Ratovi i krv. Čini se da u ovom trenutku ne može biti govora ni o kakvoj nauci. Pa ipak, dva najvećim otkrićima dolaze nam iz ove ere - arapski brojevi i Fibonačijev niz. Bilo je, naravno, i drugih naučnim otkrićima, ali sada nećemo o njima.
Ostavljajući po strani istoriju arapskih brojeva, pogledajmo pobliže Fibonačijev niz – šta je to i zašto je toliko poznat. U stvari, Fibonačijev niz je niz brojeva u kojem je najviši član niza jednak zbiru dva najbliža niža člana niza. Kao rezultat ovih radnji dobit ćete sljedeće brojeve:
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21 itd.
Oni se zovu i zajedno čine Fibonačijev niz. Ali poenta nije čak ni u samim brojevima, već u odnosima među njima. Dakle, omjer broja u nizu i prethodnog člana niza rezultira vrijednošću blizu 1,618. I što su veći brojevi koji se koriste za ovaj omjer, to se ta vrijednost promatra tačnije.
Drugima, ništa manje zanimljiva činjenica, koji ima Fibonačijev niz, je omjer prethodnog člana prema sljedećem. Ovaj odnos se približava 0,618 i recipročan je od 1,618.
Ako uzmemo omjer drugih brojeva iz Fibonačijevog niza, ne najbližih, već, na primjer, kroz jedan ili kroz dva, tada će rezultat biti različite vrijednosti: za članove niza koji se provlače kroz jedan, broj će biti teži ka 2.618. Prilikom izračunavanja odnosa starijeg i mlađeg termina kroz dva člana niza, rezultat će težiti 4,236. Ako uzmemo u obzir, koristeći isti princip, odnos mlađih članova niza prema starijim (preko jednog ili dva člana), tada će se dobiti inverzne vrijednosti već dobijenih brojeva: 0,382 (recipročna vrijednost od broja 2.618), sledeće - 0.236 (recipročna vrednost 4.236) i tako dalje.
Na prvi pogled, sve su to samo radoznale informacije, igra brojeva koja nema praktičnu primjenu. Međutim, to uopće nije istina. U tehnologiji, umjetnosti i arhitekturi postoji koncept zlatnog omjera. To je odnos između dijelova objekta koji stvara najharmoničniju percepciju objekta kao cjeline. Vrlo često umjetnici i arhitekti koriste zlatni rez kako bi postigli utisak harmonije sa svojih slika i zgrada. Fotografi preporučuju korištenje istog omjera prilikom komponiranja kadra. Jedno od pravila je: primiti lijepa fotografija podijelite okvir na tri dijela i postavite centar kompozicije na sjecište vertikalnih i horizontalne linije, koji čini 2/3 horizontalnog i vertikalnog okvira. A je jedan od Fibonačijevih omjera - 1,618. Upravo će taj odnos dijelova i cjeline osigurati najharmoničniju percepciju. Dakle, Fibonačijev niz služi ne samo kao igra uma, već je i bukvalno temelj na kojem stoji harmonija i ljepota percepcije okolnog svijeta.
Fibonačijevi omjeri vrijede iu živoj prirodi. Mogu se odnositi na različita područja. Dakle, školjka puževa, koja ima oblik spirale, takođe poštuje Fibonačijeve omjere. Rast biljaka, broj grana, listova i njihova lokacija često su takođe raspoređeni u skladu sa Fibonačijevim brojevima i koeficijentima.
Pa, najpoznatija upotreba Fibonačijevih brojeva je u trgovanju na finansijskim tržištima. U praksi trgovaca koriste se i brojevi koji čine Fibonačijev niz i Fibonačijevi omjeri. Ovi koeficijenti se koriste za planiranje značajnih nivoa na kojima se mogu očekivati promjene u ponašanju cijena.
Pored direktnog Fibonačija, postoji mnogo drugih metoda trgovanja kreiranih pomoću njih. To uključuje Fibonačijeve linije, Fibonačijeve zone, Fibonačijeve projekcije itd. Ovo pomaže trgovcima da predvide ponašanje na tržištu i da se unapred pripreme moguće promjene ponašanje cijena i planirajte svoje trgovanje.
Sve navedeno ne pokriva sve manifestacije uticaja brojeva i Fibonačijevog niza u nauci, tehnologiji i umetnosti, ali daje ideju šta je to - Fibonačijev niz.
Fibonači Leonardo iz Pize (lat. Leonardo Pisano, Piza, oko 1170 - oko 1250) je prvi veliki matematičar srednjovjekovne Evrope. Poznatiji po nadimku Fibonači, što u prevodu sa italijanskog znači “ dobar sine rođen" (Figlio Buono Nato Ci).
Malo se zna o postojanju Fibonačija. Čak ni tačan datum njegovog rođenja nije poznat. Vjeruje se da je Fibonacci rođen 1170
Leonardo Fibonači je bio poznati italijanski matematičar, bio je poznat po svojoj sposobnosti da računa. Jednog dana mu je sinulo i otkrio je jednostavan niz brojeva, među kojima su odnosi opisivali prirodne proporcije svih tijela u svemiru!
Leonardo Fibonači je bio izuzetan srednjovekovni matematičar. Plodovi njegovog matematičkog rada koriste se u mnogim naukama, umjetnostima i Svakodnevni život do ovog dana.
Zasluga Leonarda Fibonaccija je niz Fibonačijevih brojeva. Vjeruje se da je ova serija bila poznata na istoku, ali je Leonardo Fibonacci objavio ovu seriju brojeva u knjizi “Liber Abaci” (to je učinio kako bi demonstrirao reprodukciju populacije zečeva).
Elliott je pisao: "Zakon prirode uključuje u razmatranje najvažniji element - ritam. Zakon prirode nije određeni sistem, nije metoda igranja na tržištu, već pojava karakteristična, po svemu sudeći, za tok bilo kojeg ljudska aktivnost. Njegova primjena u predviđanju je revolucionarna."
Ova prilika da se predvidi kretanje cijena drži legije analitičara da rade danonoćno. Fokusiraćemo se na sposobnost predviđanja i pokušati otkriti da li je to moguće ili ne. Uvodeći svoj pristup, Elliott je bio vrlo konkretan. Napisao je: „Svaku ljudsku aktivnost karakteriziraju tri karakteristične karakteristike: oblik, vrijeme i odnos - i svi se pokoravaju Fibonačijevom sumacijskom nizu."
Fibonačijev niz, svima poznat iz filma "Da Vinčijev kod", je niz brojeva koje je u obliku zagonetke opisao italijanski matematičar Leonardo iz Pize, poznatiji kao Fibonači, u 13. veku. Ukratko o suštini zagonetke:
Neko je stavio par zečeva u određeni zatvoreni prostor da bi saznao koliko bi se parova zečeva rodilo tokom godine, ako je priroda zečeva takva da svakog meseca par zečeva rodi još jedan par, a oni postaju sposobni da daju potomstvo kada napune dva meseca starosti.
Razmišljajući o ovoj temi, Fibonači je napravio sljedeću seriju brojeva.
Niz brojeva 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, itd. poznat kao Fibonačijev niz. Posebnost niza brojeva je da je svaki njegov član, počevši od trećeg, jednak zbiru prethodna dva 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34, itd., a omjer susjednih brojeva u nizu približava se omjeru zlatnog dijeljenja. Dakle, 21:34 = 0,617 i 34:55 = 0,618. Ovaj omjer je označen simbolom F. Samo ovaj omjer - 0,618:0,382 - daje kontinuiranu podelu pravolinijskog segmenta u zlatnoj proporciji, povećavajući ga ili smanjujući do beskonačnosti, kada je manji segment povezan sa većim kao veći je za sve.
Fibonači se bavio i praktičnim potrebama trgovine: koji je najmanji broj utega koji se može koristiti za vaganje proizvoda? Fibonači dokazuje da je optimalan sistem pondera: 1, 2, 4, 8, 16...
Ovaj niz ima niz matematičkih karakteristika koje svakako treba dotaknuti. Ovaj niz asimptotski (približava se sve sporije) teži nekoj konstantnoj vezi. Međutim, ovaj omjer je iracionalan, odnosno radi se o broju s beskonačnim, nepredvidivim nizom decimalnih cifara u razlomku. Nemoguće je to precizno izraziti.
Dakle, omjer bilo kojeg člana niza prema onom koji mu prethodi fluktuira oko broja 1,618, ponekad ga premašuje, ponekad ne dostiže. Omjer prema sljedećem se na sličan način približava broju 0,618, što je obrnuto proporcionalno 1,618. Ako elemente niza podijelimo na jedan, dobićemo brojeve 2,618 i 0,382, koji su također obrnuto proporcionalni. To su takozvani Fibonačijevi omjeri.
Priroda, takoreći, rješava problem s dvije strane odjednom i zbraja dobivene rezultate. Čim dobije ukupno 1, prelazi u sljedeću dimenziju, gdje počinje sve iznova graditi. Ali onda ona to mora izgraditi zlatni omjer By određeno pravilo. Priroda ne koristi zlatni omjer odmah. Ona ga dobija kroz uzastopne iteracije i koristi drugu seriju, Fibonačijev niz, da generiše zlatni presek.
Čudesna svojstva Fibonačijevog niza očituju se i u samim brojevima koji su članovi ovog niza. Složimo članove Fibonačijevog niza okomito, a zatim udesno, u opadajućem redosledu, zapišemo prirodne brojeve.
21 20 19 18 17 16 15 14 13
34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21
55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34
Svaki red počinje i završava se Fibonačijevim brojem, tj. postoje samo dva takva broja u svakom redu. "plavi" brojevi - 4, 7, 6, 11, 10, 18, 16, 29, 26, 47, 42 - imaju posebna svojstva (drugi nivo hijerarhije Fibonačijevog niza):
(5-4)/(4-3) = 1/1
(8-7)/(7-5) = 1/2 i (8-6)/(6-5) = 2/1
(13-11)/(11-8) = 2/3 i (13-10)/(10-8) = 3/2
(21-18)/(18-13) = 3/5 i (21-16)/(1b-13) = 5/3
(34-29)/(29-21) = 5/8 i (34-26)/(26-21) = 8/5
(55-47)/(47-34) = 8/13 i (55-42)/(42-34) = 13/8
Dobili smo frakcioni Fibonačijev niz, koji se može „propovedati“ kolektivnim spinovima elementarnih čestica i atoma hemijskih elemenata.
Zamislimo ove brojeve kao niz skala poluge
čemu sve ovo? Tako se približavamo jednom od najvećih misteriozne pojave priroda. Fibonacci u suštini nije otkrio ništa novo, on je samo podsjetio svijet na fenomen kao što je zlatni omjer, koji po važnosti nije inferioran Pitagorinoj teoremi.
Sve predmete oko sebe razlikujemo po njihovom obliku. Neki nam se sviđaju više, neki manje, neki su potpuno odvratni. Ponekad se interes može diktirati životnu situaciju, a ponekad i ljepotu posmatranog objekta. Simetričan i proporcionalan oblik potiče najbolju vizualnu percepciju i izaziva osjećaj ljepote i sklada. Kompletna slika se uvijek sastoji od dijelova različite veličine, koji su u određenom međusobnom odnosu i cjelini. Zlatni omjer - najviša manifestacija savršenstvo cjeline i njenih dijelova u nauci, umjetnosti i prirodi.
Koristeći jednostavan primjer, zlatni omjer je podjela segmenta na dva dijela u takvom omjeru da večina se odnosi na manji kao što se njihov zbir (cijeli segment) odnosi na veći.
Ako ceo segment c uzmemo kao 1, tada će segment a biti jednak 0,618, segment b - 0,382, samo na taj način će biti ispunjen uslov zlatnog preseka (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618) . Odnos c prema a je 1,618, a c prema b je 2,618. To su isti Fibonačijevi omjeri koji su nam već poznati.
Naravno, postoji zlatni pravougaonik, zlatni trougao, pa čak i zlatni kockast. Proporcije ljudsko tijelo po mnogo čemu blizak Zlatnom rezu.
Ali zabava počinje kada spojimo znanje koje smo stekli. Slika jasno pokazuje odnos između Fibonačijevog niza i zlatnog omjera. Počinjemo s dva kvadrata prve veličine. Na vrh dodajte kvadrat druge veličine. Nacrtajte kvadrat pored njega sa stranom jednak iznosu strane prethodne dvije, treća veličina. Po analogiji, pojavljuje se kvadrat veličine pet. I tako sve dok se ne umorite, glavna stvar je da dužina stranice svakog sljedećeg kvadrata bude jednaka zbroju dužina stranica dva prethodna. Vidimo niz pravougaonika čije su stranice Fibonačijevi brojevi, i, što je čudno, nazivaju se Fibonačijevi pravougaonici.
Ako povučemo glatke linije kroz uglove naših kvadrata, nećemo dobiti ništa više od Arhimedove spirale, čiji je prirast uvijek ujednačen.
Fibonačijev niz nije samo matematička misterija, s njom se susrećemo svaki dan u svakodnevnom životu:
I ne samo u ljusci mekušaca možete pronaći Arhimedove spirale, već u mnogim cvjetovima i biljkama jednostavno nisu tako očigledne.
Školjka u obliku spirale - oblik školjke zainteresovala je Arhimeda i on je otkrio da je povećanje dužine uvojaka školjke konstantna vrijednost i jednaka je 1,618.
Aloe multifolia.
Brokula Romanesco.
Suncokret: Sjemenke u suncokretu su također raspoređene u spiralu.
Pine cone.
Rast biljaka se takođe odvija u skladu sa numeričke serije Fibonacci - od debla se proteže grana na kojoj se pojavljuje list, zatim dolazi do dugog izbacivanja i ponovo se pojavljuje list, ali je već kraći od prethodnog. Zatim slijedi još jedan porast, ali je također kraći od prethodnog. Na ovoj slici, prvi skok je 100%, drugi je 62%, a treći je 38% (Fibonačijevi nivoi koji se koriste u trgovanju) itd. Sa dužinom latica sve izgleda potpuno isto.
Gušter - ako podijelite guštera na rep i tijelo, tada će njihov omjer biti 0,62 do 0,38.
Piramide - Dužina ivice piramide je 783,3 stope, a visina piramide je 484,4 stope. Odnos dužine ivice/visine piramide je 1,618.
kao što se vidi, numeričke serije Fibonači je široko zastupljen u našim životima: u strukturi živih bića, strukture, pa čak i struktura galaksija je opisana uz njegovu pomoć. Sve ovo pokazuje svestranost matematička zagonetka Fibonačijev niz brojeva.
A sada je vrijeme da se prisjetimo Zlatnog reza! Jesu li neke od najljepših i najskladnijih kreacija prirode prikazane na ovim fotografijama? I to nije sve. Ako pažljivo pogledate, možete pronaći slične uzorke u mnogim oblicima.
Naravno, izjava da su sve ove pojave zasnovane na Fibonačijevom nizu zvuči preglasno, ali trend je očigledan. A osim toga, sama sekvenca je daleko od savršene, kao i sve na ovom svijetu.
Postoji pretpostavka da je Fibonačijev niz pokušaj prirode da se prilagodi fundamentalnijem i savršenijem logaritamskom nizu zlatnog preseka, koji je skoro isti, samo što počinje niotkuda i ide nikuda. Prirodi je svakako potreban nekakav cijeli početak od kojeg može krenuti; ne može stvoriti nešto ni iz čega. Omjeri prvih članova Fibonačijevog niza su daleko od zlatnog omjera. Ali što se dalje krećemo, ta odstupanja se više izglađuju. Da bi se definirao bilo koji niz, dovoljno je poznavati njegova tri pojma, koji slijede jedan za drugim. Ali ne za zlatni niz, dva su mu dovoljna, geometrijska je i aritmetička progresija istovremeno. Moglo bi se pomisliti da je to osnova za sve ostale sekvence.
Svaki član zlatnog logaritamskog niza je stepen zlatnog omjera (z). Dio serije izgleda otprilike ovako: ... z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z5 ... Ako zaokružimo vrijednost zlatnog omjera na tri cifre, dobijemo z = 1,618, tada niz izgleda ovako: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1.618; 2.618; 4.236; 6.854; 11.090 ... Svaki sljedeći član se može dobiti ne samo množenjem prethodnog sa 1.618, već i sabiranjem dva prethodna. Tako se eksponencijalni rast u nizu postiže jednostavnim dodavanjem dva susjedna elementa. To je niz bez početka i kraja, a to je ono što Fibonačijev niz pokušava da bude. Imajući vrlo određen početak, teži idealu, nikad ga ne postiže. To je život.
Pa ipak, u vezi sa svime što smo vidjeli i pročitali, nameću se sasvim logična pitanja:
Odakle ti brojevi? Ko je ovaj arhitekta svemira koji je pokušao da ga učini idealnim? Je li ikada sve bilo onako kako je želio? I ako jeste, zašto je pošlo po zlu? Mutacije? Slobodan izbor? Šta će biti sljedeće? Da li se spirala uvija ili odmotava?
Nakon što ste pronašli odgovor na jedno pitanje, dobit ćete sljedeće. Ako ga riješite, dobit ćete dva nova. Kada se pozabavite njima, pojavit će se još tri. Kada i njih riješite, imat ćete pet neriješenih. Onda osam, pa trinaest, 21, 34, 55...
Primijenjeni značaj Fibonačijevog niza i Zlatnog omjera zaslužuje posebnu web stranicu. Sada ću samo reći da se, na primjer, elementi Fibonaccijeve serije koriste za izračunavanje pokretnih prosjeka (da ne spominjemo rast populacije zečeva), a remek djela svjetske umjetnosti sadrže zlatni omjer.
U međuvremenu, zapamtite da je Fibonači legendarna ličnost u matematici, ekonomiji i finansijama; objavio je arapske brojeve i uveo magičnu seriju brojeva.
fibonačijev niz brojeva
Italijanski matematičar Leonardo Fibonači živio je u 13. veku i bio je jedan od prvih u Evropi koji je koristio arapske (indijske) brojeve. Došao je do pomalo vještačkog problema o zečevima koji se uzgajaju na farmi, koji se svi smatraju ženkama, a mužjaci se zanemaruju. Kunići počinju da se razmnožavaju nakon što napune dva meseca, a zatim svakog meseca rađaju kunića. Zečevi nikad ne umiru.
Moramo odrediti koliko će zečeva biti na farmi n mjeseci, ako je u početku bio samo jedan novorođeni zec.
Očigledno, farmer ima jednog zeca u prvom mjesecu i jednog zeca u drugom mjesecu. Do trećeg meseca biće dva zeca, do četvrtog tri, itd. Označimo broj zečeva u n mjesec kao . dakle, 
,
,
,
,
,
…
Moguće je konstruisati algoritam za pronalaženje 
na bilo koji n.
Prema opisu problema ukupan broj zečeva 
V n+1 mjesec je podijeljen u tri komponente:
jednomjesečnih kunića nesposobnih za reprodukciju, u količini od
;
Dakle, dobijamo
. (8.1)
Formula (8.1) vam omogućava da izračunate niz brojeva: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..
Brojevi u ovom nizu se pozivaju Fibonačijevi brojevi .
Ako prihvatimo 
I 
, tada pomoću formule (8.1) možete odrediti sve ostale Fibonačijeve brojeve. Formula (8.1) se zove ponavljajuća
formula ( recidiv
– „povratak” na latinskom).
Primjer 8.1. Pretpostavimo da unutra postoji stepenište n stepenice. Možemo se penjati korakom od jedne stepenice ili u koracima od dva stepenika. Koliko kombinacija postoji? na razne načine ustati?
Ako n= 1, postoji samo jedno rješenje problema. Za n= 2 postoje 2 opcije: dva jednostruka ili jedna dvostruka. Za n= 3 postoje 3 opcije: tri pojedinačne stepenice, ili jedna jednostruka i jedna dvostruka, ili jedna dvostruka i jedna jednostruka.
U sledećem slučaju n= 4, imamo 5 mogućnosti (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).
Da bi nasumično odgovorio na postavljeno pitanje n, označimo broj opcija kao 
, i hajde da pokušamo da utvrdimo 
prema poznatom 
I 
. Ako počnemo sa jednim korakom, onda imamo 
kombinacije za preostale n stepenice. Ako počnemo s dvostrukim korakom, onda imamo 
kombinacije za preostale n–1 korak. Ukupno opcije za n+1 korak je jednako
. (8.2)
Rezultirajuća formula liči na formulu (8.1) kao blizanac. Međutim, to nam ne dozvoljava da identifikujemo broj kombinacija 
sa Fibonačijevim brojevima 
. Vidimo, na primjer, to 
, Ali 
. Međutim, javlja se sljedeća ovisnost:
.
Ovo je tačno za n= 1, 2, a takođe važi za sve n. Fibonačijevi brojevi i broj kombinacija 
izračunavaju se koristeći istu formulu, ali početne vrijednosti 
,
I 
,
razlikuju se.
Primjer 8.2. Ovaj primjer je od praktične važnosti za probleme kodiranja s ispravljanjem grešaka. Pronađite broj svih binarnih riječi dužine n, koji ne sadrži nekoliko nula u nizu. Označimo ovaj broj sa 
. Očigledno, 
, a riječi dužine 2 koje zadovoljavaju naše ograničenje su: 10, 01, 11, tj. 
. Neka 
- takva reč od n karaktera. Ako simbol 
, To 
može biti proizvoljan ( 
)-doslovna riječ koja ne sadrži nekoliko nula u nizu. To znači da je broj riječi koje završavaju na jednu 
.
Ako simbol 
, onda definitivno 
, i prvi 
simbol 
mogu biti proizvoljni, podložni razmatranim ograničenjima. Dakle, postoji 
dužina reči
n sa nulom na kraju. Dakle, ukupan broj riječi koje nas zanimaju jednak je
.
S obzirom na to 
I 
, rezultirajući niz brojeva su Fibonačijevi brojevi.
Primjer 8.3. U primjeru 7.6 otkrili smo da je broj binarnih riječi konstantna težina t(i dužina k) jednako 
. Sada pronađimo broj binarnih riječi konstantne težine t, koji ne sadrži nekoliko nula u nizu.
Možeš razmišljati ovako. Neka 
broj nula u dotičnim riječima. Svaka reč ima 
razmaci između najbližih nula, od kojih svaka sadrži jednu ili više jedinica. Pretpostavlja se da 
. Inače, nema nijedne riječi bez susjednih nula.
Ako uklonimo tačno jednu jedinicu iz svakog intervala, dobićemo riječ dužine 
koji sadrži 
nule. Svaka takva riječ može se dobiti na naznačen način od nekih (i samo jedne) k-doslovna riječ koja sadrži 
nule, od kojih dvije nisu susjedne. To znači da se traženi broj poklapa sa brojem svih riječi dužine 
, koji sadrži tačno 
nule, tj. jednaki 
.
Primjer 8.4. Dokažimo da je zbir 
jednak Fibonaccijevim brojevima za bilo koji cijeli broj 
. Simbol 
stoji za najmanji cijeli broj veći ili jednak
. Na primjer, ako 
, To 
; i ako 
, To 
ceil("plafon"). Tu je i simbol 
, što označava najveći cijeli broj manji ili jednak
. Na engleskom se ova operacija zove kat
("pod").
Ako 
, To 
. Ako 
, To 
. Ako 
, To 
.
Dakle, za razmatrane slučajeve, zbir je zaista jednak Fibonačijevim brojevima. Sada predstavljamo dokaz za opšti slučaj. Budući da se Fibonačijevi brojevi mogu dobiti pomoću rekurentne jednačine (8.1), jednakost mora biti zadovoljena:
.
I zapravo radi:
Ovdje smo koristili prethodno dobijenu formulu (4.4): 
.
Zbir Fibonačijevih brojeva
Odredimo zbir prvog n Fibonačijevi brojevi.
0+1+1+2+3+5 = 12,
0+1+1+2+3+5+8 = 20,
0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.
Lako je vidjeti da dodavanjem jednog na desnu stranu svake jednačine ponovo dobijamo Fibonačijev broj. Opća formula za određivanje sume prvog n Fibonačijevi brojevi imaju oblik:
Dokažimo to metodom matematičke indukcije. Da to uradimo, napišimo:
Ovaj iznos bi trebao biti jednak 
.
Smanjujući lijevu i desnu stranu jednačine za –1, dobivamo jednačinu (6.1).
Formula za Fibonačijeve brojeve
Teorema 8.1. Fibonačijevi brojevi se mogu izračunati pomoću formule
.
Dokaz. Provjerimo valjanost ove formule za n= 0, 1, a onda ćemo dokazati valjanost ove formule za proizvoljno n indukcijom. Izračunajmo omjer dva najbliža Fibonačijeva broja:
Vidimo da omjer ovih brojeva fluktuira oko 1,618 (ako zanemarimo prvih nekoliko vrijednosti). Ovo svojstvo Fibonačijevih brojeva liči na pojmove geometrijske progresije. Hajde da prihvatimo 
,
(
). Zatim izraz
pretvoren u
koji nakon pojednostavljenja izgleda ovako
.
Imamo kvadratna jednačina, čiji su korijeni jednaki:
Sada možemo napisati:
(Gdje c je konstanta). Oba člana 
I 
nemojte davati Fibonačijeve brojeve, na primjer 
, dok 
. Međutim, razlika 
zadovoljava jednadžbu ponavljanja:
Za n=0 ova razlika daje 
, to je: 
. Međutim, kada n=1 imamo 
. Za dobijanje 
, morate prihvatiti: 
.
Sada imamo dva niza: 
I 
, koji počinju sa ista dva broja i zadovoljavaju istu formulu ponavljanja. Oni moraju biti jednaki: 
. Teorema je dokazana.
Prilikom povećanja nčlan 
postaje veoma velika dok 
i ulogu člana 
razlika je smanjena. Stoga, na slobodi n možemo otprilike napisati
.
Zanemarujemo 1/2 (pošto se Fibonačijevi brojevi povećavaju do beskonačnosti kao n do beskonačnosti).
Stav 
pozvao zlatni omjer, koristi se izvan matematike (na primjer, u skulpturi i arhitekturi). Zlatni omjer je omjer između dijagonale i strane pravilan pentagon(Sl. 8.1).
Rice. 8.1. Regularni pentagon i njegove dijagonale
Za označavanje zlatnog omjera uobičajeno je koristiti slovo 
u čast poznatog atinskog vajara Fidija.
primarni brojevi
Svi prirodni brojevi, veliki, spadaju u dvije klase. Prvi uključuje brojeve koji imaju tačno dva prirodna djelitelja, jedan i sebe, drugi uključuje sve ostale. Pozivaju se brojevi prve klase jednostavno, a drugi – kompozitni. Prosti brojevi unutar prve tri desetice: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
Svojstva prostih brojeva i njihov odnos sa svim prirodnim brojevima proučavao je Euklid (3. vek pre nove ere). Ako zapišete redom proste brojeve, primijetit ćete da se njihova relativna gustoća smanjuje. Za prvih deset je 4, odnosno 40%, za stotinu – 25, tj. 25%, na hiljadu – 168, tj. manje od 17%, na milion – 78498, tj. manje od 8% itd. Međutim, njihov ukupan broj je beskonačan.
Među prostim brojevima postoje parovi takvih brojeva čija je razlika jednaka dva (tzv. jednostavni blizanci), međutim, konačnost ili beskonačnost takvih parova nije dokazana.
Euklid je smatrao očiglednim da se množenjem samo prostih brojeva mogu dobiti svi prirodni brojevi, a svaki prirodni broj može se predstaviti kao proizvod prostih brojeva na jedinstven način (do reda faktora). Dakle, prosti brojevi čine multiplikativnu osnovu prirodnog niza.
Proučavanje distribucije prostih brojeva dovelo je do stvaranja algoritma koji omogućava dobijanje tablica prostih brojeva. Takav algoritam je Eratostenovo sito(3. vek pne). Ova metoda se sastoji od eliminacije (na primjer, brisanjem) tih cijelih brojeva datog niza 
, koji su djeljivi s barem jednim manjim prostim brojevima 
.
Teorema 8 . 2 . (Euklidova teorema). Broj prostih brojeva je beskonačan.
Dokaz. Euklidovu teoremu o beskonačnosti broja prostih brojeva dokazat ćemo metodom koju je predložio Leonhard Euler (1707–1783). Ojler je razmatrao proizvod nad svim prostim brojevima str:
at 
. Ovaj proizvod konvergira, a ako ga proširimo, onda zbog jedinstvenosti dekompozicije prirodni brojevi na jednostavne faktore ispada da je jednak zbiru niza 
, iz čega slijedi Eulerov identitet:
.
Od kada 
red s desne strane divergira (harmonični niz), tada Euklidov teorem slijedi iz Ojlerovog identiteta.
Ruski matematičar P.L. Čebišev (1821–1894) je izveo formulu koja određuje granice unutar kojih se nalazi broj prostih brojeva 
, ne prelazi X:
,
Gdje 
,
.
IN U poslednje vreme, radeći u individualnim i grupnim procesima sa ljudima, vratio sam se razmišljanjima o spajanju svih procesa (karmičkih, mentalnih, fizioloških, duhovnih, transformacijskih, itd.) u jedan.
Prijatelji iza vela sve više otkrivaju sliku višedimenzionalnog Čovjeka i povezanost svega u svemu.
Unutrašnji poriv me je naveo da se vratim starim studijama sa brojevima i još jednom pogledam knjigu Drunvala Melkisedeka "Drevna tajna cveta života".
U to vrijeme u bioskopima je prikazan film "Da Vincijev kod". Nije mi namjera da raspravljam o kvaliteti, vrijednosti ili istinitosti ovog filma. Ali trenutak sa šifrom, kada su brojke počele ubrzano da se kreću, za mene je postao jedan od ključnih trenutaka u ovom filmu.
Intuicija mi je govorila da je vrijedno obratiti pažnju na Fibonačijev niz brojeva i zlatni omjer. Ako pogledate na internetu da pronađete nešto o Fibonačiju, bićete bombardovani informacijama. Saznat ćete da je ovaj niz bio poznat u svako doba. Zastupljen je u prirodi i prostoru, u tehnologiji i nauci, u arhitekturi i slikarstvu, u muzici i proporcijama u ljudskom tijelu, u DNK i RNK. Mnogi istraživači ovog niza došli su do zaključka da ključni događaji u životu osobe, države i civilizacije također podliježu zakonu zlatnog omjera.
Čini se da je Čovjeku dat temeljni nagovještaj.
Tada se javlja misao da Čovjek može svjesno primijeniti princip zlatnog preseka da povrati zdravlje i ispravi sudbinu, tj. pojednostavljivanje tekućih procesa u vlastitom univerzumu, širenje svijesti, vraćanje u dobrobit.
Prisjetimo se zajedno Fibonaccijevog niza:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025…
Svaki sljedeći broj formira se dodavanjem dva prethodna:
1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, itd.
Sada predlažem da se svaki broj u nizu svede na jednu znamenku: 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13=1+3(4), 21=2+1(3), 34=3+4(7), 55=5+5(1), 89= 8+9(8), 144=1+4+4(9)…
Evo šta smo dobili:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9…1, 1, 2…
niz od 24 broja koji se ponavlja od 25.
75025=7+5+0+2+5=19=1+0=1, 121393=1+2+1+3+9+3=19=1+0=1…
Ne čini li vam se to čudnim ili prirodnim
- ima 24 sata u danu,
- svemirske kuće - 24,
- DNK niti - 24,
- 24 starješine iz Božje zvijezde Sirius,
- Ponavljajući niz u Fibonačijevom nizu je 24 cifre.
Ako je rezultirajući niz napisan na sljedeći način,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9
8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9
9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,
tada ćemo vidjeti da 1. i 13. broj niza, 2. i 14., 3. i 15., 4. i 16.... 12. i 24. zbrajaju 9 .
3 3 6 9 6 6 3 9
Prilikom testiranja ovih brojeva, dobili smo:
- Princip djeteta;
- Očev princip;
- Mother Principle;
- Princip jedinstva.
Zlatni omjer matrice
1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9
1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9
2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9
4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9
3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9
1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9
8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9
8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9
8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9
7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9 2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9
4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9
1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9
5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9 4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9
6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9
2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9
8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9
1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
Praktična primjena Fibonačijevog niza
Jedan od mojih prijatelja je izrazio namjeru da sa njim individualno radi na temi razvoja njegovih sposobnosti i sposobnosti.
Neočekivano, na samom početku, Sai Baba je ušao u proces i pozvao me da ga pratim.
Počeli smo da se uzdižemo unutar Božanske monade našeg prijatelja i, napuštajući je kroz Kauzalno telo, našli smo se u drugoj realnosti na nivou Kosmičke Kuće.
Oni koji su proučavali djela Marka i Elizabete Claire Prophets znaju učenje o kosmičkom satu koje im je prenijela Majka Marija.
Na nivou Kosmičke kuće, Jurij je ugledao krug sa unutrašnjim središtem sa 12 strelica.
Starešina koji nas je sreo na ovom nivou je rekao da pred nama Božanski sat i 12 kazaljki predstavljaju 12 (24) Manifestacija Božanskih Aspekata... (moguće Kreatora).
Što se tiče kosmičkog sata, oni su se nalazili ispod božanskog sata po principu energetske osmice.
— U kom modusu su Božanski satovi u odnosu na vas?
— Kazaljke na satu miruju, nema kretanja.Sada mi dolaze misli da sam prije mnogo eona napustio Božansku svijest i slijedio drugačiji put, put Magičara. Svi moji magični artefakti i amajlije, koje imam i koje sam akumulirao u sebi tokom mnogih inkarnacija, na ovom nivou izgledaju kao zvečke za bebe. Na suptilnom planu, oni predstavljaju sliku magične energetske odjeće.
— Završeno.Međutim, ja blagosiljam svoje magično iskustvo.Življenje ovog iskustva me je zaista motivisalo da se vratim izvoru, celovitosti.Nude mi da skinem svoje magične artefakte i stanem u centar Sata.
— Šta treba učiniti da se aktivira Božanski sat?
— Sai Baba se ponovo pojavio i nudi da izrazi nameru da poveže Srebrnu strunu sa satom. Kaže i da imate neku vrstu niza brojeva. On je ključ za aktivaciju. Prije u mislima pojavljuje se slika Čovjeka Leonarda da Vincija.
- 12 puta.
„Molim vas da Bog-centrirate cijeli proces i usmjerite energiju niza brojeva da aktivirate Božanski sat.
Pročitajte naglas 12 puta
1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9…
U procesu čitanja kazaljke na Satu su se pomjerale.
Energija je tekla duž srebrne žice povezujući sve nivoe Jurine monade, kao i zemaljske i nebeske energije...
Najneočekivanije u ovom procesu bilo je to što su se na Satu pojavila četiri Entiteta, koji su neki dijelovi Jedne cjeline sa Yurom.
Tokom komunikacije postalo je jasno da je nekada postojala podjela Centralne duše, i svaki dio je izabrao svoje područje u svemiru za implementaciju.
Donesena je odluka o integraciji, što se dogodilo u centru Divine Hours.
Rezultat ovog procesa je stvaranje zajedničkog kristala na ovom nivou.
Nakon ovoga, sjetio sam se da je Sai Baba jednom govorio o određenom Planu, koji uključuje prvo povezivanje dvije Esencije u jednu, zatim četiri, i tako dalje po binarnom principu.
Naravno, ova serija brojeva nije lijek za sve. Ovo je samo alat koji vam omogućava da brzo obavite potreban rad s osobom, poravnajte ga okomito na različitim nivoima Genesis.
Jeste li ikada čuli da se matematika naziva "kraljicom svih nauka"? Da li se slažete sa ovom izjavom? Sve dok vam matematika ostaje skup dosadnih zadataka u udžbeniku, teško da možete doživjeti ljepotu, svestranost, pa čak i humor ove nauke.
Ali postoje teme iz matematike koje pomažu da se napravi zanimljiva zapažanja o stvarima i pojavama koje su nam zajedničke. Pa čak i pokušati prodrijeti u veo misterije stvaranja našeg Univerzuma. U svijetu postoje zanimljivi obrasci koji se mogu opisati pomoću matematike.
Predstavljamo Fibonačijeve brojeve
Fibonačijevi brojevi imenuje elemente brojevnog niza. U njemu se svaki sljedeći broj u nizu dobija zbrajanjem prethodna dva broja.
Primjer sekvence: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…
Možete to napisati ovako:
F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2
Možete započeti niz Fibonačijevih brojeva sa negativnim vrijednostima n. Štaviše, niz je u ovom slučaju dvosmjeran (to jest, pokriva negativne i pozitivne brojeve) i teži beskonačnosti u oba smjera.
Primjer takvog niza: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.
Formula u ovom slučaju izgleda ovako:
F n = F n+1 - F n+2 inače možete uraditi ovo: F -n = (-1) n+1 Fn.
Ono što danas znamo kao "Fibonačijevi brojevi" bilo je poznato drevnim indijskim matematičarima mnogo pre nego što su počeli da se koriste u Evropi. A ovo ime je općenito jedna kontinuirana istorijska anegdota. Počnimo s činjenicom da se sam Fibonači nikada nije nazivao Fibonačijem tokom svog života - ovo ime je počelo da se primenjuje na Leonarda iz Pize tek nekoliko vekova nakon njegove smrti. Ali hajde da pričamo o svemu po redu.
Leonardo iz Pize, zvani Fibonači
Sin trgovca koji je postao matematičar, a potom je dobio priznanje od potomstva kao prvi veliki matematičar Evrope tokom srednjeg vijeka. Ne najmanje zahvaljujući Fibonačijevim brojevima (koji se, podsjetimo, još nisu tako zvali). Koje je opisao početkom 13. vijeka u svom djelu „Liber abaci“ („Knjiga o Abakusu“, 1202).
Putujem sa svojim ocem na istok, Leonardo je studirao matematiku kod arapskih nastavnika (a u to vreme oni su bili u ovoj oblasti, i u mnogim drugim naukama, jedan od najbolji specijalisti). Čitao je radove matematičara antike i drevne Indije u arapskim prijevodima.
Pošto je temeljno shvatio sve što je pročitao i koristeći svoj radoznali um, Fibonači je napisao nekoliko naučnih rasprava o matematici, uključujući gore pomenutu „Knjigu Abakusa“. Pored ovoga kreirao sam:
- "Practica geometriae" ("Vježba geometrije", 1220);
- "Flos" ("Cvijet", 1225 - studija o kubnim jednadžbama);
- "Liber quadratorum" ("Knjiga kvadrata", 1225 - zadaci o neodređenim kvadratnim jednačinama).
Bio je veliki ljubitelj matematičkih turnira, pa je u svojim raspravama veliku pažnju poklanjao analizi različitih matematičkih problema.
Ostalo je vrlo malo biografskih podataka o Leonardovom životu. Što se tiče imena Fibonači, pod kojim je ušao u istoriju matematike, ono mu je dodeljeno tek u 19. veku.
Fibonači i njegovi problemi
Nakon Fibonacci ostaje veliki broj problemi koji su bili veoma popularni među matematičarima u narednim vekovima. Pogledaćemo problem zeca koji se rešava korišćenjem Fibonačijevih brojeva.
Kunići nisu samo vrijedno krzno
Fibonači je postavio sledeće uslove: postoji par novorođenih zečeva (mužjak i ženka) kao što je zanimljiva rasa da redovno (počevši od drugog mjeseca) daju potomstvo - uvijek jedan novi par zečeva. Također, kao što možete pretpostaviti, mužjak i ženka.
Ovi uvjetni zečevi smješteni su u skučenom prostoru i razmnožavaju se s entuzijazmom. Također je propisano da ni jedan zec ne ugine od neke misteriozne bolesti kunića.
Moramo izračunati koliko ćemo zečeva dobiti za godinu dana.
- Na početku 1 mjeseca imamo 1 par zečeva. Na kraju mjeseca se pare.
- Drugi mjesec - već imamo 2 para zečeva (par ima roditelje + 1 par je njihovo potomstvo).
- Treći mjesec: Prvi par rađa novi par, drugi par se pari. Ukupno - 3 para zečeva.
- Četvrti mesec: Prvi par rađa novi par, drugi par ne gubi vreme i takođe rađa novi par, treći par se još samo pari. Ukupno - 5 pari zečeva.
Broj zečeva u n th mjesec = broj parova zečeva iz prethodnog mjeseca + broj novorođenih parova (postoji isti broj parova zečeva kao što je bilo parova zečeva 2 mjeseca prije sada). A sve je to opisano formulom koju smo već dali gore: F n = F n-1 + F n-2.
Tako dobijamo ponavljajuće (objašnjenje o rekurzija– ispod) brojčani niz. u kojem je svaki sljedeći broj jednak zbroju prethodna dva:
- 1 + 1 = 2
- 2 + 1 = 3
- 3 + 2 = 5
- 5 + 3 = 8
- 8 + 5 = 13
- 13 + 8 = 21
- 21 + 13 = 34
- 34 + 21 = 55
- 55 + 34 = 89
- 89 + 55 = 144
- 144 + 89 = 233
- 233+ 144 = 377 <…>
Možete nastaviti niz dugo vremena: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Ali pošto smo zacrtali određeni period - godinu dana, zanima nas rezultat dobijen na 12. "potezu". One. 13. član niza: 377.
Odgovor na problem: 377 zečeva će se dobiti ako se ispune svi navedeni uslovi.
Jedno od svojstava Fibonačijevog niza brojeva je veoma interesantno. Ako uzmemo dva uzastopna para iz reda i podijelimo veći broj na manje, rezultat će se postepeno približavati zlatni omjer(više o tome možete pročitati kasnije u članku).
u matematičkom smislu, „granica odnosa a n+1 To a n jednak zlatnom rezu".
Više problema iz teorije brojeva
- Pronađite broj koji se može podijeliti sa 7. Također, ako ga podijelite sa 2, 3, 4, 5, 6, ostatak će biti jedan.
- Nađi kvadratni broj. O tome je poznato da ako mu dodate 5 ili oduzmete 5, opet ćete dobiti kvadratni broj.
Predlažemo da sami potražite odgovore na ove probleme. Možete nam ostaviti svoje opcije u komentarima na ovaj članak. A onda ćemo vam reći da li su vaši proračuni bili tačni.
Objašnjenje rekurzije
Rekurzija– definicija, opis, slika objekta ili procesa koji sadrži sam taj objekt ili proces. To jest, u suštini, predmet ili proces je dio sebe samog.
Rekurzija se široko koristi u matematici i informatici, pa čak iu umjetnosti i popularnoj kulturi.
Fibonačijevi brojevi se određuju pomoću rekurentne relacije. Za broj n>2 n- e broj je jednak (n – 1) + (n – 2).
Objašnjenje zlatnog preseka
Zlatni odnos- dijeljenje cjeline (npr. segmenta) na dijelove koji su povezani prema sljedećem principu: veći dio je povezan s manjim na isti način kao što je cijela vrijednost (npr. zbir dva segmenta) na veći deo.
Prvi spomen zlatnog preseka nalazi se kod Euklida u njegovoj raspravi “Elementi” (oko 300. godine pne). U kontekstu konstruisanja pravilnog pravougaonika.
Nama poznati termin uveo je u opticaj 1835. godine njemački matematičar Martin Ohm.
Ako zlatni rez opišemo približno, on predstavlja proporcionalnu podjelu na dva nejednaka dijela: otprilike 62% i 38%. IN brojčano Zlatni rez predstavlja broj 1,6180339887 .
Zlatni rez nalazi praktična upotreba u likovnoj umjetnosti (slike Leonarda da Vinčija i drugih renesansnih slikara), arhitekturi, kinematografiji (“Bojni brod Potemkin” S. Esensteina) i drugim oblastima. Za dugo vremena Vjerovalo se da je zlatni omjer najestetskija proporcija. Ovo mišljenje je i danas popularno. Iako, prema rezultatima istraživanja, vizualno većina ljudi ovu proporciju ne doživljava kao najuspješniju opciju i smatra je previše izduženom (nesrazmjernom).
- Dužina sekcije With = 1, A = 0,618, b = 0,382.
- Stav With To A = 1, 618.
- Stav With To b = 2,618
Vratimo se sada na Fibonačijeve brojeve. Uzmimo dva uzastopna člana iz njegovog niza. Podijelite veći broj manjim i dobijete otprilike 1,618. I sada koristimo isti veći broj i sljedeći član serije (tj. još veći broj) - njihov omjer je ranih 0,618.
Evo primjera: 144, 233, 377.
233/144 = 1,618 i 233/377 = 0,618
Usput, ako pokušate napraviti isti eksperiment s brojevima s početka niza (na primjer, 2, 3, 5), ništa neće uspjeti. Skoro. Pravilo zlatnog omjera se jedva poštuje za početak niza. Ali kako se krećete niz seriju i brojevi se povećavaju, funkcionira odlično.
A da bi se izračunao čitav niz Fibonačijevih brojeva, dovoljno je znati tri člana niza, koji dolaze jedan za drugim. Ovo možete i sami vidjeti!
Zlatni pravougaonik i Fibonačijeva spirala
Još jedna zanimljiva paralela između Fibonačijevih brojeva i zlatnog preseka je takozvani „zlatni pravougaonik”: njegove stranice su u proporciji 1,618 prema 1. Ali mi već znamo šta je broj 1,618, zar ne?
Na primjer, uzmimo dva uzastopna člana Fibonačijevog niza - 8 i 13 - i konstruirajmo pravougaonik sa sljedećim parametrima: širina = 8, dužina = 13.
Zatim ćemo veliki pravougaonik podijeliti na manje. Obavezno stanje: Dužine stranica pravougaonika moraju odgovarati Fibonačijevim brojevima. One. Dužina stranice većeg pravougaonika mora biti jednaka zbiru strana dva manja pravougaonika.
Način na koji je to urađeno na ovoj slici (radi pogodnosti, brojke su potpisane latiničnim slovima).
Usput, pravokutnike možete graditi obrnutim redoslijedom. One. počnite graditi sa kvadratima sa stranom 1. Do kojih se, vodeći se gore navedenim principom, dovršavaju figure sa stranicama jednakim Fibonačijevim brojevima. Teoretski, ovo se može nastaviti u nedogled - na kraju krajeva, Fibonačijev niz je formalno beskonačan.
Ako uglove pravougaonika dobijenih na slici spojimo glatkom linijom, dobićemo logaritamsku spiralu. Ili bolje rečeno, nju poseban slučaj– Fibonačijeva spirala. Posebno se odlikuje činjenicom da nema granica i ne mijenja oblik.
Slična spirala se često nalazi u prirodi. Školjke školjki su jedan od najupečatljivijih primjera. Štaviše, neke galaksije koje se mogu vidjeti sa Zemlje imaju spiralni oblik. Ako obratite pažnju na vremensku prognozu na TV-u, možda ste primijetili da cikloni imaju sličan spiralni oblik kada se fotografiraju sa satelita.
Zanimljivo je da se spirala DNK također pridržava pravila zlatnog presjeka - odgovarajući uzorak se može vidjeti u intervalima njegovih zavoja.
Takve zadivljujuće „slučajnosti“ ne mogu a da ne uzbude umove i ne daju povoda za razgovor o nekom jedinstvenom algoritmu kojem se pokoravaju sve pojave u životu Univerzuma. Shvaćate li sada zašto se ovaj članak tako zove? I kakva vrata neverovatni svetovi Može li vam matematika otvoriti stvari?
Fibonačijevi brojevi u prirodi
Veza između Fibonačijevih brojeva i zlatnog preseka sugeriše zanimljive obrasce. Toliko radoznalo da je primamljivo pokušati pronaći nizove slične Fibonaccijevim brojevima u prirodi, pa čak i tokom istorijskih događaja. I priroda zaista daje povoda za takve pretpostavke. Ali može li se sve u našem životu objasniti i opisati pomoću matematike?
Primjeri živih bića koja se mogu opisati Fibonaccijevim nizom:
- raspored listova (i grana) u biljkama - udaljenosti između njih su u korelaciji sa Fibonačijevim brojevima (filotaksija);
- raspored sjemenki suncokreta (sjemenke su raspoređene u dva reda spirala uvijenih u različitim smjerovima: jedan red u smjeru kazaljke na satu, drugi u suprotnom smjeru);
- raspored ljuski šišarki;
- latice cvijeća;
- ćelije ananasa;
- omjer dužina falangi prstiju na ljudskoj ruci (približno) itd.
Problemi kombinatorike
Fibonačijevi brojevi se široko koriste u rješavanju kombinatoričkih problema.
Kombinatorika je grana matematike koja proučava izbor određenog broja elemenata iz određenog skupa, nabrajanje itd.
Pogledajmo primjere kombinatoričkih zadataka dizajniranih za nivo srednje škole (izvor - http://www.problems.ru/).
Zadatak #1:
Lesha se penje uz stepenice od 10 stepenica. U jednom trenutku skače ili jednu stepenicu ili dvije stepenice. Na koliko načina se Lesha može popeti stepenicama?
Broj načina na koje se Lesha može popeti stepenicama n korake, označimo i n. Iz toga slijedi a 1 = 1, a 2= 2 (na kraju krajeva, Lesha skače ili jedan ili dva koraka).
Takođe je dogovoreno da Lesha skače uz stepenice n> 2 stepenice. Recimo da je prvi put preskočio dva koraka. To znači, u skladu sa uslovima problema, on treba da preskoči drugog n – 2 stepenice. Tada se opisuje broj načina da se završi uspon a n–2. A ako pretpostavimo da je Lesha prvi put skočio samo jednu stepenicu, tada opisujemo broj načina da završi uspon kao a n–1.
Odavde dobijamo sljedeću jednakost: a n = a n–1 + a n–2(izgleda poznato, zar ne?).
Otkad znamo a 1 I a 2 i zapamtite da prema uslovima problema postoji 10 koraka, izračunajte sve po redu i n: a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.
Odgovor: 89 načina.
Zadatak #2:
Morate pronaći broj riječi dužine 10 slova koje se sastoje samo od slova “a” i “b” i ne smiju sadržavati dva slova “b” u nizu.
Označimo sa a n dužina broja reči n slova koja se sastoje samo od slova “a” i “b” i ne sadrže dva slova “b” u nizu. znači, a 1= 2, a 2= 3.
U nizu a 1, a 2, <…>, a n svakog od njegovih sljedećih članova ćemo izraziti kroz prethodne. Dakle, broj riječi dužine je n slova koja također ne sadrže dvostruko slovo “b” i počinju slovom “a” su a n–1. I ako je riječ duga n slova počinju slovom "b", logično je da je sljedeće slovo u takvoj riječi "a" (na kraju krajeva, ne mogu postojati dva "b" prema uslovima zadatka). Dakle, broj riječi dužine je n u ovom slučaju označavamo slova kao a n–2. I u prvom i u drugom slučaju, bilo koja riječ (dužina n – 1 I n – 2 slova) bez dvostrukog “b”.
Mogli smo da opravdamo zašto a n = a n–1 + a n–2.
Hajde da sada izračunamo a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, a 10= a 9+ a 8= 144. I dobijamo poznati Fibonačijev niz.
Odgovor: 144.
Zadatak #3:
Zamislite da postoji traka podijeljena na ćelije. Ide udesno i traje neograničeno. Postavite skakavca na prvi kvadrat trake. Na kojoj god ćeliji trake da se nalazi, može se pomaknuti samo udesno: ili jednu ćeliju, ili dvije. Na koliko načina skakavac može skočiti s početka trake na n-th ćelija?
Označimo broj načina za pomicanje skakavca duž pojasa n-th ćelija kao a n. U ovom slučaju a 1 = a 2= 1. Takođe u n+1 Skakavac može ući u -tu ćeliju bilo iz n-tu ćeliju, ili preskakanjem preko nje. Odavde a n + 1 = a n – 1 + a n. Gdje a n = Fn – 1.
odgovor: Fn – 1.
Možete sami kreirati slične probleme i pokušati ih riješiti na časovima matematike sa svojim kolegama iz razreda.
Fibonačijevi brojevi u popularnoj kulturi
Naravno, tako neobičan fenomen kao što su Fibonačijevi brojevi ne može a da ne privuče pažnju. Još uvijek postoji nešto privlačno, pa čak i tajanstveno u ovom strogo provjerenom uzorku. Nije iznenađujuće da je Fibonačijev niz nekako „zasvijetlio“ u mnogim radovima moderne popularna kultura raznih žanrova.
Reći ćemo vam o nekima od njih. I opet pokušavaš da tražiš sebe. Ako ga pronađete, podijelite ga s nama u komentarima - i mi smo radoznali!
- Fibonačijevi brojevi se spominju u bestseleru Dana Browna Da Vinčijev kod: Fibonačijev niz služi kao šifra koju glavni likovi knjige koriste za otvaranje sefa.
- IN Američki film 2009. "Gospodin Niko" u jednoj od epizoda adresa kuće je dio Fibonačijevog niza - 12358. Osim toga, u drugoj epizodi glavni lik morate nazvati telefonski broj, koji je u suštini isti, ali malo izobličen (dodatna cifra iza 5) niz: 123-581-1321.
- U seriji "Veza" iz 2012., glavni lik, dječak koji boluje od autizma, u stanju je da razaznaje obrasce u događajima koji se dešavaju u svijetu. Uključujući i preko Fibonačijevih brojeva. I upravljajte ovim događajima i putem brojeva.
- Programeri Java igara za mobilni telefoni Doom RPG je postavio tajna vrata u jedan od nivoa. Kod koji ga otvara je Fibonačijev niz.
- 2012. godine ruski rok bend Splin objavio je konceptualni album „Optical Deception“. Osma staza se zove “Fibonači”. Stihovi vođe grupe Aleksandra Vasiljeva igraju na niz Fibonačijevih brojeva. Za svaki od devet uzastopnih pojmova postoji odgovarajući broj redova (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):
0 Voz je krenuo
1 Jedan zglob je pukao
1 Jedan rukav je zadrhtao
2 To je to, uzmi stvari
To je to, uzmi stvari
3 Zahtjev za kipuću vodu
Voz ide do reke
Voz ide kroz tajgu<…>.
- limerik (kratka pjesma) određeni oblik- obično pet stihova, sa specifičnom shemom rime, duhovitih sadržaja, u kojima se prvi i zadnji redak ponavljaju ili djelimično dupliraju) James Lyndon također koristi referencu na Fibonačijev niz kao duhovit motiv:
Gusta hrana Fibonačijevih žena
Bilo je to samo za njihovu korist, ništa drugo.
Supruge su težile, prema glasinama,
Svaki od njih je kao prethodna dva.
Hajde da sumiramo
Nadamo se da smo vam danas uspjeli reći puno zanimljivih i korisnih stvari. Na primjer, sada možete tražiti Fibonaccijevu spiralu u prirodi oko vas. Možda ćete baš vi moći da otkrijete „tajnu života, svemira i uopšte“.
Koristite formulu za Fibonačijeve brojeve kada rješavate kombinatoričke probleme. Možete se osloniti na primjere opisane u ovom članku.
blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.