Recimo, Ahil trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči ovu udaljenost, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača puzi još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti do beskonačnosti, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.
Ovo razmišljanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju do danas; naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao opšteprihvaćeno rešenje problema..."[Vikipedija, "Zenonova aporija". Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu se sastoji obmana.
Sa matematičke tačke gledišta, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa kvantiteta na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto stalnih. Koliko sam shvatio, matematički aparat za korištenje varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročnu vrijednost. Sa fizičke tačke gledišta, ovo izgleda kao da se vrijeme usporava dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može pobjeći od kornjače.
Ako okrenemo svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskonačno brzo sustići kornjaču“.
Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:
Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahil osam stotina koraka ispred kornjače.
Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali nije kompletno rješenje Problemi. Ajnštajnova izjava o neodoljivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji „Ahilej i kornjača“. Ostaje nam da proučimo, preispitamo i riješimo ovaj problem. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.
Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:
Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.
U ovoj aporiji logički paradoks je prevaziđen vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama u prostoru, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili da li se automobil kreće, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono što želim da istaknem Posebna pažnja, je da su dvije tačke u vremenu i dvije tačke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Srijeda, 04.07.2018
Razlike između skupa i multiseta su vrlo dobro opisane na Wikipediji. da vidimo.
Kao što vidite, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće razumjeti takvu apsurdnu logiku. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, koji nemaju inteligenciju od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.
Nekada su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta dok su testirali most. Ako se most sruši, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.
Bez obzira na to koliko se matematičari kriju iza fraze „pamet, ja sam u kući“, odnosno „matematika proučava apstraktne pojmove“, postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.
Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na kasi i izdajemo plate. Dakle, matematičar dolazi kod nas po svoj novac. Odbrojavamo mu cijeli iznos i slažemo ga na našem stolu u različite hrpe, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake gomile i dajemo matematičaru njegov „matematički skup plaće“. Objasnimo matematičaru da će preostale račune dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.
Prije svega, funkcionirat će logika poslanika: „Ovo se može primijeniti na druge, ali ne i na mene!“ Tada će nas početi uvjeravati da novčanice istog apoena imaju različite brojeve novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, računajmo plate u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi mahnito prisjećati fizike: postoji na različitim novčićima različite količine prljavština, kristalna struktura i atomski raspored svakog novčića je jedinstven...
I sada imam najzanimljivije pitanje: gdje je linija iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovdje nije ni blizu da leži.
Pogledati ovdje. Odabiremo fudbalske stadione sa istom površinom terena. Površine polja su iste - što znači da imamo višestruki skup. Ali ako pogledamo imena tih istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup. Šta je tačno? I ovdje matematičar-šaman-oštrica izvlači keca aduta iz rukava i počinje nam pričati ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.
Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazaću vam, bez ikakvog "zamislivog kao nijedna celina" ili "nezamislivog kao jedinstvene celine".
Nedjelja, 18.03.2018
Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i da ga koristimo, ali zato su oni šamani, da svoje potomke uče svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.
Treba li vam dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj cifara broja." Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula koja se može koristiti za pronalaženje zbira cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a na jeziku matematike zadatak zvuči ovako: „Pronađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj. Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu lako.
Hajde da shvatimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir cifara datog broja. I tako, neka nam je broj 12345. Šta treba uraditi da bi se našao zbir cifara ovog broja? Razmotrimo redom sve korake.
1. Zapišite broj na komad papira. Šta smo uradili? Broj smo pretvorili u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.
2. Jednu rezultirajuću sliku izrežemo na nekoliko slika koje sadrže pojedinačne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.
3. Pretvorite pojedinačne grafičke simbole u brojeve. Ovo nije matematička operacija.
4. Dodajte dobijene brojeve. Ovo je sada matematika.
Zbir cifara broja 12345 je 15. Ovo su „tečajevi krojenja i šivanja“ koje podučavaju šamani koje koriste matematičari. Ali to nije sve.
Sa matematičke tačke gledišta, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, unutra različiti sistemi U računanju, zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. Sa velikim brojem 12345, ne želim da se zavaravam, razmislimo o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak posmatrati pod mikroskopom; to smo već uradili. Pogledajmo rezultat.
Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je isto kao da odredite površinu pravokutnika u metrima i centimetrima, dobili biste potpuno drugačije rezultate.
Nula izgleda isto u svim brojevnim sistemima i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da. Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava nešto što nije broj? Šta, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Mogu to dozvoliti za šamane, ali ne i za naučnike. Realnost nije samo u brojevima.
Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice za brojeve. Uostalom, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje sa različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različiti rezultati nakon što ih uporedimo, to znači da nema nikakve veze sa matematikom.
Šta je prava matematika? Tada je rezultat matematička operacija ne zavisi od veličine broja, merne jedinice koja se koristi i ko izvodi radnju.
Oh! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorija za proučavanje nedefilske svetosti duša tokom njihovog uspona na nebo! Halo na vrhu i strelica gore. Koji drugi toalet?
Žensko... Oreol na vrhu i strelica dole su muški.
Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,
Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:
Lično se trudim da vidim minus četiri stepena kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepeni). I ne mislim da je ova devojka budala koja ne zna fiziku. Ona samo ima jak stereotip o percepciji grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.
1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom zapisu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.
Uvijek će postojati učenici koji imaju problema s pamćenjem tabličnih vrijednosti trigonometrijske funkcije. Sva djeca su različita. Neki ljudi dobro pamte logički izgrađen sistem znanja. Drugi se oslanjaju na vizuelne slike.
U prvom slučaju, mnemonička metoda pamćenja vrijednosti trigonometrijskih funkcija dobro funkcionira. Lako je uočiti obrazac: brojioci sinusa su korijeni uzastopnih cijelih brojeva od nula do četiri, a nazivnik je uvijek broj 2. Za kosinuse, vrijednosti se pišu obrnutim redoslijedom.
Od brojeva 0, 1, 4 Kvadratni korijen se lako mogu izdvojiti i dobijamo racionalne brojeve.
Slika brojevnog kruga pomaže učenicima u razvoju vizuelne memorije. Da bismo lakše zapamtili da se vrijednosti sin α nalaze na osi Oy, a vrijednosti cos α na osi Ox, koristimo asocijativnu tehniku. Učenici smišljaju nagovještaj – neku riječ koja će im omogućiti da „povežu“ kosinuse sa osom Ox, a sinuse sa osom Oy. Na primjer, riječ "pletenica" vam omogućava da kombinujete pletenica inus i osovina A bscissa.
Pojašnjavamo pozitivan smjer - suprotno od kazaljke na satu i negativan smjer - u smjeru kazaljke na satu).
Učenici treba da znaju gdje se nalaze uglovi na jediničnom krugu za koje nalazimo vrijednosti sinusa i kosinusa.
Na osi Ox nalazimo tačku preseka jedinične kružnice i Ox ose - početnu tačku. U krivolinijskom koordinatnom sistemu, ova tačka odgovara uglu od 0 radijana (0 0). U pravougaonom koordinatnom sistemu nalazimo vrednosti sin0= 0 i cos0= 1.
Da bismo pronašli tačku na kružnici koja odgovara uglu π /3 (60 0), na osi Ox nalazimo tačku sa apscisom ½ i povlačimo pravu liniju okomitu na osu Ox. Ova prava linija seče kružnicu u tačkama koje odgovaraju uglovima π /3 i - π /3.
Da bismo pronašli tačku na kružnici koja odgovara uglu π /6 (30 0), na osi Oy nalazimo tačku sa ordinatom ½ i povlačimo pravu liniju okomitu na osu Oy. Ova prava linija seče kružnicu u tačkama koje odgovaraju uglovima π /6 (30 0) i 5π /6 (150 0).
Da biste pronašli tačku na kružnici koja odgovara uglu π /4 (45 0), nacrtajte simetralu I koordinatnog ugla.
Gledajući jediničnu kružnicu, lako je uočiti da tačke simetrične oko ose Ox imaju istu apscisu i suprotnu ordinatu. Dakle, sinusi suprotnih uglova su suprotni, a kosinusi ovih uglova jednaki.
Tačke koje su simetrične oko ose Oy imaju iste ordinate i suprotne apscise. Dakle, kosinusi ovih uglova su suprotni, a sinusi jednaki. Drugim riječima:
- sinusi uglova su jednaki ako je zbir uglova 180 0;
- Kosinusi uglova su suprotni ako je zbir uglova 180 0.
Tačke koje su simetrične u odnosu na ishodište imaju suprotne koordinate. Dakle, uglovi koji se nalaze dijametralno suprotno na kružnici imaju suprotne vrijednosti sinusa i kosinusa.
Također vidimo da su sinusi i kosinusi oštrih uglova jednaki ako je zbir uglova 90 0.
Uzimajući u obzir ove karakteristike, takođe konsolidujemo znanja o temama “Formule redukcije” i “Paritet funkcije”.
Vrijednosti tangenta i kotangensa uglova pronalazimo koristeći tabelarne podatke koristeći formule tgα = sinα / cosα, stgα = cosα / sinα.
Korisno je zapamtiti lokacije osi tangenta i kotangensa za pronalaženje vrijednosti tangenta i kotangensa uglova, rješenja trigonometrijske jednačine i nejednakosti.
Ove tehnike pomažu mojim učenicima da se lako prisjete ili pronađu tablične vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Nadam se da će pomoći i ostalim studentima.
Sjajno - jednostavno!
Da bismo zapamtili vrijednosti sinusa i kosinusa, moramo kreirati tablicu. Zapisujemo stepene mjere uglova na pravoj: nula stepeni, trideset stepeni, četrdeset pet stepeni, šezdeset stepeni, devedeset stepeni.
Korak 2
Korak 3
Sada svaki od ovih korijena dijelimo sa dva. Sve genijalno je jednostavno! Izvodimo jednostavan proračun, a ovdje imate vrijednosti sinusa.
Slažem se, nije teško. Samo trebate zapamtiti redoslijed radnji. Zabilježili smo stepene, izvukli korijene i sljedeći korak je bio da sve podijelimo na dva. Zapisujemo brojeve počevši od nule.
Odnosno, neka vrsta mnemonike.
Korak 4
Šta je sa kosinusima? Pa, gdje bismo bili bez njih! Sa kosinusima situacija nije ništa komplikovanija nego sa sinusima. U prvom redu zapisujemo stepensku meru uglova: nula stepeni, trideset stepeni, četrdeset pet stepeni, šezdeset stepeni, devedeset stepeni. Zatim, slično metodi pronalaženja sinusa, izvlačimo korijen iz svakog broja. Podijelite sve vrijednosti sa dva. Dobili smo vrijednosti kosinusa.
Korak 5
Takođe sada, sa ovim podacima, možete pronaći tangentu ugla. Podsjećam one koji su zaboravili: tangenta je omjer sinusa i kosinusa.
- slažem se, zanimljiv način pronalaženje sinusa i kosinusa. Nadam se da će biti od koristi!) Zanimljiva mnemotehnika. Usput, postoji Različiti putevi pamćenje informacija, formula, posebno u fizici. Razveselio se): V= korijen od 3 KT/M. Ova formula se pamti kao tri mačke za meso xD)
Pamćenje tablice vrijednosti trigonometrijskih funkcija je vruća tema ne samo za srednjoškolce, već i za same nastavnike i nastavnike matematike, koji često ne mogu ispravno naglasiti karakteristike tablice i time uvesti dodatne prepreke u njeno korištenje. Toliko sam toga vidio u studentskim sveskama tokom godina moje prakse. Čini se da ni sami nastavnici i tutori ne znaju kako da postupe. Neko nudi odvojene tabele za direktne i odvojene za inverzne trigonometrijske funkcije. Neko predlaže trigonometar, zapise sa nezgodnim prikazom vrednosti funkcije same sebe i koristi, na primer, umesto broja koji je van opsega opšte pravilo. Prema mojim statistikama, otprilike djeca ne mogu samostalno pratiti obrasce matematičkih formula i svojstava koja pojednostavljuju pamćenje. Nastavnici u školi ne obraćaju uvijek pažnju na njih, a često je nastavnik matematike taj koji djetetu otvara oči za očigledno.
Šta treba da radi nastavnik matematike?
Na čas šaljem određenog asistenta - navigatora, koji učeniku olakšava pamćenje informacija važnih za praktično rješavanje problema. Prateći savjeti su osmišljeni u teorijskim varalicama, u kojima:
- Najšira moguća pokrivenost informacija je osigurana minimalnim obimom zapisa.
- informacije se mogu dobiti korišćenjem određenih identifikovanih karakteristika i obrazaca u ponašanju brojeva
Kako se ovaj princip može primijeniti na pamćenje tablice vrijednosti?
1) Nastavnik matematike treba da napravi neku vrstu obilaska stola i govori o njegovim karakteristikama. Važno je napomenuti da je za pretvaranje uglova iz stepeni u radijane dovoljno zapamtiti koji bi trebao biti imenilac ovih radijana. ovo, i ovo. Ako asocijativno pamćenje djeteta barem malo radi, onda će se sjetiti da "radijanski nazivnici" sadrže samo brojeve i 6. Oni su na mjestu desetica koje im odgovaraju stepen mjere. Samo tri odgovara šest, šest do tri, a četiri (srednja cifra) je sačuvana pri prelasku na. Kažem ovo - tri se menja u šesticu, šest u tri, a četiri se zamrzava i ostaje prva cifra stepena mere ugla.
Kada prevodite, to možete vidjeti dati ugao 5 puta više od . Zatim, množenjem radijana za sa 5, dobijamo .
Najbolje je ne gledati u tablicu vrijednosti sinusa i kosinusa za glavne uglove, već zapamtiti definiciju za njihove funkcije pomoću trigonometrijskog kruga.
Moduli vrijednosti funkcija velikih kutova su simetrični vrijednostima za uglove do . Samo treba uzeti u obzir negativni znaci kosinus, tangent i kotangens u drugoj četvrtini.
Nastavnik matematike treba da nauči glavni dio tabele sa učenikom. I ovdje ima prekrasnih šara. Ako je nastavnik dao učeniku brojeve za trigonometrijsku tablicu, onda možete vidjeti da ako je predstavimo u obliku, dobićemo jedinstvenu strukturu razlomaka i brojeva i morat ćemo ih zapamtiti. U ovom trenutku, učeniku će to jednostavno biti smiješno i pitati se zašto nije ranije vidio takve obrasce.
Sve što treba da uradite je da zapamtite redosled. Pošto se sinus u prvoj četvrtini povećava, onda veći ugao odgovara veći broj ispod korena. Ja kažem ovo: pod većim uglom - veći sinus. Ponavljam mnogo puta slabijim učenicima: sinus radi u direktnom redu: veći je veći, a manji je manji. Ovo ponavljanje riječi po pravilu se taloži u njegovoj glavi.
Lako razumeti. da je kod kosinusa obrnuto: manji ugao dobija veći kosinus. Ista stvar se otkriva za tangente i kotangense.
U tabeli tangentnih vrednosti, nastavnik matematike treba da zapiše brojeve bez vanbroja, i to: , i . Zatim pored podudaranja na manje - manje, A više više tangente će biti formirane od svih različitih kombinacija dijeljenih brojeva: 1 i . Nakon ovakvih analogija, 90-95 posto učenika nastavnika matematike ne griješi u vrijednostima u tabeli.
Računanje arksinusa, arkkosinusa, arktangensa...
1. riječ arcsin se teško i dugo izgovara. U nekim situacijama namjerno progutam riječ "sinus" i kažem, na primjer, ovo: pronaći arh, obavezno... Učenici razumiju o čemu se radi mi pričamo o tome, a nastavnik matematike se može fokusirati na nešto važnije.
2. U tabeli koju vidite ispod, područje je posebno istaknuto crvenom bojom. Koristi se za pronalaženje lukovi.
Ovaj članak sadrži tablice sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Prvo ćemo dati tablicu osnovnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija, odnosno tablicu sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa uglova od 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stepeni ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radijan). Nakon toga ćemo dati tablicu sinusa i kosinusa, kao i tablicu tangenta i kotangensa V. M. Bradisa i pokazati kako koristiti ove tablice pri pronalaženju vrijednosti trigonometrijskih funkcija.
Navigacija po stranici.
Tabela sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za uglove od 0, 30, 45, 60, 90, ... stepeni
Bibliografija.
- algebra: Udžbenik za 9. razred. avg. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Obrazovanje, 1990. - 272 str.: ilustr. - ISBN 5-09-002727-7
- Bašmakov M. I. Algebra i počeci analize: Udžbenik. za 10-11 razred. avg. škola - 3. izd. - M.: Prosveta, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 razred. opšte obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. izd. - M.: Obrazovanje, 2004. - 384 str.: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.
- Bradis V. M.Četverocifrene matematičke tabele: Za opšte obrazovanje. udžbenik ustanove. - 2nd ed. - M.: Drfa, 1999.- 96 str.: ilustr. ISBN 5-7107-2667-2