica funkcija. :) U odgovarajućim lekcijama ćemo detaljno analizirati sve ove vrste jednačina. I ovdje imamo osnovne tehnike koje su primjenjive za rješavanje apsolutno bilo koji(da, bilo koje!) jednačine. Ove tehnike se nazivaju ekvivalentne transformacije jednačina . Ima ih samo dvoje. I nema načina da ih se zaobiđe. Pa hajde da se upoznamo!

Kako riješiti jednačine? Identične (ekvivalentne) transformacije jednačina.

Rješenje bilo koji jednačina se sastoji u transformaciji korak-po-korak izraza uključenih u nju. Ali ne bilo kakve transformacije, već takve suština cele jednačine se nije promenila. Unatoč činjenici da će se nakon svake transformacije jednadžba mijenjati i na kraju postati potpuno drugačija od izvorne. Takve transformacije u matematici se nazivaju ekvivalentan ili identičan . Među čitavim nizom identičnih transformacija jednačina, jedna se izdvaja dva osnovna. Pričaćemo o njima. Da, da, samo dva! I svaki od njih zaslužuje posebnu pažnju. Primjena ove dvije identične transformacije u jednom ili drugom redu garantuje uspjeh u rješavanju 99% svih jednačina.

Pa, hajde da se upoznamo!

Prva transformacija identiteta:

Možete dodati (ili oduzeti) bilo koji (ali identičan!) broj ili izraz (uključujući one sa promjenljivom) na obje strane jednačine.

Suština jednačine će ostati ista. Tu transformaciju primjenjujete svuda, naivno misleći da neke članove prenosite iz jednog dijela jednačine u drugi, mijenjajući predznak. :)

Na primjer, ova cool jednadžba:

Ovdje nemate o čemu razmišljati: pomaknite minus tri udesno, mijenjajući minus u plus:

Ali šta se zapravo dešava? Ali u stvarnosti ti dodati tri na obje strane jednačine! Volim ovo:

Suština cijele jednačine se ne mijenja kada se na obje strane dodaju tri. Na lijevoj strani ostaje čisti X (što mi, zapravo, pokušavamo postići), a na desnoj - šta god da se dogodi.

Prenošenje pojmova iz jednog dijela u drugi je skraćena verzija prva transformacija identiteta. Jedina greška koju ovdje možete napraviti je da zaboravite promijeniti znak prilikom prijenosa. Na primjer, ova jednadžba:

To nije komplikovana stvar. Radimo direktno prema čaroliji: sa X na lijevo, bez X na desno. Koji je pojam sa X na desnoj strani? Šta? 2x? Pogrešno! Na desnoj strani imamo -2x (minus dva x-a)! Stoga u lijeva strana ovaj termin će biti prebačen sa plusom :

Pola bitke je obavljeno, X-ovi su sakupljeni na lijevoj strani. Ostaje samo da pomaknete jedinicu udesno. Opet se postavlja pitanje - sa kojim znakom? Na lijevoj strani ispred jedinice nema ništa napisano, što znači da treba da joj prethodi plus. Stoga će se 1 pomaknuti udesno sa minusom:

To je skoro sve. Na lijevoj strani prikazujemo slične, a na desnoj ih brojimo. I dobijamo:

Sada analizirajmo naše mahinacije s prijenosom termina. Šta smo uradili kada smo se pomerili -2x ulevo? Da! Mi dodat u oba dijela naše zle jednačine izraz je 2x. Rekao sam vam da imamo pravo sabirati (oduzeti) bilo koji broj, pa čak i izraz sa X! Sve dok je to ista stvar. :) A kada si pomerio 1 udesno? Apsolutno u pravu! Mi oduzeti od obe strane jednačine jedan. To je sve.) To je cela poenta prve ekvivalentne transformacije.

Ili ovaj primjer za srednjoškolce:

Jednačina je logaritamska. Pa šta? Koga briga? U svakom slučaju, prvi korak je napraviti osnovnu transformaciju identiteta - pomjerimo pojam s promjenljivom (tj. -log 3 x) ulijevo, i numerički izraz log 3 4 pomaknite se udesno. Uz promenu predznaka, naravno:

To je sve. Svako ko je upoznat sa logaritmima će popuniti jednačinu u svojoj glavi i dobiti:

Šta? Želite li sinuse? Molim vas, evo sinusa:

Ponovo izvodimo prvu transformaciju identiteta - prenosimo sin x ulijevo (sa minusom) i pomaknite -1/4 udesno (sa plusom):

Dobili smo najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu sa sinusom, koju poznavaocima također nije teško riješiti.

Pogledajte koliko je univerzalna prva ekvivalentna transformacija! Ima ga svuda i svuda i nema načina da ga se zaobiđe. Stoga, morate biti u mogućnosti to učiniti automatski. Glavna stvar je da ne zaboravite promijeniti znak prilikom prijenosa! Nastavljamo se upoznavati s identičnim transformacijama jednadžbi.)

Druga transformacija identiteta:

Obje strane jednačine se mogu pomnožiti (podijeliti) istim brojem ili izrazom koji nije nula.

Ovu identičnu transformaciju stalno koristimo i kada nas neki koeficijenti u jednadžbi interferiraju i želimo ih se riješiti. Sigurno za samu jednačinu. :) Na primjer, ova zla jednačina:

To je svima ovdje jasno x = 3. Kako ste pogodili? Jesi li ga pokupio? Ili ste uperili prst u nebo i pogodili?

Da ne biste birali i pogađali (mi smo ipak matematičari, a ne gatari :)), morate shvatiti da ste jednostavno podijelio obje strane jednačine za cetvorku. Što je ono što nam smeta.

Volim ovo:

Ovaj štap za podjelu znači da su podijeljeni sa četiri. oba dijela naša jednačina. Cijela lijeva i cijela desna strana:

Na lijevoj strani, četvorke su sigurno smanjene, a x ostaje u sjajnoj izolaciji. A na desnoj strani, kada se dijeli 12 sa 4, rezultat je, naravno, tri. :)

Ili ova jednačina:

Šta raditi sa jednom sedminom? Pomeri se desno? Ne, ne možeš! Jedna sedmina je povezana sa množenjem x. Koeficijent, razumete. :) Ne možete odvojiti koeficijent i pomeriti ga odvojeno od X. Samo cijeli izraz (1/7)x. Ali nema potrebe. :) Sjetimo se opet množenja/dijeljenja. Šta nas sprečava? Razlomak je 1/7, zar ne? Pa hajde da ga se rešimo. Kako? I kao rezultat koje akcije gubimo razlomak? Naš razlomak nestane kada množenje brojem jednak njegovom nazivniku! Dakle, pomnožimo obje strane naše jednadžbe sa 7:

Na lijevoj strani, sedmice će se smanjiti i ostati samo usamljeni X, a na desnoj strani, ako se sjetite tablice množenja, dobijate 21:

Sada primjer za srednjoškolce:

Da bismo došli do x i time riješili našu zlu trigonometrijsku jednadžbu, prvo moramo dobiti čisti kosinus s lijeve strane, bez ikakvih koeficijenata. Ali dvojka stane na put. :) Dakle, cijelu lijevu stranu podijelimo sa 2:

Ali onda desna strana također ćete morati podijeliti sa dva: to već zahtijeva MATEMATIKA. podijeliti:

Na desnoj strani vrijednost tabele kosinus. I sada je jednačina riješena za slatku dušu.)

Je li sve jasno sa množenjem/dijeljenjem? Odlično! Ali… pažnja! Ova transformacija, uprkos svojoj jednostavnosti, sadrži izvor vrlo neugodnih grešaka! To se zove gubitak korijena I sticanje stranih korena .

Već sam rekao gore da se obje strane jednačine mogu pomnožiti (podijeliti) bilo kojim brojem ili izraz sa x. Ali uz jedno važno upozorenje: izraz kojim množimo (dijelimo) mora biti različito od nule . Upravo ta tačka, koju mnogi u početku jednostavno ignorišu, dovodi do tako nesretnih grešaka. Zapravo, značenje ovog ograničenja je jasno: množenje sa nulom je glupo, a dijeljenje općenito nije dozvoljeno. Hajde da shvatimo šta je šta? Počnimo s podjelom i gubitak korijena .

Recimo da imamo ovu jednačinu:

Ovdje vas ruke zaista žude uzeti i podijeliti obje strane jednačine zajednički nosač(x-1):

Recimo da zadatak Jedinstvenog državnog ispita kaže pronaći zbir korijena ove jednačine. Šta ćemo napisati kao odgovor? Tri? Ako odlučiš da je trojka, onda ti upali u zasedu. Zove se "gubitak korijena". :) Sta je bilo?

Otvorimo zagrade u originalnoj jednadžbi i sakupimo sve s lijeve strane:

Imam klasiku kvadratna jednačina. Rješavamo kroz diskriminantu (ili preko Vietine teoreme) i dobivamo dva korijena:

Dakle, zbir korijena je 1+3 = 4. Četiri, a ne tri! Gdje je "nestao" naš korijen?

x = 1

Sa prvim rješenjem? A naš je nestao baš kad smo oba dijela dijelili zagradama (x-1). Zašto se to dogodilo? A sve zato što se kod x = 1 ova zagrada (x-1) resetuje na nulu. A mi imamo pravo dijeliti samo po nenulti izraz! Kako bi se mogao izbjeći gubitak ovog korijena? A gubitak korijena općenito? Da bismo to učinili, prvo, prije podjele nekim izrazom sa x, uvijek dodajemo uslov da je ovaj izraz različit od nule. I nalazimo nule ovog izraza. Ovako (koristeći našu jednačinu kao primjer):

I drugo, da neki korijeni ne nestanu tokom procesa podjele, moramo posebno provjeriti kao kandidate za korijene Sve nule našeg izraza (onog s kojim dijelimo). Kako? Samo ih stavi unutra originalna jednadžba i računaj. U našem slučaju provjeravamo jedno:

Sve je pošteno. Dakle, jedan je korijen!

Općenito, u budućnosti uvijek pokušajte izbjegavati divizije na izraz sa X. Gubitak korijena je vrlo opasna i dosadna stvar! Koristite bilo koje druge metode - otvaranje zagrada i posebno faktorizacija. Faktoring je najjednostavniji i siguran način izbjeći gubitak korijena. Da bismo to učinili, skupljamo sve što je s lijeve strane, zatim izvlačimo zajednički faktor (za koji želimo da „smanjimo”) iz zagrada, činimo ga u faktore i zatim svaki rezultirajući faktor izjednačavamo sa nulom. Na primjer, naša jednačina bi se mogla riješiti sasvim bezopasno ne samo redukcijom na kvadrat, već i faktorizacijom. Uvjerite se sami:

Pomjerite cijeli izraz (x-1) ulijevo. Sa znakom minus:

Uzimamo (x-1) iz zagrada kao zajednički faktor i činimo ga na faktore:

Proizvod je nula kada barem jedan od faktora je nula. Sada izjednačavamo (u našim mislima!) svaku zagradu sa nulom i dobijamo naša zakonska dva korijena:

I nijedan korijen nije izgubljen!

Pogledajmo sada suprotnu situaciju - sticanje stranih korena. Ova situacija nastaje kada množenje obje strane jednačine izraza sa x. Često se javlja prilikom rješavanja razlomaka racionalnih jednačina. Na primjer, ova jednostavna jednadžba:

To je poznata stvar - množimo obje strane sa nazivnikom da se riješimo razlomka i dobijemo jednadžbu ravnala:

Svaki faktor izjednačavamo sa nulom i dobijamo dva korena:

Čini se da je sve u redu. Ali hajde da pokušamo da izvršimo osnovnu proveru. I ako na x = 0 sve će lepo srasti, dobijamo identitet 2=2, onda kada x = 1 Ovo će rezultirati dijeljenjem sa nulom. Ono što apsolutno ne možete učiniti. Jedan nije prikladan kao korijen naše jednadžbe. U takvim slučajevima se kaže da x = 1- takozvani vanjski korijen . Jedan je korijen naše nove jednadžbe bez razlomka x(x-1) = 0, Ali nije root original frakciona jednačina. Kako se pojavljuje ovaj strani korijen? Pojavljuje se kada se obje strane pomnože sa nazivnikom x-1. koji u x = 1 samo ide na nulu! I imamo pravo da množimo samo izrazom koji nije nula!

Kako biti? Uopšte se ne množi? Tada nećemo moći ništa riješiti. Trebam li provjeriti svaki put? Može. Ali često je radno intenzivan ako je početna jednačina previše zamršena. U takvim slučajevima u pomoć priskaču tri magična slova - ODZ. O području D izostavljeno Z dostignuća. A da biste isključili pojavu stranih korijena, prilikom množenja izrazom s X, uvijek morate dodatno zapisati ODZ. u našem slučaju:

Sada, s ovim ograničenjem, možete sigurno pomnožiti obje strane sa nazivnikom. Isključit ćemo sve štetne posljedice takvog umnožavanja (tj. strane korijene) prema DZ. A mi ćemo svoju nemilosrdno baciti.

Dakle, pojava stranih korijena nije toliko opasna kao gubitak: ODZ je moćna stvar. I tvrd. Ona će uvijek ukloniti sve nepotrebno. :) ODZ i ja ćemo biti prijatelji i upoznaćemo se detaljnije u posebnoj lekciji.

To su sve identične transformacije.) Samo dvije. Međutim, neiskusni učenik može imati određene poteškoće sekvenca njihove primjene: u nekim primjerima počinju množenjem (ili dijeljenjem), u drugim - prijenosom. Na primjer, ova linearna jednadžba:

Gdje početi? Možete početi sa transferom:

Ili možete prvo podijeliti oba dijela sa pet, a zatim prenijeti. Tada će brojevi postati jednostavniji i lakše će se brojati:

Kao što vidimo, oba načina su moguća. Stoga se za neke studente postavlja pitanje: „Šta je tačno?“ Odgovor: "U svakom pogledu tačno!" Kako vam je zgodnije. :) Sve dok tvoji postupci nisu u suprotnosti sa pravilima matematike. A redoslijed samih ovih radnji ovisi isključivo o ličnim preferencijama i navikama donosioca odluke. Međutim, s iskustvom će takva pitanja nestati sama od sebe, i na kraju neće matematika zapovijedati vama, već ćete vi zapovijedati matematikom. :)

U zaključku, želio bih posebno reći o tzv uslovno identične transformacije, važi za neki uslovi. Na primjer, podizanje obje strane jednadžbe na isti stepen. Ili vađenje korijena iz oba dijela. Ako je eksponent neparan, onda nema ograničenja - konstruirajte i izvucite bez straha. Ali ako je paran, onda će takva transformacija biti identična samo ako obje strane jednačine nisu negativne. O ovim zamkama ćemo detaljno govoriti u temi o iracionalnim jednačinama.

Aplikacija

Rješavanje bilo koje vrste jednačina online na sajtu za studente i školsku djecu za konsolidaciju proučenog materijala. Rješavanje jednačina online. Jednačine online. Postoje algebarske, parametarske, transcendentalne, funkcionalne, diferencijalne i druge vrste jednadžbi. Neke klase jednadžbi imaju analitička rješenja, koja su zgodna jer ne samo da daju tačnu vrijednost korijena, već i omogućavaju da rješenje zapišete u formulu, koja može uključivati ​​parametre. Analitički izrazi omogućavaju ne samo izračunavanje korijena, već i analizu njihovog postojanja i količine u zavisnosti od vrijednosti parametara, što je često čak i važnije za praktična primjena, nego specifične vrijednosti korijena. Rješavanje jednadžbi online.. Jednačine online. Rješavanje jednadžbe je zadatak pronalaženja takvih vrijednosti argumenata pri kojima se ova jednakost postiže. Moguće vrijednosti argumenata se mogu nametnuti dodatni uslovi(cijeli, realni, itd.). Rješavanje jednadžbi online.. Jednačine online. Jednadžbinu možete riješiti online odmah i s velikom preciznošću rezultata. Argumenti specificiranih funkcija (ponekad se nazivaju "varijable") u slučaju jednačine nazivaju se "nepoznatima". Vrijednosti nepoznanica kod kojih se ova jednakost postiže nazivaju se rješenjima ili korijenima ove jednadžbe. Kaže se da korijeni zadovoljavaju ovu jednačinu. Rješavanje jednadžbe online znači pronalaženje skupa svih njenih rješenja (korijena) ili dokazivanje da nema korijena. Rješavanje jednadžbi online.. Jednačine online. Jednačine čiji se skupovi korijena poklapaju nazivaju se ekvivalentne ili jednake. Jednačine koje nemaju korijen se također smatraju ekvivalentnim. Ekvivalentnost jednačina ima svojstvo simetrije: ako je jedna jednačina ekvivalentna drugoj, onda je druga jednačina ekvivalentna prvoj. Ekvivalentnost jednačina ima svojstvo tranzitivnosti: ako je jedna jednačina ekvivalentna drugoj, a druga je ekvivalentna trećoj, tada je prva jednačina ekvivalentna trećoj. Svojstvo ekvivalencije jednačina omogućava nam da s njima provodimo transformacije na kojima se zasnivaju metode za njihovo rješavanje. Rješavanje jednadžbi online.. Jednačine online. Stranica će vam omogućiti da riješite jednačinu na mreži. Jednačine za koje su poznata analitička rješenja uključuju algebarske jednačine ne veće od četvrtog stepena: linearne jednačine, kvadratne jednačine, kubne jednačine i jednačine četvrtog stepena. Algebarske jednadžbe U opštem slučaju, jednačine viših stupnjeva nemaju analitička rješenja, iako se neke od njih mogu svesti na jednačine nižih stupnjeva. Jednačine koje uključuju transcendentalne funkcije nazivaju se transcendentalne. Među njima su poznata analitička rješenja za neke trigonometrijske jednadžbe, od nula trigonometrijske funkcije dobro poznat. U opštem slučaju, kada se analitičko rešenje ne može naći, koriste se numeričke metode. Numeričke metode ne daju tačno rješenje, već samo omogućavaju da se interval u kojem leži korijen suzi na određenu unaprijed određenu vrijednost. Rješavanje jednačina online.. Jednačine online.. Umjesto jednačine na mreži, zamislit ćemo kako isti izraz formira linearni odnos, ne samo duž prave tangente, već i na samoj tački fleksije grafa. Ova metoda je neophodna u svakom trenutku u proučavanju predmeta. Često se dešava da se rješavanje jednačina približava konačnoj vrijednosti korištenjem beskonačnih brojeva i pisanjem vektora. Potrebno je provjeriti početne podatke i to je suština zadatka. Inače, lokalni uvjet se pretvara u formulu. Inverzija u pravoj liniji od date funkcije, koju će kalkulator jednačine izračunati bez većeg odlaganja u izvršenju, pomak će služiti kao privilegija prostora. Razgovaraćemo o uspjehu studenata u naučnom okruženju. Međutim, kao i sve gore navedeno, pomoći će nam u procesu pronalaženja i kada u potpunosti riješite jednadžbu, pohraniti rezultirajući odgovor na krajeve pravocrtnog segmenta. Prave u prostoru seku se u tački i ova tačka se naziva presečena linijama. Interval na liniji je naznačen kao što je prethodno navedeno. Najviše radno mjesto za studij matematike će biti objavljeno. Dodjeljivanje vrijednosti argumenta iz parametarski specificirane površine i rješavanje jednadžbe na mreži će moći ocrtati principe produktivnog pristupa funkciji. Möbiusova traka, ili beskonačnost kako je zovu, izgleda kao osmica. Ovo je jednostrana površina, a ne dvostrana. Prema opštepoznatom principu, objektivno ćemo prihvatiti linearne jednačine kao osnovnu oznaku kao što je to u oblasti istraživanja. Samo dvije vrijednosti sekvencijalno datih argumenata mogu otkriti smjer vektora. Pod pretpostavkom da je drugo rješenje onlajn jednačina mnogo više od samog rješavanja znači dobivanje punopravne verzije invarijante kao rezultat. Bez integrisani pristup Učenicima je teško naučiti ovo gradivo. Kao i do sada, za svaki poseban slučaj, naš zgodan i pametan online kalkulator jednadžbi pomoći će svima u teškim vremenima, jer samo trebate navesti ulazne parametre i sistem će sam izračunati odgovor. Prije nego počnemo unositi podatke, trebat će nam alat za unos, što se može učiniti bez većih poteškoća. Broj svake procjene odgovora će dovesti do kvadratne jednadžbe za naše zaključke, ali to nije tako lako učiniti, jer je lako dokazati suprotno. Teorija, zbog svojih karakteristika, nije potkrijepljena praktičnim znanjem. Videti kalkulator razlomaka u fazi objavljivanja odgovora nije lak zadatak u matematici, jer alternativa pisanja broja na skupu pomaže da se poveća rast funkcije. Međutim, ne bi bilo korektno ne govoriti o obuci studenata, pa ćemo svako reći onoliko koliko treba. Prethodno pronađena kubična jednačina će s pravom pripadati domenu definicije i sadržavati prostor numeričkih vrijednosti, kao i simboličke varijable. Nakon što su naučili ili zapamtili teoremu, naši učenici će se dokazati samo sa najbolja strana, a mi ćemo im se radovati. Za razliku od višestrukih ukrštanja polja, naše online jednadžbe su opisane ravninom kretanja množenjem dvije i tri numeričke kombinovane linije. Skup u matematici nije jednoznačno definisan. Najbolje rješenje, po mišljenju studenata, je potpuno snimanje izraza. Kako je rečeno naučnim jezikom, apstrakcija simboličkih izraza ne ulazi u stanje stvari, ali rješenje jednačina daje nedvosmislen rezultat u svim poznatim slučajevima. Trajanje nastave nastavnika zavisi od potreba za ovim prijedlogom. Analiza je pokazala neophodnost svih računskih tehnika u mnogim oblastima, te je apsolutno jasno da je kalkulator jednačina nezaobilazan alat u darovitim rukama učenika. Lojalan pristup proučavanju matematike određuje važnost pogleda iz različitih pravaca. Želite da identifikujete jednu od ključnih teorema i na taj način rešite jednačinu, u zavisnosti od čijeg odgovora će biti dalja potreba za njenom primenom. Analitika u ovoj oblasti dobija na zamahu. Krenimo od početka i izvedimo formulu. Nakon probijanja nivoa povećanja funkcije, linija duž tangente u točki fleksije sigurno će dovesti do činjenice da će rješavanje jednadžbe na mreži biti jedan od glavnih aspekata u konstruiranju tog istog grafa iz argumenta funkcije. Amaterski pristup ima pravo da se primeni ako ovo stanje nije u suprotnosti sa zaključcima učenika. Upravo podzadatak stavlja analizu matematičkih uslova kao linearnih jednačina u postojeći domen definicije objekta koji se stavlja u drugi plan. Mreža u smjeru ortogonalnosti poništava prednost jedne apsolutne vrijednosti. Modulo rješavanje jednadžbi na mreži daje isti broj rješenja ako otvorite zagrade prvo znakom plus, a zatim znakom minus. U ovom slučaju bit će dvostruko više rješenja, a rezultat će biti precizniji. Stabilan i ispravan kalkulator Jednačine online je uspjeh u postizanju ciljanog cilja u zadatku koji je postavio nastavnik. Obavezna metodačini se da je moguće izabrati zbog značajnih razlika u stavovima velikih naučnika. Rezultirajuća kvadratna jednačina opisuje krivulju linija, takozvanu parabolu, a znak će odrediti njenu konveksnost u kvadratnom koordinatnom sistemu. Iz jednadžbe dobijamo i diskriminanta i same korijene prema Vietinoj teoremi. Prvi korak je da izraz predstavite kao pravilan ili nepravilan razlomak i koristite kalkulator razlomaka. Ovisno o tome, formirat će se plan za naše dalje proračune. Matematika sa teorijskim pristupom će biti korisna u svakoj fazi. Rezultat ćemo svakako predstaviti kao kubnu jednačinu, jer ćemo u ovom izrazu sakriti njegove korijene kako bismo studentu na fakultetu pojednostavili zadatak. Bilo koja metoda je dobra ako je prikladna za površnu analizu. Extra aritmetičke operacije neće dovesti do grešaka u proračunu. Određuje odgovor sa zadatom tačnošću. Koristeći rješenje jednadžbi, da se suočimo s tim - pronalaženje nezavisne varijable date funkcije nije tako lako, posebno tokom perioda proučavanja paralelne linije u beskonačnosti. S obzirom na izuzetak, potreba je vrlo očigledna. Razlika u polaritetu je jasna. Iz iskustva predaje na institutima, naš učitelj je učio glavna lekcija, u kojem su jednačine proučavane online u punom matematičkom smislu. Ovdje je riječ o većim naporima i posebnim vještinama u primjeni teorije. U prilog našim zaključcima, ne treba gledati kroz prizmu. Do nedavno se vjerovalo da se zatvoreni skup brzo povećava u cijelom regionu kakav jeste i da rješenje jednačina jednostavno treba istražiti. U prvoj fazi nismo razmatrali sve moguće opcije, ali ovaj pristup je opravdaniji nego ikad. Dodatne radnje sa zagradama opravdavaju neke pomake duž ose ordinate i apscise, što se ne može promaći golim okom. U smislu ekstenzivnog proporcionalnog povećanja funkcije, postoji tačka pregiba. Još jednom ćemo dokazati kako neophodno stanje primjenjivat će se u cijelom intervalu opadanja jednog ili drugog silaznog položaja vektora. U skučenom prostoru, izabraćemo varijablu iz početnog bloka naše skripte. Sistem konstruisan kao osnova duž tri vektora odgovoran je za odsustvo glavnog momenta sile. Međutim, kalkulator jednačina je generirao i pomogao u pronalaženju svih članova konstruirane jednačine, kako iznad površine tako i duž paralelnih linija. Nacrtajmo krug oko početne tačke. Tako ćemo se početi kretati prema gore duž linija presjeka, a tangenta će opisivati ​​krug cijelom njegovom dužinom, što će rezultirati krivom koja se zove evolventa. Uzgred, hajde da ispričamo malo istorije o ovoj krivulji. Činjenica je da historijski u matematici nije postojao koncept same matematike u njenom čistom razumijevanju kakvo je danas. Ranije su svi naučnici bili angažovani na jednom zajedničkom zadatku, odnosno nauci. Kasnije, nekoliko vekova kasnije, kada naučni svet ispunjeno kolosalnom količinom informacija, čovječanstvo je još uvijek identificiralo mnoge discipline. I dalje ostaju nepromijenjeni. Pa ipak, svake godine naučnici širom sveta pokušavaju da dokažu da je nauka neograničena, i nećete rešiti jednačinu ako nemate znanje o prirodnim naukama. Možda neće biti moguće tome konačno stati na kraj. Razmišljanje o ovome je besmisleno kao i zagrijavanje zraka napolju. Nađimo interval u kojem će argument, ako je njegova vrijednost pozitivna, odrediti modul vrijednosti u naglo rastućem smjeru. Reakcija će vam pomoći da pronađete najmanje tri rješenja, ali ćete ih morati provjeriti. Počnimo s činjenicom da trebamo riješiti jednadžbu na mreži koristeći jedinstvenu uslugu naše web stranice. Unesimo obje strane date jednadžbe, kliknemo na dugme “SOLVE” i dobićemo tačan odgovor u roku od samo nekoliko sekundi. IN posebnim slučajevima Uzmimo knjigu o matematici i još jednom provjerimo naš odgovor, naime, samo pogledaj odgovor i sve će postati jasno. Izletjet će isti projekt za umjetni redundantni paralelepiped. Postoji paralelogram sa svojim paralelnim stranama, i on objašnjava mnoge principe i pristupe proučavanju prostornog odnosa uzlaznog procesa akumulacije šupljeg prostora u formulama prirodnog oblika. Dvosmislene linearne jednadžbe pokazuju ovisnost željene varijable od naše zajedničke ovog trenutka vremensko rješenje i morate nekako izvesti i svesti nepravilan razlomak na netrivijalan slučaj. Označite deset tačaka na pravoj liniji i nacrtajte krivu kroz svaku tačku u datom pravcu, sa konveksnom tačkom nagore. Bez posebnih poteškoća, naš kalkulator jednačina će prikazati izraz u takvom obliku da će njegova provjera valjanosti pravila biti očigledna već na početku snimanja. Sistem specijalnih reprezentacija stabilnosti za matematičare je na prvom mestu, osim ako formulom nije drugačije predviđeno. Na ovo ćemo odgovoriti detaljnim prikazom izvještaja na temu izomorfnog stanja plastičnog sistema tijela i rješavanjem jednačina na mreži će opisati kretanje svake materijalne tačke u ovom sistemu. Na nivou dubinskog istraživanja biće potrebno detaljno razjasniti pitanje inverzija barem donjeg sloja prostora. Primjenjivat ćemo se u rastućem redoslijedu na dijelu diskontinuiteta funkcije opšta metoda odličan istraživač, inače, naš sunarodnik, a o ponašanju aviona ćemo u nastavku. Zbog jakih karakteristika analitički definisane funkcije, koristimo samo online kalkulator jednačina za njegovu namenu u okviru izvedenih granica ovlašćenja. Rezonirajući dalje, fokusiraćemo se na homogenost same jednačine, odnosno njena desna strana je jednaka nuli. Uvjerimo se još jednom da je naša odluka iz matematike ispravna. Da bismo izbegli dobijanje trivijalnog rešenja, izvršićemo određena prilagođavanja početnih uslova za problem uslovne stabilnosti sistema. Napravimo kvadratnu jednadžbu za koju ćemo ispisati dva unosa koristeći dobro poznatu formulu i pronaći negativne korijene. Ako je jedan korijen pet jedinica veći od drugog i trećeg korijena, onda mijenjanjem glavnog argumenta na taj način iskrivljujemo početne uvjete podzadatka. Po svojoj prirodi, nešto neobično u matematici se uvijek može opisati na najbližu stotinu pozitivnog broja. Kalkulator razlomaka je nekoliko puta bolji od svojih analoga na sličnim resursima u najboljem trenutku opterećenja servera. Na površini vektora brzine koji raste duž ordinatne ose, nacrtamo sedam linija, savijenih u smjerovima suprotnim jedna od druge. Promjerljivost dodijeljenog argumenta funkcije je ispred očitavanja brojača salda oporavka. U matematici ovu pojavu možemo predstaviti kroz kubnu jednačinu sa imaginarnim koeficijentima, kao i u bipolarnoj progresiji opadajućih linija. Kritične tačke Temperaturne razlike na mnogo načina opisuju proces razlaganja složene frakcijske funkcije na faktore. Ako vam se kaže da riješite jednačinu, nemojte žuriti da to učinite odmah, svakako prvo procijenite cijeli akcioni plan, pa tek onda prihvatite pravi pristup. Sigurno će biti koristi. Lakoća rada je očigledna, a isto važi i za matematiku. Riješite jednačinu na mreži. Sve online jednadžbe predstavljaju određenu vrstu zapisa brojeva ili parametara i varijable koju treba odrediti. Izračunajte baš ovu varijablu, odnosno pronađite određene vrijednosti ili intervale skupa vrijednosti na kojima će se zadržati identitet. Početni i konačni uslovi direktno zavise. IN zajednička odluka Jednačine obično uključuju neke varijable i konstante, postavljanjem kojih ćemo dobiti čitave porodice rješenja za dati iskaz problema. Općenito, to opravdava napore uložene u povećanje funkcionalnosti prostorne kocke sa stranom od 100 centimetara. Teoremu ili lemu možete primijeniti u bilo kojoj fazi konstruiranja odgovora. Stranica postupno proizvodi kalkulator jednadžbi, ako je potrebno, na bilo kojem intervalu zbrajanja proizvoda. najmanju vrijednost. U polovini slučajeva takva lopta, budući da je šuplja, više ne ispunjava uslove za postavljanje međuodgovora. Barem na ordinatnoj osi u smjeru opadajuće vektorske reprezentacije, ova proporcija će nesumnjivo biti optimalnija od prethodnog izraza. U času kada linearne funkcije biće izvršena kompletna tačkasta analiza, mi ćemo, zapravo, spojiti sve naše kompleksne brojeve i bipolarne planarne prostore. Zamjenom varijable u rezultirajući izraz, rješavat ćete jednačinu korak po korak i dati najdetaljniji odgovor s velikom preciznošću. Bilo bi dobro da učenik još jednom provjeri svoje postupke u matematici. Proporcija u omjeru frakcija bilježi integritet rezultata u svim važnim područjima aktivnosti nultog vektora. Trivijalnost se potvrđuje na kraju izvršenih radnji. Sa jednostavnim zadatkom, učenici možda neće imati poteškoća ako u najkraćem mogućem roku riješe jednadžbu online, ali ne zaboravite na sva različita pravila. Skup podskupova se siječe u području konvergentne notacije. IN različitim slučajevima proizvod nije pogrešno faktorizovan. Pomoći će vam da riješite jednačinu na mreži u našem prvom dijelu, posvećenom osnovama matematičke tehnike za važne sekcije za studente na univerzitetima i tehničkim fakultetima. Na odgovore nećemo morati čekati nekoliko dana, jer je proces najbolje interakcije vektorske analize sa sekvencijalnim pronalaženjem rješenja patentiran početkom prošlog stoljeća. Ispostavilo se da napori da se uspostavi odnos sa timom u okruženju nisu bili uzaludni, već je očito prvo bilo potrebno nešto drugo. Nekoliko generacija kasnije, naučnici širom svijeta su uvjerili ljude da je matematika kraljica nauka. Bilo da se radi o lijevom ili desnom odgovoru, svejedno, iscrpni pojmovi moraju biti napisani u tri reda, jer ćemo u našem slučaju svakako govoriti samo o vektorskoj analizi svojstava matrice. Nelinearne i linearne jednadžbe, uz bikvadratne jednadžbe, zauzimaju posebno mjesto u našoj knjizi o najbolje prakse izračunavanje putanje kretanja u prostoru svih materijalne tačke zatvoreni sistem. Linearna analiza skalarnog proizvoda tri uzastopna vektora pomoći će nam da ideju oživimo. Na kraju svake naredbe, zadatak je olakšan implementacijom optimiziranih numeričkih izuzetaka preko preklapanja brojevnog prostora koji se izvode. Drugačiji sud neće suprotstaviti pronađeni odgovor u proizvoljnom obliku trougla u krugu. Ugao između dva vektora sadrži potreban postotak margine i rješavanje jednadžbi na mreži često otkriva određeni zajednički korijen jednačine za razliku od početnih uslova. Izuzetak igra ulogu katalizatora u cijelom neizbježnom procesu pronalaženja pozitivnog rješenja na polju definiranja funkcije. Ako nije rečeno da ne možete koristiti računar, onda je online kalkulator jednadžbi baš pravi za vaše teške probleme. Vi samo trebate unijeti svoje uslovne podatke u ispravnom formatu i naš server će u najkraćem mogućem roku dati potpuni rezultat. Eksponencijalna funkcija raste mnogo brže od linearne. O tome svjedoče Talmudi pametne bibliotečke literature. Izvršiće proračun u opštem smislu kao što bi radila data kvadratna jednačina sa tri kompleksna koeficijenta. Parabola u gornjem dijelu poluravnine karakterizira pravolinijsko paralelno kretanje duž osi tačke. Ovdje je vrijedno spomenuti potencijalnu razliku u radnom prostoru tijela. U zamjenu za suboptimalan rezultat, naš kalkulator razlomaka s pravom zauzima prvo mjesto u matematičkoj ocjeni pregleda funkcionalnih programa na strani servera. Lakoću korišćenja ove usluge će ceniti milioni korisnika interneta. Ako ne znate kako da ga koristite, rado ćemo vam pomoći. Također bismo posebno istakli i istakli kubnu jednačinu iz niza osnovnoškolskih zadataka, kada je potrebno brzo pronaći njene korijene i konstruirati graf funkcije na ravni. Viši stepeni reprodukcija je jedna od najtežih matematički problemi na institutu i za njegovo izučavanje se izdvaja dovoljan broj sati. Kao i sve linearne jednadžbe, ni naše nisu izuzetak po mnogim objektivnim pravilima; gledajte iz različitih gledišta, a ispostavilo se da je jednostavno i dovoljno za postavljanje početnih uslova. Interval porasta se poklapa sa intervalom konveksnosti funkcije. Rješavanje jednadžbi na mreži. Proučavanje teorije je bazirano na onlajn jednadžbi iz brojnih sekcija o proučavanju glavne discipline. U slučaju ovakvog pristupa u neizvjesnim problemima, vrlo je jednostavno predstaviti rješenje jednačina u unaprijed određenom obliku i ne samo izvući zaključke, već i predvidjeti ishod takvog pozitivnog rješenja. Usluga u najboljoj tradiciji matematike pomoći će nam da naučimo predmetnu oblast, baš kao što je to uobičajeno na Istoku. U najboljim trenucima vremenskog intervala, slični zadaci su pomnoženi zajedničkim faktorom deset. Obilje množenja višestrukih varijabli u kalkulatoru jednačina počelo je da se množi kvalitetom, a ne kvantitativnim varijablama kao što su masa ili tjelesna težina. Kako bismo izbjegli slučajeve neravnoteže materijalnog sistema, izvođenje trodimenzionalnog transformatora na trivijalnoj konvergenciji nedegeneriranih matematičkih matrica nam je sasvim očigledno. Dovršite zadatak i riješite jednačinu u datim koordinatama, jer je zaključak unaprijed nepoznat, kao i sve varijable uključene u postprostor vrijeme. On kratkoročno pomjerite zajednički faktor izvan zagrada i unaprijed podijelite obje strane najvećim zajedničkim faktorom. Ispod rezultirajućeg pokrivenog podskupa brojeva izvucite na detaljan način trideset tri tačke zaredom u kratkom periodu. Do te mjere da na najbolji mogući način Rješavanje jednadžbe putem interneta moguće je za svakog učenika. Gledajući unaprijed, recimo jednu bitnu ali ključnu stvar bez koje će se teško živjeti u budućnosti. U prošlom veku, veliki naučnik je uočio niz obrazaca u teoriji matematike. U praksi, rezultat nije bio sasvim očekivani utisak o događajima. Međutim, u principu, upravo ovo rješenje jednačina na mreži pomaže u poboljšanju razumijevanja i percepcije holističkog pristupa proučavanju i praktičnoj konsolidaciji teorijskog materijala koji studenti obrađuju. Mnogo je lakše to učiniti tokom studiranja.

=

Instrukcije

Metoda zamjene Izrazite jednu varijablu i zamijenite je drugom jednačinom. Možete izraziti bilo koju varijablu po svom nahođenju. Na primjer, izrazite y iz druge jednačine:
x-y=2 => y=x-2 Zatim sve zamijenite u prvu jednačinu:
2x+(x-2)=10 Premjestite sve bez “x” na desnu stranu i izračunajte:
2x+x=10+2
3x=12 Zatim, da dobijete x, podijelite obje strane jednadžbe sa 3:
x=4 Dakle, pronašli ste “x. Pronađite "y. Da biste to učinili, zamijenite "x" u jednačinu iz koje ste izrazili "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.

Proveri. Da biste to učinili, zamijenite rezultirajuće vrijednosti u jednadžbe:
2*4+2=10
4-2=2
Nepoznate su tačno pronađene!

Način sabiranja ili oduzimanja jednačina Odmah se riješite bilo koje varijable. U našem slučaju, to je lakše uraditi sa „y.
Pošto se u "y" nalazi znak "+", a u drugom "-", onda možete izvršiti operaciju sabiranja, tj. preklopite lijevu stranu lijevom, a desnu desnom:
2x+y+(x-y)=10+2Pretvori:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Zamijenite “x” u bilo koju jednačinu i pronađite “y”:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Prvom metodom možete vidjeti da su pronađeni ispravno.

Ako nema jasno definisanih varijabli, onda je potrebno malo transformisati jednačine.
U prvoj jednačini imamo “2x”, au drugoj jednostavno “x”. Da bi se x smanjio tokom sabiranja, pomnožite drugu jednačinu sa 2:
x-y=2
2x-2y=4 Zatim oduzmite drugu od prve jednačine:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Imajte na umu da ako postoji minus ispred zagrade, onda ga nakon otvaranja promijenite u suprotno:
2x+y-2x+2y=6
3u=6
naći y=2x izražavanjem iz bilo koje jednačine, tj.
x=4

Video na temu

Savjet 2: Kako riješiti linearnu jednačinu u dvije varijable

Jednačina, napisan u opštem obliku ax+bu+c=0, naziva se linearna jednačina sa dva varijable. Takva jednačina sama po sebi sadrži beskonačan broj rješenja, pa se u zadacima uvijek dopunjava nečim - drugom jednačinom ili graničnim uvjetima. U zavisnosti od uslova koje daje zadatak, rešiti linearnu jednačinu sa dva varijable trebalo bi Različiti putevi.

Trebaće ti

• - linearna jednačina sa dvije varijable;
• - druga jednačina ili dodatni uslovi.

Instrukcije

Dat sistem od dvije linearne jednačine, riješite ga na sljedeći način. Odaberite jednu od jednačina u kojima su koeficijenti varijable manji i izraziti jednu od varijabli, na primjer, x. Zatim ovu vrijednost koja sadrži y zamijenite drugom jednačinom. U rezultirajućoj jednačini postojat će samo jedna varijabla y, pomjeriti sve dijelove sa y na lijevu stranu, a slobodne na desnu. Nađite y i zamijenite bilo koju od originalnih jednačina da biste pronašli x.

Postoji još jedan način da se reši sistem od dve jednačine. Pomnožite jednu od jednadžbi brojem tako da koeficijent jedne od varijabli, kao što je x, bude isti u obje jednačine. Zatim oduzmite jednu od jednadžbi od druge (ako desna strana nije jednaka 0, ne zaboravite da oduzmete desnu stranu na isti način). Vidjet ćete da je varijabla x nestala i da je ostala samo jedna varijabla y. Riješite rezultirajuću jednačinu i zamijenite pronađenu vrijednost y u bilo koju od originalnih jednakosti. Pronađite x.

Treći način rješavanja sistema od dvije linearne jednačine je grafički. Nacrtajte koordinatni sistem i nacrtajte dvije prave linije čije su jednačine date u vašem sistemu. Da biste to učinili, zamijenite bilo koje dvije vrijednosti x u jednadžbu i pronađite odgovarajući y - to će biti koordinate tačaka koje pripadaju pravoj. Najprikladniji način da pronađete sjecište s koordinatnim osa je jednostavno zamijeniti vrijednosti x=0 i y=0. Koordinate tačke preseka ove dve linije biće zadaci.

Ako postoji samo jedna linearna jednačina u uslovima problema, onda su vam dati dodatni uslovi kroz koje možete pronaći rješenje. Pažljivo pročitajte problem da pronađete ove uslove. Ako varijable x i y označavaju udaljenost, brzinu, težinu - slobodno postavite granicu x≥0 i y≥0. Sasvim je moguće da x ili y skrivaju broj jabuka itd. – tada vrijednosti mogu biti samo . Ako je x godina sina, jasno je da on ne može biti stariji od oca, pa to navedite u uslovima zadatka.

Izvori:

• kako riješiti jednačinu sa jednom promjenljivom

Samo po sebi jednačina sa tri nepoznato ima mnogo rješenja, pa se najčešće dopunjava sa još dvije jednadžbe ili uvjeta. Ovisno o tome koji su početni podaci, uvelike će zavisiti i tok odluke.

Trebaće ti

• - sistem od tri jednačine sa tri nepoznate.

Instrukcije

Ako dva od tri sistema imaju samo dvije od tri nepoznate, pokušajte izraziti neke varijable u terminima ostalih i zamijeniti ih u jednačina sa tri nepoznato. Vaš cilj u ovom slučaju je da ga pretvorite u normalu jednačina sa nepoznatom osobom. Ako je ovo , dalje rješenje je prilično jednostavno - zamijenite pronađenu vrijednost u druge jednadžbe i pronađite sve ostale nepoznanice.

Neki sistemi jednačina mogu se oduzeti od jedne jednačine drugom. Pogledajte da li je moguće pomnožiti jednu od ili varijablu tako da se dvije nepoznate ponište odjednom. Ako postoji takva prilika, iskoristite je; najvjerovatnije, naknadno rješenje neće biti teško. Zapamtite da kada množite brojem, morate pomnožiti i lijevu i desnu stranu. Isto tako, kada oduzimate jednačine, morate zapamtiti da se desna strana također mora oduzeti.

Ako prethodne metode nisu pomogle, koristite na opšti način rješenja bilo koje jednačine sa tri nepoznato. Da biste to učinili, prepišite jednačine u obliku a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Sada kreirajte matricu koeficijenata za x (A), matricu nepoznanica (X) i matricu slobodnih (B). Imajte na umu da množenjem matrice koeficijenata sa matricom nepoznatih, dobit ćete matricu slobodnih termina, odnosno A*X=B.

Pronađite matricu A na stepen (-1) tako što ćete prvo pronaći , imajte na umu da ona ne bi trebala biti jednaka nuli. Nakon toga, pomnožite rezultirajuću matricu sa matricom B, kao rezultat ćete dobiti željenu matricu X, koja označava sve vrijednosti.

Također možete pronaći rješenje za sistem od tri jednačine koristeći Cramerovu metodu. Da biste to učinili, pronađite determinantu trećeg reda ∆ koja odgovara sistemskoj matrici. Zatim sukcesivno pronađite još tri determinante ∆1, ∆2 i ∆3, zamjenjujući vrijednosti slobodnih pojmova umjesto vrijednosti odgovarajućih stupaca. Sada pronađite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Izvori:

• rješenja jednadžbi sa tri nepoznanice

Rješavanje sistema jednačina je izazovno i uzbudljivo. Kako složeniji sistem, interesantnije je to riješiti. Najčešće u matematici srednja škola Postoje sistemi jednačina sa dvije nepoznate, ali u višoj matematici može biti više varijabli. Sistemi se mogu riješiti korištenjem nekoliko metoda.

Instrukcije

Najčešća metoda za rješavanje sistema jednačina je supstitucija. Da biste to učinili, trebate izraziti jednu varijablu u terminima druge i zamijeniti je drugom jednačina sistema, čime se vodi jednačina na jednu varijablu. Na primjer, date su sljedeće jednačine: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Iz drugog izraza zgodno je izraziti jednu od varijabli, pomjerajući sve ostalo na desnu stranu izraza, ne zaboravljajući promijeniti predznak koeficijenta: x = 3-y.

Otvorite zagrade: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Rezultirajuću vrijednost y zamjenjujemo u izraz: x=3-y;x=3-1;x=2 .

U prvom izrazu, svi članovi su 2, možete uzeti 2 iz zagrade na distributivno svojstvo množenja: 2*(2x-y-3)=0. Sada se oba dijela izraza mogu smanjiti za ovaj broj, a zatim izraziti kao y, pošto je koeficijent modula za njega jednak jedan: -y = 3-2x ili y = 2x-3.

Kao iu prvom slučaju, ovaj izraz zamjenjujemo drugim jednačina i dobijamo: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Rezultirajuću vrijednost zamijenimo u izraz: y=2x -3;y=4-3=1.

Vidimo da je koeficijent za y isti po vrijednosti, ali različit po predznaku, stoga, ako dodamo ove jednačine, potpuno ćemo se riješiti y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 7x- 14=0;x=2.Zamijenite vrijednost x u bilo koju od dvije jednačine sistema i dobijete y=1.

Video na temu

Biquadratic jednačina predstavlja jednačinačetvrti stepen, opšti oblik koji je predstavljen izrazom ax^4 + bx^2 + c = 0. Njegovo rješenje se zasniva na korištenju metode zamjene nepoznatih. IN u ovom slučaju x^2 je zamijenjen drugom varijablom. Dakle, rezultat je običan kvadrat jednačina, što treba riješiti.

Instrukcije

Riješite kvadrat jednačina, koji je rezultat zamjene. Da biste to učinili, prvo izračunajte vrijednost u skladu sa formulom: D = b^2? 4ac. U ovom slučaju, varijable a, b, c su koeficijenti naše jednačine.

Pronađite korijene bikvadratne jednadžbe. Da biste to učinili, uzmite kvadratni korijen dobivenih rješenja. Ako je bilo jedno rješenje, onda će biti dva - pozitivna i negativna vrijednost kvadratnog korijena. Ako postoje dva rješenja, bikvadratna jednačina će imati četiri korijena.

Video na temu

Jedna od klasičnih metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina je Gaussova metoda. Sastoji se u sekvencijalnoj eliminaciji varijabli kada se koristi sistem jednačina jednostavne transformacije se prevodi u postupni sistem, iz kojeg se sve varijable nalaze sekvencijalno, počevši od posljednje.

Instrukcije

Prvo, dovedite sistem jednačina u oblik u kojem su sve nepoznanice u strogo definisanom redosledu. Na primjer, svi nepoznati X će se pojaviti prvi u svakoj liniji, svi Y će doći nakon X, svi Z će doći nakon Y, itd. Na desnoj strani svake jednačine ne bi trebalo biti nepoznanica. Mentalno odredite koeficijente ispred svake nepoznate, kao i koeficijente na desnoj strani svake jednačine.